Palavras Chaves: CreditRisk+, c´

Estat´ıstica de Risco de Cr´

edito e C´

alculos

Alternativos Atrav´

es da Transformada R´

apida

de Fourier no R.

M. A. S. Sanfins a1 & T. M. Clark a2

a _{Universidade Federal Fluminense, IM, RJ, Brasil}

Resumo

Neste trabalho utiliza-se conceitos de fun¸c˜oes geradoras de probabilidade, convolu¸c˜oes e Transformada R´apida de Fourier (em inglˆes Fast Fourier Transform - FFT) para realizar c´alculos de forma alternativa e simplificada para a modelagem do risco de cr´edito. Al´em disso, implementa-se tais c´alculos no R com exemplos de fenˆomenos economicos. Os scripts utilizados ser˜ao p´ublicos, com um objetivo de se criar umalibrarye ser´a enviada aoR-Project.

Palavras Chaves: CreditRisk+, c´alculo do risco de cr´edito, implementa¸c˜ao no R.

1

Introdu¸

c˜

ao

Durante os ´ultimos 15 anos muitos artigos relacionados com o c´alculo do risco de credito

foram publicados. Para o c´alculo do risco existem diferentes metodologias, como por exemplo o CreditMetrics (JP Morgan,1997), PortifolioManager(KMV, 1997), Mckinsey’s CreditPort-folioView (Wilson, 1997) e o CreditRisk+ (Credit Suisse Financial Products, 1997).

1_{Orientador: marcosanfins@gmail.com}

2_{Aluno: clark.thiago@gmail.com}

O CreditRisk+ ´e o maior representante dos modelos atuariais com metodologia baseada em t´ecnicas aplicadas na industria de seguros. O m´etodo CreditRisk+ tem como objetivo

estimar a distribui¸c˜ao de perdas em carteiras de cr´editos. Trata-se de um m´etodo estat´ıstico baseado no risco de default n˜ao assumindo qualquer premissa sobre suas causas ou em qual

instante do tempo que poder´a ocorrer. O CreditRisk+ considera as taxas de default como vari´aveis aleat´orias continuas, assumindo a varia¸c˜ao das taxas na an´alise a fim de incorporar a incerteza das vari´aveis. Frequentemente fatores externos, como o estado da economia, torna

relacionada a incidˆencia de default. Mesmo assim, n˜ao existe liga¸c˜ao casual entre eles. Os efeitos desses fatores s˜ao incorporados no modelo atrav´es da varia¸c˜ao das taxas de default e

an´alise de setores.

O processo de avalia¸c˜ao do risco de cr´edito consiste na frequencia dosdefaulte na severi-dade das perdas. Para estimar a distribui¸c˜ao de perda da carteira, o CreditRisk+ assume que a distribui¸c˜ao de eventos default ´e aproximada `a distribui¸c˜ao de Poisson. O modelo b´asico

assume que os eventos de default s˜ao independentes, ou seja, as taxas de default s˜ao fixas. Por´em sabe-se que essa aplica¸c˜ao na realidade ´e muito dif´ıcil, pois estudos anteriores provam

que as taxas de defaultvariam ao longo dos anos.

O m´etodo prop˜oe ent˜ao uma forma mais sofisticada, onde a incerteza das taxas de de-fault s˜ao levadas em considera¸c˜ao. As taxas de default, assim, assumem uma distribui¸c˜ao

Gama, que ter´a a mesma m´edia da distribui¸c˜ao sem varia¸c˜ao, por´em suas caudas ser˜ao mais ”grossas”. A probabilidade de eventos extremos aumenta, devido `a correla¸c˜ao impl´ıcita na volatilidade, quando incorporado a volatilidade a taxa de default. Como o modelo n˜ao

as-sume nenhuma premissa sobre os eventos dedefault, a rela¸c˜ao ´e explicada pela existˆencia de fatores extremos.

Na analise de setores ´e poss´ıvel agrupar os devedores de acordo com a influencia de

fatores extremos, de tal modo que permite medir os benef´ıcios da diversifica¸c˜ao e eventuais concentra¸c˜oes em fatores.

2

Metodologia e An´

alise

Al´em das formas de c´alculo proposta pelo documento t´ecnico do CreditRisk+, conforme

Defini¸c˜ao 2.1. Seja X uma vari´avel aleat´oria discreta. Note que E[tx_{] =}

∞

∑

j=0

tj·P[X =j].

