topico 05 criptografia de chave publicas

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Criptografia de Chaves Públicas

Criptografia de chaves públicas. Conceitos de chaves

públicas e privadas. Definições. Aplicações. Requisitos. RSA. Equivalência de segurança entre criptografia simétrica x ECC x RSA/DSA.

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Criptografia de chave pública

• a criptografia tradicional de chave

privada/secreta/chave única usa uma

chave

• _{compartilhada por emissor e receptor}

• _{se essa chave}

_{for divulgada, as}

_{informações}

ficam comprometidas

• também é simétrica, partes são iguais

• portanto não protege o remetente de um

receptor que forge uma mensagem e declare

que foi enviada pelo remetente

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Criptografia de chave pública

• provavelmente, o mais significativo avanço em

3000 anos de história da criptografia.

• _{usa duas chaves – uma pública e uma privada}

• é assimétrica uma vez que as partes não são

iguais

• _{usa aplicação inteligente do conceito da teoria}

dos números para função

• em vez de substituir, complementa a

criptografia de chave pública

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Por que criptografia de chave pública?

• resolvida para solucionar duas questões de chave: – distribuição de chave – como ter comunicação

segura, em geral, sem ter de confiar em um CDC com sua chave

– assinatura digital – como verificar que uma

mensagem chegou intacta de quem se diz remetente • invenção pública de Whitfield Diffie & Martin Hellman, da

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Criptografia de chave pública

• a criptografia de chave pública/de duas

chaves/assimétrica envolve o uso de duas chaves:

– uma chave pública, que pode ser conhecida por qualquer um e pode ser usada para criptografar

mensagens e verificar assinaturas

– uma chave privada, conhecida somente pelo destinatário, usada para decriptografar

mensagens, e sinais (cria) assinaturas

• é assimétrica porque

– aqueles que criptografam a mensagem ou verificam a assinatura não podem decriptografar mensagens ou criar assinaturas.

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Características da chave pública

• o algoritmo de chave pública conta com duas

chaves, em que:

– é computacionalmente inviável determinar a chave de decriptografia conhecendo-se apenas o algoritmo e a chave de criptografia

– é computacionalmente fácil de/criptografar

mensagens quando a chave de de/criptografia é conhecida

– qualquer uma das duas chaves relacionadas pode ser usada para criptografia, com a outra usada para a

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Aplicações da chave pública

• pode ser classificada em três categorias:

– criptografia/decriptografia (oferece sigilo)

– assinaturas digitais (oferece autenticação)

– troca de chave (de chaves de sessão – criptografia simétrica)

• alguns algoritmos são aplicáveis a vários usos, outros são de uso específico

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Segurança de esquemas de chave pública

• como em esquemas de chave privada uma procura

exaustiva por ataque de força bruta é sempre

teoricamente possível

• mas as chaves usadas são muito grandes (>512bits) • a segurança reside em uma diferença grande o

suficiente de dificuldade entre de/criptografia fácil e

problemas difíceis de criptoanálise

• geralmente, o problema difícil é conhecido, mas é difícil o suficiente para tornar o ataque impraticável

• requer o uso de números muito grandes

• portanto, é lento comparado a esquemas de chave privada

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RSA

• criado por Rivest, Shamir & Adleman do MIT em 1977 • é o esquema de chave pública mais conhecido e usado • baseado na exponenciação de um conjunto de números

finito sobre inteiros módulo a (sendo a primo) • usa inteiros grandes (por exemplo, 1024 bits)

• a segurança se deve à dificuldade de fatorar números grandes

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Geração de chaves

do

RSA

• cada usuário gera um par de chaves pública/privada ao: • selecionar aleatoriamente dois números primos grandes

p, q

• calcular seu sistema módulo n=p.q

– Nota: ø(n)=(p-1)(q-1)

• selecionar aleatoriamente a chave de criptografia e

• onde 1<e<ø(n), mdc(e,ø(n))=1 (ou seja, ø(n) e “e” são

primos entre si, mas não obrigatoriamente primos.

