Rosana Catarina Rodrigues de Lima
Introduzindo o conceito de média aritmética
na 4ª série do Ensino Fundamental usando o
ambiente computacional
Mestrado em Educação Matemática
PUC-SP
SÃO PAULO
Rosana Catarina Rodrigues de Lima
Introduzindo o conceito de média aritmética
na 4ª série do Ensino Fundamental usando o
ambiente computacional
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia
Universidade Católica de São Paulo como exigência parcial
para obtenção do título de
MESTRE em Educação
Matemática
sob a orientação da
Professora Doutora
Sandra Maria Pinto Magina.
PUC-SP
SÃO PAULO
BANCA EXAMINADORA
________________________________________
________________________________________
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução
total ou parcial desta Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Para Roberto, Artur e Aurora,
por acreditarem na realização deste trabalho.
AGRADECIMENTOS
No decorrer deste trabalho, muitas pessoas e instituições
contribuíram das mais diversas formas para sua construção. A todas
elas, mais do que agradecer, desejo compartilhar a satisfação da
realização desta pesquisa. Citar de modo especial algumas destas
pessoas e, instituições, não significa a falta de reconhecimento pela
colaboração das demais.
A Deus, que me deu saúde o suficiente para chegar ao final
deste estudo.
À Professora Doutora Sandra Maria Pinto Magina, pela
orientação constante, dedicação, empenho, incentivo e apoio sem os
quais este trabalho não seria possível. Sua amizade, e sobretudo, sua
compreensão foram decisivas para a conclusão desta dissertação
.
Às Professoras Doutoras Márcia Regina Ferreira de Brito e
Siobhan Victoria (Lulu) Healy, integrantes da banca examinadora,
pelo aceite, comentários e sugestões valiosas dadas na ocasião do
exame de qualificação que contribuíram para o enriquecimento deste
estudo.
Aos Professores do Programa de Estudos Pós-Graduados em
Educação Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São
Paulo que, de forma direta ou indireta, colaboraram na concretização
deste trabalho. Em especial, aos
Professores Doutores Cileda de
Queiroz e Silva Coutinho e, Benedito Antonio da Silva, pelo auxílio em
diferentes momentos.
À CAPES, pela oportunidade à mim conferida para realizar
esta etapa essencial à minha formação acadêmica
Aos colegas do Grupo de Pesquisa CoFE, pelas discussões e
contribuições ao trabalho, em especial à Alexsandra e Zoraide,
companheiras de curso e de estudo pela amizade, incentivo e auxílio
em todos os momentos.
A meu marido Roberto, por todo apoio dado, compreensão
quanto às ausências e preocupações. Pela paciência, carinho e
dedicação constante a nosso filho, muito obrigada!
A meu filho Artur, agradeço por todo o carinho demonstrado
durante a execução deste estudo. Sua alegria e sorriso constantes me
fizeram superar muitos momentos difíceis desta caminhada.
À amiga, Edna, exemplo de persistência, obrigada pelo
incentivo e incansável auxílio nos momentos mais difíceis desta longa
jornada.
Aos meus familiares e amigos mais próximos que sempre me
apoiaram ao respeitarem minhas ausências.
À Professora Ivone Borelli pela dedicação na revisão final do
texto.
Ao secretário Francisco, pela compreensão durante todo o
percurso e auxílio em todos os momentos.
À direção, professores, alunos e funcionários da Escola
Marina Cintra, pelo apoio oferecido na parte experimental desta
pesquisa e, em especial ao Professor Rogério, pela colaboração no
decorrer de todo experimento.
RESUMO
O objetivo do estudo foi investigar a introdução do conceito de média aritmética
com base no uso das representações gráficas e com o auxílio do ambiente
computacional, dentro do qual foi empregado o software
Tabletop
. Para se atingir
este objetivo, foi feito um estudo quase-experimental com dois grupos de alunos:
o grupo experimental – GE - e o grupo de controle – GC - ambos da 4ª série
Ensino Fundamental de uma escola da rede pública estadual da cidade de São
Paulo. A pesquisa dividiu-se em três fases, a saber: Pré-teste, Intervenção de
Ensino (fator experimental) e Pós-teste. As atividades constituintes da Intervenção
de Ensino ajustaram-se à Teoria dos Campos Conceituais proposta por
Vergnaud. Para elaboração das atividades tomou-se como base os níveis de
compreensão de gráficos propostos por Curcio e as propriedades de média
aritmética propostas por Strauss e Bichler. O GE participou das três fases do
estudo, sendo as atividades de intervenção de ensino desenvolvidas em ambiente
computacional, visando à introdução do conceito de média aritmética e o
desenvolvimento da leitura e interpretação de gráficos. O GC também participou
da aplicação dos testes, porém permaneceu isento da aplicação do fator
experimental. O estudo propôs-se a responder à seguinte questão: “Quais as
contribuições da intervenção de ensino proposta para a introdução do conceito de
média aritmética em alunos da 4ª série do Ensino Fundamental, com o uso do
ambiente computacional?” Para responder a esta questão de pesquisa, tomamos
por base as análises quantitativa e qualitativa dos resultados obtidos nos testes
em ambos os grupos e as respostas dadas pelos alunos do GE às fichas de
atividades da intervenção. Na comparação intergrupos dos resultados do
pós-teste, constatou-se que os alunos do GE mostraram um desempenho superior
aos do GC, sobretudo, quanto ao conceito de média aritmética. Já a análise dos
resultados intragrupos apontou uma melhora no desempenho dos alunos do GE
no pós-teste em relação ao pré-teste, no que se refere à leitura e interpretação do
gráfico de barras, assim como no conceito de média aritmética. Estes dados
permitem concluir que a introdução ao conceito de média aritmética baseada na
representação gráfica foi favorecida pelo emprego do software
Tabletop
, visto que
este possibilitou ao aluno a descoberta de propriedades e relações envolvidas no
Campo Conceitual constituído pela leitura e interpretação de gráficos e média
aritmética.
ABSTRACT
The purpose of this study was to investigate the introduction of arithmetic mean
concept based on the use of graphic representations, and with the assistance of
computational environement by using the software Tabletop. To reach this
purpose, a nearly experimental study has been accomplished with two groups of
students, the experimental group – GE – and the control group – GC – both fourth
graders of a Sao Paulo public school. The research was divided into three phases,
namely: Pre-Test, Teaching Interference (experimental factor) and Post-Test. The
activities composing the Teaching Interference have been adjusted to the
Conceptual Fields Theory proposed by Vergnaud. To develop these activities we
based on graphics understanding levels proposed by Curcio and on arithmetic
mean properties proposed by Straus & Bichler. The GE has taken part in the three
phases of the study seeing that the teaching interference activities, developed
within computacional environment, aimed at both, the introduction of arithmetic
mean concept and the graphics reading and interpretation development. The GC
has also taken part in tests application, but it was left out the experimental factor.
