Movimentos Ondulatórios
1. Introdução
Um dos desenvolvimentos mais importantes da Física no séc. XX foi a descoberta de que toda matéria é dotada de propriedades ondulatórias e que um feixe de elétrons, por exemplo, é refletido por um cristal da mesma maneira que um feixe de raios X.
Onda é uma perturbação qualquer sobre uma condição de equilíbrio, que se propaga de uma região de espaço para outra, no decorrer do tempo.
Exemplos de ondas: Ondas aquáticas Ondas sonoras Ondas luminosas
As ondas podem transportar energia e quantidade de movimento de um local para outro sem que haja deslocamento de partículas materiais.
Para simplificar, o nosso estudo será concentrado nas ondas harmônicas (ou seja, aquelas quer podem ser representadas por funções seno e co-seno), mas os princípios desenvolvidos se aplicam igualmente às ondas com formas mais complexas.
2. Ondas Mecânicas
As ondas mecânicas se propagam através de um meio elástico. Elas podem ser originadas por uma perturbação inicial em um ponto do meio. Devido às propriedades elásticas do meio, a perturbação se propaga através dele.
O deslocamento propaga-se no meio em velocidade definida.
3. Tipos de Ondas
Ao listar ondas aquáticas, ondas luminosas e ondas sonoras como exemplos de movimento ondulatório, estamos classificando as ondas de acordo com suas propriedades físicas grosseiras. As ondas podem ser classificadas quanto à direção de movimento das partículas, número de dimensões, periodicidade e perfil da frente de onda.
Vamos dar importância a direção de movimento das partículas. Direção de movimento das partículas
Faz com que onda se classifique em Transversal ou Longitudinal.
Onda Transversal
O movimento das partículas é perpendicular à direção de propagação da onda.
Onda Longitudinal
O movimento das partículas na onda mecânica ocorre para frente e para trás ao longo da direção de propagação.
4. Propagação de Ondas
Analisamos como exemplo de onda mecânica a forma de onda transversal que viaja ao longo de uma corda tensa.
Assumiremos que esta corda “ideal” onde a perturbação ocorre, mantém a forma à medida que se desloca. Para que isto ocorra, é necessário que perdas por atrito e outros meios de dissipação de energia sejam muito pequenos para serem desprezados. A perturbação permanece no plano xy e se propaga na direção x.
Fig. 3.1 – (a) Um pulso transversal mostrado em uma imagem instantânea em t = 0. O ponto P representa um local particular na fase do pulso e não um ponto particular do meio. (b)Em um instante t posterior, o pulso se moveu a uma distância υt no sentido positivo de x. O ponto P na fase, também, moveu-se de uma distância υt.
Como pode ser visto na figura 3.1, a coordenada y indica o deslocamento transversal de um ponto particular na corda. Essa coordenada depende tanto da posição x quanto do tempo t.
Quando t = 0 (figura 3.1a ), pode-se representar a forma da onda como: f(x)
y(x,0) (eq. 01)
onde f é a função que descreve o perfil da onda.
Adotando-se um sistema de eixos que se desloca com o pulso e cuja origem é O’, pode-se descrever a forma da onda em relação a este sistema através da função f(x’), conforme a figura 3.1b. Em um tempo t, a onda será descrita por
vt) f(x ) f(x' t) y(x, (eq. 02)
Para descrever a onda completamente, é necessário especificar a função f. No caso das ondas harmônicas, que serão analisadas posteriormente, a função f é do tipo seno ou co-seno.
Seguindo-se o movimento de uma parte determinada (ou fase) da onda, como o do ponto P da forma de onda da fig. 3.1, e admitindo-se que a forma da onda não se modifica durante a propagação, então a coordenada y de P, yP, não pode variar. Então, para o movimento de
qualquer fase da onda em particular, deve-se obter: constante
vt
x (eq. 03)
Diferenciando-se a equação 03 em relação ao tempo, temos: v dt dx 0 v dt dx ou (eq. 04)
A velocidade dx/dt descreve o movimento da fase da onda e é conhecida como velocidade de fase. Admite-se que v seja uma constante positiva, independente de qualquer propriedade da onda, mas, possivelmente, (como será visto adiante) dependente das propriedades do meio.
Se a onda se move no sentido negativo da direção x, tudo o que precisa fazer é substituir v por -v. Obtendo:
vt) f(x t)
v dt dx
(eq. 06)
A descrição anterior é um tanto geral e se aplica a perfis arbitrários de onda, sejam elas transversais ou longitudinais. Vamos analisar, em primeiro, as ondas transversais, mas o método é aplicável a qualquer movimento ondulatório.
