Curso Moderno de Matemática para a escola elementar - Guia do Professor, 2ª edição, 4º vol., 1973.

L U C I L I A B E C H A R A S A N C H E Z

MANHÚCIA PERELBERG LIBERMAN

Curso Moderno de Matemática

para a Escola Elementar

4 . " V o l u m e

G U I A D O M E S T R E

372.7 B 3 5 4 g c 2. ed. e x . 1 G H 0 0 8 6 8 n O N A L

r

_{- CSjUoG'SG?}

D A S M E S M A S A U T O R A S : C u r s o j V o r f T r . o d e M a l e m á l i c a p a r a a e s c o l a e l e m e n t a r, 1 ° v o l u m e

(em colaboração com a Prof." Ann.v Franchi) C i i r s o M o d e r n o d e M a l e m á l i c a

para a e.scola elementar, 2.° volume (em colaboração com a Prof." A.nna Franchi)

C u r s o M o d e r n o d e M a t e m á t i c a

para a escola elementar, 3° volume

(em colaboração com a Prof." Anna Franchi) C u r s o M o d e r n o d e M a t e m á t i c a

para a escola elementar, 4." volm7ie

segunda edição

ú K M A T

D I G I T A L I Z A D O

Direitos reservados à

C O M PA N F T I A E D I TO R A N A C I O N A L Rua dos CiU.smõe,s, 630

01212 S.Ào Paulo, SP

1 ii 7

liriiin-fM" II" Hiii-iil

S U M Á R I O 2 . 3 . 4 . 5 . 6. 7. C o n j u n t o s

pertence e não pertence vazio e unitário s u b c o n j u n t o

R e p r e s e n t a ç ã o d e c i m a l o o s n ú m e r o s n a t u r a i s õ

i d é i a d e n ú m e r o a g r u p a m e n t o s

números nnturnis maiores ipie 1.000 s u c e s s o r e a n t e c e s s o r

classe.s e ordens

aplicações em problemas

Adição e Subtração no conjuiilo d i- /c. "«ros naturais. Propriedades. 10

fechamento, cumulativa, associativa, clcnicnto neutro

aplicações

Fr\çõi:s- Adição e Subtração de números racionais 15

equivalência e comparação

representação gráfica de adições e subtrações problemas de aplicação

representação na reta numerada

f o r m a m i s t a G e o m e t r i a

regiões e fronteiras

ângulo, congruência de ângulos retas perpendiculares e ângulo reto

classificação de quadriláteros classificação de triângulos

M ú l t i p l o s e d i v i s o r e s 3 0

números primos

fatore.s primos

clivi.sores comuns (intorsecçno)

miiltiplo.s comuns

aplicações em frações

Multiplicação e Divi-sâo no conjunto dos números naturais. Propriedades 3.5

fechamento, comutativa, associaiivii, elemento iteutro <listiibutiva da multiplicação em relação ã adição

8. Fhaçõi^s. Muhfplicavíio e Divisão tio coujiuilo tios números rai'JO/io'S

represeiTlaçao gi'áfica

técnica para miiUiplicavão com fragões iiplicações em pi«>blemas

divisão, represeiilagão giáfica

9. üperavões na repTOsontagão dkcmai. de re.íWs ^

iidigãü, subtragão, miilUplicagao

1 0 . P o r c e n t a g e m

significado de porcentagem

porcentagem e fragão íiplicagões em problemas

U Fkvçôks. Propriedades das operagõe.s com mb.cr..

, , O p e . . a . O e . . e

técnica para divrsao

e s t i m a t i v a 6 8

capacidade

comprimento medida de tempo

âuUnci. de um pon.u . uma reta

a l t u r a ■ • ■■■

'■'prilm.m- "Sepípedo.; cubu.

pirâmides

cilindros, cones, esíei

unidades de vulume

Páginas 1 a 9 IVOÇÀO DE CONJUNTOS

Objetivos:

1) Sistematizar a idéia cie conjunto e suas representações.

2) Introduzir a idéia de: pertinência (pertence ou nâo pertence),

conjunto unitário ou vazio, conjunto finito ou infinito.

3) Introduzir a idéia de subconjunto (estar contido — contém). 4) Desenvolver o conceito de igualdade de conjuntos.

5) Introduzir os termos do vocabulário.

Vo c a b u l á r i o ;

Conjunto, pertence, não pertence, conjunto vazio, conjunto unitário,

conjunto finito (conjunto infinito), subconjunto (estar contido — contém).

O r i e n t a ç ã o :

Os objetivos acima descritos devem ser alcançados através de diá logos com os alunos.

Na medida em que um assunto for apresentado, dar-se-á aos alunos

a página correspondente do livro para que ele, sozinho, resolva as

situações propostas.

\ correção deverá ser feita em classe e seguida da discussão dos erros que por acaso ocorram.(*)

Páginas 10 a 30

representação decuvial dos Números naturais

Objetivos:

1) Rever o conceito de número.

2) Rever a representação do número e a idéia de agrupamento.

G r i t j »

(•) O {irofeasor encontrnri iiiaioros aubaitlios no livro Cma Inicitiíãn ti Malvmálica, publicação do

3) Introduzir as idéias de milhão, bilhão.

4) Estudar o valor do algarismo de acordo com a sua posição no

n u m e r o .

5) Introduzir a idéia de ordem e classe.

V o c a b u l á r i o :

milhão, bilhão, trilhão, quatrilhão, quintilhão, classe, ordem, valor

posicionai.

O r i e n t a ç ã o :

Nos primeiros anos do Ensino de 1.® Grau desenvolvemos o conceito de numero natural, estabelecendo a correspojidência um a um entre

conjuntos eqüipotentes.

Assim, o número 2 foi abstraído da eqüipotência de conjuntos,

de frações"^^^° racional y, por exemplo, será abstraído da equivalência

Púqítiq, 10 O aluno vai associar nn« ■ •

números naturais 4, 5 e 6, resDectivamant» Primeiros conjuntos os

fração, respectivamente: ' ® demais conjuntos uma — i . _ i 1 2 1 8 2

2 9 16' 12' T T T J' 6"

relacionando o número de nartp-s

_{partes pintadas com o total de partes.}

Página 11 — O aluno vai associar um número natural ao conjunto de crianças e outro ao conjunto de meninos; em seguida escreverá a

fração que relaciona o número de meninos de cada classe ao total de alunos da classe.

Na ilustração inferior o aluno procurará relacionar os objetos associan do números naturais ou frações às quantidades. Exemplo:

g

3 dos 7 vagões são de passageiros, isto é, y dos vagões são de pas

sageiros. Quantos não são de passageiros?

n

No pasto estão 4 animais, dos quais 3 são bois, ou seja, dos ani

m a i s s ã o b o i s . E t c .

A compreensão do nosso sistema de numeração, particularmente do valor posicionai nas primeiras séries do Ensino de 1.® grau, é um dos mais importantes objetivos da matemática.

Sem essa compreensão não se poderá ensinar a técnica das operações.

Por isso, esses conceitos são desenvolvidos com muito cuidado desde

o 1.® volume e também aqui começamos com agrupamentos a partir de

grupos diferentes de 10.

Neste volume, esse conceito aparecerá inicialmente no estudo dos

números naturais e, mais tarde, no dos números não naturais, quando

estudaremos a representação decimal dos números racionais.

Página 12 — 0 quadro desta página leva o aluno a estabelecer a seguinte relação:

cada grupo de 6 corresponde a 1 caixa 6 grupos de 6 correspondem a 1 pacote

6 grupos de 6 X 6 correspondem a 1 caixote

Para completar o quadro, o professor formulará perguntas como:

— Com 5 caixas, quantos pacotes posso completar? Nenhum (co

loca-se zero na coluna 6 grupos de 6).

— Quantos caixotes? Nenhum (coloca-se zero na coluna 6 grupos

de 6 X , e 5 na coluna de grupos de 6).

— Quantas unidades restam? Nenhuma (coloca-se zero na coluna

das unidades).

Quantos restam? 4 lápis (coloca-se 4 na-coluna das unidades).

O quadro completo é o seguinte:

5 caixas 3 pacotes e 5 lápis 2 caixotes e 3 caixas 10 lápis 20 caixas 7 pacotes e 5 lápis 1 caixote caixote pacote 6 grupos 6 grupos de 6 X 6 de 6 g r u p o s d e 6 u n i d a d e s

Págn-i tS — Esta página apresenta situação análoga à anterior

a g o r a c o m a q , r u p a m e n t o s d e 1 0 e m 1 0 . '

O professor perguntará:

— Com 10 cubiuhos forma-se o quê? Uma barra.

— Sobram cubinhos? Não.

— Uma barra é formada de quantos cubinhos? 10.

— E 3 barras? 30.

— o que posso faser com 10 barras? Uma chapa.

