Contribuic~ao de pontos xos

Seja X uma T-variedade n~ao singular e F  XT uma componente conexa

(=irredutvel) do lugar dos pontos xos. Escreva dF = codim(F).

As classes de Chern T-equivariantes cTk(EjF) e cTd F(

NF=X) podem ser cal-

culadas no anel de Chow equivariante AT

(F) em termos dos caracteres que

comparecem na decomposic~ao deEjF e

NF=X em auto-subbrados e das clas-

ses de Chern destes ultimos.

2.6.1 Pontos xos isolados

Quando XT _{e um conjunto nito de pontos, as classes}

cTk(EjF) e cTd F(

NF=X) =cTdim(X)(X)

podem ser descritas puramente em termos dos caracteres associados aos auto- brados. De maneira mais precisa, feita a decomposic~ao EjF =

L

EjF em

auto-espacos, por conta de 2.2.2 conhecemos as classes de Chern equivariantes de cada somando, cTk(E jF) =  r k  k_{; r = posto de E} jF: (2.6.1.1)

Note que, na express~ao acima, k _{siginica o k-iterado do operador primeira}

classe de Chern introduzido em (1.7.1.1). Em particular, conclumos que cTmax(EjF) e representada no anel de Chow equivariante do ponto xo F pelo

produto de todos os caracteres que aparecem da decomposic~ao da bra EjF

2.6 Contribuic~ao de pontos xos

31

esta sendo considerado como atuando no anel equivariante, de acordo com (1.7.1.1). Veja o exemplo 2.6.4.

Vamos explicitar a passagem de RT = Z[t] para RT = (R+T) 1(RT) = Q[t;t 1]; no caso em que T =C

, um toro unidimensional.

No lado direito da formula de Bott (2.5.1.1), o numerador pT_(E

jF) e um

polin^omio homog^eneo de grau n = dimX nas variaveis que s~ao os caracteres que ocorrem na decomposic~ao em auto-subbrados. Tipicamente, suponha que o polin^omio original contem um termo igual a cn 2₁

c2, enquanto que,

digamos, EjF = 21 + 2. Temos assim cT1(EjF) = 21 + 2, o lado direito

agora com o signicado de (1.7.1.1). Analogamente,cT2(EjF) = 21+ 21
2.

Aquele termo fornece por m, o operador de grau n dado por (21+ 2)n 2

(21 + 21
2). No caso em tela, cada caracter e da forma i = ta i; a

i 2 Z.

O operador induzido em RT e ai
t, perd~ao pelo abuso, cf. (1.8.0.1) onde

desta vez t signica classe hiperplana! O referido termo ganha a forma nal (2a1+a2)n 2
(a21+ 2a1
a2)
tn2RT.

Ou seja, o numerador e o denominador no lado direito de (2.5.1.1) s~ao multiplos inteiros de tn_{. Cancelando, obtemos assim um numero racional.}

Portanto, o lado direito de (2.5.1.1) e uma soma nita de numeros racionais obtidos a partir dos pesos como descrito em (2.6.1.1).

Mais precisamente, denote por 1(E;F);:::;r(E;F) os pesos que ocorrem

na decomposic~ao de EjF em auto-subbrados, e para cada inteiro k

0, seja

k(E;F) a k-esima func~ao simetrica elementar desses pesos. Temos ent~ao os

corolarios seguintes.

2.6.2 Corolario.

Nas notac~oes acima, cada classe de Chern equivariante

cTk(EjF) e representada no anel de Chow equivariante do ponto xo F por

k(E;F). 2

2.6.3 Corolario.

A classe de Chern equivariante maxima do brado tangente de X e dada no anel de Chow equivariante de um ponto xo F pelo produto dos pesos que ocorrem na decomposic~ao da bra respectiva. 2

No proximo captulo mostraremos de forma explcita como aplicar a formula de Bott em geometria enumerativa. No momento, vamos usar o resultado acima para calcular o numero de zeros de um campo vetorial emPn.

2.6.4 Zeros de campos vetoriais em

Pn

Escrevamos F = hx0;:::;xni para o espaco vetorial das formas lineares

32

O teorema de localizac~ao de T = C

 dada por t

xi = tixi. V^e-se facilmente que o conjunto dos pontos

xos emPne formado pelos n + 1 pontos unitarios

P0 = [1;0;:::;0];:::;Pn= [0;:::;0;1]:

SejaA o subbrado do brado vetorial trivialF cuja bra sobre cada P 2Pn

e o espaco das formas lineares que se anulam no pontoP. O brado tangente admite a express~ao (cf. [19],p.200)  Pn=A _ F  A: (2.6.4.1)

A bra sobre, digamosP0, e dada, com notac~ao evidente, por hx1;:::;xni

_

hx0i:

Logo, a decomposic~ao do espaco tangente em auto-espacos pode ser descrita simbolicamente por P 0 Pn= (t 1₊


+t n)
t 0_=t 1 ₊


+t n:

(Usamos aqui a propriedade de que o peso do dual (resp. de um produto tensorial) e::: ) O produto dos caracteres que comparecem na decomposic~ao fornece

cTn(P 0

P

n_{) = ( 1)}n_n!tn_;

o termo tn _{agora signicando n-iterados de classes hiperplanas.}

Sabe-se que, sob condic~oes convenientes de regularidade, a classe, no grupo de Chow usual, dos zeros de uma sec~ao de um brado vetorial representa a classe de Chern maxima desse brado. Em particular, se os zeros de um campo vetorial em Pn s~ao isolados, ent~ao

R

cn( Pn)\[Pn] fornece o numero desses

zeros (com multiplicidades).

