RESOLUÇÃO Nº 01 / 2010

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA

RESOLUÇÃO Nº 01 / 2010

Estabelece a matriz curricular, disciplinas obrigatórias e optativas do programa com as respectivas ementas e bibliografias.

O COLEGIADO ACADÊMICO DO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA, considerando os Art. 28 e Art. 29 do Regimento do PPGMAT, reunido em 10/11/2010,

RESOLVE:

Art. 1º. Que a matriz curricular do programa é a que consta do Anexo I desta resolução. Art. 2º. Que as disciplinas obrigatórias do programa são: Álgebra, Análise no Rn, Análise Complexa, Equações Diferenciais Ordinárias, Geometria Diferencial e Preparação e Redação de Dissertação.

Art. 3º. Que as disciplinas optativas do programa são: Análise Funcional, Anéis e Módulos, Curvas Algébricas Não-singulares, Equações Diferenciais Parciais, Geometria Riemanniana, Introdução a Geometria Algébrica, Medida e Integração, Preparação e Redação da Dissertação, Seminário I, Seminário II, Tópicos de Álgebra I, Tópicos de Álgebra II,Tópicos de Análise I, Tópicos de Análise II, Tópicos de Geometria e Topologia I, Tópicos de Geometria e Topologia II, Tópicos de Processos Estocásticos I e Tópicos de Processos Estocásticos II. Art. 4º. Que as ementas e bibliografia das disciplinas do programa são as que constam do Anexo II desta resolução.

(2)

ANEXO I - Matriz Curricular

Período 1º Ano 2º Ano

Verão Preparação para o Exame de

Qualificação Dissertação

Segundo Análise no Rn Álgebra

Análise Complexa

Optativa/Seminário __

Terceiro Eq. Dif. Ordinárias Geometria Diferencial

Seminário

(3)

ANEXO II - Ementas e bibliografias das disciplinas

Código da Disciplina PMAT 1001

Nome da Disciplina Álgebra

Carga Horária Total 60

Ementa Grupos. Grupos de permutações. Teoremas de Sylow. Teorema de Jordan-

Hölder. Grupos solúveis. Corpo de fatoração e grupo. Teorema fundamental da teoria de Galois. Solubilidade por radicais.

Créditos 4.0

Bibliografia Artin, M., Algebra, Prentice-Hall, 1991; Endler, O., Teoria dos Corpos,

Monografias de Matemática do IMPA, no 44, 1987; Garcia, A. e Lequain, Y., Álgebra: Um Curso de Introdução, IMPA, Projeto Euclides, 1988; Jacobson, N., Lectures in Abstract Álgebra, Vol. I, Van Nostrand, 1951; Lang, S., Algebra, Addison-Wesley, 1965; Van der Waerden, B.L., Álgebra Moderna. Vol 1, Soc. Portuguesa de Matemática, 1948

Nome da Disciplina Anéis e Módulos

Ementa Módulos sobre anéis associativos. Sequências exatas. Soma e produto direto.

Módulos livres. Módulos de torção. Módulos finitamente gerados sobre domínios principais. Estrutura de módulos projetivos e injetivos. Sequências de composição. Comprimento de módulos. Módulos indecomponíveis. Teorema de Krull-Schmidt. Anéis e módulos semi-simples. Teorema de Wedderburn. Lema de Schur. Anéis artinianos e noetherianos. Álgebras de Artin. Radical de anéis e módulos. Exemplos de álgebras e módulos.

Créditos 4.0

Bibliografia Millies, F.C.P., Anéis e Módulos, Publicações do IME-USP, 1972;

Jacobson, N., Basic Algebra, Vol. II, W.H. Freeman & Cia, 1980; Auslander, M., Reiten, I. e Smalo, S.O., Representation Theory of Artin Algebras, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 36, 1995; Lang, S., Estruturas Algébricas, Ao Livro Técnico S.A., 1972

Nome da Disciplina Análise no Rn

Ementa Caminhos no espaço euclidiano. Funções reais de n variáveis; derivadas

parciais e direcionais; Teorema de Schwarz; Fórmula de Taylor; Teorema da função implícita; Multiplicador de Lagrange; Aplicações diferenciáveis: diferenciabilidade de uma aplicação; a regra da cadeia; a fórmula de Taylor; a desigualdade do valor médio; O teorema da aplicação inversa; aforma local das imersões e das submersões; o teorema do posto. Integrais múltipla; mudança de variáveis.

Créditos 4.0

Bibliografia Lima, E.L., Curso de Análise, vol II, IMPA, Projeto Euclides, 1989; Lima,

E.L., Análise no Espaço Rn, IMPA 2007; Spivak, M., Calculus on Manifolds, Benjamin, 1965.

(4)

Nome da Disciplina Análise Complexa

Ementa Sequências e séries de funções: convergência uniforme, séries de potências.

