livro2

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Introdução à geometria das equações diferenciais

Versão preliminar e não necessariamente corrigida

Igor Leite Freire

20 de agosto de 2019

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Sumário

1 Miscelânia 5

1.1 Conceitos topológicos . . . 5

1.2 Diferenciabilidade e mudanças de coordenadas . . . 8

1.3 Exercícios . . . 11

2 Equações diferenciais ordinárias 12 2.1 Alguns conceitos fundamentais sobre EDO’s . . . 12

2.2 Existência de unicidade de soluções . . . 14

3 Grupos de transformações 25 3.1 Grupos . . . 25

3.2 Grupos de transformações uniparamétricos canônicos . . . 26

3.3 O Teorema de Lie . . . 30

4 Aspectos geométricos 35 4.1 Vetores tangentes . . . 35

4.2 Campos vetoriais . . . 40

4.3 Exponencial de campos e fluxos . . . 44

5 Mudanças de variáveis 50 5.1 Aplicações entre espaços tangentes . . . 50

5.2 Transformações de campos vetoriais . . . 53

6 Álgebras de Lie e grupos multiparamétricos 59 6.1 Grupos de transformações r−paramétricos . . . . 59

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SUMÁRIO 2

6.2 O colchete de Lie . . . 60

6.3 Álgebras de Lie . . . 63

6.4 Grupos de Lie e ações de grupos . . . 65

7 Equações diferenciais parciais de primeira ordem 71 7.1 Equações diferenciais de primeira ordem: o caso bidimensional . . . 71

7.2 EDP’s lineares com n variáveis independentes e campos . . . . 73

7.3 Equações diferenciais de primeira ordem não-lineares e campos: o caso bidi-mensional . . . 74

7.4 Equações diferenciais parciais, campos e não-linearidade: o caso geral . . . . 75

8 Invariantes 77 8.1 Funções invariantes . . . 77

8.2 Teorema de retificação e coordenadas canônicas . . . 80

8.3 Simetrias de equações algébricas . . . 83

8.4 Distribuições e o Teorema de Frobenius . . . 87

9 Prolongamentos e funções diferenciais 91 9.1 Prolongamento de funções . . . 91

9.2 Funções diferenciais e derivadas totais . . . 93

9.3 Prolongamentos de campos vetoriais . . . 96

10 Simetrias de equações diferenciais 101 10.1 Funções diferenciais e equações diferenciais . . . 101

10.2 Grupos de transformações estendidos . . . 102

10.3 Cálculo de grupo de simetrias de equações diferenciais . . . 104

10.4 Construção de soluções via simetrias e seus geradores . . . 109

10.4.1 Soluções via geradores de simetrias . . . 109

10.4.2 Solução via ações grupos . . . 110

11 Leis de conservação 112 11.1 Leis de conservação . . . 112

(4)

SUMÁRIO 3

11.2 Campos vetoriais generalizados . . . 115

11.3 Operadores de Euler-Lagrange e o Teorema de Noether . . . 117

11.4 O Teorema de Ibragimov . . . 124

(5)

Lista de Figuras

2.1 Campo de direções da equação x0= x2/3, com x , 0. Veja Exemplo 2.2.3 . . . 14 2.2 A figura (a) mostra o retrato de fase do campo do Exemplo 2.2.3, enquanto a

figura (b) ilustra algumas curvas integrais. Em sentido horário, as curvas mos-tram parte das órbitas passando pelos pontos (−2, 1), (−1, 2), (1, 1) e (1, −1), respectivamente. . . 20 4.1 Diagrama mostrando as composições dopullback. . . . 36 4.2 A figura (a) mostra o campo (4.2.1) no plano bidimensional com coordenadas

(x, y), enquanto a figura (b) ilustra o mesmo campo juntamente com seu fluxo. 42 4.3 A figura (a) mostra o campo (4.2.2) no plano (x, t), enquanto a figura (b) ilustra

o mesmo campo juntamente com seu fluxo. . . 43 4.4 A figura (a) mostra o campo (4.2.3) no espaço (x, t, u). Quanto mais intensa

a cor, maior a magnitude (comprimento) do campo. A figura (b) ilustra o mesmo campo projetado nos planos (x, t), (x, u) e (t, u). . . . 44 5.1 Diagrama ilustrando a aplicação F∗_x₀. Observe que ela leva vetores tangentes

em vetores tangentes. . . 50 5.2 A figura (a) mostra o campo v = y2∂x enquanto a figura (b) ilustra o campo

juntamente com seu fluxo w = (u/v)2∂u+ (u/v)∂v. . . 56

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1 Miscelânia

Este é um texto preliminar e em andamento. Peço encarecidamente que todos o leiam atentamente e, em caso de dúvida, me consultem. Pode haver erros. Agradeço muito se puderem me enviar correções e/ou sugestões.

Neste capítulo revemos alguns conceitos básicos que serão usados ao longo desta obra e também introduzimos a notação que utilizaremos. Por exemplo, a := b ou b =: a significa que o objeto a é definido pelo objeto b.

FALAR DE COORDENADAS

1.1 Conceitos topológicos

Neste seção revisitaremos alguns conceitos topológicos necessários ao longo do texto. Definição 1.1.1. Uma métrica num conjunto não vazio X é uma função d : X × X → R satisfa-zendo as seguintes propriedades, para quaisquer x, y, z ∈ X:

1. (não-degenerescência) d(x, y) = 0 se, e somente se, x = y; 2. (positividade) d(x, y) ≥ 0;

3. (simetria) d(x, y) = d(y, x);

4. (desigualdade triangular) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).

Uma métrica nada mais é que uma forma de se mensurar a distância entre elementos de um dado conjunto. Além disso, um conjunto munido de uma métrica chama-se espaço métrico.

No caso particular em que o nosso conjunto é um espaço vetorial podemos definir estru-turas ainda mais fortes que a métrica.

Definição 1.1.2. Uma norma em um espaço V é uma função k·k : V → V satisfazendo as seguintes propriedades, para quaisquer x, y ∈ V , e todo escalar λ:

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CAPÍTULO 1. MISCELÂNIA 6

a) (não-degenerescência) kxk = 0 se, e somente se, x = 0; b) (positividade) kxk ≥ 0; c) (homogeneidade) kλxk = |λ| kxk; d) (desigualdade triangular) x + y ≤ kxk + y .

O par (V , k · k) é chamado espaço normado o qual, sempre que não houver perigo de confusão, será denotado simplesmente por V .

Definição 1.1.3. Uma forma bilinear simétrica não-degenerada b sobre um espaço vetorial V é uma função b : V ×V → R satisfazendo as seguintes condições, para quaisquer x, x0, y ∈ V e λ ∈ R:

a) b(x, y) = b(y, x);

b) b(x + x0, y) = b(x, y) + b(x0, y);

c) b(x, x) ≥ 0 e b(x, x) = 0 se, e somente se, x = 0; d) b(λx, y) = b(x, λy) = λb(x, y).

Usualmente uma forma bilinear é chamada de produto interno e um espaço vetorial munido de um produto interno é chamado espaço com produto interno. Observe que um

produto interno induz uma norma e, por sua vez, dada uma norma, automaticamente ela induz uma métrica, veja Exercício 1.3.1.

Dada uma métrica d em um conjunto, um número real r > 0 e a ∈ X um ponto fixado, o conjunto B(a; r) := {x ∈ Rn : d(x, a) < r}. é chamado de bola aberta, de centro a e de raio r, enquanto a bolafechada centrada em a e de raio r é dada por B[a; r] := {x ∈ Rn : d(x, a) ≤ r}. Por fim, a esfera, de centro a e raio r, é definida como sendo S(a; r) := {x ∈ Rn: d(x, a) = r} =

B[a; r] \ B(a; r).

Um conjunto A ⊆ X de um espaço métrico X é dito ser aberto se, para todo ponto x ∈ A, existir rx> 0 tal que B(x, rx) ⊆ A. Neste caso dizemos que A é ponto interior ao conjunto A.

Uma função x : N → X, em que (X, d) é um espaço métrico, é chamada sequência e usual-mente é denotada por (xn)n∈N. Dizemos que a sequência (xn)n∈Né dita sersequência de

Cau-chy se, para todo > 0, existe n0 ∈ N, possivelmente dependente de , tais que se m, n > n0,

tem-se d(xn, xm) < . Dizemos que uma sequência (xn)n∈N é convergente para o ponto x, e

escrevemos x = lim xn, quando, para todo > 0, for possível encontrar n0 ∈ N tal que, para

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O fecho de um conjunto A ⊆ X, em que (X, d) é um espaço métrico, é dado pelo conjunto dos pontos x ∈ X tal que existe alguma sequências (xn)nN ⊆ A convergente para x. Um

conjunto é dito ser fechado se é igual ao seu próprio fecho.

