Análise e Síntese de Algoritmos. Caminhos Mais Curtos para Todos os Pares CLRS, Cap. 25

Análise e Síntese de Algoritmos

Contexto

• Algoritmos Elementares em Grafos

(

CLR, Cap. 22

)

– BFS & DFS

– Ordenação Topológica & SCCs

• Árvores Abrangentes de Menor Custo (

CLR, Cap. 23

)

– Algoritmos de Borůvka, Kruskal e Prim

• Caminhos mais curtos com fonte única (

CLR, Cap. 24

)

– Algoritmos de Dijkstra e Bellman-Ford

• Caminhos mais curtos entre todos os pares (

CLR, Cap. 25

)

– Solução Recursiva e Algoritmo de Floyd-Warshall

Resumo

• Caminhos Mais Curtos entre Todos os Pares (APSPs)

– Definições

– Soluções recursivas

• Algoritmo de Floyd-Warshall – Fecho Transitivo

Caminhos Mais Curtos entre Todos

os Pares (APSPs) — Observações

• Encontrar caminhos mais curtos entre todos os pares

de vértices

• Se

pesos não negativos

– Utilizar algoritmo de Dijkstra, assumindo cada vértice como fonte: O(V E lg V) (que é O(V3 _{lg V) se grafo é denso)}

• Se

pesos negativos

– Utilizar algoritmo de Bellman-Ford, assumindo cada vértice como fonte: O(V2_{E) (que é O(V}4_{) se grafo é denso)}

APSPs — Definições

• Representação: utilização de

matriz de adjacências

• Pesos dos arcos: matriz

(n x n) W = (w

_ij

)

• Representação dos caminhos mais curtos:

matriz (n x n)

D = (d

_ij

)

– d_ij é o peso do caminho mais curto entre os vértices i e j • d_ij = δ(v_i,v_j)

( )

( )

    ∉ ≠ ∞ ∈ ≠ = = E j ,i e j i se E j ,i e j i se j) (i, arco do peso j i se 0 w_ij

APSPs — Definições

• Representação de caminhos mais curtos

– Matriz de predecessores ∏ = (π_ij)

– π_ij:

• NIL: se i = j ou não existe caminho de i para j

• Caso contrário: predecessor de j num caminho mais curto de i para j

– Sub-grafo de predecessores de G para i, G_{π, i} = (V_{π, i}, E_{π, i})

• Sub-grafo induzido pela linha i de ∏

– Exemplo

{

j V : NIL

}

{}

i V_πi, = ∈ π_ij ≠ ∪

( )

{

,j : j V {i}

}

E_πi, = π_ij ∈ _πi, −

APSPs — Solução Recursiva

• Sub-caminhos de caminhos mais curtos são também

caminhos mais curtos

• Peso mínimo em caminho de vértice i para vértice j

que contém não mais do que

m arcos

:

– Com m = 0, existe caminho de i para j se e só se i = j

– Para m ≥ 1, ) m ( ij d ( )

{

( )

{

( )

}

}

{

( )

}

kj 1 m ik n k 1 kj 1 m ik n k 1 1 m ij m

ij min d ,min d w min d w

d = + = − + ≤ ≤ − ≤ ≤ − ( )    ≠ ∞ = = j i se j i se 0 d 0 ij w = 0

APSPs — Solução Recursiva

• Calcular sequência de matrizes D

(1)

_{, …, D}

(n-1)

_{, onde}

– D(n-1) _{contém os pesos dos caminhos mais curtos} – D(1) _{= W}

• Complexidade:

Θ(n

3

_{) p/ cada matriz; Total:}

Θ(n

4

₎

Extend-Shortest-Paths(D,W) n = rows[W] D’: matriz (n x n) for i = 1 to n for j = 1 to n for k = 1 to n return D’

(

ik kj

)

' ij ' ij min d ,d w d = + ∞ = ' ij d

APSPs — Solução Recursiva

• Genericamente: calcular D

(i)

