Introdução à Estatística Aplicada à Climatologia. Parte I Estatística Descritiva

Universidade de São Paulo

Disciplina: Climatologia I – ACA 0226

Introdução à Estatística Aplicada à Climatologia

Parte I – Estatística Descritiva

Projeto PAE

Bolsista: Michelle S. Reboita

Sumário

1 Introdução ... 3

2 Sobre a Estatística ... 3

2.1 Um Pouco da História da Estatística... 3

2.2 Definição... 3

2.3 Conceitos Importantes... 3

População:... 3

Amostra: ... 4

3 Distribuição de Freqüências ... 4

3.1 Metodologia para a Elaboração de uma Distribuição de Freqüências... 5

4 Medidas de Posição ou Tendência Central ... 7

4.1 Média ... 8

4.2 Mediana ... 9

4.3 Moda... 9

4.4 Ponto Médio...10

5 Medidas de Dispersão ou de Variabilidade ... 10

5.1 Amplitude Total... 11 5.2 Desvio-Padrão ... 11 5.3 Variância...14 6 Assimetria ... 14 7 Curtose... 15 8 Separatrizes... 16 9 Referências ...20 10 Exercício ...20

1 Introdução

Os métodos e técnicas estatísticas são utilizados em Climatologia basicamente para analisar o tempo passado com o objetivo de inferir sobre o provável comportamento futuro de alguma variável.

A aplicação de técnicas estatísticas a dados meteorológicos tem a vantagem de compactar o enorme volume de dados, medidos, por exemplo, em uma estação, em uma simples tabela ou uma equação, capaz de sumariar todas as informações de modo a facilitar as inferências sobre os dados (Assis et al, 1996).

2 Sobre a Estatística

2.1 Um Pouco da História da Estatística

Conforme descrito em Silva (1998), a estatística é uma ciência que surgiu na Antigüidade e se desenvolveu paralelamente à própria civilização humana. Há mais de 3.000 anos a.C., os antigos egípcios deixaram dados estatísticos sobre seus povos gravados em monumentos históricos daquela época, principalmente nas famosas pirâmides. Além deles, os chineses realizaram um censo demográfico no ano 2.275 a.C. e, bem mais tarde, os romanos no ano 556 a.C., também realizaram trabalho bastante semelhante.

Nessas épocas, os censos concentravam-se basicamente no levantamento do número de habitantes, nascimentos, óbitos e forças guerreiras, pois seus objetivos eram voltados a fornecer dados confiáveis aos então governantes.

Na era Cristã, principalmente no primeiro milênio, houve também diversos censos demográficos, notadamente em Israel e alguns países do ocidente.

Entretanto, a partir do século XVI, a estatística começou a ganhar importância, passando a ser estudada por matemáticos e filósofos e, conseqüentemente, foi introduzida nos currículos das universidades.

2.2 Definição

A estatística é uma coleção de métodos para planejar experimentos, obter dados e organiza-los, resumi-los, analisá-los, interpretá-los e deles extrair conclusões (Triola, 1998).

2.3 Conceitos Importantes

Na estatística os termos população e amostra são muito utilizados, portanto é necessário conhecer seus significados.

População: é uma coleção completa de todos os elementos a serem estudados. Ex: conhecer a altura de todos os habitantes do Brasil.

Amostra: é uma sub-coleção de elementos extraídos de uma população. Ex: conhecer a altura de um conjunto de habitantes do Brasil.

Quando o estudo trata de dados meteorológicos, temos em mãos uma amostra, pois não conhecemos a população, devido não haver o registro contínuo dos dados desde a origem do planeta.

É importante determinar se um conjunto de dados se trata de uma amostra ou de uma população, pois a metodologia de análise muitas vezes é diferente e, também, as conclusões a que devemos chegar. Quando trabalhamos com amostras, os resultados obtidos nos cálculos estatísticos são utilizados para fazer inferências (generalizações) sobre a população. Vejamos um exemplo: selecionamos os dados horários de temperatura do ar do verão de 2004 medidos numa cidade X, com isto teremos uma amostra. Calculamos a média aritmética deste conjunto e a partir do resultado obtido podemos inferir que a média da temperatura daquela cidade no verão (no caso todos os verões - população) corresponde àquele determinado valor.

