Uma analise comparativa entre elementos finitos para cascas

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UMA ANÁLISE COMPARATIVA ENTRE ELEMENTOS FINITOS PARA CASCAS

DISSERTAÇÃO SUBMETIDA À UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA

ROBERTO KINCELER

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ROBERTO KINCELER

ESTA DISSERTAÇÃO FOI JULGADA ADEQUADA PARA A OBTENÇÃO DO TÍTULO DE

MESTRE EM ENGENHARIA

ESPECIALIDADE ENGENHARIA MECÂNICA, ÁREA DE CONCENTRAÇÃO PROJETO, APROVADA EM SUA FORMA FINAL PELO CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

CLOVIS SPERB DE &ÆRCELLOS - P h .D . :IENTAD0R

Bgí^EN/) S N O E ^JE R - D r . - I n g . COORDENADOR DO CURSO BANCA EXAMINADORA:

CLOVIS SPE R B J3E-fi?ïR t:ELL 0S - P h .D . PRESIDENTE

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Ao P ro f. B a rc e llo s, p e la o rie n ta ç ã o d e s te tra b a lh o . Aos am ig o s Jun e T a n c re d o , p o r tu d o m esm o.

À tu r m a do m a r de lam a , p e lo s m om entos in esq u e c ív e is. Ao M arco A ntônio L u e rse n , p e la p a r t e g r á f ic a .

À Sula, p e la d a tilo g r a f ia .

À CAPES, pelo apoio fin a n c e iro .

À to d o s a q u e le s d a s s a la s 5, 6 e "te n d a " que de um a fo rm a ou de o u t r a c o n trib u íra m p a r a a r e a liz a ç ã o d e s te tr a b a lh o .

Aos am igos T a n c re d o , Jun e Ju c élio , pelo tr a b a lh o de r e v is ã o e ed ição d a d is s e r ta ç ã o .

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1 - INTRODUÇÃO 1.1 - G e n e ra lid a d e s 1 1.2 - R evisão b ib lio g rá f ic a 2 1.3 - D efin ição do p ro b le m a 5 1.3.1 - In tro d u ç ã o 5 1.3.2 - C o nceitos 7 1.3.3 - Seleção dos e le m en to s 12

1.4 - Im p lem en tação co m p u ta cio n a l 13

2 - DESENVOLVIMENTO DOS ELEMENTOS 9-FU LL E 9-URI

2.1 - In tro d u ç ã o 15

2 .2 - F o rm u la ç ão do elem en to 9-FU LL 15

2.2.1 - S iste m a s de c o o rd e n a d a s 15 2 .2 .2 - G e o m e tria do ele m en to 18 2 .2 .3 - R e p re se n ta ç ã o dos d e slo c a m e n to s 19 2 .2 .4 - D efo rm açõ es 20 2 .2 .5 - D efin ição d a s te n s õ e s 23 2 .2 .6 - D e te rm in a ç ã o d a m a tr iz de r ig id e z 25 2 .2 .7 - D e te rm in a ç ã o d a m a tr iz de in é rc ia 26 2 .2 .8 - I n te g ra ç ã o n u m érica 27

2 .3 - F o rm u la ç ão do elem ento 9-U Rl 27

2.3.1 - In tro d u ç ã o 27

2 .3 .2 - E lem ento 9-URI 27

3 - DESENVOLVIMENTO DO ELEMENTO SHELM-9

3 .2 - F o rm u la ç ão do elem ento SHELM-9 30

3.2.1 - S iste m a s de c o o rd e n a d a s 30

3 .2 .2 - G e o m e tria do elem en to 30

3 .2 .3 - R e p re se n ta ç ã o dos d e slo c a m e n to s 30

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3 .2 .5 - Campo de d e fo rm a ç õ e s 32 3 .2 .6 - D e te rm in a ç ã o d a m a t r iz de r ig id e z n 35 3 .2 .7 - D e te rm in a ç ã o d a m a t r iz de in é r c ia 37 3 .2 .8 - In te g ra ç ã o n u m é ric a 37 4 - ANÁLISE ESTÁTICA 4.1 - In tro d u ç ã o 38 4 .2 - "Patcli te s t" 39 4.2.1 - In tro d u ç ã o 39 4 .2 .2 - D e sc riç ã o do p ro b le m a 40 4 .2 .3 - B ase c o m p a ra tiv a 41

4 .2 .4 - A nálise dos r e s u lta d o s 41

4 .3 - P la c a q u a d ra d a com m alh a r e g u la r 42

4.3.1 - In tro d u ç ã o 42

4 .3 .2 - D e sc riç ã o do p ro b le m a 42

4 .3 .3 - Base c o m p a ra tiv a 43

4 .3 .5 - F ig u ra s 45

4 .4 - P la c a q u a d ra d a com m alh a r e g u la r e d is to r c id a 48

4.4.1 - In tro d u ç ã o 48

4 .4 .2 - D e sc riç ã o do p ro b le m a 48

4 .4 .5 - T a b e la s e f ig u r a s 52

4 .5 - T elhado c ilín d ric o 54

4.5.1 - In tro d u ç ã o 54

4 .5 .2 - D escrição do p ro b le m a 55

4 .5 .5 - T a b e la e f ig u r a 58

4 .6 - C ilindro puncionado 58

4.6.1 - In tro d u ç ão 58

4 .6 .2 - D escrição do p ro b le m a 59

4 .6 .3 - Base c o m p a rá tiv a 4 .6 .4 - A nálise dos r e s u lta d o s

4 .6 .5 - T a b e la s e f ig u r a s ^2

4 .7 - S e m ie sfe ra 65

4.7.1 - In tro d u ç ão 65

(7)

4 .7 .3 - B ase c o m p a ra tiv a 66

4 .7 .4 - A nálise dos re s u lta d o s '' ^7

4 .7 .5 - T a b e la e f ig u r a 67 4 .8 - C ilindro e n g a s ta d o 67 4.8.1 - In tro d u ç ã o 67 4 .8 .2 - D e sc riç ã o do p ro b le m a 68 4 .8 .3 - B ase c o m p a ra tiv a 69 4 .8 .4 - T a b e la s 70

4 .8 .5 - A nálise dos re s u lta d o s 70

5 - ANÁLISE DINÂMICA

5 .2 - A nálise de a u to v a lo re s e a u to v e to re s 72

5.2.1 - In tro d u ç ã o < 72

5 .2 .2 - D e sc riç ã o do p ro b lem a 72

5 .3 - P la ca e n g a s ta d a . F re q ü ê n c ia s n a tu r a is 75

5.3.1 - In tro d u ç ã o 75

5 .3 .2 - D e sc riç ã o do p ro b lem a 75

5 .3 .5 - T a b e la s e f ig u r a s 77

5 .4 - Pá de v e n tila d o r 80

5.4.1 - In tro d u ç ã o 80

5 .4 .2 - D e sc riç ã o do pro b lem a 80

5 .4 .5 - T a b e la s e f ig u r a s 82 6 - CONCLUSÕES E SUGESTÕES 5.1 - In tro d u ç ã o 85 6 .2 - C onclusões 85 6 .3 - S ug estõ es • 88 BIBLIOGRAFIA 89

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APÊNDICES

A - Funções de in te r p o la ç ã o e s u a s d e riv a d a s em r e la ç ã o à s c o o rd e n a d a s

n a tu r a is Ç, t), p a r a os e le m en to s 9-FU LL, 9-URI e SHELM-9 94

B - M a triz B® de r e la ç õ e s d e f o rm a ç õ e s -d e s lo c a m e n to s em r e la ç ã o ao s is te m a glo b al 96 C - M a triz de tr a n s f o r m a ç ã o de d e fo rm a ç õ e s T do s is te m a g lo b al p a r a o s is te m a local 100 D - M a triz de in é rc ia 102 E - In te g ra ç ã o n u m é ric a p e la q u a d r a tu r a de G auss 104 F - D e te rm in a ç ã o d a m a tr iz de r ig id e z do ele m en to SHELM-9 106 G - M a triz de tr a n s f o r m a ç ã o de d e fo rm a ç õ e s do s is te m a n a tu r a l p a r a o s is te m a local 111

H - D e te rm in a ç ã o dos e s f o r ç o s nos e le m en to s 9-FULL, 9-U Rl e SHELM-9 115

I - D e te rm in a ç ã o d a s te n s õ e s do elem en to SHELM-9 120

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1. SINAIS E CONVENÇÕES. f - In te g ra ç ã o X - P ro d u to v e to r ia l e n tr e v e to r e s (.) - P ro d u to e s c a la r e n tr e v e to r e s w , - A v írg u la in d ic a d e riv a d a p a r c ia l, ou s e ja ^ -[ I - V eto r co lu n a - T ra n s p o s to de um v e to r co lu n a [ ] - M a triz [ - T r a n s p o s ta de um a m a tr iz

(.)® - S ig n ific a vciriável r e f e r e n t e ao s is te m a global ( .) ' - S ig n ific a v a riá v e l r e f e r e n t e ao s is te m a local (.)" - S ig n ific a v a riá v e l r e f e r e n t e ao s is te m a n a tu r a l (.)^ - S ig n ific a v a riá v e l r e f e r e n t e ao s is te m a nodal

(x ) - A b a r r a in d ic a que a v a riá v e l "x" provém de um cam po de d e fo rm a ç õ e s in d e p e n d e n te s

(x) - 0 c irc u n fle x o in d ica que a v a riá v e l "x" provém de um cam po de d e slo c a m e n to s (nxm ) - M a triz com dim ensão"n" p o r "m"

I I - D e te rm in a n te de um a m a tr iz

X - L e tr a s m in ú scu las em n e g rito s ig n if ic a v e to r

X - L e tr a s m a iú sc u la s em n e g r ito s ig n if ic a m a tr iz II II - N orm a euclidiam a de um v e to r

