Análise de placas circulares com ortotropia física ou geométrica

Hierônimo Santos Souza

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÔS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CifNCIAS (M.Sc.).

Aprovada por:

Pr6. Sergio Fernandes Villaça (Presidente)

..--.___

- ~ " - - - + - - - " ' - - ~

s dos San tos /

Prof. Humberto Lima Soriano

RIO DE JANEIRO, R.J. - BRASIL DEZEMBRO DE 1978

SOUZA, HIERÔNIMO SANTOS

Análise de Placas Circulares com Ortotropia Física ou Geométrica. [Rio de Janeiro[, 1978.

X, 216 p., 29,7 cm (COPPE/UFRJ, M.Sc., En-genharia Civil, 1978).

Tese - Universidade Federal do Rio de Janei-ro - COPPE

A meu pai, com saudades: e à minha mãe., com carinho.

. AGRADECIMENTOS

Ao Prof. Sergio Fernandes Villaça, pela dedicada

e valiosa orientação do trabalho.

Ao Prof. Paulo Alcantara Gomes, pela idéia ini·ci

al da tese.

Aos Profs. Antonio Marmo de Oliveira e José

Ber-nardo Ortiz Monteiro, da Universidade de Taubaté, pelos

conheci-mentos transmitidos no período de graduação.

Pelo mesmo·. motivo, aos professores da COPPE

/

UFRJ, durante os cursos

de

pós-graduação.

Ao CNPq e

à

CNEN, pelo auxílio financeiro.

Ã

Enise, minha mulher, pela colaboração e

incen-tivo tantas vezes demonstrados.

Ao amigo 11enato Di Thomazo, pela excelente con

-fecção dos desenhos.

A tantas outras pessoas que,

de

outras formas

prestaram sua contribuição.

RESUMO :

O objetivo deste trabalho

é

a análise. estrutural da flexão de placas circulares com ortotropia física ou georrétri ca. No primeiro caso a placa possui espessura uniforme e seu ma terial apresenta diferentes propriedades segundo as direções ra-dial e circunferencial; no segundo, a placa isótropa

é

enrijeci-da por um conjunto de nervuras U11iformemente distribuíenrijeci-das nas direções citadas, que lhe conferem características de estrutura ortótropa.

Para cada caso sao instituídas as equações diferenciais de equilíbrio em termos dos deslocamentos do plano mé dio da placa e suas soluções gerais são obtidas por meio de se -ries. Resultados analíticos dessas teorias são apresentados pa-ra diversas combinações de carregamento e condições de contorno usuais em placas circulares ou anulares.

Apresentam-se também, métodos aproximados~ para análise de placas nervuradas, e seus resultados conparados com as soluções da teoria desenvolvida.

ABSTRACT

The purpose of this work is the structural analysis of circular plates with physical or geometrical ortho-tropy. In· the former, the plate has uniform thickness and its material has different elastic properties in the radial and circunferential directions; in the latter, the isotropic plate is stiffenned with uniformily spaced radial and circunferential ribs.

For each case, the equilibrium differential equations are derived in terms of the middle surface displace -ments, and their general solutions are found by series. Closed

form solutions for several combinations of usual load and boundary conditions are given in detail.

Some approximations to the theory of stiffened plates are presented,and their results are compared to the solutions of the theoretical developement.

SIMBOLOGIA

CAP!TULO II

r, e, z - coordenadas cilíndricas

ªr'

cr

8,

ªz -

tensões normais paralelas às direções ·de coordenadas 'ar' 'ze' 'rz - tensões tangenciais paralelas às direções de coor

denadas

Er' E8 , Ez - deformações normais

Yer' Yze' Yrz - deformações angulares

u, v, w - deslocamentos nas direções r, e e z respectivamente Er' E₉, Ez - módulos de elasticidade do material ortótropo

,

i , j

=

r,8,z - coeficientes de Poisson do material ortótropo Gra' Gaz' Grz - módulos de cisalhamento

Pr, P₉, Pz - forças de superfície

l , m, n - co-senos diretores da normal à superfície

Ü,

v, w -

deslocamentos prescritos no contorno

CAP!TULOS III E IV

a, b - raios externo e interno da placa circular, respectivarrente h - espessura

Qr, Q

8 - esforços cortantes por unidade de comprimento Vr'

v

₉ - reações de apoio por unidade de corrprimento Mr' M₈ - momentos fletores por unidade de comprirrento Mre, Mar - momentos torsores por unidade de comprimento q (r, e) - carregarrento externo distribuído

w - flechas

<f,r' <fie - declividades da superfície fletida

vr,

v₉ - coeficientes de Po:l.:sson

ª r ' B₉ - rigidezes fle.xionais da placa ortótropa ªre, ªer - rigide zes torcionais da placa ortótropa H - rigidez torcional efetiva

a, B, ó, II - parâmetros adimensionais associados

às

rigidezes da placa ortótropa

Lr' L

9, Lre - operadores diferenciais Ài - raízes da equação característica

'

m - índice contador da ordem dos'harmônicos

Cim - constantes de integração dos deslocamentos w

Wm - coeficientes das séries trigonorrétricas, dependentes da va-riâvel r somente

F - função de tensões

E, v - constantes elâsticas de material isótropo Fij - funções iniciais de influência

CAP!TULOS V E VI

a, h - raio e altura da placa isótropa

E, v - constantes elâsticas da placa isótropa br' b

9 - espaçamento eixo a eixo entre nervuras contíguas nas ·di reções radial e circunferencial respectivamente

hr' h 9 - alturas das nervuras t r ' t 9 - larguras das nervuras Ar' A

9 - áre.as unitárias das nervuras

Er' E₉ - módulos de elasticidade das nervuras er' e ₉ - excentricidades das nervuras

ºr' o

9 - rigidezes extensionais unitárias da placa nervurada ª r ' B₉ - rigidezes flexionais unitárias da placa nervurada

D, B - rigidezes extensional e flexional unitárias da placa isó-tropa

u, v, w - deslocamentos do plano rrédio da placa isótropa

Lr' La, Lre

x, a, S, Kr

operadores diferenciais

parâmetros adimensionais que relacionam propried~ des físicas e georrétricas das seções transversais da placa nervurada

Ài' µi - raízes das equações características K, L - constantes associadas às raízes Ài e µi m - Índice contador da ordem dos harmônicos d

1 , d2, f,

n -

parâmetros adimensionais associados com o cisa lhamente e à torção da placa isótropa

y, ô - parâmetros adimensionais que relacionam rigidezes da pla-ca nervurada com as da plapla-ca isótropa

e.

