DERIVAÇÃO IMPLÍCITA AULA 4 –Parte 4 MATEMÁTICA I

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MATEMÁTICA I

© UNESP 6 Agosto 2008

Autor: Anibal Tavares de Azevedo

Limeira, 31 de Maio 2012

AULA 4 – Parte 4

DERIVAÇÃO IMPLÍCITA

As funções encontradas até agora podem descritas expressando-se uma variável em termos da outra, ou seja, por exemplo, y pode ser expressa como uma função f(x) de x.

Exemplo 1:

Exemplo 1:

y ³ - x ³ = 1 → → → → y = (x ³ + 1) ^1/3 Ou ainda:

y - x ² = 5x → → → → y = x ² + 5x

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Em alguns casos não é possível obter y = f(x). Por exemplo, seja x

+ y

= 25, então, para expressar y como uma função f(x) de x é necessária empregar duas definições de y = f(x):

x

+ y

= 25 → y = f

(x) = +(25 - x

)

DERIVAÇÃO IMPLÍCITA

© UNESP 6 Agosto 2008

x + y = 25 y = f

(x) = +(25 - x ) e

y = f

(x) = -(25 - x

)

Deve-se proceder desta forma, pois a definição de função diz que um dado valor x deve corresponder a um único valor de f(x), caso contrário, y = f(x) não é uma função.

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Exemplo 2: Seja x ² + y ² = 25, seu gráfico é dado por:

y 5

y

5 5

-5

y= ±±±± (25-x ² ) ^1/2 y=+(25-x ² ) ^1/2

DERIVAÇÃO IMPLÍCITA

0 x

5 5

-5

-5

0 x

5 -5

y

0 x

5 -5

-5

y=-(25-x ² ) ^1/2 y

f

(x)

f

(x)

x

5

Em alguns casos não é isolar y a partir da equação fornecida. Um exemplo é: x

+ y

= 6xy.

DERIVAÇÃO IMPLÍCITA

Exemplo 3: Seja x ³ + y ³ = 6xy, seu gráfico é dado por:

y

x ³ +y ³ =6xy y

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y

0 x

0 x y

0 x y

0 x

f

(x)

f

(x)

f

(x)

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Felizmente para encontrar a derivada não é necessário escrever y em termos de x. Pode-se usar a derivação implícita que consiste em derivar por x ambos os lados de uma equação e depois isolar y’ na equação resultante. Uma observação importante ao se derivar ambos os lados da equação é que y é uma função de x, embora não seja possível obter sua função explícita.

DERIVAÇÃO IMPLÍCITA

embora não seja possível obter sua função explícita.

Assim, suponha a seguinte função 3y

. Para obter sua derivada, usa-se a regra da cadeia:

f(y) = 3y

y = f(x) Tal que:

d(3y

)/dx = d(f)/dx = d(f)/dy * dy/dx = (6y)*y’

MÁXIMOS E MÍNIMOS

Exemplo 4:

(A)Encontrar dy/dx para x ² + y ² = 25.

(B)Determinar a equação da reta tangente ao círculo x ² + y ² = 25 no ponto (3,4).

Item (A): Derivação Implícita: d(x

+ y

)/dx = d(25)/dx

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Item (A): Derivação Implícita: d(x + y )/dx = d(25)/dx d(x

)/dx + d(y

)/dx = 0

2x + 2y(dy/dx) = 0 2x + 2yy’ = 0

x + yy’ = 0

y’ = -y/x (1)

MÁXIMOS E MÍNIMOS

Item (B): Para obter a equação da reta ao círculo em (3,4) deve ser observado que a inclinação da reta tangente à curva é dada pela derivada y’ da equação do círculo. Isto é, seja a eq. da reta dada por:

y = a x + b, então, a é dado por: a = dy/dx = usando a eq. (1) = -x/y = no ponto (3,4) = -3/4 e a = -3/4.

eq. (1) = -x/y = no ponto (3,4) = -3/4 e a = -3/4.

Se a reta passa em (3,4), então:

y = a x + b → → → → 4 = (-3/4)*3 + b → → → → b = 4 + 9/4 = 25/4 Logo, a equação da reta é dada por:

y = (-3/4) x + 25/4

MÁXIMOS E MÍNIMOS

Exemplo 5:

(A)Encontrar y’ se x ³ + y ³ = 6xy (fólio de Descartes).