Consequentemente, E[tx_{]´e a fun¸c˜ao geradora de probabilidade de X.}

Outro conceito estat´ıstico utilizado ´e a convolu¸c˜ao das fun¸c˜oes geradoras de probabilidade

adaptado ao nosso caso.

Defini¸c˜ao 2.2. Sejam N e K vari´aveis aleat´orias independentes. Ent˜ao,

Pn+k(t) =E[tn+k] =E[tn·tk] =E[tn]·E[tk] =Pn(t)·Pk(t).

Portanto, atrav´es das defini¸c˜oes 2.1 e 2.2 podemos calcular a perda de uma carta de

cr´edito.

Defini¸c˜ao 2.3. Seja i o valor que desejamos calcular de perda em uma carta de cr´edito.

Ent˜ao o resultado de

( d dt

)i

·Pn(t)·Pk(t)

i! ,

implica na probabilidade da carta de cr´edito sofrer uma perda i durante um dado per´ıodo de

tempo.

Outros m´etodos de c´alculo do risco podem ser obtidos atrav´es da FFT. Introduzir´a, a seguir, o algoritimo que ser´a utilizado no c´alculo do risco de cr´edito.

Algoritimo 2.1. Se f = [f0, f1, . . . , fm−1] e g = [g0, g1, . . . , gk−1] representam dois vetores

de probabilidade ent˜ao, o algoritmo de convolu¸c˜ao da FFT consiste em:

• Completar os vetores f e g com 0 para que cada um tenha tamanho n≥m+k.

• Aplicar a FFT para cada vetor f˜=F F T(f) e ˜g=F F T(g) .

• Calcular o produto deh˜= ˜f·g, elemento por elemento.˜

•Para recuperar o vetor de probabilidade como uma convolu¸c˜ao de f e g devemos aplicar

Quando analisa-se perdas em carta de cr´editos de, por exemplo seguradoras, a metodolo-gia chamada de frequˆencia e severidade (frequency/severity) ´e mais um m´etodo alternativo,

onde defini-se frequencia como o numero dedefaultsem uma carta de cr´edito dado um per´ıodo de tempo e severidade como a quantidade, em unidade monet´aria, para cada default

individ-ual, ou seja, a perda expressada em unidades monet´arias no evento. (Loss Given Default -LGD).

Neste m´etodo a frequˆencia m´edia de perda e a serveridade m´edia de perda s˜ao utilizadas

para calcular a m´edia esperada da perda acumulada, ´e necess´ario saber n˜ao s´o a m´edia mas, tamb´em, a distribui¸c˜ao acumulada de perda para quantificar a variabilidade de perda. Al´em

de estimar a frequˆencia e severidade m´edia, distribui¸c˜oes probabil´ısticas s˜ao usadas para descrever, qualquer poss´ıvel, varia¸c˜ao no n´umero de contingˆencias e n˜ao certeza sobre as perdas. A distribui¸c˜ao acumulada de perda combina os efeitos da frequˆencia/severidade das

perdas.

As perdas acumuladas s˜ao representadas como a soma Z, de um n´umero aleat´orio N,

de um empr´estimo(ou bandas (x1, x2, x3, ..., xn)) n˜ao pago. Portanto, considere-se a fun¸c˜ao caracter´ıstica

ΦZ(t) =E[eit(Z)] =EN[E[e

it(x₁,x₂,x₃,...,xn)

N ]] =E_N[Φ_X(t)N] =P_N(Φ_X(t)),

onde PN ´e a fun¸c˜ao geratriz de probabilidade de N. Esta rela¸c˜ao sugere que em termos da

fun¸c˜ao caracter´ısticas pode-se calcular a distribui¸c˜ao acumulada de perda com o seguinte algoritimo.

Algoritimo 2.2. Os passos s˜ao:

• Transformar as distribui¸c˜ao de probabilidade de severidade em uma distribui¸c˜ao

disc-reta. Chegaremos nisso dividindo a carta de cr´edito em bandas(x1, x2, x3, ..., xn)de exposi¸c˜ao tal que cada banda ´e composta por devedores que sua exposi¸c˜ao corresponde ao tipo da banda.

