UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

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FUNÇÃO QUADRÁTICA (ou polinomial do 2o grau) y = a . x2 + b . x + c, com a ≠≠≠≠ 0 1) a 2 b x : temos , c a 4 b do consideran e 0 c x b x a Se 2 2 ⋅ ∆ ± − = ⋅ ⋅ − = ∆ = + ⋅ + ⋅ 2) a b x x a c x x : temos 0 c x b x a Se 2 1 2 1 2       − = + = ⋅ = + ⋅ + ⋅ 3) a⋅x2+b⋅x+c=a⋅(x−x₁)⋅(x−x₂)

4) Vértice da parábola: V(xv, yv), onde: 2 x x a 2 b x 1 2 V + = ⋅ − = e a 4 ) x ( f y_{V v} ⋅ ∆ − = = 5) Decomposição de polinômios: P(x)=a_n⋅(x−r₁)⋅(x−r₂)⋅(x−r₃)⋅...⋅(x−r_n) 6) Fatorações especiais: xn −an =(x−a)⋅(xn−1+xn−2⋅a+xn−3⋅a2+...+x⋅an−2+an−1)

• MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO:

   < − ≥ = 0 x se x, 0 x se x, | x | • SOMATÓRIO: n _{1 2 n} 1 i i x ... x x x = + + +

∑

= • GEOMETRIA ESPACIAL ♦ Prisma:     × = × + = Altura Base da Área Volume Base da Área Lateral Área Total Área 2 ♦ Cilindro:      = + × = = = h r Volume Lateral Área Base Área Total Área h r Lateral Área r Base Área 2 2 ; 2 2 ; π π π ♦ Cone:     + = = = Lateral Área Base Área Total Área g r Lateral Área r Base Área 2 ; ; π π

• FUNÇÃO EXPONENCIAL: y =ax,a>0 e a ≠1

• Propriedades das potências: 1) ₁₄₂₄₃ n termos x ... x ⋅ ⋅ ⋅ = x xn 2) xm+n =xm⋅xn 3) _n m n m x x x − = 4) n 1_n x x− = 5) (xm)n =xm⋅n 6) n m n m x x = 7) a0 =1(a≠0) • FUNÇÃO LOGARÍTMICA:      ≅       + = = > ≠ > = +∞ → 2,7182818... 1 1 lim e : onde , log x ln , log x x x e x a x 0 x e 1 a e 0 a y • Propriedades logarítmicas:

1) log_a

(

A⋅B

)

=log_a

( )

A +log_a

( )

B 2) log

( )

A log

( )

B B A loga = a − a     

2) log_a

( )

An =n⋅log_a

( )

A 4) (conhecidacomomudançadebase) B log A log log a a = A B 5)

a

x

x a

=

log e por consequência elnx =x • GEOMETRIA ANALÍTICA:

1) Duas retas não verticais r e s são paralelas se, e somente se os seus coeficientes angulares forem iguais, isto é: s r m m s r_// ⇒ =

2) Duas retas não verticais r e s são perpendiculares se, e somente se o produto de seus coeficientes angulares for igual a menos um, isto é:

1 − = ⋅ ⇒ ⊥s m_r m_s r ou r s m m s r ⊥ ⇒ =− 1

• A equação de uma circunferência de centro C(xc, yc) e raio r é dado por: (x−x_c)2 +(y−y_c)2 =r2.

• Considerando a circunferência com centro na origem, temos:(x−0)2 +(y−0)2 =r2 ⇒ x2 +y2 =r2.

2 2 _x

r

y= −

3) Equação fundamental da reta: y−yp =m⋅(x-xp), em que:

x y tg m ∆ ∆ = = α .

TRIGONOMETRIA - Definições, Relação Fundamental e Algumas Consequências (01) hip co hipotenusa oposto cateto ₌ = θ sen (02) hip ca hipotenusa adjacente cateto cosθ = = (03) ca co adjacente cateto oposto cateto ₌ = θ tg ou θ θ θ cos sen tg = (04) θ θ θ sen g cos cot = ou θ θ tg g 1 cot = (05) θ θ cos 1 sec = (06) θ θ sen 1 cossec = (07) sen2θ +cos2θ =1 (08) 1+ tg2θ =sec2θ (09) 1+cotg2θ =cossec2θ (10) Soma de arcos:        ⋅ + ⋅ = − ⋅ − ⋅ = + ⋅ − ⋅ = − ⋅ + ⋅ = + b sen a sen b cos a cos ) ( cos b sen a sen b cos a cos ) ( cos a cos b sen b cos a ) ( a cos b sen b cos a ) ( b a b a sen b a sen sen b a sen (11) Arcos duplos:    ⋅ ⋅ = − = θ θ θ θ θ θ cos sen 2 2 cos 2 cos 2 2 sen sen

(12) Relação fundamental trigonométrica e consequências:     = − = − ⇒ = + θ θ θ θ θ θ 2 2 2 2 2 2 cos 1 cos 1 1 cos sen e sen sen

(13) Consequência da relação fundamental trigonométrica e arcos duplos:       − = + = θ θ θ θ 2 cos 2 1 2 1 2 cos 2 1 2 1 cos 2 2 sen

(14) Transformação de soma em produto:

                   − ⋅       + ⋅ − = −       − ⋅       + ⋅ = +       + ⋅       − ⋅ = −       − ⋅       + ⋅ = + 2 2 2 cos cos 2 cos 2 cos 2 cos cos 2 cos 2 2 2 cos 2 2 q p sen q p sen q p q p q p q p q p q p sen q sen p sen q p q p sen q sen p sen   = = b c a )

CAPÍTULO I – LIMITES

O estudo dos limites é fundamental para o entendimento das ideias de derivadas e integrais. Neste momento, trabalharemos apenas a ideia intuitiva e informal de limite, sem as definições rigorosas e as demonstrações formais de suas propriedades. A ideia intuitiva de limite é trabalhada geometricamente por meio de seqüências e pela análise do gráfico de uma função.

A noção de limite de uma função, e o uso do deste é de fundamental importância na compreensão e, conseqüentemente, no desenvolvimento de grande quantidade de tópicos no campo das ciências que lidam com a Matemática. O Cálculo Diferencial e Integral (CDI) é uma parte (um ramo) da matemática, toda ela, fundamentada no conceito de limite.

O conceito de limite de uma função f é uma das ideias fundamentais que distinguem o Cálculo da Álgebra e da Trigonometria. Suponha que um físico deseje obter quanto vale determinada medida, quando a pressão do ar é zero. Na verdade é impossível obter o vácuo perfeito. Então um procedimento a ser adotado é experimentalmente efetuar-se essas medidas com valores cada vez menores de pressão, se os valores desta medida tendem para um determinado número L, admite-se que no vácuo ela seria igual ao valor L.

Se representarmos por x a pressão e à medida que quisermos for dada por f(x), então podemos representar esse resultado por:

L x f x→ ( )= lim 0

Esta é uma situação em que se aplica o conceito matemático de limites. Tal conceito é de fundamental importância para o desenvolvimento teórico de derivadas e integrais que possuem várias aplicações na física, eletricidade, mecânica, etc.

• Limites: Breve histórico

Uma preocupação já presente entre os gregos antigos consistia na busca de procedimentos para encontrar áreas de figuras com diferentes formas. Por meio de transformações geométricas, relacionando figuras com áreas equivalentes, os gregos dedicaram-se, principalmente, ao cálculo de áreas de figuras limitadas por segmentos de reta ou arcos de círculo, pela redução a figuras conhecidas. Quando tratamos do cálculo de áreas de figuras por curvas, é inevitável recorrer a procedimentos que se utilizem, direta ou indiretamente, do conceito de limite. Os gregos resolveram o problema de calcular a área do círculo pela aproximação sucessiva (método de exaustão) de polígonos inscritos com número cada vez maior de lados, de acordo com a seqüência de figuras apresentada a seguir.

