Algoritmos evolutivos multiobjectivo para afectação de recursos e sua aplicação à geração de horários em universidades

Luís Filipe dos Santos Coelho Paquete

Algoritmos Evolutivos Multiobjectivo para

Afectação de Recursos e sua Aplicação à

Geração de Horários em Universidades

Dissertação realizada sob a orientação do Prof. Doutor Carlos Manuel Mira da Fonseca,

para a obtenção do grau de Mestre em Engenharia de Sistemas e Computação.

Faculdade de Ciências e Tecnologia

UNIVERSIDADE DO ALGARVE

DECLARAÇÃO DE ORIGINALIDADE

Em cumprimento do disposto na alínea b) do artigo 5º do Decreto-Lei nº 216/92 de 13 de

Outubro, Luís Filipe dos Santos Coelho Paquete declara que todo o trabalho efectuado

desenvolvido na presente dissertação é de sua autoria.

Mestrando

__________________________________________

(Luís Filipe dos Santos Coelho Paquete)

Supervisor

__________________________________________

(Carlos Manuel Mira da Fonseca)

AGRADECIMENTOS

A realização desta dissertação contou com o apoio de um conjunto de pessoas às quais

quero prestar os meus agradecimentos.

Ao Prof. Doutor Carlos Fonseca pela orientação, estímulo e empenho pessoal que

manifestou durante a realização deste trabalho.

Ao Prof. Doutor Efigénio Rebelo, presidente do Conselho Directivo da Faculdade de

Economia por me ter permitido conciliar o meu trabalho como funcionário da Faculdade

com a minha actividade de estudante.

Ao Prof. Doutor António Branco, presidente do Conselho Directivo da Faculdade de

Ciências Humanas e Sociais, por me ter facultado os dados sobre a Faculdade.

À Doutora Vivianne Grunert da Fonseca pelo apoio prestado na avaliação estatística de

desempenho dos algoritmos multiobjectivo.

Ao Prof. Doutor Fernando Lobo pela troca de ideias sobre o operador de recombinação.

Ao Dr. Sérgio Baltazar e Dr. Luís Sousa por me terem elucidado sobre o funcionamento

da base de dados de horários na Universidade do Algarve.

Ao Tony, Renato, João e David por terem assegurado o bom funcionamento do Centro de

Informática da Faculdade de Economia quando não me era possível estar presente.

Aos amigos Sérgio, Fernando, João e Paulo por me terem incentivado a continuar com

este projecto.

Um obrigado muito especial aos meus pais e à Maria Celeste por todo o importante apoio

emocional que me deram durante a parte lectiva do Mestrado e dissertação.

RESUMO

Esta dissertação tem por objectivo aplicar algoritmos evolutivos multiobjectivo a

problemas de afectação de recursos, particulamente a problemas de geração de horários

de exames e problemas de geração de horários de aulas em Universidades. Estes

problemas são normalmente caracterizados pela existência de múltiplos objectivos

conflituosos. Neste sentido, uma formalização multiobjectivo para estes problemas é

apresentada, com base no conceito de metas e prioridades.

Vários aspectos dos algoritmos evolutivos são propostos e analisados para esta

classe de problemas, nomeadamente, métodos de selecção e tipo e parâmetros de

operadores de mutação. A escolha da representação e dos operadores utilizados é feita

tendo em conta a necessidade de não privilegiar demasiadamente certos objectivos em

relação a outros ao nível dos mecanismos de exploração.

São apresentados estudos comparativos entre os algoritmos propostos por meio de

métodos de inferência estatística em problemas reais na Universidade do Algarve. O

conceito de função de aproveitamento é utilizado para avaliação de algoritmos evolutivos

multiobjectivo. Finalmente, a análise da evolução do custo das soluções encontradas ao

longo do tempo de execução através de funções de aproveitamento é apresentada.

ABSTRACT

The aim of this study is the application of multiobjective evolutionary algorithms

to resource allocation problems, such as university examination timetabling and course

timetabling problems. Usually, these problems are characterized by multiple conflicting

objectives. A multiobjective formalization of these problems is presented, based on goals

and priorities.

Various aspects of evolutionary algorithms are proposed and studied for these

problems, particulary, selection methods and types and parameters of mutation operator.

The choice of both representation and operators is made so as not to favour excessively

certain objectives with respect to others at the level of the exploration mechanism.

A comparative study of performance is presented for the proposed algorithms by

means of statistical inference, based on real problems of the University of Algarve. The

notion of attainment functions is used as a base for the assessment of performance of

multiobjective evolutionary algorithms. Finally, the evolution of the solution cost during

the runs is analysed by means of attainment functions, as well.

1 Introdu ~ao 1

1.1 Motiva ~ao . . . 1

1.2 Organiza ~ao daTese . . . 2

1.3 Contribui ~oes . . . 2

2 Elabora ~ao de Horarios: Um Problema de Afe ta ~ao de Re ursos 4 2.1 Introdu ~ao. . . 4

2.2 Formaliza ~ao . . . 5

2.2.1 Problemade Gera ~ao de Horariosde Aulas . . . 7

2.2.2 Problemade Gera ~ao de Horariosde Exames . . . 8

2.3 Restri ~oes . . . 9

2.4 Complexidade. . . 11

2.5 Te ni asde Resolu ~ao do ProblemadeGera ~ao de Horarios . . . 11

2.5.1 Abordagensde Investiga ~ao Opera ional. . . 12

2.5.2 Progama ~ao de Restri ~oes . . . 13

2.5.3 Meta-heursti as . . . 15

3 Algoritmos Evolutivos 18 3.1 Introdu ~ao. . . 18

3.2 Representa ~ao. . . 19

3.3 Avalia ~aoe Atribui ~aode Aptid~ao . . . 21

3.4 Sele  ~ao . . . 22

3.7 Popula ~ao . . . 26

3.8 Restri ~oes . . . 28

3.9 AlgoritmosEvolutivosMultiobje tivo . . . 29

3.9.1 Optimiza ~ao Multiobje tivo . . . 30

3.9.2 Revis~ao dosAlgoritmos EvolutivosMultiobje tivo . . . 32

3.9.3 Abordagens de Optimiza ~ao Multiobje tivo para Problemas de Gera ~ao de Horarios . . . 33

3.10 Con lus~oes . . . 34

4 Um Algoritmo Evolutivo Multiobje tivo para Problemas de Afe ta ~ao de Re- ursos 36 4.1 Introdu ~ao. . . 36 4.2 Representa ~ao. . . 37 4.3 Qualidadeda Solu ~ao . . . 37 4.4 Atribui ~ao de Aptid~ao . . . 39 4.5 Muta ~ao . . . 39 4.6 Re ombina ~ao. . . 43 4.7 Sele  ~ao eReinser ~ao. . . 44 4.8 Con lus~oes . . . 44

5 AbordagemMultiobje tivo ao Problema de Elabora ~ao de Horarios na Univer-sidade do Algarve 46 5.1 Introdu ~ao. . . 46

5.2 Problemade Gera ~ao de Horariosde Exames . . . 48

5.2.1 Cara teriza ~ao do Problema. . . 48

5.2.2 Deni ~ao de Prioridadese Metas . . . 51

5.2.3 Deni ~ao da Qualidadeda Solu ~ao . . . 51

5.3 Problemade Gera ~ao de Horariosde Aulas . . . 52

5.3.1 Cara teriza ~ao do Problema. . . 52

5.3.2 Deni ~ao de Prioridadese Metas . . . 53

5.4.1 Introdu ~ao . . . 55 5.4.2 Pre-Pro essamento . . . 55 5.4.3 Des ri ~ao da Apli a ~ao . . . 58 5.4.4 Tempo de Exe u ~ao . . . 60 6 Resultados Experimentais 62 6.1 Introdu ~ao. . . 62

