21 41 41 21 21

COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III 2ª SÉRIE – MATEMÁTICA I e II – PROFº WALTER TADEU

www.professorwaltertadeu.mat.br

Trabalho para a 2ª Certificação – Valor: 3,0 - GABARITO

1) O crescimento de uma população de bactérias, que se reproduz rapidamente, em um laboratório de pesquisas é descrito por N(t) = a.b

^2t

, onde N(t) é o número de bactérias no instante t (t em horas) e a e b são constantes reais. Sabendo que no início da observação havia 3000 bactérias e que após 2 horas de conservação, havia 48000, determine:

a) os valores das constantes a e b;

b) o número de bactérias existentes após meia hora de observação;

Solução. Considerando que no início da observação t = 0, temos:

a) N t ^{` a}  a A b

^2t

[ N ^{` a} 0  a A b

^2.0

[ 3000  a . Aplicando a função para t = 2 e utilizando o valor de

“a’, vem: N ^{` a} 2  3000 A b

^2.2

[ 48000  3000 A b

⁴

[ b

⁴

 48000 3000

ffffffffffffffffffff [ b

⁴

 16 [ b

⁴

 2

⁴

[ b  2

b) N 1 2

f fff g

 3000 A 2

^2A

1 2 fffff

f g

 3000.2  6000 bactérias 2) Dadas as funções f ( x )  2

^x

e g ( x )  4

^x1

, pede-se:

a) para que valores de x, f(x) = 0,125?

b) para que valores de x, f(x) = g(x)?

Solução. Observando as leis de cada função temos:

a) 2 2 2 3

8 2 1 1000 2 125 125 , 0 2 )

( x        

^3

  x  

f

^{x x x x x}

b) ^{f ( x )  g ( x )  2}

^x

^{ 4}

^x1

^{ 2}

^x

^   ²

^{2 x1}

^{ x  2 x  2  x   2}

3) Sob certas condições, uma população de microorganismos cresce obedecendo a lei P = C.3

^kt

, na qual t é o número de horas, P é o número de microorganismos no instante t e C e k são constantes reais.

Se P = 486 e t = 10, então C e k podem valer respectivamente:

a) 2

1 e 3 b) 3 e 4

1 c) 2 e 4

1 d) 2 e 2

1 e) 3 e 2 1

Solução. Substituindo os valores na função e decompondo 486, temos:



 























2 10 1

5 2 3.

3.

2 3.

486 3.

)( ^{( 10 ) 5 10}

k k C C

C C

t

P ^{kt k k} . Logo, opção (d).

4) Seja ^{f : IR  IR} definida por f(x) = 2

^x

. Então, f(a + 1) - f(a) é igual a:

a) 2 b) 1 c) f(a) d) f(1) e) 2.f(a)

Solução. Aplicando “a” como argumento da função, temos:

) ( ) ( ) 1 ( 2

) 1 2 ( 2 2 2 . 2 2 2 ) ( ) 1

( a f a

^{1 2}

f a f a f a

f   

^a

 

^a



^a



^a

 

^a

    . Opção (c).

5) Resolva a equação exponencial 5

^2x

– 7.5

^x

= 450.

Solução. Substituindo 5

^x

= y, temos:

 



 







 



 



 

 

 

 











 















0 2 18

43 7

5 2 25

43 7 2

43 7 2

1849 7

2 1800 49

7

)1 (2

) 450 )(

1(

4 )7 ( )7 0 (

450 7

450 7

2 2

2 2

y y

y y

y y

y

Considerando o valor positivo de “y”, temos: 5

^x

= 5

²

, logo x = 2.

6) Resolva o sistema de equações exponenciais:



 













1 5

2 2

1 2 y x

y x

Solução. Encontrando as expressões dos expoentes em cada equação, temos:



 









































0 1 2 5

5 1 5

1 2

2 2 2

0 1 2 1

2

1

y x y x

y x y

x

y x y

x

. Organizando as equações e resolvendo o sistema, vem:

13 12 3

222 12

1  

 





 

 





 xx

yx yx yx yx

. Substituindo na 1ª equação vem y = 0.

Logo, S = (1,0)

7) Resolva as inequações.

a) 3

^2x5

 27 b) 16 2

1 

¹





 





^x

Solução. Igualando as bases e aplicando as condições de desigualdade, temos:

a) 3

^2x5

 27  3

^2x5

 3

³

 ( base  1 )  2 x  5  3  2 x   2  x   1

b) ¹⁶   ^{2 2}   ^{2 2 ( 1 ) 1 4 3 3}

2

1

1 1 4 1 ₄

1

































 



 





   



x x

x

x

base

x x

8) (Cefet-MG) Seja A = (aij) a matriz quadrada de ordem 3, onde a

_ij

 2i @3, se i < j i @j, se i  j i  j, se i > j

X ^

^ \

^ ^

Z . Calcule o

determinante de A.

Solução. A matriz é 3 x 3. Logo, temos:

a

11

= 1 – 1 = 0 a

12

= 2(1) – 3 = -1 a

13

= 2(1) – 3 = - 1 a

21

= 2 + 1 = 3 a

22

= 2 – 2 = 0 a

23

= 2(2) – 3 = 1 a

31

= 3 + 1 = 4 a

32

= 3 + 2 = 5 a

33

= 3 – 3 = 0

O determinante será: ^{0 ( 1 )( 0 4 ) ( 1 )( 15 0 ) 4 15 19}

0 5 4

1 0 3

1 1 0





























9) (UE-PA) Uma empresa de telefonia móvel cobra de seus clientes R$ 0,20 por minuto, para ligações entre telefones habilitados por ela, e R$0,30 por minuto para ligações entre telefones habilitados por ela e outras operadoras. Um cliente dessa empresa pagou R$ 24,00 referentes a 100 minutos de ligações efetuados nos dois modos. O número de minutos que esse cliente utilizou, ligando para telefones de outras operadoras é:

Solução. Considerando o número de minutos nas ligações para habilitados da operadora como “x” e o número minutos nas ligações entre outras operadoras como “y”, monta-se o sistema com a solução.

20022 40 24032 )2(100 24032 100

243,02,0

 

 



 

 





 

 





 y

yx yx xyx yx yx

yx

Logo, o cliente utilizou 40 minutos em ligações para telefones de outras operadoras e 60 minutos na própria operadora.

10) (FMU– SP) O sistema a

_ij

 ax  2y  3 x  by  2

V

terá uma única solução se:

a) a = 2b b) a + b = - 2 c) a ≠ 2b d) ab ≠ 2 Solução. Aplicando a condição para que a solução seja única, temos:

2 1

. 2 2

1   ab   ab  b

a . Opção (d).