Considere, por exemplo, que a extremidade de um meio seja forçada a vibrar periodicamente, o deslocamento y varia com o tempo, de acordo com a equação do MHS:
t y ou t y y m m cos sen (eq. 07)
Com as seguintes condições:
vibrar periodicamente em direção transversal.
com MHS de amplitude ym, freqüência f e período T=1/f
corda seja suficientemente grande para que se possa desprezar quaisquer efeitos na extremidade oposta.
A distância entre dois máximos sucessivos (ou entre dois pontos sucessivos com mesma fase) é o comprimento de onda, representado por λ.
O período T da onda é o tempo necessário para que um ponto de coordenada x particular seja submetido a um ciclo completo de movimento transversal. Durante esse tempo T, a onda percorre uma distância vT que corresponde a um comprimento de onda λ, de modo que
v fλ T
λ
v (eq. 08)
Onda Longitudinal - o comprimento de onda é a distância entre duas condensações sucessivas ou duas rarefações sucessivas; a mesma equação fundamental, v fλ, tanto vale aqui como em todos os tipos de onda.
ft 2 y
t y
y msen msen (eq. 09)
O tempo necessário para que a perturbação atinja o ponto x, à direita da origem, é dado por x/c. O movimento do ponto x no instante t é o mesmo que o da origem no instante anterior (t – x/v). Assim, o deslocamento de x no instante t é obtido pela substituição de t na eq.(09) por (t – x/v), ficando: x/v) πf(t 2 sen y x/v) (t sen y ) , y(x t m m (eq. 10)
Outra forma de escrever a eq.(10): ) x/ (t/ sen y ) , y(x t m 2 T (eq. 11)
Para reduzir-se a eq. (11) a uma forma mais compacta, introduzem-se duas quantidades, o número de onda K e a freqüência angular ω, definidos por
f 2 T 2 e 2 k (eq. 12)
Com isso temos que ) sen( y ) , y(x t m tkx (eq. 13)
Para uma onda que se propaga na direção negativa de x, tem-se que: ) sen( y ) , y(x t m tkx (eq. 14)
Comparando as equações 08 e 12, podemos observar que a velocidade de fase v da onda (freqüentemente chamada de velocidade da onda) é dada por
k ω T λ λf v (eq. 15)
Velocidade Transversal de uma Partícula
A velocidade da onda que foi vista na seção anterior descreve o movimento da onda ao longo da direção da propagação (a direção x).
Para determinar a velocidade transversal de uma partícula, tem-se que derivar a equação y(x,t) (eq.13 ou eq.14), em relação a t considerando x constante.
Daí,
y sen( )
y cos( ) ) , ( m t kx m t kx t t y t x uy (eq. 16)
y sen( )
y sen( ) ) , ( m t kx m t kx t t y t x a 2 2 2 2 2 y (eq. 17)A velocidade representa a onda inteira; todos os pontos na fase da onda que se movem no mesmo sentido têm a mesma velocidade . Já a velocidade transversal u dependerá y da localização da partícula e do instante de tempo observado.
Velocidade da onda => depende das propriedades do meio em que se propaga Velocidade transversal de uma partícula u => depende das propriedades da onda y 5. Velocidade de uma Onda Transversal
A eq. 15, obtida anteriormente, não fornece propriamente dita a velocidade de fase; ela apresenta apenas como o comprimento de onda e freqüência se relacionam em termos de velocidade de onda.
A velocidade de fase de uma onda senoidal pode ser obtida baseada nas propriedades mecânicas do meio através do qual a onda se propaga, no caso, uma corda tensa.
Se a velocidade depender da freqüência ou do comprimento de onda, o meio é dito dispersivo, que será discutido mais a frente.
Vai-se derivar uma relação entre a velocidade de propagação de uma onda ( ) numa corda esticada e suas propriedades: massa por unidade de comprimento (μ) e tensão (S).
Vamos tomar como exemplo o simples movimento de uma onda numa corda tensa com as duas extremidades fixas.
Aplicamos sobre a corda uma força transversal constante F (na extremidade esquerda), com isso a extremidade esquerda move-se para cima com velocidade transversal uy. O ponto de
contorno P, entre as partes móvel e estacionária, propaga-se para direita com velocidade . Analisando a fig. 3.2, pode-se verificar que a extremidade esquerda da corda deslocou-se para cima numa distância uyt, enquanto o ponto P avança a uma distância t.