Sef = [f0, f1, . . . , fm−1]representa o vetor de severidade, ent˜ao o termofi deve ser calculado

considerando que eles representem o quociente do valor esperado de defaults de cada banda,

e o valor esperado de defaults na carta de cr´edito.

• Completar o vetor de probabilidade de severidade com zero para que tenha tamanho n.

• Aplicar a FFT para o vetor de probabilidade de severidade f˜x=F F T(fx).

• Aplicar a fun¸c˜ao geratriz de probabilidade da frequencia para a FFT do vetor de

• Aplicar a IFFT para recuperar a distribui¸c˜ao de perda acumulada: f˜z =IF F T( ˜fx).

Em situa¸c˜oes que os riscos individuais s˜ao sujeitos a mesma influˆencia dedefault utiliza-se uma distribui¸c˜ao composta utiliza-secundaria. A perda agregada da carta de cr´edito pode utiliza-ser

calculada em dois passos:

• O controle de defaultdo parˆametro externo ´e retirado de uma fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao,

neste caso a distribui¸c˜ao Gama;

•A gravidade de cada parˆametro externo ´e obtida na realiza¸c˜ao da fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao

condicional, condicionada na realiza¸c˜ao do parˆametro externo escolhido no primeiro passo, que assumi-se ter a distribui¸c˜ao de Poisson.

O modelo ´e chamado de processo de Possion Misto (Mixed Poisson), onde o parˆametro

µ tem distribui¸c˜ao Gama com parˆametrosα e β.O qual pode ser aproximado `a distribui¸c˜ao

Binomial Negativa com parˆametrosµ e σ. Neste caso a distribui¸c˜ao eventos default ser´a

PN =P(N =n) =

Γ(α+n) Γ(α)n! ·

( 1 1 +β

)α ·

( β 1 +β

)n ,

ondeα = µ_σ22 eβ = σ 2

µ. E a fun¸c˜ao geradora de probabilidade ´e dada por

PN(t) = [1−β(t−1)]

−α

Para a an´alise de v´arios setores considera-se que cada setor da carta de cr´edito ´e

inde-pendente, de tal forma que seja possivel dividir a carta de cr´edito em sub cartas de cr´editos atendendo a cada setor. Assim, cada setor ter;a um peso aik correspondente ao seu pr´oprio

risco.

Ap´os ser calculada a distribui¸c˜ao de cada sub carta de cr´edito ser´a ent˜ao poss´ıvel calcular

a distribui¸c˜ao de perda da carta inteira, pelo algoritimo 2.1.

O risco de mercado ´e originado pela volatilidade nos pre¸cos dos ativos financeiros. Ele ´e

geralmente mensurado atrav´es da metodologiaValue-at-Risk(VaR), que fornece uma medida de perda durante um determinado per´ıodo e intervalo de confian¸ca. A metodologia

intro-duzida a cima ´e muito ´util n˜ao s´o para o c´aculo, de forma alternativa, das distribui¸c˜oes de perda de qualquer carta de cr´edito, mas tamb´em para o c´alculo doVaR.

Referˆ

encias

[1] SILVEIRA, M. A. M.,Avalia¸c˜ao do Risco de Cr´edito Agregado: Aplica¸c˜oes do

CRED-ITRISK+ Em Institui¸c˜oes N ˜AO-Financeiras, Escola de P´os Gradua¸c˜ao em Economia da Funda¸c˜ao Getulio Vargas, Tese de Mestrado, (2007).

[2] MELCHIORI, M. R., CreditRisk+ by Fast Fourier Transform, Universidade Nacional

del Litoral, (2004).

[3] WILDE, T., CreditRisk+ A Credit Risk management Framework, Credit Suisse First

Boston, CreditRisk+ Technical document, (1997)

[4] BLUHM, C., OVERBECK, L., WAGNER, C.,An Introduction to Credit Risk Modeling, Chapman & Hall/CRC, (2002).

[5] WANG, S. S., Aggregation of Correlated Risk Portfolios: Models & Algorithms, CAS Committee on Theory of Risk. Working Paper, (1999)

[6] GORDY, M. B., Saddlepoint Approximation of CreditRisk+,Published in Journal of

Banking and Finance, 26(7):1337-1355, (2002)