The study has intended to answer the following question: “Which teaching
interference contributions are proposed for the introduction of arithmetic mean
concept into fourth graders , by making use of computational environment?” To
answer this research question, we based ourselves on qualified and quantified
analysis of the results obtained from the tests in both groups and on the answers
given by GE students to the activities cards of the intervention. By comparing the
intergroups post-test results, one verify that the GE students have presented a
better performance than the GC one’s, specially regarding arithmetic mean
concept. On the other hand, the analisys of the results within the groups pointed to
an improvement in the post-test performed by the Experimental Group in respect
to the pre-test, regarding the reading and interpretation of bar graphics, as well as
in arithmetic mean concept. These data permit us to conclude that the introduction
to arithmetic mean concept based on graphic representation has been favoured by
the use of Tabletop software, since it allows the students to catch the proprieties
and relations envolved in Conceptual Field formed by graphic reading and
interpretation as well as arithmetic mean.
SUMÁRIO
Lista de tabelas
...
xiv
Lista de figuras
...
xv
Lista de quadros
... xviii
Resumo
...
viii
Abstract
...
ix
CAPÍTULO I
Apresentação
...
1
1.1. Introdução ...
1
1.2. Problemática ...
3
1.3. Objetivo e Questão de Pesquisa ...
12
1.4. Articulação do Estudo ao Projeto de Pesquisa FAPESP ...
15
1.5. Descrição da Dissertação ...
17
CAPÍTULO II
Medidas de tendência central e compreensão de gráficos
...
19
2.1. Introdução ...
19
2.2. O Conceito de Média no Decorrer da História ...
20
2.3. Medidas de Tendência Central ...
24
2.3.1. Média Aritmética ...
25
2.3.3. Moda ...
29
2.4. As Pesquisas sobre Média Aritmética ...
31
2.5. Leitura e Interpretação de Gráficos ...
39
2.5.1. Definição e Tipos de Gráficos ...
40
2.5.2. Pesquisas Recentes sobre Leitura e Interpretação de Gráficos
42
2.5.3. Níveis de Compreensão de Gráficos segundo Curcio ...
45
CAPÍTULO III
Considerações Teóricas
...
48
3.1. Introdução ...
48
3.2. Formação do Conceito ...
49
3.3. Representação ...
55
3.4. O Ambiente Computacional na Aprendizagem ...
62
3.4.1. O Uso do Software
Tabletop
...
65
CAPÍTULO IV
Metodologia
...
73
4.1. Introdução ...
73
4.2. Desenho do Experimento ...
73
4.2.1. Universo do Estudo ...
76
4.2.2. Material Utilizado ...
78
4.2.3. Procedimentos ...
79
4.2.3.1. Descrição e análise prévia do pré e pós
−
teste ...
84
4.2.3.1.1. Análise prévia da primeira questão ...
86
4.2.3.1.2. Análise prévia da segunda questão ...
93
4.2.3.1.3. Análise prévia da terceira questão ...
97
4.2.3.2. Análise prévia da atividade de intervenção de ensino . 100
4.2.3.2.1. Ficha 1 ... 101
4.2.3.2.2. Ficha 2 ... 104
4.2.3.2.3. Ficha 3 ... 107
4.2.3.2.4. Ficha 4 ... 109
4.2.3.2.5. Ficha 5 ... 111
4.2.3.2.6. Ficha 6 ... 113
4.2.3.2.7. Ficha 7 ... 116
CAPÍTULO V
Análise do Experimento
... 120
5.1. Introdução ... 120
5.2. Análise Quantitativa dos Resultados ... 123
5.2.1. Desempenho Geral dos Dois Grupos no Pré e no Pós-teste .... 125
5.2.2. Desempenho Geral dos Dois Grupos no Pré-teste ... 127
5.2.2.1. Itens relativos à leitura e interpretação dos gráficos de
barras ...
128
5.2.2.2. Itens relativos à leitura e interpretação do gráfico de
dupla entrada ... 133
5.2.2.3. Itens relativos ao conceito de média aritmética ...
136
5.2.3. Análise do Desempenho dos Dois Grupos no Pós-teste ... 138
5.2.3.1. Itens relativos à leitura e interpretação de gráficos de
barras ...
139
5.2.3.2. Itens relativos à leitura e interpretação de gráficos de
dupla entrada ...
141
5.2.3.3. Itens relativos ao conceito de média aritmética ...
142
5.2.4. Análise do Desempenho do GE no Pré e no Pós-teste ... 145
5.2.4.1. Itens relativos à leitura e interpretação de gráficos de
barras ...
146
5.2.4.2. Itens relativos à leitura e interpretação de gráficos de
dupla entrada ...
149
5.2.4.3. Itens relativos ao conceito de média aritmética ...
152
5.3. Análise Qualitativa ... 154
5.3.1. Análise Relativa à Leitura e Interpretação de Gráficos ... 155
5.3.1.1. Gráfico de barras ... 156
5.3.1.1.1. Gráfico x Realidade ... 156
5.3.1.1.2. Articulação das representações: tabela e
gráfico ... 162
5.3.1.1.3. Níveis de Leitura e Interpretação de
Gráficos ... 168
5.3.1.2. Gráfico de Dupla Entrada
−
Extrapolação ... 183
5.3.2. Análise Relativa ao Conceito de Média Aritmética ... 186
5.3.2.1. Concepções atribuídas à média ... 187
CAPÍTULO VI
Conclusão
... 208
6.1. Introdução ... 208
6.2. Síntese dos Principais Resultados ... 211
6.2.1. Média Aritmética ... 212
6.2.2. Leitura e Interpretação de Gráficos ... 214
6.3. Respostas às Questões de Pesquisa ... 216
6.4. Sugestões para Futuras Pesquisas ... 221
Referências Bibliográficas
...
223
Lista de Tabelas
xiv
Tabela 5.1
– Distribuição das justificativas apresentadas na leitura de
gráficos no
pré e no pós–teste ... 161
Tabela 5.2
– Comparação entre as respostas ao item “2a" do pré para o
pós–teste ... 179
Tabela 5.3
– Comparação entre as respostas ao item “1e” do pré para o
pós–teste ... 182
Tabela 5.4
– Concepções de média apresentadas pelos alunos do GE no
Lista de figuras
xv
Figura 2.1
–
Definição de média aritmética simples segundo Spiegel ...
25
Figura 2.2
–
Definição de média aritmética simples segundo Toledo e Ovalle
26
Figura 2.3
–
Cálculo da mediana para variáveis discretas: número impar de
termos ...
28
Figura 2.4
–
Cálculo da mediana para variáveis discretas: número par de
termos ...
28
Figura 2.5
–
Tipos de Moda segundo Spiegel (1993) ...
29
Figura 2.6
– Propriedades da média aritmética (S
TRAUSS EB
ICHLER, 1988) ...
35
Figura 2.7
– Tarefa proposta para propriedade A: História ...
36
Figura 2.8
–
Tarefa proposta para propriedade A: Numérico ...
37
Figura 2.9
–
Níveis de compreensão de gráficos (C
URCIO, 1987) ...
47
Figura 3.1
– Banco de dados extraído do Tabletop: TIME. Tdb ...
68
Figura 3.2
– Representação do banco de dados TIME.tdb. no modo
Tabletop ...
69
Figura 3.3
–
Representação do gráfico de freqüência do banco de dados
TIME.tdb ...
70
Figura 3.4
–
Representação do gráfico de dupla entrada do banco de dados
TIME.tdb ...
71
Figura 4.1
–
Questão 1- itens “1a" e “1b” do pré e do pós
−
teste ...