6.2 Avalia ~aode Desempenhode AlgoritmosEvolutivosMultiobje tivo . . . 63

6.2.1 Fun ~oesde Aproveitamento . . . 63

6.2.2 TestesEstatsti os . . . 64

6.3 Metodologia Experimental . . . 66

6.4 Resultados. . . 68

6.4.1 PGHE da UCEH- Analise deCusto de Solu ~ao emTempoFixo . . . 68

6.4.2 PGHE da UCEE - Analise deCusto deSolu ~ao emTempoFixo . . . 71

6.4.3 PGHE da UCEH- Analise deCusto de Solu ~ao /Tempo de Exe u ~ao . . . . 75

6.4.4 PGHA da UCEH . . . 83

6.5 Dis uss~ao . . . 89

6.6 Con lus~oes . . . 91

7 Con lus~oes 93 7.1 AlgoritmosEvolutivosMultiobje tivo paraAfe ta ~ao de Re ursos. . . 93

7.2 Perspe tivasFuturas . . . 95

7.2.1 Pro esso deDe is~ao Multiobje tivo. . . 95

7.2.2 Algoritmos EvolutivosMultiobje tivo . . . 96

7.2.3 Apli a ~aoem Problemasde Afe ta ~ao de Re ursos . . . 96

7.2.4 Operadoresde Muta ~ao e Cruzamento . . . 97

6.1 Valores de p para ompara ~oes multiplasde par^ametros  em termos de agrega ~ao

de obje tivos naUCEHna analise do ustode solu ~ao emtempoxo . . . 72

6.2 Valores dep para ompara ~oes multiplasde par^ametros  em termos defun ~oesde

aproveitamento naUCEHna analise do usto de solu ~aoem tempoxo . . . 73

6.3 Valores de p para ompara ~oes multiplas de par^ametros  em termos de agrega ~ao

de obje tivos naUCEE na analise do usto de solu ~ao emtempoxo . . . 76

6.4 Valores dep para ompara ~oes multiplasde par^ametros  em termos defun ~oesde

aproveitamento na UCEE na analise do usto de solu ~ao em tempo xo . . . 77

6.5 Compara ~aodemetodosdesele  ~aonaUCEHemtermosdeagrega ~ao deobje tivos

na analisedo usto de solu ~ao/tempode exe u ~ao . . . 79

6.6 Compara ~aodemetodosdesele  ~aonaUCEHemtermosdesepara ~aodeobje tivos

na analisedo usto de solu ~ao/tempode exe u ~ao . . . 80

6.7 Compara ~aodemetodosdesele  ~aonaUCEHemtermosdeagrega ~ao deobje tivos

na analisedo usto de solu ~ao/tempode exe u ~ao . . . 81

6.8 Compara ~ao de tipos de muta ~ao na UCEH em termos de separa ~ao de obje tivos

na analisedo usto de solu ~ao/tempode exe u ~ao . . . 82

6.9 Valores de p para ompara ~oes multiplas de par^ametros  em termos de separa ~ao

de obje tivos naUCEHna analise do ustode solu ~ao/tempo de exe u ~ao . . . 83

6.10 Converg^en ia doalgoritmo nasabordagens+agrega ~ao e -agrega ~ao . . . 85

6.11 N

o

dediasdeaulasporsemanaversusn

o

dehorasdeaulasporsemananaabordagem

manual (do entes) . . . 86

6.12 N

o

dediasdeaulasporsemanaversusn

o

dehorasdeaulasporsemananaabordagem

6.13 N dediasdeaulasporsemanaversusn dehorasdeaulasporsemananaabordagem

+agrega ~ao (do entes) . . . 87

6.14 N

o

demanh~asetardesde aulasporsemanaversus n

o

dehoras deaulasporsemana

na abordagemmanual (turmas) . . . 88

6.15 N

o

demanh~asetardesde aulasporsemanaversus n

o

dehoras deaulasporsemana

na abordagem agrega ~ao (turmas) . . . 88

6.16 N

o

demanh~asetardesde aulasporsemanaversus n

o

dehoras deaulasporsemana

5.1 Numerode exames na UCEH . . . 49

5.2 Numerode exames na UCEE . . . 50

5.3 Numerode aulasna FCHS. . . 52

6.1 Valoresdep para ompara ~aode metodos desele  ~aona UCEHna analisedo usto

de solu ~ao em tempoxo . . . 70

6.2 Valoresdep para ompara ~aodetiposde muta ~aona UCEHnaanalisedo ustode

solu ~aoem tempoxo . . . 70

6.3 Valores de p para ompara ~ao de par^ametros  na UCEH na analise do usto de

solu ~aoem tempoxo . . . 71

6.4 Valoresde ppara ompara ~ao demetodosdesele  ~ao na UCEEna analisedo usto

de solu ~ao em tempoxo . . . 73

6.5 Valoresdep para ompara ~aode tiposdemuta ~ao naUCEE naanalise do ustode

solu ~aoem tempoxo . . . 74

6.6 Valores de p para ompara ~ao de par^ametros  na UCEE na analise do usto de

solu ~aoem tempoxo . . . 75

6.7 Valoresdep para ompara ~aode metodos desele  ~aona UCEHna analisedo usto

de solu ~ao/tempode exe u ~ao. . . 78

6.8 Valores-p para ompara ~ao de tipos de muta ~ao na UCEH na analise do usto de

solu ~ao/tempode exe u ~ao . . . 80

Introdu ~ao

1.1 Motiva ~ao

Um problema de afe ta ~ao de re ursos onsiste em determinar a afe ta ~ao de m re ursos a n

itens de modo a optimizar uma determinada fun ~ao obje tivo f que representa a qualidade da

solu ~aoatravesdasatisfa ~aodeummaximoderrestri ~oes. Numproblemadegera ~aodehorarios,

por exemplo, os itens onsistem num onjunto de eventos, omo aulas ou exames, e os re ursos

num onjunto de intervalos de tempo e salas. A inten ~ao e afe tar os intervalos de tempo e

salas disponveis aos eventos, minimizando simultaneamente uma determinada fun ~ao obje tivo

que represente o grau de viola ~ao das restri ~oes. Embora aparentemente simples, esta lasse de

problemasperten eaosdenominados problemasNP- ompletos[50 ℄.

Este fa tor de di uldade materializa este estudo num desao grati ante do ponto de vista

intele tual emque o investigador deve en ontrar me anismos queresolvam oproblema emtempo

onsiderado util, omo e geralmente pretendido na vida real. Alias, estes me anismos dever~ao

abranger um largo espe tro de apli a ~oes e n~ao devem ser dependentes de determinados grupos

de problemas, o que torna este estudo umduplo desao. A di uldade de onstruir um onjunto

de solu ~oesque satisfa am, de algum modo, variosobje tivos on ituosos entre si, altera o modo

onven ional de pesquisade solu ~oesoptimase adi ionaumter eirodesao.

A utiliza ~ao de me anismos existentes na Natureza, ainda que simpli ados, para a resolu ~ao

destesproblemaseummobilinspirador omotemadeinvestiga ~ao. Estanova lassedealgoritmos,

problemas onsideradosintrataveis. Edeassinalaronumero res entedepubli a ~oesquere e tem

ae i^en ia dosalgoritmosevolutivosneste ^ambito. A adapta ~aodeste me anismoao ontextodos

problemasatrasreferidos olo a oultimo desao.

1.2 Organiza ~ao da Tese

Esta tese pretende adaptar os algoritmos evolutivos multiobje tivo propostos porFonse a e

Fle-ming [47 ℄ para resolu ~ao de entidades reais do Problemade Afe ta ~ao de Re ursos onde existem

varios obje tivos. OstiposdeProblemas deAfe ta ~ao deRe ursos onsiderados nesteestudo

or-respondemaduasinst^an iasdoProblemadeGera ~aodeHorarios,respe tivamente,oProblemade

Gera ~aode Horariosde Aulas(PGHA) eoProblemadeGera ~ao deHorariosdeExames (PGHE).

A Universidade do Algarve foi a institui ~ao es olhida para testar a metodologia proposta nesta

tese.

Com o obje tivo de ontextualizar esta tese, e apresentado no Captulo 2 uma formaliza ~ao

dosproblemas em estudo e uma revis~ao dos metodos utilizadospara a sua resolu ~ao. O Captulo

3 sumaria ertas ara tersti as dos algoritmos evolutivos no ^ambito da resolu ~ao desta lasse de

problemas e introduz os on eitos de optimiza ~ao multiobje tivo. O Captulo 4 apresenta uma

possvel abordagem a Problemas de Afe ta ~ao de Re ursos que apresentam obje tivos multiplos

atravesdealgoritmosevolutivosmultiobje tivo. OCaptulo5parti ularizaametodologiaproposta

no Captulo anterior para resolu ~ao do PGHE e PGHA existentena Universidadedo Algarve. O

Captulo 6 des reve o pro edimento estatsti o utilizado e os resultados obtidos. Finalmente, o

Captulo7 delineiaas on lus~oesnaise perspe tivasfuturas.

1.3 Contribui ~oes

Oobje tivoprin ipaldesteestudoeaapli a ~aodealgoritmosevolutivosmultiobje tivoaProblemas

deAfe ta ~aodeRe ursos,parti ularmentenagera ~aodehorariosdeaulasedeexamesondeexistem

multiplosobje tivos. Contribui ~oesoriginais neste estudo in luem:

 revis~ao bibliogra ade metodos de optimiza ~ao para resolu ~ao de Problemade Gera ~ao de

ada emrepresenta ~ao dire ta dassolu ~oese num novooperadorde muta ~ao;

 ara teriza ~ao dodesempenhodosalgoritmosevolutivosimplementadossimultaneamenteem

termos detempo e usto, ombase emfun ~oesde aproveitamento;

 ompara ~ao do desempenhodos varios algoritmosevolutivosimplementadosatraves de

pro- edimentos de testesfe hados parahipotesesformuladassobre fun ~oesde aproveitamento;

Os algoritmos propostos foram utilizados para gera ~ao de alendarios de exames em uso na

Universidade do Algarve, respe tivamente na Unidade de Ci^en ias Exa tas e Humanas no ano

Elabora ~ao de Horarios: Um

Problema de Afe ta ~ao de Re ursos

2.1 Introdu ~ao

UmProblemade Afe ta ~ao de Re ursos apresenta a seguintedeni ~ao[31 ℄:

Um Problema de Afe ta ~ao de Re ursos e denido por um onjunto de tarefas T

onde ada tarefa e um intervalo numa linha real, um onjunto de re ursos R , e um

mapeamento de ada tarefa t

i

2T a um onjunto r

i

R que espe i a os re ursos que

podem ser utilizados para exe utar a tarefa. O problema e en ontrar uma afe ta ~ao do

re urso para ada tarefa tal que o re urso afe to perten a ao onjunto de re ursos da

tarefa e quea duas tarefas em sobreposi ~ao n~aoseja afe to o mesmo re urso.

Num PGHA, omo exemplode umainst^an ia realde umProblemade Afe ta ~ao de Re ursos,

pretende-seafe tar um onjunto de salase um onjunto de intervalos de tempoa um onjunto de

aulas, evitando a o orr^en ia de aulas sobrepostas na mesma sala ou de aulas sobrepostas para o

mesmoestudante. Um outroexemplodeProblemadeAfe ta ~ao de Re ursosrealeoProblemade

Afe ta ~ao de Frequ^en ias, ujoobje tivo e afe tar frequ^en ias deradioa umdeterminado numero

de transmissores sob determinadas restri ~oes, omo mnima interfer^en ia [22℄. A afe ta ~ao

repre-senta ~oes a estadosno Problemade Afe ta ~ao deEstados e tambem uma inst^an ia do Problema

estado om um determinada ondi ~ao de entrada, ou que estejam na mesma parti ~ao para uma

dadasada [2 ℄.

Este estudo entra-se nasinst^an iasdo PGHE e PGHA do Problemade Gera ~ao de Horarios,

omoexemplode ProblemadeAfe ta ~ao deRe ursos. Outras inst^an iasdo Problemade Gera ~ao

de Horarios in luem o Problema de Gera ~ao de Horarios de Turnos de Empregados [74 ℄, [78 ℄,

o Problema de Gera ~ao de Horarios para Competi ~oes Desportivas [101 ℄, [105℄ e o Problema de

Gera ~ao deHorarios deTransportesPubli os[80 ℄, [109 ℄.

