Lembre que temos um isomor smo natural AT
(X
T)'RTA (X
T);
pois a ac~ao de T em XT e trivial.
No que segue, descrevemos a vers~ao dada por M. Brion [6] do teorema de localizac~ao. O principal ponto nesta abordagem e dispensar a construc~ao de grupos de Chow de ordem superior, requerida em [10].
2.4.1 Lema.
Seja X um T-esquema a m. Seja Y uma subvariedade T-inva- riante. Se Y n~ao e xa ponto a ponto, ent~ao existe uma auto-func~ao regular f sobre X com peso n~ao trivial cuja restric~ao fjY6
= 0.
Demonstrac~ao. Tome y 2 Y fora de XT. Logo, existe t 2 T tal que ty 6=
y. O anel de coordenadas de X e gerado por auto-func~oes. Da existe uma auto-func~ao f, digamos associada ao caracter , que separa aqueles pontos: f(ty) 6=f(y). Logo, f(ty) = (t)f
(y)6= f(y). Isto implica de imediato
que f(y)6= 0 e (t)6= 1. 2
2.4.2 Lema.
Seja X um T-esquema a m. O lugar dos pontos xos XT Xe a intersec~ao dos zeros das auto-func~oes regulares sobre X com pesos n~ao triviais.
Demonstrac~ao. Seja x 2 XT, e seja f auto-func~ao regular com peso 6= 1.
Temosf(x) = f(tx) = (t)f(x); 8t2T. Logo, se (t)6= 1 ent~aof(x) = 0.
Reciprocamente, se x 62 XT, aplicamos o lema anterior com Y = X para
concluir que x n~ao e zero comum a todas as auto-func~oes mencionadas. 2
Podemos por m tratar do importante
2.4.3 Teorema de localizac~ao.
Seja X um T-espaco. Ent~ao o mapa RT-linear iT:A T (X T) =A (X T) RT !A T (X)
torna-se um isomor smo apos invertermos um numero nito de caracteres n~ao triviais.
Demonstrac~ao. Por hipotese geral, X pode ser coberta por abertos a ns T- invariantes,Xi, em numero nito.
26
O teorema de localizac~ao Cada lugar dos pontos xos XTi Xi e a intersec~ao dos zeros das func~oesregulares sobre Xi que s~ao auto-vetores da ac~ao de T sobre Xi com pesos
n~ao triviais, cf. lema anterior. Por quase-compacidade, podemos extrair uma intersec~ao nita. Ou seja, existe um conjunto nito de autofunc~oes ffijg com
pesos respectivos f ijg n~ao triviais, tal que x 2 Xi esta em XTi se e so se
fij(x) = 0; 8j.
Para provar que iT e sobrejetivo, usamos o teorema 1.2.3: o anel de Chow
usual de X e gerado pelos ciclos dados por subvariedades T-invariantes. Uma consequ^encia disto e o fato de que AT
(X) e gerado, como RT-modulo pelos
ciclos [Y T U] com Y X subvariedade T-invariante.
Seja agora Y X uma subvariedade T-invariante. Suponha que Y n~ao e
xa ponto a ponto por T. Ent~ao, algum dos fij de ne uma func~ao racional
sobre Y n~ao identicamente nula.
Esta func~ao racional pode ser pensada como uma sec~ao racional da imagem recproca do brado linear L
ij (1.6.1) pelo mapaY
T U !U=T, que ainda
denotaremos por L ij. Assim, ij[Y ]T =c1(L ij) [Y ]T = div T(fij) 2AT (X), o que implica [Y ]T = ij1divT(fij)2A T (X) RT[1= ij]:
Ora, o suporte de divT(fij) e de dimens~ao menor que dim(Y ) e e constitudo
por subvariedades invariantes. Por induc~ao noetheriana segue que, apos inver- termos um numero nito de ij's, o mapa induzido iT sera sobrejetivo.
Para mostrar a injetividade, note logo que se XT = X ent~ao iT
sera o
mapa identidade.
Portanto, podemos supor que X n~ao e xo ponto a ponto por T. Seja Y uma componente irredutvel de X que n~ao esta contida em XT. Escolha fij
como antes, ou seja, fijjY
6
= 0.
