André Gustavo Campos Pereira
Joaquim Elias de Freitas
Roosewelt Fonseca Soares
Cálculo I
D I S C I P L I N A
Taxa de variação
Autores
aula
Divisão de Serviços Técnicos
Catalogação da publicação na Fonte. UFRN/Biblioteca Central “Zila Mamede”
Governo Federal Presidente da República
Luiz Inácio Lula da Silva
Ministro da Educação
Fernando Haddad
Secretário de Educação a Distância – SEED
Carlos Eduardo Bielschowsky
Universidade Federal do Rio Grande do Norte Reitor
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Secretaria de Educação a Distância- SEDIS Coordenadora da Produção dos Materiais
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Coordenador de Edição
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Projeto Gráfico
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Revisora das Normas da ABNT
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Revisores Técnicos
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Diagramadores
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Adaptação para Módulo Matemático
André Quintiliano Bezerra da Silva Kalinne Rayana Cavalcanti Pereira Thaísa Maria Simplício Lemos
Colaboradora
Viviane Simioli Medeiros Campos
Imagens Utilizadas
Apresentação
N
as aulas 1 (Limite de funções reais em um ponto) e 2 (Funções contínuas), estudamos os conceitos de limite e continuidade de uma função que me respondem perguntas sobre o que está acontecendo com a função em pontos específicos, como, por exemplo, se está havendo saltos ou se está fluindo de modo contínuo. Entretanto, quando estudamos um processo qualquer, gostaríamos de ter idéia do que podemos esperar dele logo após o ponto em que o observamos. Esse tipo de questão começará a ser discutida nesta aula por meio do estudo das taxas de variação tanto média quanto instantânea. Ao final, introduziremos os conceitos e as propriedades da derivada de uma função, discussão que se estenderá por mais algumas aulas.Objetivos
Taxa de variação
O
que vem a sua mente quando alguém fala que a taxa de natalidade no Brasil cresceu? Se cresceu é porque está nascendo mais gente, não é isso? Mas, como se mede isso? Você tem que ter um período de tempo fixo para comparar, por exemplo, um ano. Então, a taxa de natalidade seria expressa em número de nascimento por ano. Se em 2005 tivessem nascido 34.000 pessoas e em 2006 34.001, então, a taxa de natalidade cresceu.Quando alguém diz que a taxa de juros ao mês é de 4%, o que ele está querendo dizer? Isso quer dizer que se você deposita R$ 100,00 no início do mês, ao final você terá R$ 104,00 na sua conta. Por quê?
O juro não é de 4% ao mês? Então, se você aumentasse R$ 100,00, dobraria o seu dinheiro e ganharia 100% do valor investido, não é isso?
Montando uma regra de 3, teremos eais100 juros100 x 4
; resolvendo, teremos que
= reais, ou seja, ganhará R$ 4,00 de juros que, juntamente com os R$ 100,00 investidos, você terá ao final do mês R$ 104,00.
Vemos nesses exemplos que uma taxa é qualquer relação entre uma quantidade de referência (sob a qual você tem algum controle, pode escolher o tamanho, por exemplo: mês, ano etc.) e alguma coisa que depende dessa referência (juros cobrados ao mês, número de nascimentos ao ano etc.).
Na aula 8 (Funções I) de Pré-Cálculo, vimos que uma função f :B
xy=fx) é uma
correspondência que a cada elemento de associa um único elemento de . Ou seja, fica implícito que os elementos , as quais serão escolhidos em , dependerão dos valores do domínio, já que a relação é dada pela função e expressa por y=x). Por esse motivo, muitos livros referem-se aos pontos do domínio como os valores da variável independente (você pode escolher o ponto) e os valores da imagem da como sendo os valores da variável dependente y=x) (depois de escolhido , o valor do é automaticamente determinado).
Então, se você quisesse calcular uma taxa, quem seria a referência, algo que você pode escolher (um ano, um mês) ou algo sob o que você não tem controle, ou seja, uma coisa que depende de outra quantidade para poder se fazer expressar?
Seria mais coerente aquilo sob o qual tem controle (que você pode escolher). Com isso em mente, podemos começar a estudar taxa de variação.
incremento da variável dependente pelo incremento da variável independente, que será o ponto de partida para chegarmos ao conceito de Derivada, fundamental no Cálculo Diferencial. A partir desse conceito, fica fácil definir Velocidade, Aceleração, Densidade de Massa, Lucro Marginal, e muitos outros conceitos usados na Física, na Economia, na Biologia, nas Ciências Sociais, enfim, em todas as áreas do conhecimento científico.
Nesta aula, vamos usar a notação y=x) para representar uma função, em que é a variável independente e é a variável dependente de , como discutido anteriormente. Para representar um valor fixo da variável independente , usamos a notação , e para o valor de x), isto é, y =x).
Um incremento na variável independente será denotado por (lemos delta ) e, diferentemente do que estudamos em limites (veremos mais adiante por que essa permissão não terá problema), poderá ser x 0 ou x 0. Da mesma forma, o valor do conseqüente incremento da variável dependente, que representamos por (lemos delta), no ponto , é calculado do seguinte modo:
y=(x+ x)(x).
Observação 1 - Note que as expressões =+ e =+ podem ser reescritas como = e =. Os incrementos podem ser positivos, negativos ou nulos, dependendo da posição relativa dos pontos inicial (antes do acréscimo) e final (depois do acréscimo). Um incremento é positivo se o valor do ponto final for maior que o valor do ponto inicial, é negativo se o valor do ponto final for menor que o valor do ponto inicial e nulo se o valor do ponto final for igual ao do ponto inicial.
Exemplo 1
Considere a função y=x), sendo x) =x.
Vamos construir uma tabela na qual a variável independente tem o valor fixo = , relacionando os incrementos x=01; x=001; x= 001 e x= 01 com
seus respectivos incrementos na variável dependente.
Vejamos o primeiro caso em que x) =x, = e x=01. Desejamos obter o incremento nessas condições. Como sabemos, é calculado do seguinte modo
y=(x+ x)(x). Portanto,
y=f(1 + (01))f(1) =f(101)f(1), y=f(09)f(1) = (09)1,
y = 0811 =019, y=019.
Resumindo, temos f(x) =x2 x
Atividade 1
Atividade 2
Atividade 3
Calcule o caso em que x= 01. Calcule o caso em que x=001.
Para x= 001,temos
y =f(x+ x)f(x) =f(1 + 001)f(1) y =f(101)f(1) = (101)212,
y= 102011 = 00201.
Resumindo, temos f(x) =x2 x
= 1 x= 001ey= 00201.
Devemos ter chegado ao seguinte resultado.
Tabela 1 -Relaciona incrementos e na função x) =x para = .
-0,1 -0,01 0,01 0,1
-0,19 -0,0199 0,0201 0, 21
Construa outra tabela para a função x) =x na qual a variável independente
Atividade 4
Na Figura 1, a seguir, ilustramos os diferentes valores de obtidos quando utilizamos dois valores distintos de , e o mesmo valor de .
Legenda: ____
____
Figura 1- a) Representação da função y, em = , com = 1, e = 3; b) representação da função y, em = , com = 1, e = 5.
Taxa de variação média
Considerando a função y=x) definimos como taxa de variação média de y entre os valores e + o valor da razão entre a variação da variável dependente y, e a variação da variável independente x, que denotamos por y
.
Portanto, a taxa de variação média de y entre e + é definida como
y x =
(x+ x)(x)
x .
Podemos calcular também a taxa de variação média de y =x) quando x varia entre e ,
x1)x) x1x
;
basta que identifiquemos e + =1.
Vamos tornar esse conceito mais claro utilizando o exemplo 2 a seguir.
Exemplo 2
Vamos calcular a taxa de variação média da mesma função y quando x varia entre = e = . Temos
x1)x) x1x
= 2)1) 21 =
2212 21 =
41 1 = 3.
Outra maneira seria; identificando, temos = e + =1 = 2, ou seja, = 21 = 1 e, portanto,
y
x =
(x+ x)(x)
x =
(1 + 1)(1)
1 =
(2)(1)
1 =
41 1 = 3.
Resumindo, a taxa de variação média da função y quando x varia entre
= e
= é igual a 3, isto é,
x1)x) x1x
= 3.
Exemplo 3
Vamos calcular a taxa de variação média da mesma função y quando x varia entre = e = . Temos
x1)x) x1x
= 3)2) 32 =
3222
1 = 94
Outra maneira seria: identificando, temos = e + =1 = 3, ou seja,
= 32 = 1 e, portanto, y
x =
(x+ x)(x)
x =
(2 + 1)(2)
1 =
(3)(2)
1 =
94 1 = 5.
Observe que a taxa de variação média vai depender dos pontos inicial e final que estamos considerando, pois note que o foi igual a 1 em ambos os casos, mas a taxa de variação média mudou.
Exemplo 4
Vamos calcular a taxa de variação média da função y=snx) quando x varia entre = e x. Temos
f)f0) 0 =
sen)sen0)
=
00
= 0.
Exemplo 5
Vamos calcular a taxa de variação média da função y=snx) quando x varia entre = e x=
. Temos
f
2)f0)
2 0
= sen
2)sen0)
2
= 1 0 2
= 2
.
Você deve estar se perguntando depois desses dois últimos exemplos: “Como a taxa de variação média de uma função pode ser maior em um intervalo pequeno do que num intervalo maior que contém esse intervalo menor”? A resposta é bastante direta! Na taxa de variação média, consideramos apenas valores da função nos pontos dados (final e inicial), e não o comportamento geral da função. É como se apenas aqueles valores fossem levados em consideração.
Atividade 5
Atividade 6
Atividade 7
Usando novamente a mesma função dos exemplos 1 e 2, y , e os cálculos já obtidos, preenchamos as tabelas com mais uma entrada na qual escreveremos as respectivas taxas de variação média.
Mostre que a taxa de variação média da função y quando x varia entre
= e = é igual a 13.
Recalcule as taxas de variação média da atividade anterior usando a equação1. (Eq. 1) Para a função x) =x, temos que a taxa de variação média em um ponto x
y), onde y=x) e y=(x+ x)(x), é dada por
y x =
(x+ x)(x)
x =
(x+ x)2(x)2
x ,
y =
2+ 2+ ()22
Taxa de variação instantânea
Considerando a função y=x), se olharmos para a taxa média entre e + percebemos que a única quantidade passível de alteração é , ou seja, podemos ver
(x) = yx =
f(x+ x)f(x)
x como uma função de .
Definimos como taxa de variação instantânea de y no ponto o valor do limite de
(x) quando tende a zero, que denotamos por
lim
0(x) = lim0
y
x = lim0
f(x0+ x)f(x0)
x
Em termos de notação, lim
0(x) = lim0(x). Ora, mas o último limite
sabemos calcular, caso exista!
Devemos mostrar que o limite tanto à direita quanto à esquerda existem e são iguais. Lembra como se faz?
Tínhamos que tomar positivo e verificar se os valores (0x) e (0 + x) sempre se aproximavam do mesmo valor quando tendia para zero. positivo
(0x) = y
x =
f(xx)f(x)
x foi o que chamamos no início desta aula de acréscimo negativo, e (0 + x) =
y
x =
f(x+ x)f(x)
x era o que estávamos chamando de acréscimo positivo. Por isso, começamos esta aula já aceitando acréscimos positivos e negativos sem muita distinção, pois no cálculo do limite anterior sabemos como proceder sem problemas.
Para ajudar você a entender melhor o que isso significa, vamos começar com um exemplo simples usando a mesma função vista anteriormente a fim de que possamos observar a diferença entre a taxa de variação média e a taxa de variação instantânea.
Exemplo 6
A taxa de variação instantânea da função x) =x no ponto é dada pelo limite
lim
0
y
x = lim0
(x0+ x)(x0)
x = lim0
(x0+ x)2x20
x ,
lim
0
y
= lim0
20+ 20+ ()220
= lim0
20+ ()2
Atividade 8
Atividade 9
1
2
lim
0
y
= lim0
(20+ )
= lim0(20+ ) = 20.
Resumindo, a taxa de variação instantânea da função x) =x num ponto ,
lim 0
y
, é igual a .
Comentário - Observe que a taxa de variação instantânea depende apenas do valor do ponto e não depende do valor de (já que a mesma fizemos ir para zero). Para x) =x e = , temos que a taxa de variação instantânea é 42 = 22 = 4).
Calcule a taxa de variação instantânea da função x) =x no ponto = .
Mostre que a taxa de variação instantânea da função x) =x+x no ponto é 2 1.
Aplicações de taxa de variação
Velocidade
Vamos começar com um exemplo de uma corrida de automóvel em um circuito automobilístico. A letra t representa o tempo, contado a partir da largada, s representa a distância percorrida por um determinado carro participante da corrida. Desse modo, t é a variável independente e s é a variável dependente de t, isto é, =t). Vamos estabelecer
que no instante = a distância percorrida 0) é nula, isto é, 0) = 0. Vamos considerar
também que uma volta completa do circuito tenha 4,5 km e que esse carro completou a
primeira volta em 1 min e 30. Desejamos calcular a taxa de variação média
t do carro
nesta primeira volta. Para facilitar os cálculos, usaremos o tempo da primeira volta na forma 1,5 min, em vez de 1 min e 30. Assim, com essas considerações, podemos escrever:
s t =
s(t+ t)s(t)
t =
s(0 + 15)s(0)
15 =
450
15 = 3.