Definição 1.1.4. Um espaço métrico (X, d) é dito ser completo se toda sequência de Cauchy for convergente.

Note que a convergência ou não de uma sequência de Cauchy depende da métrica em questão do espaço.

Exemplo 1.1.1. Todo espaço vetorial normado de dimensão finita é completo.

Exemplo 1.1.2. Colocar exemplo.

Definição 1.1.5. Relação de equivalência

Considere A um conjunto. Dizemos que ∼ é uma relação de equivalência em A se, qual sejam a, b, c ∈ A, ela for:

a) Reflexiva: a ∼ a.

b) Simétrica: se a ∼ b, então b ∼ a.

c) Transitiva: se a ∼ b e b ∼ c, então a ∼ c.

Definição 1.1.6. Sejam X ⊆ Rm e Y ⊆ Rnabertos. Uma função f : X → Y é dita ser um homeo-morfismo quando for uma bijeção com inversa contínua.

Note que ser homeomorfo define uma relação de equivalência, uma vez que a composição de homeomorfismos ainda é um homeomorfismo, veja Exercício 1.3.2.

Definição 1.1.7. Um conjunto X é dito ser de dimensão n, e escrevemos dim X = n, se existir um homeomorfismo φ : U → X, em que U é um aberto de Rn.

Nosso foco principal neste texto são estruturas definidas em Rn, de modo que daqui em diante todos os conceitos a serem introduzidos o serão feitos neste espaço.

Definição 1.1.8. Um conjunto ∅ , X ⊆ Rné dito ser desconexo se existem subconjuntos abertos A e B de Rn, tais que X ∩ A , ∅, X ∩ B , ∅ e X ⊆ A ∪ B. Se X não é desconexo, dizemos que X é conexo. Dizemos que X é conexo por caminhos se, para quaisquer pontos a e b em X, existe uma curva contínua γ : [t0, t1] → X tal que γ(t0) = a, γ(t1) = b e γ[t0, t1] ⊆ X.

Exemplos de conjuntos conexos são os intervalos (abertos ou fechados) em R. Qualquer subconjunto de Rnconexo por caminhos é conexo, veja Exercício 1.3.5.

(9)

1.2 Diferenciabilidade e mudanças de coordenadas

Sejam α1, · · · , αn∈ N∪{0}. Então α = (α1, · · · , αn) é chamado multi-índice e |α| := α1+· · ·+αn

é chamada norma do multi-índice.

Definição 1.2.1. Sejam X ⊆ Rne Y ⊆ Rnabertos e α = (α1, · · · , αn)um multi-índice. Então

D|α|f (x) := ∂

|_α|

f (x)

(∂x1₎α1· · ·(∂xn)αn.

Uma função f : X → R é dita ser de classe Ck se D|α|f (x) existe para todo x, e é contínua para todo multi-índice α tal que 0 ≤ |α| ≤ k. Dizemos que f : X → Y é de classe Ck se cada função componente de f for de classe Ck. Se f for diferenciável para todo k, dizemos que f é de classe C∞, ou que é infinitamente diferenciável.

Ao longo do texto será comum dizer que f é diferenciável. Isso significa que estamos assumindo que a função é, ao menos, de classe C1. Em particular, toda função de classe C1 pode ser escrita da forma

f (x) = f (x0) + f 0

(x0)(x − x0) + kx − x0kρ(kx − x0k), (1.2.1)

em que ρ(x) → 0 quando x → 0.

Se f : X → Y é uma função diferenciável, então a matriz Jacobiana de f em relação às bases canônicas de Rne Rmé dada por

Jf(a) =                             ∂f1 ∂x1(a) · · · ∂f1 ∂xn(a) .. . ... ... ∂fm ∂x1 (a) · · · ∂fm ∂xn(a)                             .

Dada f : X ⊆ R → R de classe C2, definimos a matriz Hessiana de f no ponto x é de-finida como Hess(f )(x) e a forma Hessiana de f no ponto x é dede-finida por f00(x)(v, v) = h_{v, Hess(f )}_x_{vi, em que v ∈ R}n_{e identificamos matrizes colunas com vetores de R}n_.

(10)

Sejam g : I → R uma função de classe C2, em que I é um intervalo aberto de R e a ∈ I é um ponto fixado. Então existe s ∈ (0, t) tal que

g(t) = g(0) + g0(0)t +g

00

(s) 2 t

2_. _(1.2.2)

Se X é um aberto de Rn, v ∈ Rne f : X → R, temos que f (x + tv) é definido, desde que t seja suficientemente pequeno. Então, definimos

d dt _t=0 f (x0+ tv) := lim t→0 f (x0+ tv) − f (x0) t . (1.2.3)

A expressão (1.2.3), quando existe, é chamada de derivada direcional de f no ponto x0

na direção do vetor v.

Definição 1.2.2. Sejam X ⊆ Rn e Y ⊆ Rn abertos. Uma função f : X → Y é dita ser um difeo-morfismo quando for uma bijeção de classe C1 cuja inversa g = f−1 : Y → X também é de classe

C1.

Assim como no caso do homeomorfismo, ser difeomorfo define uma relação de equiva-lência, veja Exercício 1.3.6.

Note que se f é uma função entre abertos de Rn e é diferenciável, então sua matriz jacobiana Jf é quadrada. O determinante de uma tal matriz é chamado jacobiano. Uma

condição necessária para que uma função seja um difeomorfismo é que sua matriz jacobiana seja diferente 0 em todo ponto. Podemos relaxar essa condição ligeiramente.

Definição 1.2.3. Dizemos que uma função f : X ⊆ Rn → _{Y ⊆ R}n _{é um difeomorfismo local}

quando, para cada x ∈ X, existe uma bola aberta B = B(x; δ) ⊆ X tal que a bola B é levada difeo-morficamente a uma vizinhança V de f (x).

Observe que todo difeomorfismo é um difeomorfismo local, mas nem todo difeomor-fismo local é um difeomordifeomor-fismo. Alguns autores caracterizam o difeomordifeomor-fismo da Definição 1.2.2 dedifeomorfismo global.

Teorema 1.2.2. Teorema da Função Inversa

Seja f : X ⊆ Rn→ Rnuma aplicação de classe Ck. Se a ∈ X é tal que f0(a) seja um isomorfismo

então existem abertos V e W de Rntais que a ∈ V , f (a) ∈ W e tais que a restrição de f a V é um difeomorfismo entre V e W .

(11)

Seja X ⊆ Rm× Rn um aberto não vazio, p = (a, b) ∈ X, f : X → Rn uma função de classe Ck tal que f (p) = c e det B , 0, em que B =

∂fi ∂yj

, 1 ≤ i, j ≤ n. Então existem abertos V ⊂ Rm, W , U ⊆ Rn, com a ∈ V , b ∈ W e c ∈ U , e uma única função g : V → W , de classe Ck, tal que f (x, g(x)) = c.

Suponha que X e Y sejam conjuntos de Rn difeomorfos. Se denotarmos os pontos de X por x = (x1, · · · , xn) e y = (y1, · · · , yn), então temos yi = yi(x) e xj= xj(x), em razão do Teorema da Função Inversa. Neste caso, é comum escrever a jacobiana do difeomorfismo x 7→ y(x) e o jacobiano desse difeomorfismo, respectivamente, como

∂(y1, · · · , yn) ∂(x1_{, · · · , x}n₎ = ∂yi_(x) ∂xj ! e ∂(y1, · · · , yn) ∂(x1_{, · · · , x}n₎ .

Exemplo 1.2.1. Considere x(r, θ) = r cos θ e y(r, θ) = r sin θ, com r > 0. Então

∂(x, y) ∂(r, θ) =            cos θ −r sin θ sin θ r cos θ            =⇒ ∂(x, y) ∂(r, θ) = r.

Decorre, do Teorema da Aplicação Inversa, que (r, θ) 7→ (r cos θ, r sin θ) é um difeomorfismo local.

Todo difeomorfismo entre conjuntos pode ser visto como umatransformação de um

con-junto no outro. Como cada ponto é univocamente determinado, um difeomorfismo pode ser, também, interpretado como uma mudança de coordenadas. No caso do Exemplo 1.2.1, o di-feomorfismo leva um sistema de coordenadas polares (r, θ) em um sistema de coordenadas cartesianas (x, y).

Definição 1.2.4. Seja F : M → N uma função diferenciável, x ∈ M e JF(x) a jacobiana de F no

ponto x. O posto de F num ponto x ∈ M é definido como o posto da matriz JF(x). A função F é dita

ser de posto máximo num conjunto Ω ⊆ M se, para cada x ∈ Ω, o posto de F é o máximo possível.

