DERIVADAS PARCIAIS. A derivada parcial de f em relação a y, no ponto (x, y), é o limite

(1)

DERIVADAS PARCIAIS

Teoria

• Defini¸c˜oes B´asicas:

A derivada parcial de f em rela¸c˜ao a x, no ponto (x, y), ´e o limite ∂f

∂x(x, y) = lim∆x→0

f (x + ∆x, y) − f (x, y) ∆x

em que y ´e mantido constante.

A derivada parcial de f em rela¸c˜ao a y, no ponto (x, y), ´e o limite ∂f

∂y(x, y) = lim∆y→0

f (x, y + ∆y) − f (x, y) ∆y

em que x ´e mantido constante.

Uma fun¸c˜ao z = f (x, y) se diz definida ou dada implicitamente pela equa¸c˜ao g(x, y, z) = 0 se, para todo (x, y) ∈ Df, temos g(x, y, f (x, y)) =

0.

• Plano Tangente:

Sejam f : A → R, A aberto de R2_{, e (x}

0, y0) ∈ A. Dizemos que f ´e

diferenci´avel em (x0, y0) se e somente se existirem reais a e b tais que

lim(h,k)→(0,0)

E(h, k) k(h, k)k = 0 onde

E(h, k) = f (x0+ h, y0+ k) − f (x0, y0) − ah − bk.

Seja f : A ⊂ R2 _{→ R, A aberto, e seja (x}

0, y0) ∈ A. Se f for

dife-renciável em (x0, y0), então f admitirá derivadas parciais neste ponto.

(2)

z − f (x0, y0) =

∂f

∂x(x0, y0)(x − x0) + ∂f

∂y(x0, y0)(y − y0)

denomina-se plano tangente ao gr´afico de f no ponto (x0, y0, f (x0, y0)).

A reta normal ao gr´afico de f no ponto (x0, y0, f (x0, y0)) ´e a reta cuja

equa¸cão é (x, y, z) = (x0, y0, f (x0, y0)) + λ( ∂f ∂x(x0, y0), ∂f ∂y(x0, y0), −1), λ ∈ R. A transforma¸cão linear dz dada por

dz = ∂f

∂x(x, y)dx + ∂f

∂y(x, y)dy denomina-se diferencial de z = f (x, y) no ponto (x, y). • Gradiente:

Seja z = f (x, y). O vetor ∇f (x0, y0) = (

∂f

∂x(x0, y0), ∂f

∂y(x0, y0)) denomina-se gradiente de f em (x0, y0).

A reta tangente em (x0, y0) `a curva de n´ıvel f (x, y) = c tem equa¸c˜ao

dada por

∇f (x0, y0) · [(x, y) − (x0, y0)] = 0.

O plano passando pelo ponto (x0, y0, z0) e normal ao vetor ∇f (x0, y0, z0)

denomina-se plano tangente, em (x0, y0, z0), `a superf´ıcie de n´ıvel f (x, y, z) =

c. A equa¸c˜ao deste plano ´e

∇f (x0, y0, z0) · [(x, y, z) − (x0, y0, z0)] = 0.

A reta

(x, y, z) = (x0, y0, z0) + λ∇f (x0, y0, z0), λ ∈ R,

denomina-se reta normal, em (x0, y0, z0), `a superf´ıcie de n´ıvel f (x, y, z) =

(3)

• Regra da Cadeia:

Sejam f : A ⊂ R2 _{→ R, A aberto, e γ : I → R}2_{, tais que γ(t) ∈ A para}

todo t no intervalo I. Nestas condi¸c˜oes, se γ for diferenci´avel em t0 e

f em γ(t0), então a composta F (t) = f (γ(t)) será diferenciável em t0 e

vale a Regra da Cadeia

F0(t0) = ∇f (γ(t0)) · γ0(t0) ou, equivalentemente, dF dt = ∂f ∂x dx dt + ∂f ∂y dy dt,

ficando subentendido que as derivadas parciais devem ser calculadas em γ(t0).

