Teoria da Interseção Equivariante e Fórmula de Resíduos de Bott

Teoria da Intersec~ao

Equivariante e a Formula de

_{Resduos de Bott}

Andre L. Meireles Araujo

_{Departamento de Matematica - UFRN}

Israel Vainsencher

Departamento de Matematica - UFPE

XVI ESCOLA DE ALGEBRA UNB2000

A Andrezinho e Bet^ania e a Katia

Prefacio

O objetivo

deste livro e descrever uma vers~ao de uma formula de resduos introduzida por Raoul Bott e ilustrar sua aplicac~ao a geometria enumerativa. As ideias em torno da formula de Bott circulavam ao menos desde a pu-blicac~ao do celebre resultado de H. Hopf, que fornece o numero de Euler de uma variedade compacta puramente em termos de uma contagem de resduos feita no conjunto de zeros de um campo vetorial. A formula de Bott exibe relac~oes entre os numeros caractersticos da variedade e invariantes locais de um campo vetorial conveniente proximos de seus zeros.

A entrada em cena desta ferramenta em geometria enumerativa deve-se a G. Strmme & G. Ellingsrud [12], culminando com os notaveis resultados de Kontsevich [24] para enumerac~ao de curvas racionais.

As refer^encias que seguimos para as noc~oes de cohomologia e aneis de Chow equivariantes s~ao os artigos de D. Edidin e W. Graham [9] e de M. Brion [6]; a demonstrac~ao da formula de Bott que apresentaremos e calcada nesta ultima. Ela e feita a partir de um teorema de localizac~ao que descreve o anel de Chow equivariante em termos do anel de Chow do lugar dos pontos xos.

Nosso interesse principal e voltado para aplicac~oes em geometria enumera-tiva. Mostraremos com muitos exemplos como a formula de resduos pode ser usada para obter varios numeros caractersticos e calcular alguns invariantes de Gromov-Witten. Alguns dos exemplos s~ao bem conhecidos (e.g., as 27 retas da superfcie cubica). O calculo do numero de curvas can^onicas deP3

inciden-tes a 24 retas e baseado em trabalho recente de J. Rojas com o 2o _{autor [29]}

e parte da tese de doutorado do 1o _{autor [25].}

E requerida alguma familiaridade com noc~oes de grupos algebricos, varie-dades quocientes, aneis de Chow e classes de Chern. Refer^encias para este material s~ao os livros Borel [4] e Fulton [15]; veja tambem [32].

Por m, gostaramos de registrar nossos agradecimentos aos organizadores pela oportunidade oferecida.

Recife, maio de 2000. Andre L. Meireles Araujo e Israel Vainsencher

Conteudo

Prefacio

iii

Convenc~oes globais

vii

1 O grupo de Chow

1

1.1 O grupo de Chow usual . . . 1

1.2 O grupo de Chow invariante . . . 3

1.3 O grupo de Chow equivariante . . . 5

1.4 O anel T-equivariante de um ponto . . . 9

1.5 Propriedades funtoriais . . . 10

1.6 O brado de um caracter . . . 12

1.7 Caracter versus classe de Chern . . . 12

1.8 O anel equivariante de Pn . . . 17

2 O teorema de localizac~ao

21

2.1 O caso da ac~ao trivial . . . 21

2.2 Decomposic~ao em auto-subbrados . . . 22

2.3 Lugar dos pontos xos . . . 23

2.4 O teorema de localizac~ao . . . 24

2.5 A formula de resduos de Bott . . . 29

2.6 Contribuic~ao de pontos xos . . . 30

3 Aplicac~oes enumerativas I

33

3.1 Duas retas em P2 . . . 33

3.2 Duas retas em P2, bis . . . 35

3.3 As 27 retas . . . 37

vi

Conteudo

4 Aplicac~oes enumerativas II

43

4.1 Cubicas reversas na quntica . . . 43 4.2 Curvas can^onicas emP3 . . . 52

5 Ap^endice: programas em

maple 59

5.1 C^onicas na superfcie cubica . . . 59 5.2 Cubicas reversas na quntica . . . 60

Bibliograa

66

Smbolos

68

Convenc~oes globais

Trabalhamos sobre o corpo dos numeros complexos. Esquemas s~ao quase-projetivos sobre C. Uma variedade signica um esquema integral. Todos os

mapas s~ao C-morsmos. Um ponto de uma variedade e sempre um ponto

fechado (i.e. um C-ponto).

UmG-espaco e um esquema X munido de uma ac~ao algebrica GX ! X

onde G e um grupo linear (frequentemente, G = T, um toro). Suporemos sempre queX PN e um subesquema quase-projetivo e que a ac~ao e induzida

Captulo 1

O grupo de Chow

Neste captulo introduziremos o grupo de Chow equivariante. Ele se dene em termos do grupo de Chow \classico" (cf. 1.3.3), que inicialmente passaremos em revista. Oferecemos tambem um leve intermezzo invariante.

1.1 O grupo de Chow usual

A refer^encia can^onica para o material desta sec~ao e Fulton [15] ou [16].

1.1.1 Grupo dos Ciclos

Seja X um esquema e seja n = dim(X). O grupo dos ciclos de dimens~ao

k, ou k-ciclos em X e o grupo abeliano livre gerado pelas subvariedades irre-dutveis fechadas de dimens~ao k de X, e denotamos por Zk(X). O grupo dos

ciclos deX e o grupo graduado Z(X) :=

n M

k=0 Zk(X)

Por denic~ao, cada k-ciclo c em Zk(X) se escreve de forma unica como

com-binac~ao linear com coecientes inteiros,

c = X

V nV
V

ondeV percorre a colec~ao das subvariedades (fechadas e irredutveis) de X de dimens~aok, com nV 6= 0 para um numero nito de V 's.

2

O grupo de Chow O suporte do cicloc =P nVV e denido por jcj = [ nV 6 =0 V:

SejamX1;


;Xm as componentes irredutveis de um esquemaX. Ociclo

fundamental deX e denido por

[X] = Xm i=1 miXi

onde mi=l(OX;X

i) e o comprimento do anel local de X ao longo de Xi.

Como o anel local OX;X

i e artiniano, o comprimento e um numero inteiro

positivo, chamado a multiplicidade geometrica de X em Xi.

1.1.2 Equival^encia Racional

Seja V uma variedade e seja R(V ) o corpo das func~oes racionais sobre V . Seja r 2 R(V ) uma func~ao racional n~ao nula. Denimos a ordem de r ao

longo de uma subvariedade W V de codimens~ao 1 por

ordW(r) := l(A=(a)) l(A=(b));

onde A =OV;W e r = a=b com a;b2A.

Observemos que ordW esta bem denida cf. [15] e que

ordW(r
s) = ordW(r) + ordW(s); 8r;s2R(V )

Denimos o o divisor de uma func~ao racional r sobre uma variedade V

como

div(r) := X

W ordW(r)
W

onde W percorre a colec~ao das subvariedades de V de codimens~ao 1.

A soma formal acima e de fato um ciclo sobre V ja que ordW(r) 6= 0 so

para um numero nito de subvariedades de V , cf [15].

Seja X um esquema. O grupo dos k-ciclos racionalmente equivalentes a zero sobre X e denido como o subgrupo Rk(X) de Zk(X) gerado pelos

1.2 O grupo de Chow invariante

3

divisores de func~oes racionais de subvariedades de X de dimens~ao k + 1. O

grupo dos ciclos racionalmente equivalentes a zeroe o grupo graduado R(X) :=

n M

k=0 Rk(X)

O grupo quociente graduado

A(X) := Z(X)=R(X) = n M

k=0Zk(X)=Rk(X)

e chamadoo grupo de Chow de X.

1.2 O Grupo de Chow

G

-Invariante e

o Teorema de Hirschowitz

Exporemos a construc~ao dos grupos de ChowG-invariantes. Por um lado, eles motivaram a construc~ao dos grupos G-equivariantes. Por outro, no caso de maior interesse para as aplicac~oes esses dois grupos praticamente coincidem.

1.2.1 Ciclos e equival^encia racional

G

-invariantes

SejaX um G-espaco. O grupo de Chow G-invariantede X e o grupo quo-cienteAk(X;G) = Zk(X;G)=Rk(X;G), onde Zk(X;G) Zk(X) e o subgrupo

gerado pelas subvariedades fechadas deX que s~ao G-invariantes. O subgrupo Rk(X;G)  Rk(X) e gerado por todos os divisores de auto-func~oes racionais

em subvariedades G-invariantes de X de dimens~ao k + 1.

Lembramos que uma func~ao racionalf em uma subvariedade G-invariante, W  X, e dita uma auto-func~ao se gf = (g)
f para todo g 2 G e algum

caracter  = f deG.

Note que a inclus~ao Zk(X;G)  Zk(X) induz um homomorsmo natural

Ak(X;G) ! Ak(X). Em geral, n~ao precisa ser nem injetivo e tampouco

sobrejetivo.

1.2.2 Exerccio

SejaX uma curva eltica. Considere a ac~ao de Z2induzida

porx7! x para a estrutura de grupo habitual. Mostre que as subvariedades

invariantes proprias s~ao os 4 pontos de ordem 2. Conclua que A0(X;Z2) !

4

O grupo de Chow Quando o grupo linear G e conexo e soluvel (e.g., G = T um toro), vale o seguinte.

1.2.3 Teorema. (Teorema de Hirschowitz)

Se um grupo algebrico linear soluvel e conexo G age sobre uma variedade projetiva X, ent~ao o homomorsmo can^onico Ak(X;G) ! Ak(X) e um

isomorsmo.

O teorema acima foi provado inicialmente por Andre Hirschowitz [20] em 1984 no caso em que X e uma variedade projetiva. Em 1995, W. Fulton, R. MacPherson, F. Sottile e B. Sturmfels [17] demonstraram o caso geral.

No restante desta sec~ao daremos um esboco da demonstrac~ao feita por Hirschowitz em [20]. As hipoteses s~ao requeridas na principal ferramenta em-pregada.