(B)Encontre a reta tangente ao fólio de Descartes no ponto (3,3).

(C)Em quais pontos a reta tangente é horizontal?

Item (A): Derivação Implícita: d(x

+ y

)/dx = d(6xy)/dx

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Item (A): Derivação Implícita: d(x + y )/dx = d(6xy)/dx d(3x

)/dx + d(3y

)/dx = d(6xy)/dx

3x

+ 3y

(dy/dx) = (6xy’) + (6y) x

+ y

y’ = 2xy’ + 2y

Isolando y’: y

y’ - 2xy’ = 2y - x

y’(y

- 2x) = 2y - x

→ → → → y’ = (2y - x

)/(y

- 2x) (1) Regra do produto

+

Regra da Cadeia

MÁXIMOS E MÍNIMOS

Item (B): Para obter a equação da reta ao círculo em (3,3) deve ser observado que a inclinação da reta tangente à curva é dada pela derivada y’ da equação do círculo. Isto é, seja a eq. da reta dada por:

y = a x + b, então, a é dado por: a = dy/dx =

usando a eq. (1) = (2y - x

)/(y

- 2x) = no ponto (3,3) = usando a eq. (1) = (2y - x )/(y - 2x) = no ponto (3,3) = (2*3 - 9)/(9 – 2*3) = (6 - 9)/(9 - 6) = -3/3 = -1 e

a = -1.

Se a reta passa em (3,3), então:

y = a x + b → → → → 3 = (-1)*3 + b → → → → b = 3 + 3 = 6

Logo, a equação da reta é dada por:

MÁXIMOS E MÍNIMOS

Item (C): A reta tangente é horizontal se y’ = 0:

y

y’ corresponde à inclinação da reta tangente. Se y’ = 0, então, a inclinação é zero e a reta tangente é horizontal.

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x 0

MÁXIMOS E MÍNIMOS

Item (C): Para obter a equação da reta tangente horizontal deve-se empregar duas equações para determinar as coordenadas (x,y) por onde a reta é tangente ao Fólio de Descartes. Ou seja:

Passo 1: Empregar as equações:

→ →

→ →

y’=0 → → → → (2y - x

)/(y

- 2x) = 0(reta tangente horizontal) x

+ y

= 6xy (reta tangente ao Fólio de Descartes)

Passo 2: Usando as equações anteriores, encontrar o

ponto (x,y) por onde a reta passa.

MÁXIMOS E MÍNIMOS

Item (C):

Passo 1:

(2y - x

)/(y

- 2x) = 0 → → → → se (2y - x

) = 0 → → → → y = x

/2 (1) x

+ y

= 6xy (2)

Passo 2: Aplicando (1) em (2):

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x

+ (x

/2)

= 6x(x

/2) x

+ x

/8 = 3x

x

/8 = 2x

→ → → → x

= 16 → → → → x = 2

(3)

Aplicando (3) em (1): y = (2

)

/(2) = (2

)*(2

) = 2

Assim, a reta tangente é horizontal em (2

, 2

) = (2,5198; 3,1748).

MÁXIMOS E MÍNIMOS

Exemplo 6: Encontrar y’’ se x ⁴ + y ⁴ = 16.

Derivando implicitamente em relação a x:

d(x

+ y

)/dx = d(16)/dx

d(x

)/dx + d(y

)/dx = d(16)/dx

4x

+ 4y

y’ = 0 → → → → y

y’ = -x

→ → → → y’ = -x

/y

(1)

Para encontrar y’’, usa-se a regra do quociente e de que y é uma função x:

A regra do quociente: (f/g)’ = (gf’ – fg’)/g

Então:

3 3 3 3 3 3 3 2

MÁXIMOS E MÍNIMOS

Aplicando (1) em (2):

y’’ = (-3x

y

+ 3x

y

y’)/y

= (-3x

y

+ 3x

y

(-x

/y

))/y

= (-3x

y

- 3x

y

)/y

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= (-3x

y

- 3x

)/y

= -3x

(y

+ x

)/y

Mas, de acordo com a equação original x

+ y

= 16, tal que:

y’’ = -3x

(16)/y

= -48x

/y

16

OBRIGADO !!!

FIM !!!

OBRIGADO !!!