Sejam A e B abertos do R2, f (x, y) diferenciável em A, g(u, v) e h(u, v) diferenciáveis em B tais que, para todo (u, v) em B, (g(u, v), h(u, v)) ∈ A. Seja F (u, v) = f (g(u, v), h(u, v)). Então vale a Regra da Cadeia

1. ∂F ∂u = ∂f ∂x ∂x ∂u + ∂f ∂y ∂y ∂u 2. ∂F ∂v = ∂f ∂x ∂x ∂v + ∂f ∂y ∂y ∂v • Fun¸c˜oes Impl´ıcitas:

Seja y = g(x) dada implicitamente pela equa¸c˜ao F (x, y) = 0. Ent˜ao

g0(x) = − ∂F ∂x(x, g(x)) ∂F ∂y(x, g(x)) .

Seja z = g(x, y) dada implicitamente pela equa¸c˜ao F (x, y, z) = 0. Ent˜ao ∂g ∂x(x, y) = − ∂F ∂x(x, y, g(x, y)) ∂F

(4)

e ∂g ∂y(x, y) = − ∂F ∂y(x, y, g(x, y)) ∂F ∂z (x, y, g(x, y)) .

O determinante jacobiano das fun¸cões F e G em rela¸cão às variáveis x e y é dado pela fórmula

∂(F, G) ∂(x, y) = ∂F ∂x ∂F ∂y ∂G ∂x ∂G ∂y .

Sejam y = y(x) e z = z(x) dadas implicitamente pelo sistema F (x, y, z) = 0 G(x, y, z) = 0 . Temos ent˜ao dy dx = − ∂(F, G) ∂(x, z) ∂(F, G) ∂(y, z) e dz dx = − ∂(F, G) ∂(y, x) ∂(F, G) ∂(y, z) . • Derivada Direcional: O limite ∂f ∂~u(x0, y0) = limt→0 f (x0+ at, y0+ bt) − f (x0, y0) t

quando existe e é finito, denomina-se derivada direcional de f no ponto (x0, y0) e na dire¸cão do vetor ~u = (a, b), com ~u unitário.

Sejam f : A ⊂ R2 _{→ R, A aberto, (x}

0, y0) ∈ A e ~u = (a, b) um vetor

(5)

∂f

∂~u(x0, y0) = ∇f (x0, y0) · ~u. Seja f : A ⊂ R2 _{→ R, A aberto, diferenci´}_{avel em (x}

0, y0) e tal que

∇f (x0, y0) 6= ~0. Ent˜ao, o valor m´aximo de

∂f

∂~u(x0, y0) ocorre quando ~u for o versor de ∇f (x0, y0) e esse valor ser´a k∇f (x0, y0)k.

• Polinˆomio de Taylor:

Chamamos derivadas de ordem superior de uma fun¸c˜ao z = f (x, y) as derivadas obtidas a partir das derivadas ∂f

∂x e ∂f ∂y.

(Teorema de Schwarz) Seja f : A ⊂ R2 _{→ R, A aberto. Se f possuir}

as derivadas at´e a segunda ordem cont´ınuas em A, ent˜ao ∂2f

∂x∂y(x, y) = ∂2f

∂y∂x(x, y) para todo (x, y) em A.