Esta areade investiga ~ao, desdea suaformaliza ~ao at ao desenvolvimento de metodologias de

resolu ~ao,temsidoestudadapelas omunidades ient asdeInvestiga ~aoOpera ional,Intelig^en ia

Arti ialeComputa ~aoetemre ebidoumgrandea olhimentoporpartedeumelevadonumerode

investigadores, oque omprovado pelas tr^es onfer^en iasinterna ionaissobre gera ~ao automati a

de horarios [13 ℄,[15℄,[16℄, realizadasdesde 1996.

A se  ~ao 2.2 tem por obje tivo apresentar uma formaliza ~ao do Problema de Afe ta ~ao de

Re ursos e dassuas inst^an iasqueest~ao no ambito^ deste estudo, ou seja, o Problemade Gera ~ao

de Horarios de Aulas e o Problema de Gera ~ao de Horarios de Exames. Uma perspe tiva sobre

as restri ~oes e alguns aspe tos sobre a omplexidade deste tipo de problemas sera delineada nas

se  ~oes2.3e2.4. Finalmente seraapresentadoumarevis~aodasabordagensa tualmenteutilizadas

pararesolu ~ao dosproblemas atrasreferidosna se  ~ao 2.5.

2.2 Formaliza ~ao

Um Problema Geral de Afe ta ~ao de Re ursos [38 ℄, admitindo a exist^en ia de m re ursos que

devemserafe tosanitensesujeitosarrestri ~oes,podeserformalizadopelasseguintesexpress~oes,

supondoumproblemade minimiza ~ao:

MinF(x) Sujeito a: G R (x)60; 16R6r x2X(a)

X(a)=fx: X j2Ji x ij =a i g 16i6n a=[ a 1 ;a 2 ;:::;a n ℄ T a i >1

e ondeasvariaveis dede is~ao x

ij s~ao denidaspor x ij = 

1 seo itemiestiverafe to ao re ursoj

0 aso ontrario

16i6n; j2J

i ;

e J

i

f 1;2;:::;mg e o onjunto de re ursosdisponveispara oitem i.

Nesta formaliza ~ao observa{se uma hierarquia de import^an ia das restri ~oes, distinguindo-se

entre as denominadas restri ~oes hard e restri ~oes soft. As restri ~oes hard s~ao restri ~oes que t^em

de ser obrigatoriamente satisfeitas. Neste sentido, uma restri ~ao hard n~ao satisfeita impli a a

inadmissibilidadedasolu ~ao. Poroutrolado,asviola ~oesdasrestri ~oessoftdevemserminimizadas,

istoe, o seu grau de viola ~ao representa a qualidade da solu ~ao. Nesta formaliza ~ao as restri ~oes

hard s~aorepresentadas porG

R

(x)e asrestri ~oessoft por F(x).

A situa ~ao ideal seria a satisfa ~ao total de todas as restri ~oes. Contudo, em problemas

ex es-sivamente restringidos, poder~ao n~ao existir sequer solu ~oes admissveis. Neste aso, e ne essario

re orreraorelaxamentodasrestri ~oes,obtendoumaatribui ~aodere ursosaositensquerepresente

a maiorproximidade dooptimo,em queesta proximidadepodeser denidasobvariasformas.

Muitosproblemas ombinatoriospodemser onsiderados omoinst^an iasdoProblemade

Afe -ta ~ao de Re ursos. Considerando, por exemplo, o problema de olora ~ao de grafos [83 ℄, denido

omoumgrafoG=(V;E);uminteirokeummapeamento:V !f 1;2;:::;kgtalquese[v;u℄2E

ent~ao (v)6=(u), osverti espodemser onsiderados omo itense as ores omo re ursos.

Outroexemplotpi odeProblemadeAfe ta ~aodeRe ursoseoProblemaGera ~aodeHorarios.

Um Horario (E;T;L) numa Institui ~ao de Ensinoe denidoporum mapeamento t:E !T L;

ondeE = f e 1 ;e 2 ;:::;e n ge um onjunto de eventos, T = f t 1 ;t 2 ;:::;t l ge um onjunto de intervalos detempoeL=f l 1 ;l 2 ;:::;l m

geum onjuntodelo aliza ~oes. UmProblemadeGera ~aodeHorarios

(E;T;L;f) para uma Institui ~ao de Ensinoe a tarefa de en ontrar um mapeamento optimo t

opt ,

emque a fun ~aode usto f :H ! R

+

,onde8t2H :f(t

opt

)6f(t)e H e o onjunto de horarios

denidos em (E;T;L). Os elementos de E s~ao itens e os elementos de T e L s~ao onsiderados

OPGHA onsistenaafe ta ~aodeum onjuntodeperodoseum onjuntodesalasaum onjuntode

aulas,evitando aviola ~ao de umdeterminado onjunto derestri ~oes. Estasrestri ~oess~ao violadas

se, porexemplo, omesmo estudante tiverque frequentar duasou maisaulassimultaneamente.

Considerando um PGHA a luz do modelo denido anteriormente obtem-se uma formaliza ~ao

simpli ada: Min x2X(1) P(x)=F(x) Sujeito a: V 1 (x)60 V 2 (x)60 emque F(x)= n X i=1 X j2J i ij x ij V 1 (x)= m X j=1 X (i;k)2 j x ij x kj V 2 (x)= m X j=1 X (p;q)2 l x pj x qj onde ij = 

1 sea aula iaini iara j n~ao onstardas prefer^en iasdo do ente

0 aso ontrario

j

=f(i;k): aulasie k que o orrem na mesmaturma eno tempojg

 j

=f(p;q): aulaspe q que o orrem na mesmasala e no tempojg

A fun ~ao P(x) representa a minimiza ~ao das viola ~oes das prefer^en ias dos do entes (F(x));

sujeita a n~ao sobreposi ~ao temporal entre aulas da mesma turma (V

1

(x)), e a n~ao sobreposi ~ao

temporalde afe ta ~oes de salas(V

2 (x)).

Estaformaliza ~aoe umasimpli a ~aodoquea onte eem asosreaisnasinstitui ~oesdeensino

almo o e numero maximo de horas de le iona ~ao por dia. Na formaliza ~ao de um PGHA numa

es olase undariadetamanhomedioatravesdeprograma ~aon~ao-linearbinaria,PatoeCarras o[85 ℄

deduziramqueseriane essariodeniraproximadamente200milvariaveis,tornandoaformaliza ~ao

demasiadoextensa.

A maioria da literaturalida om umPGHA om diferentes ara tersti as do que a onte e na

realidadeemPortugal. Noutrospases, omo oReinoUnido,osestudantes doensinosuperiort^em

maior exibilidadena es olha dasdis iplinasquepretendem. Porisso, umdosobje tivosque

pre-o upaquemsededi aaelabora ~aodehorariosdeaulasnasinstitui ~oesdeensinosuperioretentar

assegurar que as aulas frequentadas por ada estudante n~ao estejam sobrepostas. Em Portugal,

omoosestudantesest~aoafe tosaturmas om urr uloxo,estasquest~oess~ao olo adasdeoutro

modo. Pretende-se, assim,assegurar an~ao sobreposi ~aode aulasdamesma turmae deturmas de

anos onse utivos, tentando reduzir o numero de estudantes que tenham aulas sobrepostas.

Na-turalmente,os alunos ommaiornumerode dis iplinasatrasadas de anos anteriores ser~ao osmais

prejudi ados.

2.2.2 Problema de Gera ~ao de Horarios de Exames

Segundo Carter [20 ℄, um PGHE onsiste numa afe ta ~ao de um numero xo de perodos a um

onjunto de exames tal que nenhum estudante realize mais do que um exame ao mesmo tempo.

UmPGHE simpli adopode ser seguidamente formalizado por:

Min x2X(1) P(x)=F(x) Sujeito a: V 1 (x)60 emque F(x)= n X i=1 X j2Ji ij x ij V 1 (x)= m X j=1 X (i;k)2 j x ij x kj

ij

= 

1 seo exame iaini iara j n~ao onstardas prefer^en iasdo do ente

0 aso ontrario

j

=f(i;k): exames ie k que o orrem na mesmaturma eno tempo jg

Assim, a fun ~ao P(x) orresponde a minimiza ~ao das viola ~oes as prefer^en ias dos do entes

(F(x)), sujeitaa n~ao sobreposi ~aotemporal de exames na mesma turma(V

1

(x)). Neste problema

n~aose onsideraamar a ~aode salas, omonoPGHA,poisnormalmenteestaafe ta ~aoerealizada

posteriormente. Outra formula ~ao alternativae apresentada porBullnheimer,[8℄ que prop~oe uma

fun ~aoobje tivoquemaximizaotempodeestudodoestudante ombasenummodelodeafe ta ~ao

quadrati a.

Tal omo no problemaanterior, esta formaliza ~ao lida om restri ~oes simples que n~ao

orres-pondema realidadedaelabora ~ao de exames numa institui ~ao de ensinosuperior.

Como ja se tinha veri ado nos PGHAs, os PGHEs no ensino superior portugu^es re orrem

normalmenteao mesmo on eito deturmas.

2.3 Restri ~oes

Os Problemasde Gera ~ao de Horarios reaiss~ao um aso tpi o de problemas om diferentestipos

de restri ~oes. Chenget al. [24 ℄ apresentaram20 restri ~oesnumPGHA, dasquaissereal am:

 N~aoepossvelmar ar maisdo queuma aulaao mesmotempo parao mesmoaluno;

 N~aoepossvelmar ar maisdo queuma aulaao mesmotempo parao mesmodo ente;

 Assalas de aulat^em de apresentar apa idade igualou superiorao numerode alunos aque

est~ao afe tas;

 As salas de aula n~ao podem ser mar adas em intervalos de tempo reservados para outras

a tividades;

 Asaulasn~ao podemser mar adas quando osdo entes n~ao est~ao disponveis;

 Eventos da mesma dis iplinaque o orrem mais do que uma vez porsemana, devem o orrer

Num inquerito realizado as universidades no Reino Unido sobre o pro esso de elabora ~ao de

horarios de exames, elaborado por Burke et al. [14 ℄, foi possvel apurar 32 restri ~oes diferentes,

demonstrandoa omplexidadedestetipodeproblemas. Asrestri ~oesmais onsideradasnopro esso

de gera ~ao de examesforam asseguintes, porordemde res entede import^an ia:

 N~ao devem existirmais estudantesdo quelugares disponveisna sala atribuda;

 Exames omquest~oesem omumdevemser mar ados no mesmoperodo;

 Certos exames devem sermar ados numdeterminado onjunto deperodos;

 Soexames omamesmadura ~aoequepodemsermar adossimultaneamentenamesmasala;

 Osexames om maiornumerode estudantes devem sermar ados mais edo;

 Certos exames so podemo orrerem determinadassalas;

 Deve ser dadaprefer^en ia a mar a ~ao emsalasde grande apa idade;

 Determinadoexamedeveser mar adoantes de outro om determinadaante ed^en ia.