1.2.4 Teorema do ponto xo de Borel.

Seja G um grupo algebrico linear soluvel e conexo agindo sobre uma variedade projetiva e n~ao vazia V. Ent~ao G admite um ponto xo em V . ([4], pag. 242.)

Aplicaremos o teorema acima na variedade de Chow da variedade projetiva X, denotada por CH(X). Esta parametriza os ciclos efetivos (de subvarie-dades) da variedade projetiva X. Sabe-se que suas componentes irredutveis s~ao variedades projetivas cf. [18].

Denotemos por Z+  (X)

 Z

(X) o subgrupo dos ciclos efetivos

(analoga-mente, Z+

 (X;G)

 Z

(X;G)). Por construc~ao, existe uma bijec~ao natural

Z+  (X)

!CH(X).

Diremos que um 1-ciclo e racional se seu suporte e uma uni~ao conexa de alguma famlia de curvas irredutveis de g^enero geometrico zero.

Deste modo, dizer que dois pontos deCH(X) s~ao membrosde algum 1-ciclo racional e equivalente a dizer que os ciclos correspondentes s~ao racionalmente equivalentes emX. Reciprocamente, se U e um ciclo sobre X racionalmente equivalente a zero, ent~ao existem um 1-ciclo racional C sobre CH(X) e dois pontos U1 eU2 de C vericando U = U1 U2.

1.2.5 Proposic~ao.

Seja Y uma variedade projetiva uniracional. Ent~ao, cada par de pontos (x;y) de Y esta contido em um 1-ciclo racional de Y. 2

Na realidade, a principal aplicac~ao que faremos do teorema de Hirschowitz e que o mapa e sobrejetivo, ou seja, o anel de ChowA(X) e gerado por classes

1.3 O grupo de Chow equivariante

5

Demonstrac~ao. (do Teorema de Hirschowitz) SejaA+ (X) a imagemde Z +  (X) emA (X). Mostraremos que Z +_(X;G) ! A+_{(X) e sobrejetivo e portanto, A} (X;G) !A (X) tambem e. Dado U 2 Z+  (X), ent~ao U 2 CH(X) e a ader^encia V = G
U da orbita

G
U e uma variedade projetiva G-invariante.

Logo, pelo Teorema de Borel, existe um ponto xo UG 2 V . Como G e

racional1 _{temos que V e uniracional. Logo, pela proposic~ao acima U e UG s~ao}

racionalmente equivalentes, ou seja, determinam a mesma classe em A(X).

Para a injetividade, daremos apenas uma breve ideia. Devemos mostrar que o nucleo do mapaZ(X;G)

! A

(X) e igual a R(X;G). Seja U um ciclo

racionalmente equivalente a zero. Ent~ao, U = U1 _U2 _comU1_;U2

2CH(X)

dois ciclos efetivos sobre um 1-ciclo racionalC em CH(X). Assim, (U1_;C;U2₎

e um ponto emCH(X)CH(CH(X))CH(X). A ader^encia W da orbita

deste ponto pelaG-ac~ao e uma variedade projetiva. Novamente pelo Teorema de Borel, existe um ponto xo (U1G;CG;U2G) 2 W. Trabalhando com as duas

projec~oes para CH(X), mostra-se que CG e um 1-ciclo racional contendo U1G

e U2G e que U = U1G U2G, e portanto, U 2R(X;G).

2

1.3 O grupo de Chow

G

-equivariante

Nesta sec~ao introduziremos o grupo de Chow G-equivariante de um G-espaco X. As propriedades funtoriais da imagem recproca plana e imagem direta propria ser~ao revistas no contexto G-equivariante. Detalhes da construc~ao e exist^encia ser~ao omitidos. A maioria destes e consequ^encia de resultados de quocientes de variedades algebricas por grupos algebricos que fogem do escopo deste texto. As refer^encias can^onicas para tais fundamentos s~ao Borel [4] e Mumford [27].

Deniremos tambem classes de Chern G-equivariantes de um brado ve-torial G-equivariante E sobre X. Por m, discutiremos com detalhes alguns exemplos que, embora a primeira vista parecam triviais, ser~ao sucientes para as aplicac~oes a que foram reservados os captulos nais.

1.3.1

G

-brado principal

Seja G um grupo linear e seja X um G-espaco. Ponhamos g = dimG e n = dimX:

1Isto e obvio se

6

O grupo de Chow Escolhemos uma representac~aol-dimensional V de G que contenha um aberto U no qual G age livremente. Exibiremos U V explicitamente nos exemplos

de maior interesse.

Seja  : U ! U := U=G o G-brado principal quociente. Isto signica

que existe uma cobertura aberta fUig de U tal que  1_Ui

' Ui G, com

func~oes de transic~ao 'ij : Uij ! G. Tal quociente existe automaticamente

como espaco algebrico, pois G age livremente sobre U.

Para os casos que nos interessam mais diretamente, U=G e de fato um produto de espacos projetivos e sua construc~ao e elementar, cf. 1.4.1.

Note que a ac~ao diagonal ( ;x;u) 7! (
x;
u) sobre X U tambem

e livre. Portanto existe um quociente na categoria dos espacos algebricos X  U ! (X  U)=G que e um G-brado principal. Denotaremoes este

quociente (X U)=G por X GU, ou simplesmente, XG. Novamente, nos

casos em que estamos mais interessados, XG e um esquema projetivo.

A partir de agora, a notac~ao U  V refere-se a um aberto U de uma

representac~ao V de G no qual G age livremente, e XG denota a base do

G-brado principal quociente, que tambem escreveremos X U ! XG=X 

G_U:

Uma observac~ao fundamental e que a escolha de U  V pode ser feita de tal

maneira que o mapa de restric~ao de ciclos de X V ao aberto X U seja

bijetivo em qualquer dimens~ao pre-xada.

1.3.2 Exemplo muito instrutivo

Consideremos G = T =C

, o toro unidimensional, agindo em X = P

1 _por

t[x0;x1] = [x0;t
x1]. Fixe l > 1 e tome a representac~ao diagonal de T em

V =C l, (v!t
v). Agora faca U = V r

f0g. E claro queT age livremente em

U. Nosso T-brado principal U ! U=T nada mais e que a familiar construc~ao C l

r

f0g ! Pl 1. Continuando, X U ! XT e igualmente um T-brado

principal, cuja base XT passamos a descrever. Considere o mapa P

1 C l

r

f0g ! Pl 1Pl

(x;y) = [x0;x1];(y1;:::;yl)

7 ! ([y1;:::;yl];[x1; x0y1;:::;x0yl]):

O leitor n~ao deve ter diculdades em vericar que, efetivamente t(x;y)
= (x;y); 8t2T;x2P 1_;y 2C lr f0g:

1.3 O grupo de Chow equivariante

7

Mais ainda, 1_{( (x;y)) = T}(x;y)



= T. Tomando coordenadas homog^eneas z0;:::;zl no segundo fator, e claro que a imagem de e a subvariedade

W  Pl 1Pl dada por yizj = yjzi; 1  i;j  l. A projec~ao W ! Pl 1

de fato identica esta variedade com o P1-brado P O P l 1 O P l 1( 1)
: Em resumo, temos de fato XT =

P O P l 1 O P l 1( 1)
! Pl 1. Veja 1.8 para generalizac~ao.

1.3.3 Denic~ao-Proposic~ao

Denimos o i-esimo grupo de Chow G-equivariante de X por

AGi(X) = Ai+l g(XG);

onde l = dim(V ), g = dim(G) e A denota o grupo de Chow usual. Este

grupo independe da representac~ao escolhida, desde queV U tenha codimens~ao sucientemente grande, i.e., > dimX i.

Demonstrac~ao. Usaremos o argumento conhecido como da dupla brac~ao de Bogomolov. Sejam V1 e V2 duas representac~oes de G com dimens~oes

respec-tivamente l1 e l2 satisfazendo as condic~oes acima. Ou seja, existem abertos

U1  V1 e U2  V2 tais que G age livremente em U1 e U2 e os complementos

V1 U1 e V2 U2 t^em codimens~ao maior que n i.

Tome G agindo diagonalmente sobre V1 V2. Ent~ao, V1V2 contem um

aberto W que contem ambos V1U2 eU1V2 no qual G age livremente, ou

seja, existe o G-brado principal quociente W=G. Logo, temos que Ai+l1+l2 g(X  G_{W) = Ai+l} 1+l2 g(X  G_(U1 V2));

pois o fechado jogado fora, (XGW) r(X

G(U1V2)), tem dimens~ao menor

que i + l1+l2 g.

Por outro lado, a projec~ao V1 V2 ! V1 realiza X G (U1 V2) como

um brado vetorial sobre X GU1 com bra V2 e grupo estrutural G. Ent~ao,

Ai+l1+l2 g(X

G(U1  V2)) = Ai+l 1 g(X

GU1), o que nos leva a concluir

que Ai+l1+l2 g(X

GW) = Ai+l 1 g(X

GU1). Analogamente, mostra-se que

Ai+l1+l2 g(X

G W) = Ai+l 2 g(X

G U2). Portanto, AGi(X) independe da

representac~ao escolhida. 2

Quando escrevermosAGi(X) = Ai+l g(XG) =Ai+l g(X GU) estara

sem-pre subentendido que a resem-presentac~ao V e o aberto U  V foram escolhidos

8

O grupo de Chow

1.3.4 Ciclos invariantes

SeY X e uma subvariedade G-invariante de X de dimens~ao m, ent~ao ela

admite uma classe fundamentalG-equivariante, [Y ]G= [Y GU]2AGm(X).

De modo geral, seV e uma representac~ao l-dimensional de G e S XV

e uma subvariedade invariante de dimens~ao m + l, ent~ao S tem uma classe fundamental G-equivariante [S]G2AGm(X) dada por

[S]G= [ S\(X U)

=G]:

1.3.5 Lema.

Seja  : X U ! X G U = XG o mapa quociente e seja

Z  XG uma subvariedade irredutvel fechada. Ent~ao  1Z  X U e

G-invariante (e irredutvel se G for conexo).