87
Figura 4.2
– Questão 1- itens “1c” , “1d” e “1e” do pré e do pós
−
teste ...
89
Figura 4.3
– Questão 2 – itens “2a" a “2f” do pré e do pós
−
teste ...
94
Figura 4.4
–
Questão 3 – itens “3a" a “3d” do pré e do pós
−
teste ...
98
Figura 4.5
–
Atividade 1A da intervenção de ensino... 102
Figura 4.6
–
Atividade 1B da intervenção de ensino ... 103
Figura 4.7
–
Atividade 1C da intervenção de ensino ... 104
Figura 4.8
–
Atividade 2A da intervenção de ensino ... 105
Figura 4.9
–
Atividade 2B da intervenção de ensino ... 106
Figura 4.10
–
Atividade 3A da intervenção de ensino ... 107
Figura 4.11
–
Atividade 3B da intervenção de ensino ... 108
Figura 4.12
–
Atividade 3C da intervenção de ensino ... 109
Figura 4.13
–
Atividade 3D da intervenção de ensino ... 110
Figura 4.14
–
Atividade 4 da intervenção de ensino ... 111
Figura 4.15
–
Atividade 5A da intervenção de ensino ... 112
Figura 4.16
–
Atividade 5B da intervenção de ensino ... 114
Figura 4.17
–
Atividade 6A da intervenção de ensino ... 115
Figura 4.18
–
Atividade 6B da intervenção de ensino ... 116
Figura 4.20
–
Atividade 7B da intervenção de ensino ... 119
Figura 5.1
–
Acertos totais do GE e do GC no pré e no pós–teste ... 126
Figura 5.2
–
Acertos por item de leitura de gráfico de barras do GE e do GC
no pré–teste ... 128
Figura 5.3
–
Acertos por Item de leitura de gráfico de dupla entrada do GE e
do GC no pré–teste ... 134
Figura 5.4
–
Acertos por item de média aritmética do GE e do GC no pré–
teste
... 136
Figura 5.5
–
Acertos por item de leitura de gráfico de barra do GE e do GC
no pós–teste
... 140
Figura 5.6
–
Acertos por item de leitura do gráfico de dupla entrada do GE e
do GC no pós–teste
... 142
Figura 5.7
–
Acertos por item de média aritmética do GE e do GC no pós–
teste
... 143
Figura 5.8
–
Acertos totais do GE no pré e no pós–teste ... 145
Figura 5.9
–
Acertos por item de leitura de gráfico de barras do GE no pré e
no pós–teste
... 146
Figura 5.10
–
Acertos por item de leitura do gráfico de dupla entrada do GE
no pré e no pós–teste
... 150
Figura 5.11
–
Acertos por item de média aritmética do GE no pré e no pós–
teste
... 152
Figura 5.12
–
Respostas ao protocolo de Al-07 e Al 05 no pré–teste
... 157
Figura 5.13
–
Respostas ao protocolo de Al-07 no pós–teste
... 160
Figura 5.14
– Gráficos Construídos pelos grupos 02 e 06 na Atividade 2A .... 169
Figura 5.15
–
Resposta ao protocolo de Al-21 no pré–teste
... 174
Figura 5.16
–
Resposta ao protocolo de Al-21 no pós–teste
... 175
Figura 5.17
–
Resposta ao protocolo de Al-27 no pré–teste
... 176
Figura 5.18
–
Resposta ao protocolo de Al-27 no pré–teste
... 177
Figura 5.19
–
Resposta ao protocolo de Al-27 no pós–teste
... 177
Figura 5.20
–
Respostas aos Protocolos de Al-06 no pré e no pós–teste
... 178
Figura 5.21
–
Resposta ao protocolo de Al-05 no pré–teste
... 181
Figura 5.22
–
Resposta ao protocolo de Al-05 no pós–teste
... 181
Figura 5.23
– Gráfico gerado pelo grupo 08 na Atividade 6B ... 184
Figura 5.24
–
Resposta ao protocolo do grupo 02 na Atividade 6B
... 185
Figura 5.25
–
Resposta ao protocolo do grupo 05 na Atividade 6B
... 185
Figura 5.26
–
Resposta ao protocolo de Al-23 no item “1c” do pré–teste ... 189
Figura 5.28
– Tabela ANIVBALA.TDB e gráfico ANIVBALA.TT construído
pelo grupo 05 ... 191
Figura 5.29
– Gráfico de freqüência construído pelo grupo 05 na Atividade
2A ... 195
Figura 5.30
–
Resposta ao protocolo de Al-22 no item “3d” no pós–teste
... 198
Figura 5.31
–
Resposta ao protocolo de Al-06 no item “3d” no pós–teste
... 199
Listas de Quadros
... xviii
Quadro 3.1
–
Campo Conceitual: Tratamento da Informação ...
58
Quadro 4.1
– Desenho do Experimento ...
74
Quadro 5.1
– Estrutura da Análise do Experimento ... 122
Quadro 5.2
– Relação entre conteúdos matemáticos, tipos de gráfico e
questões do pré
−
teste ... 127
Quadro 5.3
– Síntese do Desempenho dos dois grupos no Pré
−
teste ... 137
Quadro 5.4
– Relação entre conteúdos matemáticos, tipos de gráficos e
questões do pós
−
teste ... 139
Quadro 5.5
– Síntese do Desempenho dos dois grupos no Pós
−
teste ... 144
Quadro 5.6
– Síntese do Desempenho do GE no Pré e Pós
−
teste ... 153
Quadro 5.7
–
Estrutura da análise qualitativa da leitura e interpretação de
gráficos ... 155
Quadro 5.8
– Categorias de análise dos itens “1a' e “1b” do pré e pós
−
teste . 157
Quadro 5.9
– Categorias de análise do item “2a" do pré e do pós
−
teste ... 173
Quadro 5.10
– Categorias de análise do item “1e” do Pré e do Pós
−
teste ... 180
Quadro 5.11
– Estrutura da análise qualitativa para média aritmética ... 186
CAPÍTULO I
APRESENTAÇÃO
1.1. Introdução
Este estudo tem por objetivo investigar a introdução do conceito de
média aritmética em alunos da 4ª série do Ensino Fundamental, propondo-se a
fazê-lo, partindo do uso de gráficos em ambiente computacional na situação de
sala de aula.
A ferramenta de informática usada como estímulo do aprendizado é o
software denominado
“Tabletop”
1, que será apresentado no Capítulo III.
Nossa preocupação ao realizar esta pesquisa, está fundamentada no
fato de pensar a articulação que o estudante realiza entre o conceito e seu uso
imediato no espaço da escola e, para além deste, ou seja, sua aplicação na
esfera da vida cotidiana. Uma vez que esse conhecimento será empregado no
entendimento de questões da vida que possam contribuir para melhor situá-lo no
espaço e tempo, instrumentalizando-o na tomada de decisões.
1
O conceito de média parte de uma acepção mais ampla, pois, em
estatística, os valores médios encontram-se associados às medidas de tendência
central. Dentre estas, também, denominadas promédios
2, as medidas mais
usadas são a média aritmética, a moda e a mediana. Nosso estudo está
ancorado, especificamente, no conceito de média aritmética que consideramos
ser um conceito estatístico fundamental dentre os demais promédios, já que se
articula com outros a fim de permitir uma leitura da realidade externa quer no
âmbito escolar, quer na vida cotidiana (C
AZORLA, 2002; S
TELLA, 2003).
