Grupo I. 1. Seja tal que, onde e é a

Matemática  II  

2010-­‐2011    2º  Semestre    1ª  Frequência  

31  de  Março  de  2011

Pedro Raposo; Maria João Araújo; Carla Cardoso; Vasco Simões

O teste tem a duração de 2:30 horas. Deve resolver os grupos em folhas separadas.

Grupo I

 

1. Seja      tal  que       ,    onde      e    é  a   designação  genérica  da  direcção  (e  sentido)  do  vector     .  Utilize  o  conceito   de  diferencial  para  calcular  aproximadamente  a  variação  de    no  ponto    quando    sofre  um  acréscimo  de      e        sofre  um  decréscimo  de   .  (Cotação:  2.5  

valores)    

2. Seja     .   Calcule     sendo     a   designação   genérica   da   direcção  que  faz  um  ângulo  de    com  o  semieixo  positivo  dos   ,  e  os  ângulos   agudos    e    que  faz  com  os  eixos  dos    e  dos    são  tais  que   .  

(Cotação:  2.5  valores)  

 

Grupo II

 

3. Seja    homogénea  e     .  Determine  o  grau  de  homogeneidade  de    sabendo  que   .  (Cotação:  1.5  valores)  

4. Seja        com     .  

Determine     .  (Cotação:  1.5  valores)  

5. Se

f (x, y)

é homogénea e , .

a) Determine  o  grau  de  homogeneidade  de   .  (Cotação:  1  valor)  

Grupo  III   6. Considere a função f (x, y)= x 4 + y4 4− (y − x)2 , em que

(y

− x)

2

_{≠ 4}

.  

a) Calcule  os  pontos  de  estacionaridade  de   .  (Cotação:  2  valores)  

b) Se  à  função ,  impuser  a  condição  

x

− y = 6

,  acha  que  os  pontos  calculados   na  alínea  anterior  se  alteram?  Justifique.  (Cotação:  1  valor)  

7. Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar os extremos

locais da função (Cotação: 2 valores):

f (x, y) = xy sujeito a x + 2 y = 6

Grupo  IV  

8. Considere  a  função  

z = x

2

− 2x + y

2

− 2y + 10

   sujeito  a  

−x − 2y + 10 ≥ 0

x, y

≥ 0

⎧

⎨

⎪

⎩⎪

 

a) Determine  graficamente  o  máximo  e  o  mínimo  de  z.  (Cotação:  2  valores)  

b) Resolva   o   problema,   utilizando   as   condições   de   Kuhn-­‐Tucker   para   obter   o   máximo  de  z.  (Cotação:  2  valores)  

c) Suponha   que   o   problema   formulado   na   alínea   anterior   pelo   método   de   Kuhn-­‐ Tucker  era  acrescentado  da  seguinte  informação:  ignore  as  restrições  

x, y

≥ 0

 e   admita  que  estava  activa  a  seguinte  restrição  

5x

− y ≤ 5

.    Supondo  que  a  solução   do   problema   está   no   ponto   P(5,5).   Enuncie   as   condições   de   Kuhn-­‐Tucker   do   novo  problema  e  verifique  se  esse  ponto  as  satisfaz.  (Cotação:  1  valor)  

 

BOA  SORTE.      

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO

Grupo I

1. Como temos Isto é: Então: 2. Temos , e: Isto é: com e

(os cosenos são positivos uma vez que os angulos são agudos). Assim

Grupo II

3. R: Se tem-se , então, em

:

4.

5. a) e b)

Seja o grau de homogeneidade de , então é homogénea de grau , e

Isto é:

Posto isto conclui-se que é homogénea de grau 2 e o teorema de Euler fica

Que no ponto é

___________________________________GrupoIII________________________________________

6. a)

R.: Os pontos de estacionaridade são:

b)Claro que se alteram pois nenhum dos pontos anteriores satisfaz a condição .

7. , (máximo) R.: em

Grupo IV

8. a) Graficamente e cálculos:

Máximo

x

= 10

y

= 0

⎧

⎨

⎪

⎩⎪

z=90

Mínimo

b) Condições de Kuhn-Tucker para obter o máximo de z.