Corne et al. [28 ℄ apresentaram uma lassi a ~ao das restri ~oes em Problemas de Gera ~ao de

Horarios. Segundo estesautores, asrestri ~oespodem ser:

 unarias,queenvolvemumsoeventoepodemtomaraformadeex ep ~oesoudeespe i a ~oes;

 binarias, que envolvem dois eventos e podem ser restri ~oes de aresta quando se referem a

sobreposi ~ao temporal ouespa ialde doiseventos, ou dejusta-posi ~aoquando sedeneuma

determinadaordeme/ou intervalode tempoentreeventos;

 de apa idade, quesereferea o upa ~aomaxima dosre ursosafe tos aoseventos;

 dedispers~ao,quesereferea dispers~ao temporale/ouespa ialdos eventos;

 de agentes, que podem ser denidas de a ordo om as prefer^en ias do agente ou om a sua

Antesdeabordarometododesolu ~aodoproblema,eutil ompreenderadi uldadeemresolv^e-lo.

Muitosdosproblemas ombinatorios,tal omooProblemadeGera ~aodeHorarios,s~ao onsiderados

problemas NP- ompletos [50℄, que signi a que n~ao podem ser resolvidos em tempo polinomial.

Cooper e Kingston [26 ℄ demonstraram que o PGHA e, na realidade, onstitudo por varios

sub-problemasNP- ompletos, respe tivamente, K Colora ~ao de Grafos, BinPa king, Exa t Cover By

3-Sets e3 Dimensional Mat hing.

Re entemente, alguns investigadores t^em tentado estudar a di uldade de resolu ~ao de

pro-blemas ombinatorios om base em fenomenos de transi ~ao de fase, em alternativa aos metodos

lassi osde omplexidade omputa ional. A transi ~ao de fase resulta de umaanalogia om

deter-minados fenomenos fsi os, e o orre algures entre um problema om pou as restri ~oes e de fa il

resolu ~aoeumproblema omumnumerodeelevadoderestri ~oes, ujainsolubilidadeefa ilde

de-terminar, omodes ritoporCheesemanetal. [23 ℄. GenteWalsh[52 ℄observaramo omportamento

dedeterminadasheursti asparaestudara transi ~ao defaseemproblemasda vidareal. Estes

au-toresobservaramqueosPGHEsmaisdif eisde resolversurgiamtanto naregi~ao deinsolubilidade

omona regi~ao om pou asrestri ~oes, sem retirargrandes on lus~oesdasobserva ~oes.

Ross et al. [89 ℄ [90 ℄ implementaramalgoritmosevolutivose algoritmosde arrefe imento

simu-lado emPGHE aleatorios soluveis para lo alizar a transi ~ao de fase, variandoa homogeneidade e

one tividadedosproblemas. Estesautores dete taramvariasregi~oes de transi ~ao de faseemque

osalgoritmosutilizadosapresentaramumdesempenhodistinto. Re entemente,Erben[35 ℄dete tou

asmesmasregi~oes de transi ~ao de faseatravesde umalgoritmo geneti o deagrupamento.

O estudo da transi ~ao de fase, embora em estado embrionario e prin ipalmente apli ado a

problemas aleatorios, tem sido fortemente investigado e podera trazer algumas ontribui ~oes

im-portantes, tanto parao entendimento da di uldade dosproblemas omo para implementa ~ao de

metodos de resolu ~ao maisapropriados.

2.5 Te ni as de Resolu ~ao do Problema de Gera ~ao de Horarios

Aabundante literaturadeestudossobreoProblemade Gera ~ao deHorariostem demonstradoque

de publi a ~oes, o que torna bastante dif il a extra ~ao dos mar os mais importantes em ada

metodologia. Neste estudo foi realizada a revis~ao da apli a ~ao de abordagens de investiga ~ao

opera ional, programa ~ao om restri ~oes e meta-heursti as, pois a redita-se que este e um dos

modos de lassi a ~ao de algoritmos mais difundido neste tipo de problemas. Maior ^enfase sera

olo adonaapli a ~aodealgoritmosevolutivosnoCaptuloseguintepoisfoiametodologiaes olhida

paraabordar osproblemasemestudo.

2.5.1 Abordagens de Investiga ~ao Opera ional

Umadas areas de maiordimens~aona Investiga ~ao Opera ionale a programa ~ao matemati a,que

onsistenum onjuntodeteoriasemetodosapli adosaproblemasdedetermina ~aodeextremosde

fun ~oes de variaveis reais ou inteiras, sujeitas a restri ~oes lineares e n~ao lineares. Estas restri ~oes

s~ao representadas sob a forma de equa ~oes e desigualdades. A programa ~ao linear onsidera a

linearidade das restri ~oes e utiliza o metodo simplex. Contudo, este metodo apresenta tempo

exponen ialnopior aso. Umaextens~aoaprograma ~aolineareaprograma ~aointeiraemqueuma

restri ~aoadi ionaldene queasvariaveis do modelo sejaminteiras.

Nos Problemas de Gera ~ao de Horarios, a formaliza ~ao apresentada pela omunidade de

In-vestiga ~ao Opera ionaltem sidobaseada em programa ~ao linear binariae em grafos. No entanto,

os metodos de resolu ~ao baseados em te ni as tradi ionais de Investiga ~ao Opera ionalt^em sido

pou oapli adosdevido a omplexidadedos problemas emestudo [85 ℄. Asabordagens baseiam-se

na de omposi ~ao do problemaem variossub-problemas menos omplexos e na implementa ~ao de

heursti asutilizadasemproblemasde grafos.

Werra [33 ℄ sugere que os Problemas de Gera ~ao de Horarios sejam formalizados omo grafos

e resolvidos por heursti as asso iadas a problemas de uxo de redes. A ada ar o e atribudo

um limite inferiore superior, que e modi adodurante a resolu ~ao. O problemae resolvido pela

sua divis~ao em varios sub-problemas de uxo maximo, um por ada perodo. Kiaer e Teller [68 ℄

prop~oem uma heursti a de olora ~ao de verti es para problemas de PGHAs em que os verti es

s~ao oloridos de a ordo om a regra de olora ~ao do verti e mais dif il em primeiro lugar. Esta

di uldadee determinada om base numa fun ~ao que tem em onta os ustos asso iados a ada

verti e,asomadaspondera ~oesdosar os adja entesa adaverti eea orjautilizadanumverti e

om um algoritmo de ba ktra king para resolver PGHEs aleatorios e reais, om base numa

for-maliza ~ao em grafos. As regras algortmi as de ordena ~ao onsideradas para es olha da proxima

mar a ~ao foramas seguintes:

 Maiorgrau, orrespondendoao maior numerode examesem on ito;

 Graudesatura ~ao, orrespondendoao numerode perodosem on ito;

 Maiorgrau ponderado, orrespondendo ao numerode estudantesem on ito;

 Maiornumerodeins ri ~oespara adaexame;

 Ordena ~ao aleatoria;

Estes autoresobservaram quea regra de ordena ~ao porgrau de satura ~ao em onjunto om o

algoritmode ba ktra king foi amaisfavoravel.

2.5.2 Progama ~ao de Restri ~oes

APrograma ~aode Restri ~oese umaferramenta quelida omproblemade satisfa ~ao derestri ~oes.

Seguindoum ertoparalelismo omaareade Investiga ~ao Opera ional,abordaigualmente

proble-mas de es alonamento e de afe ta ~ao de re ursos e outrosproblemas ombinatorios. Emboraesta



areasejaprovenienteda areada Intelig^en ia Arti ial,assuas fronteirast^em vindoaalargarpara

umainterliga ~ao om ertos aspe tos da areade Investiga ~ao Opera ional[59 ℄.

Um problema de satisfa ~ao de restri ~oes e denido sobre um onjunto de variaveis X =

fx 1 ;:::;x n g , em que ada x i

toma valores num dado domnio. Asso iado ao problema existe um

onjunto derestri ~oesque ondi ionam osvalores queasvariaveispodemtomarsimultaneamente.

Uma solu ~ao para um problemade satisfa ~ao de restri ~oes onsiste numa afe ta ~ao de um valor

do domnio a ada variavel, tal que a restri ~ao seja satisfeita [102℄. As solu ~oes de problemas de

satisfa ~ao de restri ~oes s~ao usualmente obtidas por metodos de pesquisa sistemati a, atraves de

afe ta ~ao de valoresdo domnioas variaveis omo re ursoa heursti as.

Umadasvantagens deste metodo emrela ~aoasabordagens lassi asdeInvestiga ~ao

Opera io-nalresidenarepresenta ~ao,poisasvariaveisdeumproblemadesatisfa ~ao derestri ~oes

deformaliza ~aoresultanumamaior exibilidadenamanipula ~aodasvariaveisefa ilitao

desenvol-vimentorapidoee ientedome anismodepesquisapararesolu ~aodeproblemas. Paraalemdisso,

osalgoritmosderesolu ~aodestetipodeproblemasapresentam,muitasvezes,umdesempenhomais

rapido doque e veri ado om osmetodosde programa ~ao linear [94℄.