O aluno poderá, então, completar a primeira nart» H - •

Para completar o quadro procederá A ^ Pagma.

página anterior. ^ mesma maneira que na

10 grupos 10 grupos d e 1 0 X 1 0 d e 1 0 g r u p o s d e 1 0 C u b i n h o s 10 barras e 10 cubinhos 13 barras e 6 cubinhos 10 chapas e 10 barras 1 0 c u b i n h o s 1 0 b a r r a s 10 chapas

Página 14 — O professor lembrará ao aluno que:

9 + 1 = 1 0 ( d e z e n a ) 9 9 + 1 = 1 0 0 ( c e n t e n a ) 9 9 9 + 1 = 1 . 0 0 0 ( m i l h a r )

9.999 + 1 = 10.000 (dezena de milhar) 99.999 + 1 = 100.000 (centena de milhar)

e poderá dizer 999.999 + 1 = 1.000.000 (milhão).

Em seguida:

Se CH corresponde a 100.000, então I I I corresponde 2X100.000 ou

200.000, até o ultimo, que corresponderá a 10 vezes 100.000 ou 1.000.000 (1 milhão).

A última parte da página será assim respondida:

1 0 9 8 1 0 0 9 9 5 5

1 . 0 0 0 9 9 9 - > 9 9 8 1 0 . 0 0 0 - > 9 . 9 9 9 ^ 9 . 9 9 8

1 0 0 . 0 0 0 9 9 . 9 9 9 9 9 . 9 9 8 1 . 0 0 0 . 0 0 0 9 9 9 . 9 9 9 9 9 9 . 9 9 8

Página 16 — Apresenta um conceito novo: o de classes. Aos alunos,

pode o professor dizer:

— Para não ser preciso criar uma palavra nova para cada novo grupo de 10, pensou-se em realizar novos agrupamentos, chamados classes.

O professor não precisa enfatizar para os alunos esta nomenclatura.

Sugerimos que leve para a classe recortes de jornais ou revistas,

onde estes números aparecem.

Página 17 — Antes da apresentação da página, o professor recordará

o assunto, fazendo perguntas como:

— Quantas dezenas estão contidas em 123? Ora! 123 são 12

d e z e n a s e 3 u n i d a d e s .

— Quantos milhares estão contidos em 21.304? Ora! 21.304 são

2 1 m i l h a r e s e 3 0 4 u n i d a d e s .

Página 18 — Separe as classes e adicione 1 milhar:

3.541 — 4.541, 27.005 — 28.005, etc.

No último exercício, o valor posicionai do 6:

em 0.825 é 6.000, porque 6 ocupa a posição do milhar em lo.oei é 60. porque 6 ocupa a posiçSo das dezenas

e t c .

Páginas 19 a 24 ~ Propõem situações onde aparecem números da

leitura e o manuseio de números destes orS"°^'" ^

Algumas destas páginas podem ser dispensadas j

a d i a n t a m e n t o d a c l a s s e . a a a s , d e p e n d e n d o d o

O b j e t i v o s ;

Páginas 31 a 44

ADIÇÃO. E SUBTRAÇÃO

1) Rever as técnicas de adição e suhtmnSrt

de milhares, milhões, bilhões! etc ^ da ordem

2) Recordar as propriedades da adição.

3) Introduzir a nomenclatura das propriedades.

Vocabulário (optativo):

Fechamento, comutativa. associativa, elemento neutro.

O r i e n t a ç ã o :

No decorrer destas páginas recordam-se as técnicas de adição e subtração; sempre que possível, o professor deve associá-las a situações

reais (ver página 34). Páginas 31 e 32

a o r d e m d e m i l h õ e s .

Propõem adições e subtrações com números até

Página 33 — O professor mandará os alunos completarem as adições

e subtrações propostas: ' 1 2 0 . 7 8 4 + 1 3 . 7 2 K = 1 3 4 . 5 0 5 1 2 0 . 7 8 4 + 1 3 . 5 2 1 = 1 3 4 . S 0 5 1 2 0 . 7 8 4 + 1 3 . 5 2 r = 1 3 4 . 7 0 5 1 2 0 . 5 8 4 + 1 3 . 7 2 1 = 1 3 4 . 3 0 5 420.384 + 13.721 = 134.705

Alguns alunos logo perceberão que é possível simplificar os cálculos,

observando que:

a) na 2.°^ adição uma das parcelas diminui de 2 centenas em relação

à 1.^ adição; então a soma diminui de 2 centenas;

h) na 3." adição uma das parcelas aumenta de 4 centenas em relação

à 2.°^ adição; então a soma aumentará de 4 centenas;

c) na 4.» adição uma das parcelas diminui de 2 centenas em relação

à 1.® adição; então a soma diminui de 2 centenas.

Quando todos os alunos tiverem completado o exercício, o professor

chamará a atenção para o fato de que:

Aumentando-se (ou diminuindo-se) uma das parcelas, a soma au

menta (ou diminui).

Não há necessidade de o professor insistir neste assunto.

Em seguida calcularão: 1 2 0 . 7 8 4 - 1 3 . 7 2 K = 1 0 7 . 0 6 3 1 2 0 . 7 8 4 - 1 3 . 5 2 1 =

120.784 - 13.321^ =

^120.584 - 13.721 =

420.384 - 13.721 = 1 1

Aqui também alguns alunos logo perceberão que não precisam calcular

todos, observando que:

a) na 2.'> subtração o 2.° termo tem 2 centenas a menos que na

1." subtração; então o resto terá duas centenas a mais;

h) na 3.'' subtração o 2." termo tem 4 centenas a mais que na 2."

subtração; então o resto terá 4 centenas a menos;

c) na 4.'' subtração o 1.° termo tem 2 centenas a menos que na

1." subtração; então o resto terá 2 centenas a monos.

Aqui também, quando todo.s completarem o e.xorcício, o professor

chamará a atenção para o fato de que;

&e aumentarmos (ou diminiiirmo.s) o 1.° termo, o resto aumenta

(ou diminui); se aumentarmos (ou diminuirmos) o ° termo o resto

d i m i n u i ( o u a u m e n t a ) . '

n ã o T e T t e i m a s o p r o f e . s n r

As outras adições e subtrações serão completadas da mesma maneira

d e n t r o T p o S f v e f P r o p r i e d a d e s

s e r ™

.ue se pode resolver aplicando ^m^LõeTmZLirér

menor rae^So^OõO P°''<l"e a parcela 32.048 é

_{que á-.OoO e a outra é igual nas duas adições;}

da ^ " 18.459, porque o 2." termo da expressão

da esquerda é menor que o 2.» termo da expressão da direita

meros naturais nem sempre o é. «lícrcnça de dois nu-Pádina 36 — Propõe uma gencraliz-iràf) r?.. • » ,

e introduz o vocábulo comulativa ' ' Pf^opi'iedade comutativa

o

t " M h a d a s

p a r a

q u e

que se coloque no lugar do □ e A". Ó pro^'essor''di

^ _ i - - v . . . , , . . , ! u a a :

voces vao e.scolher um número na..c i

outro no lugar do A; e.ste.s númerr lugar do □

d o e x e r c í c i o . o s m e s m o s a t é u f i

G

fi m 1 2

Em seguida, confrontará as respostas de 3 ou mais alunos e mostrara

à classe que:

Não importa o número que eles tenham escolhido, pois a respos

ta para □ + A será sempre 7.329 e as demais serão semore

7 . 3 2 9 + 8 . 1 2 7 = 1 5 . 4 5 6 . ^ O que permitirá concluir que;

Qualquer que seja o número natural que se coloque no lugar de

□ eA, teremos sempre □ + A = A + □, isto é, a adição é co

mutativa no conjunto dos números naturais.

Páginas 37 a 39 — Serão desenvolvidas da mesma maneira que a

página 36, agora para concluir a associatividade e a existência de ele

mento neutro na adição.

Na página 38 os alunos deverão aplicar as propriedades comutativa

e a s s o c i a t i v a .

Exercícios análogos aos do fim da página 44 vêm sendo apresentados

desde o 1.® ano.

A nomenclatura: comutativa, associativa, elemento neutro, é apre

sentada aos alunos, mas não precisa ser memorizada, nem mesmo

usada-o que impusada-orta é que usada-os alunusada-os cusada-onheçam usada-o mecanismusada-o destas prusada-opriedades.

Páginas 40 e 4i — Chamamos a atenção para o fato de que qua.se

s e m p r e :

A - □ 7 í □ - A e

( A - □ ) - O A - ( D - O )

Dizemos quase sempre porque, por exemplo:

(8 - 5) - 3 8 - (5 - 3) mas (9 - 3) - O = 9 - (3 - 0)

\ / \ / \ / x /

3 - 3 ? í 8 - 2 6 - 0 = 9 - 3

\ X \ X \ X \ X

O 6 6 = 6

Este fato não precisa ser enfatizado, mas deverá ser apresentado em ciasse. Essas desigualdades deverão ser compreendidas por meio de

um desenvolvimento semelhante ao das páginas anteriores.