Calculando a área de um polígono através de sua decomposição em triângulos isósceles com vértices no centro do círculo e bases coincidentes com seus lados, a figura convergia para o círculo circunscrito a todos os elementos da seqüência em questão.

Deve-se a Cauchy (1789-1857), matemático francês, a formalização precisa de limite. ...

1) Tema: Limites 2) Pré-requisitos:

O acadêmico deverá apresentar domínio sobre: • Reta numérica (reta real);

• Funções, compreendendo definição (conceito), domínio, imagem e representação gráfica; • Polinômios, entendendo valor numérico e raízes (ou zeros) deste;

• Equações algébricas, fatorações; • Conceito de velocidade e aceleração. 3) Objetivos instrucionais:

O acadêmico será capaz de perceber de forma intuitiva a teoria dos limites como objetivo para estudar o comportamento de uma função quando sua variável está na proximidade de um número real, podendo a função estar ou não definida. Inicialmente, trabalharemos com limite de funções tendendo para um valor fixo ou para mais infinito.

4) Desenvolvimento do tema: 4.1. Introdução:

Usamos a palavra limite no nosso cotidiano para indicar, genericamente, um ponto que pode ser eventualmente atingido, mas que jamais pode ser ultrapassado.

Exemplos:

1) Injetando ininterruptamente ar em um balão de borracha, haverá um momento em que ele estoura. Isso porque existe o limite de elasticidade da borracha.

2) Um engenheiro ao construir um elevador, estabelece o limite de carga que este suporta.

3) No lançamento de um foguete, os cientistas devem conhecer o limite mínimo de combustível necessário para que a aeronave entre em órbita.

4) Como os avanços na tecnologia resultam na produção de calculadoras cada vez mais potentes e compactas, o preço das calculadoras atualmente no mercado diminui. Suponha que x meses a partir de agora, o preço de certo modelo seja de

1 30 40 ) ( + + = x x

P unidades monetárias (u. m.). a) Qual será o preço daqui a 5 meses? Resposta: P(5) = $ 45.

b) De quanto cairá o preço durante o quinto mês? Resposta: P(5) - P(4) = 45 - 46 = $ 1. c) Quando o preço será de $ 43 u. m. Resposta: P(x) = 43 => Daqui a 9 meses.

d) O que acontecerá com o preço a longo prazo (x→ ∞)? Resposta: P(x) → $ 40 quando x → ∞. 5) Supõe-se que a população de uma certa comunidade suburbana, daqui a t anos, será de

4.2. Conceito de limite:

Exemplos:

1) Inicialmente, vamos tomar a função f: ℜ→ℜ, definida por y = f(x) = x – 2 e determinar o valor de f(x), quando os valores de x, encontram-se muito próximos de 2.

Atribuindo a x uma seqüência de valores que se aproximam cada vez mais de 2, sendo todos valores menores que 2, é possível determinar os valores de f(x), conforme ilustra o quadro a seguir:

x f(x) 1 -1 1,5 -0,5 1,8 -0,2 1,9 -0,1 1,99 -0,01 1,999 -0,001 1,9999 -0,0001 1,99999 -0,00001 1,999999 -0,000001

Percebe-se que conforme os valores de x aproximam-se de 2 (dois), os valores de f(x) aproximam-se de 0 (zero).

Por outro lado, atribuindo-se a x uma seqüência de valores que se aproximam cada vez mais de 2, sendo todos maiores que 2, é possível determinar os valores de f(x), conforme observa-se no seguinte quadro: x f(x) 3 1 2,5 0,5 2,3 0,3 2,1 0,1 2,01 0,01 2,001 0,001 2,0001 0,0001 2,00001 0,00001 2,000001 0,000001

Novamente, os valores de f(x) aproximam-se de 0 (zero), à medida que os valores de x aproximam-se de 2 (dois).

Graficamente, usando o software Maple_{, temos:}

> plot(x-2,x=-1..4,color=blue);

Neste caso, escrevemos em linguagem matemática:

0 ) ( lim ) ( lim ) ( lim 2 2 2 = → = → = → − f x _x + f x _x f x x

2) Tomemos a função . 3 9 ) ( 2 − − = x x x

f Suponha que estejamos interessados em saber de que valor se aproxima f(x) quando x se aproxima de 3.

Façamos uma tabela e atribuamos a x valores menores que 3.

x f(x) 2,5 5,5 2,8 5,8 2,9 5,9 2,99 5,99 2,999 5,999 2,9999 5,9999 ... ...

Vemos que quanto mais x se aproxima de 3, mais o valor de f(x) se aproxima de 6. Note que nos aproximamos de x por valores menores do que 3.

Matematicamente, representamos esta situação por:

6 ) ( lim -3 x→ f x =

Lê-se: limite de f(x) quando x tende a três pela esquerda é igual a 6 (seis). Tomemos agora valores próximos de três, mas maiores que 3.

x f(x) 3,4 6,4 3,2 6,2 3,1 6,1 3,01 6,01 3,001 6,001 3,0001 6,0001 ... ...

Note que quanto mais x se aproxima de 3 por valores maiores do que 3, mais f(x) se aproxima de 6. Matematicamente, representamos esta situação por

6 ) ( lim 3 _x→ + f x =

Lê-se: limite de f(x) quando x tende a três pela direita é igual a 6 (seis). Estes limites, são chamados limites laterais.

Limites laterais: São obtidos quando se considera os valores menores que x (limite de f(x), quando x tende a 2 pela esquerda) e quando considera-se os valores maiores que x (limite de f(x), quando x tende a 2 pela direita).

Antes de formalizarmos o conceito, façamos mais um exemplo: Analisar a função f: ℜ→ℜ, definida por

1 1 ) ( 2 − − = = x x x f

y , quando x tende (aproxima-se) para 1.

Atribuindo valores para x, pode-se construir um quadro e em seguida, fazer um esboço de seu gráfico, ressaltando que Dom(f)={x∈ℜ/x≠1} (Dom = domínio, ou seja, valores que são possíveis de serem atribuídos a variável independente x).

x 1 1 2 − − = x x y -1 0 0 1 0,9999 1,9999 1 Não existe 1,0001 2,0001 2 3 3 4

Graficamente, usando o software Maple, temos

> plot((x^2-1)/(x-1),x=-2..4,color=blue);

Observe no gráfico, o que ocorre com as imagens das seqüências cujos valores se aproximam de 1. As imagens se aproximam de 2. Portanto, neste caso, escrevemos:

2 ) ( lim ) ( lim ) ( lim 1 1 1 = → = → = →− f x _x + f x _x f x x

Perceba que o limite dessa função para x tendendo a 1 existe, embora a função não esteja definida no ponto x = 1.

De forma genérica, escrevemos: f x L

a

x→ ( )=

lim

De acordo com os exemplos apresentados anteriormente, nota-se que a ideia de limite de uma função f, quando x tende para a, depende somente dos valores de f em valores próximos de a, o valor de f(a) é irrelevante. Nota: ∈ℜ     = = ⇔ = + − → → → f x L L L x f L x f a x a x a x lim ( ) , ) ( lim ) ( lim

Exemplos:

1) O gráfico a seguir representa uma função f de [−6 ,9] em ℜ. Determine: a) f(2) b) lim ( ) 2 f x x_→ − c) lim ( ) 2 f x x_→ + d) lim ( ) 2 f x x→ e) f(−2)= f) f(7)= Solução: a) f( =2) 3 b) = − → ( ) lim 2 f x x 2 c) = + → ( ) lim 2 f x x 5

d) Não existe o limite pedido, pois: lim ( )

2 f x

x→ − ≠ xlim→2+ f(x)

e) f(−2)=0

f) f( =7) 0

Observe que -2 e 7 são as raízes (ou zeros) da função f.