• resolver a seguinte equação para encontrar a chave de decriptografia d

– e.d=1 mod ø(n) e 0≤d≤n

• publicar sua chave pública de criptografia: PU={e,n} • manter secreta sua chave privada de decriptografia:

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Uso do RSA

• para criptografar a mensagem M o emissor :

– obtém a chave pública do receptor PU={e,n} – calcula: C = Me_{mod n, onde 0≤M<n}

• para decriptografar o texto cifrado

C

o

proprietário :

– usa sua chave privada PR={d,n} – calcula : M = Cd_{mod n}

• _{observe que a mensagem M deve ser menor que}

o módulo n (

em bloco)

, se necessário

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Por que o RSA funciona

• por causa do teorema de Euler :

– aø(n)_{mod n = 1 onde mdc(a,n)=1}

• _{no RSA temos :}

– n=p.q

– ø(n)=(p-1)(q-1)

– selecionamos cuidadosamente e e d para serem

inversos_{mod ø(n)}

– portanto, e.d=1+k.ø(n) para qualquer k

• _então:

C

d

_{= M}

e.d

_{= M}

1+k.ø(n)

_{= M}

1

_.(M

ø(n)

₎

k

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Exemplo de RSA para geração de chave

1. selecionamos os primos: p=17 e q=11 2. calculamos n = pq =17 x 11=187

3. calculamos ø(n)=(p–1)(q-1)=16 x 10=160

4. selecionamos e: _{gcd(e,160)=1; selecionamos e=7} 5. determinamos d: _{de=1 mod 160 e d < 160 o valor}

correto é d=23, pois 23x7=161= 10x16+1

6. publique a chave pública _pu={7,187}

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Exemplo de de/criptografia

com o

RSA

• um exemplo da criptografia/decriptografia com o rsa é: • dada a mensagem m = 88 (nota: 88<187)

• criptografia:

C = 887_{mod 187 = 11}

• decriptografia:

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Criptografia eficiente

• a criptografia usa a exponenciação para elevar e • portanto, se e é pequeno, será mais rápido

– será mais rápido e=65537 (216-1)

– também vemos escolhas de e=3 ou e=17

• mas se e for muito pequeno (p.e. e=3) pode haver ataque

• se e é fixo deve garantir mdc(e,ø(n))=1

– ou seja, rejeita qualquer p ou q não relativamente primo a “e”

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Decriptografia eficiente

• a decriptografia usa a exponenciação para elevar d

– esse valor é provavelmente grande, se não for, não será seguro

• somente o proprietário da chave privada, que conhece os valores de p e q, pode usar essa técnica

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Geração de chave

com o

RSA

• os usuários do RSA devem:

– determinar aleatoriamente dois primos - p, q – selecionar seja e ou d,e calcular o outro

• os primos p,q não devem ser de fácil derivação

a partir do módulo

_n=p.q

– O que significa que precisam ser suficientemente grandes

– Escolher números sucessivos e aplicar um teste probabilístico

• os expoentes e, d são inversos, então deve-se

usar o algoritmo inverso para

calcular um ao

outro

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Segurança RSA

• há quatro abordagens possíveis para atacar o

RSA:

– força bruta (impraticável, dependendo do tamanho de chave)

– ataques matemáticos (baseados na dificuldade de calcular ø(n), pela fatoração do módulo n)

– ataques de temporização (durante a execução da decriptografia)

– ataques de texto cifrado escolhido (explora as propriedades do RSA)

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O problema da fatoração

• os ataques ocorrem de três formas:

– _{fatora-se n=p.q, então é calculado ø(n) e então d} – _{determina-se ø(n) diretamente e calcula-se d}

– determina-se d diretamente

• atualmente supõe-se que um RSA de 1024-2048 bits seja seguro

• garantir p, q com tamanho similar e correspondendo a outras restrições

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Ataques de texto cifrado escolhido

