3w2(2w2+w3)(w2+ 2w3)3w3
no anel de Chow C
-equivariante do ponto xo `.
De modo analogo, podemos encontrar os pesos nos outros cinco pontos xos e calcular, usando 2.5.1.1,
Z Gr(2;4)c4(S3Q) = X `2F Z [l] cT4(S3Q j`) cT4( `Gr(2;4)) = 9 w0(2w0+w1)(w0+ 2w1)w1 (w0 w2)(w0 w3)(w1 w2)(w1 w3) +9 w0 (2w0+w2)(w0+ 2w2)w2 (w0 w1)(w0 w3)(w2 w1)(w2 w3) +9 w0 (2w0+w3)(w0+ 2w3)w3 (w0 w1)(w0 w2)(w3 w0)(w3 w2) +9 w1 (2w1+w2)(w1+ 2w2)w2 (w1 w0)(w1 w3)(w2 w0)(w2 w3) +9 w1 (2w1+w3)(w1+ 2w3)w3 (w1 w0)(w1 w2)(w3 w0)(w3 w2) +9 w2(2w2+w3)(w2+ 2w3)w3 (w2 w0)(w2 w1)(w3 w0)(w3 w1)
Apos simpli carmos, ou substituirmos valores distintos para os wi's, (por
exemplow0 = 1;w1 = 0;w2 = 1;w3 = 2) obtemos
= 9(0 1=3 + 0 + 0 + 0 + 40=12) = 27:
Portanto, a superfcie cubica generica de P3 contem exatamente 27 retas.
3.4 As
81
c^onicas
Continuando o exemplo anterior, descreveremos agora o calculo do numero de c^onicas deP3 que est~ao contidas na superfcie cubica generica SP3 e incide
40
Aplicac~oes enumerativas I No exemplo anterior, a variedade de Grassmann, Gr(2;4), servia como espaco de par^ametros para a famlia das retas de P3. Ent~ao, antes de maisnada, precisamos construir um espaco de par^ametros para as c^onicas de P3.
Para tanto, seja P3 o espaco projetivo dos planos de P3, com sequ^encia
tautologica
0!O P
3( 1)
! F ! H!0
onde F e o espaco vetorial das formas lineares em P3. A bra O( 1)h F e
o subespaco dos multiplos de uma equac~ao de h2 P 3.
O brado vetorial E = S2H tem posto 6. Sua bra sobre h 2 P3 e o
espaco das formas quadraticas no plano h. Cada ponto do brado projetivo
P(E) corresponde a um par (h;) onde h2P
3representa um plano e
uma
c^onica de h. Assim, o brado projetivo P(E) e o espaco de par^ametros da
famlia das c^onicas de P3. Temos, por construc~ao, um diagrama de brados
vetoriais=P(E), A ,! S2F # # O E( 1) , ! E:
A bra de A sobre um ponto deP(E) que representa uma c^onica no plano
h e o espaco 5-dimensional das quadricas que cont^em.
3.4.1 Lema.
Seje S P3 uma superfcie cubica generica e sejam ` P3e p 2 P
3 reta e ponto xados. Sejam L;P;C
P(E) as subvariedades das
c^onicas incidentes a `, das c^onicas cujo plano suporte h passam por p e das c^onicas contidas em S. Ent~ao suas classes em A(
P(E))s~ao dadas por
[P] = c1(O P 3(1)) [L] = 2c1(O P 3(1)) +c1( O E(1)) [C] = c7(B)
onde B e o co-nucleo do mapa induzido por multiplicac~ao, AF ! S3F:
Demonstrac~ao. Seja O 3 ,
! F uma escolha de tr^es formas lineares indepen-
dentes que se anulam no ponto p. Temos o diagrama de brados sobre P3, O( 1)
# &s O
3
3.4 As 81 c^onicas
41
A sec~aos :O !OP
3(1) se anula na bra sobre h
2P3se e so se a equac~ao de
h, que e a imagem da seta vertical, esta no subespaco gerado pelas equac~oes dep, i.e., se e so se p2h. Ou seja, a classe procurada e dada por
[P] = c1(O P
3(1))
\[P(E)]:
Para determinar a classe [C] em A(
P(E)), seja 2 S3F uma equac~ao da
superfcie cubica S P3. Produzimos assim o seguinte diagrama de brados
sobre P(E),
O
# &
AF ! S3F ! B:
A sec~ao :O !B tem lugar dos zeros formado pelas c^onicas contidas emS.