A velocidade será calculada aplicando o teorema Impulso-Momento. Impulso Transversal = variação do Momento Linear Transversal
(força transversal X tempo) = (massa x velocidade transversal)
Para calcular a força F, utiliza-se a semelhança de triângulos:
y F Suy t t u S F (eq. 18) Logo, Impulso = Suy t (eq. 19)
A massa da parte que se moveu é o produto da massa por unidade de comprimento, , pela distância t.
Daí,
Momento transversal = tuy (eq. 20)
Aplicando o teorema Impulso-Momento:
S S tu t u S y y 2 (eq. 21)
Embora no cálculo acima se tenha considerado apenas um tipo muito particular de pulso, pode-se pensar que qualquer forma de perturbação ondulatória possa ser considerada como uma série de pulsos com deslocamentos transversais variados. Assim, a eq. 21 é válida para qualquer movimento ondulatório transversal numa corda.
Uma onda que se propaga num meio terá a mesma freqüência que sua fonte gerada, mesmo que ela tenha sido gerada em outro meio. Quando a onda passa de um meio para outro que possui uma velocidade de onda diferente, a freqüência em um meio deve ser a mesma que no outro, porque senão haveria uma descontinuidade no ponto onde as duas cordas se
ligam. Os comprimentos de onda serão diferentes e com isso a relação entre os comprimentos de onda é determinada pela igualdade das freqüências f1 e f2 nos dois meios.
Velocidade de Grupo e Dispersão
A velocidade de fase foi utilizada para dois tipos de ondas: o pulso que se propaga sem perder a sua forma (fig. 3.1) e a onda puramente senoidal. Em outros casos é necessário usar um outro tipo de velocidade, chamada de velocidade de grupo, que é a velocidade em que a energia ou a informação trafega na onda real.
Quando esses outros casos acontecem?
Eles acontecem quando o pulso se modifica durante a propagação; o pulso se alarga, ou dispersa.
Fig. 3.3 – Em um meio dispersivo, as formas de onda se modificam durante a propagação.
A energia contida no pulso da fig. 3.3 permanece constante durante a propagação, mesmo que o pulso se disperse. Assume-se aqui que o meio é dispersivo, mas não é dissipativo. Como qualquer onda periódica pode ser considerada como a soma ou superposição de uma série de ondas senoidais de diferentes freqüências ou comprimentos de onda, cada componente de onda dessa série pode se propagar com sua própria e única velocidade de fase. Se isso acontece, o meio onde essa onda se propaga é considerado dispersivo.
Alguns meios reais são aproximadamente não-dispersivos, nesses casos, a onda preserva sua forma e todas as componentes se propagam com a mesma velocidade de onda (exemplos: ondas sonoras no ar; ondas luminosas no vácuo). Caso o ar fosse um meio fortemente dispersivo, seriam impossíveis as conversas porque a forma de onda produzida pelas cordas vocais de uma pessoa seria distorcida pelo tempo gasto até alcançar o ouvido de outra.
6. Energia no Movimento Ondulatório
Fig. 3.4 – (a) Dois pequenos elementos de corda, denominados A e B são mostrados sobre uma onda num instante t1 e, em seguida, num outro instante t2 (um quarto de ciclo posterior). A onda se move para direita. (b) Uma visão ampliada de um pequeno elemento da corda em um instante de tempo arbitrário.
Elemento A da figura acima: t1 para t2:
ganha energia potencial; em t1:
está em repouso;
tem o seu comprimento dx muito próximo do relaxamento; em t2:
velocidade máxima de partícula;
está muito esticado pela tração na corda.
Elemento B da figura acima: t1 para t2:
em t1:
velocidade máxima de partícula;
está muito esticado pela tração na corda; em t2:
está em repouso;
tem o seu comprimento dx muito próximo do relaxamento.
Na fig. 3.4b se tem uma visão ampliada de um elemento de corda em um ponto qualquer de seu movimento.
