Cap41

Exerc´ıcios Resolvidos de ´

Optica F´ısica

Jason Alfredo Carlson Gallas,

Doutor em F´ısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal do Rio Grande do Sul

Instituto de F´ısica

Mat´eria para a TERCEIRA prova. Numerac¸˜ao conforme a SEXTA edic¸˜ao do livro “Fundamentos de F´ısica”, Halliday, Resnick e Walker.

Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas

Conte ´udo

37 Difrac¸˜ao 2

37.1 Problemas e Exerc´ıcios . . . 2

37.2 Difrac¸˜ao por uma fenda: posic¸˜oes dos m´ınimos . . . 2

37.3 Determinac¸˜ao da intensidade da luz difratada por uma fenda — m´etodo quantitativo . . . 3

37.4 Difrac¸˜ao por uma abertura circular . . . 3

37.5 Difrac¸˜ao por duas fendas . . . 4

37.6 Redes de difrac¸˜ao . . . 6

37.7 Redes de difrac¸˜ao: dispers˜ao e resoluc¸˜ao . . . 6

37.8 Difrac¸˜ao de raios-X . . . 7

Coment´arios/Sugest˜oes e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br (listaq3.tex)

37

Difrac¸˜ao

37.1

Problemas e Exerc´ıcios

37.2

Difrac¸˜ao por uma fenda: posic¸˜oes

dos m´ınimos

E 37-1 (41-3/4

edic¸˜ao)

Um feixe de luz de comprimento de onda de

nm in-cide em uma fenda estreita. O ˆangulo entre o primeiro m´ınimo de difrac¸˜ao de um lado do m´aximo central e o primeiro m´ınimo do outro lado ´e  . Qual ´e a largura

da fenda?

Basta usar a f´ormula sen  , com e   . Portanto   sen  ! "$#&% sen    ')( m E 37-4 (41-5/4
edic¸˜ao)

A distˆancia entre o primeiro e o quinto m´ınimo de uma figura de difrac¸˜ao de uma fenda ´e

*

mm, com a tela a' cm de distˆancia da fenda, quando ´e usada uma luz

com um comprimento de onda de**

 nm. (a) determine

a largura da fenda. (b) Calcule o ˆangulo do primeiro

m´ınimo de difrac¸˜ao.

(a) Chamando de + a posic¸˜ao do primeiro m´ınimo

(,-. ) na tela, e de +0/21+ a posic¸˜ao do quinto

m´ınimo (435 * ), temos que 6879 ,  + :<; 6879 3  +/=1+ : 

que nos fornecem

6>79 3@? 6879 ,  1A+ : 

Como+CBD1A+ , podemos aproximar 6879 3  +E/F1A+ : G 1+ :   * 'H IKJ * L #NM 

Este n´umero pequeno nos informa que vale a aproxima-c¸˜ao6879

35G 3 e, como ,@O 3 , que 6879

,@G , .

Nestas aproximac¸˜oes podemos escrever

6>79 P3 ? 6>79 , G P3 ? ,)1  1+ :Q

Por outro lado, sabemos que

 sen ,@<,R e  sen P35S43)

;

donde tiramos facilmente

sen 3R? sen ,@G 3@? , T1 A

U

 3@?  ,WV 



Comparando as duas express˜oes para1 vemos que 1+ :  U  3@?  ,V    U 1 V    Portanto ! :  U  3)?  ,V 1+  U ' V U **  "$#&X V U * ?  V Y H*   * mm (b) ParaZ2 sen A    U  V U **  "$#&X V $ * T$  " #[M ;

e, portanto, o ˆangulo pedido ´e

A sen # , U $  L #[M V  " #NM rad  P 37-6 (41-9/4
edic¸˜ao)

Ondas sonoras com uma freq ¨uˆencia de

 Hz e uma

velocidade de 

'



m/s passam pela abertura retangular de uma caixa de som e se espalham por um grande au-dit´orio. A abertura, que tem uma largura horizontal de



 cm, est´a voltada para uma parede que fica a " m

de distˆancia (Fig. 37.32). Em que ponto desta parede um ouvinte estar´a no primeiro m´ınimo de difrac¸˜ao e, portanto, ter´a dificuldade para ouvir o som? (Ignore as reflex˜oes.)

