Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática. Geodésicas e o Teorema de Hopf-Rinow

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Universidade Federal de Minas Gerais

Instituto de Ciˆencias Exatas

Departamento de Matem´

atica

Geod´esicas e o Teorema de Hopf-Rinow

Carlos Eduardo Ladeira Vidigal

dut@ufmg.br

Orientador: Alberto Berly Sarmiento Vera

Belo Horizonte, Junho de 2006

(2)

Agradecimentos

Agrade¸co

a Deus e aos meus pais, pois sem eles n˜ao estaria aqui.

ao meu irm˜ao, pelo apoio incondicional.

`

a todos os colegas que participaram da minha vida acadˆemica, em espe-cial: Audrey, Cristiano, Elaine, Fernando e ´Erika.

`

a ´Erika, exemplo de mulher e amiga, por ter me ensinado muito mais que matem´atica.

ao Prof. Alberto Berly Sarmiento Vera pela eficaz transmissão de con-hecimento, pela preocupa¸cão e aten¸cão. Não poderia esperar orientador melhor.

(3)

Sum´

ario

Introdu¸c˜ao ii

1 Preliminares 1

1.1 Curvas e Superf´ıcies . . . 1

1.1.1 Primeira Forma Fundamental . . . 4

1.1.2 Propriedades Intr´ınsecas . . . 5

1.2 Teoremas de EDO . . . 6

2 Geodésicas e a Aplica¸cão exponencial 8 2.1 Campos Paralelos e Geodésicas . . . 8

2.1.1 Derivada Covariante . . . 8

2.1.2 Geod´esicas . . . 10

2.2 Aplica¸c˜ao Exponencial e Vizinhan¸cas Convexas . . . 12

2.3 Vizinhan¸cas totalmente normal . . . 16

2.3.1 Vizinhan¸cas Convexas . . . 19

2.4 Geod´esicas e Maple . . . 21

3 O Teorema de Hopf-Rinow 25

(4)

Introdu¸

c˜

ao

A Geometria diferencial é um resultado natural do cálculo infinitesimal. De fato, a diferencia¸cão é o mesmo que a constru¸cão de retas tangentes a uma curva e a integra¸cão é o estudo de áreas e volumes. Já nos trabalhos de Newton, Lieb-nitz e dos irmãos Bernoulli, o cálculo foi uma ferramenta efetiva no tratamento de problemas geométricos e f´ısicos. As primeiras contribui¸cões nas teorias de superf´ıcie foram feitas por Euler e Monge. Este escreveu o primeiro livro es-pecificamente de geometria diferencial: Application de l’analyse à la géométrie Na geometria euclidiana, os axiomas caracterizam os objetos fundamentais: pontos e linhas. Então o que seria a no¸cão de linha na geometria diferencial? Sabemos que uma linha reta no plano nos dá a menor distância entre dois pontos. Mas, n˜_{ao basta tomarmos uma curva α sobre uma superf´ıcie S em R}3

ligando dois pontos para que esta seja a menor distância entre esses dois pontos. Veremos que as curvas que atendem a esse requisito são as geodésicas.

O objetivo principal desse trabalho é demonstrar o teorema de Hopf-Rinow. Para isso vamos devemos mostrar e compreender todos os pré-requisitos necessários para a sua demonstra¸cão, entre eles a derivada covariante, as geodésicas e aplica¸cão exponencial. Através do teorema de Hopf-Rinow é poss´ıvel concluir que a hipótese de completude em uma superf´ıcie é essencial para podermos garantir que dados quaisquer dois pontos nesta superf´ıcie existe uma geodésica minimizante que os une. O nosso teorema principal leva o nome do matemático alemão Heinz Hopf (1894 - 1971) e seu aluno Willi Rinow.

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Cap´ıtulo 1

Preliminares

1.1 Curvas e Superf´ıcies

Defini¸c˜ao 1.1. Uma curva ´e uma fun¸c˜_{ao vetorial α : I → R}3, de um intervalo I = (a, b) da reta real R em R3.

Dizemos que uma curva α = (x(t), y(t), z(t)) é diferenciável se as fun¸cões reais x(t) , y(t) e z(t) são diferenciáveis. Neste caso, a derivada da curva é α0_{(t) = (x}0_{(t), y}0_{(t), z}0_(t))

Além disso, dizemos que uma curva parametrizada α : [a, b] → S ligando α(a) a α(b) é diferenciável por partes se existe uma parti¸cão finita de [a, b] por pontos a = t0 < t1 < ... < tk < tk+1 = b tal que α é diferenciável em

[ti, ti + 1], i = 0...k.

Se α : I → R3 _´_{e uma curva diferenci´}_{avel parametrizada ent˜}_{ao para cada}

t ∈ I tal que α0(t) 6= 0, há uma reta bem definida contendo o ponto α(t) na dire¸cão do vetor α0(t) chamada reta tangente à curva no ponto α(t).

Defini¸c˜ao 1.2. Uma curva diferenci´_{avel parametrizada α : I → R}n _´_{e chamada}

regular se α0(t) 6= 0 para todo t ∈ I. Isto ´e, possui reta tangente em todos seus pontos.

Defini¸cão 1.3 (Comprimento de arco). O comprimento de arco de uma curva parametrizada regular α : I → Rn a partir de um ponto t0∈ I até t ∈ I é

s(t) = Z t

t0

|α0_(t)|dt

onde |α0(t)| =p(x0_(t))2_{+ (y}0_(t))2_{+ (z}0_(t))2_´_{e o comprimento do vetor α}0_{(t) em}

R3.

Se a curva é diferenciável por partes, temos então:

l(α) =X Z ti+1

ti

|α0_(t)|dt

Isso nos motiva a dar uma nova defini¸c˜ao.

Defini¸c˜ao 1.4 (Curva p.p.c.a.). Dizemos que uma curva est´a parametrizada pelo comprimento de arco (p.p.c.a) se para todo par de pontos {t0, t1} ∈ I, com

t0< t1 tem-se que

Rt1

t0 |α

0_{(t)|dt = t} 1− t0.

(6)

1.1 Curvas e Superf´ıcies

Vejamos agora uma maneira de verificar se uma curva est´a parametrizada pelo comprimento de arco:

Teorema 1.1. Uma curva regular α : I → Rn _est´_{a parametrizada pelo}

compri-mento de arco se, e somente se, |α0(t)| = 1 para todo t ∈ I. Demonstra¸c˜ao.

( ⇐= ) Dados t0, t1∈ I de modo que que t0< t1podemos calcular

Z t1 t0 |α0(t)|dt = Z t1 t0 dt = t1− t0

Logo, pela defini¸c˜ao 1.4, α ´e p.p.c.a.

( =⇒ ) Seja t0tal que t > t0

Z t

t0

|α0(t)|dt = t − t0

Derivando ambos os lados da igualdade ds(t)

dt = |α

0_{(t)|dt = 1}

O próximo teorema nos garante que sempre podemos encontrar uma para-metriza¸cão pelo comprimento de arco para qualquer parametriza¸cão da curva dada, não importando o método de encontrar essa parametriza¸cão, o que se torna útil em muitos casos.

Teorema 1.2. Seja α : I → Rn _{uma curva parametrizada regular. Ent˜}_ao

sempre existe mudan¸ca de parˆametro γ : J → I(t = γ(s)) tal que β = α ◦ γ ´e uma curva parametrizada pelo comprimento de arco.

Demonstra¸c˜ao. Dado t0∈ I podemos calcular o comprimento de arco l

s(t) = Z t

t0

|α0_(t)|dt

Como s ´e estritamente crescente, possui inversa.

Seja t = γ(s) a inversa e seja β(s) = (α ◦ γ)(s). Vamos mostrar que β ´e p.p.c.a. Para isto basta calcular:

β0(s) =dα(t) dt · dγ(s) ds |β0(s)| = |dα(t) dt | · | 1 ds dt | |β0(s)| = |α0(t)| · | 1 α0_(t)| = 1, ∀s.

(7)

Defini¸c˜ao 1.5. Uma superf´ıe regular ´_{e um subconjunto S ⊂ R}3 _{tal que para}

cada p ∈ S, existe uma vizinhan¸_{ca aberta V de p em R}3 _{e uma aplica¸}_c˜_{ao ϕ :}

U → V ∩ S definida em um aberto U de R2

sobre V ∩ S ⊂ R3 _{que satisfaz}

1. ϕ ´e diferenci´avel.

Isto é, se escrevemos ϕ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ U , as fun¸cões x(u, v), y(u, v), z(u, v) têm derivadas parciais cont´ınuas de todas as ordens em U.

2. ϕ ´e injetiva, ou seja, se q16= q2 ent˜ao ϕ(q1) 6= ϕ(q2)

3. Para todo q ∈ U,n∂ϕ_∂u,∂ϕ_∂vo são linearmente independentes, isto é, as derivadas parciais ∂ϕ_∂u(q) e ∂ϕ_∂v(q) são tais que o produto vetorial

∂ϕ ∂u(q) ×

∂ϕ ∂v(q) 6= 0

´

E comum utilizarmos a seguinte nota¸c˜ao ∂ϕ

∂u(q) = ϕu(q), ∂ϕ

∂v(q) = ϕv(q).

Dada α : (−ε, ε) → S uma curva diferenciável, com α(0) = p, então α0(0) é um vetor tangente a S no ponto p. O conjunto de todos os vetores tangentes a S no ponto p é chamado de espa¸co tangente e denotamos por TpS. Dessa

maneira, dada ϕ : U ⊂ R2→ R3_{uma parametriza¸}_c˜_{ao de uma superf´ıcie regular}

S com ϕ(q) = p, a derivada Dϕ(q) : R2 → R3 ´e uma transforma¸c˜ao linear

injetiva. Então Dϕq(R2) é um subespa¸co vetorial de dimensão 2 que coincide

com TpS, ou seja, Dϕq(R2) = TpS.

Figura 1.1:

Como ϕu(q) e ϕv(q) s˜ao linearmente independentes, ϕu(q) × ϕv(q) 6= 0 e ´e

ortogonal ao TpS em p, representamos por N (u, v) o vetor normal unit´ario de

(8)

N : S −→ R3 N (u, v) = φu(q) × φv(q)

|φu(q) × φv(q)|

Portanto, a equa¸cão do plano tangente a S passando pelo ponto p é é dada por

((x, y, z) − φ(u0, v0)) · N (u0, v0) = 0

1.1.1 Primeira Forma Fundamental

Seja ϕ : U ⊂ R2_{→ R}3 _{uma parametriza¸}_c˜_{ao de S e sejam q ∈ U e p = φ(q).}

Defini¸c˜ao 1.6 (Primeira Forma Fundamental). Chamamos de 1a. forma fundamental de S em p a fun¸c˜ao Ip: TpS → R definida por Ip(w) =< w, w >

, ∀w ∈ TpS. Isto ´e, restringimos o produto escalar de R3 ao espa¸co tangente

TpS.

