EEN300-MÉTODOS MATEMÁTICOS EM ENGENHARIA NAVAL Série No. 1

(1)

EEN300-MÉTODOS MATEMÁTICOS EM ENGENHARIA NAVAL

Série No. 1

1. Construa uma tabela de Taylor e determine o valor dos coeficientes ak (k=-2,-1,0) tal

que a seguinte aproximação para a primeira derivada possua um erro de ordem mais alta possível. Um esquema de diferenças finitas desta forma é chamado de aproximação “one-sided” (ou “biased”). Observando os termos de erro, que conclusão importante você pode tirar de uma comparação de esquema “one-sided”com um esquema centrado?

2. Construa uma tabela de Taylor e determine o valor dos coeficientes ak (k=0,1,2) tal

que a seguinte aproximação para a primeira derivada possua um erro de ordem mais alta possível. Um esquema de diferenças finitas desta forma é chamado de aproximação “one-sided” (ou “biased”). Observando os termos de erro, que conclusão importante você pode tirar de uma comparação de esquema “one-sided”com um esquema centrado?

3. Mostrar que:

e

 

2 x i

i x i x

   



Que operador pontual é representado pela expressão:

Este operador representa uma aproximação de diferenças finitas para qual operador diferencial (justifique a sua resposta) e qual o termo de ordem mais baixa no erro correspondente?

4. Obtenha uma aproximação de diferenças finitas para a primeira derivada na forma mostrada abaixo e determine o erro.





 

?

1 1

1 _bu _cu _O _x

x x

u x

u

a _j _j

j j

   

           

 

 

 

u

x _i a uk i k O x k

 

 



  _ 





 ?

0 2

 

_xx _i   _x _x _i



_{x x}



2u_i

 





 

  

    

 0

2

?

k k i k i

x O u a x

u

(2)

5. A aplicação do operador de segunda derivada à função eikx_{resulta no seguinte:}

ikx ikx

e k x

e 2

2 2

   

Encontre o número de onda modificado k* para a aproximação da segunda derivada centrada de segunda ordem. Plote (k*x) vs (kx) para 0<kx<.

6. Considerando a ODE

onde

a) Determine seus autovalores e autovetores, ou seja, as matrizes [], [X] e [X]-1_. Normalize os autovetores tal que o elemento da linha superior seja unitário. b) Encontre a solução analítica para a ODE acima quando u1(0) =u2(0) =0.

c) Use o esquema numérico de Euler explícito para discretizar a ODE acima e (i) escreva a matriz [C] correspondente; (ii) encontre os autovalores ; (iii) escreva as equações de diferenças no “espaço de onda”.

7. Considerando o seguinte método de marcha-no-tempo:

pergunta-se:

 Qual é sua relação - ?

 Quais as condições que devem ser impostas em 1 e 0 tal que o

método seja de 1a_{ordem de precisão?}

 Idem, para que o método seja de 2a_{ordem de precisão ?}

8. Considerando o seguinte método de marcha-no-tempo:

onde û e u são famílias intermediárias do processo “predictor-corrector”.

 Determine sua relação  - .

 Que valores dos ai ‘s minimizam o erro er ?

 

du

dt A u f



 

 

 

_{ }

 

 

u t u t_{u t} A f

  

 



 





  

  

   1

2

1 2

101 99

99 101

, ,





un1 un1h 21u n 0un1

~

 ~



u u a hu

n n n



 

  

    

1 1

1 2 1

(3)

9. Considere a equação da onda unidimensional

(1)

Re-escreva esta equação como um sistema de 1a_{ordem, denominando}

de forma a obter

(2)

onde

Quais são os autovalores de A? Encontre as matrizes T e T-1_{tal que}_T-1_AT_seja

diagonal. Re-escreva a equação (2) acima em termos das variáveis características, ou seja,

onde W=T-1_U_e__{é diagonal. Quais são as variáveis características em termos de}_u_e_v_?

Para um problema de valor inicial e de contorno em 0 x  l , com condições de contorno desacopladas e c>0, o que deve ser especificado nas fronteiras esquerda e direita em termos de w1 e w2?

10.Considere a seguinte seqüência “predictor-corrector” quando aplicada à equação representativa:

a) Encontre P(E) e Q(E), ou seja, os polinômios característico e particular.

b) Encontre as soluções transiente e particular “exatas” do processo numérico, ou seja, as “soluções numéricas exatas”.

c) Encontre er para este método.

d) No caso =0, ou seja, este seria um problema de estado estacionário, determine er .