Observamos que o posto de uma matriz m×n é limitado por min{m, n}, de modo que uma função F : M → N é de posto máximo se seu posto for min{m, n}.

Teorema 1.2.4. Se F : M → N possui posto máximo num ponto x0 ∈M, então existem

coorde-nadas x = (x1, · · · , xm)numa vizinhança de x0 e coordenadas y = (y1, · · · , yn)numa vizinhança de

y0 = F(x0)tal que nestes sistemas de coordenadas F tem a forma y = (x1, · · · , xm, 0, · · · , 0), se n > m,

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1.3 Exercícios

Exercício 1.3.1. Suponha que (V , k·k) seja um espaço normado. Prove que d(x, y) := kx−yk define uma métrica em V . Se h·, ·i é um produto interno em V , então kxk =phx,yi

Exercício 1.3.2. Mostre que a composição de homeomorfismos é um homeomorfismo e, portanto, a relação A ∼ B se, e somente se, A é homeomorfo a B define uma relação de equivalência.

Exercício 1.3.3. Prove que se (xn)n∈N é uma sequência convergente em X, então (xn)n∈N é uma

sequência de Cauchy.

Exercício 1.3.4. Suponha que f : X → Y seja um homeomorfismo entre espaços métricos e supo-nha que (xn)n∈N seja uma sequência de Cauchy em X. Prove que (f (xn))n∈N é uma sequência de

Cauchy em Y .

Exercício 1.3.5. Prove que se X é um subconjunto de Rnconexo por caminhos, então X é conexo.

Exercício 1.3.6. Mostre que a composição de difeomorfismos é um difeomorfismo e, portanto, a relação A ∼ B se, e somente se, A é difeomorfo a B define uma relação de equivalência.

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2 Equações diferenciais ordinárias

Neste capítulo discutiremos alguns conceitos fundamentais sobre equações diferenciais ordinárias. Embora elas não sejam necessariamente o objeto que mais nos interessa neste curso, os tópicos aqui tratados são de importância capital a tudo o que está por vir.

Neste livro todos os abertos são assumidos como não vazios e, a menos que se diga ex-plicitamente o contrário, todos os conjuntos tratados serão conexos. Neste e no próximo capítulo fixaremos um sistema de coordenadas cuja primeira componente ét e a segunda

componente será designada porx. Enquanto t será sempre um número, x ora denotará um

número, e portanto o par (t, x) corresponde a um ponto em um espaço bidimensional, ou uma n−upla, e neste caso (t, x) é um ponto em R × Rn= Rn+1.

2.1 Alguns conceitos fundamentais sobre EDO’s

Aqui discutiremos alguns conceitos fundamentais relacionados a equações diferenciais ordinárias. Começaremos com o caso mais simples, de uma única EDO, para em seguida irmos ao caso geral, com n equações diferenciais.

Seja Ω um aberto de R2. Uma função que, a cada par de pontos deste aberto, associa uma reta passando por este mesmo ponto chama-se campo de direções. Se essa função for de classe Ck, dizemos que o campo é de classe Ck.

Dado um campo de direções, uma curva que em cada ponto seja tangente à direção do campo neste ponto é chamadacurva integral.

Do ponto de vista geométrico, um campo de direções definido num aberto do plano (t, x) e que não contenha direções paralelas ao eixo x pode ser dado, em cada ponto, pelo coeficiente angular da reta que define a direção neste ponto.

Dada uma EDO x0(t) = f (t, x(t)), denomina-se campo de direções da equação o campo definido, em cada ponto (t, x), dado pela reta com coeficiente angular f (t, x).

Sabemos que a solução de uma equação diferencial, em geral, se dá a menos de uma constante. Para se determinar tal constante precisamos de alguma informação adicional. Esta informação é chamadacondição inicial. Geometricamente falando, ela nos dá o valor de

(14)

CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 13

x em um ponto t0, o que nos permite determinar, em princípio, uma única curva integral t 7→

(t, x(t)), de modo que x(t) seja a nossa solução. A existência e unicidade de soluções é uma questão de fundamental importância no estudo de equações diferenciais. Em particular, a unicidade de uma solução nos assegura a existência de uma única curva integral e vice-versa. Todos os conceitos anteriores são facilmente generalizáveis para o caso geral em que (t, x) ∈ R × Rn, de modo que focaremos mais concretamente na EDO

x0(t) = f (t, x(t)), em que x ∈ Rne R × Rn3_{(t, x) 7→ f (t, x) ∈ R}n_.

A função que associa a cada (t, x) à reta passando por este ponto paralelamente ao vetor (1, f (t, x)) é chamada campo de direções.

Uma solução para uma EDO nada mais é que uma curva ϕ : I → Rntal que

d

dtϕ(t) = f (t, ϕ(t)).

Essa solução, em verdade, não é única. Uma solução da equação com condição inicial (t0, x0) é uma solução da equação satisfazendo ϕ(t0) = x0.

A existência de uma condição inicial para o caso geral, assim como para o caso particular, não assegura, a priori, a unicidade de uma solução. Novamente, retornamos à questão da boa-colocação, ou boa-postura, do problema de valor inicial.

Exemplo 2.1.1. Considere o problema

       x0(t) = x2/3, x(0) = 0.

O campo de direções neste caso são as retas com coeficiente angular f (t, x) = x2/3 no ponto (t, x), como mostra a Figura 2.2

Uma inspeção direta mostra que x(t) = 0 é uma solução do problema, bem como

x(t) =                _t 3 3 , t < 0, 0, t ≥ 0.

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CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 14 -3 -2 -1 0 1 2 3 0 1 2 3 t x

Figura 2.1: Campo de direções da equação x0= x2/3, com x , 0. Veja Exemplo 2.2.3

2.2 Existência de unicidade de soluções

Seja (X, d) um espaço métrico e T : X → X uma função. Um ponto x ∈ X tal que T x = x é chamado ponto fixo de T . Dizemos que T : X → X é chamada contração se existir λ ∈ [0, 1) tal que d(T x, T y) ≤ λd(x, y), para quaisquer elementos x, y ∈ X. A constante λ é chamada

constante de contração de T . É imediato observar que uma contração é sempre uma aplicação

contínua.

Teorema 2.2.1. [Princípio de Contração de Banach]Se (X,d) é um espaço métrico completo e T : X → X é uma contração, então existe uma, e apenas uma, solução para a equação T x = x. Demonstração. Seja x0 ∈X um ponto qualquer e, para cada n ∈ N, defina xn := T xn−1. Isso

equivale a dizer que xn= Tnx0 e, em particular, (xn)n∈N é uma sequência em X. Provemos

que ela é de Cauchy. Para tanto, defina a := d(x0, x1)/(1 − λ), em que λ é a constante de

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CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 15 Sejam n ≥ m ≥ 1. Então d(xn, xm) = d(Tnx0, Tmx0) ≤ λmd(Tn−mx0, x0) ≤ _λmh_d(Tn−m_x₀_{, T}n−m−1_x₀_{) + d(T}n−m−1_x₀_{, T}n−m−2_x₀_{) + · · · + d(T x}₀_{, x}₀₎i ≤ λ m 1 − λd(x0, x1) = λ m a.

Dessa forma, tomando m suficientemente grande, podemos tornar λma tão pequeno

quanto queiramos, implicando que a sequência é de Cauchy. Da completeza de (X, d), con-cluímos a existência de um único ponto x ∈ X para o qual a sequência converge. Temos ainda que

x = lim xn+1= lim T xn= T lim xn= T x,

o que nos assegura a existência de um ponto fixo. A unicidade deste ponto decorre do seguinte fato: se x e y são pontos fixo de T , então 0 ≤ d(x, y) ≤ λd(T x, T y) ⇒ (1 − λ)d(x, y) ≤ 0 ⇒ x = y.

Definição 2.2.1. Seja Ω ⊆ R×Rnum aberto e f : Ω → Rnuma função. A variável t será chamada de primeira coordenada ou entrada de f , enquanto x será sempre referido como segunda entrada ou coordenada de f , não importando se for um número ou um vetor. Dizemos que f (t, x) é uma função:

• Lipschitz com respeito a x, ou Lipschitziana com respeito a x, se, para cada t, existe uma constante c = c(t), tal que kf (t, x) − f (t, y)k ≤ ckx − yk;

• localmente Lipschitz, ou localmente Lipschitziana, se para cada compacto K ⊆ Ω, existir uma constante cK > 0, independente de t, tal que kf (t, x) − f (t, y)k ≤ cKkx − yk;

• globalmente Lipschitz, ou globalmente Lipschitziana, com respeito a x e uniformemente con-tínua com respeito a t se existir uma constante c > 0 tal que kf (t, x) − f (t, y)k ≤ ckx − yk, para quaisquer x, y ∈ Rne todo t ∈ I.

