INPE-6122-TDI/583
UM MÉTODO DE AJUSTE DE SUPERFÍCIE PARA GRADES
TRIANGULARES CONSIDERANDO LINHAS
CARACTERÍSTICAS
Laércio Massaru Namikawa
Dissertação de Mestrado em Computação Aplicada, orientada pelo Dr. Luiz Alberto Vieira Dias, aprovada em dezembro de 1995.
INPE São José dos Campos
681.3.06 . 519.674
NAMIKAWA, L. M.
Um método de ajuste de superfície para grades triangulares considerando linhas características / L. M. Namikawa. – São José dos Campos: INPE, 1995. 136p. – (INPE-6122-TDI/583).
1.Analise de terreno. 2.Modelos numéricos de terreno. 3.Triangulação. 4.Grades computacionais. 5.Topografia. I.Título.
RESUMO
A geração de modelos de terreno realísticos deve incorporar as linhas características porque estas linhas representam elementos morfológicos importantes da superfície. Os modelos de grade irregular triangular podem modelar as descontinuidades representadas pelas linhas características e tendem a ser mais precisos do que os modelos de grade retangular regular por eliminarem processos de interpolação intermediários. A superfície mais simples a ser ajustada em um retalho triangular é o plano que contém os três vértices do triângulo. Esta superfície fornece resultados que podem não ser satisfatórios quando utilizada para gerar resultados derivados como a declividade. Um resultado melhor pode ser obtido com o ajuste de uma superfície de 5o grau. Os métodos de ajuste para superfície existentes ignoram as linhas características. O objetivo desta dissertação é apresentar um método de geração de modelo de grade triangular e de ajuste de uma superfície de 5o grau que utiliza as informações das linhas de quebra.
ABSTRACT
In order to produce realistic Digital Terrain Models (DTM), one needs to preserve the ridges and valley lines (the breaklines). The use of triangular grids allows us to model real surfaces with better accuracy, since there is no need for intermediate interpolations, as in the case with rectangular grids. However the visualization with triangular irregular networks (TIN) tends to conceal the breaklines, thus producing a non realistic representation. This work presents a method that uses breakline information and triangular surface fitting, allowing a realistic DTM generation with the advantages of TIN representation.
viii
Pág.
LISTA DE FIGURAS ... xii
LISTA DE TABELAS ... xv
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO ... 1
CAPÍTULO 2 - MODELOS DE GRADE ... 5
2.1 - Grades Regulares ... 6
2.2 - Grades irregulares triangulares ... 11
CAPÍTULO 3 - GERAÇÃO DE GRADES TRIANGULARES ... 17
3.1 - Construção por meio de diagramas de Voronoi ... 17
3.2 - Construção direta da triangulação ... 21
3.2.1 - Método com divisão do espaço ... 22
3.2.2 - Algoritmos recursivos ... 23
3.2.3 - Construção utilizando fronteira convexa ... 25
ix
Pág.
CAPÍTULO 4 - AJUSTE DE SUPERFÍCIE ... 31
4.1 - Ajuste de plano ao retalho da grade ... 34
4.2 - Ajuste por funções polinomiais ... 35
4.3 - Ajuste por superfícies paramétricas ... 38
CAPÍTULO 5 - INFORMAÇÕES MORFOLÓGICAS ... 41
CAPÍTULO 6 - MÉTODO PROPOSTO ... 47
6.1 - Triangulação Quasi-Delaunay ... 47
6.2 - Ajuste de superfícies com linhas de quebra ... 49
6.2.1 - Estimativa de derivadas parciais ... 51
6.2.1.1 - Estimativa de derivadas parciais sem restrição ... 51
6.2.1.2 - Estimativa de derivadas parciais com restrição ... 53
6.2.2 - Definição da superfície em retalhos sem linhas de quebra ... 63
6.2.2.1 - Considerações básicas ... 64
6.2.2.2 - Sistema de coordenadas associado ao triângulo ... 65
6.2.2.3 - Implementação da restrição de continuidade ... 68
6.2.2.4 - Determinação dos coeficientes da polinomial ... 77
6.2.3 - Definição da superfície em retalhos sobre linhas de quebra ... 82
6.2.3.1 - Consideração básica modificada ... 82 Pág.
x
6.2.3.2 - Consideração para o lado sobre uma linha de quebra ... 82
6.2.3.3 - Implementação da consideração para o lado ... 83
6.2.3.4 - Determinação dos coeficientes da polinomial ... 84
CAPÍTULO 7 - IMPLEMENTAÇÃO E AVALIAÇÃO DO MÉTODO... 87
7.1 - Implementação do método ... 87
7.1.1 - Triangulação de Delaunay ... 87
7.1.2 - Triangulação Quasi-Delaunay ... 88
7.1.3 - Ajuste de superfícies sem linha de quebra ... 90
7.1.4 - Ajuste de superfícies com linha de quebra ... 90
7.2 - Avaliação do método ... 91
7.2.1 - Grade obtida a partir da função matemática ... 93
7.2.1.1 - Grade regular linear sem quebra ... 95
7.2.1.2 - Grade regular quíntica sem quebra ... 96
7.2.1.3 - Grade regular linear com quebra ... 97
7.2.1.4 - Grade regular quíntica C1 com quebra ... 98
7.2.1.5 - Grade regular quíntica com quebra ... 99
7.2.1.6 - Análise das grades regulares obtidas ... 100
7.2.2 - Grade correspondente a uma área real ... 101
7.2.2.1 - Grade regular linear sem quebra ... 103
7.2.2.2 - Grade regular quíntica sem quebra ... 104
7.2.2.3 - Grade regular linear com quebra ... 105 Pág.
xi
7.2.2.4 - Grade regular quíntica C1 com quebra ... 106
7.2.2.5 - Grade regular quíntica com quebra ... 107
7.2.2.6 - Análise das grades regulares obtidas ... 108
CAPÍTULO 8 - CONCLUSÕES ... 113
xii
Pág.
2.1 - Superfície representada no espaço tridimensional XYZ ... 5
2.2 - Superfície e grade regular correspondente no espaço tridimensional XYZ . 6
2.3 - Mapa de isolinhas ... 8
2.4 - Seleção de amostras para os métodos de interpolação ... 10
2.5 - Superfície e grade irregular triangular correspondente ... 12
2.6 - Polígonos de Voronoi, triângulos de Delaunay e os círculos associados .... 15
3.1 - Construção do diagrama de Voronoi ... 18
3.2 - Matriz de distâncias em relação aos pontos de amostra ... 20
3.3 - Matriz de identificadores de pontos de amostra ... 21
3.4 - Método de divisão do espaço ... 23
3.5 - Processo de fusão entre subconjuntos S1 e S2 ... 25
3.6 - Construção de triangulação utilizando fronteira convexa ... 26
3.7 - Geração da curva fractal para ordenação de pontos ... 28
4.1 - Curvas com continuidade geométrica G1 ... 31
4.2 - Curvas com continuidade C0 , C1 e C2 ... 32
4.3 - Pontos de controle sobre a superfície paramétrica de grau n ... 39
5.1 - Região côncava ... 41
5.2 - Região convexa ... 42
5.3 - Superfície com região de sela ... 42
5.4 - Falha em uma superfície ... 44
xiii
Pág.