3 Distribuição de Freqüências

Quando estamos trabalhando com estatística, normalmente, precisamos manipular grande quantidade de dados. Entretanto, estes devem ser organizados de tal forma a facilitar o trabalho do investigador do fenômeno. Se possuímos um conjunto de dados, por exemplo, de temperaturas médias diárias da estação do IAG (localizada em Água Funda, São Paulo) do mês de dezembro de 2004, devemos dispô-los de forma que consigamos extrair de maneira fácil informações como: maior e menor temperatura, quantos dias tiveram temperaturas acima ou abaixo de um determinado valor, etc. Para tanto, é elaborado uma distribuição de freqüências.

A distribuição de freqüências é uma tabela que relaciona categorias ou classes de valores, juntamente com contagens ou freqüências do número de valores que se enquadram em cada categoria (Triola, 1998). A distribuição de freqüências pode ser representada através de um histograma, que é um gráfico cujas bases são os limites das classes e as alturas são as freqüências.

Abaixo temos uma distribuição de freqüências (tabela 1) juntamente com um histograma (figura 1) da temperatura média diária do mês de dezembro de 2004 da estação do IAG. Na tabela o símbolo indica que o limite de classe inclui o valor da esquerda e exclui o da direita.

Intervalos de Classe Freqüências 16.1 17.8 3 17.8 19.5 8 19.5 21.2 7 21.2 22.9 8 22.9 24.6 4 24.6 26.3 1 Tabela 1. Distribuição de freqüências da temperatura média diária do mês de dezembro de 2004 da estação do IAG.

Figura 1. Histograma de freqüências. 3.1 Metodologia para a Elaboração de uma Distribuição de Freqüências

De posse de um conjunto de dados, neste caso, de dados de temperatura média diária do mês de dezembro de 2004 da estação do IAG (tabela 2), devemos seguir alguns passos para a construção de uma distribuição de freqüências.

Tabela 2. Dados de temperatura média diária do mês de dezembro de 2004 da estação do IAG.

Dia Temperatura (ºC) Dia Temperatura (ºC)

1 18,9 17 21,5 2 18,7 18 20,8 3 18,4 19 22,4 4 23,2 20 23,7 5 22,3 21 18,3 6 22 22 16,1 7 22,4 23 17,2 8 23 24 19,8 9 20,9 25 22,6 10 18,3 26 21,2 11 17,5 27 21,2 12 18 28 20,1 13 19,1 29 21,4 14 18,9 30 22,2 15 20 31 23,2 16 25,1

Passo 1: Ordenar os elementos dos dados brutos em ordem crescente, indicando a freqüência absoluta de cada elemento.

Dados brutos: dados que ainda não foram numericamente organizados. São as observações.

Freqüência absoluta: número de vezes que um valor aparece num conjunto de dados.

Tabela 3. Dados brutos dispostos em ordem crescente com as respectivas freqüências. Temperatura Freqüências 16,1 1 17,2 1 17,5 1 18 1 18,3 2 18,4 1 18,7 1 18,9 2 19,1 1 19,8 1 20 1 20,1 1 20,8 1 20,9 1 21,2 2 21,4 1 21,5 1 22 1 22,2 1 22,3 1 22,4 2 22,6 1 23 1 23,2 2 23,7 1 25,1 1

Passo 2: Determinar o número de intervalos de classe (K). O número de intervalos de classe é obtido pela regra de Sturges (Crespo, 1997):

K = 1+3,3 (log10 n) (1)

K = 1+3,3 (log10 31)

K = 1+3,3 (1,49) K = 5,9 ≅ 6

Portanto, a distribuição de freqüências será constituída de 6 intervalos de classe.

Passo 3: Determinar a amplitude dos intervalos de classe (h):

(

)

[

]

onde K é o número de intervalos de classe e ximáx e ximín são respectivamente o maior e

o menor valor do conjunto de dados.

