cap2escalonamento

2. Escalonamento de matrizes

2.1 Operações elementares sobre as linhas de uma matriz

Algumas situações problemas representadas por matrizes requerem na sua resolução a aplicação de operações efetuadas com as linhas das matrizes envolvidas. Por exemplo, suponhamos que desejamos encontrar o ponto de interseção das retas r : 2x - y = 0_, s : x  1y _{, isto é, um par} x y,  _{que seja solução para estas duas equações. Assim,} deveremos resolver o sistema abaixo:

2

0

1

x y

x y

 

  







Se abstrairmos as incógnitas deste sistemas podemos representá-lo pela matriz:

A           2 1 0 1 1 1

Agora se dividirmos a primeira equação deste sistema por 2, obtemos um outro sistema que possui o mesmo conjunto solução do anterior,

x y

 









1

2

0

x- y = -1

. A matriz que representa este novo sistema é B  

          1 1 2 0 1 1 1 .

Observemos que a matriz B pode ser obtida da matriz A dividindo a primeira linha de A por 2.

Continuando em busca da solução do sistema, podemos substituir a primeira equação pela equação obtida quando subtraímos a segunda equação da primeira, ou seja:

0

1

2

1

x

 

y







x - y = -1

, cuja matriz associada C 

          0 1 2 1

1 1 1 pode ser obtida da matriz B

substituindo a primeira linha pela linha obtida quando subtraímos a segunda linha da primeira.

Observemos que fazer uma operação com uma equação do sistema corresponde a fazer uma operação semelhante com as linhas da matriz que o representa. Assim, se multiplicarmos a primeira equação do sistema anterior por 2, obteremos:

0

x y

 

2





x-y = -1

, D          0 1 2 1 1 1 .

x y

  







1

0x + y = 2

, E          1 1 1 0 1 2

Finalmente, substituindo a primeira equação do sistema anterior pela equação obtida quando somamos a primeira equação com a segunda, obtemos:

x y

 







0 1

0x + y = 2

, F       1 0 1 0 1 2

Este último sistema nos fornece a solução procurada, isto é, o par 1 2 , _.

Esta técnica de resolução de sistemas pode não ser a melhor no caso de sistemas simples, mas tem a vantagem de poder sempre ser aplicada e ser facilmente mecanizada. É particularmente útil no caso de sistemas com um grande número de incógnitas.

Observemos que poderíamos obter a solução trabalhando apenas com as matrizes que representam os sistemas, operando com as suas linhas. Estas operações são conhecidas como operações elementares sobre as linhas de uma matriz e são definidas a seguir.

Definição 1

São três as operações sobre as linhas de uma matriz:

(i) Multiplicação da i-ésima linha por um escalar não nulo t.



L_itL_i



Exemplos: 1 0 1 1 2 1 0 1 0 4 2 1 0 2 4 2                         L L , 1 0 4 2 1 0 1 0 1 1 2 1 0 2 1₄ 2                         L L

(ii) Permuta das i-ésima e j-ésima linhas.



LiLj



Exemplos:       _       1 0 2 3 1 2 3 1 2 1 0 2 1 2 L L , 3_{1 0 2}1 2 1 2 ₃1 0 2_{1 2}               L L

(iii) Substituição da i-ésima linha pela i-ésima linha mais t vezes a j-ésima linha.



LiLitLj



Exemplos: 1 0 2 0 3 4 0 1 2 1 0 2 2 3 0 0 1 2 2 2 2 1                         L L L , 1 0 2 2 3 0 0 1 2 1 0 2 0 3 4 0 1 2 2 2 2 1                         L L L Definição 2

Sejam A e B matrizes de mesma ordem. Dizemos que B é linha equivalente a A, se B pode ser obtida de A através de um número finito de operações elementares sobre as linhas de A.

A L L L L L L L L B       _{ }                          1 2 3 3 2 1 1 2 3 0 4 8 1 2 3 0 1 2 1 0 1 0 1 2 2 2 3 1 2 2 1 1 2 1 4 2 B  L L L L L L L L A             _{ }                  1 0 1 0 1 2 1 2 3 0 1 2 1 2 3 0 4 8 1 2 3 3 2 1 1 1 2 2 2 4 2 2 2 3 1

Usaremos a notação ABpara significar que a matriz B é linha equivalente a A.

Observemos que matrizes linha equivalentes possuem mesma ordem, já que operações elementares sobre linhas de uma matriz conserva a ordem da matriz. Além disso, se AB então B , pois para cada operação elementar sobre as linhas de uma matriz, podemosA

encontar uma operação elementar inversa da mesma.