6.1 - Processo de modificação da triangulação de Delaunay ... 49
6.2 - Triângulo de vértices v1, v2 e v3 no sistema cartesiano XY ... 65
6.3 - Triângulo no sistema associado UV ... 65
6.4 - Triângulo no sistema cartesiano ST, com eixo S paralelo ao eixo U ... 68
6.5 - Triângulo no sistema cartesiano ST, com eixo S paralelo ao eixo V ... 72
6.6 - Triângulo no sistema cartesiano ST, com eixo S paralelo ao lado v2v3 ... 73
7.1 - Exemplo de separação de triângulos ... 90
7.2 - Grade padrão da função matemática em projeção perspectiva ... 94
7.3 - Detalhe da triangulação: (a) Delaunay; (b) Quasi-Delaunay ... 94
7.4 - Diferença absoluta fatiada entre a grade padrão e a grade regular linear sem quebra para a função matemática ... 95
7.5 - Diferença absoluta fatiada entre a grade padrão e a grade regular quíntica sem quebra para a função matemática... 96
7.6 - Diferença absoluta fatiada entre a grade padrão e a grade regular linear com quebra para a função matemática ... 97
7.7 - Diferença absoluta fatiada entre a grade padrão e a grade regular quíntica com quebra e continuidade C1 para a função matemática... 98
7.8 - Diferença absoluta fatiada entre a grade padrão e a grade regular quíntica com quebra para a função matemática... 99
7.9 - Detalhe dos erros percentuais para cada grade regular gerada: (a) Linear sem quebra; (b) Quíntico sem quebra; (c) Linear com quebra; (d) Quíntico C1 com quebra; (e) Quíntico com quebra... 100
7.10 - Projeção em perspectiva da grade correspondente a área de Luiziana ... 102
7.11 - Diferença absoluta fatiada entre a grade padrão e a grade regular linear sem quebra para a área real ... 103
7.12 - Diferença absoluta fatiada entre a grade padrão e a grade regular quíntica sem quebra para a área real ... 104
xiv
com quebra para a área real ... 105 7.14 - Diferença absoluta fatiada entre a grade padrão e a grade regular quíntica
com quebra e continuidade C1 para a área real ... 106 7.15 - Diferença absoluta fatiada entre a grade padrão e a grade regular quíntica
com quebra para a área real ... 107 7.16 - Detalhe dos erros percentuais para cada grade regular gerada: (a) Linear
sem quebra; (b) Quíntico sem quebra; (c) Linear com quebra; (d)
Quíntico C1 com quebra; (e) Quíntico com quebra... 108 7.17 - Numeração dos triângulos com algum vértice sobre linha de quebra ... 110 7.18 - Projeção em perspectiva da região destacada para as grades; (a) Padrão;
xv
Pág.
7.1 - Grades regulares geradas ... 92 7.2 - Número de células para cada faixa de erro ... 109
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
Um sistema de informação geográfica (SIG) é um sistema baseado em computadores que utiliza bases de dados espaciais para responder a questões de natureza geográfica (Goodchild, 1985). Um dos dados mais importantes operados em um SIG é a topografia, que representa valores de elevação em função da posição. A aquisição, geração da representação interna e obtenção de resultados sobre este dado é efetuado através de um processo conhecido por modelagem numérica de terreno (MNT).
Os modelos digitais de elevação que utilizam grades regulares retangulares são amplamente utilizadas nos sistemas de informação geográfica. A popularidade deste modelo se deve a facilidade de geração e de manipulação dos dados por utilizar uma matriz como estrutura de armazenamento.
As grades regulares retangulares são adequadas para superfícies suaves e de variação contínua. Quando a superfície tem grandes variações ou tem descontinuidades, estas estruturas apresentam deficiências. As descontinuidades na superfície ocorrem ao longo de linhas, em geral conhecidas por linhas de quebra (linhas de falha, linhas de vale e linhas de crista), que permitem caracterizar esta superfície. Devido a esta propriedade, as linhas de descontinuidade são chamadas também de linhas características.
Um modelo de superfície mais adequado do que o que utiliza grades regulares retangulares é necessário para incorporar a descontinuidade da superfície em lados diferentes das linhas características. Os modelos de grades irregulares triangulares oferecem a possibilidade de modelar as superfícies preservando estas linhas de quebra.
2
Para os modelos de grade triangular obtidos com a inclusão das linhas de quebra, a visualização e a geração de resultados derivados (como a declividade) podem ser insatisfatórios com o ajuste de um plano a cada retalho triangular, sendo necessário ajustar uma superfície suave.
O objetivo deste trabalho é apresentar um método de geração de uma triangulação que incorpora as informações das linhas de quebra e ajusta uma superfície suave dependente das descontinuidades representadas por estas linhas.
Para apresentar este método, definem-se os modelos de superfícies utilizados, os processos de ajuste de superfície e as linhas de quebra.
Os modelos de superfície são conhecidos em geral como modelos digitais de elevação (MDE) ou modelos numéricos de elevação (MNE) e permitem a manipulação de valores de um fenômeno distribuído continuamente sobre o espaço bi-dimensional na forma digital. O fenômeno tratado pode ser variado, mas para este trabalho considera-se apenas o terreno devido a algumas características próprias exploradas.
O processo de modelagem digital de elevação consiste basicamente das fases de aquisição de dados, de geração do modelo e de aplicação. Na fase de aquisição de dados, informações representando a distribuição do fenômeno são coletadas por meio de amostras. Cada amostra é composta de uma posição e pelo valor do fenômeno sobre esta posição. Por exemplo, para o sistema de coordenadas cartesiano
XYZ, a posição pode ser representado pelo par de coordenadas xy e o valor de z.
O agrupamento dos dados em estruturas internas que maximizam a geração de resultados compõem a fase de geração do modelo. As estruturas normalmente utilizadas são a grade regular retangular e a grade irregular triangular. Cada estrutura tem suas vantagens e desvantagens e são selecionadas segundo a aplicação desejada.
Na fase de aplicação obtém-se resultados utilizando o modelo gerado. Estes resultados podem ser qualitativos, como a visualização da superfície por meio de uma projeção, ou quantitativos, como cálculo de volumes. Para a obtenção destes resultados, algum método de ajuste de superfície pode ser necessário para determinar valores de elevação em posições diferentes daqueles para os quais os modelos têm valores definidos explicitamente.
As linhas de quebra são parte das informações morfológicas de uma superfície. Estas informações permitem descrever esta superfície baseada nas características de forma de maneira precisa e eficiente e incluem ainda as regiões características e pontos característicos. Ao longo de uma linha de quebra pode-se considerar que a superfície não é contínua entre os retalhos em lados opostos desta linha. Assim o processo de ajuste de superfície deve considerar esta informação para que a representação seja o mais fiel possível.
Para apresentar o método e sua implementação, analisa-se os modelos de grade regular retangular e de grade irregular triangular, suas vantagens e desvantagens no Capítulo 2.
A grade irregular triangular é analisada com maior profundidade no Capítulo 3, onde são apresentados alguns métodos de geração desta grade. Estes métodos incluem os de geração direta da triangulação e os de geração com o uso dos polígonos de Voronoi.
No Capítulo 4 são apresentados alguns métodos de ajuste de superfície a grades triangulares e as restrições para as superfícies a serem ajustadas. Uma ênfase maior é dada ao método de Akima (Akima 1978), que é utilizada como base do processo utilizado.
O Capítulo 5 apresenta o conjunto de informações morfológicas da superfície. As informações morfológicas permitem descrever a superfície de maneira eficiente. Uma parte do conjunto de informações morfológicas são as linhas de quebra,
4
analisadas neste capítulo, que fornecem informações importantes para o ajuste de superfície.
A descrição do método proposto, com o processo de geração da grade triangular, de modificação desta triangulação e de ajuste de superfície considerando as linhas de quebra são apresentados no Capítulo 6.
Comparações entre os modelos de grade irregular triangular obtidos com o uso de linhas de quebra e os modelos que não consideram estas linhas são apresentados no Capítulo 7.
No Capítulo 8 são apresentadas as conclusões, com observações sobre os resultados obtidos e recomendações para o uso do método proposto.