(

)

[

]

Após a obtenção da amplitude dos intervalos de classe (passo 3), basta organizar os dados conforme a distribuição de freqüências apresentada na tabela 1. Para tanto, se pega o menor valor do conjunto de dados e soma-se a amplitude dos intervalos de classe. Então, o primeiro intervalo da distribuição de freqüências vai do menor valor do conjunto até a soma deste com o valor da amplitude dos intervalos de classe. Após verifica-se quantos elementos (freqüências) encontram-se neste intervalo. Este procedimento é feito tantas vezes conforme indica o cálculo do número de intervalos de classe. Também pode ser elaborado o histograma da distribuição de freqüências (figura 1).

4 Medidas de Posição ou Tendência Central

Normalmente, quando estamos estudando um fenômeno, seja ele de qualquer natureza, é basicamente impossível manipularmos todos os elementos da seqüência de dados, a não ser que a quantidade seja pequena. Entretanto, é importante sabermos onde os valores da seqüência se concentram, facilitando assim a análise. A estatística, por sua vez, fornece medidas que podem caracterizar o comportamento dos elementos de uma série. Essas medidas são chamadas de medidas de posição ou de tendência central, que na prática, possibilitam determinar um valor compreendido entre o menor e o maior valor da série numérica, ou seja, o valor localizado no centro ou no meio de um conjunto de dados.

Há diferentes maneiras de definir o centro de um conjunto de dados, assim, há diferentes definições de medidas de tendência central como: média, mediana, moda e ponto médio.

4.1 Média

Média Aritmética: a média aritmética de um conjunto de dados é o valor obtido somando-se todos os elementos do conjunto e dividindo-se a soma pelo número total de elementos. Observe:

n x

x =

∑

onde x é a média aritmética, xi os dados do conjunto amostral e n o número de

valores.

A média aritmética calculada para os dados fornecidos na tabela 1 corresponde a: 31 2 , 23 2 , 22 ... 7 , 18 9 , 18 x = + + + + C 59 , 20 x ₌ 0

Observação: quando ao invés de x , que denota a média aritmética de uma amostra, temos µ significa que a média aritmética é de uma população.

A média aritmética depende de todos os valores da série e qualquer alteração de um deles altera seu valor. Esta medida é influenciada por valores extremos, podendo, em alguns casos, não representar a série. Além da média aritmética, há a média harmônica, geométrica e quadrática.

Média Harmônica: costuma ser usada como medida de tendência central para conjuntos de dados que consistem em taxas de variação, como por exemplo velocidades. Obtém-se a média harmônica dividindo-se o número n de valores pela soma dos inversos de todos os valores. Portanto, é expressa como (Triola, 1998):

∑

Para os dados da tabela 1, temos a média harmônica igual a:

2 , 23 1 2 , 22 1 ... 7 , 18 1 9 , 18 1 31 x + + + + = C 36 , 20 x ₌ 0

Média Geométrica: é usada na administração e na economia para achar taxas médias de variação, de crescimento, ou razões médias. Dados n valores (todos positivos), a média aritmética é a raiz nma _{do seu produto (Triola, 1998). Por exemplo, determina-se}

a média geométrica de 2, 4, 10 multiplicando-se os três valores – o que dá 80, e tomando-se a raiz cúbica do resultado (porque há três valores). O resultado é 4,3. Desta forma para os dados da tabela 1, temos:

31_{18,9*18,7*...*22,2*23,2} x = C 48 , 20 x ₌ 0

Média Quadrática: é utilizada em geral em experimentos físicos. Em sistemas de distribuição de energia, por exemplo, as tensões e correntes são em geral dadas em termos de sua média quadrática. Obtém-se a média quadrática de um conjunto de valores elevando-se cada um ao quadrado, somando-se os resultados, dividindo-se o total pelo número n de valores e tomando-se a raiz quadrada do resultado (Triola, 1998). Por exemplo, a média quadrática de 2, 4, 10 é 6,3. Agora calculando-se para os dados da tabela 1, temos:

n x x ₌

∑

A mediana é o elemento que ocupa a posição central de uma série de dados. Para encontrá-la os dados devem estar dispostos em ordem crescente ou decrescente. Se a série tiver um número ímpar de dados o valor que estiver ocupando o meio da série será a mediana. Se tiver um número par de dados deve-se extrair a média aritmética dos dois valores centrais, uma vez que, o valor correspondente a mediana acha-se entre eles.

A mediana dos dados fornecidos na tabela 1 corresponde a 20,9ºC. 4.3 Moda

A moda é o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de dados. Pode ser identificada apenas observando-se a série nos casos de dados não agrupados. Quando a série possuir dois valores com a mesma freqüência máxima, cada um deles é

uma moda, e o conjunto diz-se bimodal. Se mais de dois valores ocorrerem com a mesma freqüência máxima, o conjunto é multimodal. Quando nenhum valor é repetido, o conjunto não tem moda.

A série de dados fornecida na tabela 1 é multimodal, pois cinco valores (18,3; 18,9; 21,2; 22,4 e 23,2) aparecem com a mesma freqüência máxima.

4.4 Ponto Médio

O ponto médio é o valor que está a meio caminho entre o maior e o menor valor da série de dados. Para obtê-lo, somamos esses valores extremos e dividimos o resultado por 2, como na expressão a seguir (Triola, 1998):

2 valor menor valor maior PM= + ₍₆₎

O ponto médio dos dados da tabela 1 é:

2 1 , 25 1 , 16 PM= + PM = 20,6º C 5 Medidas de Dispersão ou de Variabilidade

Vimos anteriormente que um conjunto de valores pode ser convenientemente sintetizado, por meio de procedimentos matemáticos, em poucos valores representativos – média, mediana e moda. Tais valores podem servir de comparação para dar a posição de qualquer elemento do conjunto.

Não é o bastante dar uma das medidas de posição para caracterizar perfeitamente um conjunto de valores, pois, mesmo sabendo, por exemplo, que a temperatura média de duas cidades é a mesma, e igual a 24ºC, ainda assim somos levados a pensar a respeito do clima dessas cidades. Em uma delas a temperatura poderá variar entre limites de muito calor e de muito frio e, haver, ainda, uma temperatura média de 24ºC. A outra poderá ter uma variação pequena de temperatura, mas mantendo uma média de 24ºC.

Vemos, então, que a média – ainda que considerada como um número que tem a faculdade de representar uma série de valores – não pode, por si mesma, destacar o grau de homogeneidade ou heterogeneidade que existe entre os valores que compõem um conjunto.

Consideremos os seguintes conjuntos de valores das variáveis x, y e z: X: 70, 70, 70, 70, 70

Y: 68, 69, 70, 71, 72 Z: 5, 15, 50, 120, 160

Calculando a média aritmética de cada um desses conjuntos, obtemos: 70 5 350 n x x ₌

∑

∑

∑

Vemos, então, que os três conjuntos apresentam a mesma média aritmética: 70. Entretanto, é fácil notar que o conjunto x é mais homogêneo que os conjuntos y e z, já que todos os valores são iguais a média.

O conjunto y, por sua vez, é mais homogêneo que o conjunto z, pois há menor diversificação entre cada um de seus valores e a média é representativa.

Chamando de dispersão ou de variabilidade a maior ou menor diversificação dos valores de uma variável em torno de um valor de tendência central tomado como ponto de comparação, podemos dizer que o conjunto x apresenta dispersão ou variabilidade nula e que o conjunto y apresenta uma distribuição ou variabilidade menor que o conjunto z.

Portanto, para qualificar os valores de uma dada variável, ressaltando a maior ou menor dispersão ou variabilidade entre esses valores e a sua medida de posição, a Estatística recorre às medidas de dispersão ou de variabilidade. Dessas medidas, serão descritas a amplitude total, o desvio-padrão e a variância.

5.1 Amplitude Total

A amplitude total de um conjunto de dados é a diferença entre o maior e o menor valor deste. Para calculá-la, basta subtrair o menor valor do maior.

mín

máx x

x

AT = − ₍₇₎

Quanto maior a amplitude total de um conjunto de dados, maior é a dispersão ou variabilidade dos valores.