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A - Á rea E - P a r c e la de e n e rg ia de d e fo rm a ç ã o devido à fle x ã o b E - P a r c e la de e n e rg ia de d e fo rm a ç ã o devido à m em b ran a m E - P a r c e la de e n e rg ia d e d e fo rm a ç ã o devido ao c isa lh a m e n to E - Módulo de e la s tic id a d e lo n g itu d in a l

G - Módulo de e la s tic id a d e t r a n s v e r s a l hj - E s p e s su ra no nó "i" do e le m en to I - Momento de in é r c ia de um a se ç ã o L - C om prim ento de um lad o

Nj - Funções de in te r p o la ç ã o la g r a n g e a n a s P - C arg a c o n c e n tra d a a p lic a d a

Q - C a rg a d is tr ib u íd a a p lic a d a T - E n e rg ia c in é tic a do e le m en to

V - Volume

- T ra b a lh o r e a liz a d o p e la s c a r g a s e x te r n a s - P esos de in te g r a ç ã o

B - M a triz de r e la ç ã o d e fo rm aç õ e s-d e slo c ê m ie n to s

D - M a triz de re la ç õ e s c o n s titu tiv a s J - M a triz ja c o b ia n a

J ^ - In v e rsa da m a t r iz ja c o b ia n a K - M a triz de r ig id e z de um elem en to

K - M a triz de rig id e z de f le x ã o de um elem en to

b

K - M a triz de r ig id e z de m em brcuia de um ele m en to

m

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M - M a triz de in é r c ia do ele m en to

T - M a triz de tr a n s f o r m a ç ã o de d e fo rm a ç õ e s do s is te m a g lo b al p a r a o s is te m a lo - cal

- V e to re s de b a s e o r to n o rm a is do s is te m a nodal de c o o rd e n a d a s e® - V e to re s de b a s e o rto n o r m a is do s is te m a glo b al de c o o rd e n a d a s e | - V e to re s de b a s e o rto n o r m a is do s is te m a lo cal de c o o rd e n a d a s f - V e to r de c a r g a s n o d a is

q - V eto r de v a riá v e is n o d a is

u ,v ,w - D eslo cam en to s n o d a is em r e la ç ã o ao s is te m a glo b al

II - Funcional

a - D eslocam ento n a m a t r iz de r ig id e z ("sh iftin g ") P - P a r â m e tr o s d e d e fo rm a ç õ e s

ô - O p erad o r v a ria c io n a l e - D e fo rm a ç ão no plan o <t> - A u to v e to re s

y - D efo rm açõ es c is a lh a n te s X - A uto v alo res

V - C o e fic ien te de P o isso n p - D ensidade v o lu m é tric a <r - T ensões 0^,0^ - R o ta ç õ es n o d ais Í2 - F re q ü ê n c ia s sm g u lares K - F a to r de c o rre ç ã o de te n s õ e s c is a lh a n te s tr a n s v e r s a is Ç,T),Ç - C o ordenadas n a tu r a is

0 - M a triz dos c o sse n o s d ir e t o r e s e n tr e os s is te m a s g lo b al e lo ca l

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N e ste tr a b a lh o é a p r e s e n ta d a um a a n á lis e c o m p a ra tiv a e n tr e a lg u n s m o d e lo s lin e a re s de e le m en to s de c a s c a is o tró p ic o s .

Dos m odelos p ro p o s to s n a l i t e r a t u r a , f o ra m se le c io n a d o s p a r a a a n á lis e a q u e le s que m elh o r sa tis fa z iô u n u m a s é r ie de c r i t é r i o s p ré - e s ta b e le c id o s , e n tr e e s te s a in c lu sã o d a p a r c e la de e n e rg ia de d e fo rm a ç ã o p o r c is a lh a m e n to .

A c o m p a ra ç ã o é f e i t a com b a s e no c o m p o rta m e n to de c a d a elem ento n a so lu ç ã o de p ro b le m as t a n t o e s tá t ic o com o din âm ico s. N e s te c o n te x to sã o a n a lis a d o s os s e g u in te s a sp e c to s: o c o rr ê n c ia dos fen ô m e n o s de tra v a m e n to d e c is a lh a m e n to e de m em b r a n a , s e n sib ilid a d e à d is to r ç ã o de m a lh a , o c o rr ê n c ia de m odos f a ls o s de e n e rg ia e co n v e rg ê n c ia p a r a a s d e fle x õ e s e fre q ü ê n c ia s n a tu r a is .

Com b a s e nos r e s u lta d o s o b tid o s é f e i t a u m a rec o m en d a ç ã o de im p lcin ta- ção dos m elh o res e le m en to s em um p ro g ra m a de e le m e n to s f in i to s de uso g e ra l .

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A c o m p a ra tiv e a n a ly s is o f som e lin e a r m odels o f is o tr o p ic sh e ll f i n i t e e le m e n ts is p r e s e n te d in t h is w ork.

T he e le m e n ts t h a t b e s t f u lf il l som e p re v io u sly d e fin e d r e q u ir e m e n ts , su ch a s th e in c lu sio n o f s t r a i n e n e rg y due to s h e a rin g , w e re s e le c te d fro m th e m odels p ro p o se d in th e l i t e r a tu r e .

T he c o m p a riso n is b a se d on th e p e rfo rm a n c e o f e a c h ele m en t in th e so lu tio n o f b o th s t a t i c a n d dynam ic p ro b le m s. In t h is c o n te x t, th e fo llo w in g a s p e c ts w e re a n a ly se d : p re s e n c e o f s h e a r a n d m em b ran e locking, m esh d is to r tio n s e n s itiv ity , p re s e n c e o f s p u rio u s z e ro e n e rg y m odes, co n v erg en ce o f d isp la c e m e n ts an d n a tu r a l f re q u e n c ie s .

B ased on th e r e s u l ts , th e e le m e n ts w ith b e t t e r p e rfo rm a n c e a r e recco m en d ed f o r in clu sio n in a g e n e ra l f in i te e le m e n t p ro g ra m .

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INTRODUÇÃO

1.1 - GENERALIDADES.

%

A a n á lis e de e s t r u t u r a s de c a s c a c o m p reen d e um a v a s ta á r e a d e n tr o do ra m o d a e n g e n h a ria . Como exem plos de e s t r u t u r a s que podem s e r m od elad as u sa n d o a t e o r i a de c a s c a s , p o d e -s e c i t a r os vaso s sob p r e s s ã o , e s t r u t u r a s de r e a t o r e s n u c le a r e s , su b m a rin o s, c o m p o rta s e b a rr a g e n s de u s in a s h id r e lé tr ic a s , e s t r u t u r a s a e ro n á u t i c a s , tu r b in a s , e tc ...

A ntes de se c o n s tr u ir t a i s e s t r u t u r a s , é n e c e s s á rio que s e f a ç a o e s tu d o te ó r ic o e /o u e x p e rim e n ta l de um m odelo, de t a l f o rm a que a e s t r u t u r a não c o la p - s e q u an d o sob um c a rr e g a m e n to re a l. Uma d a s p o s s ib ilid a d e s do e s tu d o te ó r ic o con s i s t e no uso de um m étodo b a s ta n te difundido n a e n g e n h a ria , denom inado de m éto d o de e le m e n to s f in ito s , onde, b a s ic a m e n te , a e s t r u t u r a é d is c r e tiz a d a em pequenos ele m en to s , o s ch am ados e le m en to s f in ito s e, a tr a v é s d a a p lic a ç ã o de p rin c íp io s v a r ia c io - n a is , a s v a riá v e is de in te r e s s e sã o o b tid a s.

0 elem en to a s e r u tiliz a d o no uso do m étodo de e le m en to s f in ito s deve s e r co m p atív el com o tip o de e s t r u t u r a a s e r a n a lis a d a n a p r á tic a : p a r a e s t r u t u r a s de c a s c a , p o r exem plo, p r o c u r a - s e utilizcu- e le m e n to s f in i to s de c a sc a . No e n ta n to , podem o c o r r e r s im p lific a ç õ e s com o a u tiliz a d a p o r ZIENKIEWICZ [43], b a s e a d a s n a u t i liz a ç ã o de e le m en to s de p la c a p a r a a m odelagem de e s t r u t u r a s de c a sc a .

E m b o ra a a n á lis e de e s tr u tu r a s de c a s c a pelo m étodo de e lem en to s f i n i t o s j á s e e s te n d a p o r m ais de 3 d é c ad a s, o e s ta b e le c im e n to de um m odelo de e le m en to de c a s c a p a r a a n á lis e e s t á t i c a e din âm ica que s e ja c o n fiá v e l e e fic ie n te a in d a co n t in u a a s e r o b je to de e stu d o de m u ito s p e sq u isa d o re s.

O o b je tiv o d e s te tr a b a lh o re s id e ju s ta m e n te no f a t o de se p r o c u r a r , em um p r im e ir o in s ta n te , fo rm u la ç õ e s de e lem en to s f in i to s pôira c a s c a s c o n s id e ra d a s p r o m is s o r a s e d e n tr e e s ta s , em um segundo m om ento, a im p lem e n ta ç ã o c o m p u tacio n al p a r a a r e a liz a ç ã o de um e stu d o c o m p a ra tiv o e n tr e e s te s e le m en to s.

(15)

i-a e n e rg ii-a de d e fo rm i-a ç ã o i-a s s o c ii-a d i-a i-ao c is i-a lh i-a m e n to t r i-a n s v e r s i-a l é d e s p re z i-a d i-a .