Aprograma ~aologi aderestri ~oes onsistenaintegra ~aodosmetodosdesenvolvidosna

progra-ma ~aode restri ~oes omaprograma ~ao logi a,dandoorigemaumalinguagem oma exibilidade

ne essaria para o utilizador representar o problema. Um programa onsiste num onjunto de

lausulas que ont^em restri ~oes de laradas a alto nvel. Este metodo foi abordado por Gueret et

al. [54 ℄ pararesolver um PGHE om o re urso ao CHIP (Constraint Handling InProlog). Nesta

apli a ~ao, a redu ~ao do domnioe efe tuada om base em te ni as lassi as de onsist^en ia e de

algoritmos de ltragem. Neste problema foi tambem utilizada a restri ~ao umulativa

implemen-tadano CHIP que assegura que,a ada instante i, a quantidade onsumidade re ursosn~ao deve

ex eder um determinado limite. Estes autores, ontudo, reportaram a ne essidade de

implemen-tarumme anismo e ientede relaxamento de restri ~oesnaslinguagensde programa ~ao logi a de

restri ~oes.

Outras alternativasde linguagensde programa ~ao de restri ~oess~ao oE lipsee Oz. Panagiotis

et al. [96 ℄ implementaramo sistema ACTS(Automati Course TimetablingSystem) num PGHA

ombasenoE lipse ombinado omheursti asquemimi amases olhasefe tuadasmanualmente

pelos responsaveis pela elabora ~ao de horarios. Henz e Wurts [63 ℄ implementarama resolu ~ao de

umPGHA atraves de Oznum olegio alem~ao. Segundoestes autores, Ozapresenta vantagens em

rela ~ao a outros modelos pois permite o desenvolvimento de novas te ni as de pesquisa. Neste

problema,o pro esso de optimiza ~ao baseou-se norst-fail e bran h-and-bound.

Re entementetemhavidoalguminteressena ombina ~aodemetodosutilizadosnaprograma ~ao

derestri ~oes om meta-heursti as. White eZhang[107℄implementarammetodosde satisfa ~ao de

restri ~oes para riar solu ~oes ini iais para uma Pesquisa Tabu. Estes autores observaram que a

utiliza ~aosequen ialdestes doismetodos foimaise ientedo queso om osmetodosde satisfa ~ao

de restri ~oes emais rapido doque veri ado so omPesquisaTabu.

A programa ~ao de restri ~oes e a metodologia que esta a ser mais intensivamente apli ada a

estetipode problemas, omoseveri apelonumerode omuni a ~oesnaultima onfer^en ia sobre

mo-dissemina ~ao.

2.5.3 Meta-heursti as

Meta-heursti as s~ao algoritmos que s~ao guiados pormetodos de usogeral paraproduzirsolu ~oes

de boa qualidade. Re entemente, tem-se assistido a signi ativos avan os no desenho de

meta-heursti as para resolu ~ao de problemas ombinatorios. Nesta famlia de te ni as in luem-se os

Algoritmosde Arrefe imento Simulado,Algoritmosde PesquisaTabu, Redes Neuronaise

Algorit-mos Geneti os.

Neste estudo sera apresentada uma revis~ao de meta-heursti as em Problemas de Gera ~ao de

Horariosondesera dadomaiorenfase^ aosAlgoritmosde Arrefe imentoSimulado,PesquisaTabue

AlgoritmosEvolutivos, poiss~aoosmetodosque t^em sidomais utilizados.

Algoritmo de Arrefe imento Simulado

Onomedestealgoritmo resultada analogia omasimula ~aodoarrefe imento de solidos.

Normal-mente, este pro edimento permite o movimento parasolu ~oes de vizinhan a, piores que a a tual,

om base numa probabilidade maior que zero, permitindo que se es ape de mnimos lo ais. A

temperaturae o par^ametroque ontrolaa probabilidadede a eita ~ao de uma transi ~ao para uma

solu ~aoinferior. Estepar^ametrode res eaposumdadonumerodeN itera ~oessen~aofor

en ontra-damelhor solu ~ao. Quandode res erate umdadolimite,o pro edimentoparae amelhorsolu ~ao

en ontrada e forne ida.

Thompson e Dowsland [100 ℄ e Dowsland [34 ℄ apresentaram varias variantes do Algoritmo de

Arrefe imento Simulado para resolu ~ao de PGHEs numa perspe tiva multiobje tivo. O problema

e denido omo um Problemade Colora ~ao de Grafos em que ada verti e representa umexame

quedeve serafe to a umintervalo de tempo, ouseja, a uma or. Cadaaresta des reve umparde

examesquen~aopodemo orrersimultaneamente. Uma olora ~aoadmissveldografoe a olora ~ao

em que nenhum par de verti es adja entes apresenta a mesma or. O pro esso de optimiza ~ao

e dividido em multiplas fases, uja primeira ria uma solu ~ao admissvel enquanto que as fases

O Algoritmo de Pesquisa Tabu e um pro edimento iterativo que se ini ia om uma solu ~ao e se

movimenta peloespa o de pesquisa a pro urade uma solu ~ao optima. A ada itera ~ao e denida

uma vizinhan a, ou onjuntos de movimentos, que e apli ada a uma dada solu ~ao para produzir

uma outra. Para desen orajar a possibilidade de obter uni amente um optimo lo al e prevenir

a visita a solu ~oes ja anteriormente visitadas, um erto numero de movimentos s~ao onsiderados

proibidos,denominados movimentos tabu. Este onjunto de movimentos no espa o de pesquisae

determinadoporumaou mais ondi ~oesee baseado numhistori oda sequ^en ia de movimentos.

Na apli a ~aodoAlgoritmo dePesquisaTabuenaturaldistinguirentredoistiposde fun ~oesde

memoria, i. e., fun ~oes dememoria de urto e de longoprazo. A primeira onsistenuma memoria

dosmovimentosmaisre enteselaboradospelopro edimento,prevenindoavisitadamesmasolu ~ao.

A fun ~ao de memoria de longo prazo e uma fun ~ao que se baseia na frequ^en ia de solu ~oes ja

visitadaspara prevenir i los de longo termo. Contudo, a es olha destes par^ametros depende das

ara tersti asdo problema.

Re entemente, Gaspero e S haerf [51 ℄ testaram as apa idades do Algoritmo de Pesquisa

Ta-bu para resolver um PGHE. O algoritmo apresentado ombina algumas no ~oes do problema de

olora ~ao de grafos. A vizinhan a e denida om base na mudan a da or de um dos nos. Para

identi aros melhores movimentos em ada itera ~ao e mantida uma lista que ontem os nosque

est~ao envolvidos empelo menosuma viola ~ao. Os autores implementaramtambem outra lista de

menores dimens~oes que guarda os nos que est~ao envolvidos em viola ~oes de restri ~oes mais

im-portantes. Nos diversos estadios da pesquisa, os nos s~ao sele ionados om base numa pesquisa

exaustiva dasduaslistas.

White e Xie [108℄ apresentaram um Algoritmo de Pesquisa Tabu om quatro fases e om

memoria de longo prazo para resolver um PGHE. A primeira fase estima os exames que

apre-sentaram maior mobilidadee gera uma solu ~ao ini ial om base numa heursti a de bin pa king.

Esta solu ~ao soe avaliada em termos de on itos de primeira ordem. Se for admissvel, sera

on-siderada solu ~ao ini ial para o Algoritmo de Pesquisa Tabu, aso ontrario, o intervalo de tempo

sera alargado. As omponentes da fun ~ao obje tivo relativas aos on itos de menor ordem s~ao

adi ionados nas fases posteriores ate se obter uma solu ~ao que minimize simultaneamente todos

de tempo. Estes autores observaram que a utiliza ~ao de memoria de longo prazo ombinada om

memoria de urto prazoforne ia melhoresresultados.

Algoritmos Evolutivos

Osalgoritmos evolutivoss~aometodosque sebaseiam na pesquisade uma solu ~ao ombase numa

itera ~ao ontnuasobreumapopula ~aodesolu ~oesini iais. Estaitera ~aotemaformadeoperadores

geneti os, das quaissedesta am o ruzamento, muta ~ao e sele  ~ao.

Esta metodologia foi a es olhida para a resolu ~ao do problema em estudo. O fa to de lidar

om umapopula ~ao de solu ~oes torna-oum andidatointeressantea abordagemde problemas de

optimiza ~ao multiobje tivo. No aptuloseguintesera apresentadaumarevis~aodas ara tersti as

prin ipaisdos algoritmos evolutivos assim omo da sua apli abilidadena resolu ~ao de Problemas

Algoritmos Evolutivos

3.1 Introdu ~ao

Osalgoritmo evolutivoss~ao um lassede algoritmosdosquaisfazem parte osalgoritmogeneti os,

estrategiasevolutivas, programa ~ao evolutivae programa ~ao geneti a. O omum entreestes

algo-ritmose a analogia om me anismos existentes na Natureza tais omo o on eito de reprodu ~ao,

ompeti ~ao,varia ~ao aleatoria esele  ~ao de indivduosde umapopula ~ao [40 ℄.

Deuma forma geral, osalgoritmosevolutivos podemser denidos omo umpro esso ole tivo

de aprendizagem de um onjunto de indivduos que formam uma popula ~ao. Cada indivduo

representa, ou odi a, um determinado ponto no espa o de solu ~oes para a resolu ~ao de um

problema. Paraavaliar estesindivduosno ambiente emque est~ao inseridos,e ne essario

atribuir-lhesumdeterminado valorde aptid~ao. Combase nestevalor,e efe tuadoumpro esso de sele  ~ao

quefavore eosmelhoresindivduos. Estesestar~ao sujeitosa pro essosaleatorios, omo amuta ~ao

eo ruzamento,paraproduzirdes endentes. Estesultimoss~aoinseridosnapopula ~aodandoin io



a gera ~ao seguinte.