A amplitude total observada nos dados da tabela 1 é: AT = 25,1 – 16,1 = 9º C 5.2 Desvio-Padrão

A amplitude total é uma medida instável, pois se deixa influenciar pelos valores extremos, que são, na sua maioria, devidos ao acaso.

O desvio-padrão e a variância são medidas que fogem a essa falha, pois levam em consideração a totalidade dos valores da variável em estudo, o que faz delas

índices de variabilidade bastante estáveis e, por isso mesmo, os mais geralmente empregados. Assim, pode-se definir o desvio-padrão como uma medida da magnitude do espalhamento ou dispersão dos dados em relação à média da série.

A expressão para o cálculo do desvio-padrão amostral (s) é:

(

)

onde xi é cada elemento do conjunto de dados, x é a média do conjunto e n é o

número total de elementos deste.

Já para o desvio-padrão populacional (σ) a expressão é:

(

)

onde xi é cada elemento da população, µ e N são respectivamente a média e o número

total de elementos da população.

Observa-se que para a população x é substituído por µ e n-1 por N.

Em geral, a finalidade do cálculo de uma estatística amostral (como a média, o desvio-padrão ou a variância) é estimar o parâmetro populacional correspondente. Se extrairmos muitas amostras de uma população que tem média m, calcularmos as médias amostrais x e se tomarmos as médias de todas as estimativas de m, veremos que essa média fica muito próxima de m. Entretanto, se calculássemos a variância de cada amostra pela fórmula:

(

)

n x

x 2

∑

e tomássemos a média de todas essas supostas estimativas de σ2, provavelmente obteríamos uma média inferior a σ2_{. Teoricamente, mostra-se que podemos compensar}

essa desvantagem dividindo por n-1 em vez de n na fórmula de s2_.

Uma regra que auxilia na interpretação do valor de um desvio-padrão é a regra empírica, aplicável somente a conjuntos de dados aproximadamente em forma de sino, conforme a figura 2. Essa figura mostra como a média e o desvio-padrão estão relacionados com a proporção dos dados que se enquadram em determinados limites. Assim é que, com uma distribuição em forma de sino, temos 95% dos seus valores a menos de dois desvios-padrão da média. A regra empírica costuma a ser designada abreviadamente como a regra 68-95-99.

a. cerca de 68% dos valores estão a menos de 1 desvio-padrão a contar da média; b. cerca de 95% dos valores estão a menos de 2 desvios-padrão a contar da média; c. cerca de 99,7% dos valores estão a menos de 3 desvios-padrão a contar da média.

Figura 2. Relação entre o desvio-padrão e a curva normal.

Na figura abaixo foi plotada a média (20,6º C), a média acrescida de mais um desvio-padrão e a média descontada de um desvio-padrão da série de dados de temperatura média diária do mês de dezembro de 2004 da estação do IAG, com o objetivo de mostrar que uma grande porcentagem (cerca de 68%) dos dados ficam entre os limites da média somada e diminuída de um desvio-padrão.

Figura 3. Temperatura média diária do mês de dezembro de 2004 da estação do IAG (São Paulo), juntamente com a média da série e a média acrescida e diminuída de um desvio-padrão. Os dados em análise possuem desvio-padrão igual a ±2.2.

5.3 Variância

A variância é uma medida estatística da dispersão dos dados em torno da média de um conjunto de dados. É obtida quando não extraímos a raiz quadrada do desvio-padrão. A variância amostral é definida como:

(

)

∑

(

)

∑

A variância obtida através dos dados da tabela 1 é 4,86º C. A variância também é denominada de segundo momento, sendo:

(

)

A assimetria é o grau de deformação de uma curva de freqüências. Uma distribuição de freqüência é simétrica, ou seja, que apresenta um gráfico cuja as duas caudas possuem a mesma configuração (figura 4 a), quando a média, a mediana e a moda da série forem iguais. A distribuição de freqüência também pode ser assimétrica positiva (figura 4 b) e assimétrica negativa (figura 4 c), a primeira possui uma cauda mais alongada à direita e ocorre quando a média da série for maior que a moda e a segunda apresenta uma cauda mais alongada à esquerda e ocorre quando média da série for menor que a moda.

c) b)

a)

Figura 4. Representação esquemática da assimetria.

A assimetria pode ser obtida pelo coeficiente de assimetria (A) que é uma medida adimensional, observe:

s Mo x

A= − ₍₁₃₎

onde Mo é a moda da série.

Desde que a moda é de difícil estimativa, o coeficiente de assimetria é obtido, com boa aproximação, pela seguinte relação: x – Mo = 3( x – Me), onde Me é a mediana. Assim:

(

)

Mas, a medida de assimetria mais utilizada é dada pelo terceiro momento (m3)

centrado na média, ou seja:

3 3 s m A = (15) onde:

(

)

sendo xi é cada elemento do conjunto de dados, x a média e n o número de elementos

do conjunto (Assis, 1996).

A distribuição será simétrica quando A = 0, se A for maior que zero a assimetria é positiva e se A for menor que zero a assimetria é negativa.

Utilizando a expressão 15 para calcular o coeficiente de assimetria dos dados fornecidos na tabela 1, obtemos A = -0,08 que corresponde a uma assimetria negativa, ou seja, a distribuição possui cauda mais alongada a esquerda. Entretanto, se fossemos apenas observar a figura 1 não conseguiríamos extrair esta informação facilmente devido a forma do histograma.

7 Curtose

A curtose é o grau de achatamento de uma distribuição em relação a uma distribuição padrão, denominada curva normal.

A distribuição que apresenta uma curva de freqüências mais fechada que a normal, é denominada leptocúrtica (figura 5 a). Quando a curva de freqüência é mais aberta que a normal recebe o nome de platicúrtica (figura 5 b) e a curva normal é denominada de mesocúrtica (figura 5 c).

c) b)

a)

Figura 5. Representação esquemática da curtose.

A curtose (C) é definida pelo quarto momento (m4) dividido pelo o desvio-padrão

da série elevado a quarta potência (_{s ):} 4

44

s m

C = (17)

onde o quarto momento é dado por:

(

)

onde xi é cada elemento do conjunto de dados, x a média e n o número de elementos

da série (Assis, 1996).

A curtose é denominada mesocúrtica quando C=3, neste caso, tem-se uma curva normal. Se C>3, a curva de freqüência é mais fechada que a curva normal, ou seja possui um pico e recebe a denominação de leptocúrtica. Se C<3, a curva de freqüência é mais achatada que a curva normal, sendo chamada de platicúrtica.

A curtose calculada para os dados da tabela 1 foi C = 2,2, portanto C<3 e a curva de freqüência é mais achatada que a curva normal.

8 Separatrizes

A mediana caracteriza uma série de valores devido à sua posição central. No entanto, ela apresenta uma outra característica, tão importante quanto a primeira: ela separa a série em dois grupos que apresentam o mesmo número de valores. Assim, além das medidas de posição mencionadas há outras que, consideradas individualmente, não são medidas de tendência central, mas estão ligadas à mediana relativamente à sua segunda característica, já que se baseiam na sua posição na série.

Essa medidas denominadas de quantis ou fractis, são juntamente com a mediana, conhecidas pelo nome genérico de separatrizes.

O quantil, por sua vez, é o nome genérico para outras medidas, como as que dividem o conjunto de dados em 4, 10 ou 100 partes, por exemplo. Estas são denominadas de quartil, decil e percentil, respectivamente.

Os três quartis Q1, Q2 e Q3 dividem o conjunto dos dados em quatro

subconjuntos de tal forma que 25% dos elementos situam-se abaixo do Q1; 25% entre

Q1 e Q2; 25% entre Q2 e Q3 e 25% acima de Q3, sendo que Q2 corresponde a mediana.

Os decis dividem o conjunto de dados em 10 partes iguais. Os nove decis D1, D2,

D3,..., D9 são tais que 10% dos elementos situam-se abaixo de D1, 10% entre D1 e D2 e

assim por diante. A mediana é o quinto decil.