-

constantes de integração dos deslocamentos u,

v

e w im

n. , 1;. - fatores de multiplicidade entre as constantes de inte im i m

graçao

es, Ds, Bs grandezas referentes aos enrijecedores somante x₁ , a₁ , Si - parâmetros adimensionais assoei ados com estas

gran-dezas

!AI -

matriz dos coeficientes do sistema de equaçoes diferenci

-ais

p coordenada radial adimensional

· ·tNDICE

CAPtTULO I - INTRODUÇÃO

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CAP!TULO II - EQUAÇÕES BÃSICAS DA TEORIA DA ELASTICIDADE

LINEAR EM COORDENADAS CILiNDRICAS

2.1 - Introdução

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2. 2 - Estado de Tensões

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2.3 - Estado de Deformações

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2.4 - Lei de Hooke Generalizada

2.5 - Condições de Contorno

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CAP!TULO III - FLEXÃO DE PLACAS CIRCULARES COM ORTOTROPIA F!SICA

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3.1 - Introdução

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3. 2 - Hipóteses da Teoria 3.3 - Forças e Momentos

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3. 4 - Equilíbrio de um Elemento de Placa 3.5 - 'Relações Deformação-Deslocamento

3.6 - Relações Tensão-Deformação

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3. 7 - Expressões Esforço 'Resultante - Flech.a

3.8 - Equação Diferencial da Placa

...

3. 9 - Rigidez Torcional Efetiva 3.10- Condições de Contorno

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3.11- Solução Geral da Equação Diferencial

3.12- Equação Diferencial das Chapas com Ort0tropia Polar

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CAP!TULO IV - APLICAÇÕES A CASOS USUAIS DE CARREGAMENTO E CON

DIÇÕES DE CONTORNO - ORTOTROPIA FtSICA

i

4 4 5 6 8 11 13 13 14 15 17 20 21 24 25 27 30 32 38 42

4 .1 - Introdução 4. 2 - Flexão Axissinétri ca 4.3 - Flexão Assinétrica

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42 42 83 4. 4 - Chapas Sujeitas a Pressões Radialmente Simétricas 96

CAPITULO V - FLEXÃO DE PLACAS CIRCULARES COM ORTOTROPIA GEO fil:TRICA

5.1 - Introdução

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...

5. 2 - Considerações Básicas

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5. 3 - Definições Físicas e Geonétricas

5. 4 - Instituição das Equações de Equilíbrio

5.5 - Soluções Axissimétricas

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5.6 - Soluções Não.-Axissinétricas

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5.7 - Condições de Contorno

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CAPITULO VI - APLICAÇÕES A CASOS COMUNS DE CARREGAMENTO

101\ 100 103 106 111 122 135 145

E CONDIÇÕES DE CONTORNO (ORTOTROPIA GEOfil:TRICA) 147 6.1 - Introdução

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6.2 - Flexão Axissinétrica

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6.3 - Flexão Não-Axissimétrica

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CAPITULO VII - APROXIMAÇÕES DA TEORIA DE PLACAS". CIRCULARES

147 147 181

COM ORTOTROPIA GEOME!TRICA •••••••••••••• 189 7.1 - Introdução

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7.2 - Aproximação por uma Equação de 4~ Ordem - Tipo Or-trotopia Física

CAPITULO VIII - CONCLUSÕES

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REFE~NCIAS BIBLIOGRÃFICAS

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APfNDICE

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189 191 207 209 213

CAP!TULO I

INTRODUÇÃO

A utilização de. estruturas laminares planas em certos setores da construção civil, aeronáutica e naval, e~ge , na maioria das vezes, a preservaçao de um de seus lados como su-perfície plana que irá receber as solicitações de serviço, tais

como os casos de pisos, pontes, cascos de navio, fuselagens de avião, etc. Quando se requer da estrutura maior rigidez e esta-bilidade sem o aumento proporcional da sua espessura, o nervura-mento excêntrico é uma prática que produz bons resultados, pois lhe confere as características estruturais desejadas com um in -cremento relativamente pequeno dó seu peso próprio. O enrijeci-mento de placas segundo direções perpendiculares leva ao estudo d~ placas ortótropas.

Uma placa é considerada ortótropa quando aprese!!. ta propriedades de rigidez diferentes em direções ortogonais pa-ralelas ao seu plano médio. Este fato, de um modo geral, ocorre nas seguintes situações: a) a placa tem espessura uniforme e a variação se dá nas propriedades elásticas do material constituin te; a esse tipo diz-se que contém ortotropia física ou natural; b) a placa é construída com material de propriedades elásticas· u niformes e a variação se dá nas propriedades geométricas da se ção transversal; neste caso dizse que possui ortotropia geomé -trica ou construtiva.

O início do desenvolvimento teórico da flexão de placas com ortotropia física se deve a M. T. Huber25 que a PªE. tir de 1914 idealizou este modelo estrutural para o cálculo de placas retangulares de concreto armado, com nervuras excêntricas no seu plano médio e uniformemente dispostas em direções parale-las a seus lados.

Pflüger26 em 1947 foi o primeiro a estudar rig~ rasamente o problema, ao considetar as deformações do plano

mé

-dia da placa e o cisalhamento delas decorrentes por efeito da excentricidade das nervuras, detalhe não considerado por Huber

Depois dele, pode-se citar, entre outros,

27 28 11 12

ks , Giencke , Massonnet , Clifton e

os trabalhos de Tren -Troitsky6, que contri-bUÍram na formação da teoria considerada exata das placas excen-tricamente enrijecidas.

Neste trabalho, objetiva-se o estudo da flexão, no domínio de pequenos deslocamentos, das placas circulares com ortotropia cilíndrica, as quais apresentam diferentes valores de rigidez segundo as direções de coordenadas polares: raios e cir-cunferências concêntricas.

No Capítulo II

é

feito um resumo das equaçoes bá sicas da teoria da elasticidade linear em coordenadas cilíndri

-cas. Nos Capítulos III e IV apresentam-se a teor±a da flexão de placas circulares com ortotropia física e resultados anafíticos para casos clássicos de carregarrento e condições de contorno.

'

de placas circulares com: eririjecedores excêntricos ao seu plano médio, tendo por base os trabalhos citados anteriormente que re-latam o assunto detalhadamente para placas de forma retangular No Capítulo VI procurou-se soluções analíticas para a maioria dos casos comuns de carregamento e condições de contorno aborda-dos no Capítulo IV.

Finalrrente no Capítulo VII , estuda-se a viabi1i dade de aplicar em placas circulares, as aproximações das equa-çoes da teoria de placas nervuradas por uma equação tipo Huber, onde se procura substituir a placa isótropa com propriedades ge~ métricas descontínuas por uma placa ortótropa equivalente de propriedades geométricas contínuas.

CAPITULO II

EQUAÇÕES BÃSICAS DA TEORIA DA ELASTICIDADE LINEAR EM COORDENADAS CILÍNDRICAS

2.1 - INTRODUÇÃO

No estudo das tensões e deformações decorren-tes da flexão de placas circulares possuindo ortotropia física ou geométrica, utiliza-se a teoria da elasticidade linear equa-cionada em coordenadas cilíndricas. Apresentamos a seguir um

resumo desta teoria tendo por base o trabalho de Lekhnitskii1 •

O comportamento estrutural de um sólicb elásti co sujei to à açao de forças externas e devencb cumprir no con-torno certas condições de deslocamento, se define em termos de sua configuração de deformações e tensões internas resultantes.

As grandezas relacionadas a estes estados são referidas a um sistema de coordenadas cilíndricas (r,e,z) como o da fig. 2.1 , sendo o ângulo e medido a partir de um eixo x arbitrário.