2) Um gás (vapor d’água) é mantido à temperatura constante. A medida que o gás é comprimido, o volume V decresce até que atinja uma certa pressão (P) crítica. Além dessa pressão, o gás assume forma líquida. Observando a figura a seguir, determine:

a) V

5) Metodologia:

• Exposição do conteúdo com utilização de quadros e gráficos.

• Tomar exemplos singulares, objetivando chegar a pluralidade do assunto, representando-o na linguagem matemática.

6) Recursos didáticos:

Quadro-de-giz, giz, retroprojetor, transparências, computador, projetor multimídia, lista de exercícios, etc.

7) Verificação da aprendizagem:

• Participação do acadêmico no decorrer da aula, considerando sua curiosidade, e é claro que respeitando a sua individualidade;

• Interesse na resolução dos exercícios; • Avaliação escrita e individual;

• Utilização de software matemático de manipulação algébrica (Maple®_{, por exemplo).}

8) Lista de Exercícios:

9) Referências Bibliográficas: Final da apostila

ATIVIDADE: PESQUISAR APLICAÇÕES DE LIMITES: 1) SOMA INFINITA DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG).

2) APLICAÇÕES À ELETRICIDADE. 3) APLICAÇÕES À ENGENHARIA.

ALGUMAS APLICAÇÕES DE LIMITES

• Área de um círculo

Desde os tempos mais antigos os matemáticos se preocupam com o problema de determinar a área de uma figura plana. O procedimento mais usado foi o método da exaustão, que consiste em aproximar a figura dada por meio de outras, cujas áreas são conhecidas.

Como exemplo, podemos citar o círculo. Para definir sua área, consideramos um polígono regular inscrito de n lados, que denotamos por Pn, conforme ilustra a figura a seguir.

Seja An a área do polígono Pn. Então, An =n⋅AT_n, onde ATné a área do triângulo de base ln e altura hn,

da figura a seguir. Como 2 n n T h l

A_n = ⋅ é o perímetro do polígono Pn é dado por pn =n⋅ln, vem: n n n n h p h l n A = ⋅ ⋅ = ⋅

• Velocidade Média e Velocidade Instantânea

Vamos utilizar uma historinha para ilustrar melhor os conceitos:

O senhor Mário mora na cidade A e, nos fins de semana, vai visitar a irmã que mora na cidade B, distante 200 quilômetros de A, e nesse percurso ele leva duas horas e meia. Na última vez, o senhor Mário foi multado pela polícia rodoviária por excesso de velocidade. Ele tentou argumentar que, como percorreu 200 km em duas horas e meia, a sua velocidade é de 80 km/h e portanto não poderia ser multado. Por que os guardas rodoviários não lhe deram ouvidos?

A velocidade a que se refere o senhor Mário é a velocidade média:

hora km decorrido tempo percorrida distância vm 80 / 5 , 2 200 = = =

A velocidade a que se refere o guarda rodoviário é a velocidade instantânea, que provavelmente era maior do que 80 km/h no instante em que ele passava pelo local, pois é difícil manter uma velocidade constante num percurso tão longo.

Lembremos o que é velocidade instantânea.

Seja s = s(t) a equação horária do movimento de um ponto material na reta numérica, isto é, s(t) indica a coordenada do ponto material no instante t. A velocidade média do ponto material no intervalo de tempo [t,t+∆t] é dada pela razão (divisão) entre o espaço percorrido e o tempo decorrido.

t t s t t s t s vm _∆ − ∆ + = ∆ ∆ = ( ) ( )

A velocidade instantânea do ponto material no instante t é o limite da velocidade média t s ∆ ∆ quando t ∆ tende para 0: t t s t t s t s t v v t t ∆ − ∆ + = ∆ ∆ = = → ∆ → ∆ ) ( ) ( lim lim ) ( 0 0 Exemplo:

1) Seja s(t)₌3t2 ₊10t _{a equação horária de um ponto material que se move na reta numérica.} Supomos que s seja medido em metros e t, em segundos. Calcule:

a) A velocidade média do ponto material no intervalo de tempo [2, 4]. b) A velocidade instantânea no instante t = 2.

Solução: a) Velocidade média: s m s s vm 28 / 2 56 2 20 12 40 48 2 ) 2 10 2 3 ( ) 4 10 4 3 ( 2 4 ) 2 ( ) 4 ( 2 2 = = − − + = ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ = − − =

b) A velocidade instantânea no instante t = 2.

= ∆ ⋅ + ⋅ − ∆ + + ∆ + = ∆ − ∆ + = → ∆ → ∆ t t t t s s s v t t ) 2 10 2 3 ( ) 2 ( 10 ) 2 ( 3 lim ) 2 ( ) 2 ( lim 2 2 0 0 s m t t t t t t t lim[3 22] 22 / 20 12 10 20 4 3 ) ( 3 4 3 lim 0 2 0 ∆ = ⋅∆ + = − − ∆ ⋅ + + ∆ ⋅ ⋅ + ∆ + ⋅ = → ∆ → ∆

No próximo tópico, diremos que a velocidade instantânea é a derivada do espaço em relação ao tempo:

dt ds t v( )=

2) Suponha que uma partícula esteja sendo acelerada por uma força constante. As duas curvas

v = n(t) e v = e(t) da figura abaixo fornecem as curvas de velocidade instantânea versus tempo para a partícula conforme previstas, respectivamente, pela Física clássica e pela Teoria da Relatividade Especial. O parâmetro c representa a velocidade da luz. Usando a linguagem de limites, descreva as diferenças nas previsões a longo prazo das duas teorias.

3) Seja T = f(t) a temperatura de uma peça t minutos depois de retirada de um forno industrial. A

figura abaixo mostra a curva da temperatura versus tempo para a peça, onde r denota a temperatura ambiente. Pergunta-se:

a) Qual é o significado físico de lim ( )?

0 f t

t_→ +

b) Qual é o significado físico de lim f(t)?

t ∞→

CONTINUIDADE EM APLICAÇÕES (Adaptado de Anton, Cálculo, vol. I, 8 ed., 2007) Nas aplicações, as descontinuidades sinalizam, muitas vezes, a ocorrência de importantes fenômenos físicos. Por exemplo, a Figura 1 é um gráfico da voltagem versus o tempo para um cabo subterrâneo que é acidentalmente cortado por uma equipe de trabalho no instante t = t0 (A voltagem caiu para zero

quando a linha foi cortada.) A Figura 2 mostra o gráfico de unidades em estoque versus tempo para uma companhia que reabastece o estoque com y1 unidades quando o estoque cai para y0 unidades. As

LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS

1) Seja a função f: ℜ*→ℜ, definida por

| | ) ( x x x

f = . Esboce o gráfico de f e calcule lim ( )

0 f x

x→ .

2) Seja f a função racional definida por

) 2 ( ) 2 ( ) 1 2 ( ) ( − − ⋅ + = x x x x

f . Esboce o gráfico de f e calcule

) ( lim

2 f x

x→ . Dica: Inicialmente, explicite o domínio de f.

3) Dada a função f definida por:

     > + = < − = 1 , 2 1 , 2 1 , 4 ) ( 2 2 x se x x se x se x x

f . Esboce o gráfico de f e calcule o seu limite quando x tende a 1.

4) Para estudar a velocidade na qual os animais aprendem, um estudante de psicologia executou um experimento no qual um rato era enviado repetidamente através de um labirinto de laboratório. Suponha que o tempo requerido pelo rato para atravessar o labirinto na enésima tentativa era de aproximadamente

n n

f( )=3+12 minutos.

a) Para que valores de n a função f ( n ) tem significado no contexto do experimento psicológico?

Resposta: Todo inteiro positivo (Z*)

+

b) Quanto tempo leva para que o rato atravesse o labirinto na terceira tentativa? Resposta: 7 minutos c) Em qual tentativa o rato atravessou pela primeira vez o labirinto em 4 minutos ou menos?