1.3.6 N~ao trivialidade de

AGi(X) Pode acontecer do grupo de Chow or-dinario Ai(X) ser trivial, mas AGi(X) ser n~ao-nulo para algum i  n,

in-cluindo i negativo. Tome por exemplo X = pt, G = T =C

. Neste caso, X T

se identica a U=T. Escolhendo a representac~ao como em (1.3.2), vemos que ATi(X) = Ai+l 1(Pl 1) e nulo para i > 0 e isomorfo a Zpara i0.

1.3.7 A estrutura de anel

Quando X e uma variedade lisa, o grupo de Chow G-equivariante AG

(X) = M

AGi(X)

herda um produto de intersec~ao dos grupos de Chow ordinarios, que fazem de AG

(X) um anel graduado. Neste caso, e mais conveniente graduar pela

codimens~ao, escrevendo Aj G(X) = AGdimG j(X) e A G(X) = M AiG(X):

1.3.8 Proposic~ao.

Se  2AGm(X), ent~ao existe uma representac~ao

l-dimen-sionalV deGtal que =P

ai[Si]G, onde cadaSie subvariedadeG-invariante

de X V de dimens~ao l + m.

Demonstrac~ao. Visto queAGm(X) = Am+l g(XG), ciclos de dimens~aom+l g

sobre XG correspondem exatamente a ciclosG-invariantes de dimens~ao m + l

sobre X U. Como V U tem codimens~ao sucientemente grande, ent~ao

(m+l)-ciclos G-invariantes sobre XU estendem de maneira unica a

(m+l)-ciclos G-invariantes sobre X  V . Com um argumento de dupla brac~ao

pode-se mostrar que qualquer numero nito de tais ciclos se realiza em uma

1.4 O anel T-equivariante de um ponto

9

A representac~aoV n~ao e necessariamente unica, pois, por exemplo, [X]G e

[X V ]G denem a mesma classe G-equivariante.

Veremos mais adiante (1.8.1) que, de fato, nos casos de maior interesse para nos, sera suciente considerar apenas os ciclos de subvariedades G-invariantes deX, dispensando-se a passagem a XU.

1.4 O anel

T

-equivariante de um ponto

1.4.1 Toros

Se T = (C

)g e um toro de dimens~ao g, ent~ao podemos tomar U = Qg

i=1(Vi f0g), com Vi = C l

i uma representac~ao l

i-dimensional. Obtemos

como quociente um produto de espacos projetivos, U=T =Yg i=1 P li 1: Suponha g = 1,i.e.,T =C . Para cadai 0 escolhal > i e tome V =C l eU

como no exemplo instrutivo acima. Deste modo, a codimens~ao deV U =f0g

emV e igual a l e temos U=T =Pl 1. Podemos calcular,

AiT(pt) = Ai_{(U=T) = A}i₍ P

l 1_{) =} Z
h

i_;

onde h = c1(O(1)) denota a classe da sec~ao hiperplana dePl 1. Assim,

A C

(pt) = L

Z
hi =Z[h]:

O anel equivariante de um ponto sob a ac~ao de um toro desempenha papel central. Vamos denota-lo por RT. Se T e um toro g-dimensional, escolhendo

V e U como acima, vemos que RT :=A

T(pt) =Z[h1;:::;hg] (1.4.1.1)

e um anel de polin^omios com coecientes inteiros, nas variaveis h1;:::;hg;

cada uma delas representa uma sec~ao hiperplana em algum Pl 1.

1.4.2

GLn

.

Para o grupo GLn das matrizes nn n~ao singulares, tome V

como o espaco das matrizesnp (com p > n), e a ac~ao dada por multiplicac~ao

de matrizes. Ent~ao o aberto U  V pode ser selecionado como o aberto das

matrizes de posto maximo. Vemos que U=GLn e a variedade de Grassmann

10

O grupo de Chow

1.5 Propriedades funtoriais

Nesta sec~ao, todos os morsmosf : X !Y s~ao G-equivariantes.

Dado um morsmof : X !Y de G-esquemas, (fid) : XU !Y U

induz um morsmofG:XG!YG que torna o seguinte diagrama comutativo:

f id

X U ! Y U

# #

XG ! YG:

fG

Note que no diagrama cartesiano acima as projec~oes s~ao sobrejetivas e planas. Conclumos que se f : X !Y for liso, proprio, plano de codimens~ao relativa

k ou mergulho, ent~ao fG :XG !YG tambem satisfara a mesma propriedade.

A imagem direta propria f :AGi(X)

!AGi(Y ) e dada por

fG :Ai+l g(XG)

!Ai+l g(YG):

Se f : X ! Y e um morsmo plano de dimens~ao relativa k, a imagem

recproca plana f :AGi(Y )

!AGi+k(X) e denida por

f

G:Ai+l g(XG)!Ai+k+l g(YG):

1.5.1 Proposic~ao.

Os mapas f e f

 acima est~ao bem denidos.

Demonstrac~ao. Usaremos novamente o argumento da dupla brac~ao de Bogo-molov.

SejamV1 eV2 duas representac~oes. Ent~ao temos um diagrama cartesiano

X G(U1V2) ! Y G(U1V2)

# #

XGU1 ! Y GU1

As projec~oes s~ao planas, e ja vimos que suas imagens recprocas s~ao isomors-mos com os AGi denidos na parte inferior do diagrama, o que implica que f

esta bem denido. Por m, usamos o fato de que a imagem direta propria e compatvel com a imagem recproca plana para concluir que a imagem direta f tambem esta bem denida.

1.5 Propriedades funtoriais

11

1.5.2 Classes de Chern G-equivariantes

Seja X um G-espaco. Seja E um brado vetorial G-equivariante sobre X. Para cada par i;j denimos o mapa cGj(E) : AGi(X) ! AGi j(X) da seguinte

maneira.

SejaV uma representac~ao l-dimensional de G e U V um aberto tais que

V U tem codimens~ao sucientemente grande e existe o G-brado principal X U ! XG. Ent~ao, por [GIT [27], Prop.7.1] existe um quociente EG de

EU. Pode-se mostrar que EG !XG e um brado vetorial. Daremos mais

adiante um argumento nos casos em que X e um T-espaco, seja quando E e um brado trivial (1.6.1), seja quando T age trivialmente em X (2.2.1).

1.5.3 Denic~ao-Proposic~ao.

A j-esima classe de ChernG-equivariante

cGj(E) : AGi(X)!AGi j(X)

e denida como o operador

2Ai+l g(XG)7 !cGj(E)\ = cj(EG)\ 2Ai j+l g(XG):

Esta denic~ao independe da escolha da representac~ao.

Demonstrac~ao. SejamV1 eV2 duas representac~oes deG. Considere o diagrama

EG(U1V2) ! EGU1

# #

X G(U1V2) ! X GU1:

Como as projec~oes s~ao sobrejetivas e planas, vemos que a imagem recproca EGU1 para X G(U1 V2) e isomorfa ao quociente EG(U1V2). Pelo

argumento da dupla brac~ao vemosque a denic~ao acima independe da escolha

da representac~ao. 2

1.5.4 Auto-intersec~ao equivariante

Seja i : Y ,! X um mergulho regular equivariante de G-espacos, de

codi-mens~ao d. A formula de auto-intersec~ao usual, ii

 = cd(

NY=X)\; 2A (Y )

induz a formula equivariante analoga, i

GiG = cGd(

NY=X)\;  2A G

(Y ) (1.5.4.1)

Isto segue do fato que, nas condic~oes em tela, o brado normal do quo-ciente YG ,! XG e o quociente (NY=X)G do normal NY

U=XU. Deixamos a

12

O grupo de Chow

1.6 O brado de um caracter

Concentremo-nos na ac~ao de um toro. O lema a seguir e uma vers~ao simpli-cada da construc~ao geral de um brado vetorial associado a um T-brado principal.

1.6.1 Lema.

Seja U ! U=T como antes, e seja  um caracter de T. Seja

' : U C !U o brado trivial em retas munido da T-ac~ao

t
(u;v)7!(t
u;(t)
v):

Ent~ao 'e um brado T-equivariante e induz, por passagem ao quociente, um brado em retas L !U=T.

Demonstrac~ao. O referido brado trivial e obviamente T-equivariante. Des-creveremos uma trivializac~ao local do quociente L com func~oes de transic~ao

que fornecem um brado em retas sobreU=T. Para tanto, sejaf(Ui;'ij)guma

trivializac~ao do T-brado principal U !U=T, ou seja,

U =G (UiT)   onde (u;t)(u 0;t0) , u = u 0 2Uij =Ui\Uj et 0 = ' ij(u)
t. Temos assim, L jU i = (Ui T C)  T = UiC:

A colagem em Uij e feita identicando representantes (u;t;v) 2 UiT C

com (u0;t0;v0)

2Uj T C, e depois passando ao quociente. Logo,

u0=u 2Uij, t 0= ' ij(u)
t e v 0= (' ij(u))
v.

Portanto, f(Ui;'ij)ge uma trivializac~ao local deL como brado em retas

sobre U=T. 2

1.7 Caracter versus classe de Chern

1.7.1 A multiplicac~ao por um caracter

Notac~ao como no lema acima, seja ainda X um T-espaco. Forme o dia-grama de mapas naturais

X UC ! L jX T ! L # # # X U ! XT U ! U=T

1.7 Caracter versus classe de Chern

13

onde as setas horizontais a esquerda s~ao os mapas quocientes pela ac~ao deT.

Para cada 2A (XT), escreveremos 
 := c1(L jX T) \: (1.7.1.1)

Esta operac~ao do grupo T de caracteres do toro T em Ab

(XT) desempenha

importante papel.