O método de ajuste de superfície proposto utiliza o sistema de informações geográficas e processamento de imagens SPRING (INPE, 1995) como plataforma de suporte e de implementação. Esta plataforma é implementada em linguagem orientada a objetos (C++) e permite a manipulação de dados geográficos, dispensando a construção de classes não relacionadas diretamente com o modelo de grade triangular.
MODELOS DE GRADE
O processo de modelagem utiliza estruturas de grades para representar a informação de elevação sobre a superfície do fenômeno. A Figura 2.1 apresenta um exemplo de superfície no espaço tridimensional XYZ.
Fig. 2.1 - Superfície representada no espaço tridimensional XYZ.
As grades são formadas por uma malha de polígonos que cobrem toda a área de interesse da superfície. Cada polígono modela a superfície contida em seu interior. A diferença básica entre as grades regulares e as grades irregulares triangulares deve-se a forma dos polígonos. Em uma grade regular os polígonos tem a mesma forma e tamanho, geralmente um retângulo, definindo a forma de grade regular mais utilizada, a grade regular retangular. Os polígonos na grade irregular triangular têm a mesma forma, triangular, mas seus tamanhos são diferentes.
2.1 - GRADES REGULARES
A superfície pode ser aproximada em um modelo numérico de elevação por um poliedro de faces regulares (Pettinati, 1983). Os vértices do polígono que constitui uma das faces do poliedro podem ser os pontos de amostra da superfície se estes pontos são coincidentes com os pontos que definem a grade, mas isto raramente acontece. Em geral, algum método de interpolação é necessário para estimar o valor de elevação nos vértices do poliedro. A Figura 2.2 apresenta um exemplo de superfície e a grade regular correspondente.
Fig. 2.2 - Superfície e grade regular correspondente no espaço tridimensional XYZ.
Se o espaço tridimensional XYZ é utilizado como sistema de coordenadas de referência para a superfície, cada vértice representa uma coordenada no plano XY e um valor de elevação Z. A definição de valores de coordenadas XY é implícita, uma vez que o espaçamento entre os pontos da grade é conhecido. Deste modo, a estrutura de armazenamento da grade regular pode ser formada por uma matriz de valores de elevação e de um descritor que define as coordenadas XY de um ponto da grade, geralmente em um dos extremos da superfície, e os espaçamentos entre os pontos nas direções X e Y.
valor de elevação em uma dada posição utilizando o índice na matriz. Este índice pode ser calculado em função das coordenadas de um dos extremos da grade e dos espaçamentos. No entanto, este mesmo tipo de estrutura gera informações redundantes em regiões onde a superfície tem pouca variação e, ao mesmo tempo, falta de informações em áreas de grande variação. Este problema pode ser minimizado com a escolha cuidadosa dos valores de espaçamento entre pontos da grade. A escolha deve considerar o tipo de superfície modelada e a confiabilidade que se espera do modelo. Porém, em superfícies muito heterogêneas, com regiões de grande variação e regiões planas ou quase planas, ou com descontinuidades na superfície, como as linhas de drenagem, as linhas de crista e as falhas geológicas, nem mesmo a escolha criteriosa permite modelar a superfície com o grau de confiabilidade desejado.
Quando os vértices dos poliedros da grade regular não são coincidentes com as coordenadas de cada ponto amostrado para a superfície ou quando a grade regular deve ser obtida de outra fonte de informação, uma grade regular deve ser gerada. As fontes de informação mais utilizadas quando a elevação é a altimetria do terreno são os mapas de isolinhas e pontos amostrados com espaçamento irregular obtidos em pesquisas de campo.
As isolinhas estão disponíveis em mapas gerados a partir de uma base composta de fotografias em estéreo obtidas por aerofotogrametria e por pontos de amostra determinados por trabalhos de campo. Uma isolinha é a representação do corte entre um plano com elevação Z constante e a superfície. A limitação do uso de isolinhas como representação de uma superfície deve-se ao fato da isolinha ser fiel à superfície apenas ao longo da própria isolinha. A região entre duas isolinhas é apenas deduzida e, se a superfície não tiver um comportamento que pode ser estimado através das isolinhas que contornam a região, a superfície será apenas aproximada através processos de interpolação. A Figura 2.3 apresenta um exemplo de mapa de isolinhas, com alguns pontos amostrados.
Fig. 2.3 - Mapa de isolinhas.
Os pontos espaçados irregularmente obtidos em pesquisas de campo podem ser distribuídos de forma semi-regular ou totalmente irregular. A distribuição semi-regular ocorre quando as amostras são obtidas ao longo de linhas previamente definidas como as linhas de vôo em aerofotogrametria, as redes de drenagens, estradas e outras vias de acesso que facilitam o trabalho de campo. A distribuição totalmente irregular é obtida quando se utiliza levantamentos já existentes ou quando a localização dos pontos é aleatória, como povoados.
A partir das informações contidas nas isolinhas e nos pontos amostrados com espaçamento irregular, deve-se gerar uma grade regular que represente de maneira mais fiel possível a superfície. Os espaçamento nas direções X e Y devem ser determinados para representar a superfície nas regiões com grande variação e, ao mesmo tempo, para reduzir as redundâncias em regiões quase planas. Definidos os espaçamentos e as coordenadas de cada ponto da grade, pode-se aplicar um método de
Os métodos de interpolação mais utilizados são:
• Vizinho mais próximo, no qual o valor a ser estimado é o mesmo do ponto amostrado mais próximo;
• Vizinhos mais próximos, onde o valor do ponto depende dos valores de n pontos amostrados vizinhos mais próximos;
• Vizinhos mais próximos, considerados por quadrante, onde o número de pontos amostrados utilizados deve ser igual para cada um dos quadrantes;
• Vizinhos mais próximos, considerados o quadrante e a cota, onde além da restrição de quadrante do método anterior existe a restrição de número limitado de amostras por valor de elevação.
A Figura 2.4 mostra exemplos de seleção de amostras para os métodos de interpolação apresentados.
Fig. 2.4 - Seleção de amostras para os métodos de interpolação.
Para cada um destes métodos, funções de ponderação de distância são utilizadas para determinar aproximadamente a influência dos valores dos pontos vizinhos considerados. As funções comumente utilizadas são (Felgueiras, 1987):
• Média dos n vizinhos =
1
0
n
iz
i n=
∑
• Média ponderada pela distância dos n vizinhos ao ponto =
(
)
(
)
w x y z
w x y
i i i i n i i i n,
,
= =∑
∑
0 0A função de ponderação
w x y
(
i,
i)
mais utilizada é o inverso da distância euclidiana:(
)
(
) (
)
w x y
x x
y y
i i i i,
=
−
+ −
2 2 ,onde u é um expoente da função de ponderação e
( )
x y
,
é a coordenada do ponto considerado.Outra função utilizada considera a variação exponencial em relação a distância euclidiana:
(
)
w x y
i,
i=
e
−adiu,onde di é a distância euclidiana, u é o expoente dado acima e a é o inverso da média aritmética das distâncias entre os pontos próximos e o ponto interpolado, dado por:
a
n
d
i i n=
=∑
0Pode-se ainda obter uma grade regular com espaçamento menor a partir de uma grade já existente. Neste caso uma superfície é ajustada ao retalho retangular limitado pelos quatro pontos da grade.
2.2 - GRADES IRREGULARES TRIANGULARES
Na modelagem da superfície por meio de grade irregular triangular, cada polígono que forma uma face do poliedro é um triângulo. Os vértices do triângulo são, em geral, os pontos amostrados da superfície. A grade irregular triangular deve ser armazenada em uma estrutura que permite a fácil recuperação dos triângulos e das relações de vizinhança entre eles. Uma estrutura eficiente para o armazenamento da grade irregular triangular deve evitar redundâncias de elementos básicos, como pontos e
linhas. Os elementos básicos devem ser armazenados somente uma vez e ligados aos triângulos que os contém por meio de ponteiros. A Figura 2.5 apresenta um exemplo de superfície com a estrutura triangular associada.
Fig. 2.5 - Superfície e grade irregular triangular correspondente.
As grades irregulares triangulares utilizam os próprios pontos de amostra para modelar a superfície, não sendo necessário o procedimento de estimativa utilizado na geração da grade regular. Ao utilizar os próprios pontos de amostra elimina-se um fator de diminuição da confiabilidade do modelo, uma vez que por melhor que seja o procedimento, alguma característica própria do procedimento é incorporada ao modelo.
O número de redundâncias é bastante reduzido uma grade irregular triangular em relação a grade regular, uma vez que a malha triangular pode ser fina em regiões de grande variação e mais espaçada em regiões quase planas, ajustando-se as necessidades de representação de cada região particular. A qualidade do modelo não é influenciada por um fator determinado pelo usuário, como é o caso da seleção dos espaçamentos da grade regular.
triângulos. Assim, uma feição linear pode ser representada como uma seqüência de arestas de triângulos contíguos.
Os procedimentos de geração do modelo de grade a partir das amostras e de manipulação da estrutura de armazenamento são muito mais complexos na grade irregular triangular, assim como os procedimentos para obtenção de dados derivados a partir das grades. Esta complexidade ocasiona problemas de espaço de armazenamento e de tempo de processamento.
A grade irregular triangular é utilizada no método proposto nesta dissertação devido as vantagens que possui sobre a grade regular retangular e por permitir a incorporação das linhas características.
Em uma grade irregular triangular os pontos de amostra estão conectados formando uma triangulação. Esta triangulação pode ser definida como o grafo planar construído sobre N pontos (os vértices dos triângulos) de um espaço tridimensional XYZ, projetados no espaço bidimensional XY e unidos por segmentos de reta (as arestas dos triângulos) que não se interceptam (Preparata e Shamos, 1985).
O número de triangulações viáveis que podem ser geradas a partir de um conjunto de pontos é muito grande, mas idealmente deseja-se que seja uma única. Deve-se então definir uma restrição para que o número de triangulações viáveis se reduza a um. Para a representação de uma superfície por meio de uma triangulação, pode-se considerar que aquela na qual as distâncias entre os pontos amostrados são as menores possíveis é a melhor. A consideração é baseada no fato de uma superfície interna a um dos retalhos triangulares ser dependente apenas dos pontos mais próximos a ele. A triangulação conhecida como triangulação de Delaunay pode ser considerada uma aproximação da triangulação que satisfaz esta restrição. Lloyd (1977) provou que ser falsa a conjectura de que a triangulação de Delaunay satisfaz o problema da triangulação de menor peso (triangulação na qual a soma das arestas dos triângulos é a
menor possível), mas a triangulação de Delaunay é aceita como padrão para representação de superfícies por vários autores (Pettinati, 1983, De Floriani et al., 1985, Falcidieno e Spagnuolo, 1991).
O diagrama de Voronoi (também conhecido como polígonos de Thiessen e como tesselação de Dirichlet) é o dual da triangulação de Delaunay (Preparata e Shamos, 1985). O diagrama de Voronoi particiona o plano em polígonos, sendo que cada polígono tem um ponto interno e, ao longo de suas arestas, a distância entre a aresta e o ponto interno e a distância entre a aresta e o ponto externo mais próximo são iguais. Cada polígono de Voronoi representa a região do plano mais próxima ao seu ponto interno do que aos pontos internos de outros polígonos vizinhos.
Algumas propriedades importantes do diagrama de Voronoi são: • Todo vértice do diagrama de Voronoi é a intersecção de três arestas do
diagrama (assume-se que não existem quatro pontos do conjunto de pontos S original co-circulares).
• O círculo C de um polígono V do diagrama de Voronoi, com centro no ponto P e definido pelos três vértices de V, não contém outros pontos de S.
• Todo vizinho mais próximo de um ponto P no conjunto de pontos S define uma aresta no polígono de Voronoi V.
• O polígono V(i) é ilimitado se, e somente se, Pi é um ponto sobre o envoltório convexo do conjunto de pontos S.
Estas propriedades são provadas em Preparata e Shamos (1985). As propriedades importantes da triangulação de Delaunay são: • A triangulação de Delaunay é a triangulação mais eqüilateral possível. Se a
diagonal de um quadrilátero convexo formado por 2 triângulos adjacentes é a aresta comum a estes triângulos de uma triangulação de Delaunay e é
• Para todo triângulo T, da triangulação sobre o conjunto S de pontos, composto pelas arestas A1, A2 e A3 existe um círculo C com borda sobre as extremidades destas arestas e este círculo não contém outros pontos do conjunto S. Esta propriedade é conhecida como propriedade do circuncírculo. A Figura 2.6 mostra polígonos de Voronoi, os triângulos de Delaunay e os círculos associados.
Fig. 2.6 - Polígonos de Voronoi, triângulos de Delaunay e os círculos associados.
Apesar da complexidade dos procedimentos e dos requisitos de espaço de armazenamento, as grades irregulares triangulares são utilizadas quando se deseja modelar a superfície de maneira mais precisa. As grades regulares podem ser utilizadas quando o requisito de qualidade é baixo, como em aplicações de geração de visualização da superfície (podem ser chamadas de aplicações qualitativas). Quando a
superfície modelada é utilizada para obter dados quantitativos, o modelo de grade irregular triangular deve ser utilizado.
CAPÍTULO 3
GERAÇÃO DE GRADES TRIANGULARES
A triangulação de Delaunay pode ser construída através de vários métodos. Alguns deles geram o diagrama de Voronoi inicialmente e, através da dualidade dos problemas, interligam os pontos internos dos polígonos vizinhos com segmentos de reta formando os triângulos. Outros métodos geram a triangulação diretamente, utilizando a propriedade do circuncírculo em processos incrementais, recursivos ou de divisão do espaço.
Os métodos de construção da triangulação de Delaunay podem ser divididos inicialmente em dois grupos. No primeiro grupo, a construção é baseada no diagrama de Voronoi diretamente. Assim, inicialmente o diagrama é construído e sobre este diagrama a triangulação é obtida interligando os centros dos polígonos. Deste grupo são apresentados os métodos de Preparata e Shamos (1985) e de Tang (1992). Os métodos do segundo grupo constróem diretamente a triangulação e podem ser subdivididos em baseados na divisão do espaço, na recursão, na fronteira convexa e em construção incremental.
3.1 - CONSTRUÇÃO POR MEIO DE DIAGRAMAS DE VORONOI
O método de construção do diagrama de Voronoi apresentado por Preparata e Shamos (1985) consiste de um algoritmo recursivo que obtém o diagrama em tempo O(NlogN). O algoritmo é dado por:
• Passo 1. Particione o conjunto de pontos S em dois subconjuntos S1 e S2, de tamanhos aproximadamente iguais, considerando uma coordenada média em X. • Passo 2. Construa os diagramas de Voronoi Vor(S1) e Vor(S2) recursivamente.
18
• Passo 4. Descarte todas as arestas de Vor(S2) que estão a esquerda de δ e todas as arestas de Vor(S1) que estão a direita de δ, obtendo o diagrama de Voronoi
Vor(S).
A Figura 3.1 ilustra a construção do diagrama de Voronoi através do uso da cadeia poligonal δ.
Fig. 3.1 - Construção do diagrama de Voronoi.
A cadeia poligonal δ( S1,S2) é um conjunto de arestas de um
• A cadeia poligonal δ( S1,S2) consiste de ciclos de arestas disjuntas e de
cadeias. Se uma cadeia tem apenas uma aresta, então é uma reta; caso contrário as arestas em seus extremos são raios semi-infinitos.