Resposta: 12a tentativa

d) De acordo com a função f, o que acontecerá com o tempo requerido pelo rato para atravessar o labirinto à medida que o número de tentativas aumenta? Será o rato um dia capaz de atravessar o labirinto em menos de 3 minutos?

Resposta: O tempo necessário aproximar-se-á de, mas nunca será menor do que 3 minutos.

5) Um fazendeiro estabelece o preço da saca de café em função da quantidade de sacas adquiridas pelo comprador por intermédio da equação

x x

P( )=50+200, em que P(x) é o preço em dólares por saca e x é o número de sacas vendidas.

a) Quanto deve pagar, por saca, um comprador que adquirir 100 (cem) sacas? b) Quanto deve pagar, por saca, um comprador que adquirir 200 (duzentas) sacas? c) Sabendo que um comprador pagou 54 dólares por saca, quantas sacas comprou? d) O que acontecerá com o preço de cada saca, em uma compra muito grande (x→ ∞)?

Resposta: a) 52 dólares b) 51 dólares c) 50 sacas d) P(x) → $ 50 quando x → ∞ 6) O gráfico a seguir representa uma função f de [−4 ,2] em ℜ. Determine:

a) f(−1)= b) = − − → ( ) lim 1 f x x c) = + − → ( ) lim 1 f x x Resposta: a) f(−1)=5 b) 3 c) 5

7) Um paciente em um hospital recebe uma dose inicial de 200 miligramas de um medicamento. A cada 4 horas recebe uma dose adicional de 100 mg. A quantidade f(t) do medicamento presente na corrente sangüínea após t horas é exibida na figura a seguir. Determine e interprete:

a) lim ( )

8 f t

t_→ − b) _plim_→8+ f(t)

Resposta: a) 150 b) 250 Interpretação: Não existe limite.

8) O gráfico a seguir representa uma função f de [−3 ,4[ em ℜ. Determine: a) f(1)= b) = − → ( ) lim 1 f x x c) ₊ = → ( ) lim 1 f x x Resposta: a) f( =1) 4 b) -2 c) 4

10) Complete os espaços indicados, analisando cada função dada pelo gráfico: • Gráfico I (Maple: plot(2*x,x=-1..4,color=black);)

a) lim ( ) ... 2− = → f x x b) lim ( ) ... 2+ = → f x x c) lim ( ) ..., 2 = → f x x pois: ) ( lim ... ) ( lim 2 2 f x x f x x_→ − _→ +

• Gráfico II (Maple: plot(3-x,x=-2..4,color=black);)

a) lim ( ) ... 1− = → f x x b) lim ( ) ... 1+ = → f x x c) lim ( ) ..., 1 = → f x x pois: ) ( lim ... ) ( lim 1 1 f x x f x x_→− _→+

• Gráfico III (Maple: f:=x->piecewise(x>1,6,x<=1,x+3);

plot(f(x),x=-4..4 color=black);) a) lim ( ) ... 1− = → f x x b) lim ( ) ... 1+ = → f x x c) lim ( ) ..., 1 = → f x x pois: ) ( lim ... ) ( lim 1 1 f x x f x x_→− _→+

Conclusão: O limite de f(x), quando x tende a p, existe e é único se os limites laterais existem e são ...

RESPOSTAS, DICAS E SUGESTÕES

1) > plot(x/abs(x),x=-2..2,color=blue);

Resposta: Não existe o limite pedido, ou seja, não existe lim ( )

0 f x x→ . 2) > plot((2*x+1)*(x-2)/(x-2),x=-2..6,color=blue); Resposta: lim ( ) 5 2 = → f x x . 3) > f:=x->piecewise(x<1,4-x^2,x=1,2,x>1,2+x^2); := f x → piecewise(x < 1 − ,4 x2,_{x = 1 2 <} , ,_{1 x +} ,_{2 x}2) > f(x);       − 4 x2 _{x < 1} 2 x = 1 + 2 x2 _{1 x <} > plot(f(x),x=-2..2,color=blue);

• LIMITE DE UMA FUNÇÃO

A ideia precisa do limite foi formalizada pelo matemático francês Cauchy (1789-1857). • NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE

Dizemos que a função f(x) têm por limite o número L quando x tende para o número p, e escrevemos: L ) x ( f lim p x→ =

Nota: Os valores de x podem se aproximar do valor de p pela direita ou pela esquerda, estudaremos estes casos precisamente em limites laterais.

Exemplos:

1) Seja a função f(x) = 2x+1, calcule, utilizando a ideia intuitiva de limite, lim(2x 1)

2

x→ + .

Solução:

Queremos determinar o valor da função "f(x)" quando o valor de "x" se aproxima de 2, seja pela direita(valores superiores a 2) ou pela esquerda (valores inferiores a 2)

Esquerda Direita x 2x+1 x 2x+1 1 2.1+1 = 3 3 2.3+1 = 7 1,5 2.1,5+1 = 4 2,5 2.2,5+1 = 6 1,7 2.1,7+1 = 4,4 2,1 2.2,1+1 = 5,2 1,8 2.1,8+1 = 4,6 2,01 2.2,01+1 = 5,02 1,9 2.1,9+1 = 4,8 2,001 2.2,001+1 = 5,002 1,95 2.1,95+1 = 4,9 2,0001 2.2,0001+1 = 5,0002 1,99 2.1,99+1 = 4,98 2,00001 2.2,00001+1 = 5,00002 ... ... ... ... ↓ ↓ ↓ ↓ 2 5 2 5 - 3 -2 - 1 0 1 2 3 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 e ixo d a s a b scissa s, X e ix o d a s o rd e n a d a s , Y Y = 2 X + 1

Assim, substituindo estes valores no gráfico observamos que quando x se aproxima de 2 a função f(x) se aproxima de 5.

Como o Domínio de f(x) = 2x+1 é todos os Reais temos lim(2 1) 2 2 1 5

2 + = ⋅ + = → x x 2) lim(x2 4) 1 x→ − =1

3) lim(x 2) 2 2 4 2 x ) 2 x )( 2 x ( lim 2 x 4 x lim 2 x 2 x 2 2 x − = + = + = + − = − − → → → , poisD(f) =ℜ−{2} 4) 4 1 4 3 2 4 3 x 4 lim ) 3 x )( 2 x ( ) 2 x ( 4 lim 6 x 5 x 8 x 4 lim 2 x 2 x 2 2 x _{− −} = ₋ = ₋ = ₋ =− − = + − − → → → , poisD(f)=ℜ−{2,3} 5) lim( x 3) 9 3 3 3 6 ) 9 x ( ) 3 x )( 9 x ( lim ) 3 x )( 3 x ( ) 3 x )( 9 x ( lim 3 x 9 x lim 9 x 9 x 9 x 9 x ₋ = + = + = + = + − = + − + − = − − → → → → 6) 6 1 6 2 3 6 2 6 lim ) 3 ( ) 2 ( ) 3 ( 6 lim ) 3 ( ) 2 ( 18 6 lim 3 3 3 − ⋅ − = − = − = = − ⋅ = − ⋅ − − → → → x x x x x x x x x x 7) 5 3 10 6 5 5 6 5 6 lim ) 5 ( ) 5 ( ) 5 ( 6 lim 25 30 6 lim 5 5 2 5 − ⋅ + = + = + = = − ⋅ = − − → → → x x x x x x x x x

8) Utilizando a ideia intuitiva de limite, calcule lim(x 1)

1 x→ + Solução: Esquerda Direita x x+1 x x+1 2 1+2 = 3 0,5 1+0,5 = 1,5 1,5 1+1,5 = 2,5 0,9 1+0,9 = 1,9 1,1 1+1,1 = 2,1 0,99 1+0,99 = 1,99 1,01 1+1,01 = 2,01 0,999 1+0,999 = 1,999 1,001 1+1,001 = 2,001 0,9999 1+0,9999 = 1,9999 ... ... ... ... ↓ ↓ ↓ ↓ 1 2 1 2 0 1 2 3 4 e ix o d a s o rd e n a d a s , Y Y = X + 1

PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LIMITES

A seguir introduziremos propriedades que podem ser usadas para achar muitos limites sem utilizar a pesquisa do número δ que aparece na definição de limite.