1.7.2 Estrutura de

RT

-modulo

Por outro lado, o morsmo estrutural X !pt induz um morsmo

XT !U=T

que faz de AT

(X) um RT-modulo.

Para entender melhor esta ac~ao de RT emAT(X), suponha

T =C

; V =

Cl+1; U = V rf0g:

A ac~ao e dada por multiplicac~ao, com todos os pesos iguais a 1. Como no exemplo (1.4.1), temosU=T =PleA

(U=T) = A(

Pl). Tomando o limite com

l indo para innito, vemosque RT =Z[h],onde h representa a sec~ao hiperplana

de algum Pl. O mapa RT ! AT

(X) e simplesmente a imagem recproca de

ciclos em RT. Como em cada dimens~aoRT e gerado por c1(L)\[U=T], onde L e um brado em retas sobre U=T, vemos que a multiplicac~ao

RT A T (X) !A T (X)

e obtida a partir dos geradores deRT como multiplicac~ao por caracteres deT,

na forma descrita em (1.7.1.1).

1.7.3 O brado

O P l(a) Suponha ainda T =C ,V =

Cl+1,U = V f0gcom a ac~ao sobre V como

logo acima. Resulta o T-brado principal familiar,

U ! U=T

jj jj

Cl+1 rf0g ! Pl:

Este pode ser descrito pelas cartas locais usuais, f(Ui;'ij)gi=0:::l onde

Ui =f[x0;:::;xl]2P l

14

O grupo de Chow e as func~oes de transic~ao,

'_{ij :Uij} !C 

[x0;:::;xl]7!xi=xj:

No presente caso, todo caracter  : T = C 

! C

 e da forma t

7! ta para

algum a2Z. Ou seja, temos um isomorsmo

Z !

b

T

a 7! (a:T !C)

onde adenota o caracter de T, t!ta. Considere o brado em retas induzido

por a,

La=L a

!U=T =P l_:

De acordo com a receita na prova de (1.6.1), La e dado pelas func~oes de

transic~ao

ij :Uij ! GL1 =C



x = [x0;:::;xl] 7! a('ij(x)) = (xj=xi) a:

Estas s~ao precisamente as func~oes de transic~ao do bradoO P

l(a). Temos assim La =O

P

l(a) ! U=T =P

l_{: (1.7.3.1)}

Note que a escolha da C-ac~ao com todos os pesos iguais a -1 foi feita

justa-mente para valer a formula acima.

Para um toro de dimens~ao g qualquer, seja h1;:::;hg uma base do grupo

de caracteres Tb 

=Zg. Tome U  V como em (1.4.1) de maneira que U=T = Q

iPl

i. Argumentando como no caso acima, pode-se mostrar que cada brado

linearLh

i provem de O

P l

i(1). A ac~ao (1.7.1.1) do caracterhi provem assim da

multiplicac~ao por uma classe hiperplana. Em outras palavras, na identicac~ao RT = Z[h1;:::;hg], este anel de polin^omios pode ser pensado com a algebra

simetrica do grupo T.b

1.7.4 Divisores de auto-func~oes.

Seja X uma Tvariedade. Seja f 2 C(X) uma func~ao racional n~ao nula

que e um auto-vetor deT com caracter . Ent~ao o suporte de f e um divisor T-invariante, e dene assim uma classe divT_{(f) no anel de Chow equivariante}

AT

(X). Precisamente, escrevamos o divisor principal

div(f) = mZZ 2Z 1_(X);

1.7 Caracter versus classe de Chern

15

onde Z percorre as componentes do suporte e mZ denota a respectiva

multi-plicidade. Denimos

divT_{(f) = mZ[Z]T} 2A

T

(X); (1.7.4.1)

onde [Z]T denota a classe (1.3.4) da subvariedade invariante Z no anel

T-equivariante deX.

Note que a func~ao racionalf induz uma sec~ao racional fjXU do brado

equi-variante trivial XU C. A equivari^ancia segue da denic~ao de U C :

fjXU(t

(x;u)) = (t
x;t
u;f(t
x))

= (t
x;t
u;(t)
f(x))

= t
(x;u;f(x)):

Esta sec~ao racional T-equivariante, fjXU, passa ao quociente. Mais

preci-samente, seja L jX

T a imagem recproca do brado em retas

L sob o mapa

X T U !U=T. Temos induzida uma sec~ao racional,

sf : X T U ! L jX

T

[x;u] 7! [(x;u);f(x)]:

1.7.5 Lema.

Notac~ao como acima,divT_{(f) representa emA}T

(X) o operador

c1(L) (1.7.1.1) avaliado na classe fundamental de XT =X TU,

divT_{(f) =}

[XT]:

Demonstrac~ao. No diagrama de mapas naturais X U C ! L

jX T

# #

X U ! X T U

as setas horizontais s~ao os mapas quocientes pela ac~ao de T. A imagem recproca da sec~ao racionalsfe a sec~ao racionalfjXU. O cicloc1(

L)\[XTU]

pode ser calculado em termos do pseudo-divisor associado a sec~ao racionalsf

(cf. [15]). Os mapas em tela s~ao elmente planos. Portanto, as multiplici-dades das componentes dos ciclos associados a sf emXTU e a f em XU

16

O grupo de Chow Note que, embora a classe do divisor da func~ao racional f seja nula no grupo de Chow usual, a classe equivariante divT_{(f) n~ao e necessariamente}

nula emAT (X).

A relac~ao divT_{(f) =}

[Y ]T permite comparar a classe equivariante de

Y com a classe de um divisor T-invariante contido em Y . Ou seja, dada uma subvariedade T-invariante Y  X, suponha que exista uma auto-func~ao

racional f com caracter  n~ao trivial e tal que f n~ao se anula sobre todo Y . Ent~ao, a menos de invertermos o caracter  emAT

(X), podemos comparar a

classe [Y ]T com um ciclo invariante com suporte de dimens~ao menor que dimY .

Esta e a argumentac~ao chave na demonstrac~ao do teorema de localizac~ao.

1.7.6 Divisores

T

-invariantes em

Pn

Seja T = C

 um toro unidimensional agindo diagonalmente sobre

Pn com

pesos a0;:::;an, ou seja, t[x0;:::;xn] = [ta 0x

0;:::;tanx

n]. Mais adiante

des-creveremosPnT =PnTU como variedade projetiva para uma escolha adequada

deU  V bem como o o anel AT (

Pn). Neste ponto nos limitaremos apenas a

descrever

divT_(f) 2AT

( Pn)

para uma func~ao racional f :Pn


! C que seja uma auto-func~ao com peso

a 2 Z, isto e, f(tx) = ta
f(x) para cada x2 Pn no domnio de f e t 2 T.

Por exemplo, se f = xi=xj ent~ao f tem peso a = ai aj. Podemos escrever

div(f) = Hi Hj 2Z 1₍

P n₎

comHk Pno hiperplano T-invariante dado por xk = 0. Logo, por 1.7.4.1

divT_{(f) = [Hi]T [Hj]T em A}T (

P n_):

O lema 1.7.5 diz que

divT_{(f) = c1(}

L)\[PnT]

com  = a. Deste modo, lembrando (1.7.3.1),

[Hi]T [Hj]T =c1(O P

l(a))\[PnT] =a
t\[PnT]

onde, por abuso intencional, escrevemos tambemt = c1(O P

l(1)) para a imagem

recproca da sec~ao hiperplana de Pl. Em particular, vemos que div

T_{(f) n~ao}

precisa ser nulo emAT (

1.8 O anel equivariante dePn

17

1.8 O anel de Chow

C 

-equivariante de

Pn Seja T = C  agindo sobre

Pn, como no exemplo anterior. TemosPn= P(V),

comV =Cn+1; a ac~ao sobre Pne induzida pela representac~ao diagonal,

 :C  ! GLn+1 t 7 ! diag(ta 0;ta1;:::;ta n):

Assim, obtemos a decomposic~ao em auto-espacos, escrita simbolicamente

C n+1 ₌

ni=0t ai

com pesos a0;:::;an.

Ja vimos que, tomando U = Cl+1 f0g, obtemos U=T = Pl. O brado

trivial U Cn+1 !U associado a representac~ao  e T-equivariante e induz,

passando ao quociente, o brado vetorial

UT Cn+1 =O(a0)


O(an) ! Pl

que abreviaremos por O(a). Cada autovetor com peso a, passa ao quociente

como uma sec~ao de O(a). Como no exemplo (1.3.2), pode-se mostrar que a

variedade quociente (Pn)T =PnT U e o brado projetivo / Pl ,

(Pn)T =P(O(a)) ! Pl

com bra Pn. O mapa quociente

U P n ! U  T P n₌ P(O(a))

pode ser explicitado da seguinte forma. Dado (u;[v]) 2 U  Pn, escreva o

vetorv = v0+


+vn como soma de autovetores. Cada vi fornece uma classe

[u;vi]2O(ai). Em seguida, projete [u;vi]2O(a) para P(O(a)).

O anel de Chow deste brado projetivo e dado por A( PnT) =A ( P l_)[h] hp(h;t)i

onde t e o gerador de A1₍Pl) (a sec~ao hiperplana de Pl), h = c1(O(

O(a))(1)) e

p(h;t) =Yn

18

O grupo de Chow A relac~aoQn

i=0(h+ait) = 0 em A(

PnT) pode ser interpretada da seguinte

ma-neira. Cada coordenada homog^eneaxi e um auto-vetor com pesoai. Portanto

o hiperplano Hi Pndado por xi = 0 eT-invariante. A inclus~ao (Hi)T PnT

e a inclus~ao do subbrado projetivo sobre Pl, P(j

6

=iO(aj))P(O(a)):

Isto possibilita calcular o ciclo [Hi]T como zeros de uma sec~ao do brado em

retas QO O(a)(1) onde Q= (O(a))=(j 6 =iO(aj)) =O(ai) Logo, (cf. [15], 3.2.17) [Hi]T =ai
t + h: Como T iHi =;, temos T i(Hi)T =; e portanto, n Y i=0(h + ait) = 0:

Fazendo a dimens~ao da representac~ao ir para innito, vemos que AT ( Pn) =Z[h;t]  (h + ait): Observe que AT (

Pn) e um modulo livre de posto n + 1 sobre Z[t], o anel de

Chow T-equivariante de um ponto.

