EEN300-MÉTODOS MATEMÁTICOS EM ENGENHARIA NAVAL Série No. 2

EEN300-MÉTODOS MATEMÁTICOS EM ENGENHARIA NAVAL

Série No. 2

1. Faça uma análise de estabilidade linear de von Neumann no esquema centrado e explícito mostrado abaixo utilizado para resolver a equação da onda em uma dimensão e determine o intervalo do número de CFL para a estabilidade deste esquema.

(

)

2

1 1 1

n j n j n

j n j

u u CFL u

u + = − ⋅ + − −

2. Faça uma análise de estabilidade linear de von Neumann no esquema centrado e implícito mostrado abaixo utilizado para resolver a equação da onda em uma dimensão e determine o intervalo do número de CFL para a estabilidade deste esquema.

(

)

2

1 1 1 1 1

+ − + +

+ _{= − ⋅} −

n j n j n

j n j

u u CFL u

u

3. Faça uma análise de estabilidade linear de von Neumann no esquema upwind e explícito mostrado abaixo utilizado para resolver a equação da onda em uma dimensão e determine o intervalo do número de CFL para a estabilidade deste esquema.

(

n

)

j n j n

j n

j u CFL u u

u 1

1

−

+ _{= − ⋅ −}

4. Faça uma análise de estabilidade linear de von Neumann no esquema upwind e implícito mostrado abaixo utilizado para resolver a equação da onda em uma dimensão e determine o intervalo do número de CFL para a estabilidade deste esquema.

(

1

)

1 1

1 +

− +

+ _{= − ⋅ −} n

j n j n

j n

j u CFL u u

u

5. O método de Lax-Wendroff utilizado para a solução numérica da equação da convecção linear é mostrado abaixo. Usando a análise de estabilidade de Fourier, encontre o intervalo de CFL=|ah/

∆

x| (conhecido como número de Courant) para a qual o método é estável.

(

)

(

n

)

j n j n

j n

j n j n

j n

j u u u

x ah u

u x ah u

u _{1 1}

2

1 1 1

2 2

1 2

1

− +

− +

+ _{ − +}

    

∆ + − ∆

− =

6. Faça uma análise de estabilidade linear de von Neumann no esquema explícito mostrado abaixo utilizado para resolver a equação de difusão em uma dimensão e determine o intervalo do número de CFL para a estabilidade deste esquema.

(

n

)

j n j n j n

j n

j u CFL u u u

u 1 _{1 2 1}

− +

7. Faça uma análise de estabilidade linear de von Neumann no esquema SOR mostrado abaixo utilizado para obter a solução do estado estacionário da equação da difusão em uma dimensão. Determine o intervalo do fator de relaxação ω para a estabilidade deste esquema.

8. Resolver numericamente o problema da difusão de calor ao longo de um fio de cobre (υ=1.14 cm2/s) de comprimento unitário representado matematicamente pela equação abaixo. Obtenha os valores da temperatura nos nós da malha computacional mostrada abaixo utilizando o método de Euler explícito para a integração no tempo com CFL=0,4. Faça uma tabela para apresentar os seus resultados.

9. Resolver numericamente o problema da difusão de calor ao longo de um fio de cobre (υ=1.14 cm2/s) de comprimento unitário representado matematicamente pela equação abaixo. Obtenha a solução do estado estacionário utilizando o método Gauss-Seidel.

K x

T

m K x

T

K t

x T

x T t

T

t x

200 ) 0 , (

/ 100

200 ) , 0 (

) , 1 (

2 2

= =    ∂ ∂

= = ∂

∂ = ∂ ∂

= ν

   

 

+ + − − ∆

− =

   



 + ₋

  

 

  

 

∆ − −

n j n

j n

j x n

j n

j x

x E

1 2

1 2 1 1

2 / 2 1

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

ω

K x

T

K t

T

K t

T

x T t

T

200 ) 0 , (

200 ) , 1 (

300 ) , 0 (

2 2

= =

=∂ ∂ = ∂

∂ _ν

   

 

+ + − − ∆

− =

   



 _{+ −} 

 

 

  

 

∆ − −

n j n j n

j x n

j n

j x

x E

1 2

1 2

1 1

2 2 1

ϕ ϕ ϕ

10. Resolver numericamente o problema da difusão de calor ao longo de um fio de cobre (υ=1.14 cm2

/s) de comprimento unitário representado matematicamente pela equação abaixo. Obtenha a solução do estado estacionário utilizando o método SOR.