Portanto, a classe procurada e dada por
[C] = c7(B)\[P(E)]:
Uma analise semelhante mostra que [L] = 2c1(O P 3(1))+c1( O E(1)) \[P(E)]: 2
Para o calculo utilizando a formula de Bott, escolhemos na T-ac~ao os pe- sos wi distintos. O conjunto dos pontos xos da ac~ao induzida F P(E)
e nito (#F = 4:6 = 24). Apesar deste numero ainda ser pequeno bas- tante para manipular, introduziremos aqui o metodo computacional que nos permitira resolver outros problemas em que a contagem manual seria quase impossvel, como nos exemplos do captulo nal. No ap^endice 2 (5.1) deixamos um programa fonte emmaplepara o calculo do grau de alguns zero-ciclos. O
programa foi adaptado pelo primeiro autor, baseando-se nas rotinas escritas por P. Meurer [26].
Obtemos em particular a seguinte tabela: 0-ciclo R P(E) [C][L] 81 [C][P] 27 [L]8 92 [L]7[P] 34 [L]6[P]2 8 [L]5 [P] 3 1
42
Aplicac~oes enumerativas I A tabela acima diz que, por exemplo, uma superfcie cubica generica S P3contemR
[C][L] = 81 c^onicas incidentes a uma reta ` em posic~ao geral.
Para ver isto de outro modo, lembramos que uma superfcie cubica generica de P3 e uma superfcie de Del Pezzo obtida pela explos~ao de P2 em 6 pontos
p1;:::;p6 em posic~ao geral, mergulhada emP
3 pelo sistema linear das cubicas
planas que passam pelos seis pontos. Quem tem familiaridade com esta des- cric~ao, ja viu alguma vez a contagem das 27 retas nesta superfcie (obtidas no exemplo anterior). Elas correspondem precisamente as seguintes con gurac~oes planas:
retas passando por 2 dos seis pontos =) 6 2
= 15 c^onicas passando por 5 dos seis pontos =)
6 5 = 6 divisores excepcionais =) 6 total = 27.
Um estudo analogo mostra que as 81 c^onicas s~ao as seguintes. Primeiro, note que l \S e formado por 3 pontos q1;q2;q3 cujas imagens em P2 ser~ao
denotadas pelas mesmas letras.
retas passando por algum pi e algumqj =) 63 = 18
c^onicas passando por 4 dos pi's e por algumqj =) 6 4
3 = 45
cubicas passando por 5 dos pi's, singulares
no sexto ponto e passando em algum dos qj =) 6:3 = 18
Captulo 4
Aplicac~oes enumerativas II
As sec~oes seguintes divulgam aplicac~oes da formula de Bott em trabalhos re- centes, que descrevem compacti cac~oes lisas de espacos de par^ametros de al- gumas famlias de variedades projetivas (cf. os artigos [1],[2],[3], [29], [30]), [34] e [33]). O ponto a destacar aqui e que a aplicac~ao da formula de Bott essencialmente trivializa as di culdades para a descric~ao do anel de Chow dos espacos de par^ametros empregados.
4.1 Cubicas reversas na quntica
Descreveremos o calculo do numero de cubicas reversas contidas em uma hipersuperfcie quntica generica S P4. Esta quest~ao teve enorme im-
port^ancia historica desde o artigo pioneiro de Clemens [7]. A resposta foi encontrada por fsicos teoricos no contexto de teoria das cordas. A primeira con rmac~ao matematica e devida a Ellingsrud e Str mme [13].
