ANÁLISE CONJUNTA DE GRÁFICOS DE CONTRIBUIÇÃO PARA DIAGNÓSTICO DE FALHA
GUSTAVO B. SANTI1,CELSO J. MUNARO1, ARTHUR A. ASSIS1.
1. Laboratório de Controle e Instrumentação, Departamento de Engenharia Elétrica, Centro Tecnológico, Universidade Federal do Espírito Santo
Av. Fernando Ferrari, 514 - Goiabeiras, Vitória - ES, 29075-910
E-mails: gustavobsanti@gmail.com, cjmunaro@gmail.com, arthur.a.assis@gmail.com
Abstract Several multivariate statistical techniques have been developed over the years to monitor industrial processes and detect faults. Once the fault is detected, the correct fault diagnosis is necessary to rectify the problem. In this sense, a commonly used approach is the use of contribution plots. This approach assumes that variables with greater contributions to the fault statistic can be used for diagnosis. Difficulties arise in the presence of smearing effect and when different faults are affected by the same variables. This paper proposes the use of a statistical threshold to aid in the correct fault diagnosis, and a joint analysis of the for a more accurate fault diagnosis.
Keywords Process control, fault diagnosis, contribution plots.
Resumo Diversas técnicas baseadas em estatística multivariada foram desenvolvidas com passar dos anos para monitorar processos industriais e detectar falhas. Uma vez detectada a falha é necessário seu diagnóstico correto para a correção do problema. Nesse sentido uma metodologia largamente utilizada é o uso de gráficos de contribuição. A análise utilizando gráficos de contribuição parte do pressuposto que variáveis com maiores contribuições para a estatística da falha podem ser utilizadas para o diagnóstico. Dificuldades ocorrem quando o efeito de smearing está presente ou quando diferentes falhas são afetadas pelas mesmas variáveis. Esse artigo propõe o uso de um limiar estatístico para o auxílio do diagnóstico correto da falha, além de uma análise conjunta dos diferentes métodos de um diagnóstico mais preciso.
Palavras-chave Controle de processos, diagnóstico de falha, gráficos de contribuição.
1 Introdução
A utilização dados históricos de processos industriais torna possível realizar o monitoramento estatístico multivariado e utilizar os modelos obtidos para detecção e isolamento de falhas. Tal metodologia vem recebendo atenção na área tanto na área acadêmica quanto em aplicações industriais. Esses métodos incluem técnicas de modelagem que conseguem lidar e explorar dados obtidos no processo estudado (Mnassri, et al., 2015).
O uso de modelos matemáticos e estatísticos é particularmente atraente porque eles reduzem muito a dimensionalidade do processo estudado, permitindo uma fácil representação gráfica e interpretação e tratamento de dados (Kourti, 2002)
Se torna conveniente então desenvolver métodos para detectar e investigar as causas de falhas através da análise de dados históricos de processo. Duas metodologias largamente utilizadas para monitoramento de processos industriais são a Análise por Componentes Principais (Principal Component Analysis - PCA) e a Análise por Componentes Independentes (Independent Component Analysis – ICA), as duas metodologias diferem de forma que PCA é utilizado para redução do número de variáveis analisadas e apenas descorrelaciona as variáveis, enquanto o ICA descorrelaciona e reduz a dependência entre as variáveis (Lee, 1998).
O PCA possui variações mais indicadas para cada tipo de caso estudado, como o Multiway PCA para
processos em batelada, Análise Dinâmica de Componentes Principais (Dynamic Principal Component Analysis - DPCA) para extrair auto correlação entre variáveis, entre outros (Liu, 2012).
Após uma falha ser detectada deseja-se diagnosticar a mesma, ou seja, encontrar a causa raiz. Gráficos de contribuição são a ferramenta mais usual para identificar quais variáveis influenciam para que as estatísticas analisadas ultrapassem seus limiares de controle. Esses gráficos são baseados na ideia que variáveis com maiores contribuições para o índice de detecção de falha (utilizando PCA e ICA) são provavelmente as variáveis responsáveis pela falha. Os gráficos de contribuição são construídos determinando a contribuição de cada variável para o índice calculado, após detectada a falha (Alcala & Qin, 2008).