_{em função de D}

(i-1)

_{(e de W)}

• Complexidade para cálculo de D

(n)

_:

Θ(n

4

₎

• OBS: é possível melhorar complexidade reduzindo

número de matrizes calculadas:

Θ(n

3

_{lg n)}

APSPs — Algoritmo de Floyd-Warshall

• Caracterização de um caminho mais curto

– Vértices intermédios de caminho p = 〈v₁,v₂,…,v_k〉, {v₂,…,v_k-1}

• Considerar todos os caminhos entre i e j com

vértices intermédios retirados do conjunto {1,

…,k} e

seja p um caminho mais curto (

p é simples

)

– Se k não é vértice intermédio de p, então todos os vértices intermédios de p estão em {1,…,k-1}

– Se k é vértice intermédio de p, então existem caminhos p₁ e p₂, respectivamente de i para k e de k para j com vértices intermédios em {1,…,k}

• k não é vértice intermédio de p₁ e de p₂

APSPs — Algoritmo de Floyd-Warshall

• Formulação

i j k p₁ p2 Vértices entre 1 e k-1 ( ) ( ) ( ) ( )

(

)

   ≥ + = = _{− − −} 1 k se d d , d min 0 k se w d _{k 1} kj 1 k ik 1 k ij ij k ij Vértices entre 1 e k

APSPs — Algoritmo de Floyd-Warshall

Floyd-Warshall(W) n = rows[W] D(0) _{= W} for k = 1 to n for i = 1 to n for j = 1 to n return D(n) ( )

(

( ) ( ) (k 1)

)

kj 1 k ik 1 k ij k ij min d ,d d d = − − + −

• Complexidade:

Θ(n

3

₎

• Exemplo

Fecho Transitivo de um Grafo Dirigido

• Dado um grafo G = (V, E) dirigido, o

fecho transitivo

é definido por G* = (V, E*) tal que,

E*={(i, j): existe caminho de i para j em G}

• Algoritmo:

– Atribuir a cada arco peso 1 e utilizar algoritmo de Floyd-Warshall

• Se d_ij ≠ ∞, então (i, j) ∈ E* • Complexidade: Θ(n3₎

Fecho Transitivo de um Grafo Dirigido

• Outro algoritmo:

– Substituir operações min e + por ∨ e ∧, respectivamente – Se existe caminho de i para j com todos os vértices

intermédios em {1,2,…,k}, – Caso contrário,

– Formulação:

– Complexidade: Θ(n3_{) (mas constantes menores)} – Exemplo ( ) ₁ t k ij = ( ) ₀ t k ij = ( ) _t( )

(

_t( ) _t( )

)

_{sek 1} t k 1 kj 1 k ik 1 k ij k ij = − ∨ − ∧ − ≥ ( )

( )

( )

   ∈ = ∉ ≠ = E j ,i ou j i se 1 E j ,i e j i se 0 t 0 ij

Fecho Transitivo de um Grafo Dirigido

Transitive-Closure(G) n = |V[G]| for i = 1 to n for j = 1 to n if i = j or (i, j) ∈ E else for k = 1 to n for i = 1 to n for j = 1 to n return T(n) ( ) ( )

(

( ) (k 1)

)

kj 1 k ik 1 k ij k ij t t t t = − ∨ − ∧ − ( ) ₁ t 0 ij = ( ) ₀ t 0 ij =

APSPs — Algoritmo de Johnson

• Utiliza algoritmos de Dijkstra e de Bellman-Ford

• Baseado em

re-pesagem dos arcos

– Se arcos com pesos não negativos, utilizar Dijkstra para cada vértice

– Caso contrário, calcular novo conjunto de pesos não negativos w’, tal que

• Um caminho mais curto de u para v com função w é também caminho mais curto com função w’

APSPs — Algoritmo de Johnson

• Dado G = (V, E), com função de pesos w e de

re-pesagem h: V

→ R, seja

w’(u, v) = w(u, v) + h(u) - h(v)