A abordagem inicial da dupla norueguesa teve como objetivo calcular o numero em quest~ao por intermedio do anel de Chow da componente H do es-
quema de Hilbert de cubicas reversas. Curiosamente, o primeiro resultado que anunciaram divergia do publicado pelos fsicos. Descobriram um erro de com- putac~ao na rotina empregada pelos matematicos! Ao menos em parte gracas a isto, desenvolveu-se uma intensa atividade para se compreender os aspectos matematicos das teorias fsicas. Veja o livro de D. A. Cox & S. Katz [8].
Vamos expor o calculo, empregando a formula de Bott na variedade in- vestigada na tese de doutorado de Fernando Xavier [34], [33]. Ele constroi uma compacti cac~ao lisa do espaco das cubicas reversas que dispensa o uso
44
Aplicac~oes enumerativas II da teoria geometrica dos invariantes, peca central em [12].4.1.1 Ideia da compacti cac~ao
Comecemos lembrando que uma cubica reversa e a imagem do mapaP1 ! P3
[u;v] 7! [u3;u2v;uv2;v3]
para uma escolha adequada de coordenadas homog^eneas.
A ideia principal da construc~ao repousa no seguinte fato elementar: por um ponto o2 P
3 fora de uma cubica reversa C passa uma unica reta ` que e
bissecante (possivelmentetangente) aC. A con gurac~ao l[C e uma intersec~ao
completa de um feixe de quadricas.
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o C `
Uma compacti cac~ao do espaco das cubicas reversas que n~ao passam por um ponto o2P3e construda simplesmenterevertendo o processo: para cada reta
xa `, toma-se um feixe = hq1;q2i formado por quadricas que cont^em esta
reta. Produz-se assim, ao menos genericamente, uma cubica reversa residual. O detalhe agora e como contornar a indeterminac~ao da cubica, no caso de feixes especiais, ou seja, como garantir uma famlia completa de cubicas reversas.
Isto e feito por etapas. Primeiro associa-se a cada par (`;) como acima, uma redede quadricas(`;) =hq1;q2;q3i, as quais, ao menos genericamente,
s~ao as equac~oes da cubica reversa residual. Em seguida, resolve-se o lugar de indeterminac~ao do mapa racional . A famlia de redes de quadricas assim construda ainda n~ao basta para completar a famlia de cubicas reversas, pois e bem sabido que ha degenerac~oes que requerem equac~oes cubicas. A etapa nal consiste em resolver o lugar de indeterminac~ao do mapa racional que associa a cada rede do tipo acima, um sistema 10-dimensional de cubicas.
4.1 Cubicas reversas na quntica
45
4.1.2 Primeira etapa
Precisamos introduzir a notac~ao seguinte: X =8 <
:
`P3 denota uma reta e
(`;) =hq1;q2ie um feixe de
quadricas que cont^em`
9 =
;
A projec~ao (`;) 7! ` exibe X como uma brac~ao sobre a grassmanniana
Gr(2;4) de retas em P
3, com bra a variedade de Grassmann Gr(2;7) de
feixes de quadricas que cont^em `.
Temos evidentemente dimX = 4 + 10, enquanto que a famlia de cubicas reversas e de dimens~ao 12. O excesso de 2 se deve as12 retas bi-secantes que
acompanham cada cubica reversa. Oportunamente cortaremos o excesso, res- tringindo a famlia a subvariedade de Schubert emGr(2;4) de retas passando por um ponto o2P
3, xado de uma vez por todas.
Dado um par (`;) 2 X como acima, vamos de incio explicitar a rede hq1;q2;q3i de quadricas cujo lugar de base e igual a cubica reversa residual, ao
menos genericamente. Concretamente, se a reta ` e dada por formas lineares l1;l2, temosqi = i1l1+ i2l2; i = 1;2, onde os ij denotam formas lineares. A
terceira quadrica deve se anular onde q1 =q2 = 0, fora de `. Isto sugere fazer
q3 = 11 22 21 12. Obtemos assim um mapa racional X ! Gr(3;10)
da variedadeX, na grassmanniana de redes de quadricas. Seu lugar de inde- terminac~ao e uma variedade n~ao singular Y9 X, formada pelos pares (`;)
onde e um feixe de quadricas com uma componente xa h `; a parte
movel de de ne uma reta, denotada por na gura abaixo. Destacamos outra subvariedade n~ao singular Y7 X, formada ainda por pares (`;) onde
e um feixe de quadricas com uma componente xa h; agora a parte movel de contem a reta distinguida `. Con ra as guras.