Página 4^ — Dentro do possível, os alunos devem responder sem

calcular, aplicando as propriedades.

i áíjina 43 Apresenta uma curiosidade, cujo objetivo é a observação

de certas propriedades. Exemplos:

1) Os alunos completarão o quadro: no Distrito Federal

1 9 6 5 1 9 6 6 Variação 1 . 0 0 0 1 . 0 0 0 ₀ 2 . 0 0 0 2 . 0 0 0 ₀ 6 9 . 0 0 0 7 7 . 0 0 0 _{8 . 0 0 0} 7 2 . 0 0 0 _{8 0 . 0 0 0 8 . 0 0 0}

e o professor fará os alunos observarem que o aumento do total corresponde à soma dos aumentos das parcelas.

2) Na Paraíba I 9 6 0 2 5 7 . 0 0 0 3 0 1 . 0 0 0 1 . 7 9 6 . 0 0 0 2 . 3 5 4 . 0 0 0 1 9 6 6 ISO.OOO 2 5 3 . 0 0 0 1.549.000 1 . 9 8 2 . 0 0 0 Variação 7 7 . 0 0 0 4 8 . 0 0 0 2 4 7 . 0 0 0 8 7 2 . 0 0 0

e o professor fará os alunos observarem mio ^ rlímJr,,,

-total corresponde à soma das diminuições das parcelâr

3) Na Guanabara 1 9 6 5 5 . 0 0 0 1 . 0 0 0 1 . 4 0 4 . 0 0 0 1 9 6 6 4 . 0 0 0 1 . 0 0 0 1.476.000 1 . 4 1 0 . 0 0 0 _1.481.000 Variação 1 . 0 0 0 O 7 2 . 0 0 0 7 1 . 0 0 0 (para menos) (para mais)

Se os alunos não perceberem as variações do tntsl 1

as parcelas, o professor fará observar que se nm 1

T I , ' ' " m e i i t a d e 7 9 o n r '

r e s u l t a d o é d e 7 1 . 0 0 0 . < ^ - 0 0 0 , o a u m e n t o d e

A página 44 também pronõe

relaçao entre a variação do total e a variaçãT^dar™^'^'^]^

r v a r a

1 4

Nos exercícios do rodapé, se a classe oferecer condições, o professor pedirá que respondam sem calcular, aplicando as propriedades. Exemplos:

1) (358 + 825) - 432 e 358 + (825 - 432)

são iguais porque, no primeiro caso, subtraímos 432 do total e, no se

gundo caso, subtraímos 432 de uma das parcelas (conclusões já vistas

em voluuies anteriores).

2) 812-(415-311) e (812 - 415) - 311

Os alunos poderão concluir imediatamente que são diferentes por

causa da não associatividade da subtração.

3) (395-212)- 130 e 395 - (212 + 130)

Os alunos poderão concluir que são iguais porque, subtrair 212 e

depois 130 é o mesmo que subtrair 212 -|- 1.30.

Esta igualdade foi estudada no 3.® volume (pág. 24 e seguintes).

Se o professor achar interéssante, convém propor situações concretas que permitam visualizá-la. Exemplo:

3 9 5 2 1 2

1 3 0

Devo percorrer 395 km, percorri 212 km na 1.® etapa e 130 km na 2.» etapa; para saber quanto falta, posso subtrair 212 de 395 e 130 do

r e s t o :

(395 - 212) - 130

ou subtrair de 395 o total de quilômetros percorridos (212 + 130):

395 - (212 + 130)

Páginas 45 a 74

ADIÇ.ÍO E SUBTRAÇÃO NO CONJUNTO DOS NÚMEROS

R A C I O N A I S

Objetivos:

1) Rever as noções de frações equivalentes e comparação de frações.

2) Compreender a adição e subtração de números racionais tia forma

de fração.

SuTvdrntef ° racional como um conjunto de frações

4) Representar números naturais na forma de fração.

5) Rever a representação na forma mista.

6) Aplicar o conceito de fração como relação parte-todo em situações

u r £ L L l C d i > 5 *

7) Localizar números racionais e frações na reta numerada.

V o c a b u l á r i o :

N ú m e r o r a c i o n a l .

O r i e n t a ç ã o :

que irá utilizar na representarão Vaícrárírações!®""^^ ^

partes-'^permlte ao aluno^^optarí^eMoihrndo^^entre uma'^e

_{a fi g u r a e s t i v e r d i v i d i d a . o u t r a , c o n f o r m e}

Só em duas figuras:

_

□

□

a

[ = □

d ]

□

o aluno poderá pintar tanto f como i partes, porque estáo d.vididas

num numero de partes múltiplo de 3 e 4.

Depois de pintar, o aluno observará que;

I é o mesmo que | é o mesmo que 1, etc

8 ■

^ Pdgina 47 ~ O aluno deve relacionar cada figura a uma , r

T s " " 4 ■ & a u m a d a s f r a ç õ e s ;

Aqui também o conceito Ho i*

No rodapé desta página, o alunrde^ pe^l

por exemplo: ^ = i. ^ j Perceber que A + □ =

1 6

Página 48 — Os alunos devem relacionar, através de uma fração

q u a n t i d a d e s d e s c r i t a s . E x e m p l o ; '

Uma rua tem 3 km. Andei 2 km. Que parte da rua andei ? —

3

No problema da parte inferior, o aluno deve;

1) escrever nas placas as distâncias de cada cidade em relação ao

Rio, para poder calcular as distâncias entre elas;

2) escrever entre parênteses a fração que representa a distância do

trecho pedido em relação à distância total Rio-Sáo Paulo.

Exemplo; São Paulo a Jacareí

Páginas 48 e 50 — Após pintar o quadro de acordo com a indicação,

o aluno, pela observação dos quadros A, 5, C, D, B, F, poderá com

pletar com os sinais convenientes;

1 ^ 3 3 ^ 1

y < T ' T > T '

Na página 50 é também observando os quadros que o aluno vai

1 1 2 3 3

encontrar outras frações equivalentes a -ji y -r> -ji y

Página 61 — O aluno vai preencher os vazios à vontade, tentando obter sentenças verdadeiras.

Sugerimos que seja resolvida oralmente, isto é, na louaa, para que

a correção não se torne trabalhosa, e proporcionando a todos os alunos

oportunidade de participar.

3 6

Assim, na 1.® faixa: Como preencheria a 1." sentença? —

E você ?

Na 2.' faixa; Como preencheria a L' sentença? y < -^

E v o c ê ? — < 4 e t c .

6 o

5 3

Observe que — é igual a 1 e 1 é maior que

Esta página pode ser dispensada, se a classe não corresponder.

Página 5S — Recorda exercícios análogos aos apresentados no 4.*

volume, págs. 154 a 165.

^ - 1 e t c

- - - e t c .

o exercício do rodapé da página 54 propõe o desdobramento da

unidade de diferentes maneiras, porém relacionadas entre si. Olhando

a representação gráfica. Assim:

T + T + T= ^

T + T + Í- = 1

Ãs páginas 55 e 56 temos também exercícios para escrever

deter-ÍSr SiSf ' observando a representarão ^

i-+ ± = 1

_{4 2}

/ \

- + - + 1 _ 1

4 ^ 8 + T - Y

ndmSSrr^tonaTrrer^rnUÍr^^^^^^

Página 67 — Q professor deverá sugerir oue 09

os resultados graficamente. Exemplo: Q e os alunos apresentem

+ ? =

i está hach^ado e faltanr 1 para completar 1 entáo i + 1 - 1

D ? l • a o

J-+ K = A

_{2 ^ • s}

2 está hachurado e falta para completar -|-í então 4- — = A

2

-g- está hachurado e faltam para completar então -|- -f -1 =

Para os exercícios da 2^ parte da página os alunos deverão encontrar sozinhos a maneira de representar as frações graficamente.

Se os alunos não perceberem que há sempre uma relação entre os denominadores (um é sempre múltiplo do outro), nas frações dadas, o

professor deve explicitá-lo.

Página 58 — Agora os alunos não se apóiam nos gráficos para a redu ção ao mesmo denominador, mas trabalham com as classes de. equivalência.

Páginas 59 a 61 — No estudo da subtração como inverso da adição

(pág. 59), seguimos o mesmo esquema que na adição: propondo primei

ramente soluções gráficas (pág. 60) e depois redução ao mesmo denominador

pelas classes de equivalência (pág. 61).

Página 62 — Os problemas envolvem adições ou subtrações com

frações. Sugerimos que o aluno, depois de ler cada um, faça um gráfico a fim de compreender a solução e não queira adivinhar a operação a ser realizada. Assim, para o primeiro problema:

depois do almoço

-g antes do almoço Resta ainda

Se o aluno tiver condições, o professor estimulará a construção das

sentenças matemáticas:

8 4 8 8 8

Caso contrário, o que será mais comum, basta a solução gráfica. Página 6S — Visa a um treinamento da adição e subtração.

