Quest˜ ao 1. Calcular as solu¸c˜oes expl´ıcitas dos problemas abaixo.

universidade federal de pernambuco – ´ area ii – 2015.2 MA129 (c´ alculo diferencial e integral 4) – turmas Q2 e Q6

3 ^o EXERC´ICIO ESCOLAR v. 1.1 – 09/12/2015

Orienta¸ c˜ ao: O exame ´e estritamente individual, sem consulta ou calculadora.

Apenas solu¸c˜ oes leg´ıveis e justificadas receber˜ ao pontos: escrever os passos, deta- lhes e propriedades relevantes. Ao usar a tabela de transformadas de Laplace, indicar os parˆ ametros e o n´ umero de cada regra no passo em que ´e utilizada. Res- ponder a caneta preta ou azul, ou a l´ apis. Circular as respostas ! O valor de cada item est´ a entre parˆenteses. Ex.: “1.a (1,5).” Dura¸ c˜ ao: 120 mins.

Quest˜ ao 1. Calcular as solu¸c˜oes expl´ıcitas dos problemas abaixo.

1.a (2,0).



 



 

 d ² y

dt ² (t) − y(t) + Z t

0

sen (t − v) y(v) dv = 24 u ₂ (t) + 6 δ(t − 3),

y(0) = 0, y ^′ (0) = 6

Obs. u c (t) = u 0 (t − c), onde c ∈ R , e u 0 ´e a fun¸c˜ao-degrau de Heaviside.

1.b (1,0). Para cada n´ umero real positivo a, d ² y

dt ² (t) + a ² y(t) = 0, 0 < t < π; y(0) = 0, y ^′ (π) = 0.

Quest˜ ao 2. Seja h a fun¸c˜ao de per´ıodo 2 determinada por:

h(x) = 1 − 5x, se −1 < x < 1; h n˜ao est´a definida em x = ±1.

2.a (2,0). Calcular a s´erie de Fourier associada a h;

2.b (0,5). Esta s´erie converge em x = 1? Em caso afirmativo, para quanto?

2.c (1,0). Usando a identidade de Parseval e esta s´erie, calcular

∞

X

n=1

b _n ² Quest˜ ao 3. Considere-se a EDP abaixo submetida `as condi¸c˜oes dadas:



 



 



u tt (x, t) = 9 u xx (x, t) para 0 < x < 1 e t > 0, u(0, t) = 0 = u(1, t) para t ≥ 0,

u(x, 0) = 10 sen(5 π x) − sen(2 π x) para 0 ≤ x ≤ 1, u t (x, 0) = 18 sen(3 π x) para 0 < x < 1.

3.a (2,0). Reescrever a EDP e as condi¸c˜oes homogˆeneas como dois proble- mas, um em x e um t e, ent˜ao, calcular a solu¸c˜ao formal da EDP submetida

`as condi¸c˜oes homogˆeneas, expressando-a como uma s´erie (dicas no verso);

3.b (1,5). Calcular os coeficientes de u(x, t) submetida a todas as condi¸c˜oes

do problema dado.

Dicas sobre problemas de contorno para EDPs. Seguem-se bases para as autofun¸c˜oes de Z ^′′ (z) = −λ Z (z) com 0 ≤ z ≤ L (logo, o autovalor ´e −λ) submetidas `as respectivas condi¸c˜oes de contorno (abaixo, n ´e inteiro).

Caso Z ^′ (0) = 0 = Z ^′ (L): Z n (z) = cos n π z L

, λ n = n π L

2

para n > 0; e Z 0 (z) = 1, λ 0 = 0 (para n = 0);

Caso Z (0) = 0 = Z(L): Z n (z) = sen n π z L

, λ n = n π L

2

para n > 0.

Regra f (t) = L ^{− 1} {F (s)}(t) Const. s ∈ F (s) = L{f(t)}(s)

01 e ^at a ∈ R (a, +∞) 1/(s − a)

02 cos (ωt) ω ∈ R (0, +∞) s/(s ² + ω ² )

03 sen(ωt) ω ∈ R (0, +∞) ω/(s ² + ω ² )

04 cosh (ωt) ω ∈ R (|ω|, +∞) s/(s ² − ω ² )

05 senh(ωt) ω ∈ R (|ω|, +∞) ω/(s ² − ω ² )

06 t ⁿ n ∈ N (0, +∞) n! / s ⁿ⁺¹

07 t ^r r ∈ (−1, +∞) (0, +∞) Γ(r + 1) / s ^r+1

08 δ(t − c) c ∈ [0, +∞) R e ^{− cs}

Regra f(t) = L ^{− 1} {F (s)}(t) Const. F (s) = L{f (t)}(s) 09 a f (t) + b g(t) a, b ∈ R a F (s) + b G(s)

10 f (a t) a ∈ (0, +∞) F (s/a) / a

11 e ^at f (t) a ∈ R F (s − a)

12 t ⁿ f (t) n ∈ N (−1) ⁿ F ⁽ⁿ⁾ (s)

13 f (t)

t se h´a lim

t → 0

f (t) t

Z + ∞ s

F (v) dv

14 f ^(k) (t) k ∈ N s ^k F (s) −

k − 1

X

=0

f ^() (0) s ^{k − 1 − }

15

Z t 0

f(u) du F (s)

s

16 u c (t) f (t) c ∈ (0, +∞) e ^{− cs} L{f(t + c)}(s) 17 u c (t) f (t − c) c ∈ [0, +∞) e ^{− cs} F (s) 18 Se f (t + P ) = f (t) P ∈ (0, +∞) 1

1 − e ^{− sP} Z P

0

e ^{− st} f (t) dt

19 (f ∗ g )(t) F (s) G(s)