Observe que a adjetivação uniformemente contínua implica que a constante c não é

de-pende de t.

Exemplo 2.2.1. Considere f : R2 → R2 definida por f (t, x) = etx. Então |f (t, x) − f (t, y)| = et|_{x − y|, o que mostra que f é Lipschitz com respeito à segunda variável, mas não é globalmente}

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Lipschitziana com respeito a x e uniformemente contínua com respeito a t. Não é difícil ver, porém, que em cada compacto K de R2 ela é localmente Lipschitz. No entanto, se tomarmos f (t, x) = x cos t, teremos uma função globalmente Lipschitziana com respeito a x e uniformemente contínua com respeito a t, pois |f (t, x) − f (t, y)| ≤ |x − y|.

Um problema de valor inicial, abreviado por P V I, ou um problema de Cauchy consiste de uma equação diferencial ou sistema, junto de uma condição inicial. De agora em diante, chamaremos indistintamente de PVI ou problema de Cauchy a problemas de valores iniciais, independentemente de ser um sistema ou uma única equação.

Teorema 2.2.2. [Existência Global de Soluções]Sejam I um intervalo, t0 um ponto interior

de I e f = f (t, x) uma função globalmente Lipshchitziana de x e uniformemente contínua em t. Então existe uma única solução diferenciável para o problema de Cauchy

       x0(t) = f (t, x(t)), x(t0) = x0. (2.2.1)

Demonstração. Seja δ > 0 suficientemente pequeno tal que I0 := [t0, t0+ δ] ⊆ I e sejam u, v :

I0→ Rnduas funções contínuas. Defina

T u(t) := x0+ Z t t0 f (s, u(s))ds. Então k_{T u − T vk}_∞ _{= sup} t∈I0 k_{T u(t) − T v(t)k}_∞_{= sup} t∈I0 Z t t0 (f (s, u(s)) − f (s, v(s))) ds ∞ ≤ _sup t∈I0 Z t₀+δ t0 k_{f (s, u(s)) − f (s, v(s))k}_∞_ds.

Por hipótese, existe c > 0 tal que kf (s, u(s)) − f (s, v(s))k∞≤cku − vk∞, de onde concluímos que

k_{T u − T vk}_∞ ≤_{cδku − vk}_∞_{. Tomando δ < 1/(2c), concluímos que T : C}0_{(R) → C}0_{(R) é uma} contração, o que prova a existência e unicidade de u : I0→ Rntal que u = T u. Ainda mais,

isso também prova que u é de classe C1e u0(t) = f (t, u(t)). Como u(t0) = x0, concluímos que

u é uma solução de (2.2.1) no intervalo I0.

Essa, efetivamente, não é a solução do nosso problema, pois uma tal solução deve ser definida em I, e não em subconjuntos de I. No entanto, tomemos agora um ponto t0₀ ∈_I₀_,

(18)

com t₀0 > t0. Então a função u que acabamos de construir satisfaz a EDO em (2.2.1), com

condição inicial x(t₀0) = x0₀. A prova que acabamos de fazer nos dará uma solução definida em um intervalo I₀0, que coincide com u em I0∩I00 e se estende continuamente para uma única

função em I0∪I00. Prosseguindo dessa forma, encontraremos uma função u : [t0, b) → Rn,

em que b = sup I, satisfazendo (2.2.1). Repetindo o mesmo raciocínio, mas agora tomando

t₀0 < t0, encontraremos uma única solução definida em todo conjunto I.

O Teorema 2.2.2 é um resultado global, no sentido que ele garante a existência de uma única solução para todo t para o qual f esteja definida. Este é um resultado significativo e muito forte. O preço que se paga por isto é o fato de que sua aplicabilidade se torna limitada visto que se exige muito da função f .

Podemos provar resultados mais gerais que o anterior, no sentido de aumentar a classe de problemas aos quais podemos garantir algum tipo de existência e unicidade de soluções. Claramente, ao se aumentar a aplicabilidade de um resultado, há que se pagar um preço. Se nos contentarmos com um resultado local, ao invés de um global, podemos considerar o seguinte:

Teorema 2.2.3. [Existência Local de Soluções]

Sejam R > 0 e T0 > 0 dois números fixados, BR(x0) := {x ∈ Rn; kx − x0k ≤R}, I := {t ∈ R; |t −

t0|< T0}. Suponha que f = f (t, x) seja uma função contínua em I ×BR(x0), Lipshchitziana com

res-peito a x e uniformemente contínua com resres-peito a t. Seja M := sup{kf (t, x)k; t ∈ I, x ∈ BR(x0)}.

Então existe δ > 0 tal que o problema de valor inicial (2.2.1) possui uma única solução x(t), diferenciável, definida no intervalo |t − t0|< δ.

Demonstração. A demonstração é muito parecida com a do Teorema 2.2.2. Seja T definida

como naquela demonstração. Tomemos δ < T0, η ∈ (0, δ) e definamos

X = {u : [t0−η, t0+ η] → BR(x0); com u contínua}.

Munamos X com a norma kuk∞ = sup_tku(t)k. Observe que X é um subespaço fechado do

espaço das funções contínuas. Nossa estratégia será provar que X é invariante por T , ou seja, T (X) ⊆ X, e, em seguida, que T é uma contração. Com isso provaremos a existência e unicidade desejada.

• X é invariante sob T . Tomemos u ∈ X. Então

k_{T u(t) − u}₀k_∞≤ Z t t0 sup (t,x)∈I×BR(x0) |_{f (s, u(s))|ds ≤ Mη < Mδ.}

(19)

Se impusermos que δ < R/M, concluiremos que T u(t) ∈ BR(x0) e, portanto, T u ∈ X,

para cada u ∈ X.

• T é uma contração. Basta observar que existe c > 0 tal que kf (t, x)−f (t, y)k∞≤ckx−yk∞

e, então, k_{T u − T vk}_∞ ₌ _sup |_t−t₀|_<η k_{T u(t) − T v(t)k}_∞_{= sup} |_t−t₀|_<η Z t t0 (f (s, u(s)) − f (s, v(s))) ds ∞ ≤ _{cηku − vk}_∞_.

Sabemos que η < δ, mas isso pode não ser suficiente para garantirmos que T seja uma contração. No entanto, se for necessário podemos diminuir η de modo a termos η < 1/(2c), o que nos assegura que T é uma contração.

Note que os resultados acima valem para δ < min{T0, R/M} e η < min{δ, 1/(2c)}, de modo que

η depende apenas da constante de Lipschitz de f e da distância do dado inicial até a borda

de BR(x0). Além disso, a demonstração que fizemos vale para t ∈ [t0−η, t0+ η]. Podemos

estender este resultado para I repetindo o mesmo argumento apresentado na demonstração do Teorema 2.2.2.

Corolário 2.2.1. [Teorema de Picard-Lindelöf] Se a função f : Ω → Rn é contínua e local-mente Lipschitz na segunda variável, em que Ω ⊆ R × Rn, então, para cada (t0, x0) ∈ Ω, existe

uma única solução para o problema (2.2.1). Demonstração. Deixada como exercício.

Exemplo 2.2.2. Reexaminemos o Exemplo 2.2.1. Como a condição inicial é em t = 0, devemos analisar o comportamento de f nesta região. Uma vez que perdemos a unicidade de soluções, antevemos, em razão do Teorema 2.2.3, que f não satisfaz as condições do Teorema em torno de

(t, x) = (0, 0). Isso é facilmente perceptível analisando a derivada de f , que se torna ilimitada em

qualquer vizinhança da origem, impossibilitando a função de ser Lipschitziana ali.

Teorema 2.2.4. Seja Ω ⊆ R × Rn um aberto, f : Ω → Rn contínua e localmente Lipschitz na segunda variável. Então, para cada (t0, x0) ∈ Ω existe uma única solução ϕ : (a, b) → Rn do

problema de valor inicial (2.2.1) tal que, qualquer outra solução ψ : Ix→ Rndo mesmo problema,

(20)

Demonstração. Observe que, por hipótese, t0 ∈Ix, para todo intervalo Ix, o que implica que

J := ∪xIx é um aberto conexo, pois é a reunião de conjuntos abertos possuindo (ao menos)

um ponto em comum.

Definamos ϕ : J → Rn da seguinte forma: para cada t ∈ Ix, coloquemos ϕ(t) = ψ(t).