Observe que podemos escrever a taxa de variação média levando em conta as unidades
de medida st = 45km
15min = 3km/min. Quando a variável independente é o tempo t e a variável dependente é o espaço s, a taxa de variação média é denominada de velocidade média. Assim, para este exemplo, a velocidade média daquele determinado carro na primeira volta foi de 3km /min.
Velocidade média
Quando a variável independente é o tempo, a representamos pela letra t. Usualmente, a variável dependente será denotada por s (t), que representa o espaço percorrido por um objeto até o instante t. Nesse caso, a taxa de variação média é denominada de velocidade média.
Se
t
representa o deslocamento do objeto entre os instantes t e + , isto é, =(t+ t)(t), então, sua velocidade média, que denotamos por , nesse
intervalo de tempo é
v=
t =
(t+ t)(t)
Velocidade média de um corpo em queda livre
Imaginemos um corpo em queda livre, como, por exemplo, um objeto que cai da janela de um prédio. Sabemos por meio da Física que a equação de seu movimento, com velocidadeinicial nula, é dada por st) = 1
2gt = 49t, sendo t) o espaço percorrido pelo objeto em
queda livre até o instante t, considerando a aceleração da gravidade,
g= 9m/seg.
Vamos calcular a velocidade média,
t , entre e + .
t =
(t+ t)(t)
t =
98
2 (t+ t)2 98
2 t2
t ,
t =
98 2
t2
+ 2tt+ (t)2
982 t2
t ,
s
t =
49t2+ 98tt+ 49(t)249t2
t ,
s
t = 98t+ 49t.
Portanto, a velocidade média de um corpo em queda livre entre e + é s
t = 98t+ 49t.
Velocidade instantânea
de um corpo em queda livre
Vamos agora calcular a velocidade instantânea, v), de um corpo em queda livre no instante , que significa o valor limite das velocidades médias entre e + , calculadas no parágrafo anterior, quando tende a zero, 0, isto é,
v(t0) = lim 0
s
t = lim0(98t0+ 49t),
v(t0) = lim
098t0+ lim049t= 98t0+ 0,
vt) = 98t.
Atividade 10
1
2
3
4
5
Considere a função y=x), sendo x) =x+x.
Construa uma tabela na qual a variável independente x tem o valor fixo
= , relacionando os incrementos x=01, x=001, x= 001 e x= 01 com seus respectivos incrementos .
Considerando y =, construa uma tabela na qual a variável independente tem o valor = , relacionando os incrementos x=01, x=001, x= 001 e x= 01 com os
respectivos e as taxas de variação média entre os valores e + .
Calcule a taxa de variação instantânea da função x) =xx no ponto = .
Em uma corrida de automóvel com um total de 62 voltas, realizada em um circuito de rua com 4.500 metros de extensão, o primeiro colocado completou a prova em 1 hora e 30 minutos. Encontre a sua velocidade média em quilômetros por hora.
Resumo
1
2
Vimos que a palavra taxa significa uma relação existente entre duas grandezas, uma sob a qual controle (independente) e outra que depende da primeira (dependente). Dentre as taxas que podemos montar, estudamos as taxas de
variação média entre dois pontos e + , que representamos por
y
, em que representa a variação da variável dependente y, e , a variação da variável independente x. Já a taxa de variação instantânea no ponto é obtida da taxa de variação média entre os pontos e + fazendo tender a zero, ou seja, lim
0 y
x = lim0
(x0+ x)(x0)
x . Vimos que essas taxas recebem nomes como velocidade média e velocidade instantânea quando a função f representa o espaço percorrido e a variável x representa o tempo.
Auto-avaliação
Suponha que a função f represente o valor de suas economias no tempo. Suponha que no tempo 0 você tenha R$ 100,00 e que, depois de 1 ano de retiradas e depósitos, você chegou a R$ 110,00.
a)
Qual a taxa de variação média de suas economias?b)
Para este cálculo, você levou em consideração todas as retiradas e todos os depósitos ao longo do ano?c)
A taxa de variação foi positiva ou negativa?d)
O que isso significa (você tinha mais dinheiro antes ou agora)?Anotações
Referências
ANTON, Howard. Cálculo: um novo horizonte. 6. ed. Porto Alegre: Bookman, 2000. v 1.
SIMMONS, George F. Cálculo: com geometria analítica. São Paulo: McGraw-Hill, 1987. v 1.