• Se S1 e S2 são separados linearmente então δ( S1,S2) consiste de uma cadeia
monotônica simples.
As provas destas propriedades e uma implementação de um procedimento de construção da cadeia poligonal são apresentadas em Preparata e Shamos (1985).
Outro método de geração do diagrama de Voronoi é apresentado por Tang (1992) e é um algoritmo sobre os dados em formato varredura. O método utiliza duas matrizes, MD com valores de distância, e MI, com valores identificadores de cada ponto do conjunto original.
Inicialmente MD é preenchida com zero para as posições dos pontos do conjunto original e infinito para todas as outras posições e MI é preenchida nas posições correspondentes aos pontos do conjunto original com identificadores dos pontos respectivos e com um valor de fundo nas outras posições.
A cada passo do processo, a distância D de cada posição P em relação a um ponto original Po é calculada e, se D for menor que a distância armazenada originalmente em MD, este valor de distância D é assumido para a posição
P em MD e o identificador, correspondente ao ponto utilizado Po para o cálculo da
distância, é escrito na mesma posição P da matriz MI. A Figura 3.2 apresenta um exemplo com a matriz de distâncias final obtido a partir de cinco pontos de amostra. A localização dos pontos de amostra é identificada pela distância igual a zero. Os elementos na fronteira dos polígonos de Voronoi estão destacados em negrito.
20 25 22 19 16 15 14 13 12 13 14 15 16 19 21 20 19 18 19 20 21 24 21 18 15 12 11 10 9 10 11 12 15 18 18 17 16 15 16 17 18 23 20 17 14 11 8 7 6 7 8 11 14 16 15 14 13 12 13 14 15 22 19 16 13 10 7 4 3 4 7 10 13 15 12 11 10 9 10 11 12 21 18 15 12 9 6 3 0 3 6 9 12 14 11 8 7 6 7 8 11 22 19 16 13 10 7 4 3 4 7 10 13 13 10 7 4 3 4 7 10 23 20 17 14 11 8 7 6 7 8 11 14 12 9 6 3 0 3 6 9 23 20 18 15 12 11 10 9 10 11 12 15 13 10 7 4 3 4 7 10 22 19 16 15 14 13 12 12 13 14 15 16 14 11 8 7 6 7 8 11 21 18 15 12 11 10 9 10 11 12 15 16 15 12 11 10 9 10 11 12 20 17 14 11 8 7 6 7 8 11 14 15 12 11 10 9 10 11 12 15 19 15 13 10 7 4 3 4 7 10 13 14 11 8 7 6 7 8 11 14 18 15 12 9 6 3 0 3 6 9 12 13 10 7 4 3 4 7 10 13 19 16 13 10 7 4 3 4 7 10 13 12 9 6 3 0 3 6 9 12 17 16 14 11 8 7 6 7 8 11 14 13 10 7 4 3 4 7 10 13 14 13 12 12 11 10 9 10 11 12 15 14 11 8 7 6 7 8 11 14 11 10 9 10 11 12 12 13 14 15 16 15 12 11 10 9 10 11 12 15 8 7 6 7 8 11 14 16 17 18 19 16 15 14 13 12 13 14 15 16 7 4 3 4 7 10 13 16 19 22 20 19 18 17 16 15 16 17 18 19 6 3 0 3 6 9 12 15 18 21 23 22 21 20 19 18 19 20 21 22 Fig. 3.2 - Matriz de distâncias em relação aos pontos de amostra
Ao final do processo, na matriz MI tem-se polígonos de Voronoi, identificados por serem uniformes e as arestas dos polígonos de Voronoi podem ser obtidas por algum método simples de detecção de borda. A Figura 3.3 apresenta um exemplo da matriz de identificadores obtidos para os dados do exemplo da Figura 3.2, com os elementos na fronteira dos polígonos de Voronoi destacados em negrito.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 Fig. 3.3 - Matriz de identificadores de pontos de amostra.
3.2 - CONSTRUÇÃO DIRETA DA TRIANGULAÇÃO
Neste item são apresentados os métodos de construção da triangulação de Delaunay propostos por Maus (1984); Lee e Schachter (1980); Pettinati (1983); Guibas e Stolfi (1985); Akima (1978); Agishtein e Migdal (1991) e Rosim et al. (1993).
O método de Maus é baseado na divisão do espaço que contém os pontos de amostra em retângulos, o de Lee e Schachter é baseado em recursão até que os pontos considerados sejam apenas dois, o método de Pettinati gera uma fronteira convexa inicialmente e, a seguir, ao longo desta fronteira, os triângulos são criados. Os de Guibas e Stolfi, Akima, Agishtein e Migdal e Rosim utilizam construção incremental, diferenciando entre si quanto ao triângulo inicial, ao método de seleção da seqüência de pontos a inserir ou à verificação do critério de Delaunay.
22
3.2.1 - Método com Divisão do Espaço
Um método com divisão do espaço que contém os pontos é proposto por Maus (1984) e consiste de duas fases. Na primeira o retângulo imaginário que contém todos os pontos é dividido em retângulos menores e determinados os pontos que estão em cada um destes novos retângulos. Na segunda fase os pontos dos retângulos menores são utilizado para construir uma triangulação e a partir da fusão das triangulações individuais obtém-se a triangulação de Delaunay.
As triangulações menores são obtidas através do seguinte processo: • Inicialmente cria-se um triângulo auxiliar que contém todos os pontos do
retângulo. O triângulo criado é formado por dois pontos (A e B) do retângulo e um ponto auxiliar. A partir da aresta entre A e B, que define o semi-plano que contém os pontos do retângulo, criam-se as arestas AC e BC caso ainda não existam, para o ponto C que forma o maior ângulo ACB.
• Executa-se o mesmo procedimento anterior tomando as arestas AC e BC no lugar de AB, até que todas as arestas tenham sido criadas.
A Figura 3.4 ilustra a construção da triangulação por este método.
Uma descrição simples deste algoritmo é encontrada em Neves (1988), onde é afirmado que o algoritmo é linear de ordem N para distribuições aproximadamente uniformes de pontos no espaço.
3.2.2 - Algoritmos Recursivos
Os algoritmos recursivos para geração da triangulação de Delaunay dividem o conjunto de pontos em dois, recursivamente constróem a triangulação para cada um destes conjuntos novos e fundem as duas triangulações obtidas ao final do processo. O algoritmo deste tipo apresentado por Lee e Schachter (1980) tem a seguinte seqüência:
• Se o conjunto de pontos S contém mais de dois pontos, então:
• Divide-se o conjunto de pontos S em duas metades S1 e S2, considerando alternadamente o limiar médio na direção X e na direção Y;
• Determina-se recursivamente as triangulações de S1 e S2. • Fundem-se as triangulações de S1 e S2.
• Se o conjunto S contém dois pontos, então cria-se uma aresta unindo-os.
O procedimento de fusão dos dois subconjuntos é feito pelo seguinte processo:
• Determina-se a aresta tangente superior formada pelo ponto superior de S1 e pelo ponto superior de S2.
• Determina-se a aresta tangente inferior formada pelo ponto inferior de S1 e pelo ponto inferior de S2.
24
• Cria-se a aresta formada por um ponto P de S1 ou S2 e uma das extremidades da aresta inferior. O ponto P deve estar sobre uma circunferência C formada pelas extremidades da aresta inferior e por este ponto. A circunferência C não pode conter em seu interior nenhum outro ponto de S1 ou S2. Esta aresta passa a ser a nova aresta inferior.
• Removem-se todas as arestas que formem triângulos que não obedeçam ao critério de Delaunay.
O critério de inferior e superior deve ser avaliado alternativamente, na mesma ordem em que o conjunto anterior da recursão foi dividido segundo o ponto médio em X ou em Y. A Figura 3.5 ilustra o processo de fusão deste método.