Y9 := 8 > > > > < > > > > : @ @ @ ` h 9 > > > > = > > > > ; ; Y7 := 8 > > < > > : h ` 9 > > = > > ;
Explodindo Y9 X, obtemos uma variedade n~ao singular X
0 munida de um
sub brado AS2F de posto 3, junto com um mapa
: X0
46
Aplicac~oes enumerativas II4.1.3 Produc~ao de cubicas
Seja F o espaco vetorial das formas lineares nas variaveis x1;x2;x3;x4.
O mapa de multiplicac~ao A F ! S3F tem posto generico 10. Isto nos
permite construir um mapa racional : X0
! Gr(3;S3F). O lugar de
indeterminac~ao e o subesquema de FittingY0
X
0 de nido localmente pelos
menores 1010 de uma representac~ao local do nosso mapa de multiplicac~ao.
Veri ca-se queY0e uni~ao de duas componentes lisas Y0 7 e Y0
8, cujos elementos
correspondem as con gurac~oes desenhadas abaixo. Y0 7 := 8 > > < > > : ? p h `= 9 > > = > > ; ; Y0 8 := 8 > < > : ` @ @ @ ? p o h 9 > = > ; A subvariedadeY0
7 e o transformado estrito deY7; e isomorfa a explos~ao de
Gr(2;4)P3ao longo da subvariedade de incid^encia, formada pelos pares (`;h)
com a reta ` contida no plano h. Assim, o ponto p2 h\` esta sempre bem
de nido. A subvariedade Y0
8 parametriza as con gurac~oes (p2h`). A
intersec~ao Y0 7 \Y
0
8 e isomorfa a variedade de bandeiras p2`h.
4.1.4 Explos~oes nais
Explodimos primeiro Y0 7 em X0, produzindo X00 ! X 0. O transformado estrito Y00 8 X00 ganha o privilegio de que, agora, o ponto o
2 `\ e bem
de nido. Por m, a compacti cac~ao desejada sera X000, a explos~ao de X00 ao
longo de Y00 8 .
A subvariedade deX000que se projeta sobreY consiste em 3 hipersuperfcies
n~ao singulares E000 1 ;E000
2 ;E000
3 que intersectam-se transversalmente e cujos mem-
bros genericos s~ao dados pelas seguintes con gurac~oes, E000 1 := 8 > < > : @ @ @ h `
...
...
...
9 > = > ; ;E000 2 := 8 > < > :......
...
...
.. . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . ... . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . ... . . . . . ... . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . ... . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . .. . . . . . . ... . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . ? h C `= 9 > = > ; ;E000 3 := 8 > < > :...
...
...
...
. . ... . .. . .. .. . .. . .. . . . .. . . . . . ... ... .. ... ... .. . .. .. . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . .. . .. . .. . .. . . . . . . .. . .. . . . . . .. ... ... .. . .. . .. ... .. . . ... ... . . . . . ... ... ... . . . . . . . . . . . . .. . . . . .... . ... . .... . ... . .. .... . .... .... . .. ... . . .. .... ... ... . ... ... . ... . . . . ... . .... . ... ... . .. .... ... .... ... .... . .... .... ... . . . . ... .... ... . . . . ... . .... ... ... . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . ... .. . . . . . .. . . . ... . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . ... . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . o h ` 9 > = > ; : Na primeira, temos a uni~ao de uma c^onica e uma reta incidente. Nas duas ultimas, temos uma cubica plana C singular, com um ponto imerso ? 2\h.4.1.5 Passagem a
P 4Aplicaremos a formula de resduos de Bott em um espaco de par^ametrosX 000
para o espaco de cubicas reversas de P4. Ele e obtido repetindo a construc~ao
anterior, fazendo agora P3 variar na famlia de hiperplanos h
4.1 Cubicas reversas na quntica
47
Temos de incio uma brac~ao X ! P4 com bra sobre cada h 2 P4 avariedade X acima descrita. Esta brac~ao se fatora X ! G ! P4 pela
brac~ao em grassmannianas G !P4, com bra Gh
= Gr(2;4), a variedade das retas contidas em h = P3. Os brados tautologicos sobre P4 e G de que
faremos uso ser~ao denotados por
H,!C 5;
HQ: (4.1.5.1)
Aqui a bra Hh e o subespaco de C5 correspondente a h e a bra Q(`;h) e o
espaco quociente de Hh pelo subespaco (de dimens~ao 2) correspondente a reta
`h.