Dentro da literatura existem diversos métodos para cálculo dos gráficos de contribuição, deseja-se então obter uma análise unificada das contribuições de forma que diagnósticos em diferentes métodos convirjam para que seja possível identificar as variáveis responsáveis pela falha a fim de criar assinaturas de falha que possam ser utilizadas para o diagnóstico.
Um fator que dificulta o diagnóstico correto da falha é o efeito de smearing, em que variáveis em falha influenciam nas contribuições de variáveis sem falha, isso faz com que variáveis que não foram afetadas pela falha apareçam como causadoras (Westerhius, et al., 2000).
Para auxiliar no correto diagnóstico é desenvolvido um limiar utilizando estatística descritiva para eliminar contribuições que seriam a resposta normal do sistema de controle e reduzir o efeito do smearing.
2 Métodos para cálculo de contribuições 2.1 Análise de Componentes Principais - PCA
Seja a matriz de dados X = [𝒙1 𝒙2 . . . 𝒙𝑚]𝑇 ∈ ℝ𝑛×𝑚
com 𝑚 variáveis e 𝑛 amostras. Cada variável é normalizada de forma que possua média zero e variância unitária. A matriz de covariância de X é aproximada pela matriz de covariância amostral
𝑺 ≅ 1 𝑛 − 1𝐗
T𝐗 = 𝐏𝚲𝐏T+ 𝐏̃𝚲̃𝐏̃T (1)
A PCA realiza a decomposição em autovalores da matriz de covariância para obter as matrizes de carregamento, principal e residual, 𝐏 ∈ ℝ𝑛×𝑙 e 𝐏̃ ∈
ℝ𝑛×(𝑚−𝑙), onde 𝑙 é o número de componentes
principais retidas. A matriz diagonal 𝚲 contém os autovalores principais ordenados em ordem decrescente, enquanto 𝚲̃ contém os autovalores residuais.
Existem dois critérios usuais para a escolha do número de componentes principais, a soma cumulativa da variância percentual, ver Valle et al. (1999) e a variância do erro de reconstrução (VER), ver Mnassri et al. (2009).
Para monitoramento são definidas duas estatísticas que são acompanhadas utilizando PCA. A estatística 𝑄 utiliza os resíduos
𝑄 = (𝐱 − 𝒙̂)𝑇(𝐱 − 𝒙̂) = 𝐱T𝐂̃𝐱 (2)
sendo 𝐂̃ ≡ 𝐏̃𝐏̃𝑇. Outra estatística extraída do PCA é
a 𝑇2 de Hotelling
𝑇2= 𝐭T𝚲−𝟏𝐭 = 𝒙𝑇𝑫𝒙 (3)
sendo 𝐃 ≡ 𝐏𝚲𝐏𝑇e 𝐭 as colunas da matriz de scores
𝐓 = 𝐗𝐏. Alcala & Qin (2008) propõem o uso de uma estatística combinada φ e seu limiar de controle na forma φ =𝑇 2 𝑡2+ 𝑄 𝛿2 (4)
sendo 𝑡2 e 𝛿2 os limiares de controles das estatísticas,
tendo seu cálculo sido demonstrado em MacGregor & Kourti (1995).
Quando alguma das estatísticas acima ultrapassa seu limiar de controle a falha é detectada. Gráficos de contribuição são uma ferramenta largamente utilizada para o diagnóstico de falha, devido a sua simples
implementação e a não necessidade de conhecimento prévio sobre o funcionamento do sistema. Eles são baseados na ideia que as variáveis com maior contribuição são consideradas as causadoras da falha. Utilizando a matriz de scores o cálculo da contribuição é dado por
𝑐𝑗(𝑡𝑎/𝑠𝑎)2= 𝑡𝑎
𝜆𝑎
𝑝𝑎𝑗𝑥𝑗 (5)
sendo 𝑝𝑎𝑗 a j-ésima componente do autovetor 𝑝𝑎 da
matriz de carregamento referente ao autovalor 𝜆𝑎 e 𝑠𝑎
é o desvio padrão da componente 𝑡𝑎. A contribuição
total da variável 𝑥𝑗 é dada por
𝐶𝑗𝑇 = ∑ 𝑐𝑗 (𝑡𝑎/𝑠𝑎)2 𝑙
𝑎=1
(6)
Alcala e Quin (2008) fornecem uma maneira diferente de calcular contribuições para os diferentes índices de falha na forma
𝑐𝑖Í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒= (𝜉𝑖𝑇𝐌 1 2𝐱)
2
(7)
sendo 𝜉𝑖 a i-ésima coluna de uma matriz identidade na
direção da variável 𝑥𝑖 e 𝐌 a matriz característica da
estatística conforme a Tabela 1.