Suponha que o primeiro m´ınimo esteja a uma distˆancia + a partir do eixo central, perpendicular ao

alto-falante. Neste caso, paraZ temos

sen E + \ : 3 /=+ 3  4     

Resolvendo esta equac¸˜ao para+ obtemos

+ : \ U  V 3 ?   : \ U $]^`_a V 3 ?   L \ b U   V U   V   ' c 3 ?   '[  m

37.3

Determinac¸˜ao da intensidade da luz

difratada por uma fenda — m´etodo

quantitativo

E 37-9 (41-13/4

edic¸˜ao)

Quando a largura de uma fenda ´e multiplicada por  ,

a intensidade do m´aximo central da figura de difrac¸˜ao ´e multiplicada por' , embora a energia que passa pela

fenda seja multiplicada por apenas . Explique

quanti-tativamente o que se passa.

E 37-10 (41-12/4

edic¸˜ao)

Uma luz monocrom´atica com um comprimento de on-da de*

I nm incide em uma fenda com uma largura de 

*

mm. A distˆancia entre a fenda e a tela ´e 



*

m. Considere um ponto na tela a d cm do m´aximo

cen-tral. (a) Calcule o valor de neste ponto. (b) Calcule o

valor dee . (c) Calcule a raz˜ao entre a intesidade neste

ponto e a intensidade no m´aximo central.

 (a)  sen # ,[f d   *hg d"I 

(b) Da Eq. 37.6 temos que

ei fj   g sen  j U YH * V * I senYkLI  ' * I rad

(c) Da Eq. 37.5 tiramos que

l U V lWm  f sen e e g 3  f sen ' * I Y' * I g 3 Sn  $

37.4

Difrac¸˜ao por uma abertura circular

edic¸˜ao)

Os dois far´ois de um autom ´ovel que se aproxima de um observador est˜ao separados por uma distˆancia de' m.

Qual ´e (a) a separac¸˜ao angular m´ınima e (b) a distˆancia m´axima para que o olho do observador seja capaz de resolvˆe-los? Suponha que o diˆametro da pupila do ob-servador seja*

mm e que use um comprimento de onda de luz de**

 nm para a luz dos far´ois. Suponha tamb´em

que a resoluc¸˜ao seja limitada apenas pelos efeitos da

difrac¸˜ao e portanto que o crit´erio de Rayleigh possa ser aplicado.

(a) Use o crit´erio de Rayleigh, Eq. 37.14. Para resol-ver duas fontes puntiformes o m´aximo central da figura de difrac¸˜ao de um ponto deve cair sobre ou al´em do pri-meiro m´ınimo da figura de difrac¸˜ao do outro ponto. Is-to significa que a separac¸˜ao angular das fontes deve ser pelo menos Popq&Pr , onde ´e o comprimento de

onda er ´e o diˆametro da abertura. Portanto

`os  U **  "$#&% V *! L #&t u  ' L #NM rad 

(b) Sendo v a distˆancia dos far´ois ao olho quando os

far´ois puderem ser pela primeira vez resolvidos, e

:

a separac¸˜ao dos far´ois, ent˜ao

:

<v 6879

Posw<vx Po ;

onde foi feita a aproximac¸˜ao de ˆangulos pequenos

6879

Poyw Po , v´alida se Po for medido em radianos.

Portanto v= : o  '   ' L #[M u"Y' km E 37-19 (41-23/4
edic¸˜ao)

Estime a separac¸˜ao linear de dois objetos no planeta Marte que mal podem ser resolvidos em condic¸˜oes ini-ciais por um observador na Terra. (a) a olho nu e (b) usando o telesc´opio de polegadas (=

*

k m) do

Mon-te Palomar. Use os seguinMon-tes dados: distˆancia entre Mar-te e Terra = I Lz km; diˆametro da pupila =

*

mm; comprimento de onda da luz =**

 nm.