º'==---,~---__._,..X

-~:::·.:::::_~;·· ---.... !,.

!""-:'

,;----' · - . , , 1

r

z

F IG-2.1

2.2 - ESTADO DE TENSÕES

O estado de tensões num ponto genérico P (r, e,z) em equilíbrio no interior do corpo, é definido pelas com-ponentes de tensão atuantes em 3 facetas perpendiculares as direçiíes coordenadas, (fig. 2.1) ,que constituem o tensor

cr r Tre

Ter cr e ( 2 .1)

Tzr _''ze

simétrico devido à lei de reciprocidade de tensões cisalhantes:

I i,j=r,e,z

Considerando a variação de tensões sobre um e !emento infinitesimal de volume r dr de dz , e estabelecendo .o equilíbrio na posição indeformada (válido para pequenos desl~

camentos), as equações diferenciais do equilíbrio, na ausência de forças de massa, se escrevem:

=

o

il Tre ₁

"a

_e il Tez T _re

ãr""

+

-

r

ãe

+ ~ + 2 r =

o

( 2. 2 J ilTrz ₁ a Tez il C/ _Trz

ãr""

+

-

ã'e""

+ _ _ z +

--

=

o

r az r

2.3 - ESTADO DE DEFORMAÇÕES

O estado de deformações na vizinhança de um ponto qualquer, é definido pelo tensor

·1 ₁ Er _{2 Yre 2 Yrz} 1 1 ( 2. 3) 2 Yer E6 2 Yez 1 1 2 Yzr 2Yze Ez

também simétrico. O vetor deslocamento entre a posição inicial indeformada e a posição final tem as componentes u,v e w ,re.!!_ pecti vamente nas direções r, e e z.

As relações deformação-deslocamento, no caso linear, sao: au av V

₊

1 au Er

=

_{ar Yre}

=

_ãr

-

-

_r

-

r

_ãê

=

1 av

+

u

₌

aw

+

au ( 2. 4 l E6

-

r

as

r Yrz

_ãr

az aw av 1 aw Ez

=

_ãz

_Yez

=

- +

_{az r}

_as

Na figura 2.2 é esquematizada a geometria de deformaç3es com pequenos deslocamentos que ocorre no plano re, onde se pmcura realçar a influência dos deslocamentos radiais

sobre as deformações tangenciais e a mtação de corpo rígido do elemento que deve ser excluída da variação angular total.

>v

v + ₀₀ rde+ude

o'

FIG-2.2

A continuidade dos deslocamentos imp:ie

que

as deformações satisfaçam as seguintes equações de

compatibili-dade:

2

e!.

r

2

.a

.E 6 2 (

-araz

1 r2 1 2 r

=

=

=

2 1

a

Y

ez

r

"'"a._.z-::-a-::-e-2

1

a

Yre

-

_{r arae}

+

a

a

· ·a

·

1 · Y

r

z ·

.y e

z

_r_a_e (-

r

ae

+

ar

1 2 r (2.5) y

-ª-<~)

_az

_r 2

ayre

+ -_r

_az

1 ·

a ·

·Y·e z

+

r ããc~,

2. 4 - LEI DE HOOKE GENERALTZ:ADA :

O material é considerado homogêneo e segue a lei de Hooke, em cujas relações constitutivas as deformações sao

funções algébricas lineares das tensões e vice-versa; esta line aridade física, juntamente com a hipÓtese de pequenos desloca -mentos, garantem a validade do princípio de superposição de efei

tos.

As equaçoes da lei de Hooke em coordenadas ci líndricas, no caso mais geral de sólido anisótropo sem nenhuma simetria elástica, podem ser colocadas na seguinte forma:

{E}

=

IAI

{a}

Er _{ª11 ª12 ~3 ª14 ª15} ª16- ªr

Ee _{ª22 ª23 ª24 ª25 ª26}

_ªe

Ez _{ª33 ª34 ª35 ª36} ªz

=

Yre SIM. ª44 ª45 ª46 're

Yez

ª55 ª56 'ez

Yrz ª66 'rz

(2.6)

onde JAJ é a matriz elástica, simétrica por considerações de energia e com 21 elementos indep~ndentes.

O principal caso de anisotropia cilíndrica , de especial interesse em nosso estudo, denomina-se Ortotropia Cilíndrica.

t

definida2 quando as constantes elásticas que

caracterizam o ma teria!, independem da distância radial r e pernanecem invariantes sob as seguintes transformações de coor-denadas: uma rotação ao redor do eixo z , uma translação do eixo z e finalmente uma inversão desse eixo (z e chamado

ei-xo de ortotropia do sistema). Estas transformações significam que em cada p:>nto do sólido existem 3 planos ortogonais de sime tria elástica· dos quais um oontém o ei:xo de ortotropia e ou -tro é normal a ele.

Na fig. 2.3, estão representados alguns ele-mentos de volume no interior de um sólido ortótropo, que possuem propriedades elásticas spossuemelhantes e o seu sistpossuema de refe

-rência.

O cs-c--.---,1---'-Xc.

~

'

e FIG-2.3

A mudança de sinal nas tensões cisalhantes com um giro de 180° em relação a um plano normal, nos mostra que alguns elementos da matriz

[Aj

devem se anular de rrodo a

satisfazer a simetria elástica. De maneira geral, conclui-se que: os alongamentos não dependem das tensões cisalhantes e as variações angulares dependem somente das correspondentes ten -sões de cisalhamento. Dessa forma, as relações constitutivas simplificam-se, restando somente 9 constantes elásticas indepe~ dentes.

A lei de Hooke, escrita com notação mais fami liar ao engenheiro, assume então o aspecto:

1 \) re "rz E

-E

-r E E r e z

o

"er 1 "e z E8

-

_~

~

~ r z = "zr "z e 1 Ez _~

-

ç

_E

r z 1 Yre ~ re

o

1 Yez Gez 1 Yrz ~ rz ( 2. 7)

onde Er , E₈ e Ez sao os m5dulos de elasticidade nas direções r, e e z ; "ij e o coeficiente de Poisson que caracteriza uma deformação na direção i quando uma tensão normal

é

aplicada na direção j , i,j=r,e,z; e _{Gra' G8z e Grz são os nódulos}

de cisalhamento entre as dire<;,iies r e e

,

e e z e r e z .

Da simetria da matriz, tenos as relações:

"re Er

=

"Sr Ee

"rz E r

=

"zr E z ( 2. 8 l

"ez ES

=

"z e Ez

As condi<;,iies de o rtotropia cil Índrica se al t~ rarn para pontos situacbs próxinos

à

origem do sisterra de coor-denadas. A origem, por definição de coordenada polar (r,e) e um ponto de irradiação onde todas as direções do plano convergem, e as direções radial e tangencial se confundem; logo, ne -cessariamente, tem-se uma minúscula região isótropa no plano re.

Corro o rraterial do sólido

é

considerado contÍnl.D e homogêneo,f~ ca constatada a possível singularidade física do tipo de ortro-topia em questão.