Fig. 3.5 - Processo de fusão entre os subconjuntos S1 e S2.
3.2.3 - Construção Utilizando Fronteira Convexa
Um método de geração da triangulação de Delaunay utilizando a fronteira convexa é apresentada por Pettinati (1983). A fronteira convexa é determinada inicialmente e, a seguir, ao longo desta fronteira, um processo de criação dos triângulos e atualização da fronteira é realizado até que não exista mais esta fronteira. A seqüência utilizada como descrita em Pettinati (1983) é apresentada a seguir:
• Para o conjunto de pontos P determina-se a fronteira convexa F como um a cadeia ordenada de pontos com sentido de percorrimento anti-horário.
• Toma-se um ponto pj de P, o ponto antecessor em F pi e o ponto sucessor de pj em F pk. Se o ângulo formado por pipjpk for maior que 180 graus, ignora-se esta seqüência e passa a seguinte. Caso contrário, verifica-se se a circunferência formada pelos pontos contém algum outro ponto de P em seu interior (Propriedade do circuncírculo). Caso não contenha, cria-se uma aresta entre pi e pk e pj é eliminado de F. Se a circunferência contém algum ponto, selecionam-se os pontos que podem ser unidos entre si e os pontos pi e pk com o uso da propriedade do circuncírculo. Se os pontos assim determinados são
a,b,...,y,w constróem-se os triângulos pipja, apjb, ..., ypjw e wpjpk e as
seqüências pipj e pjpk são substituídas por pia, ab, ..., yw e wpk.
• Repete-se o passo anterior até que não haja mais pontos a envolver (a fronteira
F estará vazia) e a triangulação formada será de Delaunay.
A Figura 3.6 ilustra a construção dos novos triângulos pipja, apjb, ..., ypjw e wpjpk.
26
Fig. 3.6 - Construção de triângulos utilizando fronteira convexa.
Em Pettinati (1983) são apresentados os algoritmos para geração da fronteira convexa e mostrado que, apesar do tempo teórico ser de ordem NlogN, na prática o tempo é próximo a N.
3.2.4 - Construção Incremental
Algoritmos de construção da triangulação de Delaunay de forma incremental baseiam-se na geração de um ou mais triângulos iniciais, dentro dos quais são inseridos pontos do conjunto original, selecionados por algum critério. O ponto inserido cria dois novos triângulos e verifica-se a satisfação do critério de Delaunay, através da propriedade do circuncírculo. Caso não satisfaçam, a triangulação é alterada até que o critério seja respeitado por todos os triângulos.
O método de Guibas e Stolfi (1985) cria inicialmente um triângulo grande o suficiente para conter todos os pontos do conjunto original. A seguir, os pontos são inseridos um a um, buscando o triângulo que contém o ponto a inserir a partir do último criado; caso não seja o último, faz a busca nos vizinhos sucessivamente até encontrar. O ponto inserido é conectado aos vértices do triângulo que o contém, alterando-o e criando dois novos. Estes três triângulos são verificados quanto ao critério de Delaunay. Caso não respeitem o critério são modificados e os vizinhos afetados pela mudança são também testados. Este passo prossegue até que não seja necessário alterar mais nenhum triângulo.
O método de Akima (1978) inicia conectando o par de pontos mais próximos do conjunto original e, a seguir, são inseridos os outros pontos em ordem crescente de distância, em relação ao centro da aresta formada pelos dois pontos iniciais. Este ordenamento garante que o ponto a ser inserido sempre está fora do polígono já construído, uma vez que o novo ponto estará fora da circunferência centrada no meio da aresta inicial e que passa pelo último ponto inserido. Os triângulos são criados conectando o novo ponto aos anteriores visíveis a este ponto. Os triângulos assim criados são testados quanto ao critério de Delaunay e, caso não o respeitem, são modificados.
No método de Agishtein e Migdal (1991) os pontos do conjunto original são reordenados inicialmente de modo que persigam uma curva fractal com a seguinte formação:
• A curva passa pela diagonal do retângulo envolvente dos dados. Se o retângulo é dividido em três menores ao longo do lado maior, a curva é redefinida em cada um destes.
• A divisão continua até que haja apenas um ponto em cada um dos retângulos.
Um exemplo de geração da curva fractal é apresentado na Figura 3.7.
28
Fig. 3.7 - Geração da curva fractal para ordenação de pontos.
Este método de ordenamento garante que os pontos em uma seqüência estão próximos e, quando um ponto novo é inserido na triangulação, o triângulo ao qual pertence pode ser encontrado facilmente caminhando ao longo da reta que une o ponto anterior ao atual.
O método apresentado por Rosim et al. (1993) prevê a geração de uma triangulação qualquer inicial na primeira fase e, na segunda, ela é modificada até que todos os triângulos obedeçam ao critério de Delaunay.
Para a geração da triangulação inicial, encontra-se o retângulo envolvente dos pontos e cria-se dois triângulos a partir da divisão deste retângulo pela sua diagonal. A seguir, os pontos são inseridos e geram três novos triângulos (o triângulo que contém o novo ponto é preservado de modo a formar uma árvore que facilita a busca do triângulo que conterá o próximo ponto) a cada vez, repetindo o processo até que não existam mais pontos a serem inseridos.
Os triângulos folhas da árvore gerada no passo anterior são analisados quanto ao critério de Delaunay e modificados se necessário. Ao final deste processo obtém-se a triangulação de Delaunay.
O método de Rosim é modificado por Namikawa (1994) para que, a cada inserção de ponto, os triângulos criados sejam testados quanto ao critério de Delaunay. Caso o triângulo testado não respeite a propriedade do circuncírculo, este é modificado. Esta variação evita a existência de triângulos muito estreitos na triangulação intermediária, além de reduzir a recursão na fase de montagem final dos triângulos. Este método é o utilizado para a contrução da triangulação de Delaunay nesta dissertação.
CAPÍTULO 4
AJUSTE DE SUPERFÍCIE
As informações a serem extraídas sobre a superfície modelada podem estar localizadas em pontos diferentes dos vértices da grade triangular gerada. Para estes casos torna-se necessário ajustar uma superfície a cada retalho da grade, permitindo estimar o valor de cota Z em uma posição XY qualquer.
A superfície a ser ajustada deve obedecer algumas restrições. Uma destas restrições é a continuidade. A continuidade de uma superfície é medida de duas formas (Foley et al., 1991): com a continuidade geométrica Gn e com a continuidade paramétrica Cn.
A continuidade geométrica Gn é determinada pela igualdade, entre as direções das derivadas de ordem n das superfícies em retalhos vizinhos, ao longo da curva comum a estes retalhos. A Figura 4.1 mostra a continuidade entre as curvas Q1 e
Q2 e entre Q1 e Q3.
Fig.4.1 - Curvas com continuidade geométrica G1. FONTE: Foley et al. (1991), p. 481.
32
As curvas se encontram no ponto P2, onde os vetores tangentes das três curvas tem a mesma direção. A magnitude dos vetores Tv1 (tangente a Q1) e Tv2 (tangente a Q2) são iguais e a magnitude do vetor Tv3, (tangente a Q3), é maior do que a do vetor Tv1.
A continuidade paramétrica Cn é determinada pela igualdade da direção e da magnitude da derivada de ordem n das superfícies sobre a variável paramétrica, em retalhos vizinhos, ao longo da curva comum aos retalhos. A Figura 4.2 mostra o segmento de curva S unido aos segmentos C0, C1 e C2.
Fig.4.2 - Curvas de continuidade C0, C1 e C2. FONTE: Foley et al. (1991), p. 481.
Na Figura 4.2, no ponto de intersecção pi, os segmentos S e C0 tem continuidade C0, entre S e C1, a continuidade é C1 e entre S e C2, a continuidade é C2.