Lavoie e Gattuso (1998) apontam que o conceito de média teve seu
primeiro uso no interior da ciência que se repercutiu, tanto no interior da
sociologia que permitiu analisar o desenvolvimento da sociedade industrial e da
padronização nela existente, como também na esfera da política que empregou
o conceito de intervalo de confiança, como ferramenta estatística para
conhecimento das pesquisas de opinião.
A média aritmética também é de fundamental importância, pois a partir dela são calculadas outras medidas, como, por exemplo a variância, o desvio padrão, o coeficiente de variação, assimetria, curtose e correlação. (CAZORLA, 2002, p. 30)
Para Cazorla, na vida diária, as pessoas estimam o tempo médio gasto
no percurso de casa para o trabalho, para fazer compras ou na fila de banco,
dentre outras estimativas
.2
Esse processo faz parte do cotidiano e está tão arraigado que, às vezes, as pessoas nem percebem o grau apurado de suas estimativas. Algumas pessoas inclusive são capazes de estimar com bastante precisão (...) quanto tempo demoram para chegar ao trabalho, de acordo com o dia da semana ou usando um caminho alternativo. Conseguem estimar as médias sem ter, necessariamente, anotado o tempo gasto em cada viagem e depois dividido pelo número de viagens, as vezes nem conhecem a fórmula da média mas continuam a utilizar seu conhecimento no planejamento de suas atividades rotineiras. (CAZORLA, 2002,
p. 29)
Cai (1995) também destaca a relevância do conceito de média
aritmética; pois, é de fundamental interesse para a análise de dados e tomada de
decisões. Desse modo, a média é usada com freqüência, nas informações
apresentadas em jornais científicos e nos mais variados meios de comunicação,
assim como na vida cotidiana.
Dada a importância do conceito de média aritmética dentre os demais
promédios, optamos por apresentar, neste momento, uma discussão a respeito do
conceito, ancorada no senso comum, para na seqüência discutí-lo
academicamente no capítulo II.
1.2. Problemática
Conforme foi apresentado na seção anterior, no mundo moderno o
conceito de média é bastante empregado, tanto no contexto escolar como no
cotidiano. Entretanto, o entendimento de seu significado é influenciado pelo fato
Em um estudo com crianças de 4ª
a 8ª séries, Mokros e Russell (1995)
observaram que as mais novas utilizam-se informalmente do termo média para
referir-se a típico, usual ou meio.
Assim, é pertinente destacar que, embora a média aritmética seja
considerada um conceito estatístico elementar, o professor deve ter compreensão
de sua complexidade, cujo significado precisa ser construído progressivamente
(B
ATANERO, 2000b). Desse modo, a autora destaca que:
Ajudar crianças e jovens a compreender progressivamente as idéias estocásticas3 fundamentais não é uma tarefa simples, considerando a necessidade em adaptar essas idéias a suas capacidades cognitivas e desenvolver situações didáticas que proporcionem uma aprendizagem significativa. (BATANERO,
2000b, p.1)
A seguir, é apresentado um fragmento de um diálogo informal
4tecido em
ambiente familiar, e fazemo-lo com o objetivo de explicitar diferentes concepções
do conceito de média presente na vida cotidiana.
O noticiário de um jornal televisivo anunciou o valor do novo salário mínimo como sendo de R$ 240,00 e apresentou o resultado de uma pesquisa sobre o poder aquisitivo do trabalhador brasileiro, tendo divulgado a seguinte informação:
Segue-se a esta notícia, uma calorosa discussão entre uma criança de 11 anos, aqui apresentada com o nome de João, que já havia estudado alguns conceitos estatísticos na 5a série dentre
os quais o de média aritmética; a doméstica, denominada com o
3
Estocástica é a área da ciência que inclui a teoria da probabilidade, a estatística e suas aplicações. (LOPES, 2003, p. 5)
4
Trata-se de um diálogo fictício baseado em situações experenciadas pela pesquisadora, tanto no âmbito escolar como fora dele.
nome hipotético de D. Ivone e a pesquisadora. D. Ivone num tom embravecido afirmou
:
D. Ivone: Que é isso? Eles falam que o novo salário é de
R$240,00 e aí fala que a média (...) do trabalhador é R$ 460,00. Entendi nada!!
P: Calma, D. Ivone! O que foi que você não entendeu nesta reportagem?
Ivone: Ué! A senhora não vê que a maioria das pessoas ganha o salário mínimo? Quase todo mundo que eu conheço, as minhas amigas daqui do prédio ganham um salário mínimo!
P: Acredito que o que você acabou de dizer possa ser verdade! Mas, o que você não entendeu na reportagem?
Neste momento, observei que a criança balançava a cabeça
negativamente, embora tentasse se pronunciar, foi
interrompida por D.Ivone. Assim, resolveu, aguardar uma
possível conclusão de D. Ivone sobre o assunto em
questão.
D. Ivone: Espera aí, menino! Deixa eu terminar! Se quase todo mundo que eu conheço ganha o salário mínimo, e esse salário vai para R$ 240,00, porque eles fala[m] que a média (...), média o que? É R$ 460,00?
P:: Hum! D. Ivone, a notícia fala que a média salarial do trabalhador brasileiro é de R$ 460,00. O que você entende por média salarial?
D. Ivone: Ué!! Para mim, é simples! Essa média salário, né? É o pagamento que é recebido pelas pessoas. Por isso, eu acho que é R$ 240,00 e não R$ 460,00 como o moço disse.
D. Ivone: Aí é outra coisa! Aí sim, era verdade, porque então, quase todo mundo estava ganhando R$ 460,00. Será que o moço se enganou?
Na discussão, observamos que Ivone parece apresentar uma
concepção
5de média como moda. Para ela, a média deve ser o salário ganho
pela maioria das pessoas. Além disso, ignora que existam salários diferentes
do seu, prevalecendo para sua determinação da média apenas os salários das
pessoas que conhece.
Assim, a discussão remete-nos à pesquisa realizada por Mokros e
Russell (1995)
6, na qual os autores afirmam que estudantes com esta
concepção de média, freqüentemente, usam o raciocínio centrado nas
experiências pessoais e, não, em relação aos dados, o que parece ter ocorrido
com Ivone.
Continuando a discussão, procurei investigar qual era a concepção de média por parte de João. Seria a mesma de D. Ivone? Se não, qual seria sua concepção a respeito do conceito?
P: João, o que você entendeu sobre a reportagem que ouvimos há pouco no jornal? Você concorda com o que D. Ivone disse?
João: Bem! Parece que chegou minha vez!! Posso falar um pouco D. Ivone?
D. Ivone: Fala logo, menino! Antes que eu comece de novo...
João:: Olha, eu penso diferente de D. Ivone. Pelo que eu entendi, ela acha que se a maioria ganha R$ 240,00, a média salarial deveria ser de R$ 240,00. Não é isso, D. Ivone?
D. Ivone: É sim! É isso, mesmo!!
5
Estaremos considerando este conceito tal qual Vergnaud (1998). Para este autor, a concepção identifica-se pelas representações simbólicas ou expressões verbais do sujeito, na qual o mesmo é capaz de exteriorizar os invariantes operatórios, que são os conhecimentos explícitos.