Os quadrados mágicos devem ser explicados com frações.

A soma, em qualquer direção, é ^ no primeiro e no segundo,

(vide Guia, 4.® volume).

Página 64 — Propõe adições com números racionaia entre O e 1 e

as correspondentes representações na reta numerada:

4 + 2 6 1 0 10 ~ ÍÕ 2 + 4 6 1 0 1 0 ~ l õ

^

^

1 + 5

^

A

ó ' ^ '

i

_'

_{1 + 1 - 8}

"

1 1 1 1 1 1

Estes exercícios chamam a at^noSr^

com frações, a ordem das parcela ° também

, Os ejcercícios do todané ®

priedade (comutativa). resolvidos, aplicando essa

pro-A s s i m :

f i ^ Q — ^ - r ~ ; r

_{+ 4 = - + t}

5 5 ^ 8

_{3 +y=T + y}

I 4 4 2

Págim 66 — Ê uma aplicação do conceito de fração às medidas

de compnmento.

Página 66 — Introduz o termo número racional e propõe exercícios

para a compreensão do conceito. Assim:

i . 3 4

4 ' 8 ' 12' 16' • • • 1 ^ 9 1 2

5' 10' Í5'

O número racional representado é:

4 8 1 2 1

y i4' Ti' •••j

4 8 1 2

Páginas 67 a 71 — Propõem situações que visam levar o aluno a

compreender o número natural na forma de fração e a familiarizá-lo

com os números racionais maiores que 1 e a sua forma mista. Página 72 — Sâo possíveis as respostas:

«) I ou 1 „„ I o„ 1

8 _{4 2} 2 4 o u _{1 2} o u _6" 9 _{3 6} 1 2 o u ₄ o u _"8 3 2 _{1 6 4} 1 2 8 o u 6 4 o u Í 6 o u ^ 2 1

^ 2 5 0 2 5 5 1 L Õ Õ Õ i õ õ 2 Õ T , 1 5 3 3 0 2 Õ T i õ „ 4 8 4 1

^ 1 4 4 I 2 T

Páginas 73 e 7/^ — Os problemas destas páginas devem ser lidos,

analisados, interpretados e esquematizados antes de serem resolvidos.

Aliás, todo problema requer estes passos para serem resolvidos com compreensão e não adivinhação ou memorização.

Assim, por exemplo, o professor mandará o aluno ler em voz baixa

quantas vezes forem necessárias para compreender o primeiro problema da pág. 73; em seguida fará uma análise através de perguntas como:

Você sabe quantos possuem 20 ou mais de 20 anos?

E quantos têm mais de 11 ou menos de 11 anos?

E quantos têm mais de 11 e menos de 20 anos?

Que fração da população tem 20 ou mais de 20 anos?

Que fração da população tem 11 ou menos de 11 anos?

Que fração da população tem mais de 11 e menos de 20 anos?

um 4"4^^Vse » clatr

z

■3 ? (20 anos ou mais)

T (11 anos ou menos)

(observar que ^ é o mesmo que

? (mais de 11 e menos de 20 anos)

960 então — 4

960 X 4 = 3.840 (total)

3 . 8 4 0 e n t ã o 3 . 8 4 0 3 = 1 . 2 8 0 u

e ^ 1.280 X 2 = 2.560 (20 ou mais)

E entre 11 e 20 anos? 3.840 - (960 + 2.560) = 320 o u - > 3 . 8 4 0 4 - 1 2 = ' 3 2 0

Esta é apenas uma sugestão. O professor deve considerar os caminhos

encontrados pelos alunos, desde que estejam corretos, sem o que estes

nunca aprenderão a pensar.

Para o 2.° problema, o professor desenvolverá com a classe o seguinte

raciocínio, conforme o esquema:

Ao todo 96 y ou 96 4- 2 = 48

4- ou 96 4- 4 = 24

OU 96 4- 8 = 12 o u 9 6 4 - 1 6 = 6 I o jg ou 96 4- 16 = 6

Em seguida, pedirá aos alunos que inventem estórias.

Ainda com o mesmo gráfico, terá a situação da direita:

Se í? 5^ então ^ logo a figura toda valerá 5 X 16 = 80,

Voltamos à situação do problema da esquerda.

y ou 80 4- 2 = 40

dev.íí'' Problema, a partir da medida de AD (30 km), os alunos

Pm ®oíocar os outros pontos. (Este problema pode ser dispensado

ena classes mais fracas.) ^

class^^ Problemas da página 74 também são dispensáveis, conforme a

CO « o3 ^ ^ r§(jQ^cOCDQOQOW D ,S ^ O '03 S o a f c

111

^

^ r t o o H a'S o C O B H o < U e o o § T3 ^ Sa,« ^ 1-Í C<f rji ÇO «o i-H 0 Í S W ) 8^2 So <o «â qTJ -O I 2 ^ § d T3 ^2 S •S C S ^^ .|»^0C|OC|Bqi<,CD <« o Ô a «.S •« ?«

a-tl

.2 Í d + 3 > o > 1 O S £ a ® & . S d (Ô g 8 .3 8 S M «<-1 T O T O O 'C ) f -< M ^ O j cx-ü a o o 2 ^ »< d ® 3

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CO ^ a S-S 8 1 ® s s

I

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§ ® s s o d 2 '.^ -O a è d b O C X ^d âS, ^ T J d d -C 'S S .s s i 3 ã = I g § d ^ .S S 'd C3 ã ^ ISis â d d ^ o

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0 fe § S ^ o I 3^2® p ( N « f f H -{ ^ 0 ) Q 3 'p c « I 03 ^ r« 1 o ft S^Iio'O <0 ^ o^leo O ® m d ro |'« í< O O 2 " S í o cr ^ t J 0 0 T S

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o S t í a "íí a> TJ O o s s d -«d M O a a> •»© 00 o 00 <03 d m o eo o oo o d . ft 0<"^ O „ o d 73 ftTS g â •J® 2 d

i.

I

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"d'C -2 -2 " -2 *d 'g "3 o r t o d £ ." íí -S d S « f l ) o o Q í S O o O cí Kd 00 5 -f í ) O o o ® 2 .Í 3 .£ } g "«-d d .2

il

?

I!

|.i

ã

s

J

D

A No 2.° exercíci

ângulo ABC, os nomes dos ângulos dessetriângulo serão AAÊC, ABC A e ACÃB.

o, desenhando-se o tr

i

Páginas 85 k 87 — Preparam para a C a-presentação do conceito de congruência QB

ângulos estudado na página 88 e seguintes.

Páginas 88 a 9ê a

deve ser neste nível vprJf; a ^^^g^^ência de ângulos, como a de figurf'

O aluno od ' ^ através da superposição de figuras.

Exemplo-papel de seda^e^vJn^^^^j quais as figuras congruentes, copiando-as

Antes da reali? - °^^do quais as que coincidem por superposição,

semelhantes na lousa^^í?ii Páginas, o professor proporá exercícios

Para a página 92 . resolvidos com a classe,

com que cada d, ° Professor fará

d a . ' . . o

c i d a m , a s s i m : d o b r a c o i n -abrindo a foi li

«om aittlUo de umTÍ^

««««"do a m^rca retas

« seguinte figura: ^«bras, e obterá

q«atro r^broS?'! ««tao que os ^

e que as retas são oi ®®'°f°^g'uentes !

diculares. el^amadas perpen- |

^ P-a^-feo tJT -áo utilisa. r"'Z^

disagem. ® «vahaçso da apren- ^

Página 98 p^j.

"iidique'torara ^^So Im V® "«formação, o professor mandará

«®"«. á imporf^t'®«''®«dendo o nro^" Perguntas sobre o texto- A

__ "«Portante que os aíónos"^™'?««f deverá esclarecer as

dúvidaa-grueut^r^" - ^«atro ânguloTl ^ ^

Isto slffn f ormmados por duas retas são eon

Oadae duas ^í''

du:rroT°u7o?- «lue tám um ponto em comum), elae

2 6

( a ) ( b ) ( c ) ( d )

porém somente nas figuras (a), (b) e (c) os quatro ângulos são congruentes.

(a), (6) e (c) são retas perpendiculares.

Páginas 94 a 96 — Aplicam as noções adquiridas de perpendicularismo

e ângulos retos.

Na-página 96 a figura solução é:

. J ^ Para nomear os ângulos, o aluno

D Ar deverá nomear outros pontos nas retas,

por exemplo, os pontos M e N) neste

caso, os ângulos serão:

L§B, AèN, BSN

^ Páginas 97 a iOS — Recordam a

classificação dos quadriláteros em

pa-ralelogramos e trapézios e, em seguida, dos papa-ralelogramos em re n

gulos losangos e quadrados.

Página IO4 — Soluções:

(por definição, trapézio não é paralelogramo)

3) Não é possível (todo retângulo é paralelogramo

possível (todo losango é paralelogramo)

congruente?^ Quadrado é um paralelogramo de ângulos

s uentes, logo é um retângulo)

quadrado é um paralelogramo de lados

oon-é um polígono de 4 lados, logo oon-é qu»'

(Retângulo de lados

eongruentes é quadrado)

(R°eango de ângulos

«ongruentes é quadrado)

Página 106 — Apresenta a classificação dos triângulos quanto à congruência dos lados. Aqui também o professor fará os alunos lerem

o texto, interpretando-o com eles.

Página 106 — Dá condições aos alunos de perceber intuitivamente

q u e :

a) todo triângulo com 2 lados congruentes tem 2 ângulos congruentes

e reciprocamente. (I - isósceles)

h) todo triângulo eqüilátero (3 lados congruentes) tem os 3 ângulos

congruentes e reciprocamente. (E - eqüilátero)

Página 107 — Apresenta a noção de triângulo retângulo.

Página 108 — (análoga à pág. 104) — Os alunos devem compreender

que: todo triângulo eqüilátero é um triângulo isósceles, mas nem todo

triângulo isósceles é eqüilátero (se o triângulo tem 3 lados congruentes,

então tem 2 ângulos congruentes).

Assim, teremos as seguintes soluções:

2) Não é possível (todo triângulo eqüilátero é isósceles)

(São triângulos eqüiláteros — como não é fáci p ,

anro-desenhar estes triângulos, o professor deve aceitar q Q

3) Apresentação dos conceitos de números primos e números primos

e n t r e s i .

4) Reconhecimento de números primos e de números primos entre si.

5) Apresentação dos conceitos de máximo divisor comum e mímmo

múltiplo comum através da intersecção de conjuntos.

QUe ^nân verificar intuitivamente através de tentativas

_{possível obter um triângulo com 2 ângulos retos.}

7)

o u

gulos retângulos que não tenham lados congruentes)

8)

O U

RTUentes) cujos lados de ângulos retos são con

jível

desenhar um \r^ân!íiTf ^ deverá perceber que não é poss

_{^ retângulo eqüilátero.}

O segredo do rodapé:

2-" faixa — sao sempre um lado a mais que o

anterior-faixa aân têm um lado a mais de dois em dois-

_{gonos quaisquer que têm sempre um ângulo}

reto-í^^ginas 109 a 119

Objetivo,, E DIVISORES

IteVÍ8g;o dos

2) R«P«eeotaç

3 0 ° ° m o p r o d u t o d e f a t o r e s p r i m o s -n V o c a b u l á r i o :

Número primo, fator primo, maior divisor comum, menor múltiplo

c o m u m .

Orientação:

Os conceitos de múltiplos e divisores foram ®

volvidos no 4.® volume, páginas 121 e seguintes. Se o pro

necessário, poderá recordar algumas dessas páginas com os a

Página 109 — Visa a recordar o conceito de fator, o uso de

para representar relações e o conceito de pertinência.

Página 110 — Define número primo.

fato de que "1" não é número primo, pois numero pnmo é aq q

p o s s u i 2 e s o m e n t e 2 f a t o r e s . • > i i r

-Se a classe corresponder, o professor fará construir o Crivo

tóstenes para os números primos menores que 100.

Para verificar se um número é primo, A^^^númeroTW

nhecido processo: dividir o número pela sucessão encontrado

até encontrar um quociente exato, ou até que o q

seja menor que o divisor.

Página 111 — Antes de mandar fazê-la, o professor deverá p p

aos alunos exercícios como:

o) Escreva o número 36 como um produto de dois fatores, exclum

o 1 .

o aluno pode apresentar uma das seguintes soluç

36 = 6 X 6 36 = 4 X9 36 = 12 X3 36 = 2 X 18

6) Escreva agora o número 36 como um produto de três fatores,

excluindo o 1.

Possíveis respostas:

36 = 4X3X3 36 = 2X6X3 36 = 2X2X9 36 = 3X2X6

e t c .

excluindo^^^l ° como um produto de quatro fatores,

Possíveis respostas:

^36 = 2X2X3X3 36 = 3X3X2X2 etc.

_{O 1. úmero 36 como um produto de cinco fatores, excluindo}

ntarão e chegarão à conclusão de que é

impossível-o seguint^e^f exercíciimpossível-os análimpossível-ogimpossível-os, impossível-o primpossível-ofessimpossível-or primpossível-opimpossível-orá aimpossível-os alunimpossível-os

excluindo o 1. 48 com o maior número de fatores possíveis,

o trabalho: ^ apresentar os seguintes esquemas para facilitar

4S = 2 X24

= 3 X 2^12

4S = 2X2xf^«

^« = 3X2X2XÍ^,

4S = G X S = 2 X 3 X 4 X 2

N

4N = 2 X 3 X 2 X 2 X 2

número^^ nutres exercícios nrtri

Os 1 ^ ®aaior número de f propor que se escreva u

Assim, é imrf "l^^^^brirâo que «a - ® Passíveis, excluindo o

1-aparecem assinalar qur'stn ^ ^ P"'"m

primos. -^^u^posição, nor í jumeros primos os fatores

Ê import nhamada decomposição em fatores

P'e aos inesmo^fa4.,?^®'^^^®r que^sei» decomposição é

única-fatores (ver

3 2 "

Nesta página, o rodapé será assim completado:

Inicialmente, os alunos precisam determinar cada conjunto, para

depois desenhar as flechas. Assim:

f ^ 5 = { l , 5 ) F 3 = ( 1 , 3 )

1^40 = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40) etc.

Depois de desenhar algumas flechas, o professor pode levar os

a perceber que, se 8 é fator de 40, então o conjunto dos fatores °

contido no conjunto dos fatores de 40. Não se espera que es , j

seja percebida por todas as classes, nem mesmo por dirges

uma classe. O professor ressaltará este fato, se a classe ofer

para isso.

Pdgina lis — fi introduzido o termo intersecíão. 4"

f ^oçao de "ser divisor de", que é a mesma que ser fator de {

Volume).

D último exercício da página deve ser proposto aos alun

Escrevam o conjunto dos divisores de 20: {1, 2,4,5,10,

Escrevam o conjunto dos divisores de 35: {1,5, 7,35} 35

— Escrevam o conjunto dos divisores comuns a 20 e 35- {1,

If3 — Apresenta um novo conceito: o de números p

a 6 ? sdndo de 5, chega a: 5 ? 25 ? 30 ? 15 ? Sim. Chega

^ 70- I'or quê? Porque 6 não é divisor de 5, etc.

^ará o mesmo com as outras flechas.

semelhantes tlificuldades, o professor procurará situações

_{â do 4.0 volume (página 124 e seguintes).}

sores no^^Ld^d^^frações aplicações de múltiplos e

divi-A página 117 pretende levar o aluno a:

^ ^ que, para escrever o conjunto das frações equivalentes

Ho ^ ^ ®*®mplo/ele deve conhecer a sucessão dos múltiplo®

_{'a sucessão dos múltiplos de 4, assim:}

i

8 1 2 _{2 0 2 4}

M

^ 9 ,. . ., X 5 ^ j ^ ^ 2 0 , 2 4 , .

mesmo númêr^nS^^T^Í? termos de uma fração pelo

valentes. diferente de zero, obtemos frações

equi-^ 118, o

«) fraçaes equivalente, à, propctas:

3 5 ^

4 2

P~PoetM;^°' do numerador e denominador das fraçeí»

= íl- 2. 3. 6, 12)

= (1, 2, 4, 5, 10, 20)

O70 = fl O e

-„ 10, 14, 35, 70)

_{8* == {1 O q .}

' 7, 12, 14^ 21, 28, 42, 84)

Assinalará em cada grupo de conjuntos de divisores o maior divisor

comum e verificará, comparando com a coluna das "frações, que:

Dividindo o numerador e o denominador pelo maior divisor comum

dos termos de fração, obtêm-se dois números primos entre si; a fração

escrita desta maneira chama-se fração irredutível.

Assim:

^ = — o maior divisor comum de 12 e 20 é 4

Páginas 121 a 133

multiplicação e divisão de números naturais

Dbjetivos:

1) Rever as técnicas da multiplicação e divisão com números natu

2) Recordar as propriedades da multiplicação.

8) Introduzir a nomenclatura das propriedades.

Vocabulário (optativo):

Fechado, comutativa, associativa, elemento neutro, distribut'

^HentaçSo:

53 n 124 — Sugerimos a leitura de ®^^^^^^^^gg(^Íativa e

_{analisam as propriedades comu a >}

ncia de elemento neutro na adição e subtração. nroblemas

prátW observar que o rodapé de algumas página,

práticos de aplicação da propriedade explorada na respectiva pag

duzpm^^'^ e 126 — Recordam a propriedade distributiva e mtro

o termo: distributiva.

senten^"^Íte'mátic£ dò"quadro®'°"^''^

Resposta do Problema 1) João ficou com;

23,45 + 12,48

2) O ovo da galinha leva

para chocar: (12 X 5) - 39

2) A companhia recebe:

(84 X 84) X 5

4) A prestação é de:

(230 - 52) : 6

5) Receberei de troco:

2.00-(l,8o_ogQj

6) Cada revelação custou:

12,80 : (20 - 4)

Sentença correspondente A - \ - B ( A X B ) - C A X B X C { A ~ B ) : C A - { B - O A :iB~C)

^ e inventem outras estórf^^u?^^*^^®' ° professor deve pedir aos

q e correspondam às sentenças apresentada

-R(ígina 1S2 p.

quadr?^^^^^^^ letr^^a^^*^ o quadro, o professor pedirá aos

_{cntença pelo valor correspondente}

°

o

V

234 42 ^ ^ (aX6)+c a+6+c (aXb)Xc

^

6 8

9 - 8 3 6

2 8 4

7 4 . 6 2 4

4 5 1 0 8 2 7 fi Q n ^ 0 5 2 0 . 5 3 6 27.738 767 2.981.040

Em seguida, o aluno procurará a sentença adequada ao problema e

o resultado correspondente: Sentença 1) a + 6 -h c 2) (a X 6) + c 3) (a X 6) X c 4) (o X 6) + c 5) (a X 6) + c Resposta 2 8 4 m Cr$ 9.836 20.536 lâmpadas 277,38 g CrS 370,00

6) este problema não tem sentença correspondente no quadro porque

a ordem dos números está trocada:

(4,5 X 108) + 61,4 547,4 latas

Página 13S — Para recomeçar o estudo de frações, apresentamos

inicialmente um problema cuja solução é a seguinte: 1) O elefante pesa (50 X 80) kg ou 4 t

O elefantinho pesa ^ do peso do elefante

5 0

2) O anão pesa 4" peso do palhaço

O

8) O macaco pesa de 80^ kg

O leão pesa (2 X 16) kg

4) O peso do leão é do peso do urso

O peso do urso é (4 X 32) kg ou 0,128 t

Páginas 134 a 147

Multiplicação e divisão de números racionais

Ubjetivos:

Iração^ ^°®^preender a multiplicação de números racionais na

Orientação:

Página 1S4 O aluno responderá:

1-) Se em um bolo a doceira gastou ^ kg, em 6 bolos gastará

1 , . o u _{+ T +} T + T + - = -4 4 OU 6 X — = — 4 4

um pão gastou-se — kg, em cinco pães serão gastos ^ kg

c a r t a z

Páginas 136 a 137 —^Para o

1.® problema da página 135, a la

terpretação gráfica pode ser: Sentença matemática

X T =

concluir o produto Página e da seguinte permitem ao alun®

presentado na forma de fraçã^^^^ "aturai por um número racional r

alunos, mas doscoberta^por professor nem decorada pd"®

d o f o d a p c o n c l u s ã o d a p á g i n a 1 3 6

^er assim

resolvidos-a) 2 X 4- = 1 .5 &) 4 X — - 8 8 3

^as

questões-« X . - = 4 os aluno,

^ professor rjue a resposta será (para amP"^®

por exemplo: l-^erá auxilia, apresentando situas-práticas,

3 8

— Preciso fazer 6 cartazes, mas só tenlio 3 folhas de cartolina. Que

parte de uma folha poderei usar para cada cartaz?

— Preciso fazer um muro de 4 m em S dias.

Quantos metros farei por dia?

Página 188 — Será executada pelo aluno assim:

da parte hachurada

ou -4 da figura

1) Pinte de verde da par

te hachurada

^ parte pintada é da

" g u r a ^

1 dos I ou I, da figura

Pinte de azul 4' dos -4

^ parte pintada é -4 da

fi g u r a

e t c .

C l ^ x . K i c c p c o m o c u r i o s i

dade '^orcício do rodapé deve ser proposto para a

Quem sou eu ? Claro que 4"'

1-1-1 = 1_{2 ^ 2}

2

T úe -? exercício.s desta página falam

_{3 mas ainda iiào relacionam este fato con}

vida^^^ reforçar a idéia de fração de fração, sugerimos a seguinte ati

n a m ^ r e p r e s e n t a ç ã o d e , p o r e x e m p l o , - f_{retângulo .4, dmdido verticalmente:}

de DO folha de papel transparente com a representação

horizontalment^' B, congruente ao A, porém dividido

trará então aos ^ folha transparente sobre a cartolina e mos

P-tadas na eartlin" ^

_{a e na transparente, isto é, -■}

Página 1S9 ~~ Relaciona a idéia de fração de fração com a

multipli-c a < ; ã o . A s s i m : Vi V3<: ₃ de "5" corresponde a -g_{< 3} 1 1 _ _1_ Em matemática: y X -3 - g

ou ' (Ia figura

4 " t i d a fi g u r a g — de — corresponde a -g-

_{" ^ ^ y =}

-E m m a t e m a t i c a . 2 4 8 e t c .

^ deverá interpretar as expressões:

1 1 1 j 1

^ X - : 7 c o m o t T2

{ X y como y de y etc.

e n t ã o

' completar as sentenças fará o gráfico.

4 de ^ ou I da figura

C

^ aluno dispensará a representação gráfica

° c c tiverem conciuído a regra da multiplicação:

^ ^ ií X íí' de exercícios semelhantes aos destas páginas.

desco^erta'Ss'alunOT'" P®'° P™'®®®"''

mente Deloí lÍfin~ problemas para serem resolvidos grafica-

ente pelos alunos mais fortes. Esta página é dispensável.

1) Comprei | da peça

o) Gastei j da peça. Fiquei com 4 - 1 = i

3 « i 3

c o m p r e i gastei

fi q u e i

« Gastei g do que comprei. Fiquei com

fi q u e i

gastei

(i*4)

2) Comprei — ic» a_{^ 5 Kg de manteiga}

«omprei. Fiquei com

gastei ^ fiquei 1 2 2 5 4 2 c o m p r e i

h) Gastei kg. Fiquei com ^ kg

fiquei (i)

gastei

( i

M

i

1 —

>1

' comprei

Comprei ~ de uma pizza

'^) Comi do qo0 comprei

biquei com ou ^

1 Z ^ comprei c o m i fiquei b) Comi ~ da pizza

Fiquei com j ou -y da pizza

comprei

■

■

c o m i

d) Em uma fazenda dos animais são bovinos

1

dos bovinos são bezerros

3 '

ii) dos animais não são bezerros

b o v i n o s b e z e r r o s

fiquei

^ dos animais são bezerros 8 dos bovinos não são bezerros

b o v i n o s bezerros bovinos n ã o b e z e r r o s Pigina H3 _ 1,. v e n d i d a s : ~ •

■

vendidas para menores de ou j- das entradas

2-° problema: laranjeiras: — fi iaranja-lima: o u 24 iaranja-pêra:

i d e i o u i

/ I J l a r 4 4

'"■^nja-da-bda: { de | ou ^

lí." problema: O condução e lanche: - T e m d i v e r t i m e n t o s Solução:

^ «lesada de Luís é de Cr$ ISO,00

6 divertimentos — = em revistas 6 6 r e v i s t a s 3 -g ou CrS 30,00 CrS 60,00

2 —*■ condução e lanche (restante) CrS 90,00

T de -■4 dei P d 6 ^ C i n e m a refrigerantes CrS 10.00 CrS 22,50

i "" Estudam alguns casos particulares de divisão

^os racionais na forma de fração.

V i

«los apenas fazer o aluno:

^ il«a«tas vezes uma fração é menor que outra (os quocie

sempre números naturais);

^lacionar este fato com uma divisão.

propostas são sempre ligadas a fatos concretos o

' por exemplo, na página 144:

i da peça para 1 corte, então temos 4 cortes para

PeçTet' P"" '

u m a u m a 4 5

2) Se com ^ da peça faço um laço, com 1 peça faço 2 laços, e com

2 peças faço 4 laços.

3) Se gasto -g kg em 1 bolo, gasto 1 kg em 8 bolos e 4 kg em 32

bolos (4X8).

uma divi^o^ a^presentados problemas análogos relacionados com

Assim: Quantos ^ em 2?

Sabemos que há quatro -i em 1, logo haverá oito 4 em 2.

Em matemática: 2 ~ -4 8 etc. o u

Quantos A em 5 ?

1 0 10 em 1 20 em 2 50 em 5 Em matemática: 5 - - = 5 0

divisão' de números ° P^^^^ssor julgar conveniente,

® resultado pode si t "aturais, escritos na forma de fração»

ser encontrado grafioamente.