  

   2

2 2

2

t c x

u

t v c x

 _ ,  _

 

U t A

U x

 0

U u_v e A _c c

  

 

   

 

0 0

 

W t

W

x W

w w

  

   

 0 1

2

,

  

  

 



1 1

1

~ ~

n n n

u h u u

(4)

11.Considere o seguinte método de marcha no tempo:

2 / 1 1

3 / 1 2

/ 1

3 / 1

~ 2 3 ~

 



  

n n n

u h u u

Encontre as equações de diferenças finitas ao aplicar este método à equação representativa. Encontre a relação -. Encontre a solução da equação de diferenças finitas incluindo a solução transiente e a solução particular. Encontre os erros da solução transiente e particular. Qual a ordem da solução homogênea? Qual a ordem da solução particular? Encontre a solução particular se o termo forçante é fixo.

12.Considere o sistema de equações diferenciais ordinárias abaixo:

f u A dt

u

d _ 

  onde

    

      

 

 

  

 

 

   

0 0 1

1 1

10

1 1 1

1, 0 1, 0 10

f

A 

 Encontre os autovalores de A. Qual é a solução do estado estacionário? Qual é o comportamento da solução do sistema de equações diferenciais ordinárias no tempo para a condição inicial (1, 1, 1)T_?

 Usando as relações - dos métodos de Euler explícito, Euler implícito e MacCormack, encontre os limites de estabilidade em h.

13.Considere a seguinte equação diferencial parcial:

2 2

x u i t u

    

onde i=(-1)1/2_{. Qual método explícito de marcha no tempo seria apropriado para}

integrar esta PDE, se a derivada espacial é aproximada por uma diferença centrada de segunda ordem e as condições de contorno são periódicas? Encontre a condição de estabilidade para o método escolhido.

(5)

15.Faça um estudo das raízes  dos métodos Euler Explícito e Runge-Kutta de segunda ordem aplicados à equação de convecção.

a. Faça uma tabela de valores numéricos das raízes  do método de Euler explícito para =i. Assuma valores de h em intervalos de 0,05 de 0,0 até 0,80 e calcule os valores absolutos das raízes.

b. Plotar as raízes  no plano complexo e plote também o círculo de raio unitário.

c. Repita o mesmo para o método de Runge-Kutta de segunda ordem.

16.Escreva o sistema de equações diferenciais ordinárias obtido ao aproximarmos a segunda derivada espacial da equação da difusão por uma diferença centrada de segunda ordem e as condições de contorno periódicas. Obtenha os autovalores da matriz do sistema. Dado que a relação - para o método de Adams-Bashforth de segunda ordem é



1 3 /2



/2 0

2 _ _ __h _ ___h _



mostre que o máximo valor estável de |h| para  real negativo, isto é o ponto onde o contorno de estabilidade intercepta o eixo real negativo, é obtido para h=-1. Usando os autovalores da matriz do sistema, encontre o máximo passo de tempo estável para a combinação do método de Adams-Bashforth de segunda ordem com a aproximação centrada de segunda ordem para a derivada espacial da equação da difusão. Repita usando a análise de Fourier.

17. Construa uma tabela de Taylor e determine os valores ótimos dos parâmetros a1,

b0, b1,b2 e o erro et resultante da seguinte aproximação. Como são chamados estes

esquemas que utilizam também a derivada em pontos vizinhos para escrever a aproximação de diferenças finitas? Escreva a forma deste operador de diferenças finitas utilizando a notação de matrizes de banda discutidas em sala. Assumindo que se deseja utilizar este esquema para aproximar o termo de derivada espacial da equação modelo de convecção (com c<0), e que o problema físico possui condições de Dirichlet especificadas na fronteira direita, discutir quais as possibilidades para implementação das condições de contorno numéricas exigidas pelo esquema, e como isto modifica a matriz de banda que você obteve acima.

18. Obtenha uma aproximação de diferenças finitas de terceira ordem para a primeira derivada na forma mostrada abaixo. Encontre o erro.





 

?

1 1

2

1 _au _bu _cu _du _O _x

x x

u

j j j

j j

  

 

      

 







 

?

2 2 1 1 0 1

1 _xu 1_x bu bu bu O x

a x u

i i

i

  

 

             

 



  

(6)





 

?

1 1

1

1 _bu _cu _du _O _x

x x

u x

u

a j j j

j j

  

 

           

 







 

?