Tabela 1. Matrizes características
Índice 𝐌 𝑆𝑃𝐸 𝐂̃ 𝑇2 𝐃 𝜑 𝚽 = 𝐂̃ 𝛿2 + 𝐃 𝑡2
Embora muito prático, o uso de gráficos de contribuição pode levar a diagnósticos enganosos, devido ao efeito de smearing, onde variáveis sem influência para a falha acabam aparecendo na análise (Yoon & MacGregor, et al., 2001).
Para solucionar esse problema Alcala & Qin (2008) propõem o método de Contribuição Baseada em Reconstrução (Reconstruction Based Contribution – RBC) que combina análise de contribuição das variáveis com e identificação de falha baseada em reconstrução. Esse método garante que a variável com causadora da falha possui o maior RBC, porém não elimina o efeito de smearing. Utilizando as matrizes da Tabela 1, o RBC é calculado
𝑅𝐵𝐶𝑖Í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 = 𝐱𝑇𝐌𝜉𝑖(𝜉𝑖𝑇𝐌𝜉𝑖)−1𝜉𝑖𝑇𝐌𝐱 (8)
Para eliminar o efeito do smearing, Liu & Chen (2014) apresentam uma análise que utiliza dados ausentes com o propósito de localizar as variáveis causadoras da falha, esse é o método da Redução do
Índice Combinado (Reduction of Combined Index - RCI). A abordagem proposta consiste em dois passos: no primeiro passo são determinadas, quais variáveis tiveram participação na violação do limiar estatístico, de forma que após a remoção dessas variáveis o índice de falha analisado ficará abaixo do limite de controle. Em seguida o gráfico de contribuição é feito apenas para as variáveis em que a falha foi detectada, garantindo que outras variáveis não aparecem nos gráficos.
Para realizar os cálculos é criada a matriz 𝛏 ≡ ~[𝛏𝟏 𝝃𝟐 𝝃𝒇] sendo 𝑓 é o número de variáveis em
falha e 𝛏𝐢 é um vetor coluna onde o i-ésimo elemento
é um e os demais zero. As variáveis monitoradas podem ser decompostas de forma que 𝐱 = 𝚪𝐱 + (𝐈 − 𝚪)𝐱, em que 𝚪 é uma matriz onde os valores da sua diagonal são um para as colunas correspondentes a variáveis onde falha foi detectada e zero para as demais. A reconstrução das variáveis em falha é obtida a partir da equação:
𝐱𝑓∗= −(𝛏T𝚽𝛏)𝑇𝛏T𝚽(𝐈 − 𝚪)𝐱 (9)
e a contribuição é obtida a partir de
𝑐𝑖𝑅𝐶𝐼 = [(𝐱𝑓− 𝐱𝑓∗) 𝑇 (𝛏T𝚽𝛏)12𝛏 𝐢] 2 (10)
sendo 𝐱𝑓 as variáveis em falha.
2.2 Análise Dinâmica de Componentes Principais - DPCA
Com o efeito da dinâmica em processos e controles de malha fechada, as medições realizadas em tempos diferentes geralmente não são independentes. Para analisar a relação dinâmica entre as variáveis DPCA executa os mesmos procedimentos do PCA para a matriz de dados aumentada 𝐙 = [𝒛1 𝒛2 . . . 𝒛𝑛]𝑇, onde
as colunas da matriz são o conjunto entre variáveis medidas e as mesmas variáveis aplicados os atrasos, como mostrado em Li, et al. (2014).