Como dϕq : TqU → TpS ´e um isomorfismo, existe um ´unico vetor a =

(a1(q), a2(q)) ∈ TqU tal que dϕq(a) = w = a1(q)ϕu(q) + a2(q)ϕv(q).

Consequentemente,

Ip(w) = Ip(dϕq(a)) = Ip(ϕu(q)a1(q) + ϕv(q)a2(q))

=< ϕ_u(q)a₁(q) + ϕ_v(q)a₂(q), ϕ_u(q)a₁(q) + ϕ_v(q)a₂(q) >

=< ϕu(q), ϕu(q) > (a1(q)) 2

+2 < ϕu(q), ϕv(q) > a1(q)a2(q)+ < ϕv(q), ϕv(q) > (a2(q)) 2

Podemos assim, definir as seguintes fun¸c˜oes: E, F, G : U → R E(q) =< ϕu(q), ϕu(q) >

F (q) =< ϕu(q), ϕv(q) >

G(q) =< ϕv(q), ϕv(q) >

(1.1)

E,F e G s˜ao chamados de coeficientes da 1a_{. forma fundamental.}

Logo, podemos escrever

Ip(w) =< w, w >= E(q)(a1(q)) 2

+2F (q)a₁(q)a₂(q) + G(q)(a₂(q))2 (1.2) Dessa forma, dada uma curva regular α(t) = (u0(t), v0(t)) sobre uma su-perf´ıcie regular S podemos calcular o comprimento de arco dessa curva sobre S usando a primeira forma fundamental:

s(t) = Z t t0 |α0(t)|dt = Z t t0 q Ip(α0(t))dt

Substituindo, temos que

s(t) = Z t

t0

p

(9)

Notemos que a 1a _{forma fundamental tamb´}_{em pode ser escrita da seguinte}

maneira: (u0, v0). E F F G . u0 v0 onde E F F G

´e chamada matriz da primeira forma fundamental. Notemos que o determinante desta matriz ´e positivo: EG − F2_{> 0.}

1.1.2 Propriedades Intr´ınsecas

Defini¸cão 1.7. Uma fun¸cão φ : S → S∗ é uma isometria, se os coeficientes da 1a. forma fundamental em todo ponto p ∈ S coincidem com os respectivos coeficientes em φ(p) = p∗∈ S∗_.

J´a mostramos que podemos calcular os comprimentos de curvas usando a 1a_{. forma fundamental, assim podemos dizer que uma isometria preserva}

com-primentos. Ali´as, as propriedades das superf´ıcies que dependem apenas da 1a_.

forma fundamental são preservadas por isometria. Dizemos então que uma pro-priedade de uma superf´ıcie S é intr´ınseca se esta for preservada para toda superf´ıcie isométrica a S.

Temos que se ϕ : U → S é uma parametriza¸cão local de S então em cada ponto fica definido uma base {ϕu, ϕv, N }. Então as derivadas parciais ϕuv, ϕuu,

etc.,são combina¸cões lineares de elementos desta base, ou seja, ϕuu = Γ111ϕu+ Γ211ϕv+ L1N, ϕuv = Γ112ϕu+ Γ212ϕv+ L2N, ϕvu = Γ121ϕu+ Γ221ϕv+ M2N, ϕvv = Γ122ϕu+ Γ212ϕv+ L3N, Nu = r11ϕu+ r12ϕv, Nv = r12ϕu+ r22ϕv. (1.3) As fun¸cões Γk

ij: U → R s˜ao chamadas de s´ımbolos de Christoffel de S na

parametriza¸c˜ao ϕ.

Notemos que sendo |N | = 1 temos que Nu⊥ N e Nv ⊥ N . Assim, Nu e Nv

n˜ao possuem componentes normal.

Proposi¸c˜ao 1.1. Os s´ımbolos de Christoffel dependem apenas da 1a. forma fundamental.

Demonstra¸c˜ao. Derivando E,F e G, com respeito aos parˆametros u e v, tem-se:

1 2Eu=< ϕuu, ϕu> 1 2Ev=< ϕuv, ϕu> Fu=< ϕuu, ϕv> + < ϕu, ϕuv> Fv=< ϕuv, ϕv> + < ϕu, ϕvv> 1 2Gu=< ϕuv, ϕv > 1 2Gv=< ϕvv, ϕv>

Substituindo os s´ımbolos de Christoffel na primeira igualdade temos: 1

2Eu=< ϕuu, ϕu>=< Γ

1

11ϕu+ Γ211ϕv+ L1N, ϕu>=

Γ1₁1 < ϕu, ϕu> +Γ121 < ϕv, ϕu> +L1< N, ϕu>

(10)

1.2 Teoremas de EDO 1 2Eu= Γ 1 11E + Γ 2 11F

De modo semelhante calculamos e obtemos os seguintes sistemas: Γ1 11E + Γ211F = 12Eu Γ1 11F + Γ211G = Fu−1₂Ev Γ1 12E + Γ212F = 1 2Ev Γ1 12F + Γ212G = 1 2Gu Γ1 22E + Γ222F = Fv−1₂Gu Γ1 22F + Γ222G = 1 2Gv

Estas igualdades podem ser expressas em matrizes, respectivamente, da seguinte forma: E F F G Γ1 11 Γ2 11 = 1 2Eu Fu−1₂Ev , E F F G Γ1 12 Γ2 12 = 1 2Ev 1 2Gu , E F F G Γ1 22 Γ2 22 = Fv−1₂Gu 1 2Gv .

Como EG − F2_{> 0, podemos calcular os valores das fun¸}_c˜_{oes Γ}k

ij pela regra de Cramer:      Γ111= GEu− 2F Fu+ F Ev 2(EG − F2₎ Γ2 11= 2EFu− EEv+ F Eu 2(EG − F2₎      Γ1 12= GEv− F Gu 2(EG − F2₎ Γ2 12= EGu− F Ev 2(EG − F2₎      Γ1 22= 2GFv− GGu+ F Gv 2(EG − F2₎ Γ222= EGv− 2F Fv+ F Gu 2(EG − F2₎

Fica mostrado ent˜ao que os s´ımbolos de Christoffel se expressam apenas em termos dos coeficientes da 1a_{. forma fundamental e de suas derivadas, o que}

mostra tamb´em que s˜ao invariantes por isometria.

1.2 Teoremas de EDO

Seja f : A → R2_{um campo de vetores cont´ınuo que a cada (x, y) ∈ A associa}

um vetor f (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)). A equa¸c˜ao diferencial associada ao campo ´

(11)

1.2 Teoremas de EDO ˙ x = P (x, y) ˙ y = Q(x, y) (1.4) Uma solu¸cão de ( 1.3 ) é uma curva diferenciável ϕ(t) = (x(t), y(t)) tal que

˙

x = P (x(t), y(t)) ˙

y = Q(x(t), y(t))

Logo, ˙ϕ(t) = f (ϕ(t)) onde ˙ϕ(t) é o vetor tangente à curva ϕ no ponto t. Esta igualdade acima diz que o vetor tangente à curva é exatamente o vetor dado pelo campo de vetores.

De modo geral para um campo de vetores cont´ınuo F : A → Rn definido no aberto A ⊂ Rn (F (x) = (F1(x), F2(x), ..., Fn(x)); x = (x1, x2, ..., xn) ∈ A),

associamos a equa¸c˜ao diferencial

˙x = F (x)

que corresponde a n-equa¸c˜oes (i = 1, 2, ..., n) da forma

˙

xi= Fi(x1, x2, ..., xn)

Uma solu¸cão desta equa¸cão diferencial com condi¸cão inicial p0 ∈ A é uma

curva diferenci´avel ϕ(−ε, ε) → A com ϕ(0) = p0 e ˙ϕ = F (ϕ(t)), ∀t ∈ (−ε, ε).

O seguinte teorema é um caso particular do Teorema de Picard, que nos garante a existência de solu¸cões de uma equa¸cão diferencial ordinária com condi¸cão inicial. A prova deste teorema pode ser encontrada em [1].

Teorema 1.3 (Teorema de existência e unicidade das solu¸cões de uma equa¸cão diferencial ordin´_{aria). Seja F : U → R}n _{um campo de vetores definido sobre o}

aberto U ⊂ Rn _{de classe C}1_{. Para todo x}

0= (x01, x02, ..., x0n) ∈ U existe ε > 0 e

curva diferenciável ϕ : (−ε, ε) → U com ϕ(0) = x0 que é a solu¸cão da equa¸cão

diferencial ordin´aria

˙x = F (x).

Além disso, se ϕ e ψ são duas solu¸cões que coincidem num ponto, digamos ϕ(t0) = ψ(t0), então elas são iguais para todo t no dom´ınio comum.

Suponhamos que para todo x ∈ U a solu¸cão da equa¸cão diferencial ordinária ˙x = F (x), ϕ : (−ε, ε) → U está definida no intervalo (−ε, ε). Então fica bem definida a fun¸cão

γ : (−ε, ε) × U → U (t, x) → Φ(t, x) = ϕx(t)

O seguinte teorema, cuja demonstra¸c˜ao tamb´em pode ser encontrada em [1], ´

e um caso particular do teorema de dependência cont´ınua e diferenciável das solu¸cões de uma E.D.O. com rela¸cão às condi¸cões iniciais e parâmetro.

Teorema 1.4. Seja F nas condi¸c˜oes acima.

1. Se F é uma fun¸cão cont´ınua, então γ também é cont´ınua; 2. se F é uma fun¸cão de classe C1_{, ent˜}_{ao γ ´}_{e de classe C}1_.

(12)

Cap´ıtulo 2

Geod´

esicas e a Aplica¸

c˜

ao

exponencial

As geodésicas sobre superf´ıcies são curvas que merecem destaque por sua propriedade de minimizar distâncias sobre as superf´ıcies. São análogas às retas no plano Euclideano. Já sobre uma esfera os c´ırculos máximos são as geodésicas. O menor caminho entre dois pontos A e B é dado pela menor parte do c´ırculo máximo que passa por A e B. A existência e unicidade das geodésicas seguem do teorema de Picard para as solu¸cões de equa¸cões diferenciais ordinárias. Para definirmos geodésicas, temos que entender primeiro a no¸cão de derivada covari-ante. Iremos ainda introduzir alguns sistemas de coordenadas especiais tendo em vista suas aplica¸cões geométricas e para isso vamos descrever a aplica¸cão exponencial.

2.1 Campos Paralelos e Geod´

esicas

2.1.1 Derivada Covariante

Seja U ⊂ S um conjunto aberto sobre a superf´ıcie regular S. Um campo de vetores tangentes a S definido sobre U ´e uma aplica¸c˜_{ao w : U → R}3 _{tal que}

para todo ponto p ∈ U tˆem-se que o vetor w(p) ∈ TpS.