Função Lagrangeana:

L = (x − 1)2 + ( y − 1)2 + 8 −

λ

1(x+ 2y − 10)

x∂L ∂x= 0 y∂L ∂y = 0 λ∂L ∂λ= 0 x, y,λ≥ 0,∂L ∂λ ≥ 0 ∂L ∂x≤ 0, ∂L ∂y ≤ 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x (2x_⎡⎣ − 2) −λ_{⎤⎦ = 0} y (2 y_⎡⎣ − 2) − 2λ_{⎤⎦ = 0} λ_⎡⎣−x − 2y + 10_{⎤⎦ = 0} x, y,λ≥ 0,∂L ∂λ ≥ 0 ∂L ∂x≤ 0, ∂L ∂y ≤ 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

1 x= 0 y= 0 λ = 0 ∂L ∂λ= −(x + 2y − 10) ≥ 0 ∂L ∂x= 2x − 2 −λ ≤ 0, ∂L ∂y= 2y − 2 − 2λ ≤ 0 possível máximo,z = 10 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 x= 0 y= 0 x+ 2y − 10 = 0 impossivel ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 x= 0 2 y− 2 − 2λ = 0 ⇔ y = 1 λ = 0 ∂L ∂λ= −(x + 2y − 10) ≥ 0P.V . ∂L ∂x= 2x − 2 −λ ≤ 0P.V ., ∂L ∂y= 2y − 2 − 2λ ≤ 0P.V . possível máximo, z = 9 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 4 2x− 2 −λ = 0 ⇔ x = 1 y= 0 λ = 0 ∂L ∂λ= −(x + 2y − 10) ≥ 0P.V . ∂L ∂x= 2x − 2 −λ ≤ 0P.V ., ∂L ∂y= 2y − 2 − 2λ ≤ 0 possível máximo,z = 9 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 5 x= 0 2 y− 2 − 2λ = 0,λ = 4 x+ 2y − 10 = 0 ,y = 5 P.V . P.V . possível máximo,z = 25 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 6 2x− 2 −λ = 0,λ = 18 y= 0 x+ 2y − 10 = 0 ⇔ x = 10 ∂L ∂λ= −(x + 2y − 10) ≥ 0P.V . ∂L ∂x= 2x − 2 −λ ≤ 0P.V ., ∂L ∂y= 2y − 2 − 2λ ≤ 0P.V . possível máximo, z = 90 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 7 2x− 2 −λ = 0 ⇔ x = 1 2 y− 2 − 2λ = 0 ⇔ y = 1 λ = 0 ∂L ∂λ= −(x + 2y − 10) ≥ 0P.V . ∂L ∂x= 2x − 2 −λ ≤ 0P.V ., ∂L ∂y= 2y − 2 − 2λ ≤ 0 possível máximo,z = 8 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 8 2x− 2 −λ = 0,x = 1+ 0.5λ,x =12 5 2 y− 2 − 2λ = 0, y = 1+ λ, y =19 5 x+ 2y − 10 = 0 ⇔ 1−λ 2+ 2 + 2λ = 10,λ = 14 5 verifica ∂L ∂λ= −(x + 2y − 10) ≥ 0P.V . ∂L ∂x= 2x − 2 −λ ≤ 0P.V ., ∂L ∂y= 2y − 2 − 2λ ≤ 0 possível máximo,z =445₂₅ ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ R: Máximo no ponto (10,0) e z=90.

c) admitindo as 2 novas informações. As condições passariam a ser:

∂L ∂x= 0 ∂L ∂y= 0 λ₁ ∂L ∂λ₁ = 0 λ₂ ∂L ∂λ₂ = 0 λ₁,λ₂≥ 0 ∂L ∂λ₁, ∂L ∂λ₂ ≥ 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ (2x− 2) −λ₁− 5λ₂ ⎡⎣ ⎤⎦ = 0 (2 y− 2) − 2λ₁+λ₂ ⎡⎣ ⎤⎦ = 0 λ1⎡⎣−x − 2y + 10⎤⎦ = 0 λ_2⎡⎣−5x + y + 5_{⎤⎦ = 0} ∂L ∂λ₁, ∂L ∂λ₂ ≥ 0;λ1,λ2 ≥ 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2.4= 0 imp 2.4= 0 imp ⎧ ⎪