O requisito Gn é menos restritivo que a continuidade Cn e o requisito normalmente aceito para a representação de superfícies é a C1 em modelagens de terreno.
A continuidade da superfície ajustada a um retalho em relação aos retalhos com os quais compartilha uma curva deve ser garantida, uma vez que esta é
uma característica comum de uma superfície. Esta exigência assegura também que não existirão descontinuidades nas informações secundárias obtidas a partir da modelagem digital de elevação.
Outro requisito para a superfície a ser ajustada é que honre os pontos amostrados, ou seja, todos os pontos amostrados devem estar sobre a superfície, de modo que se a coordenada do ponto de interesse coincide com a coordenada de um dos dados de entrada, os valores de z de entrada e de saída devem ser iguais.
Deve-se notar que este requisito é muito importante, uma vez que a única verdade que se tem sobre a superfície são as informações de entrada e todas as outras são apenas estimativas obtidas a partir destes dados. Não se deve, no entanto, esquecer que estes dados de entrada são uma representação da realidade e foram amostrados, ou seja, existe um erro devido ao processo de amostragem. Um sistema de modelagem pode considerar este fato ao efetuar o ajuste de superfície.
Os procedimentos de ajuste de superfície podem ser locais ou globais. Os métodos locais utilizam apenas um conjunto de pontos mais próximos ao retalho para o qual se deseja ajustar a superfície. Os métodos globais ajustam uma única superfície para todo o poliedro, utilizando todos os pontos amostrados.
Os métodos globais são mais adequados quando o número de amostras é muito pequeno. Quando o número de amostras é grande, como no caso de modelagem de terreno, onde o número de amostras é da ordem de dezenas a centenas de milhares, os métodos globais são inviáveis. O número de incógnitas em um método global é da mesma ordem do número de amostras, tornando pouco eficiente este método. Além disto, regiões distantes de terreno podem ser consideradas como tendo pouca similaridade, ou seja, a superfície em um canto não deve ser influenciado pelo terreno em um outro canto.
Os métodos de ajuste locais são mais adequados para a modelagem de terreno por utilizarem poucos pontos e, portanto, necessitarem da definição de poucas incógnitas e não considerarem a similaridade entre regiões distantes. Um
34
requisito para os métodos de ajuste locais é o de rapidez no cálculo das incógnitas, uma vez que o número de superfícies diferentes a serem obtidas é muito grande.
A superfície a ser ajustada pode ser representada por uma função matemática na forma de uma equação polinomial implícita ou uma equação paramétrica (Sederberg, 1990). A equação polinomial implícita para o sistema de coordenadas cartesiano XYZ é da forma genérica:
c x y zijk i j k i j k n+ + ≤
∑
= 0
onde n define o grau da superfície.
Uma superfície paramétrica representada no sistema de coordenadas cartesiano XYZ pode ser definida pelas equações:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
x x s t w s t y y s t w s t z z s t w s t = , = = , , , , , , ,onde s e t são as variáveis paramétricas.
A seguir são apresentados o ajuste a um plano (polinomial implícita simples de grau 1), ajuste a uma polinomial implícita de grau maior e o ajuste a uma superfície paramétrica.
4.1- AJUSTE DE PLANO AO RETALHO DA GRADE
Um plano é definido pela seguinte equação:
( )
z x y
,
=
ax by c
+
+
Esta equação tem três incógnitas (a, b e c), de modo que três pontos no espaço são suficientes para defini-la.
Em um retalho de uma grade triangular, os três pontos do triângulo definem diretamente o plano a ser ajustado. Assim, se os três pontos são definidos por (x1 ,y1 ,z1 ), (x2 ,y2 ,z2 ) e (x3 ,y3 ,z3 ), os coeficientes a, b e c podem ser definidos a partir de:
x x
y y
z z
x
x
y
y
z
z
x
x
y
y
z
z
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
1 1 1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 10
obtendo o plano ajustado a este retalho.
O ajuste de plano ao retalho triangular é utilizado nesta dissertação para gerar dados de comparação com o ajuste de outras superfícies.
4.2 - AJUSTE POR FUNÇÕES POLINOMIAIS
A função polinomial a ser ajustada ao triângulo com vértices no sistema cartesiano XYZ definidos por (x1 ,y1 ,z1 ), (x2 ,y2 ,z2 ) e (x3 ,y3 ,z3 ) é da forma:
( )
z x y
q x y
i m ij i j j m i,
=
= = −∑ ∑
0 0onde m é o grau do polinômio e qij são os coeficientes a serem determinados,
O grau do polinômio é função do tipo de retalho utilizado e da continuidade que se deseja para a superfície.
Akima (1978) apresenta um método de ajuste que utiliza uma função polinomial de grau 5. A relação entre o grau da polinomial e a continuidade para as superfícies a serem ajustadas a retalhos triangulares é definida por Zenisek (1970) por:
36
onde n é o grau de continuidade paramétrica da superfície.
Utilizando esta relação, a superfície de continuidade C1 é da forma:
( )
z x y
q x y
i ij i j j i,
=
= = −∑ ∑
0 5 0 5Para a resolução desta polinomial deve-se determinar 21 coeficientes para cada triângulo. O valor da função z(x,y), da primeira derivada parcial
∂
∂
z
x
, da primeira derivada parcial∂
∂
z
y
, da segunda derivada parcial∂
∂
2 2z
x
, da segunda derivada parcial∂
∂
2 2z
y
e da segunda derivada parcial∂ ∂
2z
xy em cada vértice do triângulo
fornecem 18 equações independentes. As três equações restantes são obtidas a partir da suposição de que a derivada parcial da superfície diferenciada na direção perpendicular a cada lado do triângulo é uma função de grau 3 no máximo, medida na variável na direção do lado considerado.
A suposição que define as três últimas equações garante também a continuidade da superfície e a prova é apresentada a seguir, como descrito por Akima (1978):
1) O sistema de coordenadas XY pode ser transformado em outro sistema cartesiano ST, onde o eixo S é paralelo a cada um dos lados do triângulo. No sistema de coordenadas ST, a suposição garante que
∂
( )
∂
∂
∂
4 40
s
z t s
t
,
=
.2) A transformação de sistema de coordenadas entre XY e ST é linear. Assim, os valores de z s t
( )
z s z t z s z t z st , ,∂ , , , , ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 2combinação linear de z x y
( )
z x z y z x z y z xy , ,∂ , , , , ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 2 em cada um dos vértices. 3) Os valores de z s t( )
z s z s , ,∂ , ∂ ∂ ∂ 22 em dois vértices determinam uma polinomial
de 5o grau em S para o lado entre estes dois vértices.
4) As polinomiais de 5o grau em XY, que representam valores de Z em dois triângulos que compartilham um lado comum são reduzidos a polinômios de 5o grau em S sobre este lado. Os polinômios em XY coincidem sobre o lado comum, provando a continuidade dos valores de Z interpolados ao longo dos lados do triângulo. 5) Os valores de ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ z t z st z ts , 2 2
= em dois vértices determinam um polinômio
de 3o grau em S para ∂
∂
z
t sobre o lado.
6) Os polinômios que representam ∂
∂
z
t em dois triângulos que compartilham um
lado comum coincidem sobre este lado, provando a continuidade de ∂
∂
z t .
As estimativas dos valores das primeiras e das segundas derivadas parciais em um ponto são definidas considerando um número fixo de pontos vizinhos mais próximos a este ponto. Assim, para estimar as derivadas parciais de primeira ordem no ponto p0 utilizam-se os produtos vetoriais entre os vetores p0 pi e p0 pj, para o ponto pi diferente de pj e pertencentes ao conjunto de pontos mais próximos de p0 . Este vetor resultante do produto vetorial é perpendicular aos vetores p0 pi e p0 pj . As derivadas parciais de primeira ordem são definidas como as do plano normal ao vetor soma destes produtos vetoriais.