(Polinˆomio de Taylor de Ordem 1) Seja f : A ⊂ R2 _{→ R, A aberto,}

com derivadas at´e a segunda ordem cont´ınuas em A. Sejam (x0, y0) ∈ A

e (h, k) 6= (0, 0) tais que o segmento de extremidades (x0, y0) e (x0+

h, y0+ k) esteja contido em A. Nestas condi¸c˜oes,

f (x0+ h, y0+ k) = f (x0, y0) +

∂f

∂x(x0, y0)h + ∂f

∂y(x0, y0)k

(Polinˆomio de Taylor de Ordem 2) Seja f : A ⊂ R2 _{→ R, A aberto,}

com derivadas at´e a terceira ordem cont´ınuas em A. Sejam (x0, y0) ∈ A

e (h, k) 6= (0, 0) tais que o segmento de extremidades (x0, y0) e (x0+

h, y0+ k) esteja contido em A. Nestas condi¸c˜oes,

f (x0+ h, y0+ k) = f (x0, y0) + ∂f ∂x(x0, y0)h + ∂f ∂y(x0, y0)k + 1 2[ ∂2_f ∂x2(x0, y0)h 2_{+ 2} ∂ 2_f ∂x∂y(x0, y0)hk + ∂2_f ∂y2(x0, y0)k 2_]

(6)

• M´aximos e M´ınimos:

Dizemos que (x0, y0) ´e um ponto cr´ıtico de f (x, y) se esse ponto for

interior ao dom´ınio de f e se ∇f (x0, y0) = (0, 0). Se f admite derivadas

parciais em todos os pontos interiores de Df, ent˜ao os pontos cr´ıticos

de f s˜ao, entre os pontos interiores de Df, os ´unicos candidatos a

extremantes locais de f . A fun¸c˜ao H dada por

H(x, y) = ∂2_f ∂x2 ∂2_f ∂x∂y ∂2_f ∂y∂x ∂2_f ∂y2 denomina-se hessiano de f .

Seja f (x, y) uma fun¸c˜ao com derivadas cont´ınuas at´e 2a _{ordem. Seja}

(x0, y0) um ponto cr´ıtico de f . Ent˜ao

1. H(x0, y0) > 0 e ∂2_f ∂x2(x0, y0) > 0 ⇒ (x0, y0) é m´ınimo local de f ; 2. H(x0, y0) > 0 e ∂2f ∂x2(x0, y0) < 0 ⇒ (x0, y0) é máximo local de f ; 3. H(x0, y0) < 0 ⇒ (x0, y0) é ponto de sela de f ; 4. H(x0, y0) = 0 ⇒ inconclusivo.

• M´aximos e M´ınimos Condicionados:

(Weierstrass) Se f (x, y) for cont´ınua no compacto A, ent˜ao existir˜ao pontos (x1, y1) e (x2, y2) em A tais que, para todo (x, y) em A,

f (x1, y1) ≤ f (x, y) ≤ f (x2, y2).

(Multiplicadores de Lagrange) Seja f diferenciável no aberto A e seja B = {(x, y) ∈ A|g(x, y) = 0}, onde g possui derivadas cont´ınuas em A e ∇g 6= (0, 0), para todo (x, y) ∈ B. Uma condi¸cão necessária para que (x0, y0) ∈ B seja extremante local de f em B é que exista um real λ0

tal que

(7)

Seja f diferenciável no aberto A e seja B = {(x, y, z) ∈ A|g(x, y, z) = 0}, onde g possui derivadas cont´ınuas em A e ∇g 6= (0, 0, 0), para todo (x, y, z) ∈ B. Uma condi¸cão necessária para que (x0, y0, z0) ∈ B seja

extremante local de f em B ´e que exista um real λ0 tal que

∇f (x0, y0, z0) = λ0∇g(x0, y0, z0).

Seja f diferenci´avel no aberto A ⊂ R3_{e seja B = {(x, y, z) ∈ A|g(x, y, z) =}

0, h(x, y, z) = 0}, onde g e h possuem derivadas cont´ınuas em A e ∇g ∧ ∇h 6= ~0, para todo (x, y, z) ∈ B. Uma condi¸cão necessária para que (x0, y0, z0) ∈ B seja extremante local de f em B é que existam

reais λ1 e λ2 tais que

(8)

Exerc´ıcios

• Fixa¸c˜ao:

1. Determine as derivadas parciais. (a) f (x, y) = 5x4_y2_{+ xy}3_{+ 4} (b) z = cos(xy) (c) z = x 3_{+ y}2 x2_{+ y}2 (d) f (x, y) = e−x2−y2 (e) z = x2ln(1 + x2+ y2) (f) z = xyexy (g) z = (x2_{+ y}2_{) ln(x}2_{+ y}2₎ (h) g(x, y) = xy

2. Sendo z = f (x, y) dada implicitamente por x2_{+ y}2_{+ z}2 _{= 1, z > 0,}

calcule ∂z ∂x e

∂z ∂y.