Se X : V ⊂ R2 → U é uma parametriza¸cão de S então w se escreve como w = a(u, v)Xu+ b(u, v)Xv, onde as fun¸cões a e b são chamadas de coordenadas

do campo na base {Xu, Xv}. Dizemos que w ´e um campo diferenci´avel (o mesmo

Cr, r ≥ 1) se as coordenadas a e b s˜ao diferenci´aveis (respectivamente, de classe Cr_{). Um exemplo de um campo de vetores (diferenci´}_{avel) ao longo de α ´}_{e dado}

pelo campo α0(t) de vetores tangentes de α.

A derivada covariante é o análogo para superf´ıcies da deriva¸cão usual de vetores no plano. Consideremos uma curva α e seja w(t), t ∈ (−ε, ε) a restri¸cão do campo de vetores w à curva α. A derivada usual w0(t) não necessariamente ´

e um vetor tangente à superf´ıcie. Então, como {Xu, Xv, N } é uma base de R3,

podemos escrever de modo ´unico

(13)

2.1 Campos Paralelos e Geod´esicas

Assim, (w0_(t))

tg ∈ TpS ´e chamado de derivada covariante de w em t, mais

exatamente temos a seguinte defini¸c˜ao

Figura 2.1:

Defini¸c˜_{ao 2.1. Seja w : U → R}3 um campo diferenci´avel de vetores definido sobre o conjunto aberto U ⊂ S e p ∈ U . Seja η ∈ TpS. Considere uma curva

parametrizada α : (−, ) → U com α(0) = p e α0_{(0) = η. Denotamos por w(t),}

t ∈ (−, ) a restri¸cão do campo de vetores w à curva α. A proje¸cão de dw

dt(0) sobre o plano TpS é chamado a derivada covariante em p do campo de vetores w em rela¸cão ao vetor η. Esta derivada covariante é denotada por Dw

dt (0) ou (Dηw)(p) Nesta situa¸c˜ao temos que

dw dt(0) =

Dw

dt (0) + αNp

A defini¸cão anterior faz uso do vetor normal de S e de uma curva particular α, cujo vetor tangente em p é η. Poder´ıamos pensar então que a derivada covariantes depende dessa curva. Vejamos uma proposi¸cão que mostra que ela só depende do vetor η.

Proposi¸c˜ao 2.1. A derivada covariante n˜ao depende da escolha da curva α de S

Demonstra¸cão. Vamos obter uma expressão para a curva α em termos da para-metriza¸cão x(u, v) de S em p.

Seja x(u(t), v(t)) = α(t) a express˜ao da curva α e seja

w(t) = a(u(t), v(t))xu+ b(u(t), v(t))xv = a(t)xu+ b(t)xx,

a expressão de w(t) na parametriza¸cão x(u(t), v(t)). Derivando w em rela¸cão a t, temos

dw

dt = a(xuuu

0_{+ x}

(14)

Como Dw/dt ´e a componente de dw/dt no plano tangente, utilizando os s´ımbolos de Christoffel e desprezando a componente normal, obtemos:

Dw dt = (a 0_{+ Γ}1 11au0+ Γ112av0+ Γ121 bu0+ Γ122bv0)xu+ (b0+ Γ2 11au0+ Γ212av0+ Γ122 bu0+ Γ222bv0)xv. (2.1)

A expressão acima mostra que Dw/dt depende apenas do vetor (u0, v0) = η e não da curva α e, além disso, a é dada através dos s´ımbolos de Christoffel, isto é, através da primeira forma fundamental, que não depende da escolha de α, apenas da superf´ıcie S.

Exemplo 2.1. Se a superf´ıcie S é um plano, podemos encontrar uma para-metriza¸cão tal que E = G = 1 e F = 0. Substituindo nas equa¸cões que nos fornecem os s´ımbolos de Christoffel, obtemos todos os Γk_ij nulos. Assim a equa¸cão 2.1 nos fornecerá a derivada usual de vetores no plano.

A derivada covariante ´e, portanto, uma generaliza¸c˜ao para superf´ıcies da derivada usual de vetores no plano.

Defini¸c˜ao 2.2. Um campo de vetores w ao longo de uma curva parametrizada α : I → S ´e chamado campo paralelo se Dw_dt = 0 para todo t ∈ I.

Tomando como exemplo o caso particular do plano, temos que o campo paralelo ao longo de uma curva parametrizada é o campo constante ao longo da curva, ou seja, o comprimento do vetor e o ângulo que ele faz com uma dire¸cão são constantes.

Proposi¸cão 2.2. Sejam v e w campos de vetores paralelos ao longo de uma curva α : I → S. Então < v(t), w(t) > é constante.

Demonstra¸cão. Como o campo w é paralelo ao longo de α temos que dw/dt é normal ao plano tangente à superf´ıcie em α(t), ou seja,

< v(t), w0(t) >= 0, t ∈ I

Por outro lado, v0(t) tamb´em ´e normal ao plano tangente em α(t). Assim, < v(t), w(t) >0=< v(t), w0(t) > + < v0(t), w(t) >= 0;

o que implica que < v(t), w(t) > ´e constante.

Em particular, temos que o ângulo entre v(t) e w(t) é constante. Segue ainda que |w(t)| e |v(t)| também são constantes.

2.1.2 Geod´

esicas

Defini¸cão 2.3. Uma curva parametrizada, não constante, γ : I → S é chamada geodésica em t ∈ I se o seu campo de vetores tangentes γ0(t) é paralelo ao longo de γ em t, ou seja,

Dγ0(t) dt = 0.

(15)

Seja X(u, v) uma parametriza¸cão de S em uma vizinhan¸ca V e seja γ : I → V uma curva parametrizada com γ(t) = X(u(t), v(t)), ∀t ∈ I. Então o campo de vetores tangentes à curva γ0(t) é da forma

γ0(t) = w = u0(t)Xu+ v0(t)Xv.

Se γ é geodésica então Dγ_dt0(t) = 0. Logo, da equa¸cão 2.1 temos u00+ Γ1

11(u0)2+ 2Γ112(u0v0) + Γ122(v0)2= 0

v00+ Γ2

11(u0)2+ 2Γ212(u0v0) + Γ222(v0)2= 0

(2.2)

que é chamada de equa¸cão diferencial da geodésica.

O seguinte teorema é uma conseqüência direta do teorema de existência e unicidade das solu¸cões das EDO’s (1.3).

Teorema 2.1. Seja S uma superf´ıcie. Dado p ∈ S e η0 ∈ TpS com kη0k 6= 0

então existe γ : (−ε, ε) → S única geodésica satisfazendo γ(0) = p e γ0(0) = η0.

Demonstra¸cão. Seja X(u, v) uma parametriza¸cão de S em uma vizinhan¸ca V com p ∈ V . Neste sistema de coordenadas, procurar a geodésica γ com as condi¸cões iniciais p e η0 é equivalente a resolver a equa¸cão 2.2 com condi¸cões

iniciais X(u(0), v(0)) = p e u0(0)Xu+ v0(0)Xv= η0.

Introduzimos a mudan¸ca de vari´aveis x = du_dt e y = dv_dt Desse modo, temos que x0= u00e y0= v00. Logo,

x0= −Γ111(u0)2− 2Γ121 (u0v0) − Γ122(v0)2

y0 = −Γ211(u0)2− 2Γ122 (u0v0) − Γ222(v0)2

(2.3)

E pelo teorema (1.3) de existência e unicidade das solu¸cões de EDO’s fica provado que existe uma única geodésica γ que satisfaz as condi¸cões iniciais.

Observa¸cão 2.1. O parâmetro da geodésica é proporcional ao comprimento de arco.

Uma conseqüência importante do fato de que as geodésicas são caracteri-zadas pelo sistema anterior é a seguinte:

Corol´ario 2.1. Dado um ponto p ∈ S e um vetor w ∈ TpS, w 6= 0, existe um

ε > 0 e uma ´unica geod´esica parametrizada γ : (−ε, ε) → S tal que γ(0) = p, γ0(0) = w.

(16)

2.2 Aplica¸c˜ao Exponencial e Vizinhan¸cas Convexas

2.2 Aplica¸

c˜

ao Exponencial e Vizinhan¸

cas

Con-vexas

A partir de então, para indicar a dependência de uma geodésica em rela¸cão ao vetor v, convém denotá-la por γ(t, v) = γ

Lema 2.1. Se a geodésica γ(t, v) é definida para t ∈ (−ε, ε), então a geodésica γ(t, λv), λ ∈ R, λ > 0, é definida para t ∈ (−ε/λ, ε/λ) e γ(t, λv) = γ(λt, v). Demonstra¸cão. Chamemos de α : (−ε/λ, ε/λ) → S a curva parametrizada definida por α(t) = γ(at, P, v) com α(0) = γ(0, P, v) = P . Temos então α0(t) = a.γ0(at, P, V ) e ainda α0(0) = a.γ0(0, P, v) = a.v Logo,

D(α0) dt = D dt(a.γ 0_{(at, P, v)) = a.}D dt(γ 0_{(at, P, v))}

Fazendo at = s temos que Dγ0 dt (s, P, v) = Dγ0 ds . ds dt = Dγ0 ds .a

Substituindo esse resultado na primeira express˜ao, ficamos com a.D

dt(γ

0_{(at, P, v)) = a}2_.D

ds(γ

0_{(s, P, v)) ≡ 0}

Portanto, α é geodésica com condi¸cões iniciais α(0) = P e α0(0) = av. Por unicidade,

γ(at, P, v) ≡ α(t) = γ(t, P, av).

Se v ∈ TpS, v 6= 0, ´e tal que γ(|v|, v/|v|) = γ(1, v) est´a definido, usamos a

seguinte nota¸c˜ao expp(v) = γ(1, v) e expp(0) = p.

Geometricamente, a constru¸cão corresponde a percorrer, se poss´ıvel, um comprimento igual |v| ao longo da geodésica passando por p na dire¸cão de v e, assim, obtendo o ponto denotado por expp(v).

Proposi¸cão 2.3. Dado p ∈ S existe um ε > 0 tal que a aplica¸cão expp é

definida e diferenci´avel no interior de um disco de raio ε de TpS, com centro

na origem.

Demonstra¸c˜ao. Pelo Lema 2.1, para cada dire¸c˜ao de TpS podemos tomar v

suficientemente pequeno de modo que o intervalo da defini¸c˜ao de γ(t, v) contenha 1. Dessa maneira, γ(1, v) = expp(v) est´a definida.

Seja B[0, 1] = {v ∈ TpS; |v| ≤ 1}. Como B[0, 1] ´e compacto, ent˜ao existe

V1∪ V2∪ . . . ∪ Vk⊃ B[0, 1]. Tome ε tal que 0 < ε = min{ε1, ε2, . . . , εk}. Assim,

para todo v ∈ B[0, 1], está definida a geodésica γ(t, p, v), −ε < t < ε. Fixamos então r, 0 < r < ε. Tomando v ∈ B[0, 1] temos:

γ(t, p, v) = γ(t, p,1 r(rv)) = γ( 1 rt, p, (rv)) com rv ∈ B[0, r]. Como −ε < t < ε, logo −ε_r < t r < ε r.

Fazendo_rt = s, obtemos que γ(s, p, w) est´a definida para todo w ∈ B[0, w].Portanto, definimos

expp: B[0, r] → S

v → γ(1, p, v)

ou seja, expp(v) = γ(1, p, v) est´a definida.

Mais ainda, expp(v) = γ(1, p, v) = γ(

|v|

|v|, p, v) = γ(|v|, p, v |v|) A diferenciabilidade de expp segue do fato de que γ ´e diferenci´avel.

(17)

Figura 2.3:

Um fato importante que segue dessa proposi¸c˜ao ´e: Teorema 2.2. Dado p ∈ S, existe r > 0 tal que

expp: B(0, r) ⊂ TpS → S

´

e um difeomorfismo de B(0, r) sobre um aberto U ⊂ S com p ∈ U .

Demonstra¸c˜ao. Primeiramente vamos mostrar que expp : B(0ε) → S ´e

difer-enciável. Mas γ(t, p, v) é uma solu¸cão de uma equa¸cão diferencial ordinária. Do teorema de dependência diferenciável das solu¸cões com rela¸cão aos parâmetros, temos que γ varia diferenciavelmente (com a mesma classe) que a equa¸cão orig-inal, o que prova nossa afirma¸cão.

Agora, basta mostra que exp0_p(0) = D expp(0) = I (aplica¸c˜ao identidade).

Seja D expp(v) |v=0 a derivada direcional da fun¸c˜ao expp no ponto v = 0 na

dire¸c˜ao w ∈ B(0, ε). De fato, temos, d dt(expp(tw)) |t=0= d dt(γ(1, p, tw)) |t=0= d dt(γ(t, p, w)) |t=0= γ 0_{(t, p, w) |} t=0= w

Por outro lado, temos D exp0

p(0).w =

d

dt(expp(tw)) |t=0= w, ∀w o que implica que D exp

0

p(0) =I.

Defini¸c˜ao 2.4. Chamamos V ⊂ S uma vizinhan¸ca normal de p ∈ S se V ´e a imagem V = expp(U ) de uma vizinhan¸ca U da origem no TpS restrita a qual

expp ´e um difeomorfismo.

Um sistema de coordenadas retangulares no plano tangente TpS, p ∈ S

pode ser obtido atrav´es da escolha neste plano de dois vetores ortogonais e1 e

e2. Observe que como expp : U → V ⊂ S ´e um difeomorfismo, ela satisfaz

as condi¸cões para uma parametriza¸cão em p. Isto é, se que q ∈ V , então q = expp(w), para algum w = ue1+ ve2∈ U . Chamamos (u, v) de coordenadas

de q.

Nas mesmas condi¸cões, podemos escolher um sistema de coordenadas polares (ρ, θ), onde ρ é o raio polar e θ, 0 < θ < 2π, o ângulo polar cujo pólo é a origem do TpS. Devemos notar que as coordenadas polares no plano não são

definidas na semi-reta fechada r que corresponde a θ = 0. Fazendo expp(r) = R

(18)

(ρ, θ), parametrizando os pontos de V − R s˜ao chamadas coordenadas polares geod´esicas

Denotamos por c´ırculos geod´esicos de V as imagens por expp : U → V de

c´ırculos em U centrados na origem, que em V − R são as curvas ρ = const.. E as imagens por expp de retas passando pela origem serão chamadas geodésicas

radias, que em V − R s˜ao as curvas θ = const..

Lema 2.2. Seja um ponto p ∈ S. Seja v ∈ B(0, r) ⊂ TpS e w ∈ Tv(TpS) = TpS.

Ent˜ao

< (expp(v))0.v, (expp(v))0.w >=< v, w >p.

Em outras palavras, expp(v) ´e uma transforma¸c˜ao linear ortogonal.

Demonstra¸c˜ao. Seja {v, v⊥} uma base para o TpS. Ent˜ao podemos escrever

w = w1.v + w2.v⊥= wT + wN.

Logo, (expp(v))0.w = (expp(v))0.wT + (expp(v))0.wN Portanto,

< (expp(v))0.v, (expp(v))0.w >=

< (expp(v))0.v, (expp(v))0.wT > + < (expp(v))0.v, (expp(v))0.wN >

Basta provarmos que

1. < (expp(v))0.v, (expp(v))0.wT >=< v, wT > e

2. < (expp(v))0.v, (expp(v))0.wN >=< v, wN >

pois, sendo v´alido, teremos < (expp(v))0.v, (expp(v))0.w >=< v, wT > + <

v, wN _{>=< v, w >}

Para provar (1) fa¸camos wT _{= λv. Logo,}

< (expp(v))0.v, (expp(v))0.wT >=< (expp(v))0.v, (expp(v))0.λv >=

λ < (expp(v))0.v, (expp(v))0.v >= λ||(expp(v))0.v||2=

λ(||d dt(γ(1, p, tv))|| |t=1) 2_{= λ||}d dt(γ(1, p, tv)) |t=1|| 2₌ λ||v||2= λ < v, v >= < v, λv >=< v, wT >

O item (2) se reduz ao fato de que v e wN _s˜_{ao ortogonais por constru¸}_c˜_{ao, e}

assim,

< (expp(v))0.v, (expp(v))0.wN >= 0 =< v, wN >

Se α : [a, b] → S é uma curva diferenciável (por partes), dizemos que α é minimizante (entre α(a) e α(b)) se o comprimento de α é o menor poss´ıvel entre todos os comprimentos das curvas diferenciáveis (por partes) que ligam α(a) e α(b).Em particular, as geodésicas tem algumas propriedades minimizantes. Uma propriedade fundamental de uma geodésica é o fato de que, localmente, ela minimiza o comprimento de arco. Mais precisamente, temos

Proposi¸cão 2.4. Seja p um ponto em uma superf´ıcie S. Então existe uma vizinhan¸ca W ⊂ S de p tal que se γ : I → W é uma geodésica parametrizada com γ(0) = p, γ(t1) = q, t1 ∈ I, e seja α : [0, t1] → S uma curva qualquer

parametrizada regular ligando p a q, temos lγ ≤ lα

(19)

onde (l)α denota o comprimento da curva α. Al´em disso, se (l)γ = (l)α, ent˜ao

o tra¸co de γ coincide com o tra¸co de α entre p e q.

Demonstra¸cão. Seja V uma vizinhan¸ca normal de p, e seja ¯W a região fechada limitada por um c´ırculo geodésico de raio r contido em V . Sejam (ρ, θ) coorde-nadas polares geodésicas em ¯W − L centradas em p.

Primeiramente vamos analisar o caso em que α([0, t1]) ⊂ ¯W . Seja ent˜ao

o < β0 < β1 < t1. Como α tem comprimento finito, podemos escolher L

de modo que α([β0, β1]) interesecta L em apenas um n´umero finito de pontos,

digamos τ1 < τ2 < . . . < τk−1. Fazendo β0 = τ0 e β1 = τk,e escrevendo

α(t) = (ρ(t), θ(t)) em cada intervalo (τi, τi+1,i = 0, . . . , k − 1. Note que

p

(ρ0₎2_{+ G.(θ}0₎2_≥p (ρ0₎2

e a igualdade se ocorrer´a apenas no caso em que θ0 ≡ 0, ou seja, quando θ for constante em (τi, τi+1).

Figura 2.4:

Afirmamos que o comprimento de α entre β0 e β1 ´e maior ou igual do que

|ρ(β1) − ρ(β0)| e que a igualdade se verifica apenas no caso em que α for a

geodésica radial com uma parametriza¸cão ρ(t), com ρ0(t) > 0. Para provar esta afirma¸cão, vamos calcular o comprimento referido, que é dado por

XZ τi+1 τi p (ρ0₎2_{+ G.(θ}0₎2_{dt ≥}X Z τi+1 τi p (ρ0₎2_dt = Z τi+1 τi |(ρ0)|dt = |ρ(β1) − ρ(β0)|,

onde a integral entre τi e τi+1´e obtida tomando o limite, quando ε → 0, da

integral entre τi+ ε e τi+1− ε, ε > 0. Al´em disto, a igualdade se verifica na

desigualdade acima se, e somente se, ρ(t) > 0 e θ(t) = const. em cada intervalo τi, τi+1, ou seja, α(τi) e α(τi+1) pertencem a uma geod´esica radial, o que prova

a afirma¸c˜ao feita.

A prova da proposi¸c˜ao para o caso em que α([0, t1]) ⊂ ¯W segue da afirma¸c˜ao

(20)

2.3 Vizinhan¸cas totalmente normal

Suponha agora que α([0, t1]) n˜ao esteja inteiramente contida na regi˜ao ¯W .

Ent˜ao existe um t0∈ [0, t1] tal que t0 ´e o primeiro valor para o qual α(t0) = x

pertence à fronteira de ¯W . Seja ¯γ a geodésica radial px e seja ¯α a restri¸cão da curva α ao intervalo [0, t0]. É claro então que lα ≥ lα¯. Mas do argumento

anterior temos que lα¯ ≥ l¯γ. Ou seja, lα ≥ lα¯ ≥ lγ¯ ≥ lγ, o que conclui a

demonstra¸c˜ao.

Figura 2.5:

As proposi¸cões mostradas até agora não são válidas globalmente. Um exem-plo é se tomarmos dois pontos em uma uma esfera eles podem ser ligados por duas curvas geodésicas de comprimentos diferentes. É claro que apenas a menor satisfaz as conclusões da proposi¸cao. Isto é, não é certo que uma geodésica, se suficientemente estendida, seja o menor caminho entre seus pontos extremos. No entanto, mostraremos agora que se uma curva regular é o menor caminho entre dois pontos de uma superf´ıcie, então necessariamente esta curva é uma geodésica.

Proposi¸cão 2.5. Seja α : I → S uma curva parametrizada regular com um parâmetro proporcional ao comprimento de arco. Suponha que o comprimento de α entre dois pontos quaiquer t, τ ∈ I é menor ou igual ao comprimento de qualquer curva parametrizada ligando α(t) a α(τ ). Então α é uma geodésica. Demonstra¸cão. Seja t0∈ I um ponto arbitrário de I e W a vizinhan¸ca normal

de α(t0) dada pela proposi¸c˜ao anterior. Seja q = α(t1) ∈ W . Da desigualdade

da proposi¸cão anterior segue que α é uma geodésica em (t0, t1). Caso contrário

ter´ıamos, entre t0 e t1 um comprimento maior do que o da geod´esica radial

ligando α(t0) a α(t1), o que contradiz a hip´otese. Como α ´e regular, temos, por

continuidade, que α também é uma geodésica em t0.