2.5 - CONDIÇÕES DE CONTORNO

Sobre a superfície externa do sólido podem e-xistir diversos tipos de condições de contorno. Geralmente, do ponto de vista teórico, se divide a superfície em duas regiões distintas: s cr que é a parte do contorno onde se prescrevem as forças externas e Su que

é

a parcela onde se tem os deslo-camentos conhecidos, de modo que a superfície total do contorno

a) de forças

O equilíbrio de um ponto situado sobre S e

a

verificado pelas equaçoes:

T

n

rz

(2. 9)

nas quais: Pr' P

8 e P2 sao as componente.s da força externa

por unidade de área segundo as direções coordenadas;

l,m

e n sao os co-senos diretores da normal à superfície pelo ponto de aplicação da força; e ªr' a

8, etc sao as componentes do ten-sor de tensões no ponto considerado.

b) de deslocamentos

-sobre _su : u = u (2.10)

-V = V

-

-

_conhecidos. w = w u

,

V e w

· CAPfTULO TII

FLEXÃO DE PLACAS CIRCULARES· COM ORTOTROPIA FfSTCA

3 .1 - INTRODUÇÃO

Nesse capítulo, trataremos da flexão de pla -cas circulares com espessura invariável, no domínio de pequenos deslocamentos, e nas quais as propriedades elásticas do materi-al são diferentes segundo as direções de coordenadas polares, raios e circunferências concêntricas, embora permaneçam consta~ tes ao longo de cada uma dessas famílias de curvas. A este ti-po de placas, diz-se que apresentam ortotropia cilíndrica físi-ca ou natural.

Peças estruturais que podem ter esse comporta menta, sao por exemplo3: discos de madeira possuindo fibras an~ lares dispostas com uma certa regularidade; placas obtidas justapondose lâminas finas de aço que são curvadas e nonolitica -mente fixadas a um núcleo central; placas de concreto armado com diferentes percentagens de armaduras nas seções radial e tan -gencial, etc.

Adota-se o sistema de coordenadas cilíndricas nostrado na fig. 3.1, com sua origem coincidindo com o centro da placa e com o plano polar re coincidindo com o plano médio da mesma.

o,,__~----11---e ,

J ___ ,__ ____

--,

X h - - - _______ , _ _ _ ___, ..

·r-::_

a

z

3. 2 - HIPÕTESES DA TEORIA FIG-3.1

A teoria clássica de placas delgadas se fun-damenta em hipóteses simplificadoras e limitações feitas às e-quaçoes da teoria da elasticidade tridimensional resumidas no Capítulo II, levandose em conta principalmente a forma de es -trutura laminar,onde duas dimensões são bastante predominantes sobre a terceira.

As hipÓteses básicas podem ser referidas qu~ to a:

1 - Material - O material da placa é perfeitamente elástico contínu:, e honogêneo, obedecendo à lei de Hooke generalizada Não atuam forças de massa.

2 - Geometria - A espessura h é constante e pequena em rela -çao ao raio a , bem cono as maiores flechas w obtidas pelo plano médio são pequenas quando comparadas com a espessura h

3 - Cbmportamento estrutural (Kirchhoff)

a) Não há deformação no plano médio durante a flexão , transformando-se ele numa superfície neutra defletida. Esta con sideração implica em que o carregamento externo seja normalmen-te aplicado e que os supornormalmen-tes sejam liberados aos deslocamentos horizontais, de nodo a evitar esforços de membrana.

b) Segmentos retos e normais ao plano médio indeformado permanecem retos e normais

à

superfície média após a aplicação das cargas. Esta hipótese traduz que as deformações angulares transversais ao plano da placa são desprezadas: _{Yrz=y 8}

~;;o.

A validade da hipÓtese diminui acentuadamente com o aumento da es pessura e em regiões de brusca variação do esforço cortante.

c) Tensões normais cr z sao desprezíveis em comparaçao com as derrais:

-

o •

Esta hipótese não é verificada em região onde se tem carga concentrada.

Cbmentários sobre estas hipóteses sao bem

de-4

talhados no livIO de Pane .

3.3 -· FORÇAS E MOMENTOS

As placas, quando solicitadas sob as condições do

í

tem 3. 2 , apresentam uma configuração de tensões resul tan -tes como a indicada no elemento da fig. 3.2.

X

o

. - - - r - - ~

, e

' '

z

' '

_'

(í g h 2 __t,_ 2 FIG-3. 2

A distribuição dessas tensões na espessura da placa tem uma analogia com as tensões, em vigas, de Bernoulli devido

à

semelhança na hipótese de seções planas durante a de -formação, sendo a diferença básica o carácter bidimensional da placa e a consequente resistência a esforços de torção.

De nodo geral temos: tensões normas ªr e

ªe

com variação linear em z originando os momentos flet:ores Mr e Me ; tensões cisalhantes Trz e Tez com variação parabólica em z causando os cortantes Qr e Qe e finalmente as tensões cisalhantes Tre e Ter com variação linear em z dando origem aos rromentos de torção Mre e Mer •

A distribuição de tensões e os esforços resul tantes sao esquematizados nas figuras 3.3 e 3.4. Os esforços são grandezas uni

tá

rias (por unidade de comprimento) e estão o-rientados positivamente segundo a convençao adotada por Szilard5.

o ',

X

z

o

_{' '} X ' _'

_e

' _' ' ' _' ' _{' '} '

z

3. 4 - EQUIL1BRIO DE UM ELEMENTO DE PLACA

-~

h 2 h 2 FIG-3.3 h -2 h -2 FIG-3.4

Considerando as variações dos esforços solici tantes sobre um elemento infinitesimal de placa (r dr de h), fig. 3.5, p:>denos formular as seguintes equações de equilíbrio: a) Equilíbrio Vertical de Forças

O carregamento distribuído q (r, e) pode ser considerado constante e uniforme sobre a área elementar, então:

(Q + r

+ q(r,e)r dr de

=

O

desprezando os infinitésirros de ordem superior,ª equação, se sim plifica:

( 3 .1)

b) Equilíbrio de M:>mentos na Direção Ridial

'lbrrando corro referência o lado A 'B' , e ain-da os resultados da geometria diferencial :sen d

2e de -cos ₂

=

1 , terros: de 7 ;

~

+ (M + aMe de

•rde)dr + Me dr ₂ e

rãe

rde)dr ₂ + Qr rdr de

=

=

o

que se resume em:

aM aM M -M

Q

=

___E + ~ + r

e

'

z

Oe M9r

O ªº'dr

r+

ar

dMrs Mre+ã"r dr FIG-3.5

c) Equilíbrio de Momentos na ·oireção Tangencial

Relacionando-se agora ao lado AA', temos: ílMre

"Tr'"")

(r+dr) de

-- M dr de (M +

er

2 -

er rde)dr de

T

+ Q

e

r d r de

=

o

que se reduz para

( 3. 3)

A equaçao (3.1), escrita em termos dos momentos, tem o aspecto: íl2 (

-ar2

+

r

2 ílr íl) M r

+

(l

r

=

-q (r, 6) 1

a

- - -)M _r

_{ar -e}

=

( 3. 4)

Nas equaçoes definidas acima, podemos ainda con-siderar que a reciprocidade das tensões cisalhantes: Tre

=

Ter' quando elas são distribuídas em uma altura constante, nos forne ce:

M = M

re er

(3.5)

3.5 - RELAÇÕES DEFORMAÇÃO-DESLOCAMENTO

Os deslocamentos provenientes da flexão que

ocoE

remem um ponto P distante de z do plano médio, são obtidos diretamente da hipótese 3b.