3. Suponha que z = f (x, y) seja dada implicitamente pela equa¸c˜ao exyz _{= x}2_{+ y}2 _{+ z}2_{. Expresse} ∂z

∂x em termos de x, y e z.

4. Determine as equa¸cões do plano tangente e da reta normal ao gráfico da fun¸cão dada, no ponto dado.

(a) f (x, y) = 3x2_{y − x em (1, 2, f (1, 2))}

(b) f (x, y) = 2x2y em (1, 1, f (1, 1)) (c) f (x, y) = x2+ y2 em (0, 1, f (0, 1)) (d) f (x, y) = xex2_−y2

em (2, 2, f (2, 2))

5. Determine o plano que passa pelos pontos (1, 1, 2) e (−1, 1, 1) e que seja tangente ao gr´afico de f (x, y) = xy.

6. Determine o plano que seja paralelo ao plano z = 2x+y e tangente ao gr´afico de f (x, y) = x2_{+ y}2_.

7. Calcule a diferencial. (a) z = x3y2

(9)

(c) u = es2_−t2

(d) T = ln(1 + p2+ v2) 8. Seja z = xex2−y2.

(a) Calcule um valor aproximado para a varia¸c˜ao ∆z em z, quando se passa de x = 1 e y = 1 para x = 1, 01 e y = 1, 002.

(b) Calcule um valor aproximado para z, correspondente a x = 1, 01 e y = 1, 002.

9. Seja f (x, y) = x2 + y2. Calcule ∇f (1, 1) e represente-o geometri-camente.

10. Determine a equa¸c˜ao da reta tangente `a curva de n´ıvel dada, no ponto dado.

(a) x2_{+ xy + y}2_{− 3y = 1 em (1, 2)}

(b) e2x−y+ 2x + 2y = 4 em (1 2, 1)

11. Determine as equa¸c˜oes do plano tangente e da reta normal `a su-perf´ıcie dada, no ponto dado.

(a) x2_{+ 3y}2_{+ 4z}2 _{= 8 em (1, −1, 1)} (b) 2xyz = 3 em (1 2, 1, 3) (c) zex−y_{+ z}3 _{= 2 em (2, 2, 1)} 12. Sejam z = x2_{y, x = e}t2 e y = 2t + 1. Calcule dz dt. 13. Seja F (t) = f (et2

, sin t), onde f (x, y) é uma fun¸cão diferenciável em R2. Calcule F0(0), supondo ∂f

∂y(1, 0) = 5.

14. Seja z = f (x2, 3x + 1), onde f (u, v) ´e diferenci´avel em R2. Verifi-que Verifi-que dz dx(1) = 2 ∂f ∂u(1, 4) + 3 ∂f ∂v(1, 4).

15. Suponha f (x, y) diferenci´avel e que, para todo x, f (3t+1, 3t−1) = 4. Verifique que ∂f

∂x(3t + 1, 3t − 1) = − ∂f

∂y(3t + 1, 3t − 1). 16. Seja z = ln(1 + x2 _{+ y}2_{), x = sin 3t, y = cos 3t. Calcule} dz

dt e interprete o resultado.

(10)

17. A fun¸cão diferenciável y = y(x) é definida implicitamente pela equa¸cão y3+ xy + x3 = 3. Expresse dy

dx em termos de x e y. 18. A fun¸cão diferenciável z = z(x, y) é dada implicitamente pela

equa¸c˜ao xyz + x3_{+ y}3_{+ z}3 _{= 5. Expresse} ∂z

∂x em termos de x, y e z.