Mostremos que ϕ está bem definida. Para tanto, sejam ψ : Ix→ Rne θ : Iy→ Rnsoluções de

(2.2.1) e I o maior intervalo aberto contendo t0 tal que ψ = θ. Mostremos que I = Ix∩Iy por

absurdo.

Suponha que não seja válida a relação. Isso significa que ou sup (I) < max{sup (Ix), sup (Iy)}

ou inf (I) > min{inf (Ix), inf (Iy)}. Seja s este ponto. Da continuidade de ψ e θ em Ix∩Iy, temos

p := lim

t→sψ(t) = limt→sθ(t).

Pelo Teorema de Picard-Lindelöf (Corolário 2.2.1), trocando-se (t0, x0) por (s, p),

concluire-mos a existência de um aberto (s − α, s + α) ⊆ Ix∩Iy em que ψ = θ. Como (s − α, s + α) \ I , ∅,

isso contraria o fato de que I seja o maior intervalo aberto contendo t0 tal que ψ = θ. A

de-monstração é concluída ao observamos que a função ϕ acima definida satisfaz o problema (2.2.1).

Nas condições do Teorema 2.2.4, o intervalo maximal de existência de uma solução x :

I → Rnda equação x0(t) = f (t, x(t)) é o maior intervalo aberto (a, b) em que existe uma solução coincidindo com x em I. Se o intervalo maximal de existência da solução é a própria reta real, dizemos que a solução églobal. Caso contrário, a solução é dita ser local.

Exemplo 2.2.3. Consideremos o problema

           x0= x2, y0= xy, (x(0), y(0)) = (x0, y0),

em que x0y0, 0. A primeira equação deste sistema é bastante simples de ser resolvida e sua solução

é

− 1

x(t) = t + c,

em que c é uma constante de integração. Utilizando a condição inicial, concluímos que c = −1/x0,

de onde obtemos

x(t) = x0

1 − x0t

(21)

Substituindo esta expressão para x na segunda equação e integrando, concluímos que y(t) = c˜

1 − x0t

,

e, da condição inicial, concluímos que ˜c = y0, resultado em y(t) = y0/(1 − x0t). Desta forma, a

solução do problema de Cauchy acima é x(t) = x0

1 − x0t

, y(t) = y0

1 − x0t

.

Suponhamos que x0 > 0. Então o intervalo maximal de existência da solução do problema é

(−∞, 1/x0), enquanto o mesmo intervalo seria (1/x0, ∞) para x0< 0.

-3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 x y (a) -6 -4 -2 2 -2 -1 1 2 3 (b)

Figura 2.2: A figura (a) mostra o retrato de fase do campo do Exemplo 2.2.3, enquanto a figura (b) ilustra algumas curvas integrais. Em sentido horário, as curvas mostram parte das órbitas passando pelos pontos (−2, 1), (−1, 2), (1, 1) e (1, −1), respectivamente.

O Exemplo 2.2.3 deixa claramente evidente a existência local de sua solução, visto que em t∗= 1/x₀ ela não é definida.

Exemplo 2.2.4. Consideremos o problema

           x0= y, y0= −x, (x(0), y(0)) = (0, 0).

(22)

CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 21 forma dx = ydt, dy = −xdt ⇒ dy dx = − x y,

cuja solução é x2+ y2 = R2, para alguma constante R. Note que esta é uma solução implícita e podemos determinar R usando a condição inicial, que nos dá R2= x2₀+ y₀2. Obviamente o que nos interessa é a solução explícita do problema, que pode ser obtida notando-se que ela descreve um círculo de raio R no plano (x, y) parametrizado por t. Assim, temos

x(t) =

q

x₀2+ y₀2cos (t + θ), y(t) =

q

x2₀+ y₀2sin (t + θ).

O ângulo θ pode ser determinado da seguinte forma: tg(t + θ) =y(t) x(t) ⇒θ = tg −₁ y0 x0 ! , o que nos dá x(t) = q x2₀+ y₀2cos t + tg−1 y0 x0 !! , y(t) = q x2₀+ y₀2sin t + tg−1 y0 x0 !! .

Exemplo 2.2.5. Consideremos agora o problema

                 x0= x, y0= 2y, z0= 2z ln (z), x(0) = x0, y(0) = y0, z(0) = z0> 0.

A solução das duas primeiras EDO’s, juntamente com as respectivas condições iniciais, nos dão x(t) = x0ete y(t) = y0e2t, respectivamente. Para a última EDO, note que

dz dt = 2z ln (z) ⇒ dz z ln (z)= 2dt ⇒ d ln(z) ln (z) = 2dt ⇒ ln | ln (z)| = 2t + c.

Usando a condição inicial, concluímos que z(t) = ee2tln z0_.

Um estudo atento dos exemplos acima mostra que eles são da forma

(23)

com x ∈ Rn e para alguma f : Ω → Rn, em que Ω é um aberto de Rn. Uma EDO do tipo (2.2.2) é chamadaautônoma.

Definição 2.2.2. Um sistema de equações diferenciais da forma (2.2.2), com f : Ω → Rncontínua e Ω um aberto de Rn, é chamado autônomo e o domínio Ω da função f é chamado espaço de fase da equação. Se ϕ : I → Rn é uma solução de (2.2.2), então o conjunto ϕ(I) = {ϕ(t), t ∈ I} ⊆ Ω é chamado órbita da equação. No caso particular em que ϕ(t0) = x0, costumamos denotar a

correspondente órbita por Ox0 e nos referimos a ela como órbita passando por x0. O retrato de fase

de um sistema de EDO’s autônomo é obtido representando-se as órbitas em Ω indicando a direção do movimento descrito pelas mesmas.

2.3 Exercícios

Exercício 2.3.1. Prove o Corolário 2.2.1.

Exercício 2.3.2. Resolva o problema de valor inicial

           x0(t) = x, y0(t) = 2y, x(0) = x0, y(0) = y0.

Desenhe o retrato de fase do sistema e encontre a órbita passando pelos pontos (x0, y0) = (0, 0) e

(x0, y0) = (1, 0).

                 x0(s) = t, t0(s) = 0, u0(s) = −1, x(0) = x0, t(0) = t0, u(0) = u0.

Encontre a órbita passando por (x0, t0, u0) = (0, 0, 0).

                 x0(t) = 1, y0(t) = 0, z0(t) = −2y, x(0) = x0, y(0) = y0, z(0) = z0.

(24)

                 x0(s) = e2x, t0(s) = 0, u0(s) = e2xu, x(0) = x0, t(0) = t0, u(0) = u0.

                 x0(s) = e−2x, t0(s) = 0, u0(s) = e−2xu, x(0) = x0, t(0) = t0, u(0) = u0.

                 x0(s) = 0, t0(s) = 2t, u0(s) = −u, x(0) = x0, t(0) = t0, u(0) = u0.

Exercício 2.3.8. Seja µ , 0 uma constante qualquer. Resolva o problema de valor inicial e deter-mine o intervalo maximal de existência de soluções.

                   x0(s) = x, t0(s) = 3t, u0(s) = −2 µu, x(0) = x0, t(0) = t0, u(0) = u0.

Exercício 2.3.9. Mostre que um problema de valor inicial

       x0= f (x), x(0) = x0,

possui solução única se, e somente se, existe uma única órbita passando pelo ponto x0.

Exercício 2.3.10. Prove que se f : Ω → Rn, em que Ω ⊆ R × Rné uma função de classe C1, então f é localmente Lipschitziana. A recíproca é verdadeira?

(25)

Exercício 2.3.11. Suponha que a função f em (2.2.1) satisfaça as condições do Exercício 2.3.10. Prove que existe um aberto contendo t0tal que o problema possua solução única.

Exercício 2.3.12. Seja I um aberto, C0(I) o conjunto das funções contínuas e Lλ o conjunto das

funções Lipschitz definidas em I com mesma constante de Lipschtiz λ. Prove que Y é um subespaço métrico completo de C0(I) quando ambos são munidos da norma kuk∞= sup_t∈I|u(t)|.

(26)

3 Grupos de transformações

Neste capítulo introduziremos parte dos conceitos mais fundamentais para os nossos propósitos, a saber, grupos de transformações a 1-parâmetro, ou uniparamétricos.

3.1 Grupos

Um dos conceitos mais fundamentais e transversais da matemática é dado a seguir: Definição 3.1.1. Seja G um conjunto não vazio e φ : G × G → G uma função. O par (G, φ) é chamado grupo se:

a) para quaisquer elementos a, b, c ∈ G, temos φ(a, φ(b, c)) = φ(φ(a, b), c); b) existe um elemento e ∈ G tal que φ(a, e) = φ(e, a) = a, para todo a ∈ G;

c) para todo elemento a ∈ G, existe um único elemento b ∈ G tal que φ(a, b) = φ(b, a) = e. Se, além das propriedades acima, for satisfeita a condição φ(a, b) = φ(b, a), para todo par de ele-mentos a, b ∈ G, dizemos que (G, φ) é um grupo abeliano, ou comutativo.