2.3 Vizinhan¸

cas totalmente normal

Já vimos que as geodésicas em uma parametriza¸cão (u, v) são dadas pelo sistema

(21)

u00+ Γ111(u0)2+ 2Γ112(u0v0) + Γ122(v0)2= 0

v00_{+ Γ}2

11(u0)2+ 2Γ212(u0v0) + Γ222(v0)2= 0

onde Γk

ij s˜ao fun¸c˜oes das coordenadas locais u e v que dependem apenas

da primeira forma fundamental. Fazendo u0 = ξ e v0 = η podemos escrever o sistema acima na forma

ξ0= F1(u, v, ξ, η)

η0 = F2(u, v, ξ, η)

u0= F3(u, v, ξ, η) = ξ

v0 = F4(u, v, ξ, η) = η

(2.4)

Considerando R4= R2×R2_{, utilizaremos a nota¸}_c˜_{ao (u, v, ξ, η), em que (u, v)}

denotar´a um ponto no primeiro fator e (ξ, η) um ponto no segundo fator. O sistema anterior ´e equivalente a um campo vetorial em um conjunto aberto do R4_{. O teorema de existˆ}_{encia e unicidade das trajet´}_{orias vale nesse caso,}

mas para aplic´a-lo devemos observar que, dada uma parametriza¸c˜ao x(u, v) em p ∈ S, com vizinhan¸ca coordenada V, o conjunto de pares (q, v), q ∈ V , v ∈ TqS, pode ser identificado a um conjunto aberto V × R2 = U ⊂ R4. Para

isto, identificamos cada TqS, q ∈ V , com R2 por meio da base {xu, xv}.

Lembrando que as equa¸cões das geodésicas na parametriza¸cão x(u, v) em p ∈ S fornecem um sistema na forma acima em U ⊂ R4 _{temos que o teorema}

implica ent˜ao que dado um ponto q = (u0, v0) ∈ V e um vetor n˜ao-nulo v =

(ξ0, η0) ∈ TqS existe uma ´unica geod´esica parametrizada γ = π ◦α : (−ε, ε) → V

onde π(q, v) = q ´e a proje¸c˜_{ao V × R}2_{→ V .}

Podemos aplicar o teorema da dependência em rela¸cão às condi¸cões iniciais para o campo de vetores definido pela Eq. (2.4) para uma superf´ıcie regular S. Assim, introduzimos uma parametriza¸cão p ∈ S, com vizinhan¸ca coordenada V , e identificamos o conjunto de pares (q, v), q ∈ V, v ∈ TqS, com V × R2. Se

tomarmos como condi¸c˜ao inicial o par (p, 0),obtemos um intervalo (−ε2, ε2),

uma vizinhan¸ca V1⊂ V de p em S, uma vizinhan¸ca V2da origem em R2, e uma

aplica¸c˜ao diferenci´avel

γ : (−ε2, ε2) × V1× V2→ V

tal que se (q, v) ∈ V1× V2, com v 6= 0, a curva

t → γ(t, q, v), t ∈ (−ε2, ε2),

é a geodésica de S satisfazendo γ(0, q, v) = q e γ0(0, q, v, ) = v, e, se v = 0, esta curva se reduz ao ponto q. Aqui γ = π ◦ α, onde π(q, v) = q é a proje¸cao U = V × R2→ V e α é a aplica¸cão dada acima.

Na superf´ıcie S, o conjunto V1× V2 tem a seguinte forma

{(q, v), q ∈ V, v ∈ Vq(0) ⊂ TqS},

onde Vq(0) denota uma vizinhan¸ca da origem em TqS. Assim, restringindo

γ a (−ε2, ε2) × {p} × V2, podemos escolher {p} × V2= Bε1 ⊂ TpS.

Denotemos por Br(q) o dom´ınio limitado por um c´ırculo geod´esico (pequeno)

de raio r e centro q, e por ¯Br(q) a uni˜ao de Br(q) com a sua fronteira. Seja

(22)

conjunto ¯Vq(0) formado pela uni˜ao de Vq com seus pontos de acumula¸c˜ao, e

tome ε1= inf δ(q), q ∈ Bε(q). ´E claro que ε1> 0. Assim, o conjunto

U = {(q, v); q ∈ Bε(p), v ∈ Bε1(0) ⊂ TqS}

est´a contido em V1× V2, e obtemos

Teorema 2.3. Dados p ∈ S existem n´umeros positivos ε, ε1, ε2e uma aplica¸c˜ao

diferenci´avel

γ : (−ε2, ε2) ×U → S,

onde

U = (q, v); q ∈ Bε(p), v ∈ Bε1(0) ⊂ TqS

tal que γ(t, q, 0) = q, e para v 6= 0 a curva t → γ(t, q, v), t ∈ (−ε2, ε2) ´e a

geod´esica de S com γ(0, q, v) = q e γ0(0, v) = v

Observa¸cão 2.2. Este resultado foi usado na demonstra¸cão da proposi¸cão 2.3 usando o caso no qual p está fixo.

Temos ent˜ao a seguinte proposi¸c˜ao

Proposi¸cão 2.6. Dado p ∈ S existe uma vizinhan¸ca W de p em S e um número δ > 0 tais que para todo q ∈ W , expq é um difeomorfismos em Bδ(0) ⊂ TqS e

expq(Bδ(0)) ⊃ W ; isto ´e, W ´e uma vizinhan¸ca normal de todos os seus pontos.

Demonstra¸c˜ao. Seja V uma vizinhan¸ca coordenada de p e sejam ε, ε1, ε2 e γ :

(−ε2, ε2) ×U → V como no teorema anterior. Escolhendo ε1 < ε2, podemos

garantir que, para (q, v) ∈U, expq(v) = γ(|v|, q, v/|v|) est´a bem definida. Assim,

podemos definir uma aplica¸c˜ao diferenci´avel ϕ :U → V × V por ϕ(q, v) = (q, expq(v)).

Mostraremos primeiro que dϕ ´e n˜ao singular em (p, 0).

Para isto, investigamos como ϕ transforma as curvas emU dadas por t → (p, tw), t → (α(t), 0),

onde w ∈ TpS e α(t) ´e uma curva em S com α(0) = p. Observe que os vetores

tangentes a estas curvas em t = 0 s˜ao (0, w) e (α0(0), 0), respectivamente. Assim, dϕ(p,0)(0, w) = d dt(p, expp(tw)) |t=0= (0, w) dϕ(p,0)(α0(0), 0) = d dt(α(t), expα(t)(0)) |t=0= (α 0_{(0), α}0_(0)),

e dϕ(p,0) leva vetores linearmente independentes em vetores linearmente

in-dependentes. Logo, dϕ(p,0) ´e n˜ao singular.

Aplicando o teorema da fun¸c˜ao inversa podemos concluir a existˆencia de uma vizinhan¸ca V de (p, 0) em U tal que ϕ aplica V difeomorficamente sobre uma vizinhan¸ca de (p, p) em V × V . Sejam U ⊂ Bε(p) e δ > 0 tais que

V = (q, v) ∈ U; q ∈ U, v ∈ Bε(p) ⊂ TqS.

Finalmente, seja W ⊂ U uma vizinhan¸ca de p tal que W × W ⊂ ϕ(V). Afirmamos que δ e W assim obtidos satisfazem o enunciado do teorema. De fato,

(23)

como ϕ ´e um difeomorfismo em V, expq ´e um difeomorfismo em Bδ(0), q ∈ W .

Al´em disto, se q ∈ W , ent˜ao

ϕ({q} × Bδ(0)) ⊃ {q} × W,

e, por defini¸c˜ao de ϕ, expq(Bδ(0)) ⊃ W .

Segue ent˜ao que dados dois pontos quaisquer q1, q2, ∈ W existe uma ´unica

geod´esica γ de comprimento menor que δ ligando q1 a q2. Uma das aplica¸c˜oes

do resultado anterior ´e a seguinte proposi¸c˜ao.

Proposi¸cão 2.7. Seja α : I → S uma curva parametrizada, regular por partes tal que em cada arco regular o parâmetro é proporcional ao comprimento de arco. Suponha que o comprimento de arco entre quaisquer dois de seus pontos seja menor ou igual ao comprimento de arco de qualquer curva parametrizada regular ligando estes pontos. Então α é uma geodésica; em particular, α é regular por toda a parte.

Demonstra¸c˜ao. Seja 0 = t0≤ t1≤ ... ≤ tk ≤ tk+1= l uma parti¸c˜ao do intervalo

I = [0, l] tal que α |ti,ti+1, i = 0, ..., k, seja regular. Pela prop. 2.5, α ´e geod´esica

em ponto de (ti, ti+1). Então, basta provar que α é geodésica em ti.

Para isto, considere a vizinhan¸ca W, dada pela prop.2.6, de α(ti).Tome dois

pontos de W da seguinte maneira: q1 = α(ti− ε), q2 = α(ti+ ε), ε > 0. Seja

γ a geod´esica radial de Bδ(q1) ligando q1 a q2. Pela prop. 2.4, temos que

l(γ) ≤ l(α) entre q1 e q2. Mas pela hip´otese, o comprimento de α ´e menor ou

igual ao comprimento de arco de qualquer outra curva ligando q1 a q2. Isso

implica na igualdade l(γ) = l(α), e, pela mesma proposi¸cão 2.4, os tra¸cos de γ e α coincidem, o que mostra que α é geodésica (em particular, regular), também em ti. Logo, α é geodésica (e regular) em todo I.

Figura 2.6:

2.3.1 Vizinhan¸

cas Convexas

A proposi¸cão anterior garante que existe uma geodésica ligando dois pon-tos q1, q2 de W . Porém, não garante que a geodésica está contida em W .

(24)

Se isto ocorrer, diremos então que W é convexa. Além disso, chamaremos de (geodésica) minimizante a geodésica parametrizada ligando dois pontos quais-quer que tem o comprimento menor ou igual ao comprimento de qualquais-quer outra curva parametrizada regular (por partes) ligando estes dois pontos.

Pela prop. 2.4 temos que uma geod´esica γ ligando q1 ∈ W a q2 ∈ W ´e

minimizante se γ ⊂ W . Assim, se W é convexa, podemos dizer que quaisquer dois pontos de W podem ser ligados por uma (única) geodésica minimizante.

Em geral, uma vizinhan¸ca W não é convexa. Vamos então mostrar que sem-pre podemos escolher uma vizinhan¸ca de modo que ela seja convexa. Vejamos, antes, a seguinte proposi¸cão:

Proposi¸cão 2.8. Para cada ponto p ∈ S existe um número positivo ε com a seguinte propriedade: Se uma geodésica γ(t) é tangente a um c´ırculo geodésico (de raio r e centro em p) Sr(p), r < ε, em γ(0), então, para t 6= 0 pequeno, γ(t)

est´a fora de Br(p) (o interior da regi˜ao limitada por Sr(p)).

Demonstra¸c˜ao. Seja a vizinhan¸ca W como dada pela prop. 2.6. Para cada par (q, v), q ∈ W, v ∈ TpS, |v| = 1, considere a geod´esica γ(t, q, v) e fa¸ca, para um

par fixo (q, v)

exp−1_p γ(t, q, v) = u(t) F (t, q, v) = |u(t)|2= F (t).

Dessa maneira, F (t) ´e o quadrado da distˆancia do ponto γ(t, q, v) a p, e portanto, temos F (t, p, v) = |vt|2_.