1 1

1 _bu _cu _O _x

x x

u x

u

a j j

j j

   

           

 

21. Derive uma aproximação de diferenças finitas para a terceira derivada na forma abaixo e obtenha o erro.





 

?

2 1

1 2

3 3

3 ₁

x O eu

du cu bu

au x x

u

j j

  

  

      

 

 

22. O método trapezoidal é utilizado para resolver a equação representativa.

a) Encontre P(E) e Q(E), ou seja, os polinômios característico e particular.

b) Encontre as soluções transiente e particular “exatas” do processo numérico, ou seja, as “soluções numéricas exatas”.

c) Encontre er para este método.

d) No caso =0, ou seja, este seria um problema de estado estacionário, determine er .

23. O método backward differentiation é dado por:



1 1



1 ₃1 4  2 

  n  n  n

n u u hu

u

 Escreva a equação de diferenças finitas para a equação representativa. Obtenha os polinômios P(E) e Q(E).

 Obtenha a relação -. Resolva para  e identifique as raizes principal e espúrias.

(7)

24. Considere o seguinte método de marcha no tempo:



₁ ₁



1

1  2₃  

  n  n  n  n

n u h u u u

u

 Escreva a equação de diferenças finitas para a equação representativa. Obtenha os polinômios P(E) e Q(E).

 Obtenha a relação -.

 Obtenha os dois primeiros termos da expansão em série de Taylor das raízes.

 Encontre o erro da solução transiente.

25. Encontre a equação de diferenças finitas ao aplicar o método predictor-corrector de Gazdag para resolver a equação representativa. Obtenha a relação -. Obtenha os dois primeiros termos da expansão em série de Taylor das raízes.







₁



1

1 1

~ ~ 2

3 2 ~

 

 

    

    

n n n

n

n n n

n

u u h u u

26. Encontre a equação de diferenças finitas ao aplicar o método predictor-corrector de Adams-Moulton para resolver a equação representativa. Obtenha a relação -. Obtenha os dois primeiros termos da expansão em série de Taylor das raízes.







₁ ₁



1

1 1

8 ~ 5 12

1 3 2 1 ~

 



 

     



   



n n n

n n

n n n

n

u u u

h u

u

(8)

FORMULÁRIO

 

4 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 3 3 3 2 2 2 4 3 3 3 2 2 2 4 3 3 3 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 1 3 3 3 2 2 2 1 12 8 8 2 2 ! 3 4 ! 2 4 4 ! 3 4 ! 2 4 4 ! 3 2 ! 2 2 2 ! 3 2 ! 2 2 2 ! 3 ! 2 ! 3 ! 2 x O x u u u u x u x O x u u x u x O x u u u x u x u x x u x x u x u u x u x x u x x u x u u x u x x u x x u x u u x u x x u x x u x u u x u x x u x x u x u u x u x x u x x u x u u i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i                                                                                                                                 

 



 



 2 cos 1 cos 2 2 cos 1 sin 2 sin cos 2 2        _i e i







    2    3

! 3 ) 2 )( 1 ( ! 2 ) 1 ( 1

1 x n nx n n x n n n x

1    e h  er       ! 3 ! 2

1 h 2h2 3h3

eh _  





_         1 exata num SP SP h

er_  

(9)

(Euler Explícito)

(Leap-frog)

(Runge-Kutta de segunda oredem)

(Trapezoidal ou Crank – Nicholson)

(MacCormack)

ordem) terceira

de Kutta -Runge de (Método !

3 ! 2 1

Explícito) Euler

de (Método 1

ordem) segunda

de Kutta -Runge de

(Método !

2 1

3 3 2 2

2 2

h h

 

 

  

 

 

  

(Equação representative)

 

2 x

x x

x x xx

   

  

 

f X X e x C t

u m

i

t i i i

 

 ₁ ₁

1 )

(  



 







n n

n

u

h

u

_₁







n n

n

u

h

u

_₁



_₁



2 

     

    

   



 



2 / 1 1

2 / 1

~ 2 1 ~

n n

n

n n

n

dt u d h u u

dt du h u

u

t

ae

u

dt

du

_

_

_





_n _n



n

u

h

u

_₁







_₁





2

1 

1 1



1 1

~

2

1 ~

 













n n

n n n

u

h

u

(10)

TABELA: Derivadas, Integrais

e Identidades Trigonom´

etricas

•

Derivadas

Sejam u e v fun¸c˜oes deriv´aveis de x e n con-stante.