11. Resolver numericamente o problema da difusão de calor ao longo de um fio de cobre (υ=1.14 cm2

/s) de comprimento unitário representado matematicamente pela equação abaixo. Obtenha a solução do estado estacionário utilizando o método SOR.

13. Dado o problema da difusão de calor ao longo de um fio de cobre (υ=1.14 cm2/s) de comprimento unitário representado matematicamente pela equação abaixo, obtenha a solução do estado estacionário utilizando o método dos elementos finitos (método do resíduo ponderado). Utilize o método de Galerkin e a função chapéu como função base. Discretize o domínio físico em dois elementos iguais de comprimento 1/2, como na figura.

14. Dado o problema da difusão de calor ao longo de um fio de cobre (υ=1.14 cm2/s) de comprimento unitário, representado matematicamente pela equação abaixo, obtenha o sistema de equações algébricas para a obtenção da solução utilizando o método dos elementos finitos (método do resíduo ponderado). Utilize o método de Galerkin, a função chapéu como função base e o método de Euler para a integração no tempo. Discretize o domínio físico em dois elementos iguais de comprimento 1/2, como na figura.

15.Dado o problema da convecção linear e unidimensional, representado matematicamente pela equação abaixo num domínio unitário, obtenha o sistema de equações algébricas para a obtenção da solução utilizando o método dos elementos finitos (método do resíduo ponderado). Utilize o método de Petrov-Galerkin, a função chapéu como função base e o método de Euler Implícito para a integração no tempo. Discretize o domínio físico em dois elementos iguais de comprimento 1/2, como na figura.

K x

T

m K t

x T

K t

T

x T t

T

200 ) 0 , (

/ 100 ) , 1 (

200 ) , 0 (

2 2

= = ∂

∂

=∂ ∂ = ∂

∂ _ν

K x

T

K t

T

K t

T

x T t

T

200 ) 0 , (

200 ) , 1 (

300 ) , 0 (

2 2

= =

=∂ ∂ = ∂

∂ _ν

0 ) 0 , (

) , 0 (

0

0

= =

= ∂ ∂ + ∂ ∂

x u

u t u

16.Obtenha o esquema numérico para resolver a equação de Blasius utilizando o método Trapezoidal para a integração.

0 2

1 = ′′ + ′′′ ff f

17. Dado o seguinte conjunto de equações

encontre as relações recursivas que convertem o sistema acima no seguinte sistema

Embora os sistemas acima tenham sido escritos com 6 equações, obtenha as relações para um número qualquer de equações. A seguir, interprete como o algoritmo que você acaba de criar pode ser usado para a solução de sistemas.

18. Dado o problema da difusão de calor ao longo de um fio de cobre (υ=1.14 cm2/s) de comprimento unitário representado matematicamente pela equação abaixo, obtenha a solução do estado estacionário utilizando o método dos elementos finitos (método do resíduo ponderado). Utilize o método de Galerkin e a função chapéu como função base. Discretize o domínio físico em três elementos iguais de comprimento 1/3, como na figura.

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 1

1 1

2 2

3 3

4 4

5 1

2

3

4

5

6

x z x z

x z

x z x

u y y y y y y



       



       

=



   

   



   

   

r

b c d

a b c d

a b c d

a b c d

a b c

a b

u f f f f f f

1 2 3

1 2 3 4

2 3 4 5

3 4 5 6

4 5 6

5 6 1

2

3

4

5

6

0 0 0

0 0

0 0

0 0

0 0 0

0 0 0 0



       



       

=



   

   



   

   

r

K x

T

K t

T

K t

T

x T t

T

200 ) 0 , (

200 ) , 1 (

300 ) , 0 (

2 2

= =

= ∂ ∂ = ∂

19. Dado o problema da difusão de calor ao longo de um fio de cobre (υ=1.14 cm2/s) de comprimento unitário representado matematicamente pela equação abaixo, obtenha a solução do estado estacionário utilizando o método dos elementos finitos (método do resíduo ponderado). Utilize o método de Galerkin e a função chapéu como função base. Discretize o domínio físico em três elementos iguais de comprimento 1/3, como na figura.

20. Dado o problema da difusão de calor ao longo de um fio de cobre (υ=1.14 cm2/s) de comprimento unitário, representado matematicamente pela equação abaixo, obtenha o sistema de equações algébricas para a obtenção da solução utilizando o método dos elementos finitos (método do resíduo ponderado). Utilize o método de Galerkin, a função chapéu como função base e o método de Euler implícito para a integração no tempo. Discretize o domínio físico em três elementos iguais de comprimento 1/3, como na figura.

K x

T

K t

T

m K t

x T

x T t

T

200 ) 0 , (

200 ) , 1 (

/ 100 )

, 0 (

2 2

= =

− = ∂

∂ ∂

∂ = ∂

∂ _ν

K x

T

K t

T

K t

T

x T t

T

200 ) 0 , (

200 ) , 1 (

300 ) , 0 (

2 2

= =

=∂ ∂ = ∂

21. Dado o problema da difusão de calor ao longo de um fio de cobre (υ=1.14 cm2/s) de comprimento unitário, representado matematicamente pela equação abaixo, obtenha o sistema de equações algébricas para a obtenção da solução utilizando o método dos elementos finitos (método do resíduo ponderado). Utilize o método de Galerkin, a função chapéu como função base e o método Trapezoidal para a integração no tempo. Discretize o domínio físico em três elementos iguais de comprimento 1/3, como na figura.

22. Dado o problema da difusão de calor ao longo de um fio de cobre (υ=1.14 cm2/s) de comprimento unitário, representado matematicamente pela equação abaixo, obtenha o sistema de equações algébricas para a obtenção da solução utilizando o método dos elementos finitos (método do resíduo ponderado). Utilize o método de Galerkin, a função chapéu como função base e o método de Euler implícito para a integração no tempo. Discretize o domínio físico em três elementos iguais de comprimento 1/3, como na figura.

K x

T

K t

T

K t

T

x T t

T

200 ) 0 , (

200 ) , 1 (

300 ) , 0 (

2 2

= =

=∂ ∂ = ∂

∂ _ν

K x

T

K t

T

m K t

x T

x T t

T

200 ) 0 , (

200 ) , 1 (

/ 100 )

, 0 (

2 2

= =

− = ∂

∂ ∂

∂ = ∂

23. Dado o problema da difusão de calor ao longo de um fio de cobre (υ=1.14 cm2/s) de comprimento unitário, representado matematicamente pela equação abaixo, obtenha o sistema de equações algébricas para a obtenção da solução utilizando o método dos elementos finitos (método do resíduo ponderado). Utilize o método de Galerkin, a função chapéu como função base e o método Trapezoidal para a integração no tempo. Discretize o domínio físico em três elementos iguais de comprimento 1/3, como na figura.

24.Dado o problema da convecção linear e unidimensional, representado matematicamente pela equação abaixo num domínio unitário, obtenha o sistema de equações algébricas para a obtenção da solução utilizando o método dos elementos finitos (método do resíduo ponderado). Utilize o método de Petrov-Galerkin, a função chapéu como função base e o método de Euler Implícito para a integração no tempo. Discretize o domínio físico em três elementos iguais de comprimento 1/3, como na figura.