Denotamos porU1 o conjunto

U1_{= (q, v); q ∈ W, v ∈ T}

qS, |v| = 1,

e definimos a fun¸c˜ao Q :U1→ R por Q(q, v) =∂

2_F

∂t2 |t=0.

Devemos notar que F é diferenciável e, conseqüentemente, Q é cont´ınua. Assim: ∂F ∂t = 2 < u(t), u 0_{(t) >,} ∂2F ∂t2 = 2 < u(t), u 00_{(t) > +2 < u}0_{(t), u}0_{(t) >,}

Al´em disso, em (p, v), temos

u0(t) = v, u00(t) = 0, Substituindo, temos

Q(p, v) = 2|v|2= 2 > 0, ∀v ∈ TpS, |v| = 1.

Por continuidade da fun¸c˜ao Q segue que dado δ > 0 existe uma vizinhan¸ca Bδ⊂ W de p tal que Q(q, v) para todo q ∈ Vδ, v ∈ TpS, |v| = 1.

(25)

2.4 Geod´esicas e Maple

Tome ε > 0 tal que Bε(p) ⊂ Vδ. Vamos mostrar que ε satisfaz o enunciado

da proposi¸c˜ao.

De fato, seja r < ε e seja γ(t, q, v) uma geod´esica tangente a Sr(p) em

γ(0) = q. Introduzindo coordenadas polares geod´esicas em torno de p, vˆe-se que < u(0), u0(0) >= 0. Ou seja, que ∂F_∂t(0) = 0.

Como F (0, q, v) ´e a distˆancia do ponto q ao centro r de Sr(p), obtemos

F (0, q, v) = r2. Mas ∂_∂t2F2(0) > 0, portanto q ´e ponto de m´ınimo e, conseq¨

uente-mente, F (t) > r2 para t 6= 0 pequeno. Tudo isso, implica que a geod´esica γ(t) est´a fora de Br(p).

Podemos mostrar agora a seguinte proposi¸cão sobre vizinhan¸cas convexas: Proposi¸cão 2.9 (Existência de Vizinhan¸cas Convexas). Para cada ponto p ∈ S existe um número c > 0 tal que Bc(p) é convexa, isto é, quaisquer dois pontos

de Bc(p) podem ser ligados por uma ´unica geod´esica minimizante contida em

Bc(p).

Demonstra¸c˜ao. Seja ε dado como na proposi¸c˜ao anterior. Tome δ e W como na prop. 2.6 de tal maneira que δ < ε/2. Escolha c < δ e tal que Bc(p) ⊂ W .

Devemos ent˜ao provar que Bc(p) ´e convexa.

Sejam q1, q2∈ Bc(p) e seja γ : I → S a geod´esica com comprimento menor

do que δ < ε/2 ligando q1a q2.

Como tomamos δ < ε/2, γ(I) est´a contida em Bε(p) pois o raio de Bε(p) ´e

ε > 2δ.

Para mostrar que γ(I) est´a contida em Bc(p), suponha, por absurdo, o

contrário. Dessa maneira, γ(I) não está contida em Bc(p) implica que existe

um ponto m ∈ Bε(p) onde a distância máxima r de γ(I) a p é atingida. Isto

implica, que em uma vizinhan¸ca de m, os pontos de γ(I) estar˜ao em Br(p).

Mas, pela proposi¸cão anterior, os pontos dessa vizinhan¸ca deveriam estar fora de Br(p), o que é uma contradi¸cão. Portanto, fica provado que γ(I) está contida

em Bc(p).

2.4 Geod´

esicas e Maple

Na se¸cão 2.1.2 deduzimos a equa¸cão diferencial das geodésicas e provamos que sempre sempre existe uma solu¸cão dessa equa¸cão dadas as condi¸cões inici-ais. Porém, não é raro acontecer dessas solu¸cões serem obtidas numericamente. Reproduziremos abaixo alguns procedimentos que, em conjunto, servem para plotar geodésicas sobre a superf´ıcie usando o software MAPLE. Tais procedi-mentos são uma adapta¸cão do procedimento encontrado em [2].

Primeiramente, temos um procedimento que permite calcular o produto in-terno e um procedimento para calcular os coeficientes da 1a. forma fundamental a partir de uma parametriza¸c˜ao da superf´ıcie a ser estudada.

> dp := proc(X,Y) #Produto Interno > X[1]*Y[1]+X[2]*Y[2]+X[3]*Y[3] > end:

> with(plots):

> EFG := proc(X) #C´alculo dos coeficiente da 1a _{Forma Fundamental}

(26)

2.4 Geod´esicas e Maple > Xu :=[diff(X[1],u),diff(X[2],u),diff(X[3],u)]; > Xv := [diff(X[1],v),diff(X[2],v),diff(X[3],v)]; > E := dp(Xu,Xu); > F := dp(Xu,Xv); > G := dp(Xv,Xv); > simplify([E,F,G]); > end:

Em seguida podemos escrever um procedimento que nos dê a equa¸cão difer-encial da geodésica usando os coeficientes calculados no procedimento EFG acima.

>geoeq:=proc(X) #Equa¸c~ao diferencial das geod´esicas > local M,G,E,F,D,Eu,Ev,Fu,Fv,Gu,Gv,eq1,eq2; > M:=EFG(X); > E:=M[1]; F:=M[2]; G:=M[3]; > D:=E*G-F*F; > Eu:=diff(M[1],u); Ev:=diff(M[1],v); > Fu:=diff(M[2],u); Fv:=diff(M[2],v); > Gu:=diff(M[3],u); Gv:=diff(M[3],v); > eq1:=diff(u(t),t$2)+subs({u=u(t),v=v(t)},(G*Eu-F*(2*Fu-Ev))/(2*D))*diff(u(t),t)^2 > + subs( {u=u(t),v=v(t)},(G*Ev-F*Gu)/D )*diff(u(t),t)*diff(v(t),t)

> + subs( {u=u(t),v=v(t)},(G*(2*Fv-Gu)-F*Gv)/(2*D))*diff(v(t),t)^2=0; > eq2:=diff(v(t),t$2)+ subs({u=u(t),v=v(t)},(E*(2*Fu-Ev)-F*Eu)/(2*D))*diff(u(t),t)^2 > + subs( {u=u(t),v=v(t)},(E*Gu-F*Ev)/(D))*diff(u(t),t)*diff(v(t),t) > + subs( {u=u(t),v=v(t)},(E*Gv-F*(2*Fv-Gu))/(2*D))*diff(v(t),t)^2=0; > eq1,eq2; > end:

Com isso, podemos escrever um procedimento que plote a geodésica com as equa¸cões obtidas através do procedimento anterior.

>plotgeodesic:=proc(X,ustart,uend,vstart,vend,u0,v0,Du0,Dv0,T1,T2,N,gr,theta,phi) > local sys,desys,u1,v1,listp,geo,plotX; > sys:=geoeq(X); > desys:=dsolve({sys,u(0)=u0,v(0)=v0,D(u)(0)=Du0,D(v)(0)=Dv0},{u(t),v(t)}, > type=numeric, output=listprocedure); > u1:=subs(desys,u(t)); v1:=subs(desys,v(t)); > geo:=spacecurve(subs(u=’u1’(t),v=’v1’(t),X),t=T1..T2, color=black, thickness=2,numpoints=N): > plotX:=plot3d(X,u=ustart..uend,v=vstart..vend,grid=[gr[1],gr[2]],shading=XY): > display({geo,plotX},style=wireframe,scaling=constrained,orientation=[theta,phi]); > end:

O procedimento para plotar as geod´esicas possui uma grande quantidade de entradas. Veremos ent˜ao seus significados:

X - é a parametriza¸cão para a superf´ıcie em questão

ustart,uend,vstart,vend - descrevem o intervalo para os parˆametros u e v da parametriza¸c˜ao da superf´ıcie.

u0,v0,Du0,Dv0 - s˜ao as condi¸c˜oes iniciais: o ponto p = (u0, v0) e o vetor na

(27)

T1, T2 - intervalo do parˆametro da geod´esica

N - número de pontos a serem plotados: quanto maior o número mais suave é a curva (e mais demorado será o processo de renderiza¸cão)

gr - é um vetor de duas coordenadas que permite alterar o tamanho da grade (o padrão é 25 por 25)

theta e phi - os ˆangulos sobre os quais a figura vai ser vista

Vejamos ent˜ao algumas geod´esicas de superf´ıcies plotadas com os procedi-mentos acima.

Exemplo 2.2. Geod´esicas na esfera

> geo1:= plotgeodesic(sphere,0,2*Pi,0,2*Pi,0,0,0,1,0,10,100,[20,30],30,98): > geo2:= plotgeodesic(sphere,0,2*Pi,0,2*Pi,0,0,1,0,0,10,100,[20,30],30,98): > display(geo1,geo2);

(28)

Exemplo 2.3. Geod´esica no toro

> plotgeodesic(torus,0,2*Pi,0,2*Pi,8,10,8,1,3,10,100,[20,30],45,120);

Figura 2.8: Geod´esicas no Toro

Exemplo 2.4. Geod´esicas no cilindro

> cyl1:=plotgeodesic(cyl,0,2*Pi,0,2*Pi,1,1,0,1,4,10,100,[20,30],-30,68): > cyl2:=plotgeodesic(cyl,0,2*Pi,0,2*Pi,0,0,-1,0,-5,0,100,[20,30],-30,68): > display(cyl1,cyl2,scaling=unconstrained );

> cyl3:=plotgeodesic(cyl,0,2*Pi,0,2*Pi,0,0,1,2,0,5,100,[20,30],-30,68): > display(cyl3, scaling=unconstrained);

(29)

Cap´ıtulo 3

O Teorema de Hopf-Rinow

O objetivo desse cap´ıtulo é provar o teorema de Hopf-Rinow que afirma que dados dois pontos p, q em uma superf´ıcie completa S, existe uma geodésica ligando p a q que é minimizante.

Defini¸c˜_{ao 3.1 (Conexa). Um conjunto C ⊂ R}n é dito conexo quando não é poss´ıvel escrever C = U1∪ U2 onde U1, U2 são subconjuntos abertos não vazios

de S e U1∩ U2= ∅.

Proposi¸c˜_{ao 3.1. Seja um conjunto C ⊂ R}n _{conexo e seja A ⊂ C ao mesmo}

tempo aberto e fechado em C. Ent˜ao ou A = ∅ ou A = C.

Demonstra¸cão. Suponha que A = ∅ ou A = C e escreva C = A∪(C −A). Como A é fechado em C, C −A é aberto em C. Assim, C é a união de conjuntos aberto, não-vazios e disjuntos, a saber, C e C −A. Isso contradiz a conexidade de C. Defini¸cão 3.2 (Superf´ıcie estend´ıvel). Uma superf´ıcie regular (conexa) S é dita estend´ıvel se existe uma superf´ıcie regular (conexa) ˜S tal que S ⊂ ˜S como um subconjunto próprio, isto é, S 6= ˜S. Se não existir tal superf´ıcie ˜S, então diremos que S é não-estend´ıvel.