38
As derivadas parciais de segunda ordem podem ser obtidas por um processo similar, no qual se utilizam as derivadas parciais de primeira ordem calculadas. A derivada parcial de segunda ordem em relação a X e a Y é tomado como sendo a média entre a derivada parcial de segunda ordem em relação a X e a derivada parcial de segunda ordem em relação a Y.
O método apresentado por Akima (1978) é utilizado nesta dissertação como base para os métodos de ajuste de superfícies suaves.
4.3 - AJUSTE POR SUPERFÍCIES PARAMÉTRICAS
As superfícies paramétricas para retalhos triangulares utilizam o sistema de coordenadas baricêntrico como sendo as variáveis paramétricas da superfície (Sakude, 1992; Sederberg, 1990). Para o sistema de coordenadas baricêntricas uvw, a relação u+v+w=1 deve ser verdadeira para a região interna ao triângulo. Assim, um ponto contido no triângulo definido pelos vértices p1, p2 e p3 pode ser representado por
p=up1 +vp2 +wp3. O valor z de um ponto no interior deste triângulo é obtido por:
(
)
f u v w q n i j k u v w ijk i j k i j k , , ! ! ! ! , , = ≥∑
0onde n define o grau da superfície, i+j+k=n e qijk são os coeficientes dos pontos de controle.
O peso do coeficiente de ponto de controle é máximo no ponto de controle e valores negativos ou positivos forçam a superfície a ser mais próxima ou mais distante do ponto de controle (Sederberg, 1990). Uma superfície de grau n com vértices vn00 , v0n0 e v00n , dados em coordenadas baricêntricas, tem os pontos de controle como apresentado na Figura 5.1.
Fig. 4.3 - Pontos de controle sobre a superfície paramétrica de grau n.
O uso de superfícies paramétricas é dificultado para uso em modelagem de terreno pela determinação correta dos coeficientes dos pontos de controle e pela dificuldade de determinar o mapeamento de coordenadas entre o XYZ e o baricêntrico (Sakude, 1992). O processo de determinação dos coeficientes deve incluir informações sobre a continuidade da superfície com os retalhos vizinhos. Um método utilizado é por meio de interação com os retalhos vizinhos. Pode-se notar que é um processo caro computacionalmente e assim, o uso de superfícies paramétricas é mais apropriado para uso um sistemas de CAD (“Computer-Aided-Design”), onde o número de retalhos triangulares é menor.
CAPÍTULO 5
INFORMAÇÕES MORFOLÓGICAS
O objetivo da modelagem digital de elevação é representar uma superfície por meio de estruturas manipuláveis por computador. Esta superfície pode ser dividida em regiões de formas semelhantes, que corretamente adquiridas podem substituir os modelos de grade regular retangular ou os de grade irregular triangular.
O conjunto de formas fornecem as informações morfológicas da superfície e podem ser divididas em regiões côncavas, convexas, planas e de sela. Segundo Falcidieno e Spagnuolo (1991), a modelagem por meio desta descrição simbólica permite gerar um modelo eficiente, que utiliza um espaço de armazenagem menor do que por outros modelos.
Uma região côncava é uma região fechada onde as derivadas parciais de segunda ordem da superfície são sempre positivas. A Figura 5.1 mostra um retalho de uma região côncava.
Fig. 5.1 - Região côncava.
A região convexa é aquela na qual as derivadas parciais de segunda ordem são sempre negativas. A Figura 5.2 mostra o exemplo de uma região convexa.
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Fig. 5.2 - Região convexa.
Em uma região plana, as derivadas parciais de primeira ordem da superfície são nulas e a região de sela é aquela onde as derivadas parciais de segunda ordem são positivas para uma direção e negativas para outra. Na Figura 5.3, a região de sela pode ser identificada entre as duas regiões convexas e a região côncava.
Fig. 5.3 - Superfície com região de sela.
Em cada uma destas regiões podem ser identificados pontos onde as derivadas parciais de primeira ordem em qualquer direção são nulas. Estes pontos são os pontos de máximo e de mínimo locais. Os pontos de máximo ocorrem nas regiões
côncavas e os de mínimo nas convexas. Os pontos de sela estão localizados onde ocorre o encontro de três ou mais regiões, sendo que pelo menos uma das regiões é côncava e uma outra é convexa.
Nestas regiões ainda podem ser identificadas linhas ao longo das quais as derivadas parciais da superfície cruzam o zero. Estas linhas conectam os pontos de máximo, de mínimo e de sela. Quando a região analisada é côncava, estas linhas são as linhas de vale. Quando a região é convexa, a linha é de crista. Quando uma linha de vale se encontra com uma linha de crista, o ponto de encontro é um ponto de sela.
Os elementos aqui definidos são chamados de característicos, porque podem ser utilizados para caracterizar a superfície. Assim existem as regiões características côncavas, convexas e de sela, os pontos característicos de mínimo, de máximo e de sela e as linhas características de crista e de vale.
Uma superfície em geral é contínua em toda a área de interesse. No entanto, podem ocorrer descontinuidades de diferentes ordens. As linhas características podem, para estes casos, estar delimitando a superfície em diferentes regiões contínuas internamente, mas descontínuas em relação a regiões vizinhas. Quando isto ocorre, as linhas características são chamadas de linhas de quebra. Dois tipos de descontinuidades podem ocorrer, a devido a falhas na superfície e a descontinuidade na primeira derivada. Ao longo de uma linha de falha existem dois valores diferentes de z, ou seja, não existe a continuidade C0, como definida no Capítulo 4. A Figura 5.4 mostra uma falha em retalho de superfície.
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Fig. 5.4 - Falha em uma superfície.
O método apresentado nesta dissertação não trata as descontinuidades na superfície devido a falhas.
Na descontinuidade da primeira derivada, a continuidade é apenas
C0 ao longo da linha de quebra. A Figura 5.5 apresenta um retalho de uma superfície, com uma linha de vale delimitando duas regiões, com continuidade C0 ao longo desta linha.
Pode-se notar na Figura 5.5 que as derivadas parciais na direção perpendicular a linha de vale são diferentes para as superfícies em lados diferentes desta linha.
Para os casos onde as linhas de quebra podem ser obtidas, os métodos de ajuste de superfície devem considerar estas linhas, se deseja-se modelar de maneira fiel o terreno.
CAPÍTULO 6
MÉTODO PROPOSTO
O ajuste de superfície considerando as linhas características não pode utilizar diretamente a triangulação de Delaunay, uma vez que o critério de geração não incorpora as restrições das linhas de quebra. Uma vez incorporadas as linhas de quebra, uma segunda fase deve executar o ajuste de superfície, analisando os retalhos triangulares e tratando separadamente os retalhos com arestas sobre uma das linhas de quebra e os sem arestas sobre linhas de quebra.
A seguir são apresentados o método de geração da triangulação de Delaunay modificada, que será chamada de triangulação Quasi-Delaunay e o método de ajuste.
6.1 - TRIANGULAÇÃO QUASI-DELAUNAY
As linhas de quebra representam limites das áreas de continuidade
C1 e são formadas por um conjunto de pontos ligados um a um por segmentos. Assim, cada segmento de uma linha de quebra deve ser uma aresta da triangulação. A triangulação de Delaunay deve ser modificada para inserir os segmentos das linhas de quebra e a triangulação obtida será chamada de Triangulação Quasi-Delaunay.
A maioria dos triângulos da triangulação Quasi-Delaunay respeitam a propriedade do circuncírculo uma vez que apenas os triângulos intersectados pelas linhas de quebra são modificados no processo.
O seguinte procedimento modifica a triangulação de Delaunay considerando as linhas de quebra:
