PROVA DE MATEMÁTICA DA FUVEST VESTIBULAR a Fase. RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.

PROVA DE MATEMÁTICA DA FUVEST

VESTIBULAR– 2011– 1

a

Fase

RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.

QUESTÃO 20.

Uma geladeira é vendida em n parcelas iguais, sem juros. Caso se queira adquirir o produto, pagando-se 3 ou 5 parcelas a menos, ainda sem juros, o valor de cada parcela deve ser acrescido de R$ 60,00 ou de R$ 125,00, respectivamente. Com base nessas informações, conclui-se que o valor de n é igual a

a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17

RESOLUÇÃO:

n é o número de parcelas com valor x reais.

Valor do produto: nx reais

Caso se queira adquirir o produto, pagando-se 3 parcelas a menos, ainda sem juros, com o valor de cada parcela acrescido de R$ 60,00, o valor do produto ser:

nx = (n – 3)(x + 60). (I)

Caso se queira adquirir o produto, pagando-se 5 parcelas a menos, ainda sem juros, com o valor de cada parcela acrescido de R$ 125,00, o valor do produto ser:

nx = (n – 5)(x + 125). (II)

Da comparação entre as expressões (I) e (II), tem-se:

(n – 3)(x + 60) = (n – 5)(x + 125) ⇒⇒⇒_{⇒ 60n – 3x – 180 =125n – 5x – 625 ⇒}⇒⇒_⇒

65n – 2x = 445 (III)

De (I) e (III) tem-se o sistema:

   = = ⇒ −    = − = − ⇒    = − = − 13 n 975 n 75 ) L (L 360 6x 120n 1335 x 6 n 195 ) L 2 ; L 3 ( 180 x 3 n 60 445 x 2 n 65 2 1 2 1

RESPOSTA: O valor de n é 13. (Alternativa a)

QUESTÃO 21.

Sejam f(x) = 2x – 9 e g(x) = x² + 5x + 3. A soma dos valores absolutos das raízes da equação f(g(x)) = g(x) é igual a a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 RESOLUÇÃO: f(g(x)) = 2(x² + 5x + 3) – 9 = 2x² + 10x – 3. Sendo f(g(x)) = g(x) ⇒ 2x² + 10x – 3 = x² + 5x + 3 ⇒ x² + 5x – 6 = 0 ⇒

x = x' 6 e x'' 1 2 24 25 5 = − = ⇒ + ± − . Então a soma x'+ x'' =6+1=7. RESPOSTA: Alternativa d. QUESTÃO 22.

No losango ABCD de lado 1, representado na figura, tem-se que M é o ponto médio de

AB, N é o ponto médio de BC e MN= 14/4. Então, DM é igual a

a) 4 2 b) 2 2 c) 2 d) 2 2 3 e) 2 2 5 RESOLUÇÃO:

Aplicando a Lei dos Cossenos ao triângulo MBN:

⇒ ×       ×       × −       +       =         α cos 2 1 2 1 2 2 1 2 1 4 14 2 2 2 ⇒ − = ⇒ − + = ⇒ − + = 4 3 cos 7 2 2 cos 4 2 cos 4 1 4 1 8 7 α α α 4 3 ) 180 cos( °−α = .

Aplicando agora a Lei dos Cossenos ao triângulo AMD:

(

)

(

)

(

)

2 2 MD 2 MD 4 4 3 4 1 1 MD ) 180 cos( 1 2 1 2 2 1 1 MD 2 2 2 2 = ⇒ = ⇒ − + = ⇒ − ° × ×       × −       + = α . RESPOSTA: Alternativa b.

QUESTÃO 23.

Seja x > 0 tal que a sequência a₁=log₂x, a₂=log₄(4x) , a₃=log₈(8x) forme, nessa ordem, uma progressão aritmética. Então, a1+a2+a3 é igual a

a) 2 13 b) 2 15 c) 2 17 d) 2 19 e) 2 21 RESOLUÇÃO: 2 x log 1 x log 4 log ) x 4 ( log a 2 4 4 4 2 = = + = + 3 x log 1 x log 8 log ) x 8 ( log a3 = 8 = 8 + 8 = + 2

Se a1 ,a2e a3 devem formar, nessa ordem, um progressão aritmética:

⇒ + = _{1 3} 2 a a a 2       + + =       + × 3 x log 1 x log 2 x log 1 2 2 2 2 _.