Contudo, a classe de superf´ıcies não-estend´ıveis é muito grande de tal maneira que precisaremos de uma hipótese mais adequada para conseguirmos resultados mais interessantes. Para isso, vamos definir uma superf´ıcie completa.

Defini¸cão 3.3 (Superf´ıcie Completa). Uma superf´ıcie regular S é chamada completa quando para qualquer ponto p ∈ S, qualquer geodésica parametrizada γ : [0, ε) → S de S, come¸cando em p = γ(0), pode ser estendida em uma geodésica parametrizada ¯_{γ : R → S, definida sobre toda a reta real R.}

Evidentemente o plano é uma superf´ıcie completa (já que suas geodésicas são as retas, que podem ser definidas sobre toda a reta real). Já o cone menos o vértice não é uma superf´ıcie completa, pois quando estendemos suficientemente uma geratriz (que é uma geodésica) atingimos o vértice que não pertence à superf´ıcie. Outros exemplos de superf´ıcies completas são a esfera e o cone. As geodésicas na esfera são curvas cujos tra¸cos correspondem aos c´ırculos máximos, e claramente podem ser definidas para qualquer valor real. As geodésicas no cilindro são c´ırculos, retas e hélices, que também estão definidas para todos os valores reais.

(30)

3 O Teorema de Hopf-Rinow

Generalizando, uma superf´ıcie S − {p} obtida removendo um ponto {p} de uma superf´ıcie completa S, não é completa. Dado um ponto q próximo a p, existe uma geodésica γ de S, come¸cando por q que não pode ser estendida até p. Dessa maneira, uma esfera ou um cilindro menos um ponto não são superf´ıcies completas.

Nosso próximo passo será mostrar que qualquer superf´ıcie completa é n˜ ao-estend´ıvel e que existem superf´ıcies não-estend´ıveis que não são completas. Dessa maneira, a hipótese de completitude é mais forte do que a de n˜ ao-estendibilidade.

Proposi¸cão 3.2. Uma superf´ıcie completa S é não-estend´ıvel.

Demonstra¸cão. Para mostrar a proposi¸cão, vamos supor que S é estend´ıvel e então chegar a uma contradi¸cão. Supor que S é estend´ıvel implica que existe uma superf´ıcie regular (conexa) ¯S com S ⊂ ¯S. Como S é uma superf´ıcie regular, S é aberta em ¯S.

Afirmamos que a fronteira F rS de S em ¯S é não-vazia. Isso é verdade, pois se fosse vazia ter´ıamos ¯S = S ∪ ( ¯S − S) seria a união de dois conjuntos abertos disjuntos S e ¯S −S, e assim, ¯S não seria conexa. Logo, existe um ponto p ∈ F rS, e como S é aberto em ¯S, p 6∈ S.

Tome uma vizinhan¸ca ¯V ⊂ ¯S de p tal que todo q ∈ ¯V pode ser ligado a p por uma ´unica geod´esica de ¯S. Como p ∈ F rS, algum q0 ∈ V pertence a

S. Seja ¯γ : [0, 1] → ¯S uma geodésica de ¯S, com ¯γ(0) = p e ¯γ(1) = q. Seja α : [0, ε] → ¯S definida por α(t) = γ(1 − t). É claro que α é uma geodésica de S e ainda α(0) = q0. Uma extensão à reta real R de α passaria por p em t = 1.

Como p 6∈ S, esta geodésica não pode ser estendida, o que contradiz a hipótese de completitude e conclui a demonstra¸cão.

Notemos que o rec´ıproco n˜ao vale:

Exemplo 3.1. Seja o cone de uma folha dado por

z =px2_{+ y}2_, _{(x, y) ∈ R}2_.

A superf´ıcie S obtida quando removemos o v´ertice p0 deste cone ´e regular

porém não é completa, pois as geratrizes n˜_{ao podem ser estendidas para todo R} sem atingir o vértice.

Suponha que S ⊂ ¯S, onde ¯S 6= S ´e uma superf´ıcie regular. Observe que a ´

unica geodésica de S, come¸cando em um ponto p ∈ S, que não pode ser estendida para todo valor do parâmetro é a geratriz que passa por p.

Seja p ∈ F r S, onde F r S denota a fronteira de S em ¯S (como vimos na proposi¸cão anterior, F r S 6= 0). Como S é um conjunto aberto em ¯S, então p 6∈ S. Seja ¯V ⊂ ¯S uma vizinha¸ca de p em ¯S tal que todo ponto de ¯V pode ser ligado a p por uma única geodésica de ¯S em ¯V . Como p ∈ F r S, existe q ∈ ¯V ∩ S. Seja ¯γ uma geodésica de ¯S ligando p a q. Como S é um conjunto aberto em ¯S, ¯γ coincide com a geodésica γ de S em uma vizinhan¸ca de q. Seja p0 o primeiro ponto de ¯γ que não pertence a S. Pela observa¸cão inicial, ¯γ é

um meridiano (geratriz) e p0 é o vértice. Além disto, p0 = p; caso contrário,

existiria uma vizinhan¸ca de p que n˜ao conteria p0. Repetindo o argumento para

esta vizinhan¸ca, obter´ıamos um vértice diferente de p0, o que é uma contradi¸cão.

(31)

Seja agora ¯W uma vizinhan¸ca de p0 em ¯S tal que quaisquer dois pontos de

¯

W possam ser ligados por uma geod´esica de ¯S.

Vamos provar que ¯W − p0⊂ S. De fato, os pontos de γ pertencem a S. Por

outro, lado, um ponto r ∈ ¯W que não pertence a γ nem a nenhuma de suas extensões pode ser ligado a um ponto t de γ,t 6= p0, t ∈ ¯W , por uma geodésica

α, diferente de γ. Pela observa¸cão inicial, todo ponto de α, em particular r, pertence a S. Finalmente, os pontos da extensão de γ, exceto p0, também

pertencem a S; caso contr´ario, eles pertenceriam `a fronteira de S, que promamos ser constitu´ıda apenas de p0.

Assim, S é não-estend´ıvel e verificamos que o rec´ıproco da proposi¸cão é falso. Vamos introduzir agora uma no¸cão de distância intr´ınseca de S. Poder´ıamos definir a distância entre dois pontos de S como a distância entre estes pontos em R3. Porém, isso não seria conveniente, já que essa distância depende da segunda forma fundamental. Vejamos então a esta proposi¸cão:

Proposi¸c˜ao 3.3. Dados dois pontos p, q ∈ S superf´ıcie regular (conexa), existe uma curva parametrizada diferenci´avel por partes ligando p a q.

Demonstra¸c˜ao. O fato de S ser conexa garante a existˆencia de uma curva cont´ınua α : [ab] → S com α(a) = p e α(b) = q. Seja t ∈ [a, b] e seja It

um intervalo aberto em [a, b], contendo o ponto t, tal que α(It) esteja contido

em uma curva α(t). Podemos ent˜ao tomar ti∈ [a, b] tal que α(ti) ∈ Ui∩ Ui+1.

Assim, para todo ponto t ∈ [a, b] temos que α(t) ∈ Ut onde Uts˜ao vizinhan¸cas

convexas. Logo existem (Ut, ϕt) tal que ϕt : Ut → R2. Mas como {Ut}t∈[a,b]

cobre o conjunto compacto α[a, b], existem U1, U2, ..., Un tais que ∪Uj cobre

α[a, b].

Podemos decompor [a, b] por pontos a = t0< t1< ... < tk < tk+1= b de tal

modo que [ti, ti + 1] esteja contido em algum Uj, = 1, ..., n. Assim, α(ti, ti + 1)

est´a contido em uma vizinhan¸ca coordenada.

Como p = α(t0) e α(t1) est˜ao na mesma vizinhan¸ca x(U ) ⊂ S ´e poss´ıvel

lig´a-los por uma curva diferenci´avel, a saber, a imagem por x de uma curva diferenci´_{avel em U ⊂ R}2_{ligando x}−1_(α(t

0)) e x−1(α(t1)).

Figura 3.1:

Por esse processo ligamos α(ti) a α(ti+1),i = 0, ..., k por curvas diferenci´aveis.

Isso nos d´a uma curva diferenci´avel por partes ligando p = α(t0) a q = α(tk+1).

Como acabamos de provar que sempre existe uma curva diferenci´avel ligando os pontos p e q da superf´ıcie S, podemos dar a seguinte defini¸c˜ao:

(32)

Defini¸c˜ao 3.4. Denote por αp,q uma curva parametrizada regular por partes

ligando p a q, e por l(αp,q) o seu comprimento.

A distância (intr´ınseca) d(p, q) do ponto p ∈ S ao ponto q ∈ S é o número

d(p, q) = inf l (αp,q)

onde o inf ´e tomado sobre todas as curvas αp,q diferenci´aveis por partes

ligando p a q.

Vamos provar agora, algumas propriedades que podem ser ´uteis.

Proposi¸c˜ao 3.4. A distˆancia d definida acima tem as seguintes propriedades 1. d(p, q) = d(q, p)

2. d(p, q) + d(q, r) ≥ d(p, r) 3. d(p, q) ≥ 0

4. d(p, q) = 0se, esomentese, p = q. onde p, q, r s˜ao pontos arbitr´arios de S.

Demonstra¸c˜ao. (1) Observe que cada curva parametrizada α : [a, b] → S, com α(a) = p e α(b) = p nos fornece uma curva parametrizada α : [a, b] → S,_e definida porα(t) = α(a − t + b). Temos ent˜_e ao queα(a) = α(a − a + b) = α(b) e_e e

α(b) = α(a − b + b) = α(a). Portanto, l(αp,q) = l(α_ep,q).

(2) Sejam A = {l(αp,r)}, B = {l(αp,q)} e C = {l(αq,r)}. Dessa maneira,

{l(αp,q) + l(αq,r)} = B + C ⊂ A. Segue das propriedades dos conjuntos de

números reais, inf (A) ≤ inf (B + C) = inf (B) + inf (C). E pela defini¸cão da distância (intr´ınseca), d(p, r) ≤ d(p, q) + d(q, r).

(3) l(αp,q) denotam o comprimento de αp,q, e por isso, l(αp,r) ≥ 0. Mas o

´ınfimo de números não-negatios é positivo ou nulo. Logo, l(αp,q) = d(p, q) ≥ 0.

(4)(=⇒) Seja p = q. Tomando a curva constante α : [a, b] → S, dada por α(t) = p, t ∈ [a, b], temos que l(α) = 0. Pelo item anterior segue que d(p, q) = 0. (⇐=) Suponha que d(p, q) = infl(αp,q) = 0 e p 6= q. Seja V uma vizinhan¸ca

de p em S, com q 6∈ V , e tal que todo ponto de V possa ser ligado a p por uma única geodésica em V. Seja Br(p) ⊂ V a região limitada por um c´ırculo

geodésico de raio r, centrado em p, e contido em V . Dado ε > 0, 0 < ε < r, existe uma curva parametrizada regular por partes α : [a, b] → S ligando p a q e com l(α) < ε. Mas α([a, b]) é conexo e q 6∈ Br(p), então existe um ponto

t0∈ [a, b] tal que α(t0) pertence `a fronteira de Br(p). Se isso acontecer, teremos

que l(α) ≥ rε, o que ´e uma contradi¸c˜ao. Portanto, p = q.

