MATEMÁTICA I
© UNESP 6 Agosto 2008
Autor: Anibal Tavares de Azevedo
Limeira, 17 de Maio 2012
AULA 4 – Parte 2
2
MÁXIMOS E MÍNIMOS
Observações sobre máximos e mínimos:
Nem todo ponto crítico c de uma função f é um ponto de máximo ou mínimo de f.
Exemplo 1: Para y = x 3 , pode-se obter o ponto crítico c com y’ = 0:
Se y’ = 3x 2 , então, y’ = 0 → → → → 3x 2 = 0 → → → → x = 0.
Mas, observe no gráfico, dado a seguir, que
x = 0 não é ponto de máximo nem de mínimo
de y, apesar de ser ponto crítico. Álias, esta
função não possui nem ponto de máximo nem
y=x 3 y
Exemplo 1: Seja y = x 3 , seu gráfico é dado por:
A função f não tem ponto
de máximo nem de mínimo.
Ponto crítico !
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-1 0 1 x
nem de mínimo.
Não tem mínimo global !
Não tem máximo global !
4
Teste da derivada primeira:
Suponha que c seja um número crítico de uma função contínua f. Podem ocorrer 3 casos:
Caso 1: Se o sinal da derivada de f, ou seja f’, mudar de positivo para negativo em c, então, f tem um máximo local em c.
MÁXIMOS E MÍNIMOS
Caso 2: Se o sinal de f’ mudar de negativo para positivo em c, então, f tem um mínimo local em c.
Caso 3: Se f’ não mudar de sinal em c (isto é, em
ambos os lados de c o sinal de f’ é positivo ou
negativo), então, f não tem máximo ou mínimo locais
y=1-x 2 y
1
Exemplo 2: Caso 1 - Seja f(x) = 1-x 2 , então:
f(0)=1 é máximo, pois
f(0) ≥≥≥≥ f(x) para qualquer x.
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-1 0 1 x
para qualquer x.
Máximo Global em x = 0
6
y’=-2x y
2
Exemplo 2: Caso 1 – Seja f’ = -2x, seu gráfico é:
Troca sinal !
x y’
-2 +4
+
MÁXIMOS E MÍNIMOS
-1 0 1 x
-2
-2 +4
-1 +2
0 0
1 -2
2 -4
+
-
y
Exemplo 2: Caso 1 – Seja f’ = -2x, seu gráfico é:
Observe que o ponto onde f’(x) troca de sinal (de + para -) é em Troca sinal !
+
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0 x
para -) é em x=0. Assim, este ponto é de
máximo (Caso 1).
+
-
8
y=x 2 y
Exemplo 3: Caso 2- Seja f(x) = x 2 , então:
f(0)=0 é mínimo, pois
f(0) ≤ f(x) para qualquer x.
MÁXIMOS E MÍNIMOS
-1 0 1 x
1
para qualquer x.
Mínimo Global em x = 0
y’=2x y
2
Exemplo 3: Caso 2 – Seja f’ = 2x, seu gráfico é:
Troca sinal !
x y’
-2 -4
-
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-1 0
1 x
-2
-2 -4
-1 -2
0 0
1 +2
2 +4
- +
10
y
Exemplo 3: Caso 2 – Seja f’ = 2x, seu gráfico é:
Observe que o ponto onde f’(x) troca de
sinal (de - para +) é em Troca sinal !
+
MÁXIMOS E MÍNIMOS
0
x
para +) é em x=0. Assim, este ponto é de
mínimo (Caso 2).
+
-
y=x 3 y
Exemplo 4: Caso 3 – Seja f(x) = x 3 , então:
A função f não tem ponto
de máximo nem de mínimo.
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-1 0 1 x
nem de mínimo.
Não tem mínimo global !
Não tem máximo global !
12
y 1
Exemplo 4: Caso 3 – Seja f’ = 3x 2 , seu gráfico é:
Não Troca sinal !
x y’
-2 +12
+
MÁXIMOS E MÍNIMOS
-1 0
y’=3x 2
1 x
-2 +12
-1 +3
0 0
1 +3
2 +12
+
+
y
Exemplo 4: Caso 3 – Seja f’ = 3x 2 , seu gráfico é:
Troca sinal !
+ +
Observe que em x = 0 f’(x) não troca
de sinal (de +
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0 x
+ + f’(x) não troca
de sinal (de + para +). Assim, não é ponto de
máximo nem mínimo
(Caso 3).
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y=-x 3
y
Exemplo 5: Caso 3 – Seja f(x) = -x 3 , então:
A função f não tem ponto
de máximo nem de mínimo.