Uma das areas de apli a ~ao desta metodologia e a optimiza ~ao. A metodologia da evolu ~ao

forne e inspira ~ao parao desenvolvimento de algoritmospararesolverproblemas onsiderados

in-trataveis. Ostiposdeproblemasnormalmenteabordadospelosalgoritmosevolutivoss~aoproblemas

des ontnuos, n~ao-diferen iaveis, multimodais ou ruidosos, poise onde o desempenhodesta

meto-dologiaprevale e sobre ode outras.

se  ~ao 3.2 abordara os metodos de representa ~ao utilizadosnesta lasse de problemas e a se  ~ao

3.3abordaraalgunsaspe tos sobrea avalia ~aoe atribui ~ao deaptid~ao. Os operadoresdesele  ~ao,

muta ~aoe re ombina ~ao ser~aoreferidos, respe tivamente, nasse  ~oes3.4,3.5 e3.6. Omodo omo

asrestri ~oes t^em sido abordadas nesta lasse de problemas sera referido na se  ~ao 3.7 e os varios

modelosde popula ~aoesuaini iliza ~aoser~aoabordadosnase  ~ao 3.8. Ase  ~ao 3.9efe tuara uma

apresenta ~ao dos on eitos de optimiza ~ao multiobje tivo e do modo omo esta quest~ao tem sido

tratadaporalgoritmosevolutivosmultiobje tivoe omoosproblemasemestudot^emsidoabordados

de uma perspe tiva multiobje tivo. Finalmente, a se  ~ao 3.10 delineara alguns omentarios nais

sobre ametodologia evolutivapararesolver osproblemasabordadosneste estudo.

3.2 Representa ~ao

A primeira quest~ao que se levanta quando se pretende resolver um problema de uma

perspe ti-va omputa ional e omo representar o problema. Os diferentes algoritmos evolutivos utilizam

diferentes tipos de representa ~ao. Nos algoritmos geneti os, as variaveis de de is~ao s~ao muitas

vezes odi adas omouma adeia de ara teresbinarios. Asestrategiasevolutivase programa ~ao

evolutiva utilizam, sobretudo, variaveis de de is~ao de valores reais para alem de um onjunto de

par^ametros deestrategia. Na programa ~ao geneti a, a solu ~aoe representadaporumaarvoreque

orrespondeaumblo ode odigoquerepresentaumalgoritmoparadesempenharumadeterminada

tarefa.

Contudo,existemalgumaspropostasderepresenta ~oesmaisespe  asparadeterminadas

las-sesdeproblemas. Problemas ombinatoriost^emsidorepresentados omoumve tor deinteirosem

que adaelementodove torrepresentaumnodoproblema.



Ene essario, ontudo,terum uidado

espe ial quando se pretende, por exemplo, om permuta ~ao de elementos, em que ada elemento

so pode o orrerumasovez, omo severi anas abordagens aoproblemado aixeiro viajante.

A grandepropor ~ao dasimplementa ~oesde algoritmosevolutivospararesolu ~ao deProblemas

de Gera ~ao de Horarios baseiam-se em representa ~oes que se podem distinguir entre dire tas e

indire tas. Na representa ~aodire ta adagene orrespondeaumevento aoqualeafe toumtempo

ini ialperten ente ao onjunto de temposini iaisdisponveisparaesse evento. Por outrolado,na

Burke et al. [9 ℄[10 ℄ real arama utiliza ~aode representa ~oes dire tasem problemasde PGHE,

assim omo Ross et al. [86 ℄[87 ℄ em Problemas de Gera ~ao de Horarios. Os primeiros onsideram

a gera ~ao ini ialde solu ~oes admissveis e adi ionam umtempo por adaevento que n~ao umpre

asatisfa ~ao dasrestri ~oes. A estrategia onsiste emapli aroperadores quepreservama satisfa ~ao

de todasas restri ~oesminimizando o numerode tempos extras. Os ultimos autores onsideram a

viola ~ao dasrestri ~oese penalizamassolu ~oesatravesde umafun ~ao de penalidade.

Pae hter et al. [81 ℄ apresentam um trabalho distinto dos autores anteriores. Estes autores

onsideramque o romossoma deveforne er instru ~oesparaa onstru ~ao de umhorario ombase

numa representa ~ao indire ta. O obje tivo e minimizar o numero de eventos n~ao mar ados, que

transformamo horario numa solu ~ao inadmissvel. Os autores apresentam duasalternativaspara

representa ~aodo romossomanumPGHA,respe tivamente,ometododepermuta ~aoespa o-tempo

eo metodo " olo a-pesquisa". No primeiro,o romossomae representadoporumapermuta ~aode

eventosdeumamatrizemque adaelementorepresentaautiliza ~aodeumasalanumdeterminado

intervalo de tempo. O romossoma indi a o evento que devera ser olo ado em ada elemento

dessa matriz. Se, ontudo, o evento n~ao poder ser olo ado nesse intervalo de tempo, ent~ao e

redire ionado para outro intervalo. Esta modi a ~ao e es rita no proprio romossoma para que

inst^an iasfuturaspossambene iardessainforma ~ao. Nometodo" olo a-pesquisa",o romossoma

e onstitudoporvariosgenes orrespondentesa adaevento. Cada gene onteminforma ~aosobre

oa tualintervalode tempoatribudoao evento, alo aliza ~ao doproximointervalode tempo aso

n~ao possa ser olo ado no intervalo a tual, o proximo gene a pro essar e o proximo geneque n~ao

ontemeventosatribudos. Na ompara ~ao omumalgoritmoevolutivo onven ional,estesautores

observaram ummelhor desempenhodosmetodosporelespropostos [81℄.

Corne et al. [28 ℄ apresentaram varias alternativasde representa ~oes do romossoma. A

repre-senta ~ao em espa os ri os em on itos apresenta o romossoma omo uma lista de eventos xos

atribudosaunidades detempo. Trata-se narealidadede umarepresenta ~aodire ta,emque o

es-pa odepro urasetornari oemviola ~oes. Aoutraabordagem,representa ~aoindire taemespa os

livresde on itos,utilizaoalgoritmo geneti o parapesquisaroespa o de permuta ~oesdeeventos.

Comore ursoa umaheursti a,oseventoss~ao atribudos aointervalode tempomaisre entesem

violarnenhumarestri ~ao. A ter eiraabordagem, representa ~ao deespa os om on itosdispersos,

Corneetal. [30 ℄ondeserealizouuma ompara ~aoaprofundadadasduasrepresenta ~oes. Contudo,

omoe real adoporHart eCorne[62 ℄, estadis uss~aosobre amelhorrepresenta ~aoainda estapor

serestudada mais onvenientemente.

3.3 Avalia ~ao e Atribui ~ao de Aptid~ao

Num problema de optimiza ~ao existe uma fun ~ao obje tivo que avalia a solu ~ao no ontexto do

problema. Nosalgoritmosevolutivosoresultadodaavalia ~ao,ou ustodasolu ~ao,emapeadonum

valorde aptid~aoque dis riminaaqualidade dassolu ~oes.

Existem dois tipos de mapeamento para aptid~ao: atribui ~ao de aptid~ao propor ional e por

seria ~ao[56 ℄. No primeiro aso,aaptid~aoe al ulada omoumafun ~aolineardo ustodasolu ~ao.

A desvantagem desta implementa ~ao reside na distribui ~ao da aptid~ao relativa pelos indivduos.

Umindivduo omumvalordeaptid~aomuitoelevadopoderapidamentedominartodaapopula ~ao

atravesdo operadorde sele  ~ao epromover a onverg^en ia prematuranumoptimo lo al.

Na seria ~ao, o mapeamento e efe tuado pela ordena ~ao das solu ~oes om base no seu usto.

Os valores de aptid~ao s~ao atribudos aos indivduos de a ordo om a sua posi ~ao na popula ~ao.

Destemodo,ao melhorindivduoesempreatribudaamesma aptid~ao,impedindoqueum

"super-indivduo"sereproduzaex essivamente e possibilitandoaafe ta ~ao domelhor indivduoamesma

aptid~ao numa popula ~ao quase homogenea. Numa popula ~ao de tamanho N, atribuindo posi ~ao

zero ao melhor indivduo e posi ~ao N 1 ao pior e representando a lassi a ~ao porr e aptid~ao

relativaporf =f(r),omapeamentolineardeaptid~ao ombaseemseria ~aopodeserdenidopela

seguinteexpress~ao:

f(r)=s (s 1)

2r

N 1

emques,1<s62 orrespondeaaptid~aorelativadesejadaparaomelhorindviduo[45 ℄. Contudo,

nas abordagensa resolu ~ao de Problemas de Gera ~ao de Horarios, estes aspe tos n~ao t^em tido a

import^an iane essaria.

Nesta lasse de problemas, o valor da avalia ~ao e normalmente baseado no usto da viola ~ao

dasrestri ~oesdoproblema, omoeexemploa seguinte equa ~ao utilizadaporErbeneKeppler[36 ℄

aval(f)=

1+V(f)

emquef eumasolu ~ao eV(f)eumafun ~aodepenalidaderepresentadapelasomaponderadado

numerode viola ~oesdas restri ~oes veri ada emf. Burke et al. [12 ℄ implementaramuma fun ~ao

de aptid~ao mais omplexa, adequadaa metodologia porelesdesenvolvida:

aval(f)= E U+ P 1 P i=0 V(p i ;p i+1 )

emqueE representaonumerodeeventos, U e onumerodeeventosquen~aoforammar adoseV e

umafun ~aoque representa onumerodeviola ~oesde restri ~oesentredois perodosnomesmo dia.

3.4 Sele  ~ao

Oobje tivo prin ipaldasele  ~ao e favore eras melhoressolu ~oes numa popula ~ao dea ordo om

valor de aptid~ao. Os varios operadores de sele  ~ao propostos na literaturapretendem dar maior

probabilidade de es olha a uma solu ~ao om maior valor de aptid~ao. A diferen a entre estes

operadoresreside nomodo omo as opias s~ao atribudasasmelhores solu ~oes.