N este tr a b a lh o f o ra m se le c io n a d o s , n a p r im e ir a e ta p a , a p e n a s e le m e n to s c u ja s fo rm u la ç õ e s sã o c a p a z e s de r e p r e s e n t a r c a s c a s f in a s e s e m i-e s p e s s a s , ou s e ja , com e n e rg ia de d e fo rm a ç ã o de c is a lh a m e n to tra in s v e rs a l in c lu sa .

B athe e D vorkin [4], s u m a r ia r a m os r e q u is ito s que id ea lm e n te d e v e ria m s e r e n c o n tra d o s no desenvolvim ento de um e le m e n to f in i to de c a s c a c o n fiá v el e e f i c i e n te :

1- O elem ento deve s a ti s f a z e r o s r e q u is ito s de c o n v e rg ê n c ia [43].

2 - O elem ento deve s e r sim p les e de b a ix o c u s to c o m p u ta cio n a l, com 5 ou s e is g r a u s d e lib e rd a d e p o r nó.

3 - A c a p ac id ad e de p re d iç ã o do e le m en to deve s e r e le v a d a , ou s e ja , deve s e r c o n fiá v el e e fic ie n te .

4 - O elem ento deve s e r r e la tiv a m e n te in se n sív e l à d is to r ç ã o de m alha.

5 - O elem ento deve s e r n u m e ric a m e n te c o e re n te , ou s e ja , não deve t e r ja m a is m odos f a ls o s de d e fo rm aç ã o , e ja m a is deve o c o r r e r o e f e ito do tra v a m e n to ou "locking". 6 - O elem ento não deve s e r b a se a d o em f a t o r e s de a ju s t e s num érico s.

7 - A fo rm u la ç ã o te ó r ic a do e le m en to deve s e r f o r te m e n te b a s e a d a n a m ecân ica do c o n tín u o , com p re m is s a s n a d is c r e tiz a ç ã o do e le m e n to f in ito que s e ja m c la r a s e bem f un d am en tad as.

D entro d e s te escopo, é f e i t a u m a s e le ç ã o dos e le m en to s c o n sid e ra d o s p ro m is s o re s . Im p le m e n ta -se c o m p u ta c io n a lm e n te a lg u n s d e le s e f a z - s e um a a n á lis e c o m p a ra tiv a , ta n to e s tá t ic a q u a n to d in âm ica.

1 .2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA.

As te n ta tiv a s de desen v o lv im en to de e le m en to s f in ito s p a r a c a s c a s e gu e m b a sic a m e n te d u as m eto d o lo g ias d if e r e n te s . Na p r im e ir a m eto d o lo g ia, a c a s c a é s u b s titu íd a p ela m ontagem de e le m e n to s de p la c a , que tê m fo rm a to s tr ia n g u la r e s ou q u a d ra n g u leires. E s ta m eto d o lo g ia f o i' a d o ta d a p o r ZIENKIEWICZ [43]. No e n ta n to , o m é to d o te m a d esvantagem d a não e x is tê n c ia d e a c o p la m e n to e n tr e o s e fe ito s de m em b r a n a e fle x ã o d e n tro de c a d a ele m en to e, c o n se q u e n te m e n te , um g ra n d e núm ero de e le m e n to s deve s e r u sad o p a r a a tin g ir u m a p r e c is ã o s a t i s f a t ó r i a [38].

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b r a n a e i :.íixSo u tiliz a n d o e le m en to s p lan o s. T a is e le m e n to s s e ria m b a s ta n te ú te is p rin c ip a lm e n te n a solução de p ro b le m a s n ã o lin e a re s , onde o c u s to c o m p u ta cio n a l deve s e r p r e f e re n c ia lm e n te baixo.

Na seg unda m eto d o lo g ia, que n o to ria m e n te te m dado os m elh o res r e s u l t a d o s, u tiliz a m - s e elem en to s f in ito s d e c a s c a com d u p la c u r v a tu r a , os q u a is p e rm ite m u m a m elh o r r e p r e s e n ta ç ã o d a e s t r u t u r a de c a s c a , t a n t o t e ó r i c a como g e o m é tric a .

A s e g u ir é f e ito um le v a n ta m e n to de e le m e n to s que se e n q u a d ra m n a p r o p o s ta d e s te tra b a lh o .

AHMAD e o u tro s [1] in tr o d u z ir a m em se u e le m en to o c o n c eito do só lid o d e g e n e ra d o em c a sc a , onde a s eq u a çõ e s tr i- d im e n s io n a is s ã o c o lo c a d a s n a fo rm a de v a r iá v e is n o d ais n a s u p e rfíc ie m éd ia d a c a s c a . Além d isso , a h ip ó te s e de K irc h h o ff é r e la x a d a , p e rm itin d o que o ele m en to s o f r a d e fo rm a ç õ e s c is a lh a n te s . In fe liz m e n te , os r e s u lta d o s o b tid o s pelos e le m en to s d e g e n e ra d o s p u ro s , ou s e ja , com in te g r a ç ã o com p le ta , não fo ra m bons quando a p lic a d o s em c a s c a s f in a s , p o is o m odelo r e s u l ta n t e e r a m u ito ríg id o , exibindo ta n to o tra v a m e n to de m e m b ra n a ou "m em brane locking", com o o tr a v a m e n to de c isa lh a m e n to ou " sh e a r locking". Além d isso , a t a x a de c o n v e rg ê n c ia e r a b a ix a .

OLSON e LINDBERG [28] e COWPER e o u tro s [13] f o rm u la ra m e le m en to s b a s e a d o s n a te o r i a de c a sc a s r a s a s , e n q u a n to HEPPLER e HANSEN [17] o f iz e r a m b a se a d o s n a t e o r i a de c a s c a s p ro fu n d a s , u tiliz a n d o p o linôm ios de o rd em m ais elev ad a.

PARK e o u tro s [30] f iz e r a m um e s tu d o c o m p a ra tiv o e n tr e e le m en to s de c a s c a de 4 nós, onde a n a lis a ra m a c a p a c id a d e de r e p r e s e n t a r o a c o p la m e n to m e m b ra jia - f le x ã o em c a s c a s fin a s . C o n clu íiram que t a i s e le m e n to s podem r e p r e s e n t a r o a c o p la m e n to m e m b ra n a -fle x ã o com m a lh a s m ais r e f in a d a s . F o rm u la ra m a in d a um e le m en to de q u a tr o nós que u s a ap e n as um p o n to de in te g r a ç ã o n a p a r t e de rig id e z de f le x ã o e m e m b ra n a , com p o s te r io r e s ta b iliz a ç ã o d a m a t r iz de rig id e z .

BELYTSCHKO e o u tro s [7] f o rm u la ra m um elem en to la g ra n g e a n o de nove nós com in te g r a ç ã o re d u z id a e a p lic a ra m um p ro c e s s o de e s ta b iliz a ç ã o d a m a tr iz de r i g i d e z pcira c o n tro le dos m odos e s p ú rio s de d e fo rm a ç ã o . 0 p ro c e s s o m o s tr o u -s e n ã o so m e n te e fic a z p a r a c o n tro le d e s te s m odos, com o tam b é m n a e lim in a ç ão do tra v a m e n to de m e m b ra n a e de c isalh am en to .

KANOKNUKULCHAI [23] desenvolveu um ele m en to de q u a tr o nós, b a se a d o no c o n c e ito do sólido d eg en erad o em c a sc a . A p e sa r d a s u a sim p lic id a d e d e im p lem e n ta ç ã o , o e le m e n to se b a s e ia em um f a t o r "kt", in d e se já v e l p a r a um a a p lic a ç ã o m ais g e ra l. Além d isso , n a d a é a firm a d o a c e r c a d a e x is tê n c ia ou não dos m odos e s p ú rio s de d e f o r m a ç ã o ou a in d a se o elem ento s a ti s f a z o s c r i t é r i o s de co n v e rg ê n c ia .

(17)

d a s sã o elim in ad as a nível do e le m e n to , re s u lta n d o em um a m a tr iz com o m esm o ta m a n h o d a o rig in a l. Os r e s u lta d o s sã o m e lh o re s que os o b tid o s p elo s e le m e n to s d e g e n e ra d o s p u ro s m as, novam ente, nenhum c o m e n tá rio é f e ito com r e la ç ã o a o s m odos e s p ú r io s e c r i t é r i o s de co n vergência.

BATHE e HO [6], DHATT e o u tro s [14] e MEEK e TAN [26] c r ia r a m e le m e n to s b a se a d o s n a te o r i a de K irc h h o ff d is c r e ta . E sses e le m en to s s ã o v a ria ç õ e s dos e le m en to s DKT (D isc re te iC irchhoff T ria n g le ), CST (C o n sta n t S t r a i n T ria n g le ) e LST (L in e a r S tr a in T ria n g le ), te n d o em com um o f a t o de u s a re m a t e o r i a de p la c a s d e - M indlin, p e rm itin d o a ssim a in c lu s ã o d a e n e rg ia d e d e fo rm a ç ã o a s s o c ia d a ao c is a lh a m en to .

M ais re c e n te m e n te s u r g ir a m a lg u n s elem en to s b a s e a d o s no c o n c e ito d a s d e fo rm a ç õ e s a ssu m id as. E s te s e le m e n to s em pregam os m esm os g r a u s de lib e r d a d e dos e le m en to s lag ra n g e a n o s n o rm a is, m as n ã o sã o elem en to s is o p a r a m é tr ic o s [21]. BATHE e DVORKIN [5] e PARK e STANLEY [29] tê m u sa d o d e fo rm a ç õ e s a s su m id a s , b a s e a d a s n a s d e fo rm a ç õ e s f ís ic a s r e f e re n c ia d a s a um s is te m a de c o o rd e n a d a s n a tu r a is do e le m en to . HUANG e HINTON [18] p ro p u se ra m e le m e n to s b a se a d o s no uso de d e fo rm a ç õ e s n ã o f í s i c a s c o v a ria n te s a ssu m id as, r e f e r e n c ia d a s tam b é m a um s is te m a de c o o rd e n a d a s n a t u r a i s do elem en to . E s ta s d e fo rm a ç õ e s n ã o f ís i c a s são p o s te r io r m e n te e x p r e s s a s com o d e fo rm a ç õ e s c a r te s ia n a s f ís ic a s a tr a v é s de tra n s fo r m a ç ã o te n s o r ia l.