Definição 3

Dizemos que uma matriz é elementar se podemos obtê-la de uma matriz identidade através de apenas uma operação elementar sobre linhas.

Exemplos: 1 0_{0 1} 2 3 2 1 0_{0 2} 1               L L _E , 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 3 1 2                        L L _E 1 0 0 1 1 3 0 1 1 1 3 2 3                L L L _E

. As matrizes E₁ , E e E_{2 3 são matrizes elementares.}

Como cada matriz elementar é obtida por uma única operação elementar sobre linha, costumamos associar a matriz elementar com a operação pela qual ela foi obtida. Por exemplo, considerando a identidade de ordem dois, temos:

E₁ 1 0 ₂ L₂ 0 5 5        L  E2 1 L1 L2 1 4 0 1 4        L   Teorema 1

Seja A uma matriz e B a matriz obtida de A por apenas uma operação elementar sobre linhas. Então B EA , onde a matriz E é a matriz elementar associada a operação elementar efetuada sobre as linhas de A para obter a matriz B.

Dem] Para simplificarmos a demonstração consideraremos a matriz A

 

aij _{3 x 2} e a

operação elementar L₁tL₁, então:

A a a a a a a ta ta a a a a B L tL                         11 12 21 22 31 32 11 12 21 22 31 32 1 1 _.

A matriz elementar associada a esta operação que pode ser multiplicada a esquerda de A é a matrizE t            0 0 0 1 0 0 0 1 . Assim, EA t a a a a a a ta ta a a a a B                                  0 0 0 1 0 0 0 1 11 12 21 22 31 32 11 12 21 22 31 32

Nos outros casos, a demonstração é feita de modo análogo.

Consideremos agora o exemplo a seguir,

A L L L L L L L B       _{ }                        1 2 3 3 2 1 1 2 3 0 4 8 1 2 3 0 1 2 0 1 2 1 2 3 2 2 3 1 2 2 1 2 1 4 1 2 3 E E E

As matrizes elementares associadas as operações efetuadas são:

E₁ 1 0 _{2 3} 3 1 1 0 0 1 4 0 1 1 0          _                , E e E .

Pelo teorema 1 podemos escrever E E E A_{3 2 1} B _{, que é uma forma simplificada de}

representar o conjunto das operações realizadas no exemplo anterior.

De modo análogo ao exemplo anterior, sejam E1, E2 e E3 as matrizes elementares

associadas as operações elementares efetuadas sobre as linhas de B para obtermos A, temos:

B  L L L L L L L L A             _{ }                  1 0 1 0 1 2 1 2 3 0 1 2 1 2 3 0 4 8 1 2 3 3 2 1 1 1 2 2 2 4 2 2 2 3 1 E3 E2 E1

O teorema 1 nos permite escrever :E E E B A1 2 3  .

2.2 Matriz Linha Reduzida à Forma Escada

Definição 4

Dizemos que uma matriz A m x n é linha reduzida à forma escada (LRFE) se satisfaz as

condições a seguir:

(i) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1.

(ii) Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha possui todos os seus outros elementos iguais a zero.

(iii) Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas.

(iv) Se as linhas 1, ... , r são as linhas não nulas, e se o primeiro elemento não nulo da linha i ocorre na coluna ki , então k1k2  kr.

Exemplo: Consideremos a matriz A dada a seguir, A             0 1 3 0 4 0 2 0 0 0 1 5 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0

Observemos inicialmente que: a primeira linha de A é não nula, o primeiro elemento não nulo desta linha é 1 e se encontra na coluna 2, que possui todos os outro elementos iguais a zero, satisfazendo assim as condições (i) e (ii) da definição anterior. É fácil verificar que as linhas 2 e 3 também satisfazem as estas condições. Além disso, a coluna em que aparece o primeiro elemento não nulo da linha 1 é a coluna 2, ou seja, k₁ 2. A coluna em que ocorre o primeiro elemento não nulo da linha 2 é a coluna 4, daí k₂ 4_{. E} k₃ 6 _{pois, a coluna em}

que aparece o primeiro elemento não nulo da linha três é a coluna 6. Como k₁k₂k_{3 , a}

matriz A satisfaz também a quarta condição. Finalmente, a quarta linha de A é nula e ocorre abaixo de todas as outras linhas. Assim, a matriz A satisfaz também a condição (iii), e portanto A é uma matriz linha reduzida à forma escada.