Efetua-se uma sequ^encia de explos~oes
X 000 ! X 00 ! X 0 ! X
com centros variedades bradas sobre P4, de sorte que, bra a bra, tem-se exa-
tamente a situac~ao feita anteriormente. Notemos em particular as subvarieda- desY9+4;Y11Xcom bras respectivasY9;Y7, bem comoY
0= Y 0 11[Y 0 12X 0 e Y 00 12X
00, alem dos divisores excepcionais E
000 i .
Salientamos que X
000 e uma variedade projetiva lisa, de dimens~ao 18, cuja
bra sobre cada h 2P4e isomorfa a variedade X
000 da subsec~ao anterior. Um
ponto geral de X
000, fora dos divisores excepcionais, pode ser pensado como
uma terna (h;`;) onde h denota um hiperplano de P4, a reta ` esta contida
emh e representa um feixe de quadricas de h e que cont^em `.
Seja agora F =hx1;x2;x3;x4;x5i, espaco das formas lineares nas coorde-
nadas homog^eneas de P
4. Por construc~ao, X
000 esta munido de um sub brado
vetorial C S3F. Cada bra de C e um sistema linear de cubicas em P4,
com lugar de base uma curva cubica reversa de P4. Temos igualmente um
sub brado vetorial de S5F, de posto 4+5
4
(5 3 + 1) = 110, imagem do
mapa natural C S2F ! S5F. De na o brado E como o co-nucleo deste
ultimo mapa. Temos assim
S5F E: (4.1.5.2)
Note que postoE=16. Como no caso das 27 retas (3.3), conclumos que, para
cada hipersuperfcie quntica de P4, dada por uma sec~ao de S5F, a sec~ao
induzida de E se anula exatamente no lugar emX
000 formado por pontos cuja
48
Aplicac~oes enumerativas II4.1.6 Teorema.
O numero de cubicas reversas de P4 contidas em uma hiper-superfcie quntica generica de P4 e dado pelo grau Z
X 000
c16(E)c2(Q)
onde Q e o brado quociente (4.1.5.1).
Demonstrac~ao. Limitamo-nos a justi car o fator c2(Q), responsavel pelo corte
do excesso de duas dimens~oes deX
000com respeito a efetiva dimens~ao (dezesseis)
da famlia de cubicas reversas em P
4. Seja
W o lugar dos zeros da sec~ao do
brado E acima descrita. Temos que W consiste em um certo numero, N,
de subvariedades disjuntas, de dimens~ao 2, todas situadas no complementar dos divisores excepcionais e cada uma contida numa bra de X
000 r S E 000 i = Xr S
Yi sobre P4 (cf. observac~ao abaixo). Seja Z W uma dessas N
componentes e seja h=
P3 o hiperplano correspondente. Esta variedade Z Xh mapeia isomor camente sobre a superfcie de Gr(2;4), ainda denotada
por Z, que parametriza as cordas (i.e., bi-secantes) de uma cubica reversa. Seja : Gr(2;4) ,! G a inclus~ao na bra de G sobre h. A ac~ao natural
de Aut(P
4) permuta essas variedades de cordas, resultando a igualdade de
ciclos, [W] =N
[Z] em A2(
G). Para determinarN, basta intersectar com
um ciclo de codimens~ao 2 conveniente. Aqui entra c2(Q). Podemos escrever
c2(Q)\
[Z] = ( c
2(Q)\[Z]) e fazer esta ultima conta na bra Gr(2;4).
Agora e facil se convencer de que R
Gr(2;4)c
2(Q)\[Z] e o numero de cordas
passando por um ponto geral emP3.