Asso iado a sele  ~ao esta o on eito de press~ao sele tiva que determina a velo idade om que

a melhor solu ~ao da popula ~ao ini ialira dominar toda a popula ~ao om apli a ~oes repetidas do

operador de sele  ~ao [4 ℄ [58 ℄. Normalmente, e entendido omo o numero de des endentes que o

melhor indivduo onseguira obter na sele  ~ao. A press~ao sele tiva n~ao pode ser ex essivamente

elevada, pois pode promover a onverg^en ia prematura devido a falta de diversidade. Um valor

ideal de press~ao sele tiva e o que promove uma onverg^en ia su ientemente lenta, permitindo a

intera  ~ao entre osoperadores de ruzamento e muta ~ao parapesquisaro espa o de pro ura, mas

n~ao t~ao baixaquea pesquisasejadominada porfenomenosde derivageneti a.

Os metodos de sele  ~ao mais omuns s~ao o Roulette Wheel Sampling (RWS) [56 ℄, Sto hasti

UniversalSampling(SUS)[5℄eoTorneio[58 ℄. Ooperadordesele  ~aoRWS onsistenumasequ^en ia

de sele  ~oes independentes em que os indivduos s~ao mapeados em segmentos ontguos de uma

linha. Cada segmento do indivduoe igual em tamanho a sua aptid~ao normalizada. Um numero

desvantagens deste metodo e a o orr^en ia de erros de sele  ~ao elevados. Visto que o numero de

des endentes devera ser inteiro, este sera ne essariamente superior ou inferior ao valor desejado.

No aso do RWS, o numero a tual de des endentes de a umindivduo pode  ar muito longe do

valoresperado.

O operador de sele  ~ao SUS onsiste numa so triagem de n indivduos que est~ao mapeados

em segmentos ontguos do mesmo modo que no RWS. Contudo, neste operador, onsidera-se a

exist^en ia de n ponteiros igualmenteespa ados e olo ados sobre os segmentos ontguos.

Consi-derando nP omo o numero de indivduosa serem sele ionados, a dist^an ia entre ponteiros sera

1/nP ea posi ~aodo primeiroegerada aleatoriamenteentre [0,1/nP[. A vantagem deste operador

emrela ~ao ao RWSe quegarante umdesvio mnimo emrela ~ao aovalor desejado.

Deummodosimplista,ooperadorde sele  ~aoTorneio onsistenasele  ~aoaleatoriadeumpar

de indivduosda popula ~ao que s~ao omparados entresi. Omelhor indivduoganhao torneio e e

sele ionado. Nas implementa ~oesprati as pode existir uma maior omponenteprobabilsti a. A

este operadore asso iadoumvalor aleatorio r e umdeterminado par^ametro k emque, ser<k,o

melhorindivduoesele ionado, aso ontrario, opior.

Rossetal. [87 ℄foramosuni os que ompararamodesempenhodevariosoperadoresdesele  ~ao

em Problemas de Gera ~ao de Horarios. Estes autores observaram que a sele  ~ao Torneio seria a

melhor op ~ao para Problemas de Gera ~ao de Horarios, seguido da sele  ~ao baseada em seria ~ao e

dasele  ~ao propor ionalaaptid~ao. A es olhadesteoperadortambemereal adadevidoaredu ~ao

do tempo omputa ionalna avalia ~ao, pois so osindivduoses olhidos para Torneioe que seriam

avaliados. Contudo, osautores armam que seriane essario exe utar maissimula ~oes om varios

par^ametros nosoperadores de sele  ~ao para onrmarem ageneraliza ~ao dosresultadosobtidos.

3.5 Muta ~ao

A muta ~ao e um operador que altera, om uma probabilidade ontrolada, o valor de ada

gene num romossoma de um indivduo. Algumas on lus~oes empri as foram determinadas pela

omunidade ient a sobre o papel da muta ~ao.



E de real ar os resultados obtidos por Fogarty

[39 ℄,queobservouumamelhorianodesempenhodo algoritmoquando aprobabilidadede muta ~ao



optimaP

m

=1=L,emque Le o omprimento do romomosoma.

De um modo geral, e ne essario um uidado espe ial om a probabilidade de muta ~ao, pois

se for muito elevada, pode impedir a onverg^en ia para uma solu ~ao optima, transformando-se

a pesquisas numa pesquisa aleatoria. Se for muito reduzida, pode promover uma onverg^en ia

ante ipada, estagnar num optimo lo al e n~ao ter apa idade de explorar outras zonas do espa o

de pesquisa. Re entemente, O hoa et al. [79 ℄ determinaram umarela ~ao entrea probabilidadede

muta ~aodosalgoritmosevolutivoseapress~aosele tiva, ombaseno on eitodelimiteerro,usado

no estudo da evolu ~ao mole ular. Este on eito representa a probabilidade de muta ~ao rti a

emque a estrutura obtidapelopro esso evolutivo e destruda om maiorfrequ^en ia pormuta ~ao

do que e reproduzida por sele  ~ao. Estes autores identi am, assim, uma rela ~ao entre a press~ao

sele tiva e aprobabilidadede muta ~ao,e queseraum on eitoabordadoneste estudo.

Emproblemasemqueo romossomaerepresentadoporumapermuta ~ao,ene essarioum

ui-dadoespe ial omodesenhodome anismodemuta ~aoparaasseguraraadmissibilidadedasolu ~ao.



Etambemne essario terem onsidera ~aoqueuma simplesmuta ~ao deumgenenum romossoma

podeprovo aromovimentodasolu ~aoparaumpontodistantedoespa odepro ura. Destemodo,

temsidonaturalqueasabordagensaosoperadoresdemuta ~aofavore amapesquisalo al. Alguns

operadoresdemuta ~aoforam denidosparadeterminadosproblemas omooproblemado aixeiro

viajante. Neste problema,e possvel tirarpartido da adja ^en ia entre oselementos, denindo um

algoritmo geneti o om muta ~ao baseada no algoritmo 2-opt, em que a ordem de uma sequ^en ia

entredois pontosno romossoma e invertida. Syswerda [98 ℄ deniuvariosoperadores de muta ~ao

paraproblemas de es alonamento e afe ta ~ao de re ursos. Os operadores denidos baseiam-sena

tro a de posi ~oesentre dois genese na reordena ~ao aleatoria de umasequ^en ia da permuta ~ao.

EmProblemasdeGera ~aodeHorariost^emsurgidoalgumaspropostasinovadorasdeoperadores

de muta ~ao. Burke et al. [9℄,na resolu ~ao de umPGHA, prop~oemum operadorde muta ~ao que

altereaafe ta ~ao do perodo esalaao examede a ordo omdeterminadasprioridades. Rosset al.

[87 ℄implementaramumoperadordemuta ~aodin^ami oemqueaprobabilidadedemuta ~aoini iava

a0,003eaumentava0,0003em adagera ~aoateaumlimitede0,02. Maistarde,osmesmosautores

[88 ℄ apresentaramumnovo tipode operadorde muta ~ao que onsistenumme anismo queatribui

umamaiorprobabilidadedemuta ~aoaosgenesqueapresentammaiorviola ~aodasrestri ~oes. Este

dovaloraatribuir,independentedaposi ~aoes olhida,produziammelhoresresultados. Corneetal.

[28 ℄generalizamesteoperadorparaProblemasdeGera ~aodeHorarios omrepresenta ~oesdire tas

e distinguiramentre operadores de muta ~ao violation-dire ted e event-freeing. Ambos assumema

es olhadaposi ~aoparamuta ~ao ombasenaquelequeapresentarmaiorviola ~aonasrestri ~oes. A

distin ~aoresidenometodode afe ta ~ao dovaloraposi ~ao es olhida. Amuta ~ao violation-dire ted

atribuium intervalo de tempo aleatorio e a muta ~ao event-freeing atribui umintervalo de tempo

quereduz,emmaiorgrau, aviola ~ao dasrestri ~oes. Ooperadorde muta ~ao propostono Captulo

4 segueuma abordagem nalinhadestes autores.

3.6 Re ombina ~ao

A re ombina ~ao o orre entre pares de romossomas para tro a de fragmentos de informa ~ao. No

asodarepresenta ~aodire ta,esteme anismoeusualmente onstitudopeloseguintepro edimento:

 Doisindivduoss~ao es olhidosda popula ~ao;

 Umaou maislo aliza ~oess~aodeterminadaspara delimitarasequ^en ia paratro a;

 Ossegmentoss~ao tro ados e ombinadospara riar umparde des endentes.

Asso iadoaesteoperadorexisteumaprobabilidadedere ombina ~aoquedeterminaafrequ^en ia

omqueesteoperadoreutilizadopor adagera ~ao. Estudosempri osindi amqueestevalordevera

estar omprendidoentre 0,75e0,95 [92 ℄. Existem, ontudo,outraste ni as quepermitemadaptar

este valor no de ursoda exe u ~ao do algoritmo geneti o [32 ℄.

Oprimeiro tipode re ombina ~ao denidofoio ruzamento de umponto. Consistena sele  ~ao

de um ponto de re ombina ~ao e tro a de segmentos ontguos que ome am ou terminam nesse

ponto. Outravariante deste operadordenominadore ombina ~ao de npontos onsisteem

sele io-narnpontosparare ombina ~ao. Syswerda[97℄deniua re ombina ~aouniformeemqueade is~ao

de tro ar ada posi ~ao do romossoma e efe tuada probabilisti amente em ada posi ~ao do

ro-mossoma. Booker [7 ℄ implementou a re ombina ~ao redu ed-surrogate, que restringe os pontos de

re ombina ~ao aos lo ais onde os genes dos romossomas dos indivduossele ionados apresentam

mente antesdesersubmetidoare ombina ~aodeumounpontos. Depoisdeapli areste operador,

o romossomaregressa aordemoriginal.

Embora a maioriadasimplementa ~oes de algoritmosevolutivos apli adosa Problemas de

Ge-ra ~ao de Horarios apresentem operadores de re ombina ~ao onven ionais, algumas variantes

de-mostraram su esso em alguns asos. Corneet al. [28 ℄ apresentaram ummetodo de re ombina ~ao

que utiliza a informa ~ao do grau de viola ~ao das restri ~oes. Dada a sele  ~ao de dois indivduos,

onsideram-seosvaloresmaxv e minvquerepresentamo maximoeo mnimodograude viola ~ao

veri adosem ada umdeles. Para adaevento i, al ula-se a probabilidadep

i em que p i = v i minv 1+maxv minv e em que p i

representa o numero de viola ~oes no evento i. O gene i do des endente e afe to ao

geneido pai om probabilidadep

i 1.