6
P: Se você não concorda com D. Ivone, o que você entende por média salarial, João?
João: Olha! Eu entendo assim: veja, eu não trabalho, mas se eu ganhasse R$ 440,00, e você (apontando para D. Ivone) ganhe R$ 240,00, e você (aponta para a pesquisadora) ganhasse R$ 640,00, acho que podemos considerar, nesse caso, que a média salarial era de R$ 440,00, porque é o valor que está no meio.
P: Porque você acha que, neste caso, podemos considerar a média salarial como R$ 440,00?
D. Ivone: Mas, menino! Como é isso? O homem nem falou de R$ 440,00, falou de R$ 460,00 ...
João: É simples!! É como a média da escola! Se eu tiro uma nota 6,0 e depois uma nota 8,0, minha média vai ser 7,0, pois, somamos as duas notas e dividimos por 2. No caso dos salários, o total de R$ 1.320,00 dividido por três vai dar R$ 440,00. Além disso, o salário de R$ 440,00 não é o menor salário, mas também não é o maior. Então, neste caso, R$ 440,00 pode ser considerado o salário médio dos trabalhadores. É um salário de quem não ganha muito, mas também não ganha pouco.
P: Hum! Acho que entendi o que você quis dizer!
No segundo fragmento, João apresenta uma concepção de média
diferente de Ivone. Por sua fala, percebemos que a princípio ele traz a concepção
de média como mediana, o que pode ser apreendido na frase
“(...) se eu
ganhasse R$ 440,00, e você [D. Ivone] R$ 240,00, e você (aponta para a
pesquisadora) ganhasse R$ 640,00, acho que podemos considerar nesse caso,
que a média salarial seria de R$ 440,00, porque é a quantidade que está no
meio”
.
Na seqüência, João explicita o raciocínio extraído do universo escolar
que denota o uso particular dos conhecimentos disciplinares prévios da
média vai ser 7,0, pois somamos as duas notas e dividimos por 2”.
Nesse
momento, ele apresenta outra concepção de média, a de média salarial,
compreendida como a média aritmética entre os valores apresentados.
Na seqüência, João articula esta concepção de média, como mediana
com a do salário do conjunto dos interlocutores para chegar a uma tentativa de
síntese, ou seja, para encontrar a representatividade desse valor médio em
relação ao conjunto dos dados. O que está expresso na frase:
“Então, neste caso
R$ 440,00 pode ser considerado o salário médio dos trabalhadores. É um salário
de quem não ganha muito, mas também não ganha pouco”.
Ao final de sua fala, apresenta a concepção de média como um valor
razoável.
Para Mokros e Russell (1995), este tipo de abordagem de média,
diferente da apresentada por Ivone, baseia-se na idéia de representatividade,
pois, segundo os autores, os estudantes com a concepção de média, como um
valor razoável, vêem a média, como ferramenta que dá sentido aos dados e
procuram um valor, que seja representativo desses dados, tanto com base em
uma perspectiva matemática como no senso comum. Assim sendo, os estudantes
podem usar suas experiências da vida real para julgar, se a média encontrada faz
sentido.
Dessa forma, podem acreditar que a média aritmética de um conjunto
particular de dados não é um valor matemático preciso, mas, uma aproximação
que pode assumir um de seus vários valores. Neste sentido, no segundo
compreensão do conceito de média, como um valor representativo do que o
exposto por Ivone.
Diante do relato apresentado, observamos distintas concepções de
média apresentadas pelos participantes da discussão. Ivone parece estar se
referindo à moda, pois, para ela a média salarial deve ser o salário ganho pela
maioria das pessoas. Além disso, posteriormente, Ivone parece não concordar
com um valor para média que seja diferente dos valores da distribuição. Por outro
lado, a concepção do referido conceito apresentado por João pode estar
associada à média, como valor razoável ou como algorítmo, ou ainda,
implicitamente, como mediana.
Vale salientar que todas as concepções mostradas na discussão, fazem
parte do Campo Conceitual de Média que será discutido detalhadamente no
próximo capítulo.
Pelos fragmentos apresentados, percebemos que o termo média não era
totalmente desconhecido por nenhum dos participantes, porém, fica evidente a
existência de distintas concepções que lhe podem ser atribuídas. Julgamos que
esta diversidade de concepções sobre a média pode levar as pessoas a falsas
interpretações de suas leituras de conteúdos de diversas naturezas ou de
experiências concretas do cotidiano, nas quais podem ser demandadas tomadas
de decisão.
Paralelamente à análise dos resultados obtidos na pesquisa de Mokros e
Russell (1995), na qual as crianças referem-se informalmente à média como valor
típico, usual ou valor intermediário, também, a análise de outras situações, por
terminológica apresentada pelo termo média. No entanto, as distintas concepções
atribuídas à média podem contribuir na construção desse conceito, pois todas são
consideradas Medidas de Tendência Central.
Para Lavoie e Gattuso (1998, p. 1.052), no século XIX na Europa, houve
um considerável desenvolvimento da ciência que “se refletiu na criação de novas
palavras para explicar idéias e conceitos ou problemas que, até então, tinham
sido ignorados”
7.
Os autores citados apontam que desde a Idade Média as
Universidades européias compreendiam quatro faculdades: medicina, direito,
teologia e belas artes e o estudo do latim e do grego constituíam-se na base para
o conhecimento.
A matemática, provavelmente constituiu o caso mais extremo de um rompimento com a tradição greco-latina das letras clássicas. Havia tão pouca preocupação com a discussão gramatical que não se criavam novas palavras para descrever novos conceitos: estas eram tiradas da língua viva. Como teste, folheando um dicionário de termos matemáticos (...) é visível que abundam termos existentes na linguagem corrente freqüentemente com outros significados. (
L
AVOIEe
G
ATTUSO, 1998, p. 1.052)
Conforme os autores citados, se de um lado o uso de palavras eruditas
trouxe problemas à aprendizagem; por outro lado, o emprego de palavras
correntes ou, de uso diário, aplicadas em um sentido erudito também resultou em
dificuldades pois, neste caso, as palavras já portavam outros significados na
linguagem cotidiana.
Essa operação é duplamente delicada. Em primeiro lugar, é necessário compreender que os outros sentidos são somente abandonados durante o período de aprendizado, mas continuam
7
adequados em outros casos. Segundo, outros significados podem, algumas vezes, estar em conflito com o sentido que está sendo ensinado. (
L
AVOIEe
G
ATTUSO, 1998, p. 1.053)
No Brasil, a forma pela qual o conceito de média tem sido apresentado
nos livros didáticos, pouco tem contribuído para suprimir sua confusão
terminológica, tendo em vista que, atualmente, os livros adotados nas escolas
privilegiam o ensino do algorítmo (S
TELLA, 2003).
Desse modo, realizar pesquisas a respeito do conceito de média
aritmética parece-nos relevante, visto que podem surgir dele formas para
compreender suas especificidades. Assim, um primeiro contato na escola com o
conceito de média aritmética na 4ª série do Ensino Fundamental pode
proporcionar ao aluno uma melhor compreensão, considerando que esse conceito
será retomado em séries subseqüentes e articulado a outras medidas de
tendência central.
A inclusão da média aritmética, como conteúdo a ser desenvolvido nas
séries iniciais no Brasil, é uma proposta que se dá a partir de 1997, pois foi
sugerida pelos Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática (B
RASIL, 1997)
8.
O PCN de Matemática para o primeiro e segundo ciclos do Ensino
Fundamental é composto por quatro blocos de conteúdos: Números e Operações;
Espaço e Forma; Grandezas e Medidas e Tratamento da Informação. A inclusão
do conceito de média aritmética deu-se no bloco de Tratamento da Informação.
8
A seguir, faremos uma discussão da questão e dos objetivos que
nortearam esta pesquisa.
1.3. Objetivo e Questão de Pesquisa
Considerando que o conceito não emerge em um único momento,
mas, que seu desenvolvimento é decorrente de um processo em espiral
9, no qual
sua compreensão avança um pouco mais a cada vez que é trabalhado,
decidimos desenvolver nosso estudo na 4
ªsérie do Ensino Fundamental. Desta
forma, a presente proposta consiste na aplicação de uma intervenção de ensino
para iniciar o conceito de média aritmética nessa série.
Ao introduzir os conceitos elementares de estatística, abordando o de
média aritmética já nas séries iniciais, acreditamos que possibilitaremos ao aluno
uma melhor compreensão das informações que lhe são apresentadas de diversas
formas.
No que tange à questão do entendimento das informações, é
importante destacar o incessante avanço tecnológico
vivenciado por nossa
sociedade, sobretudo, nesta virada de milênio. O uso cada vez maior de
computadores e novas tecnologias acaba trazendo mudanças significativas nos
diversos campos da atividade humana.
Constantemente nos deparamos com informações, as mais variadas,
expressas por meio de gráficos e tabelas como, por exemplo, índices
9
econômicos, resultados de jogos esportivos e pesquisas de opinião; que são
veiculadas pela mídia impressa, televisiva e virtual.
As mudanças ocorridas na sociedade exigem reformulações na área
educacional para poder atender às reais necessidades dessa nova sociedade,
sendo fundamental uma correta leitura e interpretação, por parte do leitor, dos
dados apresentados graficamente. Muitas das decisões a serem tomadas partem
de inferências que o indivíduo pode elaborar, apoiadas na leitura e interpretação
desses dados, mas, é necessário que o trabalho com organização e interpretação
de dados seja desenvolvido desde cedo no ambiente escolar:
No mundo de hoje nos deparamos com uma crescente quantidade de dados. Organizar e interpretar esses dados são habilidades exigidas cada vez mais no dia-a-dia do cidadão e a introdução desse processo precisa começar desde cedo na educação escolar da criança. (HEALY et al, 2000, p. 1)
Nesse momento, surge a seguinte questão: por que não usar
instrumentos que possam colaborar na construção de gráficos, como o
computador? De que forma o computador poderia auxiliar na introdução do
conceito de média aritmética, utilizando a representação gráfica?
Diante dessas indagações, decidimos que este estudo fosse realizado
em ambiente computacional, para que pudéssemos oferecer ao aluno um
ambiente dinâmico, para que ele tivesse a oportunidade de desenvolver distintos
procedimentos na resolução das atividades propostas.
O computador tem sido considerado uma importante ferramenta na
construção de gráficos, ao permitir que o aluno faça uma rápida modificação do
contribuições do uso do
Tabletop
, tendo em vista que este banco de dados pode
auxiliar na aprendizagem de conceitos básicos de estatística. (
HEALY et al, 2000;SANTOS eMAGINA, 2001, SANTOS, 2003
).
Desta forma, no decorrer da intervenção de ensino, a representação
gráfica foi usada para auxiliar na introdução do conceito de média aritmética,
tendo em vista que a articulação do conceito e suas distintas representações
possam facilitar sua apreensão.
Diante deste cenário, elaboramos a seguinte questão de pesquisa:
Quais as contribuições da intervenção de ensino proposta para a
introdução do conceito de média aritmética em alunos da 4ª série do Ensino
Fundamental, com o uso do ambiente computacional?
Para responder à questão de pesquisa, estabelecemos outras mais
específicas, que destacamos:
Qual a relação existente entre leitura e interpretação de gráficos e o
conceito de média aritmética neste estudo?
Quais foram as dificuldades apresentadas pelos alunos na
introdução de média aritmética, com o uso da representação gráfica?
Para responder a estas questões, este estudo será desenvolvido em três
partes. Inicialmente, será aplicado o pré-teste, cujo objetivo consiste na
identificação das concepções apresentadas pelos alunos quanto ao conceito de
média. No momento seguinte, desenvolveremos as atividades de intervenção,
aritmética, que segundo Strauss e Bichler (1988) contribuem para sua
compreensão; assim como os níveis de leitura e interpretação de gráficos
propostos por Curcio (1987). Por último, será aplicado um pós-teste que sirva
para identificar as possíveis contribuições da intervenção de ensino desenvolvida,
na introdução do referido conceito. Cada uma dessas fases será apresentada
detalhadamente no capítulo IV, referente à Metodologia.
1.4. Articulação do Estudo ao Projeto de Pesquisa
FAPESP
Esta pesquisa originou-se no âmbito de um projeto mais amplo, dentro
do qual este estudo se insere. A seguir, apontaremos o caminho percorrido para o
desenvolvimento do trabalho. Neste momento, é pertinente destacar que o estudo
insere-se na linha de pesquisa de Tecnologia da Informação e Educação
Matemática do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática
da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP). Esta pesquisa é
decorrente do Projeto “Integração do Computador nas Aulas de Matemática do
Ensino Fundamental: formação e desenvolvimento de um Núcleo de Ensino e
Pesquisa
10” cuja meta consiste na busca da integração do computador como
ferramenta
11nas aulas de Matemática. O Núcleo de Pesquisa constitui-se em um
(...) espaço aberto para a formação de professores e alunos, atuando através de oficinas, seminários, grupos de estudos, produção de
10
Trata-se de projeto coordenado pela Professora Dra. Sandra Magina do Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. O referido projeto foi aprovado e financiado pela FAPESP tendo sido desenvolvido em uma Escola Estadual da região central de São Paulo no período de outubro de 2000 a fevereiro de 2003.
11
material didático e na realização de pesquisas voltadas para os dois ciclos iniciais do Ensino Fundamental. (MAGINA, 2000, p. 2)
Para o desenvolvimento do Projeto, foram escolhidos dois blocos de
conteúdos: Geometria, para o qual foi usado o software Cabri-Geomètre e
Tratamento da Informação, com o emprego do software
Tabletop.
Quanto ao
bloco de conteúdo Tratamento da Informação, o Projeto deu origem a quatro
pesquisas de mestrado especificadas, a seguir.
A primeira, direcionou-se à formação do professor das séries iniciais do
Ensino Fundamental. Já concluída, a pesquisa de Santos (2003) consistiu em um
estudo de caso com um dos professores participantes do Projeto, no qual foi
discutido a formação do professor em conceitos básicos de estatística com o
auxílio do ambiente computacional. As outras três pesquisas direcionaram-se à
formação do aluno, tendo sido desenvolvidas simultaneamente.