Li, et al. (2014) demonstram a equivalência entre os cálculos usando PCA e DPCA, mostrando que a diferença é a utilização da matriz 𝐙 ao invés da matriz de dados 𝐗. Os autores também apresentam uma metodologia para cálculo do RBC para o DPCA da forma
𝐑𝐁𝐂Ξ𝛟= 𝐳𝑇𝚽𝚵(𝚵𝑇𝚽𝚵)+𝚽𝐳 (11) sendo que (∙)+ representa a pseudoinversa e 𝚵 é a
matriz de direção de falha obtida a partir de um algoritmo que analisa os valores de RBC das variáveis e após detectar a falha remove a variável que possuiu maior valor absoluto de RBC, esse passo é repetido até que as variáveis restantes fiquem todas abaixo dos limites de controle e as variáveis removidas são utilizada para montar a matriz de direção de falha 𝚵.
Em seguida é possível calcular a contribuição para a falha, de cada variável a partir da equação
𝐶𝑜𝑛𝑡𝑗𝑅𝐵𝐶 = [𝜉𝑇[(𝚵T𝚽𝚵)+] 1 2𝚵T𝚽𝐳]
2
(12)
2.3 Análise de Componentes Independentes - ICA ICA é uma técnica estatística para revelar sinais não-Gaussianos que descrevem as variáveis de um processo. O conjunto de componentes independentes 𝐬 ∈ ℛd e o vetor de variáveis 𝐳∗∈ ℝm (𝑑 ≤
𝑚) possuem a seguinte relação (Hyvarinen & Oja, 2000):
𝐳∗= 𝐀𝐬 + 𝐞 (13)
sendo 𝐀 ∈ ℛm×d a matriz de coeficientes e 𝐞 ∈ ℛd o
vetor de erro. A ICA tem por objetivo estimar as componentes a partir da matriz de separação 𝐖 tal que:
𝐬̂ = 𝐖𝐳∗= 𝐖𝐀𝐬 ≈ 𝐬 (14)
Lee, et al. (2004) apresentam uma forma de calcular a contribuição para a estatística 𝐼2= 𝒔̂T𝒔̂
𝒄𝒊𝑰𝑪𝑨= 𝐐−𝟏𝐁 𝐝𝐬̂𝐝 ‖𝐐−𝟏𝐁 𝐝𝐬̂𝐝‖ ‖𝐬̂𝐝‖ (15)
sendo 𝐐 ∈ ℝm×m a matriz de branqueamento, 𝐁 ∈
ℝm×d é tal que 𝐖 = 𝐁T𝑸 e o subscrito 𝐝 indica o número de componentes independentes retidos a partir da norma euclidiana dos vetores da matriz 𝐖.
2.3 Contribuição Baseada na Eliminação de Variáveis - VEC
Satoyama, et al. (2016) apresentam a Contribuição Baseada na Eliminação de Variáveis (Variable Elimination Based Contribution -VEC) onde a partir da matriz de dados 𝐗 ∈ ℝ𝑛×𝑚o método cria modelos
de identificação 𝑚[𝑀](𝑀 = 1,2 … 𝑚) através da
eliminação da M-ésima variável. Para a detecção de falha pode-se utilizar modelos como PCA com 𝑚 variáveis, já para identificação da falha são utilizados modelos com 𝑚 − 1 variáveis.
Quando uma falha for detectada o índice de detecção 𝐼(𝑥𝑓[𝑀]) ultrapassa o limiar de controle e o VEC pode ser calculado a partir de:
𝑉𝐸𝐶𝑀= 1 𝑁∑ 𝐼(𝑥𝑁𝑂𝐶,𝑛 [𝑀] 𝑁 𝑛=1 ) 𝐼(𝑥𝑓[𝑀]) (16)
sendo 𝑁𝑂𝐶 a região de funcionamento normal do sistema, e 𝑛 a medida onde a M-ésima variável é retirada. Na Eq. (17) o numerador representa a média
dos dados durante funcionamento normal e o denominador o índice de detecção de falha. Quando o índice é recalculado sem a variável causadora da falha o mesmo não ultrapassa o limiar de controle e assim o 𝑉𝐸𝐶𝑀 fica próximo a um, por outro lado se a variável
que causa a falha não é removida o índice aumenta e a contribuição fica próxima a zero.