• (P0) Se limf(x) L₁

a

x→ = e limx→a f(x)=L2, então L =1 L2. (Teorema da Unicidade do limite)

• (P1) Sejam a e c números reais quaisquer, então c c

a

x→ =

lim isto é o limite de uma constante é a

própria constante.

• (P2) Se a, b, m são números reais, então: mx b ma b

a x→ ( + )= + lim Exemplo: lim (3 5) 3.4 5 7 4 x→ x− = − = • (P3) Se lim ( ) e lim ( ) , x→a f x =L x→ag x =M então: a) lim[ ( ) ( )] x→a f x +g x =L+M b) lim[ ( ) ( )] x→a f x ⋅g x =L⋅M c) desdequeM 0 M L = ) ( ) ( lim → g x ≠ x f a x

d) lim

[

( )

]

(p/ inteiro positivo n)

→ = ∀

n n a

x f x L

e) lim ( ) ,desde queL 0 p/ n par

→ = >

n n

a

x f x L

f) lim ln

[

( )

]

ln. ,desde queL 0

x→a f x = L >

g) lim cos

[

f(x)

]

cos( )

x→a = L h) lim sen

[ ]

f(x) ( ) x→a =sen L i) lim ( ) L x f a x→ e =e

Exemplo: Determine o seguinte limite:

= + − → ( 3 1) lim 2 2

x x x lim lim3 lim1 2 3.2 1 1

2 2 2 2 2 2 3 − = + − ⇒ + − ⇒ → → → P x x x P x x

Vemos neste exemplo que o valor de lim ( ) ( )

x→a f x = f a

Teorema I: Se f é uma função polinomial, então: lim ( ) ( ) x→a f x = f a . Exemplos: 1) Calcule lim( 2 5 1) 2 x→ x − x+ 2 5 2 1 5 2_{− ⋅ + =−} = 2) Calcule    ≤ → x ,sex>2 2 x se 3x, sendo ) ( lim ₂ 2 x f x . Solução: Se 2 lim ( ) 3 2 6 2 x = ⋅ = ⇒ < − → f x

x . Por outro lado, x>2 lim ( ) 22 4

2

x + = =

⇒

→ f x . Portanto,

não existe o limite.

Além deste, temos ainda outros teoremas que nos fornecem resultados úteis para o cálculo de limites.

Teorema II: Se f é uma função racional, e a pertence ao domínio, então:

) ( ) ( limq x q a a x→ = Exemplos: 1) Calcule 7 6 1 2 5 lim 2 3 − + − → x x x x Solução: 11 7 3 11 40 7 3 6 1 3 2 3 5 7 6 1 2 5 lim 2 2 3 ⋅ − = = + ⋅ − ⋅ = − + − → x x x x 2) Calcular 3 2 5 limx→ 3x −4x+9 Solução: 4 64 9 + 20 -75 = 9 4 3 lim 9 4 3 lim ₃ 2 3 3 5 3 2 5 x→ x − x+ = x→ x − x+ = = Em resumo:

• Sejam f e g funções tais que: ₂

p x 1 p x f(x) L e limf(x) L lim = = → → então:

1) lim[f(x) g(x)] L₁ L₂ limf(x) limg(x)

p x p

x p

x→ + = + = → + → , ou seja, o limite da soma é igual a soma dos

limites. 2) limk f(x) k. L₁ k lim f(x) p x p x→ ⋅ = ⋅ = ⋅ →

7) lim f(x) L n limf(x) ,desdequeL₁ 0(nocasoemquen épar) p x n 1 n p x→ = = → > 8) = ∀ ∈ℜ → , k limk k p

x , ou seja, o limite de uma constante é a própria constante.

9) limx p p x→ = 10) limg(x) p x L 1 ) x ( g p x p x 2 limf(x) L ) x ( f lim →     = = → →

• Selimf (x) L ,limf (x) L ,...,limf_n(x) L_n

p x 2 2 p x 1 1 p x→ = → = → = , então 11) _{1 2 n 1 2 n} p x [f (x) f (x) ... f (x)] L L ... L lim + + + = + + + → 12) _{1 2 n 1 2 n} p x [f (x).f (x)...f (x)] L .L ...L lim = → , n∈N,n≥2 Exemplos: 1) lim(4x3 8) ... 24 2 x→ − = = 2) lim(ax bx c) ... ap bp c, ( a,b,c ) 2 2 p x→ + + = = + + ∀ ∈ℜ 3) 2 3 ... 1 x 1 x x lim 3 2 1 x + = = + + → 4) 5 4 x 3 1 x 2 3 ... 2 x x 2 x lim _       = =         + + + → LIMITES INDETERMINADOS

Em alguns casos não é possível calcular o valor do limite por simples substituição. Ao adotar tal procedimento nos deparamos com resultados do tipo

0 0 ou . ∞ ∞ Exemplo:

1) Calcular o limite abaixo:

4 2 lim 2 ₂ 2 − − − → x x x x Solução: Seja f(x) = x2 - x – 2 e g(x) = x2 - 4. Então: f(2) = 22- 2 - 2 = 0 e g(2) = 22 - 4 = 0 Assim, ao substituirmos direto teríamos uma indeterminação do tipo

0 0

, logo tal procedimento não pode ser utilizado.

No caso de indeterminações do tipo

0 0

ou

∞ ∞

há vários métodos que podem ser aplicados de acordo com as funções envolvidas. Futuramente, utilizando-se de derivadas apresentaremos um método prático para resolver tais casos, método este conhecido como regra de L’Hospital.

LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS – A variável tende para um valor finito 1) lim(x3 x2 5x 1) 1 x→ + + + = 2) lim(x3 2x2 4x 3) 1 x→− − − + = 3) lim (4x3 2x2 2x 1) 2 x→− − − − = 4) 5 x 4 x 5 x lim ₂ 2 3 x − − + → = 5) 2 x 10 x 7 x lim 2 2 x − + − → = 6) 3 x 3 x 2 x lim 2 3 x + − + − → = 7) x x x 2 x 5 x x 3 lim 4 3₂ 2 0 x − + − + → = 8) 1 x 2 x 3 x 4 x lim ₅ 3 1 x − + + − → = 9) 6 x 36 x lim 2 6 x − − → = 10) 2 x 3 x 1 x lim ₂ 2 1 x + + − − → = 11) 2 x 32 x lim 5 2 x + + − → = 12) 27 x 54 x 36 x 10 x 27 x 18 x 8 x lim _{4 3 2} 2 3 4 3 x − + − + − + − → = 13) 4 x 2 2 x lim 2 x ₋ − → = 14) 2 x 4 x lim 4 x ₋ − → = 15) x 4 2 x lim 0 x→ _{− −} = 16) x 2 2 x lim 0 x→ _{− −} = 17) 1 x x 3 2 lim 1 x − + − → = 18) 1 1 x x lim 0 x→ _{+ −} = 19) 2 x 3 x 2 1 lim 4 x ₋ − + → = 20) 1 1 x 5 x 3 2 2 x 3 x 2 lim 2 2 2 x _{− − −} − + − → = Respostas: 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 8 4 _{- 5 - 6 2} 5 -3 -4 -2 3 1 − 12 -2 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

LIMITES NO INFINITO

1. Introdução:

Consideremos a função f definida por

x x

f( =) 1 e analisemos, mediante uma tabela, o seu comportamento quando os valores de x crescem ilimitadamente através de valores positivos.

x 4 1 3 1 2 1 1 2 3 4 10 100 1.000 10.000 100.000 ) (x f 4 3 2 1 2 1 3 1 4 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001

Pela tabela constatamos que quando x cresce ilimitadamente através de valores positivos, os valores da função se aproximam cada vez mais de 0 (zero). Simbolicamente, representamos tal fato por: lim ( )=0

+∞

→ f x

x , que se lê: “limite de f de x , quando x tende a mais infinito, é

igual a zero”.