A-bn: Quantos 1 em 1,

^ 4 ■ 1_₄

^

4 6

expressamos este fat ■ ^

1 1

_{2 • 4 é o mesmo que- n i i}

1 ^ l a t o a s s i m : 4 quantos — em 1 — ? 3 ^ 2 ^ 9 . Grafioamente: \ 1 4 4 1 1 4 4 3 Em matemática: 1 4 1 4 — = 6 4

Quantos 4- em

H 4 i. -1 = 6 4 * S

continuamos propondo divisão através de

assim temos: ®Olutjãr); figura ,r) í ^1^3' 2 • t i figura (d) 1

«gura (a) 1 ^ I = 3

4 4." figura (ff) "3" 2 ^ 1 5." figura (/) "3" * 9 A = 8 6 o u (b) i. = 2 3 4 ^ 1 6." figura (c) 7 ' 7

as fraol®^ todos os exercícios de divisao P ^ ^jg^ominador d

delnc X sempre o mesmo denominado ^ ^^pj,gsentaça

^^^fica. Tqc; "^'^^f'ipio de outro denominador, para ma

fegra de "este ano. não se pretende que uma

^f-erpfg. de números racionais, mas ap - ^ de fração-

_{da divisão de números racionais na form}

Páginas 118 a 160

OPERAÇÕES NA REPRESENTAÇÃO DÉCIMA 1. DE

nCiMeros racionais

Objetivos;

^ ^apresentação decimal dos números racionais,

ever a adição e subtração de números racionais na forma decimal,

duzir a multiplicação de números racionais na forma

decimal-Orientação;

decimal, isto t nn ^ y^Presentação de um número racional na forma

4.° volume Cp4a. 174 numeração na base 10. já foi abordado no

não apresentam nenhum iriodo que estas primeira-s paginá

O aluno entenderá ^ estudo do cruzeiro, moeda nacional,

respondente à centísfrrf^ ° cruzeiro tem o submúltiplo ceníavo, co

^ «^btrair quantidad^P P^^tanto, pode-se adicionar

entre o valor cruzeiro cruzeiro estabelecendo uma relaçao

decimal. ® ^ sua representação no sistema de numeraçflo

Compref um livT°ri"'o problema:

gastei ao todo? ^ CrS 7,20 e um caderno por Cr$ 1,30. Quanto

que corresponderá à ® ® obterá para resultado S,5i

da notação cruzeiro). Cr$ 8,50. (O zero acrescentado faz

n resposta ^ poderá escrever S e 5,

Cr$5,00. do gasto total de duas compras de Cr$ 8.00 e

m a s a i m o a ° a d i c i o n a m o s

correspondentes, na forma decimal.

números racionair°^®^®°'' ^

correspondentes, na forma decimal.

•i dptVicts 16õ

a rep"r^se^ntar-^'°^^ vamos estudar a multipHc^Ç^,^

sentS estabelecendo uma relação entie

_{^Çao na forma decimal. de fração com a}

repre-4 8

, u m a r e g r a q u e na forma decimal.

Atravé.s desta correspondência, o aluno concluirá

permite determinar o produto do dois números racionais ha —

da apresentação de cada página, o professor fará exercícios

j, página 157 o professor, antes do exercício do rodapé, perguntará

vírgula alguém descobriu uma regra que facilite a colocação da

Para^'^^° ""^uhum aluno tenha descoberto, o professor chamará a atenção

os exercícios anteriores e mostrará que:

(no resultado apareceram 3 zeros no

denominador: 100 X 10 = 1.000) (2 4- 1 = três casas decimais) o ÍÕÕ X

caias

decimais _3_ 1 0 X u m a c a s a 1 5 1 . 0 0 0 0,05 decimal

0.3 = 0,015

_{(no resultado apareceram 3 casas de}

cimais)

usada para multiplicar números racionais sob forma

^ facilmente concluída.

São anrpt^^ ® fOO são páginas de aplicação, sendo ^

^ais o ®^^adas situações de preenchimento de cheques, pa

_{a Uno na resolução dos problemas.}

Ob

Oetiv_{0 8 :}

Páginas 161 a 176

P O R C E N T A G E M

^ compreensão de porcentagem como uma relação p

2) • o todo é 100.

cionar porcentagem com frações e vice-versa.

condições para o uso prático de porcentagem.

1

Vocabulário;

Por cento, porcentagem.

Orientação:

Dor ~c volta aqui a representar a relação parte-todo

Assim, inicialSSitrdtá-^^'^^"' denominador cem.

ocê pintou — do quadro (dois em 16 partes do quadro)

pintou 2'. do quadro (5 em 2o partes do quadro)

pintou — do quadro (60 em IQQ partes do quadro, ou 60

por cento do quadro).

relação parte-to^o^*^^^^^^ ^ ordem inversa ainda para usar a mesma

representar ^ atenção para as diferentes maneiras de

(%), que deverá semnrp^^T^ f introduz-se a notação de porcentagem

_{P estar relacionada à fração de denominador 100.}

Assim, teremos para o 2.o quadro do l.» exercício:

No 2.« _exercício: m m m m 3 2 1 0 1 0 3 0 2 1 0 0 1 0 0 6 0 2 0 1 0 0 1 0 0 60% _{2 0 %} 2 5 o u 2 5 % 1 0 0 12 5 0 2 0 1 0 0 o u 2 0 % 1 0 0 5 0

— Para resolver os exercícios desta página, o aluno

primeiramente relacionará:

25% com —, eixi seguida com -J • para depois pintar a figura

^0% com seguida com ^

75% É 1 0 0 i 2 . 100

r^' seguida com

₄

^ ^^iente memorizar a relação de 25% com 4" ^ 7'5% com

m u t a m e u t e

_{orn a relação 250g e ^ do kg, 750g e de kg.}

o .

^^Qina iQ/ T • •

''i ^^sistimos no estudo de 25% e 75%, relacionados

c o m

Se o

7 1

-conveniente, dará os problemas do rodapé

problemas análogos com frações (págs. 78 e outras). Assim,

1 0 0 2 5

a r a _{o 2.<}

(como as classes têm 100 alunos, é fácil perceber

que a ''nossa classe" tem 25% dos alunos)

Probkma temos: m 4 100 "4 —+ 24 (a classe toda) 7 5 X ? (os meninos) 1 0 0 - 4

aluuQg ^alor, primeiro determinamos

de; 1 O e e n t ã o i e s o o O 2.^ quadro ' quadro 4.0 qpadro

sugere jõõ ou ^ ou -| ou 40%

ou 1 ou i- ou 80%

lõõ ^ ou ou 60%

5 1

Para resolver os exercícios do rodapé, os alunos transformam cada

iraçao em porcentagem. o n o r ^ 4 0 • 2 0 4 0

20% < lõõ porque J® < ^ ou 20% < 40%

6 0

Irô < 75% porque ^ ^ ou 60% < 75%

25% > i porque > | ou 25% > 20%

3 ■4 > 60% porque 75% > 60% 4 iõ < 50% porque 40% < 50% ou 1 < A_{10 ^ 10} 2

■5 > 25% porque | > -I ou 40% > 25%

na T Novamente os exercícios apresentados insistem

_{q porcentagem é uma relação parte-todo e que, portanto,}

no 1.» exercício temos 20% ou ^ ou o que permite pintar a figura.

Assim:^^^ páginas, as porcentagens estão relacionadas com quintos.

20% ou i 60% ou I

40% ou I

_{80% ou 4}

os da página problemas devem ser resolvidos como

que, se 20% (20 de lOOwf® nt®nçao para o 1 °, onde é fácil perceber

São azuis. carteiras sao azuis, isto significa que 20 carteiras

ni,o ^ ^ Problema será resolvido se o aluno lembrar que 60% é o mesmo

que então, teremos:

T 2 5 1

— ? í 5 cutão — 15 sg^Q livros de estórias

5 • '

' fração e representa7a^'H^im^['''°'°° relacionam porcentagem

Aesim, por exemplo, ± é o mesmo que 1 ou 0,8 ou 0,80 ou 80%.

^ Página 169 — Os problemas também relacionam porcentagem com

fração. Devem ser resolvidos na lousa pelo professor e P'funos. •

professor julgue conveniente, poderá dispensar esta página, se p

ícar em nada os objetivos.

Assim, teremos:

1) 3 das 15 lâmpadas não acenderam, isto é: das lâmpadas nã

1 2 2 0 2 0 * 5 ^

acenderam; mas ^ é o mesmo que y ou jq ou jqq ou

o-2) O clube A ganhou 5 dos 20 jogos, isto.é: o clube A^ ganhou

dos jogos, mas ^ é o mesmo que ^ ou 25% ou

o \ 2 0 1

100 "V alunos usam óculos.

I^evemos calcular 4- de 40. . T Õ 5 correspondem a 40. 1 "5 corresponde a 8.

8 alunos usam óculos.