Mais geralmente, seja X  Pn uma hipersuperfcie denida por um

po-lin^omio homog^eneo de f de grau d que e uma auto-func~ao com peso a. Ent~ao X e T-invariante e sua classe equivariante [X]T 2AT

(

Pn) e igual a dh + at.

Isto segue do fato de que podemos produzir, com f, a func~ao racional r = f=xd0 :Pn


!C que e uma auto-func~ao com peso a d
a0. E facil ver

que div(r) e o ciclo X d
H0. Temos assim

divT_{(r) = [X]T d}
[H0]T 2AT ( Pn): Lembrando (1.7.3.1), vem divT_{(r) = c1(} L(a d
a 0)) \[PnT] = (a d
a0)
t
[PnT] (1.8.0.1)

1.8 O anel equivariante dePn

19

donde obtemos (omitindo o fator \[PnT]),

[X]T = (a d
a0)
t+d
(h+a0
t) = a
t a0:d
t+d
h+a0:d
t = a
t+d
h:

Deixamos como exerccio a generalizac~ao seguinte. Seja X uma intersec~ao completa em Pn denida por polin^omios homog^eneos fi de grau di que s~ao

auto-func~oes com pesos ai. Ent~ao, [X]T =Q

(dih + ait)2AT (

Pn):

Finalizamos este captulo mostrando que nos casos que nos interessam mais de perto, os ciclos invariantes bastam.

1.8.1 Proposic~ao.

Sejam T-um toro e X um T-espaco. Ent~ao o grupo de Chow T-equivariante A

T(X) e gerado como RT-modulo pelas subvariedades

T-invariantes de X.

Demonstrac~ao. Note que um gerador para o anel de Chow T-equivariante de X e dado por uma subvariedade T-invariante Y XU X V para uma

escolha adequada deU V .

Utitizando o isomorsmo entreA(X) e A(X

V ), temos que Y e

racional-mente equivalente a P

mi(YiV ). Aplicando a generalizac~ao do teorema de

Hirschowitz1.2.3 a variedadeX, podemos supor que cada subvariedade Yi X

eT-invariante. Aplicando mais uma vez o teorema, agora a XV , vemos que

esta equival^encia racional entreY e P

mi(YiV ) pode ser obtida de maneira

T-invariante, ou seja, existem subvariedades T-invariantes W  X V , tais

que dim(W) = dim(Y ) + 1 e auto-func~oes racionais fW : W


! C com

caracteres W, de maneira que

Y X

mi(YiV ) = X

div(fW):

Assim, passando a classes equivariantes temos [Y ]T X mi[Yi]T = X divT_{(fW) =}X c1(L W) \[W]T = X W
[W]T;

com a dimens~ao de cadaW maior que dim(Y ). Segue, por induc~ao, que AT (X)

Captulo 2

O teorema de localizac~ao

No restante deste texto, consideramos o caso em que o grupo algebrico linear que age sobre o esquemaX e um toro T.

2.1 O caso da ac~ao trivial

Suponha dimT = g. Vimos em 1.4.1 que o anel de Chow T-equivariante de um ponto pode ser descrito como

RT =Z[t1;:::;tg]:

Temos no lado direito o anel de polin^omios a coecientes inteiros. Este anel aparece de fato como a algebra do grupo T =b

Zg dos caracteres de T. O

isomorsmo explcito provem da seguinte regra. Para cada caracter  2

b

T, considere o brado em retas L sobre U=T

construido em 1.6.1. Identicamos  comc1(L).

2.1.1 Lema.

Notac~ao como acima, se T age trivialmente em X, ent~ao

AT

(X) = A (X)

RT:

Demonstrac~ao. Pelo fato da ac~ao deT sobre X ser trivial, segue que XTU =

X(U=T). Assim, escolhendo U de tal forma que o quociente U=T e produto

de espacos projetivos (cf. 1.4.1), temos o isomorsmo A X (U=T)
=A(X) A (U=T):

22

O teorema de localizac~ao Observemos que em geral, o mapa de decomposic~ao de Kunneth

A(X) A (Y ) ! A (X Y )

empregado acima, n~ao e um isomorsmo: tome por exemplo X = Y uma curva de g^enero > 0. Se a diagonal
 X X admitisse uma express~ao na

forma [
] = mi[pi X] + ni[X qi], commi;ni 2Z;pi;qi 2X ent~ao, para

cada p 2 X teramos [pp] = [pX]\
= ni[pqi]. Projetando no

segundo fator, conluiramos [p] = ni[qi]. Logo, dois pontos quaisquer seriam

racionalmente equivalentes, impossvel em g^enero > 0.

2.2 Decomposic~ao em auto-subbrados

Continuamos supondo que a T-ac~ao sobre X e trivial.

Dado um brado vetorial T-equivariante E !X obtemos canonicamente

uma decomposic~ao E = L E  2 b T

em soma direta de subbrados, ondeE _{denota o auto-subbrado dos vetores}

emE nos quais T age com o caracter .

Segue que as classes de ChernT-equivariantes de E descrevem-seemtermos das classes dos auto-subbradosE_{. Para estas, descreveremos o brado}

veto-rialET sobreXT induzido por E = E, lembrando que agora XT =X(U=T)

por conta da trivialidade da ac~ao no fatorX. Vejamos ET em termos de cartas

locais.

2.2.1 Lema.

Com as notac~oes e hipoteses acima, o brado quociente (E_)T

sobre X  (U=T) e isomorfo ao produto tensorial da imagem recproca do

brado E _{pela imagem recproca do brado em retas} L.

Demonstrac~ao. Escolha trivializac~oesf(U;')gdo T-brado principal U !

U=T e f(Vi; ij)g do brado equivariante E!X. Ent~ao, temos

U =G (UT)  ; E = G (ViCr)   onde (u;t)(u 0 ;t0) , u = u 0 2U :=U\U; t 0= ' (u)
t e (x;v) (x 0 ;v0) , x = x 0 2Vij :=Vi\Vj; v 0= ij(x)
v:

2.3 Lugar dos pontos xos

23

Da vem (E_)T j U V i= (U Vi C r T)=T = UVi C r_;

o que trivializa localmente (E_{)T como brado vetorial. A colagem sobre}

(UVi)\(U Vj)

e feita identicando representantes UViC r T 3(u;x;v;t) com (u 0 ;x0 ;v0 ;t0) 2U Vj C r T

e depois passando ao quociente. Ou seja, u0=u 2U; x 0=x 2Vij e t0= ' (u)
t; v 0= (' (u))
ij(x)
v:

Portanto, f(UVi;(')
ij)g e uma trivializac~ao local de (E)T como

brado vetorial sobre XT =X U=T. Mais ainda,

(E_)T 'E

 L;

onde E _eL denotam as imagens recprocas dos mesmos brados sobre X e

U=T para X(U=T). 2

2.2.2 Corolario.

Seja X um T-espaco com ac~ao trivial. Seja E = E !X

um brado vetorial T-equivariante de posto r sobre X tal que a ac~ao de T

sobre cada bra e dada pelo caracter . Ent~ao, para todo i, temos

cTi(E_{) =}Xi j=0  r j i j  cj(E)i j:

Demonstrac~ao. Basta aplicar o exemplo (3:2:2) de [15] que calcula a classe de

Chern (usual) do brado (E_)T 'EL. 2

2.3 Lugar dos pontos xos

O resultado seguinte nos garante a n~ao trivialidade dos pesos do brado normal a pontos xos.

24

O teorema de localizac~ao

2.3.1 Lema.

SeX e uma T-variedade lisa ent~ao o lugarXT _{dos pontos xos}

tambem e liso. Se F e uma componente de XT_{, ent~ao o brado normal} NF=X

eT-equivariante sobreF. Alem disso, temos(xX)T =xF para todo x2F,

e portanto, a T-ac~ao sobre (NF=X)x e n~ao trivial.

Demonstrac~ao. Veja B. Iversen, [22]. 2

2.3.2 Localizar para inverter

Seja X uma T-variedade e seja F  XT uma componente do lugar dos

pontos xos. Seja E um brado equivariante sobre X. Visto que T age trivialmente emF, sabemos por 2.1.1 que A

T(F) = RT A

(F). A restric~ao

EjF decomp~oe-se como soma de auto-subbrados E 

jF: O lema 2.2.2 nos diz

que a componente de cTi(E

jF) emRiT e dada (fazendo j = 0) por r i

i_.

Como AN_{(F) = 0 para N > dim(F), temos que os elementos de A}j_(F),

paraj > 0, s~ao nilpotentes no anel A

T(F). Segue que cTi(EjF)

2(RTA (F))i

e inversvel se e somente se sua componente emRiTA0(F)  = RiT e inversvel. Portanto, cTi(E jF) e inversvel na localizac~aoRT A (F)[ 1].

2.3.3 Lema.

Sejam X uma T-variedade lisa e F uma componente de XT

de codimens~ao d. Ent~ao existem caracteres n~ao triviais 1;:::;r tais que

cTd(NF=X) torna-se inversvel no anel de frac~oesA 

T(F)[1=1;:::;1=r].

Demonstrac~ao. Pelo lema anterior, sabemos queT age com pesos n~ao triviais sobre o espaco normal (NF=X)x = xX=xF. Logo, os caracteres i que

ocorrem na decomposic~ao do espaco normal (NF=X) em auto-brados s~ao todos

n~ao triviais. Pela obsevac~ao anterior, vemosque a componente decTd(NF=X) em

RdT e n~ao nula. Logo, cTd(NF=X) torna-se inversvel em A  T(F)[1=1;:::;1=r], como armado. 2

2.4 O teorema de localizac~ao

Denotaremos por iT :XT ,!X

o mapa de inclus~ao do lugar dos pontos xos. Sabemos que iT induz um

homomorsmo deRT-modulos iT :A T (X T₎ ! A T (X)

2.4 O teorema de localizac~ao

25

entre os grupos de Chow T-equivariantes 1.5.1.