•

o

_{RSA é vulnerável a um ataque de texto cifrado} escolhido (CCA)

• _{o adversário escolhe diversos textos cifrados e, então,}

recebe os textos claros correspondentes

• escolhe um texto cifrado para explorar propriedades do RSA e,

assim, obter informações que ajudem na criptoanálise podemos:

• contar com o preenchimento aleatório do texto claro

ou

• usar o preenchimento ideal de criptografia assimétrica

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Acordo de chaves DIFFIE-HELLMAN

• primeiro algoritmo de chave pública publicado

• foi proposto por Diffie e Hellman em 1976,

juntamente com os conceitos da chave pública

– nota: atualmente sabemos que Williamson (UK CESG) propôs esse conceito, secretamente, em 1970

• _{é um método prático para negociação pública de}

chave secreta

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Acordo de chaves Diffie-Hellman

• _{um esquema de distribuição de chave pública}

– não pode ser usado para troca de uma mensagem arbitrária

– em vez disso, pode estabelecer uma chave comum – conhecida somente pelos dois participantes

• _{o valor da chave depende dos participantes (e}

sua informação de chave pública e privada)

• baseada em exponenciação sobre um corpo

finito (módulo a primo ou a polinomial) - fácil

• _{a segurança reside na dificuldade de calcular}

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Exemplo de Diffie-Hellman

• os usuários Alice e Bob que desejam negociar chaves: • decidem usar os primos q=353 e a=3

• selecionam chaves secretas aletórias:

– A escolhe x_A=97, B escolhe x_B=233

• calculam suas respectivas chaves públicas:

– y_A=397 mod 353 = 40 (Alice)

– y_B=3233 mod 353 = 248 (Bob)

• calculam sua chave de sessão compartilhada como:

– K_AB= y_BxA mod 353 = 24897 = 160 (Alice) – K_AB= y_AxB mod 353 = 40233 = 160 (Bob)

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Criptografia de curva elíptica

• a maioria dos sistemas de criptografia de chave

pública (RSA, D-H)

usa tanto inteiro como

aritmética polininomial

com números/polinômios

muito grandes

• _{isso gerou uma carga de armazenamento e de}

processamento maior

• _{uma alternativa é o uso de curvas elípticas}

• _{elas proporcionam a mesma segurança com}

tamanhos de bits menores

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Comentário: Curvas elípticas sobre números reais

• uma curva elíptica é definida por uma equação

com duas variáveis

x

e

y

, com coeficientes

• _{considere uma curva elíptica cúbica, na forma}

– y2 = x3 + ax + b

– onde x, y, a e b são números reais – também define o ponto zero O

• _{temos a operação de adição para a curva}

elíptica

– geometricamente, a soma de Q+P nos dá o ponto de intersecção R

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Comentário: Criptografia/decriptografia ECC

• há várias alternativas, examinamos a mais

simples

• _{primeiro temos de codificar uma mensagem M}

como um ponto na curva elíptica P

_m

• _{selecionamos uma curva adequada e o ponto G}

como em D-H

• cada usuário escolhe uma chave privada n

_A

<n

e calcula a chave pública P

_A

=n

_A

G

• para criptografar P

_m

: C

_m

={kG, P

_m

+kP

_b

}, k

aleatório

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Segurança ECC

• depende do problema do logaritmo elíptico

• o método mais rápido é o “Pollard rho”

• _{comparado à fatoração, pode usar tamanhos de}

chave muito menores do que com o RSA etc

• para tamanhos de chave iguais, o esforço

computacional é equivalente

• _{portanto, para uma segurança semelhante, o}

ECC oferece vantagens computacionais

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para segurança equivalente

Esquema simétrico

(tamanho da chave em bits) Esquema baseado em ECC(tamanho de n em bits) (módulo tamanho em bits)RSA/DSA

55 112 512 80 160 1024 112 224 2048 128 256 3072 192 384 7680 256 512 15360