JANG e PINSKY [21] tam b é m u s a ra m o co n c eito d a s d e fo rm a ç õ e s a s s u m id a s u s a d a s p o r HUANG e HINTON [18]* d ife r in d o a p e n a s n a fo rm a com que é o b tid o o cam po de d e fo rm aç õ e s c o v a ria n te s p a r a m e m b ra n a . Os r e s u lta d o s o b tid o s p o r e s te s e le m e n to s sã o ra z o á v e is.

RHIU e LEE [31] e CHANG e o u tro s [10] desen v o lv eram m odelos m is to s de c a s c a , u tiliz a n d o um p rin c íp io de H e llin g e r-R e iss n e r m o d ificado. N e s te s e le m e n to s , a s equ açõ es de elem en to s f in ito s s ã o o b tid a s a ssu m in d o -se cam pos d e d e s lo c a m e n to s e d e fo rm a ç õ e s indep en d en tes. Os e le m e n to s r e s u lta n te s são liv re s do tra v a m e n to , t a n t o de m em b ran a q u a n to de c isa lh a m e n to , além de não te re m m odos e s p ú rio s de d e fo rm a ç ã o .

SALEEB e o u tro s [3 3 ]-[3 4 ] e GELLERT e LAURSEN [16] d e se n v o lv e ra m e le m e n to s b a sea d o s tam bém no p rin c íp io de H e llin g e r-R e iss n e r m o d ific a d o , com a d i f e r e n ç a de que, ao invés de c o n s id e ra r c a m p o s de d e fo rm aç õ e s in d e p e n d e n te s, s ã o c o n s id e r a d o s cam pos de te n sõ e s e -d eslocam entos in d ep en d en tes.

E x iste m o u tr a s m eto d o lo g ia s p a r a p ro p o r novos e le m e n to s , m as r e f e r e n t e s a fo rm u la ç õ e s de elem entos c a p a z e s de r e p r e s e n ta r c a s c a s f in a s [22] ou e s t r u t u r a s a^cissim étricas [12]. D en tro d a p r o p o s ta do tra b a lh o , a s p r in c ip a is d e la s f o r a m c ita d a s acim a.

(18)

N 1.3.1 - In tro d u ção .

A se le ç ã o de um ele m en to id e a l p a r a o e s tu d o de c a s c a s d e v e ria s e r fu n d a m e n ta lm e n te b a s e a d a nos c r i t é r io s p ro p o s to s p o r BATHE [4]. In fe liz m e n te não e - x i s t e a t é h o je um e le m e n to que s a t i s f a ç a to d o s a q u e le s r e q u is ito s c o n ju n ta m e n te .

B a sic a m e n te e x is te m d u a s m eto d o lo g ia s d if e r e n te s , j á c ita d a s no ite m a n te r io r , que podem s e r id e n tif ic a d a s n a s fo rm u la ç õ e s de e le m e n to s f in i to s p a r a c a s ca , ou seja;

1- m odelos p lan o s com binando r ig id e z de fle x ã o com r ig id e z de m em b ran a , m ais a in c lu s ã o de e f e ito s c is a lh a n te s ;

2 - e le m en to s c u rv o s, q u e r s e ja usan d o u m a t e o r i a de c a s c a e s p e c ífic a , q u e r s e ja u - s a n d o e lem en to s d e g e n e ra d o s , onde um m odelo de c a s c a é o b tid o "d e g e n e ra n d o -se " um só lid o em c a s c a a tr a v é s do uso de p re m is s a s a p ro p r ia d a s .

C ada um a d e s ta s m eto d o lo g ia s te m s u a s v a n ta g e n s e desvcintagens. No e n ta n to , a fo rm u la ç ã o de e le m en to s de c a s c a e m p re g an d o o c o n c e ito do sólido degene r a d o em c a s c a é o m a is a tr a ti v o do p o n to de v is ta d a c o n s is tê n c ia m a te m á tic a e a p li c a b ilid a d e à a n á lis e s n ão lineeires. E s ta a fir m a ç ã o pode s e r c o m p ro v a d a p e la s inúm e r a s p u b lic a çõ e s f e it a s n o s ú ltim o s an o s, que a d o ta m e s ta m eto d o lo g ia como b a se [1],[10],[18],[31J.

A se g u n d a fo rm u la ç ã o o f e r e c e v á r ia s v a n ta g e n s . P rim e iro , e la pode t r a t a r c a sc a s de g e o m e tria s a r b itr á ir ia s , j á que nenhum a im p o siçã o é f e i t a p a r a se "am o ld ar" a um a t e o r i a de c a s c a e s p e c ífic a . Segundo, a fo rm u la ç ã o u s a fu n ç õ e s do tip o C ° p a r a a s a p ro x im a ç õ e s d a s v a riá v e is c in e m á tic a s . Is to lev a a um a s im p lific a ção co n sid e ráv e l d a fo rm u la ç ã o , j á que so m en te fu n ç õ e s C° s ã o e m p re g a d a s. Em t e r c e ir o lu g a r, j á que a t e o r i a de M in d lin /R e issn e r é u tiliz a d a p a r a c o n s id e r a r a s d e fo rm a ç õ e s c is a lh a n te s t r a n s v e r s a is , e la é a d e q u a d a p a r a a m odelagem de c a s c a s f in a s , m o d e ra d a m e n te e s p e s s a s ou c a s c a s co m p o stas.

A p e sa r d a s v a n ta g e n s c ita d a s no p a r á g r a f o a n te r io r , o s e le m en to s d e g e - ner: 4 n s re q u e re m um p ro c e d im e n to de in te g r a ç ã o n u m é ric a b a s ta n t e p re c is o p a r a se re m e fe tiv o s , pois se fo re m in te g ra d o s com p o n to s em d e m a sia, o c o rr e o fenôm eno do t r a v a m e n to , ou "locking", e n q u a n to que u tiliz a n d o um núm ero in s u f ic ie n te de p o n to s de in te g r a ç ã o , a m a tr iz de r ig id e z não a p r e s e n ta o p o s to c o r r e to , dan d o o rig em a o s c h a m ad o s m odos f a ls o s de d e fo rm a ç ã o .

Em p la c a s , quando se u tiliz a m a s fu n ç õ e s b iq u a d r á tic a s la g ra n g e a n a s e in te g r a ç ã o c o m p le ta (3x3) nos te rm o s de c is a lh a m e n to e fle x ã o , o b té m -s e um elem en to

(19)

de in te rp o la ç ã o u tiliz a d a s r e p r e s e n ta r e m a r e s t r i ç ã o de c is a lh a m e n to nulo, qu an d o a re la ç ã o e s p e s s u ra /c o m p rim e n to d a p la c a é d im inuída.

Em c a s c a s , e s te fenôm eno é a g ra v a d o a in d a m ais pelo a p a re c im e n to do ch am ado tra v a m e n to de m em b ran a ou "m em b ran e locking", te rm o cunhado p o r STOLARSKl E BELYTSCHKO [37], B a sicam en te, o tr a v a m e n to de m em b ran a r e f l e t e a in a b ilid a d e do e le m en to , em um c a so de fle x ã o p u r a , de f le x io n a r sem se d is te n d e r. E s te modo de d e fo rm a ç ã o é tam b ém cham ado de modo de d e fo rm a ç ã o in e x te n s io n a l, p o rq u e quando a s d e fo rm a ç õ e s de m em b ran a d e sa p a re c e m , to d a s a s lin h a s n a s u p e rfíc ie m éd ia d a c a s c a de vem p e rm a n e c e r com co m p rim e n to s in a lte r a d o s .

A f o rm a com que o "locking" de m em b ran a a p a re c e é sim ileir ao do a p e ire - c im e n to do "locking" de c isa lh a m e n to . E le a p a re c e quando um ele m en to cu rv o , com in te g r a ç ã o c o m p le ta , é s u je ito a um c a rr e g a m e n to de fle x ã o p u ra . T e o ric a m e n te nenhum a te n s ã o de m em b ran a d e v e ria a c o n te c e r, m a s n a p r á t i c a su rg e m te n s õ e s de m e m b ra n a e s p ú r ia s que não d e v e riam e x is tir .

E s te tip o de c o m p o rta m e n to é in d e se já v e l n a p r á tic a , j á que te n s õ e s de m em b ran a e s p ú ria s p o d e rã o se d esen v o lv er em um elem ento. É sa b id o que, em c e r to s c a s o s , a r ig id e z de m em b ran a é m u ito m a io r que a r ig id e z de fle x ã o . Com is to , q u a l q u e r e n e rg ia e s p ú ria p ro v e n ie n te d a s p a r c e la s de m em b ran a, p o d e ria m a s c a r a r o s r e s u lta d o s .

E x iste m d iv e rs a s m a n e ira s de c o n tr o la r o a p a re c im e n to do e f e i to de tra v a m e n to . A m ais co n hecida e de m a is f á c il u tiliz a ç ã o é o em p reg o d a in te g r a ç ã o re d u z id a ou r e d u z id a /s e le tiv a , u tiliz a d a p o r ZIENKIEWICZ e o u tro s [44] n o s te r m o s de c is a lh a m e n to e m em b ran a d a m a tr iz de rig id e z . E s ta m eto d o lo g ia r e s u lto u em um p r o c e ss o b a s ta n te e fic a z , como s e r á v isto nos c a p ítu lo s 4 e 5.