Denote porjDja uni~ao do suporte do divisor defijemY e das componentes
irredutveis de X que n~ao s~ao iguais a Y . Ent~ao, por construc~ao, jDj contem
todos os pontos xos de X pela ac~ao de T. Seja j : jDj ! X o mapa de
inclus~ao.
Considere o T- brado principal U !U=T dado pela de nic~ao-construc~ao
de grupos de Chow equivariantes, e seja L
ij o brado linear sobre U=T asso-
ciado ao peso ij. Seja p : X T U ! U=T o mapa de projec~ao. Temos um
pseudo-divisor sobre X T U (veja [15], 2.2),
( p L
ij; jDj
2.4 O teorema de localizac~ao
27
que de ne um mapa homog^eneo de grau 1j :AT (X) !A T ( jDj)
tal que a composic~aoj j
e a multiplicac~ao por ij. Examinando o diagrama,
AT (X T) =A (X T)RT iT ! AT (X) jj " j AT (X T =jDjT) ! AT ( jDj)
temos que o mapa j : A T (
jDj) ! AT
(X) e injetivo apos invertermos ij. E
conclumos a injetividade novamente por induc~ao noetheriana. 2
Lembremos que o anel equivariante de um ponto, RT = Z[t1;:::;tg], e
um anel de polin^omios. Seja R+T o sistema multiplicativo dos elementos ho- mog^eneos de grau positivo. De nimos o anel de frac~oes
RT = (R+T) 1
RT:
Assim, em RT (a imagem de) todos os caracteres n~ao triviais s~ao unidades.
Tiramos a seguinte consequ^encia.
2.4.4 Corolario.
O mapa i : A(X T)RT ! AT (X) RT e um isomor- smo. 22.4.5 Teorema (localizac~ao explcita).
Seja X uma T-variedade lisa. Seja 2A T(X)RT. Ent~ao =X F iF i F cTdF( NF=X) ;onde a soma e efetuada sobre as componentes de XT e dF e a codimens~ao de
F em X.
Demonstrac~ao. Da sobrejetividade garantida pelo Teorema de Localizac~ao, po- demos escrever =P
FiF( F). Como as componentes irredutveisF de X T
s~ao disjuntas, segue que i
F = i
FiF( F) pois as outras componentes de X T
n~ao contribuem para ciclos emF. A formula de auto-intersec~ao 1.5.4.1 nos da i FiF( F) =cTd F( NF=X) F; e portanto (2.3.3), F =i F =cTdF( NF=X) como queramos. 2
28
O teorema de localizac~ao2.4.6 Homomor smo de integrac~ao
Quando X e uma variedade com- pleta, a projec~ao X : X ! pt induz um mapa de imagem direta X:
AT (X)
! RT que e zero em ATi para i > 0, e provem do calculo do grau de
zero ciclos para i = 0. Tensorizando por RT , obtemos o homomor smo de
integrac~ao, X : A T (X) RT ! RT 7 ! R X :
Trocando X por F, componente de XT, temos um mapa similarF .
ApliquemosX em ambos os lados do teorema da localizac~ao explcita.
Usando o fato de que F =X iF
, obtemos o seguinte.
2.4.7 Corolario. (Formula de integrac~ao)
Seja X uma T-variedade lisa e completa e seja 2A T(X)Q. Ent~ao Z X = X FX T F i F cTdF( NF=X) ; como elemento de RT. 2O corolario anterior fornece uma formula de integrac~ao particularmente util para um elemento do grupo de Chow usualA0(X) do tipo imagemrecproca de
um elemento deAT0(X). Mais precisamente, considere o diagrama comutativo
X ,!i XT X U
X # 2 #TX #
pt ,!j U=T U
(2.4.7.1) onde os mapas horizontais da direita s~ao os mapas quocientes. Note que, por construc~ao do T- brado principal, a imagem inversa do ponto pt 2 U=T
em U e a orbita T u
= T para algum u 2 U. Por sua vez, a imagem
inversa em X U e X (T u). A imagem desta ultima subvariedade em
XT = (XU)
T e isomorfa a X. Como X e lisa, temos que i e um mergulho regular de codimens~ao d = dim(U=T). Lembrando a de nic~ao, vemos que i induz o homomor smo,
i :AT