Observando das propriedades anteriores que

d(p, r) ≤ d(p, q) + d(q, r) e

(33)

temos

−d(p, q) ≤ d(p, r) + d(r, q) ≤ d(p, q), donde segue que

Corol´ario 3.1. |d(p, r) − d(r, q)| ≤ d(p, q).

Proposi¸cão 3.5. Seja p0 ∈ S um ponto de S. Então a fun¸cão f : S ∈ R dada

por f (p) = d(p0, p), p ∈ S, ´e cont´ınua em S.

Demonstra¸cão. Vamos usar a defini¸cão de cont´ınua e mostrar que para cada p ∈ S, dado ε > 0 existe um δ > 0 tal que se q ∈ Bδ(q) ∩ S, então |f (p) − f (q)| =

|d(p0, p) − d(p0, q)| < ε. A nota¸c˜ao Bδ(p) ⊂ R3 define uma bola aberta de R3

centrada em p e com raio δ.

Tome ε0 < ε tal que exppTpS → S ´e um difeomorfismo no disco Bε0(0) ⊂

TpS. Fa¸camos expp(Bε0(0)) = V . Como B_ε0(0) é aberto, V também é aberto

(em S).Logo existe uma bola aberta Bδ(p) ∈ R3 tal que Bδ(p) ∩ S ⊂ V . Para

q ∈ Bδ(p) ∩ S, temos pelo corol´ario da proposi¸c˜ao anterior que

|d(p0, p) − d(p0, q)| ≤ d(p, q)

Mas p ´e o centro de Bδ(p) e q ∈ Bδ(p) ∩ S. Assim, d(p, q) < ε0, e portanto,

|d(p0, p) − d(p0, q)| ≤ d(p, q) < ε0ε.

Defini¸c˜_{ao 3.5. Uma superf´ıcie S ⊂ R}3´e fechada se todo ponto de acumula¸c˜ao de S pertence a S.

Intuitivamente, S é fechado se ele contém os limites de todas as suas seqüências convergentes.

Proposi¸c˜_{ao 3.6. Uma superf´ıcie fechada S ⊂ R}3 _´_{e completa.}

Demonstra¸cão. Seja γ : [0, ε) → S uma geodésica p.p.c.a. tal que γ(0) = p ∈ S. Para mostrar que S é completa, devemos mostrar que é poss´ıvel estender γ a uma geodésica ¯_{γ : R → S.}

Pela existência e unicidade de geodésicas, se ¯γ(s0), s0∈ R está definida, então

´

e poss´ıvel estender ¯γ a uma vizinhan¸ca de s0. Supondo que ¯γ est´a definida em

[0, s0) vamos mostrar que est´a definida em s = s0.

Considere a seq¨uˆencia {sn} → s0, sn < s0, n = 1, 2, . . .. Como sn converge

a s0 então {sn} é uma seqüência de Cauchy, isto é, dado ε > 0, existe n0 tal

que se n, m > n0 ent˜ao |sn− sm| < ε. Denote por ¯d a distˆancia usual em R3.

Temos que

¯

d(¯γ(sn), ¯γ(sm)) ≤ l(γsn,sm) = |sn− sm| < ε.

Segue que {¯γ(sn)} é seqüência de Cauchy em R3 e portanto converge para

algum ponto q ∈ R3_{. Mas como q ´}_{e um ponto de acumula¸c˜}_{ao de {¯}_γ(s

n)} e (pela

hip´otese) S ´e fechada, conclu´ımos que q ∈ S. De fato, {¯γ(sn)} converge em S.

Agora, seja W vizinhan¸ca normal (em todos seus pontos) de centro em q, e seja δ ∈ R. Assim, {¯γ(sn)}, {¯γ(sm)} ∈ W para n e m suficientemente grandes

(34)

tais que |sn−sm| < δ. Seja então γ a única geodésica ligando {¯γ(sn)} a {¯γ(sm)}

que satisfa¸ca l(γ) < δ. Isso implica que o tra¸co de ¯γ |_{γ(s¯ n)}, {¯γ(sm)} coincide

com γ.

Temos que exp{¯γ(sn)}´e um difeomorfismo em Bδ(0) e exp¯γ(sn)(Bδ(0)) ⊃ W .

Dessa forma, γ estende ¯γ al´em de q, e assim ¯γ est´a definida em s = s0.

Segue direto dessa proposi¸c˜ao que

Corol´ario 3.2. Uma superf´ıcie compacta ´e completa.

Exemplo 3.2. O rec´ıproco da proposi¸cão 3.6 é falso. Por exemplo, um cilindro reto (infinito) erguido sobre uma curva plana que é assintótica a um c´ırculo ´

e completo, pois toda geod´_{esica pode ser estendida para todo R, mas não é} fechado, pois podemos tomar uma seqüência de pontos sobre o cilindro que converge para um ponto sobre o c´ırculo.

Figura 3.2: Superf´ıcie Completa mas n˜ao compacta

Como vimos anteriormente, uma geodésica ligando dois pontos p, q ∈ S é dita minimizante se o seu comprimento l(γ) é menor do que ou igual ao comprimento de qualquer curva regular por partes ligando p a q. Isto equivale a dizer que l(γ) = d(p, q) = inf l(αp,q). Mas uma geodésica minimizante pode não existir. O

principal resultado do cap´ıtulo ´e que tal geod´esica sempre existe se a superf´ıcie ´

e completa.

Teorema 3.1 (Hopf-Rinow). Seja S uma superf´ıcie completa. Dados dois pon-tos p, q ∈ S, existe uma geod´esica minimizante ligando p a q.

Demonstra¸c˜ao. Seja Bδ(0) ∈ TpS um disco de raio δ centrado na origem

con-tido numa vizinhan¸ca U ⊂ TpS, onde a expp ´e um difeomorfismo. Denotemos

Bδ(p) = exp(Bδ(0)). Como a fronteira ∂Bδ(0) ´e um conjunto compacto, sua

imagem pela aplica¸cão exponencial, que é cont´ınua, também é um conjunto compacto que denotaremos Bδ(p) = Σ.

(35)

Como a fun¸cão distância é cont´ınua (prop. 3.5) então d(x, q) |x∈Σ atinge

um m´ınimo, isto ´e, existe um ponto x0 ∈ Σ tal que d(x0, q) ≤ d(x, q) ∀x ∈ Σ.

Assim, o ponto x0pode ser escrito como x0= expp(δv), onde v ∈ TpS e |v| = 1.

Seja γ a geod´esica p.p.c.a dada por γ(s) = expp(sv). De fato, γ est´a definida

para todo R pois S é completa. Em particular, seja r = d(p, q) a distância entre os pontos p e q , γ está definida no intervalo [0, r].

Vamos mostrar que γ ´e a geod´esica minimizante ligando p a q. Para isto devemos provar que γ(r) = q. Pois, desta maneira, l(γ) = r = d(p, q).

Notemos que ´e suficiente mostrar que se s ∈ [δ, r] ent˜ao

d(γ(s), q) = r − s, ∀s ∈ [δ, r] (3.1) Pois, fazendo s = r na equa¸c˜ao acima temos que d(γ(r), q) = r − r = 0 e, portanto, γ(r) = q, como desejado.

Para provar a equa¸c˜ao 3.1, primeiro mostramos que ela vale para s = δ. Com efeito, toda curva que liga p a q intersecta Σ. Denotando por x um ponto qualquer de Σ, temos

r = d(p, q) = inf l(αp,q) = inf {inf l(αp,x+ inf l(αx,q); x ∈ Σ}

= inf {d(p, x) + d(x, q); x ∈ Σ} = inf {δ + d(x, q); x ∈ Σ} = δ + inf {d(x, q); x ∈ Σ}

= δ + d(x0, q).

Logo, r = δ + d(x0, q). Ou seja, d(x0, q) = d(γ(δ), q) = r − δ. Assim, a

equa¸c˜ao 3.1 vale para s = δ.

Figura 3.3:

Para mostrar que a eq. 3.1 vale para δ < s < r, definimos o conjunto

A = {s ∈ [δ, r]; onde vale a equa¸c˜ao 3.1}.

Basta provar que A ⊂ [δ, r] ´e um conjunto fechado e aberto, pois como [δ, r] ´

e conexo, da prop. 3.1 temos que A = ∅ ou A = [δ, r]. Mas j´a vimos que δ ∈ A, portanto nos restar´a apenas que A = [δ, r].

(36)

De fato, A ´e fechado. Se sk ∈ A com sk → s0 ent˜ao d(γ(sk), q) = r − sk e

pela continuidade da fun¸c˜ao distˆancia temos que d(γ(s0), q) = r − s0e portanto

s0∈ A.

Vejamos agora que A ´e aberto. Seja s0∈ A mostraremos que vale a eq. 3.1

para so+ δ0 com δ0 > 0 suficientemente pequeno.

Seja Bδ(0) um disco no plano tangente Tγ(s0)S centrado na origem, e contido

em uma vizinhan¸ca U0, onde expγ(s0)´e um difeomorfismo.

Seja Bδ0(γ(s₀)) = exp_γ(s

0)(Bδ0(0)) e Σ

0_{= ∂B}

δ0(γ(s₀)).

Para x0∈ Σ0_{a fun¸}_c˜_{ao cont´ınua d(x}0_{, q) atinge um m´ınimo em x}0

0∈ Σ0. Ent˜ao,

como anteriormente

d(γ(s0), q) = inf {d(γ(s0), x0) + d(x0, q)}

= δ0+ d(x0₀, q).

Como vale a equa¸c˜ao 3.1 em s0, temos que

d(γ(s0), q) = r − s0

Portanto,

d(x0₀, q) = r − s0− δ0 (3.2)

Al´em disto, como d(p, x0) ≥ d(p, q) − d(q, x00), obtemos da equa¸c˜ao 3.1

d(p, x0) ≥ r − (r − s0) + δ0= s0+ δ0

Observe agora que a curva que vai de p a γ(s0) por γ e de γ(s0) a x0por uma

geod´esica radial de Bδ0(γ(s₀)) tem comprimento exatamente igual a s₀+ δ0.

Figura 3.4:

Como d(p, x00) ≥ s0+δ0, esta curva que liga p a x0tem comprimento m´ınimo.

Segue da proposi¸cão 2.7 que ela é uma geodésica (regular em todos os pontos). Portanto ela deve coincidir com γ, logo x0₀= γ(s0+ δ0).

Assim, podemos escrever a equa¸c˜ao 3.2 do seguinte modo