·-

F IG-3.6

Considerando a fig. 3.6a, e a geometria de pequ~ nos deslocamentos, podemos supor que a declividade da superfí -cie w(r,8) na direção radial

é

aproximadamente:

<!>r

-

tg <!>r

=

_ar aw

=

aw ( 3. 6)

u

-

z _ar <l>r

=

-

sen <l>r

=

u z

Analogamente, da fig. 3.6b, temos:

( 3. 7)

Com esses deslocamentos substitu{dos em (2.4), calculamos as deformações em termos da flecha:

= -

z

z

(.!

aw 2

-

+

..l..

a w) ( 3. 8)

e:e

=

_{r ar} r2 ae2 Yre

=

1 a 2 w -2z(- -_{r arae}

- ....!.

aw, r2 ae 3.6 - RELAÇÕES TENSÃO-DEFORMAÇÃO

A lei de Hooke para sólidos apresentando ortotro pia cil{ndrica, definida no Capitulo II, e simplificada pelas hipóteses que consideram _Y

=

y

=

cr

-

O •

rz ez z Este comporta

-mente bidimensional de tensões permite também reduzir os subs-critos:

. 1

_{- .v}

_e

o

Er

(J

E

_r

_E6

r

\)

1

E6

=

- ~

_Er

_E6

o

cr e

( 3. 9)

o

o

1

Yre

G T

re

ou na forma inversa:

E

_r

_v6Er

o

(J

1-vrve

1-v

v

Er

r

_{r e}

vrEe

Ee

o

(3.10)

cr e

=

_1-vr"e

_1-vrve

E6

T

re

o

o

G

Yre

A simetria da matriz dos coeficientes em (3.9)

ou (3.10), conduz

à

relação:

( 3

.11)

Obtemos as tensões em função das flechas, substi

tuindo-se ( 3.

8)

em (3.10):

Erz

[ a

2

w

+

1 a

2

w

₁

_aw>J

crr

=

_1-v

_v

"e

<2

- 2

+

ar

2

r ar

r e

r

ae

(3.12)

= -

2Gz

As tensões T e

rz 'ez nao aparecem na expre~ sao da lei de Hooke devido à simpli fie ação: _Yrz

₌

_Yez

₌

o

_{; p~} dem ser obtidas das equaçoes de equilíbrio (2. 2):

1 ª·'·re

+ - - -

_r

_{a e}

=

Agora, derivando (3.12), substituindo e inte-grando as equaçoes acirra em z ,tendo em vista que para

: ,

=,

=

O , encontramos: rz ez 1 2 =

2<z

-3 ( ~

ar

3 +

!.

r +

_!_ awl

2

ar

r + (2G + v 6E _r

_l

1-v V r

e

+

(2G

+

v E 6 r ) 1-v V

r e

3

..!.... ~)

r

3

ae

3 + + (3.13)

3. 7 - EXPRESSÕES ESFORÇO RESULTANTE-'FLECHA

Os rromentos e forças cortantes sao calcula -dos por integração das tensões sobre a espessura da placa:

f

h/2

f

_{h/2 T e} M = _{cr r z dz Mre} = _Mer = z dz r -h/2 r -h/2 Me =

f

h/2 cr

e

z dz (3.14) -h/2

f

h/2 fh/2 Qr = T z dz _ºe = _Te dz -h/2 r -h/2 z

Antes de efetuarmos as integrações (3.14), é razoável definir as constantes que representam as rijezas da pl~ ca ortótropa:

f

h/2 I

=

z 2 dz

=

-h/2 Erl 1-V V 1

r e

momento de inércia por unida-de unida-de comprimento em relação ao plano médio

rigidez flexional nas di reções radial e circunferen-cial respectivamente

rigidez à torção

rigidez torcional efe-tiva

Integrando (3.14) com o auxílio de (3.12) e (3.13), e utilizando as constantes definidas acima, tenos a for ma final dos esforços solicitantes:

= -B

r

Me

=

-B

_e

[

!.

aw + r ar

= _

IB

(33w +

L

r ar3

3.8 - EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA PLACA

aw

ãr

+

+ H

(3.15)

A equaçao diferencial que governa as flechas do plano médio de uma placa com ortotropia cilíndrica, pode ser obtida,por exemplo, substituindo-se os esforcps cortantes de

(3.15) na equação de equilíbrio vertical de forças (3.1

l.

necessá-rias, tem-se finalmente a equaçao.:

B [a4w

r[ar4 res diferenciais: 1

=

r2 1 ~

r

+

=

q (r, e) ( 3 .16) Designarem::>s por Lr , L 6 e Lre os operacb -1 r3

1

a

~ãr

_r (3.17)

logo, 174

=

Lr + 2Lre + L₆ , que é o conhecido · operacbr bi-harmônico em coordenadas polares.

A equaçao (3.16) é equivalente à equaçao de Huber em coordenadas cartesianas, aplicável em placas retangul~ res. A transformação pode ser feita através do artifício: qua~ do r+w, ar+ ax e rae + ay ; e com a correspondente troca de Índices, tem::>s:

+ 2H

=

q(x,y)

(3.18)

Com

(3.17),

escrevemos

(3.16)

de urna forma mais

simples:

(3.19)

que se reduz ao caso isótropo quando:

ou

v

4 (w) =

g(r,e)

B

2 12(1-v)

3.9 -

RIGIDEZ TORCIONAL EFETIVA

Ao resolvermos um problema de placa ortótropa,

é necessário conhecer os valores dos coeficientes Br,Be e H

Dos materiais ortótropos, geralmente se conhecem Er' E8, "r

e

"e

, que sao obtidos por testes unidimensionais de laboratório;

o valor do módulo de cisalharnento G é usualmente incógnito,te~

do em vista exigir testes mais laboriosos para sua obtenção.

O método analltico para determinação da rigi

-f 4,6 -

-dez torcional e etiva

, e baseado em urna analogia com a torçao

de placas isótropas, devendo ser levado em conta o seu gênero

aproximativo; em aplicações onde se requer maior precisão, reco

-mendam-se verificações experirnentais

7

•

8

O momento torsor atuante em urna placa

isótro-pa, é definido por:

Mre

=

-(1-v)B(

1 aw )

?ãã

onde

B

é a rigidez flexional da placa e

"

é o coeficiente

de Poisson.

O

momento correspondente na placa ortótropa

tem o valor:

..!..

aw)

r2 ae

A

torção de urna placa ortótropa depende da

ri-gidez que ela apresenta nas direções de ortotropia, parecendo e~

tão razoável trocar os valores de

"e

B

na expressão de materi

al isótropo, pela média geométrica dos valores apresentados pelo

material ortótropo.