(a) Use o crit´erio de Rayleigh, Eq. 37.14: dois ob-jetos podem ser resolvidos se sua separac¸˜ao angular na posic¸˜ao do observador for maior que o { &Pr ,

onde ´e o comprimento de onda da luz er ´e o diˆametro

da abertura (do olho ou espelho). Sev for a distˆancia do

observador aos objetos, ent˜ao a menor separac¸˜ao+ que

eles podem ter e ainda ser resolvidos ´e+|Tv 6>79

`opw v} Po , onde Po ´e medido em radianos. Portanto,

+~ v r    U I L ,€ V U **  "#N% V *! " #Nt  d L z mud " M km

Esta distˆancia ´e maior do que o diˆametro de Marte. Por-tanto, n˜ao ´e poss´ıvel resolver-se totalmente a olho nu dois objetos diametralmente opostos sobre Marte.

(b) Agorar * d m e +  v r    U I " ,‚€ V U **  "#N% V * d  d " M m  km

Esta ´e a separac¸˜ao m´ınima entre objetos para que pos-sam ser perfeitamente resolvidos com o telesc´opio.

E 37-20 (41-25/4

edic¸˜ao)

O sistema de radar de um cruzador emite microondas com um comprimento de onda de



cm, usando uma antena circular com$



m de diˆametro. `A distˆancia de



  km, qual ´e a menor separac¸˜ao entre duas lanchas

para que sejam detectadas como objetos distintos pelo radar?  + min  v} o v f   r g  U    L t V   U  ! L$# 3 V    * m P 37-22 (41-29/4
edic¸˜ao)

Em junho de 1985, a luz de um laser foi emitida da Estac¸˜ao ´Optica da Forc¸a A´erea, em Maui, Hava´ı, e re-fletida pelo ˆonibus espacial Discovery, que estava em ´orbita a uma altitude de H*

' km. De acordo com as

not´ıcias, o m´aximo central do feixe luminoso tinha um diˆametro de nd m na posic¸˜ao do ˆonibus espacial e o

comrpimento de onda da luz usada foi *

 nm. Qual

o diˆametro efetivo da abertura do laser na estac¸˜ao de Maui? (Sugest˜ao: O feixe de um laser s´o se espalha por causa da difrac¸˜ao; suponha que a sa´ıda do laser tem uma abertura circular.)

A equac¸˜ao que o primeiro m´ınimo de difrac¸˜ao para aberturas circulares ´e

sen Au 



r

onde ´e o comprimento de onda da luz er ´e o diˆametro

da abertura.

A largura + do m´aximo central ´e definida como a

distˆancia entre os dois primeiros m´ınimos. Portanto, te-mos 6879 A +Y : ; onde:

´e a distˆancia entre o laser e o ˆonibus espacial. Como ~BBƒ , podemos aproximar

6879

!w sen w

o que nos fornece

+Y : 2   r ; donde tiramos r     : +Y    U *  "$#&% V U * ' Lt V nYkP S'YKJ cm

37.5

Difrac¸˜ao por duas fendas

edic¸˜ao)

A envolt´oria central de difrac¸˜ao de uma figura de difrac¸˜ao por duas fendas cont´em  franjas claras e

os primeiros m´ınimos de difrac¸˜ao eliminam (coincidem com) franjas claras. Quantas franjas de interferˆencia existem entre o primeiro e o segundo m´ınimos da en-volt´oria?

Franjas claras de interferˆencia ocorrem para ˆangulos

dados por  sen -„4 , onde r ´e a separac¸˜ao das

fendas,  ´e o comprimento de onda, e  ´e um inteiro.

Para as fendas deste problemar2" , de modo que  sen ETP&… .

O primeiro m´ınimo do padr˜ao de difrac¸˜ao ocorre num ˆangulo , dado por  sen , † e o segundo ocorre

para um ˆangulo 3 dado por sen 3 ‡ , onde ´e a

largura da fenda.