Sabendo que dm = dx e uy é a velocidade transversal de propagação do elemento dm,
então a sua energia cinética dK é
) ( cos y ) ( cos y ) ( cos y ) ( t kx 2 1 dt dK t kx dt dx 2 1 dt dK t kx dx 2 1 u dm 2 1 dK 2 2 m 2 2 2 m 2 2 2 m 2 2 y (eq. 22)
Para se encontrar a energia potencial em um elemento, é necessário avaliar o trabalho realizado pela força S enquanto alonga o comprimento do elemento de dx para dl. Assim, dU = S(dl – dx). Ficando:
kx t
k y S dt dU x y Sdx dU m 2 2 2 2 cos 2 1 2 1 (eq. 23)Usando as eqs.15 e 21 pode-se escrever S 2
2 k2
; substituindo esse resultado na eq. 23 e comparando com a eq. 22, segue imediatamente que dU/dt = dK/dt.Pelo fato do elemento de massa (dm) não ser um sistema isolado, dE = dU + dK não é constante, ao contrário, varia de zero nas cristas e vales a um máximo, onde cruza com o eixo x (os elementos de massa vizinhos estão realizando trabalho sobre ele para alterar sua energia).
Potência e Intensidade no Movimento Ondulatório
A taxa com a qual a energia mecânica é transmitida ao longo da corda é simplesmente a potência: P = dE/dt. Essa quantidade varia com o local da corda e o tempo. Normalmente interessa-se mais pela potência média Pméd:
2 m 2 méd y 2 1 P (eq. 24)
Este cálculo baseia-se na hipótese de que a onda transporta energia sem perdas devido à fricção ou outras forças dissipativas. Nenhuma parcela da energia é transformada em energia interna da corda ou calor transferido para a vizinhança.
Intensidade (I) é definida como a potência média por unidade de área transmitida através de uma área A perpendicular à direção em que a onda se propaga, ou I = Pméd/A (eq. 25).
Para ondas circulares ou esféricas, a amplitude não é constante à medida que a onda avança. Em uma onda esférica a área da superfície de uma frente de onda com raio r é 4 π r2, logo, a intensidade é proporcional a 1/r2.
7. Princípio da Superposição de Ondas
Quando várias ondas se combinam em um ponto, o deslocamento de cada partícula em um dado instante de tempo é simplesmente a soma dos deslocamentos nela causados por cada onda considerada agindo isoladamente das demais.
Fig 3.5 – Dois pulsos viajam em sentidos opostos ao longo de uma corda tensa. O princípio da superposição se aplica à medida que os pulsos se movem um através do outro.
Ex.: deslocamento da corda quando agem duas ondas simultaneamente será: y(x,t)=y1(x,t) + y2(x,t) (eq. 26)
Análise de Fourier
A importância do princípio da superposição em termos físicos é que ele permite que se analise um movimento de ondas complexas como uma combinação de ondas simples. Fourier mostrou que cada movimento periódico de uma partícula poderia ser representado como uma combinação de movimentos harmônicos simples. Por exemplo, se y(x) representa a forma de onda (em um dado instante de tempo) de uma fonte de ondas com comprimento λ, pode-se analisar y(x) do seguinte modo:
y(x) = A0 + A1 senkx + A2 sen2kx + A3 sen3kx + ... + B1 coskx + B2 cos2kx + ... ,
onde k = 2π/λ. Essa expressão é chamada série de Fourier. Se o movimento não é periódico, como no caso de um pulso, a soma é substituída por uma integral – a integral de Fourier.
8. Interferência de Ondas
Quando duas ou mais ondas se combinam em um ponto particular, diz-se que elas se interferem entre si, e este fenômeno é chamado de interferência.
Interferência construtiva – fases quase iguais
Interferência destrutiva – fases com quase 180º de diferença fases e 2 1 ) sen( ) , ( ) sen( ) , ( 2 2 1 1 t kx Y t x y t kx Y t x y (eq. 27) Superposição: ) , ( ) , ( ) , (x t y x t y x t y 1 2 ) ( 2 / ) ( onde ) ( ) 2 / cos( 2 ) , ( 2 ) ( cos 2 ) ( 2 )] ( ) ( [ ) , ( 1 2 2 1 * * 2 1 t kx sen Y t x y c b c b sen senc senb t kx sen t kx sen Y t x y completa destrutiva ia nterferênc I zero A 180 ero z A 180 completa a construtiv cia interferên nte, completame ão -se -sobrepor ondas duas as 0 2Y A º º 9. Ondas Estacionárias
A superposição de duas ondas com freqüência e amplitude iguais, resultam numa onda estacionária.
Fig. 3.6 - (a,b) Duas ondas de mesmo comprimento e amplitude viajando em sentidos opostos. (c) A superposição das duas ondas em diferentes instantes de tempo. Os nós no padrão da onda estacionária estão indicados por pontos pretos. Observe que as ondas que se movimentam não têm nós.