Não tem máximo global !
1
MÁXIMOS E MÍNIMOS
-1 0 y=-x 3
1 x
nem de mínimo.
Não tem mínimo global !
1
-1
y 1
Exemplo 5: Caso 3 – Seja f’ = -3x 2 , seu gráfico é:
Não Troca sinal !
x y’
-2 -12
-
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-1 0
y’=-3x 2
1 x
-2 -12
-1 -3
0 0
1 -3
2 -12
-
-1 -
16
y
Exemplo 5: Caso 3 – Seja f’ = 3x 2 , seu gráfico é:
Observe que em x = 0 f’(x) não troca de sinal (de – Não Troca sinal !
MÁXIMOS E MÍNIMOS
0
x
f’(x) não troca de sinal (de – para -). Assim, não é ponto de
máximo nem mínimo
(Caso 3).
- -
Teste da derivada segunda:
Suponha que f’’ seja contínua na proximidade de c podem ocorrer 3 casos:
Caso 1: Se o f’(c) = 0 e f’’(c) < 0, então, f tem um máximo local em c.
Caso 2: Se o f’(c) = 0 e f’’(c) > 0, então, f tem um
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Caso 2: Se o f’(c) = 0 e f’’(c) > 0, então, f tem um mínimo local em c.
Caso 3: Se o f’(c) = 0 e f’’(c) = 0, então, f não tem nem máximo nem um mínimo local em c.
18
Exemplo 6: Análise dos exemplos 3, 4 e 5:
Caso 1
Seja y = 1-x
2: y’ = -2x → → → → y’ = 0
Caso 2
Seja y = x
2: y’ = 2x → → → → y’ = 0
Caso 3
Seja y = x
3: y’ = 3x
2→ → → → y’ = 0
MÁXIMOS E MÍNIMOS
y’ = -2x → → → → y’ = 0
→
→
→
→ x = 0 y’’ = -2 < 0 Se y’’ em x=0 é -2 < 0. Logo, x=0
é ponto crítico
y’ = 2x → → → → y’ = 0
→
→
→
→ x = 0 y’’ = 2 > 0 Se y’’ em x=0 é 2 < 0. Logo, x=0
é ponto crítico
y’ = 3x
2→ → → → y’ = 0
→
→
→
→ x = 0 y’’ = 6x Se y’’ em x=0 é
0. Logo, x=0
não é ponto de
Definição:
Um ponto P na curva y = f(x) é chamado de ponto de inflexão se f é contínua no ponto e a curva mudar de côncava para cima para côncava para baixo ou vice- versa no ponto P.
y=x 3
y Côncava para cima
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-1 0 y=x 3
1 x
Côncava para baixo
Ponto de inflexão
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Definição:
Um ponto P na curva y = f(x) é chamado de ponto de inflexão se f é contínua no ponto e a curva mudar de côncava para cima para côncava para baixo ou vice- versa no ponto P.
MÁXIMOS E MÍNIMOS
y Côncava para cima
-1 0 1 x
Ponto de inflexão
Exemplo 6: Seja f(x) = 3x 4 – 12x 2 , encontrar os pontos críticos e determinar quais são os pontos de máximo, mínimo e inflexão:
Para encontrar os pontos críticos usa-se f’ = 0:
f’(x) = 12x
3– 24x = 0 → 12x(x
2– 2) = 0
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Assim:
12x = 0 → x
1= 0
x
2– 2 = 0 → x = ± (2)
1/2→ x
2= +(2)
1/2e x
3= -(2)
1/2Para classificar os pontos usa-se f’’(x):
f’’(x) = (f’(x))’ = d(12x
3– 24x)/dx = 36x
2- 24
22
MÁXIMOS E MÍNIMOS
Aplicando os pontos x
1, x
2e x
3em f’’(x):
(i) x
1= 0: f’’(x
1) = 36x
21– 24 = 0 - 24 < 0, logo x
1é ponto de máximo.
(ii) x
2= +(2)
1/2: f’’(x
2) = 36x
22– 24 = 36(2
1/2)
2- 24 = 72 – 24 = 48 > 0, logo x
2é ponto de mínimo.
(iii) x
3= -(2)
1/2: f’’(x
3) = 36x
23– 24 = 36(-2
1/2)
2- 24
= 72 – 24 = 48 > 0, logo x
3é ponto de mínimo.
Gráfico de f(x) = 3x – 12x :
y Máximo Global em x = 0
− 2 2
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0 x y=3x 4 -12x 2
-12
− 2 2
Mínimos Globais: ±±±± (2)
1/224