Como a₁=log₂x, tem-se: ⇒

     + + =       + 3 a 1 a 2 a 1 2 1 1 1 2 1 1 a e 2 5 2 3 1 a 3 a 3 a 1 a a 2+ ₁ = ₁+ + 1 ⇒ ₁= ⇒ ₂= + = ₃ = + = e 2 15 2 2 5 3 a a a₁+ ₂+ ₃= + + = . RESPOSTA: Alternativa b. QUESTÃO 24.

Na figura, o triângulo ABC é equilátero de lado 1, e ACDE, AFGB e BHIC são quadrados. A área do polígono DEFGHI vale

a) 1+ 3 b) 2+ 3 c) 3+ 3 d) 3+2 3 e) 3+3 3

RESOLUÇÃO:

A área S do polígono DEFGHI é igual à soma: 3SACDE + SABC + 3SCDI ⇒

S = + + × × × × °= + + ⇒ 4 3 3 4 3 3 120 sen 1 1 2 1 3 4 3 3 S = 3+ 3. RESPOSTA: Alternativa c. QUESTÃO 25.

Sejam x e y números reais positivos tais que x+y=π/2. Sabendo-se que sen(y−x)=1/3, o valor de tg2y−tg2x é igual a a) 2 3 b) 4 5 c) 2 1 d) 4 1 e) 8 1 RESOLUÇÃO: 3 1 ) 2 y 2 ( sen ) y 2 y ( sen ) x y ( sen y 2 x 2 y x+ =π ⇒ =π − ⇒ − = −π + = −π = ⇒ − = ⇒ = − = − = − 3 1 ) y 2 cos( 3 1 ) y 2 cos( 2 sen ) y 2 cos( 2 cos ) y 2 ( sen ) 2 y 2 ( sen π π π ⇒ = ⇒ = + − ⇒ − = − − ⇒ − = − 6cos y 3 1 0 6cos y 2 3 1 ) y cos 1 ( y cos 3 1 y sen y cos2 2 2 2 2 2 3 2 3 1 1 y sen 3 1 y cos2 = ⇒ 2 = − = .

Sendo y senx cosy e cosx seny 2 x=π − ⇒ = = . 2 3 2 1 2 3 2 3 1 3 1 3 2 x cos x sen y cos y sen x tg y tg 2 2 2 2 2 2 _{− = − = − = − = .} RESPOSTA: Alternativa a. QUESTÃO 26.

A esfera ε, de centro 0 e raio r > O, é tangente ao plano α. O plano β é paralelo a α e contém O. Nessas condições, o volume da pirâmide que tem como base um hexágono regular inscrito na intersecção de ε com β e, como vértice, um ponto em α, é igual a a) 4 r 3 3 b) 16 r 3 5 3 c) 8 r 3 3 3 d) 16 r 3 7 3 e) 2 r 3 3

RESOLUÇÃO:

A intersecção de ε com β é um círculo máximo da esfera, portanto com centro no ponto 0 e raio r. O hexágono regular inscrito nesse círculo tem lado r. A pirâmide que tem esse hexágono como base e como vértice um ponto P qualquer de α, tem como altura r.

O volume dessa pirâmide é então: 2 3 r r 4 3 r 6 3 1 h S 3 1 V 3 2 base × = × × = × × = RESPOSTA: Alternativa e. QUESTÃO 27.

Um dado cúbico, não viciado, com faces numeradas de 1 a 6, é lançado três vezes. Em cada lançamento, anota-se o número obtido na face superior do dado, formando-se uma sequência (a, b, c). Qual é a probabilidade de que b seja sucessor de a ou que c seja sucessor de b? a) 27 4 b) 54 11 c) 27 7 d) 27 10 e) 54 23 RESOLUÇÃO:

Em cada jogada pode ocorrer qualquer um dos números de 1 a 6. O espaço amostral E tem então 6³ = 216 elementos.