Os percentis dividem o conjunto dos dados ordenados em 100 partes iguais. A mediana é o qüinquagésimo percentil.

Procedimento para obtenção dos quantis (Xavier et al., 2002): 1. dispor os dados em ordem crescente;

2. colocar um número de ordem para cada valor (i=1, ..., i=N);

3. para cada valor determinar a ordem quantílica: Pi=i/(N+1), onde N é o número de

elementos da série;

4. finalmente, para calcular o quatil Q(P) para uma ordem quantílica Pi qualquer,

segue-se:

a) se P coincidir com algum Pi já obtido, então: Q(P)=Q(Pi)=yi

b) se P não coincidir, haverá um índice i tal que Pi<P<Pi+1, onde Q(P) será obtido por

interpolação, onde: Q(P)=yi+{[P-Pi]/[Pi+1-Pi]}*[yi+1-yi]

Exemplo 1: Extraído de Xavier et al. (2002). Considere os dados:

104 5 43 123 58 63 12 71 32

com N=9 observações. Determine o quartil inferior Q(0,25) e o superior Q(0,75) e o primeiro tercil Q(0,333): i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 5 12 32 43 58 63 71 104 123 1/10 2/10 3/10 4/10 5/10 6/10 7/10 8/10 9/10 Pi=i/(N+1) 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90

O esquema considerado acima faz atribuir a cada valor de yi a “ordem

Pi=i/(N+1) onde i = 1, 2, ..., N

No caso, as ordens quantílicas obtidas foram 0,10 = 10%; 0,20 = 20%; 0,30 = 30%; 0,40 = 40%; 0,50 = 50%; 0,60 = 60%; 0,70 = 70%; 0,80 = 80% e 0,90 = 90%. Segue-se que os yi correspondentes serão os decis, entre os quais está a mediana que

corresponde à ordem quantílica P = 0,50 = 50%.

Como faremos para calcular o quartil inferior Q(0,25) e o quartil superior Q(0,75)?

Q(0,25) é o quantil que corresponde à ordem quantílica P = 0,25, portanto, equidistante dos decis correspondentes as ordens quantílicas 0,20 e 0,30. Assim:

Q(0,25)=[Q(0,20)+Q(0,30)]=(12+32)/2=22 Q(0,75)=[Q(0,70)+Q(0,80)]=(71+104)/2=87,5

O primeiro tercil está entre 30% e 40%, cujos quantis respectivos são 32 e 43, portanto:

Q(P)=yi+{[P-Pi]/[Pi+1-Pi]}*[yi+1-yi]

Q(33,3%)=32+{[33,3-30]/40,0-30,0]}*[43-32] =32+(3,3/10,0)*11

=32+0,33*11 =35,63 Exemplo 2: Extraído de Assis et al. (1996). Dada a tabela:

Tabela 4: Totais anuais de chuva de Pelotas, RS, ordenados em forma crescente.