19. Sejam y = y(x) e z = z(x), z > 0 diferenci´aveis e dadas por x2_{+ y}2_{+ z}2 _{= 1} x + y = 1 . Expresse dy dx e dz dx em termos de x, y e z. 20. Calcule ∂f

∂~u(1, 1) na dire¸cão ~v = (−1, 1) e interprete o resultado. 21. Calcule ∂f ∂~u(x0, y0), sendo dados: (a) f (x, y) = x2− 3y2_{, (x} 0, y0) = (1, 2) e ~u é o versor de 2~i + ~j. (b) f (x, y) = ex2_−y2 , (x0, y0) = (1, 1) e ~u é o versor de (3, 4). (c) f (x, y) = xy, (x0, y0) = (1, 1) e ~u é o versor de ~i + ~j.

22. Em que dire¸cão e sentido a fun¸cão f (x, y) = x2+xy +y2, em (1, 1), cresce mais rapidamente? Qual a taxa máxima de crescimento? 23. Verifique que ∂ 2_f ∂x2 + ∂2_f ∂y2 = 0, onde f (x, y) = ln(x 2_{+ y}2_).

24. Determine o polinˆomio de Taylor de ordem 1 da fun¸c˜ao dada, em volta do ponto dado.

(a) f (x, y) = ex+5y_{, (x}

0, y0) = (0, 0)

(b) f (x, y) = sin(3x + 4y), (x0, y0) = (0, 0)

25. Determine o polinˆomio de Taylor de ordem 2 da fun¸c˜ao dada, em volta do ponto dado.

(a) f (x, y) = x sin y, (x0, y0) = (0, 0)

(b) f (x, y) = x3+ 2x2y + 3y3+ x − y, (x0, y0) = (1, 1)

26. Estude com rela¸cão a máximos e m´ınimos locais a fun¸cão f (x, y) = (a) x3_{+ y}3_{− 3x − 3y + 4}

(b) x2+ 3xy + 4y2− 6x + 2y (c) x3_{− 3x}2_{y + 27y}

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27. Determine os extremantes de f (x, y) = xy em A = {(x, y) ∈ R2|x2_{+ y}2 _{≤ 1}.}

28. Determine o ponto do elipsoide x2+ 2y2+ 3z2 = 1 cuja soma das coordenadas seja m´axima.

29. Encontre o ponto da curva xy = 1, x > 0, y > 0 que se encontra mais pr´oximo da origem.

30. Determine os pontos mais afastados da origem e cujas coordenadas estão sujeitas às restri¸cões x2+ 4y2+ z2 = 4 e x + y + z = 1. • Aplica¸cão:

1. Uma placa de metal fina, localizada no plano xy, tem temperatura T (x, y) no ponto (x, y). As curvas de n´ıvel de T são chamadas iso-termas porque em todos os pontos de uma isoterma a temperatura é a mesma. Esboce algumas isotermas para a fun¸cão temperatura da placa de metal, dada por

T (x, y) = 100

1 + x2_{+ 2y}2.

2. A temperatura em uma localidade do hemisf´erio norte depende da longitude x, da latitude y e do tempo t de modo que podemos escrever T = f (x, y, t). Vamos medir o tempo em horas a partir do in´ıcio de janeiro.

(a) Qual ´e o significado de cada derivada parcial ∂T ∂x,

∂T ∂y e

∂T ∂t? (b) Honolulu tem longitude 158◦W e latitude 21◦N . Suponha que às 9 da manhã em 1◦ de janeiro, o vento está soprando ar quente para o nordeste de modo que o ar do oeste e do sul está quente e o ar do norte e do leste está mais frio. Você espera que fx(158, 21, 9), fy(158, 21, 9) e ft(158, 21, 9) sejam

positivas ou negativas? Explique. 3. Verifique que a fun¸c˜ao u = e−α2k2_t

sin kx é uma solu¸cão da equa¸cão de condu¸cão do calor ut= α2uxx.