Assim, a presente pesquisa apresenta como objetivo investigar a
introdução do conceito de média aritmética em alunos da 4ª série do Ensino
Fundamental, com base no desenvolvimento de uma intervenção de ensino,
usando o software
Tabletop
. A pesquisa de Simone Caetano inserida no mesmo
Projeto, investigou a introdução do conceito de média aritmética em alunos da 4
a.
série do Ensino Fundamental empregando, material manipulativo. Existe, ainda, o
trabalho de Kioshink Nakamura que desenvolverá o estudo comparativo entre as
contribuições oferecidas pelo software
Tabletop
e pelo uso do material
manipulativo na introdução do conceito de média aritmética com crianças da 4ª
Tendo situado nossa pesquisa no âmbito do Projeto “Integração do
Computador nas Aulas de Matemática do Ensino Fundamental: formação e
desenvolvimento de um Núcleo de Ensino e Pesquisa”, passamos a seguir, à
descrever os capítulos subseqüentes do estudo.
1.5. Descrição da Dissertação
No presente capítulo, o leitor é situado quanto à problemática que
motivou o estudo, sendo expostos o objetivo e a questão de pesquisa. É
apresentada uma breve descrição do Projeto, que originou o estudo e finalizamos
com um resumo dos capítulos subseqüentes.
No capítulo II, faremos uma breve apresentação histórica do conceito de
média, abordando-a numa perspectiva matemática. Apontaremos as similaridades
e diferenças entre as três medidas de tendência central mais usadas: média
aritmética, moda e mediana, dando especial atenção a primeira, que se refere ao
tema central da pesquisa. Faremos uma breve revisão da literatura das pesquisas
relacionadas ao conceito de média aritmética, destacando as propriedades desse
conceito abordadas por Strauss e Bichler (1988) em estudo com crianças da
mesma faixa etária do presente trabalho. Ao finalizar o capítulo, serão mostrados
ainda os resultados de estudos referentes à leitura e interpretação de gráficos,
destacando os níveis de leitura apresentados por Curcio (1987).
No capítulo III, será feita uma breve discussão das idéias de Gerard
Vergnaud inseridas na Teoria dos Campos Conceituais sobre a questão da
currículo em espiral e o método da descoberta proposto por Bruner e o Campo
Conceitual que permeará o desenvolvimento do estudo. Finalizando o capítulo,
discutiremos o uso do computador em sala de aula, que é o contexto, no qual
será desenvolvida a intervenção de ensino, seguido de uma descrição dos
recursos do software
Tabletop
e sua finalidade ao estudo.
No capítulo IV, mostraremos a metodologia usada no estudo,
descrevendo o desenho do experimento, o universo do estudo e os
procedimentos. A análise prévia do pré-teste que descreve cada questão que o
constitui, será incluída, indicando nossos objetivos e expectativas em relação a
eles. De forma semelhante, será apresentada uma análise prévia das atividades
de intervenção aplicadas na segunda fase do estudo.
No capítulo V, serão feitas as análises quantitativa e qualitativa dos
resultados obtidos referentes aos testes aplicados antes e depois do
desenvolvimento das atividades de intervenção, denominadas pré-teste e
pós-teste, respectivamente, e, será feita a análise de algumas atividades
desenvolvidas na intervenção de ensino. Neste capítulo, estão mencionadas as
categorias estabelecidas para elaboração dessas análises, advindas do
mapeamento das respostas dos alunos obtidas no pré-teste.
No capítulo VI, teceremos considerações com base nos resultados das
análises apresentadas no capítulo anterior, respondendo às questões de pesquisa
CAPÍTULO II
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL E
COMPREENSÃO DE GRÁFICOS
2.1. Introdução
Considerando que este estudo procura discutir a introdução do conceito
de média aritmética com uso da leitura e interpretação de gráficos, julgamos
necessário apresentar uma discussão da média, como construto formal, iniciando
pelo resgate histórico de seu significado para, em seguida, expor a definição dos
termos: média aritmética, mediana e moda. Após, mostraremos um breve resumo
da pesquisa de Strauss e Bichler (1988), desenvolvida com crianças de 8 a 14
anos, utilizando as propriedades de média aritmética. Esta pesquisa tornou-se
relevante para o presente estudo, tendo em vista que nossa proposta consiste na
introdução do conceito de média aritmética, usando suas propriedades.
Na seqüência, apresentaremos a definição de gráfico, segundo Spiegel
(1993) e Leinhardt; Zaslavsky; Stein
12, conforme citado por Cazorla (2002) e os
12
resultados da pesquisa de Guimarães; Ferreira; Roazzi (2001) e de Guimarães
(2002), ambos sobre leitura e interpretação de gráficos com crianças de terceira
série em escola pública de Olinda. O estudo de Guimarães tornou-se relevante no
desenvolvimento de nosso trabalho, pois teve em comum o uso de ambiente
computacional, como recurso metodológico e ferramenta operacional para o
ensino de Matemática empregando o software
Tabletop.
Finalizando o presente capítulo, faremos uma breve apresentação do
estudo de Curcio (1987), pois utilizaremos os três níveis de leitura de gráficos por
ele proposto, a saber: ler os dados, ler entre os dados e ler além dos dados.
Nesta perspectiva, destacamos que o conceito de média aritmética e a
leitura e interpretação de gráficos em nosso estudo estão marcados por uma
intensa inter-relação e interdependência
de ambos e apenas por uma escolha
didática serão aqui apresentados em duas partes.
2.2. O Conceito de Média no Decorrer da História
Para explicitar claramente o conceito que estamos trabalhando, é
preciso buscar compreender sua historicidade. Assim, decidimos realizar uma
breve apresentação dos aspectos importantes desse conceito através do tempo,
que será baseada na análise de Lavoie e Gattuso (1998) que fizeram uma
exploração epistemológica e histórica do conceito de média, e, o trazemos com a
intenção de expor as concepções que marcaram seu uso.
no mundo da ciência e sua evolução é relatada no decorrer da história, afirmando
que seu uso tornou-se mais amplo nos últimos cinqüenta anos (L
AVOIEe
G
ATTUSO,
1998).
Este conceito também tem algum significado sociológico no desenvolvimento das sociedades industriais onde a padronização era essencial. O conceito de média (average) desempenhou um papel na política: a idéia de intervalo de confiança auxilia as ferramentas estatísticas indicando os levantamentos de opinião. O conceito de média tornou-se importante o suficiente para ser ensinado nas escolas mas pouco é falado sobre os vários sentidos do conceito e suas dificuldades não são realmente tratadas. (
L
AVOIEe
G
ATTUSO, 1998, p. 1.051,
tradução livre daautora
)
Inicialmente, os autores apresentam uma análise da palavra média em
francês, cujo termo utilizado é ‘moyénne‘ e, em inglês, ‘
Average
ou
mean
’; eles
citam que a dificuldade do conceito é universal e para exemplificar analisam:
A palavra ‘moyénne‘ deriva da raiz indo-européia ‘medhyo’ no sentido de ‘aquilo que está no meio’ (Grandsaignes d’Hauteriva, 1948). Encontramos um traço desta raiz em Sânscrito (madhyah), em Grego (meseuw), em Latim (medius), em Espanhol (médio), em Italiano (misaine), em Inglês (medal), em Francês a palavra é principalmente, um adjetivo (moyen, moyénne) e reflete sua etmologia de ‘situado no meio’. Ela sofreu uma certa distorção, tornando-se ‘meiens’ por volta de 1120 e ‘moienne’ por volta de 1360. Por volta da segunda metade do século XIII, a forma substantiva ‘la moyenne’ ou ‘average’ já existia (LAVOIE e
GATTUSO, 1998, p. 1.053, tradução livre da autora).