K x

T

K t

T

m K t

x T

x T t

T

200 ) 0 , (

200 ) , 1 (

/ 100 )

, 0 (

2 2

= =

− = ∂

∂ ∂

∂ = ∂

∂ _ν

( )

0 ) 0 , (

sin 100 ) , 0 (

0 2

= =

= ∂ ∂ + ∂ ∂

x u

t t

u

x u t

25.Dado o problema da convecção linear e unidimensional, representado matematicamente pela equação abaixo num domínio unitário, obtenha o sistema de equações algébricas para a obtenção da solução utilizando o método dos elementos finitos (método do resíduo ponderado). Utilize o método de Petrov-Galerkin, a função chapéu como função base e o método trapezoidal para a integração no tempo. Discretize o domínio físico em três elementos iguais de comprimento 1/3, como na figura.

26.Dado o problema unidimensional da difusão – convecção, representado matematicamente pela equação abaixo num domínio unitário, obtenha o sistema de equações algébricas para a obtenção da solução utilizando o método dos elementos finitos (método do resíduo ponderado). Utilize o método de Petrov-Galerkin, a função chapéu como função base e o método de Euler Implícito para a integração no tempo. Discretize o domínio físico em dois elementos iguais de comprimento 1/2, como na figura.

( )

0 ) 0 , (

sin 100 ) , 0 (

0 2

= =

= ∂ ∂ + ∂ ∂

x u

t t

u

x u t

u

( )

0 ) 0 , (

sin 100 ) , 0 (

2

2 2

=

= ∂

∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂

x u

t t

u

x u x

27.Dado o problema unidimensional da difusão – convecção, representado matematicamente pela equação abaixo num domínio unitário, obtenha o sistema de equações algébricas para a obtenção da solução utilizando o método dos elementos finitos (método do resíduo ponderado). Utilize o método de Petrov-Galerkin, a função chapéu como função base e o método Trapezoidal para a integração no tempo. Discretize o domínio físico em dois elementos iguais de comprimento 1/2, como na figura.

28. Dado o problema da difusão – convecção, representado matematicamente pela equação abaixo, obtenha a solução do estado estacionário utilizando o método dos elementos finitos (método do resíduo ponderado). Utilize o método de Galerkin e a função chapéu como função base. Discretize o domínio físico em dois elementos iguais de comprimento 1/2, como na figura.

( )

0 ) 0 , (

sin 100 ) , 0 (

2

2 2

=

= ∂

∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂

x u

t t

u

x u x

u t u

K x

T

K t

T

x T x

T t

T

200 ) 0 , (

300 ) , 0 (

2 ₂

2

=

= ∂

FORMULÁRIO

(Euler Explícito)

(Euler Implícito)

(Trapezoidal)

( )

( )

( )

( )

( )

θ

( )

θ

θ

θ

θ

θ

θ

2

cos

1

cos

2

2

cos

1

sin

2

sin

cos

2 2

+

=

−

=

±

=

±

i

e

i

n n

n

u

h

u

u

₊₁

=

+

′

1

1 +

+

=

n

+

′

n

n

u

h

u

u

iby iax t n

k

j

e

e

e

λ

φ

,

=

y

k

y

x

j

x

t

n

t

∆

=

∆

=

∆

=

_{( )}

t t t

e

e

G

_λ

λ +∆

=

(

x p

)

dx i N

x

R( ) i( ) i 0, 1,2, ,

1

0

K

= =

+



φ

) ( ˆ )

(x Lu x

R =

( )



=

= N

j

j

j t x

U x

u

1

) ( )

(

ˆ

φ

     

≤ ≤ −

−

≤ ≤ −

− =

+ +

+

− − −

1 1

1

1 1 1

i i

i i

i

i i

i i

i i

x x x x x

x x

x x x x x

x x

φ





= −1

0 1

0 1

0

vdu uv

udv

(

1

)

1

2

+

+

=

n

+

′

n

+

n

′

n

u

u

h

u

u

dx d x c

p i

i

φ

TABELA: Derivadas, Integrais

e Identidades Trigonom´

etricas

•

Derivadas

Sejam u e v fun¸c˜oes deriv´aveis de x e n con-stante.

1. y =un _⇒y′ = n un−1u′. 2. y =uv _⇒y′ =u′v+v′u. 3. y = u

v ⇒y′ =

u′_v−v′_u

v2 .

4. y =au _⇒y′ =au(lna)u′, (a >0, a₆= 1). 5. y =eu _⇒y′ =euu′.