Lembre que temos um isomorsmo natural AT

(X

T₎'RTA (X

T_);

pois a ac~ao de T em XT _{e trivial.}

No que segue, descrevemos a vers~ao dada por M. Brion [6] do teorema de localizac~ao. O principal ponto nesta abordagem e dispensar a construc~ao de grupos de Chow de ordem superior, requerida em [10].

2.4.1 Lema.

Seja X um T-esquema am. Seja Y uma subvariedade T-inva-riante. Se Y n~ao e xa ponto a ponto, ent~ao existe uma auto-func~ao regular f sobre X com peso n~ao trivial cuja restric~ao fjY

6

= 0.

Demonstrac~ao. Tome y 2 Y fora de XT. Logo, existe t 2 T tal que ty 6=

y. O anel de coordenadas de X e gerado por auto-func~oes. Da existe uma auto-func~ao f, digamos associada ao caracter , que separa aqueles pontos: f(ty) 6=f(y). Logo, f(ty) = (t)
f

(y)6= f(y). Isto implica de imediato

que f(y)6= 0 e (t)6= 1. 2

2.4.2 Lema.

Seja X um T-esquema am. O lugar dos pontos xos XT X

e a intersec~ao dos zeros das auto-func~oes regulares sobre X com pesos n~ao triviais.

Demonstrac~ao. Seja x 2 XT, e seja f auto-func~ao regular com peso  6= 1.

Temosf(x) = f(tx) = (t)
f(x); 8t2T. Logo, se (t)6= 1 ent~aof(x) = 0.

Reciprocamente, se x 62 XT, aplicamos o lema anterior com Y = X para

concluir que x n~ao e zero comum a todas as auto-func~oes mencionadas. 2

Podemos por m tratar do importante

2.4.3 Teorema de localizac~ao.

Seja X um T-espaco. Ent~ao o mapa RT

-linear iT:A T (X T_{) =A} (X T₎ RT !A T (X)

torna-se um isomorsmo apos invertermos um numero nito de caracteres n~ao triviais.

Demonstrac~ao. Por hipotese geral, X pode ser coberta por abertos ans T-invariantes,Xi, em numero nito.

26

O teorema de localizac~ao Cada lugar dos pontos xos XTi Xi e a intersec~ao dos zeros das func~oes

regulares sobre Xi que s~ao auto-vetores da ac~ao de T sobre Xi com pesos

n~ao triviais, cf. lema anterior. Por quase-compacidade, podemos extrair uma intersec~ao nita. Ou seja, existe um conjunto nito de autofunc~oes ffijg com

pesos respectivos fijg n~ao triviais, tal que x 2 Xi esta em XTi se e so se

fij(x) = 0; 8j.

Para provar que iT e sobrejetivo, usamos o teorema 1.2.3: o anel de Chow

usual de X e gerado pelos ciclos dados por subvariedades T-invariantes. Uma consequ^encia disto e o fato de que AT

(X) e gerado, como RT-modulo pelos

ciclos [Y T U] com Y X subvariedade T-invariante.

Seja agora Y  X uma subvariedade T-invariante. Suponha que Y n~ao e

xa ponto a ponto por T. Ent~ao, algum dos fij dene uma func~ao racional

sobre Y n~ao identicamente nula.

Esta func~ao racional pode ser pensada como uma sec~ao racional da imagem recproca do brado linear L

ij (1.6.1) pelo mapaY

T U !U=T, que ainda

denotaremos por L ij. Assim, ij
[Y ]T =c1(L ij)
[Y ]T = div T_(fij) 2AT (X), o que implica [Y ]T = _ij1divT(fij)2A T (X) RT[1=ij]:

Ora, o suporte de divT_{(fij) e de dimens~ao menor que dim(Y ) e e constitudo}

por subvariedades invariantes. Por induc~ao noetheriana segue que, apos inver-termos um numero nito de ij's, o mapa induzido iT sera sobrejetivo.

Para mostrar a injetividade, note logo que se XT _{= X ent~ao iT}

 sera o

mapa identidade.

Portanto, podemos supor que X n~ao e xo ponto a ponto por T. Seja Y uma componente irredutvel de X que n~ao esta contida em XT_{. Escolha fij}

como antes, ou seja, fijjY

6

= 0.

Denote porjDja uni~ao do suporte do divisor defijemY e das componentes

irredutveis de X que n~ao s~ao iguais a Y . Ent~ao, por construc~ao, jDj contem

todos os pontos xos de X pela ac~ao de T. Seja j : jDj ! X o mapa de

inclus~ao.

Considere o T-brado principal U !U=T dado pela denic~ao-construc~ao

de grupos de Chow equivariantes, e seja L

ij o brado linear sobre U=T

asso-ciado ao peso ij. Seja p : X T U ! U=T o mapa de projec~ao. Temos um

pseudo-divisor sobre X T U (veja [15], 2.2),

( p L

ij; jDj

2.4 O teorema de localizac~ao

27

que dene um mapa homog^eneo de grau 1

j :AT (X) !A T ( jDj)

tal que a composic~aoj j

e a multiplicac~ao por ij. Examinando o diagrama,

AT (X T_{) =A} (X T₎RT iT ! AT (X) jj " j  AT (X T ₌jDjT) ! AT ( jDj)

temos que o mapa j : A T (

jDj) ! AT

(X) e injetivo apos invertermos ij. E

conclumos a injetividade novamente por induc~ao noetheriana. 2

Lembremos que o anel equivariante de um ponto, RT = Z[t1;:::;tg], e

um anel de polin^omios. Seja R+T o sistema multiplicativo dos elementos ho-mog^eneos de grau positivo. Denimos o anel de frac~oes

RT = (R+T) 1

RT:

Assim, em RT (a imagem de) todos os caracteres n~ao triviais s~ao unidades.

Tiramos a seguinte consequ^encia.

2.4.4 Corolario.

O mapa i : A(X T₎RT ! AT (X) RT e um isomor-smo. 2

2.4.5 Teorema (localizac~ao explcita).

Seja X uma T-variedade lisa. Seja 2A  T(X)RT. Ent~ao  =X F iF   i F cTdF( NF=X)  ;

onde a soma e efetuada sobre as componentes de XT _{e dF e a codimens~ao de}

F em X.

Demonstrac~ao. Da sobrejetividade garantida pelo Teorema de Localizac~ao, po-demos escrever =P

FiF(F). Como as componentes irredutveisF de X T

s~ao disjuntas, segue que i

F = i

FiF(F) pois as outras componentes de X T

n~ao contribuem para ciclos emF. A formula de auto-intersec~ao 1.5.4.1 nos da i FiF(F) =cTd F( NF=X)
F; e portanto (2.3.3), F =i F=cTdF( NF=X) como queramos. 2

28

O teorema de localizac~ao

2.4.6 Homomorsmo de integrac~ao

Quando X e uma variedade com-pleta, a projec~ao X : X ! pt induz um mapa de imagem direta X

 :

AT (X)

! RT que e zero em ATi para i > 0, e provem do calculo do grau de

zero ciclos para i = 0. Tensorizando por RT , obtemos o homomorsmo de

integrac~ao, X : A T (X) RT ! RT  7 ! R X:

Trocando X por F, componente de XT_{, temos um mapa similarF} .

ApliquemosX em ambos os lados do teorema da localizac~ao explcita.

Usando o fato de que F =X iF

, obtemos o seguinte.

2.4.7 Corolario. (Formula de integrac~ao)

Seja X uma T-variedade lisa e completa e seja 2A  T(X)Q. Ent~ao Z X = X FX T F  i F cTdF( NF=X)  ; como elemento de RT. 2

O corolario anterior fornece uma formula de integrac~ao particularmente util para um elemento do grupo de Chow usualA0(X) do tipo imagemrecproca de

um elemento deAT0(X). Mais precisamente, considere o diagrama comutativo

X ,!i XT X U

X # 2 #TX #

pt ,!j U=T U

(2.4.7.1) onde os mapas horizontais da direita s~ao os mapas quocientes. Note que, por construc~ao do T-brado principal, a imagem inversa do ponto pt 2 U=T

em U e a orbita T
u 

= T para algum u 2 U. Por sua vez, a imagem

inversa em X U e X (T
u). A imagem desta ultima subvariedade em

XT = (XU) 

T e isomorfa a X. Como X e lisa, temos que i e um mergulho regular de codimens~ao d = dim(U=T). Lembrando a denic~ao, vemos que i induz o homomorsmo,

i :AT

2.5 A formula de resduos de Bott

29

2.4.8 Proposic~ao.

Hipoteses como no corolario acima, seja

a = i ; com 2A T 0(X): Ent~ao Z Xa = X FX T F  i F cTdF( NF=X)  :

Demonstrac~ao. Temos X(a) = Xi

() = jTX

(). Aplicando a formula

de integrac~ao, segue o resultado requerido. 2

2.4.9 Observac~ao.

Seja E ! X um brado vetorial T-equivariante.

Con-sidere no diagrama (2.4.7.1), o brado vetorial ET induzido sobre XT. A

identicac~ao da bra (TX) 1_{pt com X induz a identicac~ao i}(E

T) =E.

2.5 A formula de resduos de Bott

Nesta sec~ao descreveremos uma vers~ao equivariante da formula de Bott. Sejam E1;:::;Es brados vetoriais T-equivariantes sobre uma variedade

lisa e completa X de dimens~ao n. Seja p(x11;:::;x1s;:::;xn1;:::;xns) um po-lin^omio homog^eneo ponderado de graun nas variaveis xij, onde xij tem grau i. Denote porp(E1;:::;Es) o polin^omio nas classes de Chern de E1;:::;Es,

ob-tido pela substituic~aoxij =ci(Ej).