3 Proposta
Como visto na seção anterior existem diversas formas de calcular e criar os gráficos de contribuição para que seja feito o diagnóstico da falha. Deseja-se então encontrar uma maneira de indicar a partir das análises obtida a variável ou conjunto de variáveis responsáveis pela falha.
A abordagem proposta busca realizar uma análise conjunta dos resultados obtidos utilizando cada metodologia. Conhecendo a falha é possível determinar assinaturas que indiquem a variável causadora através das variáveis que tiveram contribuição para a falha.
Cada metodologia possui suas restrições, como é o caso da metodologia no caso das contribuições às estatísticas e do RBC, Alcala & Qin (2008) apresentam o efeito do smearing. Para a contribuição utilizando o RCI, pequenas intensidades de falha podem não serem detectadas pelo algoritmo e assim a matriz de direção de falha é montada de forma incorreta e uma variável que possuiu contribuição para a falha eliminada da assinatura. Quando analisado o ICA, a forma como são criadas as componentes impacta no resultado devido a aleatoriedade dos algoritmos, o que leva a diferentes resultados nas análises sempre que o algoritmo é feito. Para o método VEC, em falhas que interferem em mais de uma variável o resultado obtido com sua contribuição pode ser incorreto. Sendo assim é proposto analisar uma variável como participante da assinatura da falha sempre que a mesma aparecer em cinco das sete análises apresentadas.
Observando as contribuições do sistema em funcionamento normal percebeu-se que elas não seguem nenhum tipo de distribuição estatística, sendo assim é proposto um limiar utilizando o diagrama de caixa (boxplot), uma ferramenta não paramétrica que apresenta a variação das amostras de uma população sem fazer qualquer suposição a respeito da distribuição estatística de tal população, e que possui como característica que suas medidas estatísticas são resistentes a valores distantes da distribuição que podem influenciar erroneamente a análise.
É proposto o uso do terceiro quartil como limiar, onde 75% das observações de contribuição em funcionamento normal estão contidas, pois representa bem as contribuições do sistema e elimina aquelas que se apresentam como pontos distantes, de forma que após a falha as contribuições se concentrarão sobre a variável causadora da falha.
4 Aplicação no simulador
Um Reator de Tanque Agitado Contínuo (Continuous stirred tank reactor – CSTR) com realimentação nos controladores, como mostrado na Fig. 1, foi simulado, maiores detalhes sobre o CSTR podem ser encontrados em Singhal & Seborg (2002).
Figura 1.CSTR Tabela 2. Variáveis do CSTR.
ID Descrição da variável Valor 1 Temperatura do reator (T) 80 ºC 2 Pressão do refrigerante 56250 Pa 3 Temperatura do reagente (TF) 30 ºC 4 Temperatura do refrigerante (TCF) 20 ºC 5 Nível do reator (h) 2 m 6 Vazão de produto (Q) 0,25 m³/s 7 Vazão do refrigerante (QC) 0,9 m³/s 8 Vazão de reagente (QF) 0,25 m³/s
9 Concentração de reagente (CA) 20 mol/m³
As variáveis monitoradas estão listadas na Tabela 2. O tempo de simulação escolhido foi de 300 minutos e uma falha foi simulada a partir do minuto 200. A primeira falha considerada se baseia em Yoon & MacGregor (2001) e consiste no aumento de 1ºC na temperatura do reagente TF, segundo os autores para
essa falha o sistema de controle não irá gerar falhas em outras variáveis.
Figura 2. Detecção de falha; (a) Estatística combinada φ; (b) Estatística 𝐼2 do ICA; (c) Estatística φ usando DPCA;
A Fig. 2 ilustra os índices de detecção estudados em escala logarítmica, e nela observa-se que os índices analisados acusam a falha simulada no instante 200 minutos.
Figura 3. Comparativo de contribuições; (a) Contribuição de scores; (b) contribuição para φ; (c) RBC de φ; (d) Contribuição RCI; (e) RBC de φ com DPCA; (f) Contribuição de ICA; (g) VEC
As contribuições têm diferentes valores para os diferentes métodos de cálculo, sendo assim, elas são expressadas na forma percentual.