Desejamos contar os valores de para os quais , B Bˆ 3 ou, o que ´e a mesma coisa, os valores de para

os quais sen , B sen B sen 3 . Isto implica termos

‰B 

 BD ;

que ´e satisfeita para

Z



; J ;I ; n ; " ;

fornecendo-nos um total de cinco franjas claras. P 37-31 (41-40/4

edic¸˜ao)

(a) Quantas franjas claras aparecem entre os primeiros m´ınimos da envolt´oria de difrac¸˜ao `a direita e `a esquerda do m´aximo central em uma figura de difrac¸˜ao de duas fendas seŠ **  nm,r!d * mm e~  )( m? (b)

Qual ´e a raz˜ao entre as intensidades da terceira franja clara e da franja central?

(a) A posic¸˜ao angular das franjas claras de

inter-ferˆencia ´e dada porr sen D , onder ´e a separac¸˜ao

das fendas, ´e o comprimento de onda, e ´e um

intei-ro.

O primeiro m´ınimo de difrac¸˜ao ocorre para um ˆangulo

, dado por  sen ,0 , onde ´e a largura da

fen-da. O pico de difrac¸˜ao extende-se de ? , at´e /‹ ,, de

modo que precisamos determinar o n´umero de valores de  para os quais ? ,SBŒ qB/‹ , ou, o que ´e a

mesma coisa, o n´umero de valores de para os quais ? sen , B sen ~BD/ sen , .

Esta ´ultima relac¸˜ao significa termos ? PP<B„ŽPrB ` , ou seja, ? r  BˆB r  ; onde r   d *! "$#&t   " #NX  * 

Portanto, os valores poss´ıveis de s˜ao Z ? ' ;?



;?  ;"?  ;  ; / ; /‰ ; /



; /‹' ;

perfazendo um total de nove franjas. (b) A intensidade na tela ´e dada por

l  l m‘W’“ 3h”–•0f sen e e g 3 ; onde e j   sen ; ”  j r  sen ; el m

´e a intensidade no centro do padr˜ao.

Para a terceira franja clara de interferˆencia temos

r sen 0   , de modo que ”   j rad e ‘W’H“ 3 ”  . Analogamente, e—  j PrS  j  * †  j rad, de modo que l lWm  f sen e e g 3  f sen   j   j g 3 <  **  P 37-32 (41-41/4
edic¸˜ao)

Uma luz de comprimento de onda de''H nm passa por

duas fendas, produzindo uma figura de difrac¸˜ao cujo gr´afico de intensidadel

em func¸˜ao da posic¸˜ao angular

aparece na Fig. 37.36. Calcule (a) a largura das fendas e

(b) a distˆancia entre as fendas. (c) Calcule as intensida-des das franjas de interferˆencia comŒ— e˜™ e

compare os resultados com os que aparecem na figura.

(a) Da figura vemos que o primeiro m´ınimo do pa-dra˜ao de difrac¸˜ao ocorre para*

, de modo que !  sen  Y''@( m sen*  *  * ( m

(b) Da figura vemos tamb´em que a quarta franja clara est´a ausente e, portanto,

rS'H<' U *  * ( mV T R( m

(c) Para a franja clara com š temos D 

*

(veja a figura), e a Eq. 37.18 nos diz que

e  j   sen A j U *  * V '' sen  * KJPIHJ rad; ”  j r  sen  j U   V '' sen *   k"'  rad

NOTE: para m´aximos sempre teremos

U ‘’“ ” V 3 u pois

ent˜ao r sen TQ , de modo que

” Œ j , isto ´e, ‘’“ ”  U ?  V m e, portanto, U ‘’“ ” V 3 ‡ qualquer que

seja o valor de  . Na verdade, poder´ıamos usar o

fa-to que

U‘W’H“

”

V

3

˜ para determinar com precis˜ao no

gr´afico o valor de onde ocorrem os m´aximos de

inten-sidade. Perceba que acima obtivemos”

  k"'  em vez de”  j   d'Y *

por havermos usado !q 

*

em vez do valor exato da posic¸˜ao do m´aximo no gr´afico. Da figura vemos que a intensidade l m

do m´aximo cen-tral valel m

TJ mW/cm

3

, de modo que a intensidadel

da franja comZ ´e dada por

l  l m U‘’“ 3h” V f sen e e g 3  U J V U  V f sen KJPI…J Y JIHJ g 3  * KJ mW/cm 3 ;

que concorda com o que a Fig. 37.36 mostra.