4. Em um estudo de penetra¸cão de geada foi encontrado que a tem-peratura T após t dias e profundidade x (medida em cent´ımetros) pode ser modelada pela fun¸cão

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onde ω e λ s˜ao constantes positivas. (a) Encontre ∂T

∂x. Qual ´e o seu significado f´ısico? (b) Encontre ∂T

∂t. Qual ´e o seu significado f´ısico?

5. A lei dos gases para uma massa fixa m de um gás ideal numa temperatura absoluta T , pressão P e volume V é P V = mRT , onde R é a constante do gás. Mostre que:

(a) ∂P ∂V ∂V ∂T ∂T ∂P = −1 (b) T∂P ∂T ∂V ∂T = mR

6. A resistência total R produzida por três condutores com resistências R1, R2 e R3 conectadas em paralelo num circuito elétrico é dada

pela f´ormula 1 R = 1 R1 + 1 R2 + 1 R3 . Encontre ∂R ∂R1 .

7. A velocidade do som viajando através da água do oceano com salinidade de 35 partes por 1000 foi modelada pela fun¸cão

v = 1449, 2 + 4, 6T − 0, 055T2+ 0, 00029T3+ 0, 016D, onde v ´e a velocidade do som (em m/s), T ´e a temperatura da ´

agua (em ◦C) e D é a profundidade abaixo da superf´ıcie do oce-ano (em metros). Um mergulhador inicia seu mergulho na água do oceano; após 20 minutos, o mergulhador encontra-se descendo a uma velocidade de 0,5 m/min, constata uma temperatura de 12,5◦C ao seu redor e uma diminui¸cão da temperatura da água de aproximadamente 0,1◦C a cada minuto. Estime a taxa de varia¸cão (por minuto) da velocidade do som na água do oceano percebida pelo mergulhador após 20 minutos de mergulho.

8. A voltagem V em um circuito elétrico simples está diminuindo lentamente à medida que a bateria se desgasta. A resistência R está lentamente aumentando à medida que o resistor se aquece. Use a lei de Ohm,

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para determinar como a corrente est´a variando no momento em que R = 400Ω, I = 0, 08A, dV

dt = −0, 01V/s e dR

dt = 0, 03Ω/s. 9. (Efeito Doppler) Se um som com frequˆencia fs ´e produzido por

uma fonte viajando por uma linha reta com velocidade vs e um

observador est´a viajando com velocidade vo pela mesma linha,

mas em sentido oposto ao da fonte, então a frequência do som percebido pelo observador é

fo =

c + vo

c − vs

fs,

em que c = 332 m/s é a velocidade do som. Suponha que, em um dado instante, você está em um trem viajando a 34 m/s e acelerando a 1, 2m/s2_{. Um trem se aproxima de vocˆ}_{e pelo outro}

trilho na dire¸cão oposta, com velocidade de 40 m/s e acelera¸cão de 1, 4m/s2, e soa o seu apito que tem uma frequência de 460 Hz. Nesse instante, qual é a frequência percebida por você e quão rápida ela está mudando?

10. Próximo a uma bóia, a profundidade de um lago no ponto com coordenadas (x, y) é z = 200 + 0, 02x2− 0, 001y3_{, onde x, y e z s˜}_ao

medidos em metros. Um pescador num barco pequeno parte do ponto (80, 60) e se move na dire¸cão da bóia, que está localizada no ponto (0, 0). A água sob o barco está ficando mais profunda ou mais rasa quando o pescador parte? Explique.