Na Fig. 3 são mostrados os valores das contribuições após a detecção da falha para os sete métodos estudados. Nessa figura também é observado o efeito de smearing na maioria dos métodos. Como apenas a variável 3 é afetada pela falha, as demais variáveis que aparecem com contribuições são incluídas por estarem correlacionadas com a variável 3. No método RCI (Fig. 3(d)) esse efeito não se manifesta, sendo esta uma de suas propriedades.
Para eliminar o smearing, foi aplicado o limiar de quartil utilizando as contribuições das variáveis durante a operação sem falha.
Figura 4. Somatório das contribuições; (a) Contribuição de scores; (b) contribuição para φ; (c) RBC de φ; (d) Contribuição RCI; (e)
RBC de φ com DPCA; (f) Contribuição de ICA; (g) VEC
A Fig. 4 ilustra o percentual do somatório das contribuições para a janela analisada, com e sem o uso do limiar. Observa-se que contribuições menores de outras variáveis que não foram causadoras da falha. Assim, o uso do limiar na contribuição faz com que todos os métodos indiquem claramente a variável 3 como a fonte da falha.
Uma falha na concentração de reagente (variável 9) foi também simulada. Esta falha resulta no aumento da temperatura do reator (variável 1), pois o controlador busca compensar a falha através do aumento da vazão de refrigerante (variável 7). A falha foi introduzida no instante 200 minutos, alterando o valor da variável 9 para 21 mol/m³. Embora não seja mostrado, todos os métodos detectaram a falha. O resultado do somatório das contribuições é mostrado na Fig. 5, com e sem o limiar sobre as contribuições.
Figura 5. Comparativo de contribuições para a nova falha; (a) Contribuição de scores; (b) contribuição para 𝜑; (c) RBC de 𝜑; (d)
Contribuição RCI; (e) RBC de 𝜑 com DPCA; (f) Contribuição de ICA; (g) VEC
Neste caso três variáveis estão associadas a falha (1, 7 e 9). As variáveis 7 e 9 são corretamente indicadas por todos os métodos. A variável 1 é rapidamente corrigida pelo controlador.
Figura 6. Somatório das contribuições para diferentes intensidades de falha; (a) Contribuição de scores; (b) contribuição para φ; (c) RBC de φ; (d) Contribuição RCI; (e) RBC de φ com DPCA; (f)
O uso de limiar e da votação são agora avaliados para cinco diferentes intensidades de falha impostas à variável 9 (Fig. 6). Observa-se que as variáveis 7 e 9 foram indicadas por todos os métodos e para todas as intensidades. A variável 1 foi indicada para todas as intensidades de falhas em seis métodos (Fig. 6 a,b,c,e,f,g), não tendo sido indicada para uma das intensidades no método RCI (Fig. 6 (d)). Isso se deve ao fato de que para a primeira intensidade de falha a temperatura do tanque não se eleva suficientemente para que o algoritmo utilizado para a criação da matriz de direção de falha do RCI a detecte como uma variável responsável pela violação do limiar de controle.
Para a Fig. 6, novamente, pelo menos seis dos sete métodos indicaram corretamente as variáveis 1, 7 e 9 como assinatura da falha.
Analisando as figuras 4 e 5 percebe-se como o uso do limiar elimina o efeito de smearing, onde são mantidas apenas variáveis que tiveram direta influência na violação dos limiares de controle das distribuições estudadas apareceram com contribuição. A análise conjunta dos das contribuições torna diagnóstico através da assinatura da falha mais preciso.
5 Conclusão
Um método para a análise conjunta dos métodos de contribuição para falhas foi proposto. Nos casos em que apenas uma variável é associada a falha, o uso do limiar proposto permite mitigar o efeito smearing. Em falhas associadas a mais de uma variável, a análise conjunta das variáveis que contribuíram para a falha permite descartar análises contaminadas pelas diferentes deficiências dos métodos, gerando diagnósticos mais precisos.
A aplicação da proposta aos estudos de caso, incluindo falhas com diferentes intensidades, mostrar ser promissora esta metodologia. Uma possível melhoria é o uso de informações complementares a votação feita, com o uso de diferentes pesos baseado na confiança do método para a situação dada.
Agradecimentos
Agradecemos ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) pela bolsa do primeiro autor.
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