i Pi=i/(N+1) Y_i i Pi=i/(N+1) Y_i i Pi=i/(N+1) Y_i i Pi=i/(N+1) Y_i

1 0,010 680 26 0,257 1099 51 0,505 1298 76 0,752 1443 2 0,020 689 27 0,267 1110 52 0,515 1300 77 0,762 1455 3 0,030 832 28 0,277 1112 53 0,525 1305 78 0,772 1496 4 0,040 856 29 0,287 1114 54 0,535 1307 79 0,782 1501 5 0,050 857 30 0,297 1137 55 0,545 1311 80 0,792 1510 6 0,059 864 31 0,307 1138 56 0,554 1320 81 0,802 1510 7 0,069 885 32 0,317 1144 57 0,564 1321 82 0,812 1535 8 0,079 890 33 0,327 1153 58 0,574 1323 83 0,822 1539 9 0,089 890 34 0,337 1160 59 0,584 1326 84 0,832 1543 10 0,099 919 35 0,347 1166 60 0,594 1330 85 0,842 1555 11 0,109 923 36 0,356 1178 61 0,604 1331 86 0,851 1582 12 0,119 926 37 0,366 1179 62 0,614 1334 87 0,861 1605 13 0,129 931 38 0,376 1191 63 0,624 1342 88 0,871 1654 14 0,139 952 39 0,386 1198 64 0,634 1344 89 0,881 1656 15 0,149 973 40 0,396 1212 65 0,644 1350 90 0,891 1694 16 0,158 982 41 0,406 1220 66 0,653 1352 91 0,901 1695 17 0,168 998 42 0,416 1225 67 0,663 1355 92 0,911 1718 18 0,178 1004 43 0,426 1232 68 0,673 1360 93 0,921 1724 19 0,188 1011 44 0,436 1237 69 0,683 1361 94 0,931 1746 20 0,198 1040 45 0,446 1255 70 0,693 1372 95 0,941 1778 21 0,208 1048 46 0,455 1258 71 0,703 1373 96 0,950 1780 22 0,218 1049 47 0,465 1265 72 0,713 1377 97 0,960 1815 23 0,228 1054 48 0,475 1270 73 0,723 1390 98 0,970 1945 24 0,238 1066 49 0,485 1271 74 0,733 1423 99 0,980 1995 25 0,248 1090 50 0,495 1297 75 0,743 1435 100 0,990 2338

Para se encontrar os quartis divide-se o N+1 por 4; para os decis divide-se N+1 por 10 e para os percentis divide-se o N+1 por 100.

Na tabela acima, o primeiro quartil é o valor da série ordenada cuja posição é (N+1)/4 = 101/4 = 25,25 que corresponde a um valor de chuva entre 1.090 e 1.099 mm; a mediana, o segundo quartil, é encontrada por 2(N+1)/4 = 202/4 = 50,5, ou seja, o valor de chuva correspondente a 1.298 mm; o terceiro quartil é o 75º valor da série ordenada, ou seja, 3(N+1)/4 = 75,75, sendo o valor de chuva entre 1.443 e 1.455 mm.

O primeiro decil corresponde a (N+1)/100 = 101/100 = 1,01, que corresponde a um valor de chuva compreendido entre 680 e 689 mm. Por interpolação linear obtém-se o valor exato do primeiro decil multiplicando-obtém-se 0,01 pela diferença entre os valores da décima e nona observação e somando-se esse resultado ao valor da nona observação. Assim:

9 Referências

ASSIS, F. N., et al, 1996. Aplicações de Estatística à Climatologia. Ed. Universitária, UFPEL, Pelotas, RS.

CRESPO, A. A., 1997. Estatística Fácil. 15º _{Ed., Saraiva, São Paulo, SP.}

SILVA, N. P., 1998. Estatística Auto-Explicativa. Ed. Érica, São Paulo, SP. TRIOLA, M. F., 1998. Introdução à Estatística. 7º Ed., LTC, Rio de Janeiro, RJ.

XAVIER, T. M. B. S., SILVA, J. F. e REBELLO, E. R. G., 2002. A Técnica dos Quantis. Thesaurus, Brasília.

10 Exercício

Dada a série de temperatura média diária do mês de dezembro de 2000 da estação meteorológica situada na cidade do Rio Grande, RS, faça:

1. a distribuição e o histograma de freqüências; 2. calcule as medidas de tendência central; 3. calcule as medidas de dispersão;

4. calcule o coeficiente de assimetria e curtose e

5. compare os resultados obtidos com este conjunto de dados com os da estação do IAG.

Dia Temperatura do Ar (ºC) Dia Temperatura do Ar (ºC)

1 18.76 17 19.64 2 20.5 18 22.74 3 21.06 19 20.02 4 20.66 20 18.86 5 18.56 21 21.02 6 22.28 22 22.34 7 25.38 23 21.26 8 25.9 24 21.32 9 25.86 25 25.42 10 20.52 26 28.94 11 23.8 27 22.04 12 24.72 26 21.92 13 25.5 29 23.06 14 23.22 30 21.36 15 23.12 31 20.94 16 17.84