Na Idade Média, o conceito de média referia-se àquilo que é mais
comum, mais freqüente ou típico, representando, portanto, a maioria. Segundo os
tamanho do que a média, estava indicando que era um pouco diferente da altura
que representava o grupo; assim, estes conceitos de média estão muito próximos
da mediana e da moda.
No século XVII, em aritmética, o significado de média era usado para
expressar aquilo que estivesse distante dos dois extremos
−
está no meio
−
ou
−
a
metade de alguma coisa
−
, para aludir à metade da soma de dois números.
No século XIX, surge uma nova forma de abordar o conceito de média
que é definido como uma quantidade arbitrária. Este se desenvolveu em
Estatística, ocasião em que se passa a utilizar a expressão em média, ‘
on
average’.
Neste momento, a Física já definia a relação entre uma distância
percorrida e o tempo necessário para percorrê-la como velocidade média,
fazendo uso da expressão ‘em média’
(L
AVOIEe
G
ATTUSO, 1998)
.
O emprego da palavra average na expressão velocidade média−
‘average speed’ − veio da astronomia: o movimento médio de uma estrela correspondia ao movimento uniforme que seria necessário para percorrer sua trajetória no mesmo tempo que seu movimento real. (LAVOIE eGATTUSO, 1998, tradução livre da
autora).
A partir do século XIX, desenvolveu-se a Estatística, e o conceito de
média antes frequente na Astronomia passa a ser amplamente utilizado, tanto no
campo das ciências físicas como nas humanas e sociais.
Nesta etapa do desenvolvimento industrial, observa-se que o uso e o
aprendizado desse conceito nascem marcados pela necessidade de estabelecer
diversidade e, sobretudo, pela necessidade de um instrumento que permita ao
consumidor apreciar, tomar decisões e avaliar o mundo que o cerca.
Assim, aparece a primeira menção de média no meio escolar, conforme
Lavoie e Gattuso, que teria ocorrido em escola destinada a homens de comércio e
de negócios
−
Commercial Schools and Business
Men (Roy
13, 1892,
apud
LAVOIEeGATTUSO, 1998).
Em 1935, surge a menção de média de notas em um livro didático da
escola elementar francesa. No mesmo período, livros didáticos canadenses e
americanos apresentaram uma abordagem pedagógica baseada, inicialmente, no
método de somar e dividir explicado em um determinado contexto para, na
seqüência, dar significado à média. Os autores exemplificam:
Primeiramente, o método de somar e dividir, é explicado em um determinado contexto, quantidade de consertos por técnicos, por exemplo, depois há uma tentativa de dar significado à média: ‘significa que se eles fizeram 317 consertos todos juntos e se todos os 5 fizeram a mesma quantidade de consertos, cada um teria feito 63 2/5 consertos’ (BUSWELL, BROWNILL, JOHN14 apud
LAVOIE E GATTUSO, 1998, p. 1056).
Finalmente, os autores apontam que, no século XX, a média passa a
ser introduzida entre outros valores de medida de tendência central, o que permite
a comparação entre moda, mediana e média. A partir dos anos de 1970, a
Estatística, incluindo, o conceito de média insere-se no currículo da Matemática.
13
ROY, J. L. Quick at Figures, Designed specially for Commercial Schools and Business Men. Montreal: Lovell & Son, 1892.
14
Neste momento, apresentamos a definição de cada uma das medidas
de tendência central: média aritmética, mediana e moda.
2.3. Medidas de Tendência Central
Nosso estudo ancorou-se de modo específico no conceito de média
aritmética, doravante, apresentado também sob o nome de média. Entretanto,
como já foi discutido, há uma diversidade de concepções relacionadas a esse
conceito, fato que nos demandou explicitar os diversos conceitos sobre as
medidas de tendência central, dentre as quais se encontram a média aritmética, a
mediana e a moda usadas com maior freqüência nos livros didáticos de
Estatística e Matemática.
Como salientamos no capítulo I, a média aritmética é uma das várias
medidas de tendência central. O termo promédio tem sido usado para expressar
qualquer uma dessas medidas (T
OLEDOe
O
VALLE, 1985; O
LIVEIRA, 1999),
entretanto, é consenso entre esses autores, que a média aritmética, a mediana e
a moda são as mais utilizadas.
Assim, cada um desses três promédios apresenta vantagens e
desvantagens em relação a seu emprego, considerando que a escolha do uso de
um ou de outro promédio depende dos dados existentes e dos fins desejados. No
momento, destacamos a definição de cada um desses promédios, e focaremos o
uso de variáveis discretas, visto ser este o tipo de variável que será utilizada no
2.3.1. Média Aritmética
Dentre as medidas de tendência central, a média aritmética é a mais
usada para descrever resumidamente uma distribuição de freqüência (C
OSTAN
ETO, 1977; T
OLEDOe
O
VALLE, 1985,). Além disso, “a
média aritmética é um
conceito fundamental da Estatística e da ciência experimental, sendo amplamente
utilizada no contexto escolar e cotidiano
“ (G
AL15, 1995
apud
C
AZORLA, 2002).
A média aritmética pode se apresentar sob duas formas: média
aritmética simples e média aritmética ponderada. Considerando que nosso estudo
ancorou-se na média aritmética simples, preferimos nos deter nesta, visto que se
trata de um dos objetos do presente estudo.
Em Spiegel (1993, p. 67), encontramos a seguinte definição para média
aritmética simples:
A média aritmética simples, ou média, de um conjunto de N números X1, X2, XN é
representada por (leia-se “X barra”) e é definida por:
) 1 ( N X N X N X X X X X N 1 j j N 3 2
1+ + + + = ∑ = ∑
= L =
Exemplo: A média aritmética dos números 8, 3, 5, 12, 10 é:
6 , 7 5 38 5 10 12 5 3 8
X= + + + + = =
Figura 2.1: Definição de média aritmética simples segundo Spiegel (1993)
15
Se observarmos a Figura 2.1, verificamos que o autor utiliza-se,
inicialmente, da formulação matemática de média aritmética para depois
apresentar um exemplo com dados numéricos.
A seguir, apresentamos a definição desse conceito baseada na ótica de
Toledo e Ovalle
(1985).
A média aritmética simples de um conjunto de números é igual ao quociente entre a soma dos valores do conjunto e o número total de valores.
Suponha que em um escritório de consultoria a empresar há cinco contínuos que recebem os seguintes salários mensais: Cr$ 800,00, Cr$780,00, Cr$ 820,00, Cr$ 810,00 e Cr$ 790,00. A média aritmética dos salários ou salário médio mensal dos contínuos desse escritório será de 800 cruzeiros, de acordo com a definição.
800 5 000 . 4 5 790 810 820 780 800
X= + + + + = =
Genericamente, podemos escrever:
) 1 ( n x x n 1 i∑ i
= =
onde =
i
x valor genérico da observação =
n número de observações
Figura 2.2: Definição de média aritmética simples segundo Toledo e Ovalle (1985)