A primeira condição nos diz que φ é uma operação associativa em G, enquanto a segunda exige a existência de um elemento neutro e terceira diz que todo elemento possui um inverso no grupo com respeito à operação φ.

O elemento e satisfazendo a condição 2 é chamado elemento neutro do grupo, enquanto o elemento b satisfazendo a condição 3 é chamado elemento inverso de a. Tanto o elemento neutro quanto o inverso de um dado elemento são únicos, veja os exercícios 3.4.1 e 3.4.2.

A função φ na Definição 3.1.1 é chamada de lei de composição do grupo. Quando não houver perigo de confusão, identificaremos o grupo (G, φ) com G.

Definição 3.1.2. Se (G, φ) é um grupo e G0⊆_{G é tal que (G}0_{, φ|}_G0_×_G0)é um grupo, dizemos então

que (G0, φ) é um subgrupo de (G, φ).

(27)

CAPÍTULO 3. GRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES 26

Observe que uma condição necessária para que um subconjunto G0 seja um subgrupo de um grupo G é que o elemento neutro de G pertença a G0. A Definição 3.1.2 pode ser ainda reformulada nos seguintes termos: (G0, φ) é um subgrupo de (G, φ) se G for fechado com

respeito a φ, no sentido de que se a, b ∈ G0, então φ(a, b) ∈ G0.

Embora a definição 3.1.1 seja abstrata, ela possui exemplos e aplicações muito concretas. Exemplo 3.1.1. Para cada t ∈ R, a função Tt : R2 → R2, dada por Tt(x, y) = (etx, e−ty). Defina

G := {Tt, t ∈ R}. Claramente G é um conjunto não vazio e, além disso, T0= Id, em que Id(x, y) =

(x, y). Note que G é um conjunto com infinitos membros, cada um deles sendo uma função de R2

em R2. Dessa forma, faz sentido considerarmos a composição de seus membros. Se t, s ∈ R, então Tt◦Ts(x, y) = Tt(esx, e−sy) = (et+sx, e−(t+s)y) = Tt+s(x, y), o que mostra que a composição de dois

elementos quaisquer de G é ainda um elemento de G. Além disso, é fácil ver que Tt+s= Ts+t e, em

particular, T_t−1= T−t, o que mostra que (G, ◦), em que ◦ denota a composição usual de funções, é

um grupo abeliano.

Grupos abelianos com lei de composição induzidas pela soma da reta real são chamados também de aditivos.

Definição 3.1.3. Dados dois grupos (G, φ) e (H, ψ), dizemos que uma função f : G → H é um homomorfismo de grupos se ela preservar a estrutura de grupos, ou seja, f (φ(a, b)) = ψ(f (a), f (b)), para quaisquer a, b ∈ G. Dizemos que f é um isomorfismo de grupos se f for uma bijeção.

Se f : G → H é um homomorfismo (isomorfismo) entre grupos, não raro diremos que f é um homomorfismo (isomorfismo) de G em H.

Exemplo 3.1.2. Seja (G, ◦) o grupo dado no Exemplo 3.1.1 e seja f : R → G definida por f (t) = Tt.

Então f é um isomorfismo entre os grupos (R, +) e (G, ◦). Observe que enquanto os elementos do primeiro grupo são números, os elementos do segundo são funções de R2em R2.

3.2 Grupos de transformações uniparamétricos canônicos

Nesta seção consideraremos apenas grupos definidos em (R, +) ou isomorfos a ele. Parte considerável do que exporemos aqui será feita em (R, +), que é o grupo que efetivamente nos interessa.

Definição 3.2.1. Dados dois abertos U e V de Rn, dizemos que f : U → V é uma transformação de U em V se f for uma bijeção.

(28)

Observe que o fato de f ser bijetiva implica na existência de sua inversa e, consequente-mente, sua inversa é uma transformação de V em U .

Relembremos que uma função f de classe Ck é um difeomorfismo (de classe Ck) se f possui uma inversa de classe Ck.

Definição 3.2.2. Seja {ϕt: Rn→ Rn; t ∈ R} =: G uma família de transformações, com ϕ0 = Id,

e ◦ a composição de funções, tal que ϕt◦ϕs = ϕt+s. Então o grupo (G, ◦) é chamado grupo de

transformações a 1-parâmetro, ou uniparamétrico, canônico.

Fica a cargo do leitor provar que todo grupo de transformações a 1-parâmetro canônico é isomorfo a (R, +).

Note que o Exemplo 3.1.1 nada mais é que um grupo de transformações uniparamétrico. Sejam (x0, y0) ∈ R2, com x0, 0. Definamos

x(t) = x0

1 − tx0

, y(t) = y0

1 − tx0

. (3.2.1)

As expressões acima não estão definidas para todos os valores de t. No entanto, fixado x0

podemos facilmente encontrar um intervalo aberto I ⊆ R tal que, para todo t ∈ I, tenhamos (3.2.1) bem definida. Mais precisamente, para cada par (x, y) =: z ∈ R2, podemos encontrar um intervalo Iztal que se

Tt(x, y) = x 1 − tx, y 1 − tx

seja uma função bem definida. Ainda mais, Tt é um difeomorfismo.

Se t e s são elementos de Iztais que t + s ainda esteja em Iz, então fica bem definida

Tt+s(x, y) = x 1 − (t + s)x, y 1 − (t + s)x ! .

Ainda mais, um simples cálculo mostra que Tt◦Ts = Tt+s = Ts ◦Tt, ainda que para todo

t ∈ R, Ttseja sequer bem definida. Isso sugere que a família {Tt, t ∈ Iz}se comporta como um

grupo, ainda que {Tt, t ∈ R} não o seja. Note que variando o intervalo Iz, o que é o mesmo,

alterando (x0, y0), mudamos a sub-família de {Tt, t ∈ R} que se comporta como um grupo,

mas não alteramos o fato de existir membros quelocalmente se comportam como se fossem

membros de um grupo de transformações.

Observação 3.2.1. Situações como a acima, referente à composição dos elementos {Tt, t ∈ R}, são

ditas formais. De um modo geral, o adjetivo formal é empregado quando operamos algum ente matemático, no caso específico, composição de funções, sem nos preocuparmos efetivamente acerca

(29)

da validade ou não do procedimento. Procedemos como se o que estamos fazendo fosse permitido e bem definido.

A Observação 3.2.1 é de fundamental importância e é imprescindível no que há por vir. Para ilustrá-la, considere o grupo (R, +). Se tomarmos I = (−a, a), com a > 0, então (I, +) não é um subgrupo de (R, +), pois a soma repetida vezes de um elemento não nulo de I invariavelmente resultará em um elemento não pertencente a I. No entanto, (I, +) pode ser considerado um subgrupo formal de (R, +), uma vez que elementos suficientemente pró-ximos de 0, ainda que somados um número pequeno de vezes ainda estará em I. Assim, emboraefetivamente (I, +) não seja um subgrupo, ele formalmente possui uma estrutura de

grupo.

Definição 3.2.3. Suponha que para cada x ∈ Rn exista um intervalo aberto Ix e uma família

{_ϕ_t _{: R}n _{→ R}n_{, t ∈ I}_x}_{=: G}_x_{, tal que (G}_x_{, ◦) seja formalmente (no sentido da Observação 3.2.1)}

isomorfo a um subgrupo formal de (R, +). Então (Gx, ◦) é chamado grupo local de transformações

a 1-parâmetro, ou grupo local uniparamétrico, canônico.

Decorre da Definição 3.2.3 que todo (sub)grupo formal de (R, +) é um grupo local, visto que a função identidade nada mais é que um isomorfismo formal de qualquer (sub)grupo em si mesmo.

Uma vez que os grupos de transformação que mais nos interessam são os locais, desig-naremos tais grupos, quando necessário, apenas por G = {ϕt}, deixando sem especificação

o domínio de t, visto que este agora passa a ser variável. Essa flexibilização da notação não deve causar confusão ao leitor, uma vez que a esta altura já deve estar claro que o domínio do sub-índice t num grupo local não é mais fixado.

Uma observação bastante óbvia, mas relevante: todo grupo de transformações é local, mas nem todo grupo local é, de fato, um grupo de transformações. Isso fica evidente no caso da transformação dada por (3.2.1) discutida logo acima.