6. y = log_au _⇒y′ = u′

u logae.

7. y = lnu _⇒y′ = 1_uu′.

8. y =uv _⇒y′ =v uv−1 u′+uv(lnu)v′. 9. y = senu _⇒y′ =u′cos u.

10. y= cos u _⇒y′ =₋u′senu. 11. y= tgu _⇒y′ =u′sec2u. 12. y= cotgu _⇒y′ =₋u′cosec2u. 13. y= sec u _⇒y′ =u′sec utgu.

14. y= cosecu _⇒y′ =₋u′cosecucotgu. 15. y=arcsenu _⇒y′ = √u′

1−u2.

16. y=arc cos u _⇒y′ = −u′

√

1−u2.

17. y=arctgu _⇒y′ = u′

1+u2.

18. y=arc cotg u _{⇒ 1+}−u_u′2.

19. y=arc sec u, _|u_|>1

⇒y′ = u′

|u|√u2₋₁,|u|>1.

20. y=arccosecu,_|u_|>1

⇒y′ = −u′

|u|√u2₋₁,|u|>1.

•

Identidades Trigonom´

etricas

1. sen2_{x+ cos}2_{x= 1.} 2. 1 + tg2x= sec2x. 3. 1 + cotg2x= cosec2x. 4. sen2_x= 1−cos 2x

2 .

5. cos2x= 1+cos 2₂ x. 6. sen 2x= 2 senx cos x.

7. 2 senx cos y= sen (x₋y) +sen(x+y). 8. 2 senxseny= cos (x₋y)₋cos (x+y). 9. 2 cos x cos y= cos (x₋y) + cos (x+y). 10. 1_±senx= 1_±cos¡_π

2 −x

¢ .

•

Integrais

1. R

du=u+c. 2. R

undu= u_nn₊₁+1 +c, n₆=₋1. 3. R _du

u = ln|u|+c.

4. R

audu= au

lna +c, a >0, a6= 1.

5. R

eudu=eu+c. 6. R

senu du=₋cos u+c. 7. R

cos u du= senu+c. 8. R

tgu du= ln_|sec u_|+c. 9. R

cotgu du= ln_|senu_|+c. 10. R

sec u du= ln_|sec u+ tgu_|+c. 11. R

cosecu du= ln_|cosecu₋cotgu_|+c. 12. R

sec utgu du= sec u+c. 13. R

cosecucotgu du=₋cosecu+c. 14. R

sec2_{u du= tgu+c.} 15. R

cosec2u du=₋cotgu+c. 16. R _du

u2_+a2 = 1_aarctgu_a+c.

17. R _du

u2_−a2 =₂1_aln

¯ ¯ ¯

u₋a u+a

¯ ¯ ¯+c, u

2_{> a}2_.

18. R _du

√

u2_+a2 = ln

¯ ¯ ¯u+

√ u2+a2

¯ ¯ ¯+c. 19. R _du

√ u2

−a2 = ln

¯ ¯ ¯u+

√

u2_−a2¯¯ ¯+c. 20. R _du

√ a2

−u2 =arcsen

u

a+c, u2< a2.

21. R _du

u√u2_−a2 =

1

aarc sec

¯ ¯u_a

¯ ¯+c.

•

F´

ormulas de Recorrˆ

encia

1.R

sennau du=₋senn₋1_{au cosau}

an

+¡_n−1

n

¢ R

senn−2_{au du.}

2. R

cosn_{au du=} sen au cosn₋1_au

an

+¡_n−1

n

¢ R

cosn−2_{au du.}

3. R

tgnau du= tg_a(n_n−₋1₁₎au₋R

tgn−2au du.

4. R

cotgnau du=₋cotg_a(nn₋−₁₎1au₋R

cotgn−2au du.

5. R

secn_{au du=} secn₋2_{au tg au}

a(n₋1) +³n_n−₋2₁´R

secn−2_{au du.}

6. R

cosecnau du=₋cosecn_a−₍2_nau cotg au₋₁₎ +³n−2

n−1 ´

R