2
4.1.7 Observac~ao.
O lugar dos zeros, W, descrito na demonstrac~ao acimae imagem recproca do lugar dos zeros de uma sec~ao de um brado similar construdo sobre a componente H do esquema de Hilbert. Sabe-se que, para
uma escolha da quntica su cientemente geral, este lugar de zeros e formado por um numero nito de pontos emH, correspondentes a cubicas reversas n~ao
degeneradas e n~ao contidas em um mesmoP3P4(cf. [23]). Logo, a imagem
inversa de tal ponto para X
000habita de fato em
X(fora do centro de explos~ao)
e se identi ca com a superfcie de cordas mencionada.
4.1.8 Aplicando Bott
Voltamos a enfatizar que, embora factvel, o calculo do grau em 4.1.6 por meio da explicitac~ao da estrutura do anel de Chow de X
4.1 Cubicas reversas na quntica
49
selhavel! O emprego da formula de Bott permite efetuar esse calculo sem dor.Como nos casos anteriores, partimos de uma ac~ao diagonal de T = C ,
com os pesos (w1;w2;w3;w4;w5) distintos. Examinaremos os pontos xos das
ac~oes induzidas em cada uma das variedades consideradas, de P 4 ate
X 000.
O conjunto dos pontos xos em P4eF = fx1;x2;x3;x4;x5g. Vamos estudar
as bras sobre cada um destes 3-planos.
Para x5 = 0, comecemos pelo espaco tangente x 5
P 4= (
F=hx5i)hx5i _.
Do ponto de vista computacional, dado umT- brado vetorial E, sera con- veniente passarmos a escrever sua express~ao como soma de auto-sub brados,
E =L
E ; na forma \simpli cada": E = :
No presente caso, temos, x 5
P4= 1= 5+ 2= 5 + 3= 5+ 3= 5.
Simpli caremos mais ainda, escrevendo a partir de agora, a menos de con- fus~ao de letras, F =x1+x2+x3+x4+x5, ondexi lembra tanto o funcional
que e um auto-vetor quanto o caracter i a ele associado.
Similarmente, reescrevemos x 5 P4= (F=hx5i)hx5i _= ((x1+x2+x3+x4+x5) x5)(x5) 1 = x1=x5+x2=x5 +x3=x5+x4=x5: Vejamos a bra de X 000 sobre o 3-plano x
5 = 0, tendo em conta a construc~ao X 000 ! X 00 ! X 0 ! X! G ! P 4: Comecamospela braGx
5 =Gr(2;4) da grassmanniana de retas deste 3-plano.
A ac~ao neste Gr(2;4) tem como pontos xos
F2 =fhx1;x2i;hx1;x3i;hx1;x4i;hx2;x3i;hx2;x4i;hx3;x4ig
onde hxi;xji representa a reta xi =xj = 0 no 3-plano x5 = 0. Por exemplo,
no ponto xo hx1;x2i temos hx 1;x2 i Gx 5 = (x1+x2+x3+x4)=(x1+x2) hx1;x2i _= (x1+x2+x3+x4) (x1+x2) ((x1) 1+ (x2) 1) = x3=x1+x4=x1 +x3=x2+x4=x2:
A bra deXsobre o ponto que representa a retahx1;x2ie a grassmanniana
50
Aplicac~oes enumerativas II que cont^em a reta distinguida` =hx1;x2i. Podemos escrever a decomposic~aoem auto-espacos
Q(`) =x21+x1x2+x1x3+x1x4+x 2
2+x2x3+x2x4:
Segue queGr(2;Q(`)) tem como conjunto de pontos xos
F3=fhxixj;xrxsij 1ir2;j;s=1::4;ij;rs exixj 6=xrxsg:
Neste ponto lembramos que o primeiro centro de explos~ao, Y13, tem como
bra sobre hx1;x2i a variedade P(hx1i+hx2i)Gx
5. V^e-se que Y13\F3 =fhxixj;xixki ji = 1;2; 1 j < k4g:
Por outro lado, a bra deY11sobrehx1;x2ie a variedadeP(F=hx5i). Temos
assim Y11\F3 =fhx 2 1;x1x2i;hx1x2;x 2 2i;hx1x3;x2x3i;hx1x4;x2x4ig Y13\Y11\F3 =fhx 2 1;x1x2i;hx1x2;x 2 2ig
Ent~ao, F3 tem 21 pontos xos dos quais 12 est~ao emY13\F3 e 2 est~ao em
(Y11rY13)\F3.