Observemos que quarta condição equivale a dizer que o número de zeros que precede o primeiro elemento não nulo de uma linha aumenta a cada linha, até que sobrem somente linhas nulas, se houver, dando assim a forma escada à matriz.

Exemplos:

As matrizes dadas a seguir são linha reduzida à forma escada:

1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 3 0 0 1 4                               , , , ,

Observemos que matrizes quadradas LRFE ou é a matriz identidade ou possui uma linha nula.

As matrizes dadas a seguir não são linha reduzida à forma escada:

0 1 1 0 2 0 0 1 0 0 1 0                         , , 1 0 6 7 0 0 1 0 ,

Consideremos agora uma matriz que não é LRFE, por exemplo, a matriz A dada a seguir:

A            2 4 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0

Podemos efetuar operações sobre as linhas de A de modo a obtermos uma matriz B na forma LRFE. De fato,

A L L L L L L L B                                              _{  } 2 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 2 2 1 2 3 1 2

Assim, a matriz B é linha equivalente a matriz A e está na forma LRFE. Isto é sempre possível qualquer que seja a matriz A, é o que nos garante o teorema a seguir, cuja demonstração se encontra no item (1) das leituras recomendadas.

Teorema 2

Toda matriz A é linha equivalente a uma única matriz B linha reduzida à forma escada. O processo de obtenção da matriz B LRFE que é linha equivalente a matriz A, através das operações elementares sobre linhas é chamado de escalonamento de A. Assim, no exemplo anterior, dizemos simplesmente que estamos escalonando a matriz A.

O teorema 2 nos permite definir os conceitos a seguir, que serão utilizados na discussão do número de soluções de um sistema de equações, no capítulo seguinte.

Definição 5

Seja B a matriz LRFE linha equivalente a matriz A. Chamamos posto de A, denotado por p(A), o número de linhas não nulas da matriz B. O número n(A) obtido quando subtraímos o posto de A do número de colunas de A é chamado de nulidade de A.

Exemplo 1. Consideremos a matriz A do exemplo anterior, ou seja, A           2 4 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 Como AB           1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 , temos que:  p A 3 e n A 4 3 1_.

Exemplo 2. Consideremos agora a matriz C             1 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

. Observemos que C é uma matriz

LRFE. Assim, podemos calcular diretamente o posto e a nulidade de C:

   

p C 2 e n C  3 21_.

Será que é possível construir uma matriz D4 x 3 cujo posto é 4? Pense nisso!

Considerando a matriz A m x n , observemos que o posto de A é no máximo igual ao número

de linhas de A, além disso, não pode ultrapassar o número de colunas de A, ou seja,

   

p A m e p A n_.

2.3 Matrizes Elementares e Determinantes

Nosso objetivo nessa seção é estudarmos um método de calcular o determinante de matrizes utilizando as matrizes elementares. Consideraremos conhecidos os conceitos e propriedades de determinantes.

Consideremos inicialmente as matrizes elementares dadas a seguir: E t 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0              E₂ 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1              E t 3 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1             

Os determinantes dessas matrizes são facilmente calculados. Observemos que: det E₁ tdet It , det E₂  det I 1 e det E₃det I1.

De modo geral, se E é uma matriz elementar associada a operação elementar : (i) L_itL_i , então det E t .

(ii) L_iL_{j, então det E 1}

(iii) L_i L_itL_{j, então det E 1}

Consideremos agora uma matriz quadrada A e EnE E A2 1 B, então,





det EnE E A2 1 detB,

daí ,

detE_ndetE₂detE₁detAdetB, logo,

det det

det det det

A B

E_n E E



 2 1.

Assim, o determinande de uma matriz quadrada A , pode ser calculado a partir do determinante de uma matriz B linha equivalente a A e dos determinantes das matrizes elementares associadas as operações elementares efetuadas sobre as linhas de A para obter B.

Exemplo:

Vamos utilizar o método acima para calcular o determinate da matriz A           2 5 6 1 2 4 0 0 2 . Escalonando A, A L L L L L L L L                                                    2 5 6 1 2 4 0 0 2 1 2 4 2 5 6 0 0 2 1 2 4 0 1 2 0 0 2 1 0 8 0 1 2 0 0 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 E1 E2 E3 L1 L1 4L3 L2 L2 L3 L3 L3 1 2 1 0 0 0 1 2 0 0 2 1 0 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1                                        . E4 E5 E6 Então, det

_{ }

det

det det det det det det

A I E E E E E E           1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 1 2 2