Funções analíticas: séries de potências, fórmula integral de Cauchy, séries de Taylor e de Laurent. Singularidades. Teorema de resíduos e aplicações.

Créditos 4.0

Bibliografia Ahlfors, L., Complex Analysis, McGraw-Hill, 1966; Cartan, H., Théorie

Élementaire des Fonctions Analytiques d'une ou Plusieurs Variables Complexes, Hermann, 1961; Conway, J.B., Functions of One Comnplex Variable, Springer-Verlag, 1978.

Nome da Disciplina _{Equações Diferenciais Ordinárias}

Ementa Teorema de existência e unicidade. Dependência diferenciável das

condições iniciais. Equações lineares. Exponencial de matrizes.Classificação dos campos lineares. Forma canônica de Jordan. Equações lineares não-autônomas: solução fundamental e teorema de Liouville. Equações lineares não-homogêneas. Estabilidade e instabilidade assintótica de um ponto singular de uma equação autônoma. Funções de Liapunov. Pontos

fixos hiperbólicos. Enunciado do teorema de linearização de

Grobman-Hartman. Fluxo associado a uma equação autônoma. Conjuntos limites. Campos gradientes.Campos no plano: órbitas periódicas e o teorema de Poincaré-Bendixon. Estabilidade de órbitas periódicas.

Créditos 4.0

Bibliografia Arnold, V., Equations Differentialles Ordinaires, Ed. Mir, 1974; Hirsch, M., Smale, S., Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra, Academic Press, 1974; Pontryagin L.S., Ordinary Differential Equations, Addison-Wesley, 1969; Sotomayor, J., Lições de Equações Diferenciais Ordinárias, IMPA, Projeto Euclides, 1979.

Nome da Disciplina Equações Diferenciais Parciais

Ementa Equações lineares de primeira ordem. Classificação das equações de

segunda ordem em duas variáveis independentes, redução à forma canônica. Problemas com condições contorno / condições iniciais; problemas bem-postos. O método de separação de variáveis e o problema de condução do calor em uma barra finita. Séries de Fourier em senos e cossenos e na forma complexa; convergência pontual e convergência uniforme; aplicações aos problemas da condução do calor em uma barra, da corda vibrante finita e de Dirichlet no retângulo e no disco unitário. Transformada de Fourier na reta e aplicações. A equação de Laplace em RN: solução fundamental, solução da equação de Poisson, fórmulas do valor médio, propriedades de funções harmônicas, princípios do máximo, fórmula de representação de soluções usando a função de Green. Os princípios do máximo clássicos para operadores diferenciais lineares elípticos – o Princípio do Máximo Fraco, o Princípio do Máximo Forte de E. Hopf. Aplicações.

(5)

Créditos 4.0

Bibliografia Evans, L. C., Partial Differential Equations, Graduate Studies in

Mathematics, vol 19, American Mathematical Society, 1998; Figueiredo, D.G., Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais, IMPA, Projeto Euclides, 1977; Folland, G.B., Introduction to Partial Differential

Equations, 2nd. ed., Princeton University Press, 1995; Gilbarg, D., Trudinger, N. S., Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer-Verlag, New York, 1983; ório Jr., R.J. e Iório, V., Equações Diferenciais Parciais: Uma Introdução, IMPA, Projeto Euclides, 1988; McOwen, R., Partial Differential Equations – Methods and Applications, Prentice-Hall, 1996.

Nome da Disciplina Medida e Integração

Ementa Teoremas de extensão de medidas e integrais. Teoremas básicos de

convergência. Medidas com sinal. Teorema de decomposição de Hahn-Jordan. Medidas absolutamente contínuas. Teorema da decomposição de Lebesgue. Teorema de Radon-Nikodym. Espaços L^p: propriedades básicas, dualidade. Espaços produto. Teorema de Fubini-Tonelli. Teorema de representação de Riesz-Markov. Convergência em medida. Relação entre diferenciação e integração: Teorema de Vitali, Teorema de Diferenciação de Lebesgue.

Créditos 4.0

Bibliografia Bartle, R.G., The elements of Integration, Willey, 1966; Fernadez, P.,

Medida e Integração, IMPA, Projeto Euclides, 1976; Royden, M., Real Analisys, The MacMillan, 1963; Rudin, W., Real and Complex Analisys, Tata McGraw-Hill, 1966.

Nome da Disciplina Análise Funcional

Ementa Espaços vetoriais normados. Espaços de Banach. Espaço quociente.

Operadores lineares e seus adjuntos. Teorema de Hahn-Banach. Teorema da limitação uniforme. Teorema do gráfico fechado. Teorema da aplicação aberta. Topologia fraca. Teorema de Banach-Alaoglu. Espaços reflexivos. Espaços de Hilbert. Conjuntos ortonormais. Teorema da representação de Riesz. Operadores compactos. Teoria espectral de operadores compactos auto-adjuntos.