Analogamente, para    a figura nos diz que q›$

*

, de modo que e˜œ

* J  , [”    nY , ‘’“ ”  ] e l ŒI  mW/cm3 , tamb´em de acordo com a Fig. 37.36.

37.6

Redes de difrac¸˜ao

edic¸˜ao)

Uma rede de difrac¸˜ao com  mm de largura possui



 ranhuras. (a) Calcule a distˆancia r entre

ranhu-ras vizinhas. (b) Para que ˆangulos ocorrer˜ao m´aximos

de intensidade em uma tela de observac¸˜ao se a radiac¸˜ao incidente na rede de difrac¸˜ao tiver um comprimento de onda de* In nm?  (a) r    S  mm    ( m

(b) Para determinar as posic¸˜oes dos m´aximos de in-tensidade usamos a f´ormular sen F4 ,

determi-nando todos os valores de que produzem valores de

   Nr|BT . Explicitamente, encontramos paraZ!ž <

paraZu‰ž  sen

# ,~Ÿ  r  sen # ,~Ÿ  * In     Ÿ L  paraZTž  sen # , Ÿ  U Y * In V     Ÿ KJ paraZ  ž  sen # ,~Ÿ  U Y * In V     Ÿ  $  paraZ<'ž  sen # ,~Ÿ ' U Y * In V     Ÿ ' * paraZ * ž  sen # , Ÿ * U Y * In V     Ÿ  $  Para œ  obtemos   

&PrT ˜, indicando que os

m´aximos acima s˜ao todos os poss´ıveis. E 37-37 (41-49/4

edic¸˜ao)

Uma luz de comprimento de onda de 

 nm incide

normalmente (perpendicularmente!!) em uma rede de difrac¸˜ao. Dois m´aximos de difrac¸˜ao s˜ao observados em ˆangulos dados por sen S†  e sen D†



. Os m´aximos de quarta ordem est˜ao ausentes. (a) Qual ´e a distˆancia entre ranhuras vizinhas? (b) Qual ´e a menor largura poss´ıvel desta rede de difrac¸˜ao? (c) Que ordens de m´aximos de intensidade s˜ao produzidas pela rede, supondo que os parˆametros da rede sejam os calculados nos itens (a) e (b)?

(a) Os m´aximos de um padr˜ao de interferˆencia de duas fendas ocorrem para ˆangulos dados porr sen A  , onder ´e a separac¸˜ao das fendas, o comprimento

de onda, e  em inteiro. As duas linhas s˜ao

adjacen-tes, de modo que suas ordens diferem de uma unidade. Seja a ordem da linha com sen Z  eZ/2 a

ordem da linha com sen 4

 . Ent˜aoYr4™ e Y  r0 U

¡/ƒ V  . Subtraindo ambas equac¸˜oes

encon-tramosd"r , ou r  d    " #&% d   ( m

(b) M´ınimos de um padr˜ao de difrac¸˜ao por fenda ´unica ocorrem para ˆangulos dados por sen ~T4 , onde

´e a largura da fenda. Como o m´aximo de interferˆencia de quarta ordem encontra-se ausente, ele deve cair num destes ˆangulos.Se ´e a menor largura da fenda para a

qual esta ordem esta ausente, o ˆangulo deve ser dado por sen A , sendo tamb´em dada porr sen S'H ,

de modo que  r '   "$#&X ' 2 * ( m

(c) Primeiro, coloque pZnH para encontrar o maior

valor de para o qual4Bˆr sen . Esta ´e a maior

or-dem difratada na tela. A condic¸˜ao equivale aŒBTr$

e como r…- U 0 "$#&X V  U   "#N% V ¢L , a

or-dem mais alta que se pode ver ´e œyn . A quarta e

a oitava ordem est˜ao ausentes, de modo que as ordens observ´aveis s˜ao os ordens

¢< ;  ;  ;  ; * ;  ; J ; n

37.7

Redes de difrac¸˜ao: dispers˜ao e

reso-luc¸˜ao

E 37-47 (41-62/4

edic¸˜ao)

Uma fonte contendo uma mistura de ´atomos de hi-drogˆenio e deut´erio emite luz vermelha com dois com-primentos de onda cuja m´edia ´e H*





nm e cuja separac¸˜ao ´e d"I nm. Determine o n´umero m´ınimo de

ranhuras necess´arias para que uma rede de difrac¸˜ao pos-sa resolver estas linhas em primeira ordem.