Então,

e a rigidez torcional efetiva fica:

, ou

De (3.11),

Be

V

=

V

e

r Br

,

(3.20)

Da mesma maneira, pode-se definir o módulo de

cisalhamento:

E

G

=

2(1+v)

=

(3.21)

Em

placas de concreto diferentemente armadas

nas direções de ortotropia, Timoshenko

9

aponta os seguintes valo

res de rigidezes:

onde Ec' "c

E s

n

=

Ec

I

....

[r

+ (n-1)

rJ

(3.22)

módulo de elasticidade e coeficiente de

Pois-son do concreto

módulo de elasticidade do aço

momento de inércia unitário da seçao da placa

em relação ao plano neutro

momentos de inércia unitários das seçoes

de

armadura nas direções radial e tangencial em

relação ao plano neutro.

3.10 - CONDIÇÕES DE CONTORNO

A resolução da equaçao (3.16) requer que sejam

prescritas condições no contorno da placa.

Pela hipótese

dos

"segmentos normais", verifica-se que para definir as deformações

em um ponto qualquer da superf!cie média situada no contorno, na

ausência de forças de membrana, são necessários

2

parâmetros geo

.

-métricos:

uma rotação : ;

e uma translação vertical

w. Essas

condições geométricas têm

suas equivalentes condições

estáti-cas, em termos de forças e momentos, segundo o esquema da fig.3-7.

4rJ---

- r ____ --- ... _ ·--- -

~

---;

---1

-:w

'

:

-r::: o

CONDIÇÕES GEOMÉTRICAS CONDIÇÕES ESTÁTICAS

FIG-3.7

A

condição estática correspondendo

à rotação

aw

ar

é o momento fletor Mr

i

entretanto para o deslocamento

w

existe uma aglutinação entre as condições estáticas de esforço

cortante Qr e momento torsor Mre •

Esse fato deve-se

à falta

de consideração da deformação cisalhante

nada levaria a

um

problema de integração

Yrz

a

de

6-i

uma teoria

refi-ordem,

prescreven-do 3 condições geométricas no borprescreven-do e compat!vel portanto ao con

torno estático.

Kirchhoff propôs equacionar o equilibrio exis tente na fronteira através da urna equivalência mecânica entre fo~ ças e momentos distribuidos em espaços unitários, conforme a fig, 3.8.

z

vr

=

Q

+

r ê válido: ve

=

ºª

+

(Mre+aMre) rde / r ,il8 ( M· er+ar •Me,) dr A expressao aMre rae das reaçoes

Para placas em forma de

aMer

ar

M_n~rde

FIG-3.8

de apoio fica sendo:

(3.23)

setor, analogamente

(3.24)

e no canto formado entre o contorno circular e o bordo reto tem-se urna reação concentrada de intensidade igual a 2Mre

Os casos mais usuais de condições de bordo em placas circulares de raio a sao:

em r=a

rigidamente engastada : w

=

o

aw

ãr

=

o

simplesmente apoiada:

Contorno carregado

com forças ou moment2s

de intensidade F e M:

w

=

o

M

_r

=

O

Mr

=

Qr

+

M

aM

_re

m-

=

F

3.11 - SOLUÇÃO GERAL DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL

A solução da equaçao

(3.25)

como sempre, consiste em uma superposição de soluções w=wp+wh,

onde wh

é a solução complementar correspondendo à flexão

da

placa descarregada em sua superfície e solicitada no seu

contor-no; enquanto que wp

é a solução particular correspondendo

às

flechas provenientes do carregamento distribuído q(r,e).

A) Solução da Equação Homogênea

A equação bi-harmônica homogênea

v

4

(w)

=

O

tem sua solução conhecida desde há muito tempo; Timoshenko

9

cita

em referência que em 1862, Clebsch se utilizou das seguintes

sé-ries infinitas para estudar placas isótropas circulares:

(3.26)

onde

w

₀

, Wm e Wm

sao funções somente da variável r .

Dessa

maneira, consegue-se separar as variáveis e constituir equações

diferenciais ordinárias tipo equidimensional ou de Euler para os

éoeficientes das séries.

Em nosso estudo, estamos particularmente

inte-ressados em placas cujo contorno circular é completo, de maneira

que sempre poderemos colocar o carregamento simetricamente em re

lação

à

variável e , bastando-nos reter os termos em co-seno

5

•

Em placas em forma de setor circular, a falta de simetria requer

soluções em série de senos.

As expressões de Wm e Wm

sao simi

lares, a menos evidentemente das constantes de integração.

Então, tomando-se wh =

lução, na qual aplicando-se os operadores

1

Wm cos me

como so

m=O

(3.17) e indicando

a

ordem das derivadas em

r

por superescritos linha (','',''',etc),

obtemos :

I

Íw~v +

~

wi:i •

;i

cos

m=O

L

r

J

"'

t

2

2

2

wJ

Lre(wh)=

l

m

₂

W''

_m

+ m

....,.

W'

_m

-.,.

m

_{cos me}

(3.27)

m=O

r

r

r

"'

t

1

1

4

2

Le(wh) =

l

₂

W''

+

r3

W'

+ cm -2m

iwJ

cos me

,

m

m

_r4

_m

m=O

r

que, substituídas em (3.19), nos dão uma equaçao independente

de

e :

2

2m H+Be

+ ( )W' +

r3

m =

o

(3.28)

e

Definindo as constantes adimensionais:

H ó

=

Br

,

(3.29)

a equaçao (3.28) em sua forma normal se escreve:

(3.30)

Esta equaçao apresenta as seguintes soluções:

a) m = O

wh

=

w

₀

independe de

e

e representa a

solu-çao dos problemas axissimétricos.

=

o

(3. 31)

As soluções da equaçao de Euler têm a forma

4

l

, onde os

sao as raízes da equaçao

carac-i=l

terística associada, que para este caso é:

(3.32)

cujas raízes sao facilmente identificáveis e valem: O, 2,

1+re-e

1-re-Denominando

, temos

O caso particular de placa isótropa

é

obtido com a= 1

(3.34)

b) m> 1

Novamente as soluções sao da forma 4

l

, e a equação característica obtida de (3.30) i=l

é:

4 3 2 2 2 r,4 2 ]

l -41 +(5-2m 6-Bll -2(1-2m &-B)l+~ 8-2m (8+6)

=

o

(3. 35)

Utilizaremos ainda, algumas constantes auxilia res:

2

K = l-2m 6-8 (3.36)

4 2

L

=

m B-2m (B+&) , que simplificam (3.35) em:

=

o

,

logo

2 K +

=

o

2

Resolvendo-se novamente a equaçao do 29 grau, encontramos todos os li.

À =

1

+

Chamando de: b =

1~-K+/

K 2 -4L m

1:-K-/

K2-4L c = m

,

as quatro raízes sao: l+bm, l+cm, 1-bm e 1-cm

-

para m=l e c ₁

=

O

: K = 1-2ô-B K-1 L = L = -2ô-B K2-4L = K2-4K+4 = (2-K) 2 Substituindo-se em (3.37): = ./ 1+2ô+B

,

b 1

é

sempre real e a solução para o 19 harmônico fica:

w

=

e

l+b1 +

e

r 1 ""b1 r +

e

1

1 11 r 21 + c31 41 r n r

para m>l :

(3.37)

( 3. 38)

bm e cm serao reais desde que os parâmetros que definem a ortotropia B e 8 não se afastem muito da unida-de ou da situação isôtropa. Eles poderão assumir valores compl~ xos10 quando houver um forte enrijecimento somente em uma das direções, situação esta que não apresenta interesse prático e

que deixaremos de considerar.