No entcuito, a u tiliz a ç ã o d a in te g r a ç ã o re d u z id a ou r e d u z id a /s e le tiv a pode d a r o rig em aos cham ados m odos f a ls o s de d e fo rm a ç ã o , como s e r á v isto m ais a d ia n te .

É bem sab id o que os e le m e n to s iso p a re im étric o s la g ra n g e a n o s C° de nove nós s o fre m a lg u m a s d e fic iê n c ia s . 0 e le m e n to de nove nós com in te g r a ç ã o r e d u z i d a / s e le tiv a (9-SR I), ex ib e um a c o n v erg ên cia p o b re p a r a a lg u n s tip o s de p ro b le m a s , e n q u a n to que o elem en to de nove nós com in te g r a ç ã o re d u z id a (9-U R l), a p e s a r de t e r um a c o n v e rg ê n c ia m uito boa, s o f r e o p ro b le m a de n ão t e r o p o sto c o rr e to . I s to pode d a r o rig e m ao s m odos e sp ú rio s de d e fo rm aç ã o .

(20)

-BELYTSCHKO e o u tro s [7] c r ia r a m o "m étodo gam a" p a r a o c o n tro le dos m odos e s p ú rio s e o a p lic a ra m em seu elem en to . B a sic a m e n te , n e s te elem en to sã o d e f i n id a s cinco d e fo rm a ç õ e s g e n e ra liz a d a s a d ic io n a is em c a d a um dos q u a tr o p o n to s de in te g r a ç ã o re d u z id a . Com e s ta s d e fo rm a ç õ e s g e n e r a liz a d a s c o n s tr ó i- s e um a m a tr iz de e s ta b iliz a ç ã o dos m odos e s p ú rio s . E s ta m a t r iz dep en d e de c e r t a s c o n s ta n te s a r b i t r á r i a s . A p esar d e s te f a to , o r e s u lta d o f in a l é m u ito bom.

BELYTSCHKO e o u tro s [8] u tiliz a r a m o m éto d o d a p ro je ç ã o da decom posi ç ã o d o s m odos. A id é ia b á s ic a do m étodo é d e f in ir a s c o m p o n en tes de fle x ã o do m odo de q u a lq u e r d e fo rm a ç ã o , e d e s p r e z a r a s e n e rg ia s de d e fo rm a ç ã o de m em b ran a e c is a lh a m e n to c o n tid a s d e n tro dos m odos de fle x ã o .

PARK e o u tro s [30] u s a ra m um p ro c e d im e n to s e m e lh a n te ao u tiliz a d o p o r BELYTSCHKO [7], m as se m p re b a sea d o em a lg u n s " f a to r e s " e sc o lh id o s a r b itr a r ia m e n te .

Uma o u tr a f o r m a m u ito u s a d a p a r a a s u p re s s ã o dos m odos e s p ú rio s é a do u so d a s ch a m a d a s d e fo rm a ç õ e s a ssu m id a s ou in te r p o la ç õ e s m is ta s u s a d a s po r BATHE e DVORKIN [4], [5], HUANG e HINTON [9], CHANG e o u tro s [10] e PARK e STANLEY [29], N e s te s c a so s, a s te n s õ e s ou d e f o rm a ç õ es que c a u sa m "locking" sã o in te rp o la d a s de f o r m a que a s te n s õ e s ou d e fo rm a ç õ e s e s p ú r ia s s ã o e v ita d a s . U tiliz a - s e a in te g r a ç ã o c o m p le ta d a m a tr iz de r ig id e z de fo rm a que o e le m e n to r e s u l ta n t e p ossui o p o s to c o r r e to .

E m bora a s m eto d o lo g ia s c ita d a s nos p a r á g r a f o s a n te r io r e s n e c e s s ite m de um a e x p lic a ç ã o m a te m á tic a m a is ríg id a , os r e s u lta d o s sã o b a s ta n te s a ti s f a t ó r i o s .

1 .3 .2 - C onceitos.

A té a g o ra fo ra m c ita d a s e x p re s s õ e s a s s o c ia d a s a fen ô m en o s com uns n a a n á lis e de e s t r u t u r a s p o r e le m en to s f in ito s . Convém c o n c e itu á - la s , bem como o u t r a s e x p re s s õ e s com um ente e n c o n tr a d a s n a l i t e r a t u r a e s p e c ia liz a d a .

a ) T ra v a m e n to de c isa lh a m e n to ou "sh e a r locking".

. E um a e x c e s s iv a r ig id e z n a so lu ç ã o de um p ro b le m a , que a c o n te c e q uando a r e la ç ã o e s p e s s u ra /c o m p rim e n to d a c a s c a /p la c a t o r n a - s e p eq u en a. Is to a c o n te c e d e vido ao a p a re c im e n to de e n e rg ia s e s p ú ria s r e la c io n a d a s ao c is a lh a m e n to tr a n s v e r s a l, que n ã o d ev eriam a p a re c e r . E s te f a t o r é im p o r ta n te , p o is n a p r á t i c a t a i s e le m e n to s t e r ã o a s u a a p lic a b ilid a d e lim ita d a .

b) T ra v a m e n to de m em braina ou "membrame locking".

(21)

in a b ilid a d e de um elem en to em , f le x i o n a r - s e sem se d is te n d e r num c a so de fle x ã o p u ra , ou s e ja , de s o f r e r a c h a m a d a d e fo rm a ç ã o in e x te n s io n a l. ^

O bviam ente e s te é m ais um fenôm eno in d e s e já v e l que a c o n te c e em c a s c a s , j á que sã o .e n e rg ia s e s p ú ria s in d e s e já v e is que r e p r e s e n t a r ã o um a p a r c e la c o n sid e rá v e l d e e n e rg ia no m odelo. Is to f a r á com que o m odelo se c o m p o rte m ais rig id a m e n te , le van d o a re s u lta d o s im p re ciso s.

c) Modos e sp ú rio s de e n e rg ia ou " sp u rio s z e ro - e n e r g y m odes".

C orresp o n d e ao nú m ero de a u to - v a lo r e s n u lo s, e x c e d e n te s àq u e le s que r e p r e s e n ta m os ■ m ovim entos de c o rp o ríg id o , e que e s tã o a s so c ia d o s a a u to v e to re s não n u lo s [36]. F isic a m e n te , s ig n if ic a que o ele m en to pode se d e fo r m a r sem que se te n h a u m a e n e rg ia a s so c ia d a a e s s a d e fo rm a ç ã o .

Os m odos e s p ú rio s de d e fo rm a ç ã o s u rg e m n o rm a lm e n te q uando a in te g r a ç ã o r e d u z id a ou re d u z id ô i/s e le tiv a é u tiliz a d a no c á lc u lo d a m a tr iz de r ig id e z do elem en to . I s to f a z com que a m a tr iz de r ig id e z não te n h a o p o s to c o r r e to .

P a r a c e r t a s co ndições de c o n to rn o [9], e s ta d e fic iê n c ia pode levcir à s in g u la rid a d e d a m a tr iz de rig id e z e, em o u tro s c a so s, ao m au co n d icio n am en to d a m a t r i z , d e g ra d a n d o o p ro c e sso de so lução.

E s te fenôm eno é m u ito m a is c r ític o em a n á lis e s d in â m ic a s e n ã o -I in e a r e s , onde o su rg im e n to de t a l fenôm eno p r a tic a m e n te in v ia b iliz a o p ro c e s s o d e so lução.

A singulciridade n o rm a lm e n te d e s a p a re c e com a re u n iã o d e v á rio s elem en to s , p orém os m odos f a ls o s de e n e rg ia e s tã o re la c io n a d o s com a c o m p a tib ilid a d e d a s f o r m a s dos a u to v e to re s a s so c ia d o s a a u to v a lo re s não n ulos, e podem não d e s a p a r e c e r com a re u n iã o dos elem en to s. N e ste ú ltim o c a so , os m odos f a l s o s de e n e rg ia s ã o c h a m ad o s de m odos co m p atív eis ou c o m u tá v eis; c a so c o n tr á r io , s ã o in co m p a tív e is ou não co m u tá v eis.

No caso de um a a n á lis e d in â m ic a ou n ã o -lin e a r , o uso de elem en to s que p o ssu am m odos co m p atív eis deve s e r e v ita d o , p o is p o d e -s e c h e g a r a r e s u lta d o s duvido s o s, ou mesm o não t e r r e s u lta d o algum . No c a p ítu lo cinco s e r ã o a p re s e n ta d o s alg im s r e s u lta d o s em que o c o rre m o s m odos e s p ú rio s , quando e n tã o e s ta s a fir m a ç õ e s s e rã o clcu-êmiente c o n s ta ta d a s .

A d e te rm in a ç ã o dos m odos f a ls o s de e n e rg ia vem d a so lu ç ã o do p ro b le m a d e a u to v a lo re s

(22)

K* = K + a M ' (2) x ' = A + a , (3) onde K é a m a tr iz de r ig id e z do elem en to , M é a m a tr iz de in é r c ia do elem ento, a é um a c o n s ta n te p a r a t o r n a r a m a tr iz K não s in g u la r, <t> sã o a u to v e to re s e X sã o os a u to v a lo re s r e a is .

A d e te rm in a ç ã o dos m odos e s p ú rio s é f e i t a sim p le sm e n te o b s e rv a n d o -se os a u to v a lo re s n u los que não c o rre sp o n d em a a u to v e to re s a s so c ia d o s a d e slo c a m e n to de c o rp o ríg id o .

d) I n te g ra ç ã o re d u z id a e r e d u z id a /s e le tiv a .