A formula de integrac~ao calcula o grau do zero ciclop(E1;:::;Es)\[X] em

termos das restric~oes dos brados Ei's ao lugar dos pontos xos,XT X.

Abreviemos

p(E:) =p(E1;:::;Es) e pT(E:) =p(E1T;:::;EsT)

o polin^omio correspondente para as classes de ChernT-equivariantes dos bra-dos E1;:::;Es. Note que

p(E)\[X] = i

(pT(E)

\[X]T):

Aplicando a proposic~ao 2.4.8, obtemos a seguinte vers~ao da formula de resduos de Bott.

30

O teorema de localizac~ao

2.5.1 Teorema. (Formula de resduos de Bott)

Sejam E1;:::;Es

bra-dos vetoriais T-equivariantes sobre uma variedade lisa e completa X. Ent~ao

Z X(p(E)\[X]) = X FX T F  pT_(E jF) \[F]T cdF( NF=X)  ; (2.5.1.1)

onde dF denota a codimens~ao da componente F em X.

Apesar da formula parecer a primeira vista intratavel, esperamos convencer o leitor da sua eci^encia e simplicidade para as aplicac~oes.

2.6 Contribuic~ao de pontos xos

Seja X uma T-variedade n~ao singular e F  XT uma componente conexa

(=irredutvel) do lugar dos pontos xos. Escreva dF = codim(F).

As classes de Chern T-equivariantes cTk(EjF) e cTd F(

NF=X) podem ser

cal-culadas no anel de Chow equivariante AT

(F) em termos dos caracteres que

comparecem na decomposic~ao deEjF e

NF=X em auto-subbrados e das

clas-ses de Chern destes ultimos.

2.6.1 Pontos xos isolados

Quando XT _{e um conjunto nito de pontos, as classes}

cTk(EjF) e cTd F(

NF=X) =cTdim(X)(X)

podem ser descritas puramente em termos dos caracteres associados aos auto-brados. De maneira mais precisa, feita a decomposic~ao EjF =

L

EjF em

auto-espacos, por conta de 2.2.2 conhecemos as classes de Chern equivariantes de cada somando, cTk(E jF) =  r k  k_{; r = posto de E} jF: (2.6.1.1)

Note que, na express~ao acima, k _{siginica o k-iterado do operador primeira}

classe de Chern introduzido em (1.7.1.1). Em particular, conclumos que cTmax(EjF) e representada no anel de Chow equivariante do ponto xo F pelo

produto de todos os caracteres que aparecem da decomposic~ao da bra EjF

2.6 Contribuic~ao de pontos xos

31

esta sendo considerado como atuando no anel equivariante, de acordo com (1.7.1.1). Veja o exemplo 2.6.4.

Vamos explicitar a passagem de RT = Z[t] para RT = (R+T) 1(RT) = Q[t;t 1]; no caso em que T =C

, um toro unidimensional.

No lado direito da formula de Bott (2.5.1.1), o numerador pT_(E

jF) e um

polin^omio homog^eneo de grau n = dimX nas variaveis que s~ao os caracteres que ocorrem na decomposic~ao em auto-subbrados. Tipicamente, suponha que o polin^omio original contem um termo igual a cn 2₁

c2, enquanto que,

digamos, EjF = 21 + 2. Temos assim cT1(EjF) = 21 + 2, o lado direito

agora com o signicado de (1.7.1.1). Analogamente,cT2(EjF) = 21+ 21
2.

Aquele termo fornece por m, o operador de grau n dado por (21+ 2)n 2

(21 + 21
2). No caso em tela, cada caracter e da forma i = ta i; a

i 2 Z.

O operador induzido em RT e ai
t, perd~ao pelo abuso, cf. (1.8.0.1) onde

desta vez t signica classe hiperplana! O referido termo ganha a forma nal (2a1+a2)n 2
(a21+ 2a1
a2)
tn2RT.

Ou seja, o numerador e o denominador no lado direito de (2.5.1.1) s~ao multiplos inteiros de tn_{. Cancelando, obtemos assim um numero racional.}

Portanto, o lado direito de (2.5.1.1) e uma soma nita de numeros racionais obtidos a partir dos pesos como descrito em (2.6.1.1).

Mais precisamente, denote por 1(E;F);:::;r(E;F) os pesos que ocorrem

na decomposic~ao de EjF em auto-subbrados, e para cada inteiro k

0, seja

k(E;F) a k-esima func~ao simetrica elementar desses pesos. Temos ent~ao os

corolarios seguintes.

2.6.2 Corolario.

Nas notac~oes acima, cada classe de Chern equivariante

cTk(EjF) e representada no anel de Chow equivariante do ponto xo F por

k(E;F). 2

2.6.3 Corolario.

A classe de Chern equivariante maxima do brado tangente de X e dada no anel de Chow equivariante de um ponto xo F pelo produto dos pesos que ocorrem na decomposic~ao da bra respectiva. 2

No proximo captulo mostraremos de forma explcita como aplicar a formula de Bott em geometria enumerativa. No momento, vamos usar o resultado acima para calcular o numero de zeros de um campo vetorial emPn.

2.6.4 Zeros de campos vetoriais em

Pn

Escrevamos F = hx0;:::;xni para o espaco vetorial das formas lineares

32

O teorema de localizac~ao de T = C

 dada por t

xi = tixi. V^e-se facilmente que o conjunto dos pontos

xos emPne formado pelos n + 1 pontos unitarios

P0 = [1;0;:::;0];:::;Pn= [0;:::;0;1]:

SejaA o subbrado do brado vetorial trivialF cuja bra sobre cada P 2Pn

e o espaco das formas lineares que se anulam no pontoP. O brado tangente admite a express~ao (cf. [19],p.200)  Pn=A _ F  A: (2.6.4.1)

A bra sobre, digamosP0, e dada, com notac~ao evidente, por hx1;:::;xni

_

hx0i:

Logo, a decomposic~ao do espaco tangente em auto-espacos pode ser descrita simbolicamente por P 0 Pn= (t 1₊


+t n)
t 0_=t 1 ₊


+t n:

(Usamos aqui a propriedade de que o peso do dual (resp. de um produto tensorial) e::: ) O produto dos caracteres que comparecem na decomposic~ao fornece

cTn(P 0

P

n_{) = ( 1)}n_n!tn_;

o termo tn _{agora signicando n-iterados de classes hiperplanas.}

Sabe-se que, sob condic~oes convenientes de regularidade, a classe, no grupo de Chow usual, dos zeros de uma sec~ao de um brado vetorial representa a classe de Chern maxima desse brado. Em particular, se os zeros de um campo vetorial em Pn s~ao isolados, ent~ao

R

cn( Pn)\[Pn] fornece o numero desses

zeros (com multiplicidades).

Na formula de Bott (2.5.1.1) aplicada a presente situac~ao, guram no lado direiton + 1 parcelas, todas iguais iguais a 1!

De fato, cada componente F se reduz a um ponto Pi, de maneira que o

homomorsmo de integrac~ao F :

RT ! RT e a identidade. O

numera-dor e denominanumera-dor das frac~oes que ocorrem la s~ao ambos iguais a cTn( P n jP

i).

Recuperamos assim o fato de que o numero de zeros vale n + 1.

Evidentemente, o mesmo argumento mostra que, em geral, se X e uma variedade lisa completa munida de uma C

-ac~ao com exatamente N pontos

xos isolados, ent~ao a caracterstica de Euler de X vale R

Xcn(X) = N. O

subgrupo a 1-par^ametro induz, por diferenciac~ao, um campo vetorial X ! X, x7! d

dt(tx)

jt=1, cujo lugar dos zeros e precisamenteX T_.

Captulo 3

Aplicac~oes a geometria

enumerativa

Nosso objetivo nesses dois captulos nais e dar uma ideia da utilidade da formula de resduos de Bott para calcular alguns numeros caractersticos.

Comecaremos com exemplos simples que certamente poderiam ser trata-dos de maneira mais elementar e econ^omica do que a aqui exposta. Os dois primeiros servir~ao de modelo para o entendimento computacional.

3.1 Duas retas em

P2

Talvez um dos problemas mais simples e instrutivos seja contar o numero de pontos na intersec~ao de duas retas genericas do plano projetivo P2. O leitor

percebera rapidamente que a resposta a nossa pergunta e um:::

Agora que ja conhecemos de antem~ao o tamanho da resposta, podemos complicar um pouco a discuss~ao e fazer as contas no anel de Chow usual,

A( P 2_{) =} Z[h]=hh 3 i onde h = c1(O P

2(1)) representa classe de uma reta de P

2_{. Analogamente, h}2

e a classe de um ponto. Lembrando que o produto e induzido por intersec~ao, v^e-se logo que estamos interessados em calcular o grau

Z

c1(O P

2(1))2:

Nossa intimidade com o anel de Chow de P2 e suciente para proclamar que

34

Aplicac~oes enumerativas I Mas o que interessa aqui, para ns de ilustrac~ao da formula de Bott, e apenas saber que o ciclo que traduz a presente quest~ao geometrica se expressa como func~ao polinomial de classes de Chern de brados vetoriais equivariantes para uma ac~ao adequada de um toro.

3.1.1 Escolha do toro

Na pratica, basta considerarmos ac~oes deC

,i.e., subgrupos a 1-par^ametro

criteriosamente selecionados emT GL3, um toro maximal agindo

diagonal-mente sobre P2.

Escolher um subgrupo a 1-par^ametro C 

T e equivalente a escolher um

ponto (w0;w1;w2) no reticulado de pesos Hom(C

;T) = Z

3_{. Os caracteres}

associados a ac~ao diagonal de C

 s~ao dados por 

i =twi.