E necessario conhecer as bras de X
000 em cada um dos pontos xos para
que possamos aplicar a formula de resduos de Bott. Como X
000 e a explos~ao de
X ao longo de centros que se projetam em Y13[Y11, temos que X
000 =
Xrestrito a X (Y13[Y11).
Conclumos que o espaco tangente pode ser calculado ainda em Xpara
cada um dos 7 pontos xos
hx 2 1;x22i;hx 2 1;x2x3i;hx 2 1;x2 x4i;hx1x3;x 2 2i; hx1x4;x 2 2i;hx1x3;x2x4i;hx1x4;x2x3i
Assim, por exemplo, no ponto xohx21;x22i, temos hx 2 1;x 2 2 iGr(2;Q hx 1;x2 i) = (Qhx 1;x2 i= hx21;x22i)hx21;x22i _ = ((x21+x1 x2+x1x3+x1x4+x 2 2+x2x3+x2x4) (x 2 1+x22))((x 2 1) 1+(x22) 1) =x2=x1+x3=x1+x4=x1 +x3=x2+x4=x2+x1=x2 +x2x3=x21+x2x4=x21+x1x3=x22+x1x4=x22
4.1 Cubicas reversas na quntica
51
e portanto, somando tangentes de bra e base,(x 5; hx 1;x2 i;hx 2 1;x 2 2 i) X= x1=x5+x2=x5+x3=x5+x4=x5+x1=x2 +x2=x1 + 2x3=x1+ 2x4=x1+ 2x3=x2+ 2x4=x2 +x2x3=x21+x2x4=x21 +x1x3=x22+x1x4=x22:
O termo 2 xi=xj signi ca que na decomposic~ao existem dois auto-vetores
independentes com caracter xi=xj.
Lembramos que o divisor excepcional E 0 1 X 0 da explos~ao de Xao longo deY13e o projetivizadoP(N Y 13= X) do brado normal N Y 13= X. Este ultimo e o
quociente X= Y13. Assim, sobre cada ponto xo P 2 Y13, a bra E 0 1(P) e o espaco projetivoP(N Y 13= X(P)).
Se na decomposic~ao do espaco normalN Y
13=
X(P)os caracteres forem distin-
tos, ent~ao emP(N Y
13=
X(P)) havera so um numero nito de pontos xos sobre
o ponto xo P 2Y13, a saber, a dimens~ao de N Y
13= X(P),.
Podemos calcular os espacos normais para os seguintes pontos xos sobre o ponto que representa a reta hx1;x2i no 3-plano x5 = 0,
hx 2 1;x1x2i;hx 2 1;x1x3i;hx 2 1;x1 x4i;hx1x2;x1x3i; hx1x2;x1x4i;hx1 x3;x1x4i;hx1 x2;x 2 2i;hx1x2;x2x3i; hx1x2;x2x4i;hx 2 2;x2x3i;hx 2 2;x2x4i;hx2x3;x2x4i:
Por exemplo, para o ponto xohx21;x1x2i que pertence aY13\Y11temos N Y 13= X(hx 2 1;x 1 x 2 i) = x2=x1+ 2x3=x1+ 2x4=x1+x22=x21 +x2x3=x21+x2x4=x21+x3=x2+x4=x2 x2=x1+x3=x1+x4=x1 +x3=x2+x4=x2 =x3=x1+x4=x1+x22=x21+x2x3=x21+x2x4=x21:
Para o ponto xo hx1x3;x1x4i que esta emY13rY11temos N Y 13= X(hx 1 x 3;x1 x 4 i) = 0 @ 2x2=x1+x1=x3+x2=x3+x1=x4 +x2=x4+x22=(x1x3) +x22=(x1x4) +x2x4=(x1x3) +x2x3=(x1x4) 1 A x2=x1+x1=x3+x1=x4+x2=x3 +x2=x4 =x2=x1+x22=(x1x3) +x2x4=(x1x3) +x 2 2=(x1x4) +x2x3=(x1x4):
52
Aplicac~oes enumerativas II Calculando nos outros 10 pontos, veri camos que, de fato, aC-ac~ao induzida
emX
0tem um numero nito de pontos xos.