As flechas correspondentes aos harmônicos de maior ordem ficam:

e

l+bm 1-b rl+cm +

e

1-c

=

lm

r

+ C2m r m + c3m 4m r m (3.39) No caso isótropo: 8

=

5

=

1 bm

=

m+l cm

=

m-1 wl

=

c11 r3 + c21

r

-1 + c3lr + C41

r ln r

(3.40) 2+m -m _{r m +} 2-m w

₌

_clm

r

_{+ c2m r + c3m c4m r} m B) Solução Particular

A solução particular wp da equaçao (3.19) pode ser obtida representando-se o carregamento prescrito q(r,e) em uma série infinita de termos em co-seno:

onde m q(r,e) =

l

Qm cos me ItFl Q é uma função sô de m (3.41) r •

que tem solução por métodos usuais de cálculo: coeficientes a de

terminar, variação de parâmetros, etc.

Para o caso usual de carregamento

uniformemen-te distribuído com

_{intensidade q 0}

reduz em:

r 4

w'V

_o

+

2r3 W''' -

_o

B

1r 2

_~

w•• -

_o

r w•l

_oJ

na qual, experimentando a solução na forma

gualando os coeficientes, obtemos

,.-.,...=

8B (9-o2)

r

quando

B

=

1

=

Br

=

B

, temos a situação isótropa:

4

r

qo

- B - (3.43)

r

, e

i -(3.44)

,

e quando

B=9 ,

isto é,

B

_e

=

9B

_r

,uma forte ortotropia na dir~

ção tangencial, ocorre uma indeterminação que deve ser levantada

no limite juntamente com a solução complementar.

3.12 - EQUAÇÃO DIFERENCIAL DAS CHAPAS COM ORTOTROPIA POLAR

Neste item, deduziremos a equaçao diferencial

do estado plano de tensões para aplicação em chapas com ortotro

pia polar, mostrando a analogia existente entre essa equação de

finida pela função de tensões no plano e a equação homogênea da

flexão de placas.

Item 3.2 , com exceçao evidente da que diz que a superficie

mé-dia permanece indeformada.

Na situação presente tanto o plano

médio como os paralelos a ele, são solicitados nela:a tensões

renresentadas na Fig, 3.9,

que satisfazem as

=

1

aF +

ªr

r

ar

a2F

ªe

=

;;z

h 2

...h

2 FIG-3.9 •

As tensões dadas pela função de Airy

F {r, e) ,

equaçoes de equi1Ibrio no plano, se escrevem:

1

a2F

?~

{3.45)

1 aF

?ãã

Sob as mesmas simplificações: {az=Yrz=Yez~O),

a lei de Hooke se representa pelas equações:

ºr ve Er

=

_E

-·r

ºe r e ºe V r E8

=

Ee

-

Er ºr ou, em termos de F : 1 _{(a F)} 2 V r

_e!.

aF .E0

=

_Ee

_;7

_{- Er r ar}

- +

1 ( 1 aF 1 a2F Yra

=

_G

_~ãã

- r

'ãr"ããl

ve Ee 1 a2F

~

;?")

(3.46) (3.47)

Para eliminarmos as deformações e constituir -mos uma única equaçao em F , lançamos mão da equação de compat! bilidade de deformações no plano r e , a primeira das expressoes

(2.5). Substituindo-se (3.47) nesta equação, encontramos, após derivações e simplificações: 1 a4F 3 1 vr (~ a 4_F 1 a3F

+

~ a F) Ee (-:---i _ar r ~

+

2(2G

-

- ) E _{r r ar}

2

_ae

2

-,

_{r ara e}

+

4 1 4 2 a2F 1 a2F _{1 aF)}

+

1 a F)

₊

( 1 a F

+

₌

_o

;r

;?°

E

;r

;;,r

;r

;?° -

-"7 ~

+

_:?

_ar r r ar (3.48)

Multiplicando-se esta equaçao por E

com os operadores definidos anteriormente, temos:

eram:

s =

ô

=

outra

li =

=

o

(3.49)

As constantes definidas na equaçao da flexão

B8

E8

=

Br

Er

H

Br

"rB 8

+2GI

_E8

+ 2G

.

definindo

=

=

_{"r Er}

Er

'

agora

uma

B

r

Ee 2G

...,.. +

-"'"

Er

, a constante que multiplica

fica sen

do

(li-ô) ,

daí:

(3.

50)

Comparando esta equaçao com a equaçao homogê

-nea da flexão de placas com ortotropia (3.19), podemos observar

que

F e wh

têm soluções muito parecidas; no caso assimétrico

bastando trocar

ô

por

(li-ô)

nas soluções apresentadas, enqua~

to que no caso simétrico, F e wh

são de forma idêntica.

Também devem ser estabelecidas condições de co~

torno na solução de (3.50), em termos de forças ou de

deslocamen-tos.

CAPfTULO

IV

APLICAÇÕES A CASOS USUAIS DE CARREGAMENTO E CONDIÇÕES DE CONTORNO

ORTOTROPIA FfSICA

4.1 -

INTRODUÇÃO

A seguir apresentamse algumas aplicações práti -cas da teoria desenvolvida no Capítulo III, para pla-cas com

con-torno circular completo e podendo possuir um furo concêntrico

'

vinculadas de diversos modos e submetidas a diferentes tipos de carregamento.

Primeiro enfocamos detalhadamente problemas rela-tivos à flexão axissimêtrica, depois abordamos alguns casos sim-ples de flexão não simêtrica e por Último, aproveitando a analo-gia existente entre a equação da flexão com a equaçao do estado plano de tensões, apresentamos a solução de uma chapa circular ortótropa sob uma distribuição de pressoes radialmente uniforme.

4.2 - FLEXÃO AXISSIMÉTRICA

As flechas e esforços solicitantes que ocorrem em placas circulares sujeitas a carregamento e contorno axissimêtri cos, independem da coordenada angular

e ,

e por isso seu esqu~ ma estrutural

é

definido apenas por um corte diametral como o da Fig. 4 .1 .

A expressao de w em função da coordenada radial e dada por:

w

=

w

e

+

e

2 +

e

l+a +

e

1-a

p + 10 20r 30r 40r

onde depende do carregamento distribuído

Wp ~

parâmetro que define a ortotropia: a·

= /

~

Br

c

₃₀ e

c

40 são calculadas através de condições métricas impostas ao contorno.

CORTE AA ( 4 .1) q (r) , . a. e

-

o e

clO' c20'

estáticas ou ge~ FIIG-4.1

Os esforços solicitantes por unidade de compri -mento, definidos em (3.15), se simplificam para:

M r

= -

B r

= -

B (

r

3 d w + dr3 1 dw

2

dr r ( 4. 2)

A tabela 4.1, representada a seguir, é bastante útil ao se formular as condições de contorno e escrever as ex-pressoes dos resultados, sem recorrer a repetitivas derivações de _w ela mostra as funções envolvidas em casos simétricos em termos das constantes de integração e de um carregamento uni formemente distribu{do q₀ .