Exemplo 3.2.1. Seja t ∈ R e defina ϕt(x, y) = (x cos t + y sin t, y cos t − x sin t). Então ϕt é uma

função de R2 em si mesmo, que rotaciona o ponto (x, y) por um ângulo t. Claramente temos uma família de rotações {ϕt, t ∈ R} =: G e a função σ : R → G, definida por σ (t) = ϕt é um

homo-morfismo do grupo (R, +) em (G, ◦). A função σ , no entanto, não é um isohomo-morfismo, visto não ser injetiva. Basta notar que T0 = σ (0) = σ (2π) = T2π. No entanto, se tomarmos I = (−π, π), a

restrição de σ a I será injetiva e se comportará como um isomorfismo de grupos para t suficiente-mente próximo de 0. Dessa forma, podemos considerar σ como um isomorfismo formal de grupos e, então, (G, ◦) é um grupo local uniparamétrico canônico.

(30)

Definição 3.2.4. Um grupo (local) de transformações uniparamétrico canônico é chamado grupo de difeomorfismos (local), ou fluxo (local), canônico se cada transformação for um difeomorfismo e a função t 7→ ϕt(x), para cada x, for diferenciável em respeito a t.

Neste texto apenas consideraremos grupos de difeomorfismos. O grupo local dado no Exemplo 3.2.1 é um típico fluxo local. De fato, vários exemplos de fluxos já foram dados ao longo deste texto. O leitor pode revisitar os exemplos 2.2.3 a 2.2.5, bem como os exercí-cios 2.3.1 a 2.3.8 e checar que todas as soluções apresentadas fornecem exemplos de fluxos. Ainda mais, o leitor já deve ter observado que a solução de um problema depende da condi-ção inicial e, variando-se a condicondi-ção inicial, tem-se outra solucondi-ção. Para enfatizar a relevância da condição inicial para a solução de um problema de valor inicial, denotaremos,por hora, a

solução do problema autônomo

       x0(t) = f (x(t)), x(0) = x0 (3.2.2) por xx0(t).

Teorema 3.2.1. Seja f : Rn → Rn uma função contínua, tal que cada problema de valor ini-cial (3.2.2) possua uma única solução x = xx0(t) definida para todo t ∈ R. Então a família de

transformações {ϕt, t ∈ R}, em que ϕt(x0) := xx0(t) é um fluxo canônico.

Demonstração. Seja s ∈ R e considere a curva γ : R → Rndefinida por γ(t) = xx0(t + s). Então

γ(0) = xx0(s) e

d

dtγ(t) = x

0

x0(t + s) = f (xx0(t + s)) = f (γ(t)),

o que mostra que γ é uma solução da equação x0 = f (x). Por hipótese, cada problema de valor inicial possui uma única solução e, portanto, temos que γ(t) = xγ(0)(t). Uma vez que

γ(0) = xx0(s), temos que xγ(0)(t) = xx_x0(s)(t). Dessa forma,

xx0(t + s) = γ(t) = xγ(0)(t) = xx_x0(s)(t) ⇒ xx0(t + s) = xx_x0(s)(t), ∀ t, s ∈ R.

Como ϕt(x0) = xx0(t), temos ϕt+s(x0) = xx0(t + s) e

ϕt+s(x0) = ϕt(ϕs(x0)) = (ϕt◦ϕs)(x0).

Uma vez que a relação acima vale para todo x0 ∈ Rn, concluímos que ϕt+s = ϕt◦ϕs. Além

disso, em t = 0, temos ϕ0(x0) = xx0(0) = x0, o que implica que ϕ0 = Id e isso conclui a

(31)

Definição 3.2.5. Seja {ϕt}um fluxo local canônico. O vetor

v(x0) := d dt _t=0 ϕt(x0) (3.2.3)

é chamado vetor velocidade de ϕt no ponto x0.

Dado x0 ∈ Rn e {ϕt, t ∈ Ix0}um fluxo local canônico, chamamos de caminho com origem

x0 ∈ Rn induzido pelo fluxo {ϕt, t ∈ Ix0} à função ϕ : Ix0 → R

n_{, definida por ϕ(t) := ϕ} t(x0).

Dado qualquer ponto x ∈ ϕ(Ix0), dizemos que ϕ é um caminho através de x.

Teorema 3.2.2. Seja {ϕt, t ∈ R} um fluxo canônico em Rn e ϕ : Rn → Rn definida por ϕ(t) =

ϕt(x0). Então a função ϕ assim definida é solução do problema de Cauchy

           x0(t) = v(x), x(0) = x0, (3.2.4) em que v = v(x) é definido em (3.2.3).

Demonstração. Note que a função ϕ nada mais é do que a função γ definida na demonstração

do Teorema 3.2.1, a qual pode ser reescrita como γ(t) = ϕt(x0). Assim, temos que γ(0) =

ϕ0(x0) = x0 e d dtγ(t) = d ds _s=0 γ(t + s) = v(γ(t)) = v(γ).

É provável que o leitor se indague sobre a possibilidade dos teoremas 3.2.1 e 3.2.2 pos-suam versões locais. Em verdade, isso é quase evidente à partir das demonstrações feitas. Veja os exercícios 3.4.8 e 3.4.9.

3.3 O Teorema de Lie

Consideremos agora um grupo arbitrário (R, φ) e uma família local de transformações

G = {ϕt : Rn → Rn}. Podemos dar a esta família uma estrutura de grupo isomorfo a (R, φ),

ou a algum subgrupo deste grupo, se a composição de funções satisfizer ϕt◦ϕs := ϕφ(t,s).

(32)

Exemplo 3.3.1. Para cada λ ∈ R∗+, defina Sλ : R2 → R2 como Sλ(x, y) = (λx, y/λ), em que R∗+

denota o conjunto dos números reais positivos. Defina H = {Sλ, λ ∈ R∗+}. Então (H, ◦), em que ◦ é

a composição usual de funções, é um grupo, com elemento identidade S1e inverso S_λ−1= Sλ−1.

Os grupos de transformações dados nos exemplos 3.1.1 e 3.3.1 são abelianos, como se pode checar facilmente. Entretanto, os teoremas 3.2.1 e 3.2.2 são facilmente aplicáveis ao grupo do Exemplo 3.1.1, mas não ao do Exemplo 3.3.1. A questão de fundo aqui envolvida é: os resultados que estabelecemos até agora seriam aplicáveis a grupos não-necessariamente aditivos, tal como aquele dado no Exemplo 3.3.1? Este é o ponto que lidaremos agora. Lema 3.3.1. Seja (G, φ) um grupo local arbitrário, com G ⊆ R e elemento neutro e. Se φ for de classe C1, então existem intervalos I, J ⊆ R tais que e ∈ I e um difeomorfismo τ : I → J, dado por

τ(t) = Z t e dz w(z), em que w(t) = d ds _s=e φ(s, t).

Demonstração. Seja w definida como no enunciado do Teorema e h(s) := φ(s, e) = s. Então h(s) = s e w(e) = h0(e) = 1. Isso é suficiente para garantir a existência de > 0 tal que s ∈ (e − , e + ) implique que w(s) > 0. Definamos I := (e − , e + ). Claramente e ∈ I. Seja τ como no enunciado do teorema. Então essa função é bem definida para todo t ∈ I, sendo de classe

C1 neste intervalo. Além disso, τ0(t) > 0, o que mostra que τ é um difeomorfismo crescente de I sobre J := τ(e − , e + ).

Teorema 3.3.1. Seja (R, φ) um grupo local, {ϕt, t ∈ I} = G uma família tal que (G, ◦) seja

for-malmente isomorfo a (R, φ), em que ϕ seja de classe C1. Então existe um difeomorfismo local σ de uma vizinhança do elemento neutro e de G tal que (G, ◦) seja isomorfo a um grupo local de transformações canônico.

Demonstração. Dados t, s ∈ I, sejam r = φ(s, t), x := ϕt(x), ϕs(x) = ϕφ(s,t)(x) = ϕr(x). Notemos

que d dsϕs(x) = d dsϕr(x) = d drϕr(x) dr ds. Então, d ds _s=e ϕs(x) = dr ds _s=e d dr _r=t ϕr(x) = d ds _s=e φ(s, t)d dtϕt(x) = w(t) d dtϕt(x),

em que w é a função dada no Lema 3.3.1. Sejam I e J dados pelo Lema 3.3.1 e definamos

v(x) := d dt _t=e ϕt(x).

(33)

CAPÍTULO 3. GRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES 32 Então v(ϕt(x)) = v(x) = d ds _s=e ϕs(x) = w(t) d dtϕt(x). (3.3.1)

Como I e J são difeomorfos, para cada t ∈ I existe um único τ ∈ J que é a imagem de t pelo difeomorfismo relacionando I e J. Dessa forma, o conjunto {ϕt, t ∈ I} é transformado

no conjunto {ψτ, τ ∈ J}, em que ψτ= ϕt. Consideremos, então, o novo conjunto {ψτ, τ ∈ J}.