Num PGHE, Burke et al. [11 ℄ estudaram varios tipos de operadores de re ombina ~ao para

repesenta ~oes dire tasem que aadmissibilidadedos des endentese mantida porumalgoritmo de

sele  ~ao dosexamesque ir~aosertro ados. Osautores implementaramvariosmetodosdesele  ~ao,

respe tivamente, sele  ~ao aleatoria, baseada em heursti as de olora ~ao de grafos, heursti as

es-pe  as e ombina ~ao de heursti as. Foi observado que este ultimometodo apresentava melhor

desempenho.

Terashima[99 ℄ deniuumoperadordere ombina ~ao paraPGHEbaseado em liques. Comoe

possvelformalizarumPGHE omo umProblemadeColora ~aodeGrafos, aideiadesteoperadore

extrairas liquesresolvidasdedoisprogenitoresparagerarumdes endente. Uma liqueeum

sub-grafo om onex~ao maxima, ou seja, todos osnos dessesub-grafo est~ao ligados entre si. Segundo

este autor, e transportando a analogia para PGHEs, uma lique e um agrupamento de exames

que t^em de ser mar ados em temposdiferentes devido a uma determinada restri ~ao. Oobje tivo

do operador e agregar e ombinar onjuntos de liques resolvidas a partir de ada progenitor,

assegurandoaadmissibilidadeda solu ~ao.

3.7 Popula ~ao

A utiliza ~ao de uma popula ~ao de solu ~oes representa uma dasgrandes vantagens dos algoritmos

paraumapopula ~ao reduzida[92 ℄, outrosparaumapopula ~aode grandesdimens~oes[57 ℄ e outros

paravaria ~ao do tamanhoda popula ~ao durantea exe u ~ao [75 ℄.



E omum a ideia que uma popula ~ao om uma dimens~ao maior do que o ne essario para a

resolu ~ao do problema podera forne er diversidade, mas representara um usto omputa ional

desne essario. Por outro lado, uma popula ~ao demasiado pequena favore era uma onverg^en ia

ante ipada em optimos lo ais.



E ne essario ainda estudar onvenientemente qual o tamanho da

popula ~ao ideal para determinados tipos de problemas, tendo em onta a utiliza ~ao de ertos

operadores e da representa ~ao utilizada. Muhlenbein [77 ℄ observou que a muta ~ao e ine iente

emgrandes popula ~oesnos problemas de optimiza ~ao ombinatoria, ne essitando de umapress~ao

sele tivamuitoforte. Poroutrolado,Allender[1 ℄observouqueoalgoritmoevolutivoseriae iente

sea popula ~ao fosse su ientemente grande para re ombinarospossveis blo os onstru tivos das

solu ~oes.

Contudo, o tamanho da popula ~ao n~ao tem sido alvo de grandes debates na apli a ~ao da

metodologia evolutiva a Problemas de Gera ~ao de Horarios. Pelo ontrario, a ini ializa ~ao do

algoritmo evolutivo, na gera ~ao da popula ~ao, tem sido su ientementebem dis utida. Emgeral,

estrategiasdereini ializa ~aoaleatoriaemproblemasdeoptimiza ~ao ombinatoriatemsidoutilizada

paraalgoritmosevolutivos[98℄. Contudo,nasvariasabordagensdametodologiaevolutivaapli ada



aresolu ~aode Problemasde Gera ~ao deHorarios,variosautoresutilizamheursti as onstru tivas

ini iaispara gerar indivduosna popula ~ao. Corne et al. [29 ℄ efe tuaram varias ini ializa ~oes do

algoritmo evolutivo para resolu ~ao de um PGHE para omparar o desempenho de um algoritmo

"guloso" om um algoritmo "esfomeado". Enquanto que o primeiro tem por obje tivo veri ar

todososintervalosdetempodisponveis,sele ionandooqueapresentamenos on itos,oalgoritmo

"esfomeado" veri a so k intervalos de tempo. Estes autores veri aram a superioridade desta



ultimaabordagem.

Asdiferentesestruturasdapopula ~aot^emvindoaserestudadasemproblemasquesepretende

obter mais do que uma solu ~ao. Problemas do domnio da lassi a ~ao, simula ~ao de sistemas

omplexos e adaptativos e fun ~oes de optimiza ~ao multimodais e multiobje tivorequerem a

lo a-liza ~ao e manuten ~ao de multiplassolu ~oes. Os metodos de nin hing s~ao te ni as que promovem

apesquisadevariosoptimosno espa o de pro uraedividem-seem doistipos: partilhade aptid~ao

de rowding onsiste na inser ~ao de novoselementos na popula ~ao, substituindoosindivduos

se-melhantes. Estesmetodosapresentamadesvantagemdepermitiro ruzamentoentreduassolu ~oes

queseen ontramemdoispontosoptimosdistintos, produzindo,porventura,indivduosletais. Um

mododesuperarestadesvantagem onsisteemsopermitiro ruzamentodeindivduossemelhantes

[56 ℄.

Outros modelosde popula ~aoestruturada s~ao utilizadosparaadaptar osalgoritmosevolutivos

aoambientedepro essamentoparalelo,respe tivamenteomodelodeilhas[60 ℄edifus~ao[53℄. O

pri-meiro onsistenaexe u ~aosimult^aneadevariosalgoritmosevolutivosempro essadoresdiferentes.

Periodi amente,fra  ~oesdaspopula ~oess~aotro adasentreosalgoritmosgeneti os,implementando

um me anismo de migra ~ao. No modelo de difus~ao a popula ~ao esta distribuidanuma grelha de

pro essadoresem que adaindivduointerage uni amente omosseus vizinhos dire tos.

Daextensa literaturasobreProblemasde Gera ~ao deHorarios, oestudo elaboradoporTurner

[103 ℄ real a asdiferentes estruturasde popula ~ao nosalgoritmos evolutivos paraestes problemas.

Semter porobje tivo a obten ~ao de multiplas solu ~oes pararesolvero problemade uma

perspe -tiva multiobje tivo, muitas das te ni as utilizadass~ao perfeitamente adaptadas para este tipo de

optimiza ~ao. No Captulo 4 deste estudo, devido a sua liga ~ao om a abordagem multiobje tivo,

seraalvo de umades ri ~aomais pormenorizada.

3.8 Restri ~oes

A resolu ~ao de problemas om restri ~oes atraves de algoritmos evolutivos n~ao e trivial. Muitas

das te ni as onven ionais sobre metodologia evolutiva n~ao permitem lidar dire tamente om as

restri ~oesno espa ode pro ura. Muitasabordagenst^emsido testadaspararesolveresteproblema,

desde utiliza ~ao de fun ~oes de penalidade, des odi a ~ao, algoritmos de repara ~ao e desenho de

operadoresespe iais.

Um das te ni as mais utilizadas s~ao as fun ~oes de penalidade. O obje tivo destas fun ~oes e

penalizar,dealgummodo,assolu ~oesqueviolamasrestri ~oesdoproblema. No asode restri ~oes

om diferentes graus de import^an ia, e possvel introduzir oe ientes na fun ~ao obje tivo. A

desvantagem deste metodo e eviden iada nosproblemas om variosobje tivosdistintos, em quee

do espa o de solu ~ao. Deste modo, o romossoma e interpretado por um des odi ador sobre o

metodo de onstruir a solu ~ao. Este me anismo apresenta a desvantagem de ser dependente do

problema, di ultaro estudo do algoritmo devidoa representa ~ao n~ao orresponder dire tamente



a solu ~ao e denem todasasrestri ~oesserem possveis de seremimplementadas.

Os algoritmos de repara ~ao onsistem no mapeamento de uma solu ~ao n~ao-admissvel numa

solu ~ao admissvel. Estes algoritmos podem alterar aleatoria ou deterministi amente a solu ~ao

n~ao-admissvel. Mi halewi z [75 ℄ observou quea repara ~ao determinsti a apresentava melhor

de-sempenhoem problemas ombinatorios. Contudo, este me anismo tambem sofre da desvantagem

de serdemasiadodependentedoproblema, di ultandogeneraliza ~oes.

Os operadores que preservama admissibilidadedas solu ~oes s~ao metodos alternativos para os

algoritmosevolutivoslidarem om asrestri ~oes. A anterior deni ~ao de operadores de muta ~ao e

ruzamentoreferealgunsoperadoresaosquaisfoiadi ionado onhe imentodoproblemaemestudo.

Mais uma vez, a desvantagem deste metodo e similara veri ada para algoritmos de repara ~ao e

des odi a ~ao.

Outros metodos maisre entesde lidar omasrestri ~oes onsistem nomodelo o-evolutivo [84 ℄

ealgoritmosevolutivosmultiobje tivo[41 ℄. Noprimeiro,asrestri ~oeseassolu ~oesinteragementre

si, ombase nomodelode predadore presa na Natureza. Os algoritmosevolutivosmultiobje tivo

ser~ao des ritosna proximase  ~ao e ser~ao abase deste estudo.

O modo de lidar om restri ~oes om algoritmos evolutivos apli ados a Problemas de Gera ~ao

de Horarios tem sido abordado porfun ~oes de penalidade [87 ℄, des odi a ~ao [81 ℄, algoritmos de

repara ~ao[18 ℄e desenhode operadores espe iais[12 ℄. Re entementesurgiramalgumas abordagens

[19 ℄ [17 ℄ que real am a ne essidade de alterar o modo de lidar om as restri ~oes. Como estas

abordagens est~ao rela ionadas om perspe tivas multi- riterio e multiobje tivo ao PEHs, ser~ao

referidasno ontextoda se  ~ao seguintesobre AlgoritmosEvolutivosMultiobje tivo.

3.9 Algoritmos Evolutivos Multiobje tivo

Muitosproblemasdeoptimiza ~ao davidareal apresentam multiplosobje tivos on ituosose n~

ao- omensuraveis. ODe isorpode,porventura,pretender um onjunto deboassolu ~oesequivalentes