11. Suponha que você está subindo uma colina cuja forma é dada pela equa¸cão z = 1000 − 0, 005x2_{− 0, 01y}2_{, onde x, y e z s˜}_ao

me-didos em metros, e vocˆe est´a parado num ponto com coordenadas (60, 40, 966). O eixo x aponta para o leste e o eixo y aponta para o norte.

(a) Se você caminhar para o sul, você come¸cará a subir ou descer? Em qual taxa?

(b) Se você caminhar para o noroeste, você come¸cará a subir ou descer? Em qual taxa?

(c) Em qual dire¸cão a inclina¸cão da montanha é maior? Qual é a taxa de ascensão nessa dire¸cão?

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12. Três alelos (versões alternativas de um gene) A, B e O determinam os quatro tipos sangu´ıneos: A (AA ou AO), B (BB ou BO), O (OO) e AB. A Lei de Hardy-Weinberg estabelece que a propor¸cão de indiv´ıduos em uma popula¸cão que carregam dois diferentes alelos é

P = 2ab + 2ao + 2ob

onde a, b e o são as propor¸cões de A, B e O na popula¸cão. Use o fato de que a + b + o = 1 para mostrar que P é no máximo

2

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Respostas

• Fixa¸c˜ao: 1. (a) fx = 20x3y2+ y3; fy = 10x4y + 3xy2 (b) ∂z ∂x = −y sin(xy); ∂z ∂y = −x sin(xy) (c) ∂z ∂x = x4+ 3x2y2− 2xy2 (x2_{+ y}2₎2 ; ∂z ∂y = 2y(x2− x3₎ (x2_{+ y}2₎2 (d) fx = −2xe−x 2_−y2 ; fy = −2ye−x 2_−y2 (e) ∂z ∂x = 2x x2 1 + x2 _{+ y}2 + ln(1 + x 2_{+ y}2₎ ;∂z ∂y = 2x2_y 1 + x2_{+ y}2 (f) ∂z ∂x = ye xy _{+ xy}2_exy_;∂z ∂y = xe xy _{+ x}2_yexy (g) ∂z ∂x = 2x[1 + ln(x 2_{+ y}2_)];∂z ∂y = 2y[1 + ln(x 2_{+ y}2_)] (h) gx = yxy−1; gy = xyln x 2. ∂z ∂x = − x z; ∂z ∂y = − y z. 3. ∂z ∂x = 2x − yzexyz xyexyz_{− 2z} 4. (a) 11x + 3y − z = 12 e (x, y, z) = (1, 2, 5) + λ(11, 3, −1), λ ∈ R (b) 4x + 2y − z = 4 e (x, y, z) = (1, 1, 2) + λ(4, 2, −1), λ ∈ R (c) 2y − z = 1 e (x, y, z) = (0, 1, 1) + λ(0, 2, −1), λ ∈ R (d) 9x − 8y − z = 0 e (x, y, z) = (2, 2, 2) + λ(9, −8, −1), λ ∈ R 5. x + 6y − 2z = 3 6. z = 2x + y − 5 4 7. (a) dz = 3x2_y2_{dx + 2x}3_ydy (b) dz = y cos(xy)dx + x cos(xy)dy (c) du = 2ses2_−t2 ds − 2tes2_−t2 dt (d) dT = 2p 1 + p2_{+ v}2dp + 2v 1 + p2 _{+ v}2dv

(16)

(b) 1, 026 9. ∇f (1, 1) = (2, 2) 10. (a) 2x + y = 4 (b) 4x + y = 3 11. (a) x − 3y + 4z = 8 e (x, y, z) = (1, −1, 1) + λ(2, −6, 8), λ ∈ R (b) 6x + 3y + z = 9 e (x, y, z) = (1 2, 1, 3) + λ(6, 3, 1), λ ∈ R (c) x − y + 4z = 4 e (x, y, z) = (2, 2, 1) + λ(1, −1, 4), λ ∈ R 12. dz dt = (8t 2_{+ 4t + 2)e}2t2 13. F0(0) = 5 14. 15. 16. dz

dt = 0; a curva γ(t) = (sin 3t, cos 3t) ´e uma curva de n´ıvel da fun¸c˜ao. 17. dy dx = − (3x2 _{+ y)} (3y2_{+ x)} 18. ∂z ∂x = − (yz + 3x2₎ (xy + 3z2₎ 19. dy dx = −1 e dz dx = y − x z 20. ∂f