N orm alm ent^, em e le m en to s de c a sc a , os e le m en to s c o n s titu in te s d a m a t r i z de r ig id e z não são o b tid o s de um a in te g ra ç ã o a n a lític a . 0 uso de in te g r a ç ã o n u m é ric a se f a z n e c e s s á rio . O p ro ce d im e n to da in te g r a ç ã o n u m é ric a p e la q u a d r a tu r a de G auss é o m ais u tiliz a d o em p ro g ra m a s de e le m en to s f in ito s , e m b o ra e x is ta m o u tro s m éto d o s [3]. B a sicam en te, n e s te p ro ce d im e n to a fu n ç ã o que se d e s e ja i n te g r a r é s u b s titu íd a p o r um s o m a tó rio da fu n çã o c a lc u la d a em " c e rto s" p o n to s o tim iz a d o s m u l tip lic a d o s p o r um "peso" de in te g r a ç ã o n e s te s p o n to s. D ependendo do c a so a s e r e s t u dado, a in te g ra ç ã o deve s e r e fe tu a d a em v á ria s d ire ç õ e s. Com "n" p o n to s de i n t e g r a ção, p a r a os c a so s lin e a re s , a in te g r a ç ã o p e la q u a d r a tu r a de G au ss pode i n te g r a r e x a ta m e n te fu n çõ e s po lin o m iais de g ra u a té (2 n -l). No c a so de c a s c a , a e n e rg ia de d e fo rm a ç ã o do e le m en to pode s e r d iv id i d a em t r ê s p a rc e la s : = i K__ , (4) E = i q" K q (5) m ^ m E = 4 K q (6) s ^ s

onde E , E , E são a s p a r c e la s de e n e rg ia de d e fo rm a ç ã o devido à fle x ã o , m e m b ra n a e

b m s

c is a lh a m e n to , re s p e c tiv a m e n te , K , K e K são a s m a tr iz e s de rig id e z c o rre s p o n d e n

(23)

t e s à r ig id e z de fle x ã o , m e m b ra n a e c is a lh a m e n to , re s p e c tiv e m e n te , e q é o v e to r de v a riá v e is n o d ais.

D efin id o s K e K e s e "n" é o n ú m ero de p o n to s n e c e s s á rio s p a r a se

m s i n te g r a r c o m p le ta m en te a rig id e z em u m a d ire ç ã o , sã o e s ta b e le c id o s os s e g u in te s t i pos de in te g ra ç ã o : 1) c o m p le ta , se nxn p o n to s fo re m u tiliz a d o s p a r a i n te g r a r K , K e K ; b m s 2) r e d u z id a /s e le tiv a , se nxn p o n to s fo re m u tiliz a d o s p a r a in te g r a r e K e b m ( n -l)x (n -l) p o n to s p a r a K ; 3) re d u z id a , se nxn p o n to s fo re m u tiliz a d o s p a r a i n t e g r a r K e (n -l)x ( n - l) p o n to s b p a r a K e K . m s e) In v a riâ n c ia .

Um elem en to é d ito in v a r ia n te quando a s u a m a tr iz de r ig id e z p u d e r s e r o b tid a em s is te m a s lo c a is de c o o rd e n a d a s , ro d a d o s ou tr a n s la d a d o s em re la ç ã o ao s i s te m a glo b al de c o o rd e n a d a s, sem que a so lu ção do p ro b le m a s o f r a a lte ra ç õ e s [36], Em o u tr a s p a la v ra s , a solu ção do p ro b le m a n ão deve s e r d e p e n d e n te d a e sco lh a do s is te m a de r e f e rê n c ia .

f ) C o m p atib ilid ad e e c o m p leteza.

P a r a a s s e g u r a r um a c o n v e rg ê n c ia m o n o tô n ica do m odelo, ou s e ja , sem o s c ila ç õ e s n a r e s p o s ta , um e le m en to deve s e r co m patível e co m p leto . No c a so de um m o delo de d eslo cam en to um ele m en to é d ito c o n fo rm e se a s fu n ç õ e s u s a d a s p a r a in te r p o l a r o s d e slo c a m e n to s a s s e g u r a re m c o m p le te z a e c o m p a tib ilid a d e . A c o m p le te z a é a l c a n ç a d a quando a s fu n ç õ e s u tiliz a d a s p a r a in te r p o la r os d e slo c a m e n to s do e le m en to fo re m c a p a z e s de r e p r e s e n t a r os d e slo c a m e n to s de c o rp o ríg id o e e s ta d o s de d e fo rm a ção c o n s ta n te [3],

A c o m p a tib ilid a d e é a s s e g u r a d a se os deslocaim entos d e n tro do ele m en to e no c o n to rn o fo re m c o n tín u o s e com d e riv a d a s c o n tín u a s a t é um a o rd em m enor do que a m a io r d e riv a d a que a p a re c e no fu n c io n a l [3]. F is ic a m e n te , a c o m p a tib ilid a d e a s s e g u r a que não e x is tir ã o b u ra c o s ou f a l h a s e n tr e e le m e n to s q uando o m odelo f o r c a r r e gado.

O elem ento t é r á a c o m p le te z a e c o m p a tib ilid a d e dependendo de s u a f o r m ulação.

Segundo BATHE [3], "a co ndição de c o m p le te z a deve s e r sem p re s a t i s f e i t a , ao p a sso que a condição de c o m p a tib ilid a d e pode s e r r e la x a d a à s c u s ta s da n ã o o b ten ç ã o d a co n v e rg ê n c ia m o n o tô n ica, desd e que os in g re d ie n te s e s s e n c ia is d a c o n d

(24)

i-ção de c o m p le te z a não s e ja m p erd id o s".

g) Modelo de e le m e n to s fin ito s .

A b a s e do m étodo de e le m e n to s f in i to s c o n s is te em d iv id ir um só lid o em e le m en to s f in ito s d is c r e to s , c o n s id e r a n d o - s e a s e g u ir um cam po de te n s õ e s e /o u d e fo rm a ç õ e s e /o u d e slo c a m e n to s d e n tr o d e c a d a e le m e n to e /o u no c o n to rn o . A a p lic a ç ã o de p rin c íp io s v a ria c io n a is r e s u l ta em um s is te m a de eq u a çõ e s a lg é b r ic a s , de onde a s v a riá v e is de in te r e s s e sã o o b tid a s . Com b a s e no tip o de fu n c io n a l a s e r u tiliz a d o nos p ro c e s s o s v a ria c io n a is , v á rio s tip o s d e fo rm u la ç õ e s a p a re c e ra m .

0 p rim e iro d e le s, e o m a is u tiliz a d o , é o m étodo dos d e slo c a m e n to s, que é b asead o n a u tiliz a ç ã o do p rin c íp io d a m ínim a e n e rg ia p o te n c ia l. É co n h e cido como o m étodo dos d e slo c a m e n to s p e lo f a t o de se re m os d e slo c a m e n to s a s p r im e i r a s v a riá v e is o b tid a s no p ro c e sso de so lu ç ã o d a s eq u açõ es.

Com a u tiliz a ç ã o do p rin c íp io d a m ínim a e n e rg ia p o te n c ia l c o m p le m e n ta r su rg iu o m étodo d a s te n s õ e s , nom e dad o p o r m o tiv o an á lo g o ao c ita d o no p a r á g r a f o a n te r i o r .

Em c a s c a s , os e le m e n to s m is to s e s tã o b a s ta n te d ifu n d id o s. E s te s s ã o b a se a d o s n a u tiliz a ç ã o dos p rin c íp io s d e H e ilin g e r-R e is s n e r m o d ific a d o s. N e s te s c a sos, um cam po de te n s õ e s ou d e fo rm a ç õ e s é a ssu m id o no e le m en to ju n ta m e n te com um cam po de d eslo c a m e n to s. O cam po de te n s õ e s ou d e f o rm a ç õ es é p o s te r io r m e n te c o n d e n sad o a nível de elem en to , de t a l f o r m a que a p e n a s os d e slo c a m e n to s saem como in c ó g n ita s p rim e ir a s do p ro c e sso de solução, 0 s u c e s s o d e s ta m eto d o lo g ia pode s e r c o n firm a d o pelos in ú m ero s a r tig o s que u sa m e s te p rin c íp io como b a s e [10], [16], [31], [33], e [34]. P o rém , p a r a que a f o rm u la ç ã o te n h a um c o m p o rta m e n to e s tá v e l e c o n s is te n te , c e r t a s co ndições de c o m p a tib ilid a d e e n tr e os cam pos de d e f o r m a ç õ e s /te n s õ e s e d e slo cam en to s devem s e r s a ti s f e i ta s . E s ta s s ã o a s co ndições de B a b u sk a -B re z z i.

h) E lem entos d e g e n era d o s.

São e le m en to s o rig in a lm e n te p r o p o s to s p o r AHMAD e o u tro s [11. B a s ic a m ente, n e s te s e le m en to s um sólido é "d eg e n e rad o " em c a s c a , a s su m in d o -s e p r e m is s a s ad eq u ad as. E n tre e s s a s p re m iss a s c ita m - s e ;

1) a h ip ó te se de K irc h h o ff é x e la x a d a , p e rm itin d o que o ele m en to s o f r a d e fo rm a ç õ e s c is a lh a n te s tr a n s v e r s a is ;

2) a s te n s õ e s n o rm a is ao plano d a c a s c a s ã o d e s c o n s id e ra d a s .