S? 100% foram ao piquenique, então 35 alunos foram ao

p.que-uique.

t \ / i f ) m e i a s h o r a s ) ,

®> o tempo de escola de Paulo é de 5 horas ou (l ,

se meia hora é dedicada à merenda, então

f^cnapo na merenda e temos:

é o mesmo que jqq12. ou

10%-Se o desconto da loja foi de 10%» geria de Ot$ 10»00.

a compra fosse de Cr$ 100,00, o

Como foi de Cr$ 80,00, o desconto ser ^ ^

i'ortanto. paguei CrS 72,00, isto é: 8 '

Página 170— Sugerimos o seguinte esquema:

2 0 1

jõõ de 80 16 porque — de 80 é a quinta parte de 80, isto é, 16.

3 0 3 , 1 0

iõõ ou ^ de 50 15 porque ^

ro - 15

25% de 100 —> 25 (o aluno deve perceber imediatamente)

40% de 30 —»• 12 porque 10% ou ^ > 10

40% ou 4 X -▶ 12

o a porcentagem na forma de fraçSo irredutível, facilita oO cajcuio em muitos casos:

10% de 80 -» 8 ou de 80 -» 8

se^intes só serão feitos em classes fortes, ou pelos n« interessados e após o estudo da divisão de números racionais

c L ^

a p a r e c e m

o p e r a ç õ e s

Qual a porcentagem? o) Se 5 em 25, então 10 em 50 e 20 em 100 (20%)

&) Se 18 em 20, quantos em 100?

18 em 20 36 em 40 72 em 80 90 em 100 (90%) c) Se 15 em 20, então 30 em 40 60 em 80 75 em 100 (75%)

Página 171 — O aluno deverá relacionar a

6) em seguida, determinar a porcentagem. Caso o profes

veniente, poderá dispensar esta página.

Teremos:

a r r o z - - ou da figura, isto é, 25%

milho -L ou 12,5% ^porque ^ é metade de 4)

cereais —> qu 37,5% (porque 3 X 12,5 = 37,5)

O

legumes ^ l* ou 25%

frutas 1 ou 37,5%

Total L ou 100%

(I + 1 + ,i + A = 1- ou 25 + 12,5 + 25 + 37,5 = 100%)

■ 8 ^ S ^ " 8 " 88 ^ 8 ^ 8 8

ííxercícios do rodapé. Determinando as porcentagens, tere

I , n o 1 = = S = 7 5 % 19 100 — ^^^0 ^ 5 0 _ 2 100 ~ 50% H = 30% 3 _ = ■4 " 100 B 9 3 % 1 0 0

jj "^^tes de resolver o problema da pág. ^nuantias.

^^J^p^^determinação de 20% de determinadas qua

20% de Cr$ 50,00 20% de Cr$ 80,0

1 ^ o n r m fará exercícios Assim, pnr -5 de Cr$ 50,00

ou -I de Cr«80,00

, o u - ^ 1 0 n

^ Observe-se que, escolhendo qyanA'^/,"i"o%outrSo!'ócorrem

situa-r evita,.se o psitua-roblema de apsitua-roximaça ,

W a s c o m o :

i _ 2 4

- 4 ' ®

Págim 17S — Os exercícios desta página só devem ser dados se o

professor juJgar conveniente. Calculando o total de veículos motonzados, eremos: 81.704; portanto, a porcentagem dos automóveis

ao total será de, aproximadamente: 43.000 em 81.000, ou seja, 42 em »

ou quase 50%.

em "^nnnrelação ao total, será aproximadamente

p ^ e n t l 1 0 ) O " 1 0 % i n n o e r o

75.000 relação ao total será de, aproximadamente: 5. ^

lob "(7%) ^ 1^ ^ 10^ 0^» aproximadamen ,

2.010^4^ problema, calculando o total de pneus fabricados, tere ^

2 . 6 0 8 e m ' 2 P " ® " ® r e l a ç ã o a o j

100 portanto 0,1% 2 em 2.000 ou 1.000

2.011.3°|j^™® passeio em relação ao total, teremos 1.229.869

Tx ' ou seja, quase 1 em 2 ou 50%. . nii

aproximad^ente^i^"^ relação ao total, teremos 1.327 em 2-011'^^

0,05%. 1 oui 2.000 ou 0,5 em 1.000 ou 0,05 em lOO, oU

^ ^ d g i n a 1 7 1 — . n « , , « , . ; t é r i o

professor, ser dados ®^® fáceis, podendo, a .^^ar »

gura com a porcent qualquer classe. Os alunos devem re

porcentagem, assim: Soja

Milho ^ corresponde a ^ da figura

Girassol 10^

Gergelim

^ C i f

25% ou > ~ d e 2 0 0

-r - 200, j

S ã o ^ 2 0 0

« & 0

o u i o o

^

'

ou ""«igueiras

_{^ "Peixeiras 100}

5 6 1 0

Para determinar a porcentagem dos pessegueiros, devemos ant

conhecer a porcentagem de jabuticabeiras: 6% são jabuticabeiras ou 10 jabuticabeiras

- = - _{• l 5 1 0 ^}2 0 r ^ 2 0

sep'.fe^^^undo que 20 ameixeiras são 10%, 10 jabuticabeiras devem

®®^ 5%) e teremos:

25 + 50 + 10 + 5 = 90

Sc, o restante corresponde aos pessegueiros:

100 - 90 = 10 (10%)

Então:

50 + 100 + 20 + 10 = 180

200 - 180 = 20 20 pessegueiros

o "5 — Como a pág. 173, só será dada em classes fortes,

_{professor julgar conveiüente;}

30%^^ superfície da Europa para a da África: -j-' aproximada

n í í • . i - , a p r o x i m a d a m e n t e maid ^ população da Europa para a da Africa. 3_{q u e}

A X aproximadamente

lOO^ superfície da Ásia para a da Amén • 42

n

.

.

2 : 2 2 2

o u

a p r o x i m a

-dampix? População da Ásia para a da América. 500 1

_{«-mente 400%.}

n

f

.

.

1 2

o u

a p r o x i m a d a

-mente^s^^®^^^®^® Europa para a da Asia. ^ 4

°

J 2 2 -

o u

a p r o x i m a

-dam^te^207^'^° da Europa para a da Ásia: 2 ooo ^

Caso os alunos

U à o — É m a i s f á c i l e l e v a a ®

a as informações pedidas, o p

Páginas 177 a 184

PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES COM NÚMEROS

R A C I O N A I S

Objetivos;

1) Observar a validade das propriedades da multiplicação e divisão

com números racionais na forma de fração.

2) Treinar a técnica das operações com números racionais na forma

de fração.

Vocabulário:

Comutativa, associativa, elemento neutro, inverso multiplicativo.

Orientação:

no coniMtrnü!, "l»» propriedades da adição e da multiplicação

dos números naturais, faremos o mesmo para o conjunto

r i s

s s s r

■ »

»

d o

p r o ^ S r ^ s e

°

celas não°aítem a^soma^^^^'' enfatizará o fato de que a ordem das

par-o prpar-ofesspar-or ^mpar-ostrLá°aup^i^^^ alguns alunpar-os quiserem efetuar as adições,

dã parcelas nt aW observar que a) a ordem

nas duas adições e as difprpn+ j . ^ nma das parcelas é igual

menor do que. ' determinarão a relação maior do que ou

Exemplo: 4 + - > 1 4. 3_{7 ^ 12 > 12 + T} I m a i o r igual 1 + 1 ^ 7 8 15 ^ 17 ^ 17 +17 ^ 17 * ; m a i o r 1 8 ^ 2 2 ^ 1 8 1 8 ' 2 2 * j f I i g u a l i g u a l " 5 + 6 ^ 0 o * maior

^ primeira parte poderá ser feita pelo alu

"10 do professor, apenas observando o exemplo.

adioi^^ correção desta parte, o professor enfatizará o fato

^ aUerr'^®'"°® trocar a posição dos parênteses, sem que o

íIq ®Ceados nesta conclusão, os alunos completarão a g

_página.

forrvír^,?^^® — Estuda as diferentes adição.

_{^ de fração e depois o zero como elemento «fp^sor Que}

enfar página pode ser feita pelo aluno, sem auxíHo o pr

_{wzará a conclusão na correção.}

a m — Apresentam as

racin c existência de elemento neutro par^^ maneira que as páginas

^acionais, podendo ser desenvolvidas da mesma maneira q

_«^uienores.

de inverso multipHcativo,

Páginas 183 e 18Á — Focalizam a idéia ae

primeiramente como relações inversas. Assim:

Se V é 1 de

e n t ã o é 3 v e z e s v

Se □□ é I de □□□

então □□□ é I- de □□

. j de fundamental

j .Em seguida, alguns exemplos mostram a propn

e inverso multipUcativo. . multiplicative dá o e

e-O produto de um número pelo seu m