Apresentaremos casos de flexão a. axissimétrica, s~ gundo os sub-Itens desenvolvidos a seguir:

A) PLACAS COMPLETAS

As placas circulares completas apresentam a de -clividade da superficie e o esforço cortante nulos no centro de vido à simetria; da tabela 4.1, a parte referente às condições de bordo dessas funções sao dadas por:

w' 2c 20r + a -a = (l+a)

c

30r + (1-a) c40r e Qr -2 c20 (l-a2) = Br r

o

parâmetro a e sempre positivo, logo em r=O para que tenhamos valores finitos:

( 4. 3)

A condição de cortante nulo na origem tem uma exceçao para cargas concentradas que proporcionam uma desconti-nuidade indeterminada para esse esforço no ponto de aplicação da carga; neste caso, a constante

c

₂₀ é obtida pelo equil{brio de forças verticais em um contorno circular de raio r arbitrá rio:

1 r2 rl+a 1-a 4

w

r r

w'

-

2r (l+ct)rª (1-a)r -a 4r3 l\fBr -2(l+v8) a-1 -a-1 _-4(3+v 8)r 2

-

-(l+ct) (a+v 8)r (1-a) (a-v9)r

Me/Br

-

-2(1+vr)ct 2 -(l+a) (l+ctvr)ct r 2 a-1 - (1-a) (1-av ) a r _r 2 -a-1 -4 (1+3vr) a r 2 2

2 ₂

y'Br

-

-2(1-a) r

-

-

-4 (9-a ) r

c20 2 p

=

-2 r (1-a )Br

=

-

--

_2llr p 2 411(1-a )B r ( 4. 4)

Feitas estas considerações,calcularemos as cons-tantes

c

10 e

c

30 e apresentaremos um formulário de flechas e esforços resultantes, nos seguintes casos clássicos:

a) Placa circular apoiada, sob a açao do momento M

0 uniforme-mente distribuído na borda externa.

Mo Mo

r:--~

a _j

FIG-4.2

A ausência de carga distribuída anula wp, e com (4.3) a expressao das flechas fica:

w =

e

+

e

rl+a 10 30

- condições de contorno em r=a

w

=

o

M _r

=

M

_O

; 1-a a ( 4. 5)

-

flechas e esforços solicitantes: MO a 2 _Pl+cx) w = (1

-(l+cx) (cx+v₆) B _r Mr = MO p cx-1 ( 4. 6) Me = ex MO p cx-1 Qr = o p = r _a

b) Placa circular engastada, submetida a um carregamento unifor memente distribuído q 0 1 qo

f

1

)1)11) 1111111111111,

. 1 o 1 FIG-4.3

As flechas obtidas com este tipo de carregamento sao dadas por:

qo r4

w = " ~

-8(9-cx2) Br

l+cx r

- condições de bordo engastado em r=a

4 l+cx qo a ºW = o o = cio+ c30 a + 2 8(9-cx )B 3 r w' = o o = c₃₀(1+cx)aª + 4qoa 2 8(9-cx) B r

2 8 (9-a )B

r

3-a l+a

.

_'

- flechas e esforços resultantes:

2 2(9-a ) 2 2(9-a) I

r

p

=

a 3-a

-4q

_{. o}

a 2 8 (9-a ) B r 3-a

J

+ l+a 1 l+a ( 4. 7) ( 4. 8)

c) Placa circular apoiada, submetida a um carregamento uniforme mente distribuído q

0

A solução para este caso pode ser obtida por s~ perposição das soluções a) e b) , segundo o esquema da

onde o momento de engastamento dado por (4.8)

é

Ma=

-Ma Mo M M

1nnn!Inin[, =~iuuiiinnn~

+

~~º

__

__,.j

Fig.4.4

qoa2

2 (3+a) • FIG-4.4 .

Somando-se as expressoes correspondentes nos 2 casos, obtém-se para a placa apoiada:

w = 2 8(9-a )B r 2 2(9-a) 2

[

,

4(3+"8) [ p a-1 - p 2

J

(3+v 8) (l+avr) (a+v 8)

r

p

=

a l+a p + (3-a) ( 4+a+v 8 )

J

(l+a) (a+v 8) ( 4. 9)

Nas figuras 4.5 e 4.6 temos os gráficos que re-presentam a variação de flechas e momentos fletores (4.9) com a coordenada adimensionalizada p , para diversos valores de enr~

jecimento (a) e não se levando em conta o efeito de Poisson. No ta-se claramente pela Fig. 4. 6 que os momentos Mr e M

8 nas proximidades do centro da placa, convergem para valores nulos a i

infinitos, conforme a seja maior ou menor que l; esta singul~ ridade será analisada no sub-ítem B.

o

º·ºº

0,.10 0,20 w 0,30 01 2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 P=....!. a 0,8 0,9 1,0 FIG-4.5

0,60 0,40

º·ºº º·º

0,1 0,60 0,40 0,20

º·ºº

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 ,· '

•

O; 7 O,B 0,9 1,0 f /

0,2 0,3 o,4 o,5 o,6 0,1 o,e o,9 1,0

f

d) Placa circular engastada, sob açao. de carga centrada

1

o

FIG-4.7

A expressão que define o campo de flechas, ten-do em vista (4.4) e a ausência de carregamento distribuíten-do,

é

dada por: w = 2 411(1-a )Br +

e

e

l+a 10 + 30 r

- condições de bordo engastado em r=a Pa 2 w =

o

o

= ₂ + 411 (1-a ) Br + ClO 2Pa w'

o

o

+ (l+a) c 30 = = ₂ 411(1-a )B r Pa 2 1..:a clO = ₂ ; C30 = -411(1-a )Br l+a

- flechas e esforços resultantes

Pa2 [ 2 2 w = 411(1-a 2 JB P - l+a r p 2 211(1-a ) l+a + 1-a

J

P l+a c30 al+a a a 2Pal-a 1 2 l+a 411 (1-a ) B r _(4.10) (4 .11)

=

2 211 (1-a ) p - 2rrr r p

=

a

e) Placa circular apoiada, sob a açao de carga centrada

Analogamente, poderemos obter as soluções supeE_ pondo-se os casos a) e d) w = M _r

=

Me

=

= Pa2 2 411(1-a )Br p (l+v e) 2 211(1-a) Pa2 _[l:ve 2 211(1-a) p - 2rrr

,

p

=

[Pa-1_ 1 ] a-1

_'

J

p

-

(l+v ) . r

r

a

B) CORREÇÃO DOS MOMENTOS FLETORES NO CENTRO DA PLACA

(4.12)

De acordo com o que foi mostrado no Capítulo II, a ortotropia cilíndrica não pode existir na origem do sistema ée

coordenadas (centro da placa), que

é

um ponto isótropo devido

à

coincidência das direções principais da ortotropia. A esta sin gularidade física, corresponde uma singularidade matemática, ma nifesta em termo das expressões dos monentos fletores Mr e Me,