Vamos assim renomear doravante T = C

, toro unidimensional agindo em P2 de modo que as coordenadas homog^eneas x0;x1;x2 s~ao auto-vetores com

pesos w0;w1;w2, ou seja, txi =t wi
xi para todo t 2C  : O lugar dos pontos xos desta C

-ac~ao e dado pelo sistema de equac~oes

x0 =tw0
x0 ;x1 =tw 1
x1 ;x2 =tw 2
x2 ; 8t2C :

Este sistema tera como conjunto-soluc~ao

F = f[1;0;0]; [0;1;0]; [0;0;1]gP 2_;

desde que os wi 's sejam escolhidos todos distintos, hipotese desde ja

incorpo-rada.

Vamos inicialmente aplicar a vers~ao da formula de resduos no caso em que o lugar dos pontos xos e um conjunto nitoF e a localizac~ao do anel de Chow equivariante de um ponto (1.4.1.1) eRT =Q[t;t 1].

3.1.2 Decomposic~ao em auto-subbrados

Lembramos que cadaT-brado vetorial E restrito ao lugar dos pontos xos decomp~oe-se canonicamente em uma soma direta de subbradosL

E, onde

E _{denota o auto-subbrado deE em que a ac~ao e dada pelo caracter .}

No caso em quest~ao, examinaremos as decomposic~oes de  P2 e O P

2(1).

Este ultimo e o brado em retas obtido pelo quociente do brado trivial

F =hx0;x1;x2i das formas lineares de P2, pelo subbrado A das formas que

se anulam em cada ponto. Lembrando (2.6.4.1), temos

 P 2_{= Hom(} A;O P 2(1)) =A _ O P 2(1):

3.2 Duas retas emP2, bis

35

3.1.3 As classes de Chern

Deste modo, devemos estudar os pesos das representac~oes induzidas nas brasEP paraE =O

P

2(1) eE =P2, em cada ponto xoP. Feito isto, cada

classe de Chern cTk(EP) sera representada, no anel de Chow C

-equivariante

do pontoP, pela k-esima pot^encia do caracter , para k rk(E), cf. (2.6.2).

No ponto xo P = [1;0;0], temos AP =hx1;x2i. Portanto, com notac~ao

evidente, temosO P

2(1)P =hx0;x1;x2i=hx1;x2i=hx0i. Aqui o peso vale w0.

Enquanto isto, PP 2₌ A _ P O P 2(1)P =hx1;x2i _ hx0i

decomp~oe-se como soma direta de auto-espacos de dimens~ao 1 com a C

-ac~ao

dada pelos caracteres tw0 w1 e tw0 w2. Os respectivos pesos s~ao w

0 w1 e

w0 w2.

Logo, a classe cT2( P2P) e representada pelo peso (w0 w1)
(w0 w2) no anel

de Chow AT

(P) do ponto xo P = [1;0;0]. Analogamente, podemos ver que

cT2(PP2) e representada pelo pesos

(w1 w0)
(w1 w2) em [0;1;0] e (w2 w0)
(w2 w1) em [0;0;1]:

Os pesos de O P

2(1) nos pontos xos [0;1;0] e [0;0;1] s~ao w1 e w2.

Por m, aplicamos a formula de resduos e obtemos a incrvel identidade

Z P 2 c1(O P 2(1))2 = X P2F Z [P] cT1 (O P 2(1)P)2 \[P]T cT2( P2P) =_{(w0 w1):(w}w20 _{0 w2)+(w1 w0):(w}w21 _{1 w2)+(w2 w0}w_):(w22 _{2 w1)} 1!!! " [1;0;0] " [0;1;0] " [0;0;1]

3.2 Duas retas em

P2

, bis

Exemplicaremos agora a aplicac~ao da formula no caso em que o conjunto dos pontos xos e innito. Isto ocorre de fato no tratamento das curvas can^onicas de P3, bem como no celebrado artigo de M. Kontsevich [24], de sorte que

julgamos interessante dar alguns detalhes num caso geometricamente mais simples, cuja resposta ja caiu do ceu.

36

Aplicac~oes enumerativas I Novamente consideramos T = C

 agindo diagonalmente sobre

P2, com

pesos

w0 =w1 =a, w2=b6=a.

Ou seja, tx0=ta
x0; tx1 =ta
x1; tx2 =tb
x2; para todo t2C

. Logo, o

lugar dos pontos xos XT X consiste em duas componentes:  a reta ` dada por x2= 0, e

 o ponto P = [0;0;1].

No exemplo anterior, calculamos R P

2c1(

O(1))2 no caso em que XT e um

con-junto discreto. Agora, a formula de Bott (2.5.1.1) fornece

Z P 2 c1(O(1)) 2 ₌ Z ` cT1(O(1)`) 2 \[`]T cT1(N`= P 2) + Z P cT1(O(1)P) 2 \[P]T cT2(P(P2))

onde a segunda parcela ja sabemos calcular: w2_{2= (w2 w0)}

(w2 w1)

=b2_{=(b a)}2_:

Para determinar a contribuic~ao da componente ` =

P1, precisamos de

cT1(O(1)

j`) e cT1( N`=

P

2) no anel de Chow equivariante de `. TemosO P

2(1) j` = O`(1), auto-brado sobre ` de posto 1 com peso a. Em vista do lema 2.2.2,

segue cT₁₍ O`(1)) =h + at 2A T (`); onde AT (`) = A (`) RT comRT =Z[t] e A (`) = A( P1) =Z[h]=hh2i.

...

Atenc~ao!!!

Para o brado normal, muito emboraN`= P

2 e

O`(1) sejam isomorfos, n~ao o s~ao

comoT-brados: o peso desta vez e a b, e n~ao a, como no caso anterior! De fato, examinemos a sequ^encia natural,

P 1_, ! P 2 j` N`= P 2: Sabemos que  P1  = O P

1(2). Mas aqui o peso e trivial, ja que a ac~ao em

` e trivial. Para achar os pesos do termo central, para cada ponto Q = [;;0] 2 `, olhe para AQ = hx2;x0 x1i o espaco de formas lineares

associado. Sua decomposic~ao etb_+ta_{. A bra} QP2e dada porA _

QF=AQ,

3.3 As 27 retas

37

(2ta_+tb _tb _ta_{) = t}a b_{+ 1. Descontando o caracter trivial, 1, que vem de}  P1, conclumos que o peso emN`=

P

2ea b. Portanto, novamente por (2.2.2)

temos cT₁₍N`= P 2) =h + (a b)t: Resta calcular Z ` (h + at)2 h + (a b)t

Lembrando que (a b)t e inversvel em AT (`)

RT e usando o fato de que

h2 _{= 0, podemos escrever} h + (a b)t
1 = h (a b)t
(a b)2_t2

Da vem, (h + at)2 (h + (a b)t) = (h + at)(a b)2(h (a b)t)2_t2

Coletando o coeciente de h obtemos

Z ` (h + at)2 h + (a b)t = 2a(b a) + a(b a)2 2 = a 2 _2ab (b a)2

Por m, conra mais uma maneira bizarra de encontrar o numero 1:

Z P 2 c1(O(1)) 2 _{= a}2 2ab (b a)2 + b 2 (b a)2 = (b a) 2 (b a)2 = 1:

3.3 As 27 retas numa superfcie cubica

O proximo exemplo educativo sera calcular o numero de retas contidas em uma superfcie cubica generica S P3.

Sejamx0;x1;x2;x3 coordenadas homog^eneas emP3. Mais uma vezT =C 

age com peso (w0;w1;w2;w3), txi =tw i

xi, para todo t2C .

SejaF =hx0;x1;x2;x3io brado vetorial trivial das formas lineares deP3.

Denote por Gr(2;4) a variedade de Grassmann que parametriza as retas deP3, com sequ^encia tautologica

38

Aplicac~oes enumerativas I onde a bra de A sobre ` 2 Gr(2;4) e o subespaco bidimensional das formas

lineares que se anulam sobre a reta`.

A ac~ao do toro emP3induz naturalmente uma ac~ao emGr(2;4). Os mapas A ! F eF ! Q s~ao equivariantes.

Cada superfcie cubica S  P

3 _{e dada como zeros de uma sec~ao, s, do}

brado trivial pot^encia simetrica, S3F. Compondo com o mapa quociente S3F  S3Q, obtemos a sec~ao s : O ! S3Q sobre Gr(2;F). Verica-se

facilmente que, para cada reta `2Gr(2;F), a sec~aos se anula na braS3Q`

se e so se a superfcieS contem a reta `. Vemos que ciclo do lugar procurado em Gr(2;4) e dado pela classe de Chern maxima do brado S3Q. Ou seja, o

numero procurado e o grau

Z

Gr(2;4)c4(S3Q)

que passamos a calcular usando a formula de Bott.

Escolhendo os wi's distintos, o conjunto dos pontos xos F Gr(2;4) e

F =fhx0;x1i;hx0;x2i;hx0;x3i;hx1;x2i;hx1;x3i;hx2;x3ig

onde hxi;xjirepresenta a reta dada por xi =xj = 0.

Vamos estudar os pesos das representac~oes induzidas nas bras S3Q` e `Gr(2;4) para cada ponto xo l 2F.

Lembramos a identicac~ao do espaco tangente cf. [19],

Gr(2;4) =A _

Q:

Na bra sobre o ponto xo ` =hx0;x1i, temos `Gr(2;4) =hx0;x1i

_

(F=hx0;x1i):

Este espaco e gerado pelos auto-vetoresx2x _ 0;x2x _ 1;x3x _ 0;x3x _ 1 cujos

pesos valem w2 w0;w2 w1;w3 w0;w3 w1 respectivamente.

Assim a classe de Chern equivariante cT4(`Gr(2;4)) e representada pelo

peso

(w0 w2)
(w0 w3)
(w1 w2)
(w1 w3)

no anel de Chow C

-equivariante do ponto xo ` =

hx0;x1i2Gr(2;4).

Quanto aS3Q, sua bra sobre o ponto xo` = hx0;x1ie o espaco quociente

gerado pelas classes



x32; x22
x3; x2
x23; x33

com pesos respectivos