Vamos agora tratar de entender o espaco tangente P 0
X
0 num ponto xo
P0 do divisor excepcional, na bra sobre P
2Y13.
Este espaco e dado pela decomposic~ao
P 0 X 0= LP 0 PY13 [ L P 0] P(N Y 13= X(P))
ondeLP0 e a reta representada pelo pontoP
0no espaco projetivo P(N
Y 13=
X(P)).
Assim, por exemplo, sobre o ponto xo hx21;x1x2i pertencente a Y13 para
o qual ja obtivemos a express~ao
N Y
13=
X(P)=x3=x1 +x4=x1+x22=x21+x2
x3=x21+x2x4=x21:,
segue que temos 5 pontos xos, um para cada auto-espaco que gura nessa decomposic~ao. Tomando para P0 o ponto correspondente ao auto-espaco com
caracterx3=x1, obtemos P0X 0= x 1=x5+x2=x5+x3=x5+x4=x5+x2=x1+ 2x3=x1 +2x3=x2 + 2x4=x1+ 2x4=x2+x3=x1+ x3=x1 +x4=x1 +x22=x21+x2x3=x21+x2x4=x21 x3=x1 (x1=x3) = x1=x5+x2=x5+x3=x5+x4=x5+x2=x1+ 2x3=x1 +2x3=x2+ 2x4=x1+ 2x4=x2+x3=x1+x4=x3 +x22=(x1x3) +x2=x1+x2x4=(x1x3):
Remetemos, por m, o calculo efetivo de todas as contribuic~oes para o pro- grama emmaplelistado no ap^endice (5.2).
4.2 Curvas can^onicas em
P3Indicamos nesta sec~ao nal como calcular o numero de curvas can^onicas de
P
3 incidentes a 24 retas em posic~ao geral. O resultado pode ser interpretado
como a determinac~ao de um invariante de Gromov-Witten parag = 4, embora n~ao seja claro o signi cado destes invariantes para g^enero positivo.
Vamos aplicar a formula de Bott ao espaco de par^ametros para a famlia de curvas can^onicas em P3, descrito no trabalho de Jacqueline Rojas e o 2o
4.2 Curvas can^onicas emP3
53
Uma variante desse metodo parece funcionar tambem para tratar o caso da famlia de curvas em P3 de g^enero 2 e grau 5. Esperamos desenvolver os
detalhes em outra oportunidade. De fato, e promissora a possibilidade de contar o numero de tais curvas contidas numa quntica generica de P4.
4.2.1 A componente de Hilb
Uma curva can^onica C P3e a imagem de uma curva n~ao-hipereltica de
g^enero 4 pelo sistema can^onico. Seu polin^omio de Hilbert e 6t + 1 4.
SejaH a componente do esqueme Hilbert dessas curvas. O mapa can^onico
mergulha C como uma curva de grau 6 em P
3. Os divisores cortados por
quadricas sobre C s~ao de grau 12. Por Riemann-Roch, esse sistema linear e de dimens~ao 9 (=12+1-4). Logo, C esta contida em uma unica superfcie quadrica. De maneira analoga, C esta contida em 5 cubicas independentes, 4 das quais s~ao multiplos da quadrica. Vemos assim que C e a intersec~ao completa da quadrica e de uma cubica. As dimens~oes dos espacos vetoriais de formas de grau d = 4:::7 que se anulam em C s~ao listadas abaixo.
d 4 5 6 7 d+3 3 (6d+ 1 4) 14 29 51 81 (4.2.1.1) O brado normal de C P3 e N = OC(2) OC(3). Temos h0(N) =
24; h1(N) = 0. Segue queC e um ponto liso de H e dimH = 24.