1. y =un _⇒y′ = n un−1u′. 2. y =uv _⇒y′ =u′v+v′u. 3. y = u

v ⇒y′ =

u′_v₋_v′_u

v2 .

4. y =au _⇒y′ =au(lna)u′, (a >0, a₆= 1). 5. y =eu _⇒y′ =euu′.

6. y = log_au _⇒y′ = u′

u logae.

7. y = lnu _⇒y′ = 1_uu′.

8. y =uv _⇒y′ =v uv−1 u′+uv(lnu)v′. 9. y = senu _⇒y′ =u′cos u.

10. y= cos u _⇒y′ =₋u′senu. 11. y= tgu _⇒y′ =u′sec2u. 12. y= cotgu _⇒y′ =₋u′cosec2u. 13. y= sec u _⇒y′ =u′sec utgu.

14. y= cosecu _⇒y′ =₋u′cosecucotgu. 15. y=arcsenu _⇒y′ = √u′

1−u2.

16. y=arc cos u _⇒y′ = −u′

√

1−u2.

17. y=arctgu _⇒y′ = u′ 1+u2.

18. y=arc cotg u _⇒ ₁₊−u_u′2.

19. y=arc sec u, _|u_|>1

⇒y′ = u′

|u|√u2₋₁,|u|>1.

20. y=arccosecu,_|u_|>1

⇒y′ = −u′

|u|√u2₋₁,|u|>1.

•

Identidades Trigonom´

etricas

1. sen2_x_{+ cos}2_x_{= 1.} 2. 1 + tg2x= sec2x. 3. 1 + cotg2x= cosec2x. 4. sen2_x₌ 1−cos 2x

2 .

5. cos2x= 1+cos 2₂ x. 6. sen 2x= 2 senx cos x.

7. 2 senx cos y= sen (x₋y) +sen(x+y). 8. 2 senxseny= cos (x₋y)₋cos (x+y). 9. 2 cos x cos y= cos (x₋y) + cos (x+y). 10. 1_±senx= 1_±cos¡_π

2 −x

¢

.

•

Integrais

1. R

du=u+c. 2. R

undu= u_nn₊₁+1 +c, n₆=₋1. 3. R _du

u = ln|u|+c.

4. R

audu= au

lna +c, a >0, a6= 1.

5. R

eudu=eu+c. 6. R

senu du=₋cos u+c. 7. R

cos u du= senu+c. 8. R

tgu du= ln_|sec u_|+c. 9. R

cotgu du= ln_|senu_|+c. 10. R

sec u du= ln_|sec u+ tgu_|+c. 11. R

cosecu du= ln_|cosecu₋cotgu_|+c. 12. R

sec utgu du= sec u+c. 13. R

cosecucotgu du=₋cosecu+c. 14. R

sec2_{u du}_{= tg}_u₊_c_. 15. R

cosec2u du=₋cotgu+c. 16. R _du

u2₊_a2 = 1_aarctgu_a+c.

17. R _du

u2₋_a2 =₂1_aln

¯ ¯ ¯

u₋a u+a

¯ ¯ ¯+c, u

2_{> a}2_.

18. R _du

√

u2₊_a2 = ln

¯ ¯ ¯u+

√

u2+a2

¯ ¯ ¯+c.

19. R _du

√

u2

−a2 = ln

¯ ¯ ¯u+

√

u2₋_a2¯¯ ¯+c.

20. R _du

√

a2

−u2 =arcsen u

a+c, u2< a2.

21. R _du

u√u2₋_a2 =

1

aarc sec

¯ ¯u_a

¯ ¯+c.

•

F´

ormulas de Recorrˆ

encia

1.R

sennau du=₋senn₋1_au _cos_au an

+¡_n₋₁

n

¢ R

senn−2_{au du.}

2. R

cosn_{au du}₌ sen au cosn₋1_au an

+¡_n₋₁

n

¢ R

cosn−2_{au du.}

3. R

tgnau du= tg_a₍n_n−₋1₁₎au₋R

tgn−2au du.

4. R

cotgnau du=₋cotg_a₍_nn₋−₁₎1au₋R

cotgn−2au du.

5. R

secn_{au du}₌ secn₋2_{au tg au} a(n₋1)

+³n_n−₋2₁´R

secn−2_{au du.}

6. R

cosecnau du=₋cosecn_a−₍2_nau cotg au₋₁₎ +³n−2

n−1

´ R