As ocorrências em que b seja sucessor de a, são: (a, a + 1, c), com 1 ≤ a ≤ 5 e 1 ≤ c ≤ 6. Total de possibilidades: 5 × 1 × 6 = 30.

As ocorrências em que c seja sucessor de b, são: (a, b, b + 1), com 1 ≤ a ≤ 6 e 1 ≤ b ≤ 5. Total de possibilidades: 6 × 5 × 1 = 30.

As ocorrências em que b seja sucessor de a, e c seja sucessor de b são: (a, a + 1, a + 2), com 1 ≤ a ≤ 4. Total de possibilidades: 4 × 1 × 1 = 4.

O total de ocorrências em que b seja sucessor de a ou que c seja sucessor de b é então: 30 + 30 – 4 = 56.

Logo a probabilidade de que b seja sucessor de a ou que c seja sucessor de b é:

27 7 8 : 216 8 : 56 = . RESPOSTA: Alternativa c.

QUESTÃO 28.

No plano cartesiano, os pontos (0, 3) e (−1, 0) pertencem à circunferência C. Uma outra circunferência, de centro em (−1/2, 4) , é tangente a C no ponto (0, 3).

Então, o raio de C vale a) 8 5 b) 4 5 c) 2 5 d) 4 5 3 e) 5 RESOLUÇÃO:

• A reta que passa nos pontos A = (0, 3) e B =(−1, 0) é: a(x – 0) = y – 3 ⇒ ax = y – 3.

Nessa equação substituindo x e y pelas ordenadas do ponto (−1, 0): −a = – 3 ⇒ a = 3 ⇒ 3x = y – 3 ⇒ y = 3x + 3.

• O centro da circunferência C pertence à reta perpendicular a reta y = 3x + 3 e

que passa pelo ponto médio do segmento AB: M = 

     − 2 3 , 2 1 . • A equação dessa reta tem a forma:

⇒ = − = ⇒ +       − − = ⇒ + − = 3 4 6 1 2 3 b b 2 1 3 1 2 3 b x 3 1 y 3 4 x 3 1 y− + = .

Sendo tangentes as duas circunferências, os seus centros são alinhados e portanto pertencem à reta que passa pelos pontos C = (−1/2, 4) e A = (0, 3): a(x – 0) = y – 3 ⇒ ax = y – 3.

Nessa equação substituindo x e y pelas ordenadas do ponto C = (−1/2,4):

3 2x y− + = ⇒ − = − ⇒ − = ⇒ = − ⇒ − = − a 4 3 a 2 a 2 2x y 3 2 1 .

O centro da circunferência C pertence ao mesmo tempo às retas cujas equações são

3 4 x 3 1 y− + = e y = −−−2x + 3: − ⇒    = = = ⇒     + − = + − + − = + − ⇒     + − = + − = 1 y e 1 x 5 x 5 9 x 6 4 x 3 x 2 3 4 x 3 1 3 x 2 y 3 4 x 3 1 y O centro da circunferência C é o ponto O = (1,1).

Cálculo da medida do raio: r=OA=

(

0−1

)

2 +

(

3−1

)

2 = 1+4= 5

QUESTÃO 29. Seja bx c 2 a ) x (

f = + + , em que a, b e c são números reais. A imagem de f é a semirreta ]−1,

∞[ e o gráfico de f intercepta os eixos coordenados nos pontos (1, 0) e (0, −3/4). Então, o produto abc vale

a) 4 b) 2 c) 0 d) −2 e) −4

RESOLUÇÃO:

O gráfico de h(x) = bx c

2 + passa no ponto (0,1) e tem como imagem a semireta ]0, ∞[,

e sendo a semireta ]−1, ∞[ a imagem da função bx c

2 a ) x ( f = + + , então a = −1, logo c bx 2 1 ) x ( f =− + +

Como o gráfico de f intercepta os eixos coordenados nos pontos (1, 0) e (0, −3/4),

{

a 1 ,b 2,c 2 abc 4 0 2 b 2 c 4 1 2 0 c b 1 4 3 2 1 2 4 3 2 1 0 2 1 c c c b c c b = ⇒ − = = − = ⇒    = − − = ⇒     = = + ⇒      + − = = ⇒      − = + − = + − + + . RESPOSTA: Alternativa a.