∂~u(1, 1) = 0; a fun¸cão é constante nessa dire¸cão. 21. (a) −√8

5 (b) −2

5 (c) √2

22. Dire¸c˜ao e sentido: ∇f (1, 1) = (3, 3); taxa m´axima de crescimento: k∇f (1, 1)k = 3√2.

23.

24. (a) z = 1 + x + 5y (b) z = 3x + 4y

(17)

25. (a) z = 0

(b) z = 8x + 10y − 12

26. (a) Máximo: (−1, −1); m´ınimo: (1, 1); pontos de sela: (1, −1) e (−1, 1). (b) M´ınimo: 54 7 , − 22 7 . (c) Pontos de sela: −3, −3 2 e 3,3 2 . 27. Máximo: f ( √ 2 2 , √ 2 2 ) = f (− √ 2 2 , − √ 2 2 ) = 1 2; M´ınimo: f ( −√2 2 , √ 2 2 ) = f ( √ 2 2 , − √ 2 2 ) = − 1 2. 28. √ 24 2√11, √ 24 4√11, √ 24 6√11 ! 29. (1, 1) 30. f 1 − √ 7 2 , 0, 1 +√7 2 ! = f 1 + √ 7 2 , 0, 1 −√7 2 ! = 4 • Aplica¸cão: 1. Fam´ılia de elipses. 2. (a) ∂T ∂x, ∂T ∂y e ∂T

∂t representam a varia¸c˜ao da temperatura quando consideramos apenas a longitude, a latitude e o tempo, res-pectivamente.

(b) Como o ar est´a mais quente no oeste do que no leste, au-mentando a longitude resulta num aumento da temperatura do ar: fx(158, 21, 9) positiva. Como o ar est´a mais quente

no sul do que no norte, aumentando a latitude resulta numa redu¸c˜ao da temperatura do ar: fy(158, 21, 9) negativa. Como

o ar da tarde est´a mais quente que o ar da manh˜a, aumen-tando o tempo resulta num aumento da temperatura do ar: ft(158, 21, 9) positiva.

(18)

4. (a) ∂T

∂x = −λT1e

−λx_{[sin(ωt − λx) + cos(ωt − λx)]; representa a}

varia¸c˜ao da temperatura com a profundidade (num mesmo dia).

(b) ∂T

∂t = T1e

−λx_{ω cos(ωt − λx); representa a varia¸c˜}_{ao da}

tempe-ratura com o passar dos dias (num mesmo n´ıvel). 5. 6. ∂R ∂R1 = R 2 R2 1 .

7. A velocidade do som medida pelo mergulhador est´a decrescendo a uma taxa de aproximadamente 0,33 m/s a cada minuto.

8. A corrente est´a decrescendo a uma taxa de 0,000031 A/s.

9. A frequência percebida é cerca de 577 Hz e ela está aumentando a uma taxa de aproximadamente 4,7 Hz/s (o som está ficando mais agudo).

10. A profundidade do lago está aumentando nessa dire¸cão, pois a derivada direcional correspondente é positiva.

11. (a) Come¸co a descer a uma taxa de 0,80 metros de altura para cada metro percorrido.

(b) Come¸co a descer a uma taxa de 0,14 metros de altura para cada metro percorrido.

(c) A inclina¸cão da montanha atinge seu máximo na dire¸cão do gradiente −3 5, − 4 5

. A taxa de ascensão nessa dire¸cão é de 1 metro de eleva¸cão para cada metro percorrido no caminho. 12.