Observação: Quando uma variável independente x está crescendo ilimitadamente através de valores positivos, escrevemos: “x→+∞_{”. Devemos enfatizar que ∞}+ não é um número real. O símbolo ∞+ indica, portanto, o comportamento da variável independente x .

Consideremos agora, para a mesma função, uma tabela onde os valores da variável x decrescem ilimitadamente através de valores negativos.

x -4 1 -3 1 -2 1 -1 -2 -3 -4 -10 -100 -1.000 -10.000 -100.000 ) (x f -4 -3 -2 -1 -2 1 -3 1 -4 1 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 -0,00001

Observando a tabela anterior verificamos que à medida em que os valores de x decrescem ilimitadamente através de valores negativos, os valores da função se aproximam cada vez mais de 0 (zero). Usando o simbolismo “x→−∞” para indicar os valores de x que estão decrescendo ilimitadamente, representamos simbolicamente o fato acima por um

0 ) ( lim = −∞ → f x

x , que se lê: “limite de f de x , quando x tende a menos infinito, é igual a zero.

Pelo gráfico da função

x x

f( =) 1 cujo esboço é indicado pela figura ao lado, notamos que quando x cresce ilimitadamente através de valores positivos (x→+∞), os valores da função f(x)

aproximam-se cada vez mais de 0 (zero). E, portanto, simbolicamente podemos escrever

0 ) ( lim = +∞ → f x x ou 0 1 lim = +∞ → _x x .

Analogamente, observando o comportamento da função através do seu gráfico (figura indicada acima), constatamos que quando x decresce ilimitadamente através de valores negativos (x→−∞), os valores da função f(x) aproximam-se cada vez mais de 0 (zero). Simbolicamente, escrevemos: lim ( )=0

−∞ → f x x ou 0 1 lim = −∞ → x x .

Exemplos:

1) Observe o gráfico da função

x x

f( )=1−1 apresentado na Figura a seguir:

Observando o gráfico e as tabelas, vemos que esta função tende para o valor 1, quando x tende para o infinito. Isto é, y→1quando x →±∞. Denotamos por lim 1 1=1

     − ±∞ → x x 2) A função 1 1 2 ) ( − + = x x x

f tende para 2 quando x→±∞ como podemos observar na Figura a seguir. Assim, podemos escrever: 2 1 1 2 lim = − + ±∞ → _x x x

2. Propriedades dos Limites no Infinito

2.1. Limite de uma função Polinomial

Consideremos a função polinomial _P(_x)₌₋4_x3₊6_x2₋7_x+13_{, podemos escrevê-la na} seguinte forma:       + − + ⋅ − = 3 _{2 3} 4 13 4 7 4 6 1 4 ) ( x x x x x P Portanto,       + − + ⋅ − = ±∞ → ±∞ → ±∞ → 2 3 3 4 13 4 7 4 6 1 lim ) 4 ( lim ) ( lim x x x x x P x x x

Ora, é claro que:

1 4 13 4 7 4 6 1 lim _{2 3}=      + − + ±∞ → x x x x Temos, então: ) 4 ( lim ) ( lim _{P x x}3 x x→±∞ = →±∞ −

Assim, temos dois casos:

−∞ = − = +∞ → +∞ → ( ) lim( 4 ) lim _{P x x}3 x x e lim→−∞ ( )= lim→−∞(−4 )=+∞ 3 x x P x x Generalizando, sendo 2 _{1 0} 2 1 1 ... ) (x a x a x a x a x a P n n n n + + + + + = −

− , podemos sempre escrever: n

n x

xlim→±∞ P(x)= lim→±∞a x

2.2. Limite de uma função racional

Dada a função racional

) ( ) ( ) ( x Q x P x

f = , onde P e Q são funções polinomiais em x com:

0 1 2 2 1 1 ... ) (x a x a x a x a x a P n n n n + + + + + = − − e 1 0 2 2 1 1 ... ) (x b x b x b x bx b Q m m m m + + + + + = − −

Sendo a_n ≠0 e b_m ≠0. Tem-se então que:

m n x m n m m n n x m m x n n x x x x x b x a x b x a x b x a x Q x P x Q x P x f − ±∞ → ±∞ → ±∞ → ±∞ → ±∞ → ±∞ → ±∞ → ±∞

→ = = = lim = lim = ⋅lim

lim ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim ) ( lim

Dependendo do valor de n e m , três casos podem ser considerados: 1o_{) > ⇒ =±∞} ±∞ → ( ) lim f x m n x 2o) < ⇒ lim ( )=0 ±∞ → f x m n x 3o) m n x b a x f m n= ⇒ = ±∞ → ( ) lim

Exemplos: 1) = = ⋅ =+∞ + − + − + +∞ → +∞ → +∞ → x x x x x x x x x x x 9 lim 10 9 10 lim 4 10 9 115 8 10 lim ₂ 3 2 2 3 2) lim15 15 lim 1 15 0 0 2 101 2 119 6 8 15 lim ₄ 3 2 4 2 3 = ⋅ − = ⋅ − = − = + − + − − + − −∞ → −∞ → −∞ → x x x x x x x x x x x x 3) 5 7 1 lim 5 7 5 7 lim 5 8 14 5 2 11 8 7 lim ₃3 2₂ = ₃3 = ⋅ = + − + − + − ±∞ → ±∞ → ±∞ → x x x _x x x x x x x x 4) Calcule 1 lim 2 ₋ +∞ → _x x x Solução:

Para calcularmos este limite, escrevemos _{x = x}2 _{(x>0, pois x→+∞) e então dividimos o}

numerador e o denominador, sob o sinal do radical, por _x2.

1 1 1 1 lim 1 lim 1 lim 1 lim 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = − = − = − = − →+∞ →+∞ →+∞ +∞ → x x x x x x x x x x x x x x 5) Calcule x x x xlim→+∞ +3 +4− 2

Solução: Multiplicando, numerador e denominador, por x2+3x+4+x_{, temos:}

(

)

(

) (

₍

)

₎

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x _{+ + +} + = + + + − + + = + + + + + + ⋅ − + + = − + + +∞ → +∞ → +∞ → +∞ → _{3 4} 4 3 lim 4 3 4 3 lim 4 3 4 3 4 3 lim 4 3 lim 2 2 2 2 2 2 2 2

Procedendo de modo análogo ao exemplo anterior, vem:

(

)

2 3 1 1 3 1 4 3 1 4 3 lim 4 3 4 3 lim 4 3 lim 2 2 2 2 2 2 ₌ + = + + + + = + + + + = − + + +∞ → +∞ → +∞ → x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS

1) Calcule o limite das funções seguintes, quando x→+∞ e quando x→−∞. a) _f(_x)₌3_x4₋8_x3_+x2 ₋6 _{Resposta: ∞+ e ∞+} b) _f(_x)₌4_x3₋2_x2₊7_x−5 _{Resposta: ∞+ e -∞} c) _f(_x)₌₋5_x3₊8_x2 ₋7_x+29 _{Resposta: -∞ e ∞+} d) _f(_x)₌₋14_x7 ₊8_x5₋10_x3₊10 _{Resposta: -∞ e ∞+} e) _f(_x)₌₋4_x6 ₊2_x4 ₊9_x2₋5 _{Resposta: -∞ e -∞} f) _{f(x)=1+3x−8x}2 _−7x3_+14x4 _{Resposta: ∞+ e ∞+} g) _f(_x)₌(3₋8_x+4_x3)₋(5_x2 ₊3_x−1) _{Resposta: ∞+ e -∞} h) _f(_x)_=x8_+x7 _−x6_+x5 ₊9 _{Resposta: ∞+ e ∞+} 2) Calcule os limites indicados:

a) 4 3 3 lim ₂ 2 − − + +∞ → x x x x Resposta: 1/3 b) 3 5 2 3 lim ₂ + − −∞ → x x x Resposta: 0 c) 6 2 3 lim ₂ + − +∞ → _x x x Resposta: 0 d) x x x + + +∞ → 2 3 4 lim Resposta: 2 e) x x xlim→+∞ +1− 2 _{Resposta: 0} f) x x x x→+∞ + − 2 lim Resposta: 1 g) x x 1 lim +∞ → Resposta: 0 h) x x 1 2 lim + +∞ → Resposta: 2 i) lim ₊ 2₊4 +∞ → x x x Resposta: ∞+ j) x xlim→−∞e Resposta: 0 k) 2 2 1 lim       + +∞ → x x Resposta: 1 l) 3 1 1 lim       − +∞ → x x Resposta: 1 m) _       + − −∞ → x x e 1 3 lim Resposta: 4 n) limln

(

2 ₊1

)

+∞ → x x Resposta: ∞+ o) limln

(

2 ₋1

)

−∞ → x x Resposta: ∞+ p) lim ₋ 2 ₋1 +∞ → x x x Resposta: 0

LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS – A variável tende para um valor infinito 1) lim(5x3 3x2 2x 1) x→+∞ − − − Resposta: ∞+ 2) lim(2x5 x4 2x2 1) x→−∞ − + − Resposta: − ∞ 3) lim( 3x4 2x2 1) x→−∞ − + − Resposta: − ∞ 4) lim(3x4 5x2 8) x→+∞ + + Resposta: ∞+ 5) lim( 5x3 3x 2) x→−∞ − + − Resposta: ∞+ 6) lim( x2 3x 2) x→+∞ − + − Resposta:− ∞ 7) 3 x x 1 x x 3 x 2 lim ₂ 2 3 x + − − + − +∞ → Resposta: ∞+ 8) 1 x 1 x 2 lim ₂ 2 x ₋ + −∞ → Resposta: 2 9) 3 x x 3 lim ₂ x→−∞ − Resposta: 0 10) 3 x x 5 x 9 1 x 2 x 5 x 3 lim _{3 2} 2 3 x − + − + + − −∞ → Resposta: 1/3 11) 7 x 8 x 4 8 x 5 x 2 lim ₅ 2 3 x − + − + −∞ → Resposta: 0 12) 7 x 1 x 2 x 5 lim 2 3 x + + − −∞ → Resposta: ∞+ 13) _{3 3} 2 x (x 1) x 1 x x lim − + + + −∞ → Resposta:1/3 14) ) 1 x 4 )( 1 x 3 ( x 2 ) 2 x 3 ( lim 3 x + − + −∞ → Resposta: 9/8 15) 1 x 1 x x lim 2 x + + + +∞ → Resposta: 1 16) 1 x 1 x x lim 2 x ₊ + + −∞ → Resposta:-1 17) 1 x 5 x 3 x 2 lim 4 2 x ₊ − − +∞ → Resposta: 2 18) 1 x 5 x 3 x 2 lim 4 2 x ₊ − − −∞ → Resposta: 2

LIMITES LATERAIS

Vimos que para determinar o limite de uma função quando x tende para a, devemos verificar o comportamento da função para valores de x muito próximos de a, maiores ou menores que a.

O valor do qual f se aproxima quando o valor de x se aproxima de a por valores menores do que a é denominado limite à esquerda de f. Analogamente, o valor do qual f se aproxima quando x tende para

a através de valores maiores que a é o limite à direita de f. Estes limites, são chamados limites laterais.

• Limite à esquerda: lim ( )

x_→a− f x , teremos x < a logo x = a – h, onde h > 0 é muito pequeno.

• Limite à direita: lim f(x)

a x → +

, teremos x > a logo x = a + h, onde h > 0 é muito pequeno.

Quando temos o gráfico de uma função ou temos esta função definida por várias sentenças fica simples calcular os limites laterais.

Exemplos:

1) Seja a função definida pelo gráfico da Figura a seguir, calcule:

) ( lim ) ) ( lim ) 1 1 f x b f x a x x_→+ _→− Solução:

Observando o gráfico, podemos concluir que: lim ( ) 5 lim ( ) 3

1 1

_x→+ f x = e _x→− f x =

Logo não existe o limite desta função quando x tende a 1.

2) Seja a função:      > = < + = 2 x para , x -9 2 x para , 2 2 x para , 1 ) ( 2 2 x x f Calcule: ) ( lim (c) ) ( lim ) ( ) ( lim ) ( 2 2 2 x f x f b x f a x x x → → → − + Solução: • Quando _→ + 2

x significa x > 2 logo _f(x)=9−x2 _{assim lim9-x}2 _9-22 ₅

2+ = =

→ x

• Quando x→2− significa x < 2 logo f(x)= x2 +1 assim lim x2 1 22 1 5

2

_x→ + + = + =

Como os limites laterais são iguais, concluímos que lim ( ) 5.

2 =

→ f x

Quando a função não está definida por várias sentenças, ou não temos o gráfico da função, teremos que usar um artifício que chamaremos de incremento (h) para encontrar os limites laterais.

Isto é: Simplificando: Para calcular os limites laterais, basta fazer uma substituição:

• Quando lim f(x) a x_→ + fazemos x = a + h • Quando lim f(x) a x_→ − fazemos x = a – h

Onde h é positivo e muito pequeno.

3) Calcule por mudança de variáveis os limites laterais à esquerda e à direita respectivamente, das funções abaixo, nos pontos indicados:

1 2 1 ) 2 ) 1 1 2 ) 2 2 − = + − = = = = + = x em x x y c x em x y b x em x y a

LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS

1) Usando as propriedades e os teoremas sobre limites, calcule os limites abaixo:

(

)

(

)

15 lim d) 7 8 16 3 6 4 lim ) 4 3 lim b) 7 2 3 lim ) 2 x 3 2 2 2 x 3 2 2 1 _→ → → − → − + + − − + + − x x x x c x x x x a x x 3 2 2 3 4 3 2 1 4 2 2 1 3 5 2 lim h) ) 5 6 ( ) 3 5 4 ( lim g) 9 2 1 6 lim f) 2 7 6 3 5 2 lim ) 2 1 − − + + − + − − − − − + → − → → → x x x t t t s s x x x x e x t s x     − ≥ + + + − → → 3 x se x + 4 -3 < x se 9 sendo f(x) lim j) 2 3 4 3 lim ) 2 3 x 3 2 2 x x x i x    _≤ → _{4-2x se x>2} 2 x se x = f(x) sendo ), ( lim ) 3 2 f x k x

2) Calcule os seguintes limites:

(

)

(

)

3 8 7 0 2 lim ) 2 lim ) 4 5 lim ) 3 2 lim ) x d x c x b x a x x x x → → → → + − − 2x -5 lim b) 2 3x lim ) + a

5) Considerando as funções definidas nos item a, b e c, encontre os limites abaixo, se existirem: ()lim ( ) ( )lim ( ) ( )lim ( )

1 1 1 f x ii f x iii f x i x x x→− →+ →    > ≤ − =    < − ≥ − = 1 x se x -3 1 x se 1 3 ) ( ) 1 x se 1 x 1 x se 4 ) ( )f x ₂ x b f x x a      > = < − = 1 x se 2 -x 1 x se 2 1 x se ) ( ) 2 x x f c

6) Para a função representada graficamente na Figura a seguir, determine, se existir, cada item abaixo. Caso não exista, justifique.

f(3) e) f(x) d) f(x) c) f(x) b) f(x)

)

_lim

_lim

_lim

_lim

3 3 3 0 _{→ →} - _→ → _x + _{x x} x a

7) Para a função representada graficamente na Figura a seguir, determine, se existir, cada item abaixo. Caso não exista, justifique.

f(x) h) f(x) g) f)f(-2) f(3) e) f(x) d) f(x) c) f(x) b) f(x)

)

_lim

_lim

_lim

_lim

_lim

_lim

2 2 1 3 3 3- _→ + _{→ → →−} - _→− + → x x x x x x a

8) Para a função representada graficamente na Figura a seguir, determine, se existir, cada item abaixo. Caso não exista, justifique.