Se a grade apenas consegue resolver dois comprimen-tos de onda cuja m´edia ´e e cuja separac¸˜ao ´e1 , ent˜ao

seu poder de resoluc¸˜ao ´e definido (veja Eq. 37.28) como sendo£2&1 . Sabemos (Eq. 37.29) que£ƒ¤ ,

onde¤ ´e a quantidade de ranhuras e ´e a ordem das

linhas. PortantoN1C<¤Ž , donde tiramos

¤„  1  H*   U  V U d"I V  *  ranhuras

E 37-48 (41-61/4

edic¸˜ao)

Uma rede de difrac¸˜ao tem

 ranhuras/mm e

*

mm de largura. (a) Qual ´e o menor intervalo de comprimentos de onda que a rede ´e capaz de resolver em terceira or-dem para<

*

 nm? (b) Quantas ordens acima da

terceira podem ser observadas?

(a) Usando o fato que&1C¤ , obtemos

1!0  ¤Ž  *  "$#&% U  V U   V U * V  **  * L # ,3 m

(b) A posic¸˜ao dos m´aximos numa rede de difrac¸˜ao ´e de-finida pela f´ormula

r sen S4

;

de onde obtemos que sen 



r



N˜ao observarmos difrac¸˜ao de ordem equivale a dizer

que para tal obtemos Sn, ou seja, que temos

senn € ‹w  max r 

Isolando-se max, e substituindo os dados do problema

em quest˜ao encontramos que

 max  r   "$#&t"   *  " #N%     

Tal resultado nos diz que a maior ordem observ´avel com tal grade ´e a terceira, pois esta ´e a ´ultima ordem que pro-duz um valor fisicamente significativo de .

Portanto, n˜ao se pode observar nenhuma ordem supe-rior `a terceira com tal grade.

37.8

Difrac¸˜ao de raios-X

edic¸˜ao)

Raios X de comprimento de onda de dL nm sofrem

reflex˜ao de segunda ordem em um cristal de fluoreto de l´ıtio para um ˆangulo de Bragg deI . Qual ´e a distˆancia

interplanar dos planos cristalinos respons´aveis pela re-flex˜ao?

A lei de Bragg fornece a condic¸˜ao de m´aximo, Eq. 37.31, como sendo

r sen D ;

onde r ´e o espac¸amento dos planos do cristal e ´e o

comprimento de onda. O ˆangulo ´e medido a partir da normal aos planos. Para reflex˜ao de segunda ordem usa-mosZ , encontrando r   sen  U  V U Yk` "#N% V  senI S   nm P 37-60 (41-80/4
edic¸˜ao)

Na Fig. 37.40, um feixe de raios X de comprimento de ondadL

*

nm incide em um cristal de NaCl a'

*

com

a face superior do cristal e com uma fam´ılia de planos refletores. O espac¸amento entre os planos refletores ´e de

r02 

*

 nm. De que ˆangulo o cristal deve ser girado

em torno de um eixo perpendicularmente ao eixo do pa-pel para que estes planos refletores produzam m´aximos de intensidade em suas reflex˜oes?

Os ˆangulos de incidˆencia que correspondem `a in-tesidade m´axima do feixe de luz refletida satisfazem

r sen E< , ou sen   r   U dL * V  U   *  V   '[   

Como ´e preciso ter



sen



Bu , vemos que os valores

permitidos de s˜ao

Zu ;  ;



;' ;

aos quais correspondem os ˆangulos

A2"'Y' ; nKJ ; 'IYk ; II 

Portanto o cristal deve ser girado no sentido anti-hor´ario dež 'IYk

? ' *   d ; II ? ' *   J$I ; sentido hor´ario dež ' * ? '['   Y  ; ' * ? nY J  *