Como

w(t) d dt =

d dτ,

podemos reescrever a equação 3.3.1 como

d

dτψτ = v(ψτ(x)).

Como ψτ é um difeomorfismo, segue que v acima definida é Lipschitz. Assim,

esco-lhendo convenientemente um dado inicial, satisfazemos as condições do Teorema 2.2.3 e, portanto, estamos nas condições do Teorema 3.2.1, de onde concluímos que {ψτ, τ ∈ J} é um

fluxo canônico. Note ainda que

ϕφ(t,t0₎= ϕ_t◦ϕ_t0 = ψ_τ◦ψ_τ0 = ψ_τ+τ0. (3.3.2)

Para demonstrar que que os fluxos {ϕt} e {ψτ} são isomorfos, seja σ : I → J o

difeomor-fismo entre I e J. Por construção, temos que ψσ (φ(t,t0₎₎ = ϕ_φ(t,t0₎. Desta última igualdade

e da equação (3.3.2), concluímos que σ (φ(t, t0)) = τ + τ0, o que implica que σ é um homo-morfismo de grupos. Por construção, ela é uma bijeção (diferenciável), o que implica que é necessariamente um isomorfismo de grupos.

Exemplo 3.3.2. Considere ϕt(x) = (1 + t)x. Se definirmos I = (−1, ∞) e φ(t, s) = t + s + st,

concluiremos que ϕs ◦ϕt(x) = ϕφ(s,t)x. É fácil ver que φ(0, s) = s e que φ é uma operação

comutativa e não-aditiva. Fica como exercício mostrar que {ϕt} é um fluxo. Do Lema 3.3.1,

encontramos w(s) = 1 + s e, portanto, τ(t) = ln (1 + t). Como φ(t, s) = (1 + t)(1 + s), temos

ln (φ(t, s)) = ln (1 + t) + ln (1 + s) = τ(t) + τ(s).

Exemplo 3.3.3. Consideremos agora a transformação ϕt(x, y) = ((1 + t)x, (1 + t)2y), com t > −1.

Então ϕt◦ϕs(x, t) = ((1 + t)(1 + s)x, (1 + t)2(1 + s)2y). Mostremos que {ϕt} é um grupo local de

(34)

em que φ é a lei de composição do Exemplo 3.3.2. Logo, temos

ϕt◦ϕs(x, t) = ((1 + φ(t, s))x, (1 + φ(t, s))2y) = ϕφ(t,s)(x, y).

Pelo exemplo anterior, temos que para cada t, t0> 1, existem únicos t, τ0 ∈ R tais que 1 + t = eτ e

1 + t0= eτ0. Definamos, então, ψτ = ϕeτ−₁. Então ψ_τ◦ψ_τ0 = ϕ_eτ−₁◦ϕ_eτ0−1 e

ψτ◦ψτ0(x, y) = ϕ_eτ−₁◦ϕ_eτ0−1(x, y) = ϕφ(eτ−1,eτ0−1)= (((eτ+τ

0

−_{1) + 1)x, ((e}(τ+τ0)−_{1) + 1)}2_{y) =}

= (eτ+τ0x, e2(τ+τ0)y) = ψτ+τ0(x, y).

Compare este resultado com o Exercício 2.3.2.

Em virtude do Teorema 3.3.1, de agora em diante não mais utilizaremos o adjetivo canô-nico, visto que qualquer grupo que utilizaremos daqui em diante terá lei de composição

suficientemente diferenciável e, portanto, será isomorfo a um grupo canônico.

3.4 Exercícios

Exercício 3.4.1. Prove que o elemento neutro de um grupo é sempre único.

Exercício 3.4.2. Prove que se (G, φ) é um grupo, então o elemento inverso de a ∈ G é único.

Exercício 3.4.3. Prove que se (G, φ) e (H, ψ) são grupos e f : G → H é um homomorfismo, então o elemento neutro de G é levado no elemento neutro de H por f .

Exercício 3.4.4. Prove que se (G, φ) e (H, ψ) são grupos, então f : G → H é um isomorfismo se, e somente se, sua inversa for um isomorfismo de H em G.

Exercício 3.4.5. Prove que o grupo de transformações da Definição 3.2.2 é isomorfo a (R, +).

Exercício 3.4.6. Prove que ser isomorfo define uma relação de equivalência entre grupos.

Exercício 3.4.7. Seja I = {x ∈ R; |x| < 1} e

φ(x, y) = 2xy − x − y xy − 1 . 1. Mostre que se x, y ∈ I, então φ(x, y) ∈ I.

(35)

2. Mostre que φ é uma função associativa e que existe um elemento e ∈ I tal que φ(x, e) = φ(e, x) = 0.

3. Prove que (I, φ) não é um grupo no sentido da Definição 3.1.1.

4. Prove que existe um subintervalo I0 de I e uma função i : I0→I tal que φ(x, i(x)) = e, para

todo x ∈ I0.

5. Prove que (I, φ) é um grupo local de transformações canônico.

Exercício 3.4.8. Prove que se f : Rn → Rn for uma função contínua, tal que cada problema de valor inicial (3.2.2) possua uma única solução x = xx0(t) definida para todo t ∈ Ix0, em que Ix0 é

um intervalo aberto, então a família de transformações {ϕt, t ∈ Ix0}, em que ϕt(x0) := xx0(t) é um

fluxo local canônico.

Exercício 3.4.9. Seja {ϕt, t ∈ I} um fluxo local em Rn e ϕ : I → Rn definida por ϕ(t) = ϕt(x0).

Então a função ϕ assim definida é solução do problema de Cauchy (3.2.4), em que v = v(x) é definido em (3.2.3).

Exercício 3.4.10. Prove que T : R3 → R3, com t > −1, dada por T(x, t, u) = ((1 + )x, (1 +

3)t, (1 + )−2u), define um grupo uniparamétrico de transformações. Transforme-o em um grupo aditivo. Compare com o Exemplo 3.3.2.

Exercício 3.4.11. Prove que o grupo de transformações dado pelo fluxo ϕt(x, y) = ((1 + t)x, (1 +

t)2y), t > −1, é isomorfo ao do grupo de transformações T(x, y) = (ex, e2y), > 0.

Exercício 3.4.12. Transforme o grupo de transformações do Exemplo 3.3.1 em um grupo canô-nico.

Exercício 3.4.13. Para suficientemente próximo de 0, considere a transformação ϕ(x, y) =

√

1 − 2_{x − y, x +}

√

1 − 2_y_{. Prove que essa transformação define um grupo de transformação}

local a 1-parâmetro próximo de 0. Encontre a lei de composição deste grupo e transforme-o em canônico.

(36)

4 Aspectos geométricos

Neste capítulo apresentamos uma visão mais geométrica acerca de sistemas de equações diferenciais ordinárias. No que se segue, M e N são conjuntos abertos, conexos e não-vazios de Rm e Rn, respectivamente. O conjunto de todas as funções de classe C∞ de M em N será denotado por C∞(M, N ), enquanto C∞(M) denota o conjunto das funções infinitamente diferenciáveis definidas em M e tomando valores em R. Igual definição vale para N no lugar de M.

4.1 Vetores tangentes

Começamos recordando uma definição algébrica.

Definição 4.1.1. Um anel é uma tripla (A, φ, ψ), em que A é um conjunto não-vazio e φ, ψ : A × A → A são operações satisfazendo.

a) (A, φ) é um grupo comutativo.

b) ψ(ψ(x, y), z) = ψ(x, ψ(y, z)), ou seja, A é associativo com respeito a ψ. c) ψ(x, φ(y, z)) = φ(ψ(x, y), ψ(x, z)) e ψ(φ(x, y), z) = φ(ψ(x, z), ψ(y, z)).

Um exemplo bastante simples de anel são os números reais munidos da soma e multipli-cação usuais de números.

Exemplo 4.1.1. Para cada x ∈ M, defina (λf +µg)(x) = λf (x)+µg(x) e (f ·g)(x) := f (x)g(x), para quaisquer escalares λ, µ ∈ R e quaisquer f , g ∈ C∞(M). Então (C∞(M), +, ·) é um anel, chamado

anel de funções definidas em M.

Embora no Exemplo 4.1.1 tenhamos escrito f · g para denotar o produto de f e g, em geral escrevemos simplesmente f g.

Definição 4.1.2. Seja ψ ∈ C∞(M, N ) e f ∈ C∞(N ). O pullback de f sobre ψ, denotado por ψ∗f , é definido por ψ∗f := f ◦ ψ.