Na formula de Bott (2.5.1.1) aplicada a presente situac~ao, guram no lado direiton + 1 parcelas, todas iguais iguais a 1!

De fato, cada componente F se reduz a um ponto Pi, de maneira que o

homomorsmo de integrac~ao F :

RT ! RT e a identidade. O numera-

dor e denominador das frac~oes que ocorrem la s~ao ambos iguais a cTn( P n jP

i).

Recuperamos assim o fato de que o numero de zeros vale n + 1.

Evidentemente, o mesmo argumento mostra que, em geral, se X e uma variedade lisa completa munida de uma C

-ac~ao com exatamente N pontos

xos isolados, ent~ao a caracterstica de Euler de X vale R

Xcn(X) = N. O

subgrupo a 1-par^ametro induz, por diferenciac~ao, um campo vetorial X ! X, x7! d

dt(tx)

jt=1, cujo lugar dos zeros e precisamenteX T_.

Captulo 3

Aplicac~oes a geometria

enumerativa

Nosso objetivo nesses dois captulos nais e dar uma ideia da utilidade da formula de resduos de Bott para calcular alguns numeros caractersticos.

Comecaremos com exemplos simples que certamente poderiam ser trata- dos de maneira mais elementar e econ^omica do que a aqui exposta. Os dois primeiros servir~ao de modelo para o entendimento computacional.

3.1 Duas retas em

P2

Talvez um dos problemas mais simples e instrutivos seja contar o numero de pontos na intersec~ao de duas retas genericas do plano projetivo P2. O leitor

percebera rapidamente que a resposta a nossa pergunta e um:::

Agora que ja conhecemos de antem~ao o tamanho da resposta, podemos complicar um pouco a discuss~ao e fazer as contas no anel de Chow usual,

A( P 2_{) =} Z[h]=hh 3 i onde h = c1(O P

2(1)) representa classe de uma reta de P

2_{. Analogamente, h}2

e a classe de um ponto. Lembrando que o produto e induzido por intersec~ao, v^e-se logo que estamos interessados em calcular o grau

Z

c1(O P

2(1))2:

Nossa intimidade com o anel de Chow de P2 e suciente para proclamar que

34

Aplicac~oes enumerativas I Mas o que interessa aqui, para ns de ilustrac~ao da formula de Bott, e apenas saber que o ciclo que traduz a presente quest~ao geometrica se expressa como func~ao polinomial de classes de Chern de brados vetoriais equivariantes para uma ac~ao adequada de um toro.

3.1.1 Escolha do toro

Na pratica, basta considerarmos ac~oes deC

,i.e., subgrupos a 1-par^ametro

criteriosamente selecionados emT GL3, um toro maximal agindo diagonal-

mente sobre P2.

Escolher um subgrupo a 1-par^ametro C 

T e equivalente a escolher um

ponto (w0;w1;w2) no reticulado de pesos Hom(C

;T) = Z

3_{. Os caracteres}

associados a ac~ao diagonal de C

 s~ao dados por 

i =twi.

Vamos assim renomear doravante T = C

, toro unidimensional agindo em P2 de modo que as coordenadas homog^eneas x0;x1;x2 s~ao auto-vetores com

pesos w0;w1;w2, ou seja, txi =t wi
xi para todo t 2C  : O lugar dos pontos xos desta C

-ac~ao e dado pelo sistema de equac~oes

x0 =tw0
x0 ;x1 =tw 1
x1 ;x2 =tw 2
x2 ; 8t2C :

Este sistema tera como conjunto-soluc~ao

F = f[1;0;0]; [0;1;0]; [0;0;1]gP 2_;

desde que os wi 's sejam escolhidos todos distintos, hipotese desde ja incorpo-

rada.

Vamos inicialmente aplicar a vers~ao da formula de resduos no caso em que o lugar dos pontos xos e um conjunto nitoF e a localizac~ao do anel de Chow equivariante de um ponto (1.4.1.1) eRT =Q[t;t 1].

3.1.2 Decomposic~ao em auto-subbrados

Lembramos que cadaT-brado vetorial E restrito ao lugar dos pontos xos decomp~oe-se canonicamente em uma soma direta de subbradosL

E, onde

E _{denota o auto-subbrado deE em que a ac~ao e dada pelo caracter .}

No caso em quest~ao, examinaremos as decomposic~oes de  P2 e O P

2(1).

Este ultimo e o brado em retas obtido pelo quociente do brado trivial

F =hx0;x1;x2i das formas lineares de P2, pelo subbrado A das formas que

se anulam em cada ponto. Lembrando (2.6.4.1), temos

 P 2_{= Hom(} A;O P 2(1)) =A _ O P 2(1):

No documento Teoria da Interseção Equivariante e Fórmula de Resíduos de Bott (páginas 38-43)