É um elem en to de f á c il im p le m e n ta ç ã o e m u ito bem fu n d a m e n ta d o t e o r i c a m ente, j á que, ao c o n tr á r io de m u ita s f o rm u la ç õ e s e x is te n te s n a a tu a lid a d e , nenhum

(25)

a r t i f í c i o duvidoso é im p o sto n a fo rm u la ç ã o .

\ i) "P a tc h te s t"

É um t e s t e id e a liz a d o p a r a v e r i f ic a r se um d e te rm in a d o elem en to con v e r g ir á p a r a a r e s p o s ta c o r r e t a do p ro b le m a , à m edida que o c o rr e r um re f in o de m a lh a.

É um t e s t e f á c il de se r e a l i z a r e m u ito im p o rta n te n a f a s e de d e se n volvim ento ou im p lem en tação de um elem en to , sendo a lta m e n te rec o m en d a d a a s u a u t i l i za çã o .

0 t e s t e é r e a liz a d o m o n ta n d o -se a lg u n s elem entos de t a l m a n e ira que pelo m enos um nó é c o m p le ta m e n te ro d e a d o p o r o u tro s elem entos. A p lic a -s e um c a r r e ga m e n to com d eslo c a m e n to s ou f o r ç a s c o n s is te n te s , de fo rm a que c o rre sp o n d a m a um e s ta d o de d e fo rm aç ã o c o n s ta n te . Se, ap ó s c o m p u ta d a s a s d e fo rm aç õ e s (ou te n s õ e s ) em q u a lq u e r p a r te do elem en to , e la s c o in c id ire m com a r e s p o s ta e x a ta a té o lim ite de p r e c is ã o do co m p u tad o r, o ele m en to é d ito que p a sso u no "p atch te s t" [12].

1.3.3 - Seleção dos elem en to s.

Com base no que fo i e x p o s to nos ite n s a n te r io r e s , f a z - s e a g o ra a e s c o lh a dos elem entos p a ra um a a n á lis e m ais p ro fu n d a .

D iante d a p ro p o s ta do tra b a lh o , so m en te fo ra m se le c io n a d o s e le m en to s que têm in clu íd a n a su a fo rm u la ç ã o a e n e rg ia de d e fo rm a ç ã o devido ao c is a lh a m e n to tr a n s v e r s a l.

0 p rim e iro elem en to se le c io n a d o foi o p ro p o sto p o r CHANG e o u tro s [10]. É um elem ento la g ra n g e a n o de nove nós b a se a d o no p rin c íp io de H e llin g e r-

R e is sn e r m odificado. A a n á lis e dos r e s u lta d o s do a r tig o m o stro u a lg u n s q u e s ito s im p o r ta n te s , como boa c o n v e rg ê n c ia e não o c o rrê n c ia de m odos f a ls o s de e n e rg ia . Além d isso o elem ento p a s sa no " p a tc h -te s t" , e é liv re do pro b lem a do tra v a m e n to , ta n to de m em b ran a q u an to de c isa lh a m e n to . E ste elem en to , de a g o ra em d ia n te , s e r á den o m i na d o de SHELM-9.

Também fo ra m se le c io n a d o s os e le m en to s d e g e n era d o s de nove nós la g r a n - g e a n o s com in te g ra ç ã o c o m p le ta (9-FU LL) e com in te g ra ç ã o re d u z id a (9-U R l). O e le m en to 9-FULL a p re s e n ta -.u m a c a r a c t e r í s t i c a m uito im p o rta n te em e le m en to s de c a s c a , que é a a u sê n c ia de m odos f a ls o s de e n e rg ia . J á o elem ento 9-URI fo i se le c io n a d o pelo f a t o d e - a p r e s e n t a r um c o m p o rta m e n to e x c e le n te q u a n to -à c o n v e r g ê n c ia - p a r a o s d eslo cam en to s.

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p le m e n ta d o s c o m p u ta c io n a lm e n te n e s te tr a b a lh o , m erecem d e s ta q u e p a r a f u tu r o s t r a b a lh o s os e le m en to s p ro p o s to s p o r JANG e PINSKY [21], b a s e a d o s em d e fo rm a ç õ e s, cova r ia n t e s a ssu m id a s, o b tid a s a tr a v é s de um cam po de d e fo rm a ç õ e s c o v a ria n te s d e fin id o em r e la ç ã o a um s is te m a de c o o rd e n a d a s n a tu r a is .

O u tro ele m en to que m ere ce d e s ta q u e é o p ro p o s to p o r BELYTSCHKO e ou t r o s [7]. É um e le m e n to la g ra n g e a n o de nove nós, que u s a in te g r a ç ã o r e d u z id a no c á lc u lo d a m a t r iz de rig id e z , com p o s te r io r e s ta b iliz a ç ã o d e s ta a tr a v é s do u so do "m étodo gcima" p r o p o s to p elo s m esm os a u to re s . 0 ele m en to n ão p o ssu i tra v a m e n to d e m e m b ra n a nem de c is a lh a m e n to , n ã o te n d o tam bém m odos f a ls o s de e n e rg ia .

O e le m e n to p ro p o s to p o r PARK e STANLEY [29] ta m b é m m o s tro u re s u lta d o s m u ito bons. Não a p r e s e n ta tra v a m e n to de m e m b ra n a ou de c is a lh a m e n to , nem re v e la a p r e s e n ç a de m odos f a ls o s de e n e rg ia . É b a sea d o no c á lc u lo de d e fo rm a ç õ e s r e f e r e n c i a d a s ao s is te m a n a tu r a l do elem en to , que são p o s te r io r m e n te r e f e r e n c ia d a s a um s is te m a o rto g o n a l e c a lc u la d a s em c a d a po n to de in te g ra ç ã o p o r in te rm é d io de t r a n s f o r m ação te n s o r ia l.

F in a lm e n te , s u rg e tam bém como um a opção viáv el o e le m e n to id ea liz a d o p o r HUANG e HINTON [18]. É um elem en to d e g e n era d o de nove nó s, que u tiliz a em su a fo rm u la ç ã o o c o n c e ito de " d efo rm a ç õ es m elh o rad a s". As " d e fo rm a ç õ e s m elh o rad a s" de c is a lh a m e n to sã o o b tid a s a tr a v é s de um a in te rp o la ç ã o de d e fo rm a ç õ e s de c isa lh am e n to não f ís i c a s , r e f e r e n c ia d a s ao s is te m a n a tu r a l do elem en to . M ais t a r d e e la s s ã o co lo c a d a s n a fo rm a de d e fo rm a ç õ e s f ís ic a s nos p o n to s de in te g r a ç ã o , p o r tra n s fo r m a ç ã o te n s o r ia l. As " d e fo rm a ç õ e s m elh o rad a s" de m e m b ra n a ' ta m b é m s ã o o b tid a s a tr a v é s de um a in te rp o la ç ã o , só que j á r e f e r e n c ia d a s ao p o n to de in te g r a ç ã o , n ão n e c e ssita n d o tr a n s f o r m a ç ã o te n s o r ia l.

Com os e le m en to s se le c io n a d o s p a r a a im p le m e n ta ç ã o n u m é ric a , f a z - s e um e stu d o c o m p a ra tiv o e n tr e eles.

Nos c a p ítu lo s d o is e t r ê s são a p r e s e n ta d a s a s f o rm u la ç õ e s m ais d e ta lh a d a s dos e le m en to s se le c io n a d o s p a r a a im p lem en tação n u m é ric a . No q u a rto c a p ítu lo é f e i t a um a a n á lis e dos e le m en to s im p lem entados, quando u tiliz a d o s n a m odelagem de p ro b le m a s e s tá tic o s , No q u in to c a p ítu lo e s ta a n á lis e é d ir ig id a a o s c a so s d in âm i cos. F in a liza n d o , no s e x to c a p ítu lo são m o stra d o s a s c o n c lu sõ e s e su g e stõ e s p a r a f u tu r o s tra b a lh o s .

1.4 - IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL.

A im p lem e n ta ç ã o f o i f e i t a u tiliz a in d o -se o s u p e rc o m p u ta d o r CONVEX-210 d a U n iv e rsid a d e F e d e ra l de S a n ta C a ta rin a , com p ro c e s s a m e n to v e to r ia l. T odas a s v a

(27)

r iá v e is u tiliz a d a s no côm puto d a s m a tr iz e s de r ig id e z e m a s s a f o ra m de d u p la p r e c is ã o , c o i n 'a u tiliz a ç ã o de a lo c a ç ão d in â m ic a d é m em ó ria . 0 p r o g ra m a fo i e la b o r a do u tiliz a n d o -s e a linguagem FORTRAN.

O s is te m a b a se u tiliz a d o fo i o SIMELF (S iste m a M o d u la r de E le m e n to s F in ito s ) [2], d a U n iv ersid ad e F e d e ra l de S a n ta C a ta rin a .

0 p ro c e sso u tiliz a d o n a so lu ç ã o d a s e q u a çõ e s r e s u l ta n t e s dos e le m e n to s f in i to s fo i a elim in ação de G auss em m a tr iz e s a rm a z e n a d a s em f o rm a de b a n d a , e n q u a n to q u e os a u to v a lo re s e a u to v e to re s fo ra m o b tid o s a tr a v é s do m étodo d a ite r a ç ã o s u b - e s p a c ia l [3].

(28)

DESENVOLVIMENTO DOS ELEMENTOS 9-FULL E 9-URI

2.1 - INTRODUÇÃO.