Esta estrutura de nós e antinós é chamada de onda estacionária.
Entre dois antinós, os deslocamentos oscilam com amplitude máxima. Nos nós o deslocamento é nulo em todos os instantes.
A distância entre um nó e um antinó vizinho é de um quarto do comprimento da onda.
A equação de uma onda estacionária é representada por: y(x, t) = [2ymsen kx] cos ωt (eq. 28)
Como se pode ver analisando a eq. 28, nas ondas estacionárias, a amplitude não é a mesma para partículas diferentes, mas varia com a localização x da partícula.
A energia não é transportada para a direita ou esquerda, uma vez que ela não pode fluir através de nós da corda, porque estão em permanente repouso. Com isso a energia fica “estacionária” na corda mas alterna sua forma entre energia cinética de vibração e energia potencial elástica.
Reflexão na Fronteira
Durante a reflexão em uma extremidade fixa, a onda transversal é submetida a uma mudança de fase de 180º.
Fig. 3.7 - (a) Um pulso transversal incidente vindo da direita é refletido por uma parede rígida. Note que a fase do pulso refletido é invertida, ou modificada de 180º. (b) Aqui, a extremidade da corda é livre para se mover, estando a corda amarrada a um laço que pode deslizar livremente ao longo da barra. A fase do pulso refletido permanece inalterada.
Quando há uma fronteira entre dois meios, há uma combinação entre transmissão e reflexão parciais da onda.
A freqüência de onda transmitida é igual à das ondas incidentes e refletidas.
Ondas que têm a mesma freqüência, mas que se propagam a velocidades diferentes, terão comprimentos de ondas diferentes.
f
λ
Isto também ocorre com as ondas sonoras: uma corda, como a de um violão, vibra com uma certa freqüência e comprimento de onda; a onda transmitida pelo ar tem a mesma freqüência da corda, mas um comprimento de onda diferente, porque as velocidades das ondas na corda e no ar são diferentes.
10. Ondas Estacionárias e Ressonância
Fig. 3.8 - Padrões de ondas estacionárias em uma corda de comprimento L tensa entre dois suportes fixos. Quatro padrões diferentes são mostrados, correspondendo a diferentes comprimentos de onda e freqüências.
Analisando a figura acima podemos notar que a condição para que uma onda estacionária seja gerada em uma corda de comprimento L fixa nas duas extremidades é
2 n L (n= 1,2,3,...) (eq. 29) ou n L 2 n (n= 1,2,3,...) (eq. 30) Logo, L 2 n fn (eq. 31)
Fazendo L fixo (e também, isto é, considerando uma corda só), variando a freqüência variamos n, ou seja, variamos o padrão da onda estacionária, ou seja, o modo de vibração.
C n fn (eq. 32) onde L 2 C (eq. 33)
Devo então aumentar a freqüência para obter os vários modos:
f1 = C
f3 = 3C, etc
Como υ= constante e
S S =tensão da corda = constante
Outra situação: suponhamos agora que a freqüência seja constante. Como podemos obter os vários modos de vibração mantendo L, υ e constantes? Temos que variar S.
2 2 2 n 2 2 2 n n n L 4 f S L 4 S n f S L 2 n L 2 n f (eq. 34)
Ressonância na Corda Tensa
Quando uma força atua numa corda em uma freqüência próxima de uma das freqüências naturais de vibração, acontece uma oscilação com grande amplitude.
Se a força for aplicada na corda com uma freqüência diferente das freqüências naturais, a onda refletida retornará para o ponto de aplicação da força, fora de fase com o movimento dela. A corda realizará trabalho sobre o agente da força, além da força realizar trabalho sobre a corda, e não é gerado nenhum padrão constante de onda estacionária; a amplitude do movimento resultante da corda será pequena e não muito diferente do próprio movimento do agente da força.
Se não houvesse amortecimento, a freqüência de ressonância seria igual a uma das freqüências naturais e a amplitude iria crescer ilimitadamente, alimentada continuamente pela energia fornecida à corda pelo agente da força. Eventualmente, o limite elástico poderia ser ultrapassado e a corda, rompida.
Se fosse possível movimentar-se a corda com um sortimento de freqüências, o movimento dela selecionaria aquelas que fossem iguais às suas freqüências naturais de vibração. Os movimentos naquelas freqüências seriam reforçados, alcançando grandes amplitudes, enquanto os movimentos em outras freqüências seriam amortecidos ou suprimidos. Este princípio governa a produção de som por instrumentos musicais.
