LIMITES E DERIVADAS AULA 3 –Parte 3 MATEMÁTICA I

MATEMÁTICA I

© UNESP 6 Agosto 2008

Autor: Anibal Tavares de Azevedo

Limeira, 03 de Maio 2012

AULA 3 – Parte 3

2

LIMITES E DERIVADAS

Regra da Cadeia:

Seja F(x) = (x

²

+1)

^1/2

, então, as técnicas anteriores para obtenção da derivada F’(x) = 0 não podem ser diretamente aplicadas. Mas, considere que F(x) é uma função composta dada por:

y = f(u) = (u)

^1/2

e u = g(x) = (x

²

+1)

Logo: y = F(x) = f(g(x)), isto é, F = f o g.

Se a derivada de F estiver em função de f e g (que

são mais simples), basta aplicar as regras anteriores

de derivação.

Regra da Cadeia:

Seja g for derivável em x e f for derivável em g(x), então, a função composta F = f o g, dada por F(x) = f(g(x)) será dada por:

F’(x) = f’(g(x))*g’(x)

Se y = f(u) e u = g(x) deriváveis, então:

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Se y = f(u) e u = g(x) deriváveis, então:

(1)

Ou ainda:

(f o g)’(x) = f’(g(x))*g’(x) (2) dx

du du dy dx dy =

4

LIMITES E DERIVADAS

Observação sobre a Regra da Cadeia:

Na equação (1):

dy/du refere-se à derivada de y quando esta é

considerada uma função de u (derivada de y em relação à u), ao passo que du/dx se refere à derivada de u quando esta é uma função de x (derivada de u em relação à x).

relação à x).

Na equação (2) significa que primeiro deriva-se a função de fora (f) e depois multiplica-se pela derivada da função de dentro (g):

) ( '

* )) ( ( ))] '

( ( [ ]

[ f g x g x

dx x g f d dx

y

d = =

Função de dentro

Função de fora

Exemplo 1: Encontrar F’(x) se F(x) = (x ² +1) ^1/2 .

Solução 1:

Seja F(x) = (x

²

+1)

^1/2

= (f o g)(x) = f(g(x)), onde:

f(u) = (u)

^1/2

e u = g(x) = (x

²

+1) Logo f’(u) = (1/2)u

^-1/2

e g’(x) = 2x

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Então:

F’(x) = f’(g(x))*g’(x) = f’(u)*g’(x)=(1/2)*u

^-1/2

*(2x)

= x*u

^-1/2

= x/u

^1/2

= x/(x

²

+1)

^1/2

6

Exemplo 1: Encontrar F’(x) se F(x) = (x ² +1) ^1/2 .

LIMITES E DERIVADAS

Solução 2:

Seja u = (x

²

+1) e y = (u)

^1/2

, então:

e e

du u dy

2

= 1 dx x

du = 2

dx du du x dy F ' ( ) =

1 )

2 ( 1 2

) 1 2 2 (

) 1 (

'

2

=

2

+

= +

=

=

x x x

x u x

dx

du

du

x dy

F

Regra da Potência combinada com a Regra da Cadeia:

Seja n for qualquer número real e u = g(x) for derivável, então:

(1)

Ou ainda:

( )

dx nu du

dx u

d

ⁿ _n−1

=

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Ou ainda:

( ^{( )} ) _{n ( g ( x ))}

¹

_{g ' ( x )} (2)

dx x g

d

ⁿ _n−

=

8

LIMITES E DERIVADAS

Exemplo 2: Derive y = (x ³ -1) ¹⁰⁰ .

Seja u = g(x) = x ³ – 1 e n = 100, então:

100 3

dx

] 1) - d[(x dx

dy =

99 3

2

2 99

3 3

99 3

1 - n

1) - (x 300x

(3x 1)

- 100(x dx

] 1) - (x 1) d[

- (x 100

g g

n

dx dx

=

=

=

=

) )

( ' )

( x x

Exercício 3: Derive: y = (2x + 1) ⁵ (x ³ -x+1) ⁴ Passo 1: Aplicar regra do produto:

y = (2x + 1) ⁵ (x ³ -x+1) ⁴ f(x) g(x)

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y’ = f’(x)*g(x) + f(x)*g’(x) (i) f(x) = (2x+1) ⁵ = u ⁵

u

(ii) f’(x) = 5u ⁴ [d(u)/dx] = 5u ⁴ [d(2x+1)/dx] =

= 5(2x+1) ⁴ [2] = 10(2x+1) ⁴

Passo 2:

Regra da Cadeia

10

LIMITES E DERIVADAS

Exercício 3: Derive: y = (2x + 1) ⁵ (x ³ -x+1) ⁴ Passo 1: Aplicar regra do produto:

y = (2x + 1) ⁵ (x ³ -x+1) ⁴ f(x) g(x)

y’ = f’(x)*g(x) + f(x)*g’(x) (iii)g(x) = (x ³ -x+1) ⁴ = u ⁴

u

(iv) f’(x) = 4u ³ [d(u)/dx] = 4u ³ [d(x ³ -x+1)/dx] =

= 4(x ³ -x+1) ³ [3x ² -1]

Passo 2:

Regra da Cadeia

Exercício 3: Derive: y = (2x + 1) ⁵ (x ³ -x+1) ⁴ Passo 1: Aplicar regra do produto:

y = (2x + 1) ⁵ (x ³ -x+1) ⁴ f(x) g(x)

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y’ = f’(x)*g(x) + f(x)*g’(x) (iii)g(x) = (x ³ -x+1) ⁴ = u ⁴

u

(iv) g’(x) = 4u ³ [d(u)/dx] = 4u ³ [d(x ³ -x+1)/dx] =

= 4(x ³ -x+1) ³ [3x ² -1]

Passo 2:

Regra da Cadeia

12

LIMITES E DERIVADAS

Exercício 3: Derive: y = (2x + 1) ⁵ (x ³ -x+1) ⁴ Passo 3: Calcular y’ = f’(x)*g(x) + f(x)*g’(x)

(ii) (iii) (i) (iv) (i) f(x) = (2x+1) ⁵

(ii) f’(x) = 10(2x+1) ⁴ (ii) f’(x) = 10(2x+1) ⁴ (iii) g(x) = (x ³ -x+1) ⁴

(iv) g’(x) = 4(x ³ -x+1) ³ (3x ² -1) y’ = (10(2x+1) ⁴ ) * ((x ³ -x+1) ⁴ ) +

((2x+1) ⁵ ) * (4(x ³ -x+1) ³ (3x ² -1))

Exercício 4: Encontre f’(x) de

Reescrevendo f:

1/3 1/3

2 1/3

2

(x x 1)

1) x (x

f(x) 1 = + +

⁻

=

⁻

+

= + u

1/3 2

x 1) (x

f(x) 1

+

= +

u

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Logo:

f’(x) = (df/du) (du/dx)

= (-1/3)(u) ^-4/3 [d(u)/dx]

= (-1/3)(x ² +x+1) ^-4/3 [d(x ² +x+1)/dx]

= (-1/3)(x ² +x+1) ^-4/3 (2x+1) u

14

LIMITES E DERIVADAS

Exercício 5: Derive a função:

Passo 1: Aplicar regra da Cadeia.

9

1 2x

2 h(x) x 



 





+

= −







 

 

 −

 =

 −

 

  −

= x 2 d f(x)

2 9 x d

2 9 x

(x) h'

8 8

f(x)

Passo 2: Aplicar regra do quociente.

 



 

 



 





+

= −

 

 

+

 −



 





+

= −

g(x) f(x) dx

d 1

2x 2 9 x

1 2x

2 x dx

d 1

2x 2 9 x

(x) h'

g(x)

[g(x)]

2

dx d[g(x)]

dx f(x) d[f(x)]

g(x) g(x)

f(x) dx

d −

 =



 





Exercício 5: Derive a função:

Passo 2: Aplicar regra do quociente.

(i) f(x) = x-2 (ii) f’(x) = 1

(iii) g(x) = 2x + 1

9

1 2x

2 h(x) x 



 





+

= −

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(iii) g(x) = 2x + 1 (iv) g’(x) = 2

2 2

2

2

1) (2x

5 1]

[2x

4 2x 1

2x 1]

[2x

2)2 -

(x 1)(1) (2x

[g(x)]

dx d[g(x)]

dx f(x) d[f(x)]

g(x) g(x)

f(x) dx

d

= + +

+

−

= + +

−

= +

= −

 

 





16

LIMITES E DERIVADAS

Exercício 5: Derive a função:

Passo 3: Obter a expressão final de h’(x).

9

1 2x

2 h(x) x 



 





+

= −

1)

2

(2x 5 g(x)

f(x) dx

d

= +

 

 





10 8

2 8

8 2

8

2 8

8

1) (2x

2) - 45 (x

1) (2x 1)

(2x

2) - 45 (x

1) (2x

1 1

2x 2 45 x

1) (2x

5 1

2x 2 9 x

g(x) f(x) dx

d 1

2x 2 9 x

(x) h'

= +

+

= +

 +



 





+

−

 

 





 +



 





+

= −

 

 



 



 





+

= −

1)

2

(2x g(x)

dx  +

 



OBRIGADO !!!

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OBRIGADO !!!