Créditos 4.0

Bibliografia Brezis, H., Analyse Fonctionelle: Théorie et Aplications, Masson, 1987;

Reed, M. e Simon, B, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1, Academic Press, 1972; Riesz, F. e Nagy, B., Functional Analysis, Frederick Ungar, 1955.

PMAT 1013

Nome da Disciplina Geometria Diferencial

(6)

Ementa Curvas planas; desigualdade isoperimétrica. Curvas no espaço; curvatura e torção, triedro de Frenet, Teorema de existência e unicidade de curvas. Superfícies no R^3. Primeira forma fundamental,área. Aplicação normal de Gauss; direções principais, curvatura de Gauss e curvatura média, linhas de curvatura. Geometria intrínseca, exemplos clássicos de superfícies. Derivada covariante, o Teorema Egregium; curvatura geodésica; equações das geodésicas, cálculo de geodésicas em superfícies; a aplicação exponencial, o Teorema de Gauss-Bonnet. Outros tópicos.

Créditos 4.0

Bibliografia do Carmo, M.P., Differential Geometry of Curves and Surfaces,

rentice-Hall, 1976; O'Neill, B., Elementary Differential Geometry, Academic Press, 1966; Spivak, M., A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, vol. 3, Publish or Perish, 1979.

Nome da Disciplina Geometria Riemanniana

Ementa Métricas Riemannianas. Conexão de Levi-Civitta. Geodésicas. Vizinhanças

normais e totalmente normais. Tensor de curvatura. Derivação covariante de tensores. Campos de Jacobi e pontos conjugados. Imersões isométricas; equações de Gauss, Ricci e Codazzi. Variedades Riemannianas completas; Teorema de Hopf-Rinow, Teorema de Hadamard. Espaços de curvatura constante. Variações do comprimento de arco, aplicações. Teorema de comparação de Rauch, Teorema de Bonnet-Myers, Teorema de Synge e outras aplicações. O Teorema do índice de Morse. O lugar dos pontos mínimos, Teorema da Esfera.

Créditos 4.0

Bibliografia do Carmo, M.P., Geometria Riemanniana, IMPA, Projeto Euclides, 1979;

Cheeger, J. e Ebin, D., Comparison Theorems in Riemannian Geometry, North-Holland, 1975.

Nome da Disciplina Introdução a Geometria Algébrica

Ementa Variedades Afins: Teorema dos Zeros de Hilbert. Funções polinomiais e

aplicações polinomiais. Funções racionais e aplicações racionais. Variedades Projetivas: O espaço projetivo. Funções racionais e morfismos. Pontos regulares e dimensão: pontos regulares e pontos singulares. Característica algébrica da dimensão de uma variedade. Curvas cúbicas planas: curvas algébricas planas. Multiciplidade de interseção. Classificação das cúbicas planas. A estrutura de grupo de uma curva elíptica. Superfícies cúbicas: a existência de retas numa superfície cúbica não singular. A racionalidade das superfícies cúbicas. Introdução à teoria das curvas: divisores em curvas. O grau de um divisor principal. O Teorema de Bézout. Sistemas lineares em curvas. Mergulhos projetivos de curvas.

Créditos 4.0

Bibliografia Hulek, K., Elementary Algebraic Geometry, Student Mathematical Library,

vol. 20 , AMS, 2003; Kunz, E., Introduction to Commutative Algebra and Algebraic Geometry, Birkhäuser, 1985; Fulton, W., Algebraic Curves: An Introduction to Algebraic Geometry, Springer-Verlag, 1989.

Nome da Disciplina Tópicos de Análise I

(7)

Créditos 4.0

Bibliografia Variável.

Nome da Disciplina Tópicos de Análise II

Ementa Variável

Créditos 4.0

Nome da Disciplina Tópicos de Processos Estocásticos I

Ementa Variável

Créditos 4.0

Nome da Disciplina Tópicos de Processos Estocásticos II

Ementa Variável

Créditos 4.0

Nome da Disciplina Tópicos de Álgebra I

Ementa Variável

Créditos 4.0

Nome da Disciplina Tópicos de Álgebra II

Ementa Variável

Créditos 4.0

Nome da Disciplina Tópicos de Geometria e Topologia I

Ementa Variável

Créditos 4.0

Nome da Disciplina Tópicos de Geometria e Topologia II

Ementa Variável

Créditos 4.0

(8)

Ementa Curvas algébricas não-singulares, destacando-se aplicações para o caso do

corpo de base ser um corpo finito.

Créditos 4.0

Bibliografia

Nome da Disciplina Seminário I

Ementa Variável.

Créditos 2.0

Nome da Disciplina Seminário II

Ementa Variável.

Créditos 2.0

Código da Disciplina PMATPDT

Nome da Disciplina Preparação e Redação da Dissertação

Ementa Variável.

Créditos 2.0