) ( lim j) f(-3) i) h)f(1) f(2) g) ) ( lim f) ) ( lim e) ) ( lim d) ) ( lim ) ) ( lim b) ) ( lim ) 1 2 2 2 3 3 3 x f x f x f x f x f c x f x f a x x x x x x x → → → → − → − → − → − + − +

9) Para a função representada graficamente na Figura a seguir, determine, se existir, cada item abaixo. Caso não exista, justifique.

) ( lim j) f(-5) i) h)f(0) g)f(4) ) ( lim f) ) ( lim e) ) ( lim d) ) ( lim c) ) ( lim b) ) ( lim ) 5 4 4 4 0 0 0 x f x f x f x f x f x f x f a x x x x x x x − → → → → → → → − + − +

10)Para a função representada graficamente na Figura a seguir, determine, se existir, cada item abaixo. Caso não exista, justifique.

) ( lim j) f(6) i) h)f(0) f(-9) g) ) ( lim f) ) ( lim e) ) ( lim d) ) ( lim c) ) ( lim b) ) ( lim ) 3 4 4 4 9 9 9 x f x f x f x f x f x f x f a x x x x x x x → − → − → − → − → − → − → − + − +

11) Calcule os seguintes limites laterais:

9 lim ) f 36 6 lim ) e 4 2 lim ) 4 lim ) c 2 lim ) b 4 2 lim ) 2 3 2 6 2 2 4 2 2 2 − − + − + − − − + + + + − + − → → → → → → x x x x x x d x x x x x x a x x x x x x

12) Calcule o lim f(x)sendo:   ≠ − − = ₂ se x 2 4 ) ( 2 x x x f

RESPOSTAS: 1) a)-13 b) 5

(

2 −4

)

c) –1 d) 15 e) 0 f) –23 g) –64 h) 3 4 5 − i) 6 j) 1 k ) não existe 2) a) 1 b) −4 c)3 d)2 3) a) 17/2 b) 1/64 c) 1 d)3 4) )lim ( ) 2; lim ( ) 2 logo lim ( ) 2

1 1 1 = → = → = →− f x + f x f x a x x x

5) )lim ( ) 0; lim ( ) 3 logo nãoexiste lim ( )

1 1 1 f x f x f x a x x x→− = →+ = →

)lim ( ) 2; lim ( ) 2 logolim ( ) 2

1 1 1 = → = → = →− f x + f x f x b x x x

)lim ( ) 1; lim ( ) 1 logo lim ( ) 1

1 1 1 =− → =− → =− →− f x + f x f x c x x x 6) a) 3 b) 2 c) 4 d) não existe e) 3 7) a) 2 b) -2 c) não existe d) 3 e) 1 f) -3 g) -1 g) -1 8) a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) 2

f) não existe g) 1 h) 1 i) não existe j) -1

9) a) + ∞ b) - ∞ c) não existe d) - ∞ e) - ∞ f) não existe g) não existe h) não existe i) não existe j) não existe 10) a) + ∞ b) - ∞ c) não existe d) - ∞ e) - ∞

f) não existe g) não existe h) 1,5 i) 0 j) não existe 11) a)−∞ b)∞ c)-∞ d)∞ e)∞ f)∞

12) lim ( ) 4

2 =

→ f x

REVISÃO DE LIMITES LATERAIS

Em Símbolos: Limite pela direita: limf(x)

p

x_→ + e Limite pela esquerda _xlim_→p−f(x)

Exemplo 1: Seja    > < = 1 x se 2x 1 x se x ) x ( f 2 limf(x) e limf(x) 1 x 1 x_→+ = _→− = 1 1 x lim 2 2.1 2x lim 2 2 1 x 1 x_→+ = = _→− = = - 5 0 5 - 5 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5

Definição: Dizemos que existe o limite de uma função quando os limites laterais forem iguais, isto é: ) x ( f lim ) x ( f lim p x p x_→ + = _→ − Exemplo 2 Seja    < > =    < > = = 0 x se 1 -0 x se 1 x x 0 x se x -0 x se x x x x ) x ( f ) x ( f lim f(x) lim pois limite, existe não 1 1 lim 1 1 lim 0 x 0 x 0 x 0 x_→ + = _→ −− =− ∴ _→ + ≠ _→ − Exemplo 3 Seja 1 x 1 ) x ( f − = , calcule 1 x 1 lim 1 x→ − a) 1 x 1 lim 1 x_→+ − b) 1 x 1 lim 1 x_→− −

LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS – LIMITES LATERAIS 1) lim x2 3x 4 3.2 7 2 x_→ − + = + = 2) lim x2 3x 4 3.2 7 2 x_→ + + = + = 3) 2 x x 3 lim 2 x_→ − − 4) 2 x x 3 lim 2 x_→ + − 5) x 1 0 xlim_→ −2 6) x 1 0 xlim_→ +2 7) x 1 0 x 2 1 4 lim + − → 8) x 1 0 x 2 1 4 lim + + → 9) x 1 1 1 xlim5 − →− 10) x 1 1 1 xlim5 − →+ 11) lim 3x 6 2 x_→ − − 12) lim 3x 6 2 x_→ + −

Determine, caso exista. 13)      < − = > = → 4 x se 2 10 4 x se 2 4 x se 10 -3x f(x) sendo ) ( lim 4 x x f x 14)     < ≥ = → 3 x se 2 3 x se 1 -4x f(x) sendo ) ( lim 3 -x 1 3 f x x 15)      ≥ < ≤ < = → 2 x se x -5 2 x 1 se 3 -2x 1 x se 5 -x f(x) sendo ) ( lim 2 2 2 f x x

16)Determine o valor de a para que exista 2 x se 3 2 x se 2 2 5 3 f(x) sendo ) ( lim 2 2 2 _     ≥ − − < − − − = → x ax x x x x f x Respostas 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 7 7 -∞ +∞ 0 +∞ 4 0 0 +∞ 11 12 13 14 15 16

FUNÇÕES CONTÍNUAS OU CONTINUIDADE DE FUNÇÕES

(Texto adaptado de: Devanil Antonio Francisco & Elaine Cristina Ferruzzi)

1. Introdução:

Sejam f e g funções de gráficos:

Observe que f e g se comportam de maneira diferente no ponto p. Enquanto a função g apresenta um salto a outra não.

Ao calcular o limite da função f, observamos que o valor deste limite, quando x tende para p é igual ao valor da função quando x é igual a p, isto é:

) ( ) ( lim f x f p p x→ =

Por exemplo, se _f(_x)_{= x}2 ₋4 _{e p = 2, temos que:}

) ( ) 2 ( 0 4 2 ) 4 ( lim ) ( lim 2 2 2 x f f p x f x p x→ = → − = − = = =

As funções que se comportam desta forma em um ponto qualquer de seu domínio são ditas contínuas nesse ponto.

2. Definição:

Dizemos que uma função f é contínua em um ponto p se forem verificados as três condições abaixo: (i)∃ f( p)

(ii) lim f(x),istoé: lim f(x) lim f(x)

p x p x p x_{→ →} + = _→ − ∃ (iii)lim ( )=f(p) →p f x x

Observação: quando pelo menos uma das três condições não for verificada dizemos que f é descontínua em x = p.