T e ó r ic a e m a te m a tic a m e n te m u ito bem fu n d a m e n ta d o s , os e le m e n to s d e g e n e ra d o s o r ig in a ria m e n te p ro p o s to s p o r AHMAD e o u tro s [1] d esem penham um p apel f u n d a m e n ta l n a h i s t ó r ia de e le m e n to s f in ito s p a r a c a s c a s . O e le m en to m o s tr a d o a g o ra s e gue a fo rm u la ç ã o b á s ic a dos e le m en to s d e g e n e ra d o s, sendo a d o ta d a s a s s e g u in te s p r e m issa s:

a ) As d e fle x õ e s s ã o pequ en as;

b ) A h ip ó te se de K irc h h ç ff é r e la x a d a , ou s e ja , a n o rm al à s u p e r f íc ie in d e fo rm a d a n ão p e rm a n ec e n o rm a l à s u p e rf íc ie d e fo rm a d a , perm an ecen d o no e n ta n to r e t a e in e x - te n sív e l;

c) T en sõ es n o rm a is à s u p e rf íc ie de r e f e r ê n c ia d a c a sc a sã o d e s p re z á v e is .

E s ta s p re m is s a s tam bém s e rã o v á lid a s n a s f o rm u la ç õ e s d o s o u tro s e le m e n to s se lecio n ad o s.

A n o ta ç ã o in d ic ia i é a d o ta d a no d e c o rr e r do tr a b a lh o . N os lo c a is onde não é u tiliz a d a e s t a n o ta ç ã o h á um a r e f e r ê n c ia e x p líc ita no te x to .

2 .2 - FORMULAÇÃO 0 0 ELEMENTO 9-FULL.

2.2.1 - S iste m as de c o o rd e n a d a s.

Q u a tro s is te m a s de c o o rd e n a d a s são u tiliz a d o s n a s f o rm u la ç õ e s dos e le m en to s de c a s c a d e g e n e ra d o s. E s te s s is te m a s s ã o m o stra d o s n a f i g u r a 1. a ) S iste m a glo b al d e c o o rd e n a d a s (x ,y ,z). O s is te m a g lo b al de c o o rd e n a d a s é u sado p a r a d e f i n i r a s c o o rd e n a d a s n o d a is e d e slo c a m e n to s d a c a sc a . Os v e to r e s de b a se a s so c ia d o s s ã o d e sig n a d o s p o r e ^ e« e e ^ 1 2 3

(29)

b) S is te m a n a tu r a l de c o o rd e n a d a s (Ç,7),Ç).

As fu n ç õ e s de in te rp o la ç ã o sã o e x p re s s a s em te r m o s d a s • c o o rd e n a d a s n a t u r a i s n ão o rto g o n a is do elem ento.

A s u p e rf íc ie de r e f e r ê n c ia da c a s c a é d e fin id a p e la s c o o rd e n a d a s n a tu r a i s Ç e T), com C = 0. A d ire ç ã o de Ç é a p ro x im a d a m e n te n o rm a l à s u p e rf íc ie m édia d a c a s c a . T od as e s s a s c o o rd e n a d a s n a tu r a is v a ria m de -1 a +1.

c) S is te m a lo cal de c o o rd e n a d a s (x \y ',z * ).

0 s is te m a lo cal de c o o rd e n a d a s é u sado p a r a d e f in ir a s te n s õ e s e d e fo rm a ç õ e s em q u a lq u e r po n to d e n tro do elem ento. O v e to r z* d e fin e a d ire ç ã o z* e é o b tid o a tr a v é s do p ro d u to v e to r ia l dos v e to re s que sã o ta n g e n te s à s d ire ç õ e s Ç e t), ou s e ja ;

z = x , ^ X X , (7)

onde X , é o v e to r p o siç ã o de q u a lq u e r po n to d a c a sc a , dado p e la e q u a ç ã o (18).

0 v e to r X* n a d ire ç ã o x* é c o in c id e n te com a ta n g e n te n a d ire ç ã o ou s e ja ,

x^ = x , ç (8)

O v e to r y* n a d ire ç ã o y* é o b tid o a tr a v é s do p ro d u to v e to r ia l de z } com x * , d e ta l f o r m a que

y* = z* X x ‘ (9)

0 s is te m a lo c a l de co o rd e n a d a s v a r ia d e n tr o d a c a s c a e é ú til p a r a d e f i n i r a m a tr iz dos c o sse n o s d ir e to r e s 6, a q ual p e rm ite t r a n s f o r m a ç õ e s e n tr e os s i s te m a s de c o o rd e n a d a s local e g lo b al. A m a tr iz dos c o sse n o s d i r e t o r e s é d e fin id a p e la e x p re s s ã o :

e = e e e1 1 1

1 2 3

(

10

)

onde e | , e s ã o v e to re s de b a se o rto n o rm a is n a s d ire ç õ e s x * , y* e z*, resp>ecti- v a m e n te , sendo c a lc u la d o s p è la s e x p re ssõ e s:

e ‘ = — ^ (11)

(30)

e = 2 Il y II (12) e = 3 (13) d) S iste m a nodal de c o o rd e n a d a s.

0 s is te m a no d al de c o o rd e n a d a s é c o n s tru íd o em c a d a nó, e é u sado com o r e f e r ê n c ia p a r a d e f in ir os g r a u s de lib e rd a d e de r o ta ç ã o (6^, 0^) em c a d a nó do e le m ento.

Os v e to r e s de b a se o rto g o n a is a s so c ia d o s s ã o d ad o s p o r e^, e e^. A d ire ç ã o de e é d e fin id a a tr a v é s d a e q u a çã o (14). f e = 3 1 + - X - X i i (14) h = i + X - X i i (15)

sem som a em i, onde x . é a p o siç ã o do v e to r do i-é sim o nó n a p a r t e s u p e rio r d a c a s ca, X é o v e to r do i-é s im o nó n a p a r t e i n f e r io r d a c a s c a , h é a e s p e s s u r a da c a s c a

i (*) ^

no nó i

E x iste m v á r ia s m a n e ira s de' d e f in ir a s d ire ç õ e s dos v e to r e s e e^. N e ste elem ento fo i a d o ta d a a s e g u in te convenção:

f e = 1 X 3 3 (16) e X 3 3 f f V f e = e X e 2 3 1 (17)

No c a so de s e r p a r a le lo a e®, a d ire ç ã o de p a s s a a s e r a m esm a de e®, com sendo calc u la d o p e la e q u a çã o (17).

(*■) A p e s a r d a fo rm u la ç ã o u tiliz a d a p o r CHANG e o u tro s [10] r e q u e r e r o uso d a s eq u açõ es (14) e (15), o p to u -s e p e la in tro d u ç ã o de e h com o d ad o s de e n tr a d a do

3i i

p ro b lem a. E s ta c o n s id e ra ç ã o re d u z em m u ito a g e ra ç ã o d e c o o rd e n a d a s e, p a r a os c a sos e stu d a d o s n e s te tra b a lh o , não h á nenhum a d e g ra d a ç ã o d a fo rm u la ç ã o .

(31)

F i g u r a 1 - Tipos de s is te m a s de c o o rd e n a d a s u tiliz a d o s . a)g lo b al. b )lo c a l. c)nodal. d ) n a tu r a l.

2 .2 .2 - G e o m e tria do elem ento.

S e g u in d o -se a fo rm u la ç ã o is o p a ra m é tric a , a g e o m e tria do e le m e n to é d e fin id a em t e r m os d a s c o o rd e n a d a s n a tu r a is do ele m en to (Ç,t},C), a tr a v é s d a s e g u in te equação: x X i f i , e 3x X = •y ■ = N ■ ! ■ * < i N h, . f 1 e 3y (18) z z F <=0 f 1 e 3z-> onde X = (x, y, z) sã o a s c o o rd e n a d a s de um p o n to g e n é ric o d a c a s c a r e f e r e n t e s ao

s is te m a g lo b al. é a fu n çã o de in te rp o la ç ã o la g r a n g e a n a no nó g e n é ric o "i" c o r re s p o n d e n te a um a s u p e rfíc ie com Ç c o n s ta n te ; é a e s p e s s u r a d a c a s c a no nó "i"; Ç,T),Ç sã o a s c o o rd e n a d a s n a tu r a is do ponto em c o n s id e ra ç ã o ; e é o v e to r dado p e la

3

(32)

c la r a m e n te d e fin id a s no a p ê n d ic e A.

\

2 .2 .3 - R e p re se n ta ç ã o dos d e slo c a m e n to s.

Cinco g r a u s de lib e rd a d e sã o c o n s id e ra d o s em c a d a nó do elem en to : t r ê s tr a n s la ç õ e s {u,v,w ) ao longo dos e ix o s g lo b a is (x ,y ,z ) e d u a s r o ta ç õ e s s o b re os e ix o s m u tu a lm e n te p e rp e n d ic u la re s e e^, n o rm a is à d ire ç ã o e^, como pode s e r

1 2 3

v is to n a f ig u r a 2. P o r ta n to , c a d a ele m en to te m um t o t a l de 45 g r a u s de lib e rd a d e . C o n sid e ra n d o -se a s p r e m is s a s d e s c r ita s no ite m 2.1, o v e to r de d e slo c a m e n to s u (u,v,w ) em um p o n to g e n é ric o d a c a s c a é dado por:

u u ' i f i [-0 e 1 2x + 0 e j. 2 Ix V ■ = N ■ i Vi • * < ^ N, h . -0 * e^ ‘ 1 2y + 0*e^' 2 ly w w y ç= o -0 * e ^ ‘ 1 2z + _ i f i 0 e 2 Iz-' (19) F i g u r a 2 - S iste m a nodal. Ou n a f o rm a sim bólica; u = N ci (20)

onde N r e p r e s e n ta a m a tr iz d a s fu n ç õ e s de in te rp o la ç ã o m o d ific a d a s, o b tid a a p a r t i r d o s te rm o s d a e q u a çã o (19), e q é o v e to r de v a riá v e is n o d a is do e le m e n to d e fin id o p o r:

t