• Seja p =

〈v

₀

,v

₁

,

…,v

_k

〉. Então

w(p) =

δ(v

₀

, v

_k

) se e só se

w’(p) =

δ’(v

₀

, v

_k

)

=

δ(v

₀

, v

_k

) + h(v

₀

) - h(v

_k

)

– Existe ciclo negativo com w se e só se existe ciclo negativo com w’

( )

p w

( ) ( ) ( )

p h v₀ h v_k ' w = + −

( )

(

)

(

) ( ) ( )

(

)

(

) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

k k 1 i i 1 i i 1 i k 1 i i 1 i v h v h v , v w v , v ' w p ' w − + = =

∑

∑

∑

= − − = −

APSPs — Algoritmo de Johnson

( ) (

p v₀,v_k

)

w'

( )

p '

(

v₀,v_k

)

w = δ ⇒ = δ

Hipótese: existe p_z, caminho mais curto de v₀ para v_k com w’ Então: w'

( )

p_z < w'

( )

p

( ) ( ) ( )

p_z h v₀ h v_k w'

( )

p_z w'

( )

p w

( ) ( ) ( )

p h v₀ h v_k w + − = < = + −

( )

p_z < w

( )

p w O que implica

Mas p é caminho mais curto com w; contradição !

OBS: Para quaisquer caminhos p₁, p₂ entre v₀ e v_k, verifica-se

APSPs — Algoritmo de Johnson

( ) (

p v₀,v_k

)

w'

( )

p '

(

v₀,v_k

)

w = δ ⇐ = δ

Semelhante:

Admitir p_z como caminho mais curto de v₀ para v_k com w (ou considerar observação anterior)

Existe ciclo negativo com w se e só se existe com w’

( )

c 0 w ; v v ; v , , v , v c = 〈 _{0 1 K k}〉 ₀ = _k <

( )

c w

( ) ( ) ( )

c h v h v w

( )

c ' w = + ₀ − _k =

∴Caminhos mais curtos e ciclos negativos

APSPs — Algoritmo de Johnson

• Dado G = (V, E), criar G’ = (V’,E’):

– V’ = V ∪ { s }

– E’ = E ∪ { (s, v) : v ∈ V } (∀ v ∈ V, atingível a partir de s) – w(s, v) = 0

• Com ciclos negativos:

– Detectados com algoritmo de Bellman-Ford aplicado a G’ !

• Sem ciclos negativos:

– Definir: h(v) = δ(s, v)

– Dado que: h(v) ≤ h(u) + w(u, v)

APSPs — Algoritmo de Johnson

• Executar Dijkstra para todo o u

∈ V

– Cálculo de δ’(u,v), para u ∈ V – Mas também,

• δ’(u,v) = δ(u, v) + h(u) - h(v)

APSPs — Algoritmo de Johnson

Johnson(G)

Representar G’

if Bellman-Ford(G’,w,s) = FALSE print “Indicar ciclo negativo” else

atribuir h(v) = δ(s, v), calculado com Bellman-Ford

calcular w’(u,v) = w(u,v) + h(u) - h(v) para cada arco (u,v)

foreach v ∈ V[G]

executar Dijkstra(G,w’,v); calcular δ’(u, v)

d_uv = δ’(u, v) + h(v) - h(u)

APSPs — Algoritmo de Johnson

• Complexidade:

– Bellman-Ford: O(V E)

– Executar Dijkstra para cada vértice: O(V (V + E) lg V) • Assumindo amontoado (heap) binário

– Total: O(V (V + E) lg V)

• Útil para grafos esparsos

• Exemplo

Revisão

• Caminhos Mais Curtos entre Todos os Pares (APSPs)

– Definições – Solução recursiva – Algoritmo de Floyd-Warshall – Fecho Transitivo – Algoritmo de Johnson

• A seguir: