Os juros compostos são conhecidos, popularmente, como juros sobre juros.

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Módulo 4 – JUROS COMPOSTOS

Os juros compostos são conhecidos, popularmente, como “juros sobre juros”.

1. Introdução

Entendemos por juros compostos quando no final de cada período de capitalização, os rendimentos são incorporados ao capital, gerando um novo capital, sobre o qual serão calculados os rendimentos do período seguinte.

OPERAÇÃO 1 OPERAÇÃO 2 OPERAÇÃO 3 OPERAÇÃO 4 ...

1.1. Fórmulas de Juros Compostos

O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas do diaadia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte. Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal. Após três meses de capitalização, temos: 1º mês: M =C (1 + i) 2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = C (1 + i) (1 + i) 3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = C (1 + i) (1 + i) (1 + i) Simplificando, obtemos a fórmula: M = C (1 + I) n Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses. 1 mês 10% a.m. 1 mês 10% a.m. 1 mês 10% a.m. 100,00 110,00 121,00 133,10 133,10 121,00 110,00 0 1 2 3

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Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período: J = M – P 1.2. Aplicações 1) Calcule o montante acumulado pela aplicação de um capital de R$ 6.000,00 aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês. Solução: C = R$ 6.000,00 t = 1 ano = 12 meses i = 3,5 % ao mês = 0,035 M = ? Substituindo os dados, na fórmula M = C (1+i) n , temos: M = 6000 (1+ 0,035) 12 M = 6000 (1,035) 12 M = 6000.1,5111 = 9066,41 Portanto, o montante é R$ 9.066,41 A taxa de juros está expressa ao mês e o prazo está ao ano, portanto devemos converter o prazo da operação para a mesma unidade de tempo. 2) Determinar o valor atual de um contrato de R$ 30.000,00 com vencimento para 4 meses e através de uma taxa de juros de 3% ao mês, capitalizados mensalmente. Solução: M = R$ 30.000,00 t = 4 meses i = 3 % a.m. = 0,03 C = ? Substituindo os dados, na fórmula M = C (1+i) n , temos: 30000 = C (1+ 0,03) 4 C = 30000 ¸ 1,03 4 C = 26654,82 Portanto, o valor atual do contrato é: R$ 26.654,82 3) Uma loja financia um bem, no valor e R$ 4.200,00, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 4.866,61 no final de 5 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja? C = R$ 4.200,00

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M = R$ 4.866,61 t = 5 meses i = ? mensal Substituindo os dados, na fórmula M = C (1+i) n , temos: 4866,61 = 4200. (1 + i ) 5 4866,61 ¸ 4200,00 = (1 + i ) 5 1,1587 = (1 + i) 5 5 ₁_,₁₅₈₇_= 1 + i 1,0299 = 1 + i i = 0,0299 = 2,99 % ao mês A taxa mensal de juros cobrada pela loja é 2,99% Normalmente em fatores ou índices calculados nas fórmulas são colocadas de quatro a seis casas decimais e os demais casos duas casas decimais! 4) Determine em que prazo um empréstimo de R$ 10.000,00 pode ser quitado em um único pagamento de R$ 11.261,62, sabendo que a taxa contratada é de 2% ao mês. C = R$ 10.000,00 M = R$ 11.261,62 i = 2% ao mês = 0,02 n = ? Substituindo os dados, na fórmula M = C (1+i) n , temos: 11261,62 = 10000,00. (1 + 0,02) n 11261,62 ¸ 10000,00 = 1,02 n 1,1262 = 1,02 n Aplicando logaritmo de base 10 em ambos os membros e com o uso de uma calculadora cientifica, temos: log (1,1262) = log (1.02) n 0,0516 = n. log (1,02) 0,0516 = n. 0,0086 n = 6 meses O prazo contratado foi de 6 meses. Em alguns livros de Matemática Financeira são colocadas Tabuas Financeiras com valores de exponenciais e logaritmos, apesar de hoje em dia ser muito comum o uso da calculadora HP 12C.

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2. Fórmulas na HP 12C

Na fórmula M = C (1 + i) n , o principal C é também conhecido como Valor Presente (PV = present value) e o montante M é também conhecido como Valor Futuro (FV = future value).

Então essa fórmula pode ser escrita como: FV = PV (1 + i) n Isolando PV na fórmula temos:

PV = FV / (1+i) n

Com esta mesma fórmula podemos calcular o valor futuro a partir do valor presente. Na seqüência mais fórmulas que podemos obter diretamente cada elemento a partir dos dados iniciais do problema. Na HP12C, o valor presente é representado pela tecla PV e o valor futuro é representado pela tecla FV.

[

]

(

)

(

)

(

i

)

PV FV n azo i e Equivalent Taxa n Efetiva Taxa PV FV i Taxa o atualizaçã PV para FV de Fator i ção capitaliza FV para PV de Fator i i PV J Juros i FV PV esente Valor i) PV . ( FV ro Valor Futu n q n nom f n n n n n n

i

+ ÷ ø ö ç è æ = Þ - + = Þ - ÷ ÷ ø ö ç ç è æ + = Þ - = Þ + + - + = Þ + = Þ + = Þ - 1 ln ln Pr 1 1 1 1 1 ) ( 1 ) ( 1 1 ) 1 ( . ) 1 ( Pr 1 3. Juro Exato e Juro Comercial É comum nas operações de curto prazo, onde predominam as aplicações com taxas referenciadas em juros simples, terse o prazo definido em número de dias. Nestes casos, o número de dias pode ser calculado de duas maneiras:

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a. pelo tempo exato: utilizandose efetivamente o calendário do ano civil (365 dias). O juro apurado desta maneira denominase juro exato; b. pelo ano comercial: o qual admite o mês com 30 dias e o ano com 360

dias. Temse, por este critério, a apuração do denominado juro comercial ou ordinário. Exemplo: 12% a.a. equivale, pelos critérios enunciados, à taxa diária de: a. Juro Exato: 12/365 = 0,032877% ao dia. b. Juro Comercial: 12/360 = 0,033333% ao dia. 4. Taxa Proporcional e Taxa Equivalente

Taxa Proporcional é aquela encontrada pela divisão da taxa original pela quantidade de períodos existentes, iguais ao da taxa desejada, dentro do período da taxa original.

Existem 12 meses dentro de um ano. Para obtermos a taxa proporcional mensal, dividimos a taxa anual por 12, linearmente.

Taxa Equivalente é aquela que produz o mesmo montante que outra operação, com períodos de capitalização diferente da taxa original.

No regime de juros simples, “Taxas Proporcionais” e “Taxas Equivalentes” são consideradas a mesma coisa, sendo indiferente a classificação de duas taxas de juros como proporcionais ou equivalentes. Este conceito diz mais a respeito ao regime de juros compostos.

Vejamos a seguir: 4.1. Taxas Anuais

JUROS SIMPLES i = 25% a.a JUROS COMPOSTOS i = 18,92% a.a

PRAZO _VALOR

INICIAL JUROS VALOR FINAL

VALOR

1 1.000,00 250,00 1.250,00 1.000,00 189,20 1.189,20

2 1.250,00 250,00 1.500,00 1.189,20 225,01 1.414,21

3 1.500,00 250,00 1.750,00 1.414,21 267,58 1.681,79

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4.2. Taxas Semestrais

JUROS SIMPLES i = 12,5% a.a JUROS COMPOSTOS i = 9,05% a.a

PRAZO _VALOR

VALOR

1 1.000,00 125,00 1.125,00 1.000,00 90,51 1.090,51 2 1.125,00 125,00 1.250,00 1.090,51 98,69 1.189,20 3 1.250,00 125,00 1.375,00 1.189,20 107,63 1.296,83 4 1.375,00 125,00 1.500,00 1.296,83 117,38 1.414,21 5 1.500,00 125,00 1.675,00 1.414,21 128,00 1.542,21 6 1.675,00 125,00 1.750,00 1.542,21 139,58 1.681,79 7 1.750,00 125,00 1.875,00 1.681,79 152,21 1.834,00 8 1.875,00 125,00 2.000,00 1.834,00 166,00 2.000,00

Duas taxas i1 e i2 são equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital C durante o mesmo período de tempo, através de diferentes sistemas de capitalização, produzem o mesmo montante final.

Seja o capital C aplicado por um ano a uma taxa anual ia, o montante M ao final do período de 1 ano será igual a M = C(1 + i a )

Consideremos agora, o mesmo capital C aplicado por 12 meses a uma taxa mensal im, O montante M’ ao final do período de 12 meses será igual a M’ = C(1 + im) 12 .

Pela definição de taxas equivalentes vista acima, deveremos ter M = M’. Portanto, C(1 + ia) = C(1 + im) 12

Daí concluímos que:

1 + ia = (1 + im) 12

Com esta fórmula podemos calcular a taxa anual equivalente a uma taxa mensal conhecida.

4.3. Aplicações

1) Qual a taxa anual equivalente a 0,5% ao mês? Em um ano temos 12 meses, então teremos:

1 + ia = (1 + im) 12 1 + ia = (1,005) 12

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Logo, 0,5% ao mês equivale a 6,17% ao ano

2) Qual a taxa mensal equivalente a 6% ao trimestre? Em um trimestre temos 3 meses, então teremos: 1 + iT = (1 + iM) 3 1 + 0, 06 = (1 + iM) 3 1, 06 = (1 + iM) 3 3 ₁_,₀₆_= 1 + i M 1, 0196 = 1 + iM i = 0,0196 = 1,96% ao mês Logo, 6% ao trimestre equivalem a 1,96% ao mês. 5. Equivalência Financeira

Quando dois conjuntos de capitais são equivalentes, a soma dos valores, na data focal são iguais.

Vejamos um problema básico da Matemática Financeira:

a. Mover fluxos de caixa de um instante para outro sem lhe alterar o valor; b. Calcular a equivalência financeira para determinado instante de um

fluxo de caixa situado em outro instante. Exemplo: Prático Freqüente Trazer um fluxo de um instante futuro para o instante presente, e vice versa Eixo Atualização/Desconto dos Fluxos

Fluxo Presente Futurização/Capitalização Fluxo Futuro ou Atual

Instante Instante Eixo dos

Presente Futuro Tempos

ou Atual

Prazo = Distância entre os dois instantes

Conceitualmente, dois capitais em datas distintas são ditos equivalentes se quando “levados” para uma data única, chamada de data focal ou de comparação, produzirem o mesmo valor, usandose uma mesma taxa de juros.

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Atualização a uma taxa de 10% a.p.

0 1 2 3 4 5

($100) ($150)

A figura acima mostra dois capitais, $100 no instante 0 e $150 no instante 5, que são equivalentes se utilizarmos a taxa de juros simples de 10% a.p.

Do mesmo modo, dois conjuntos de capitais, formados por valores em diferentes momentos do tempo, serão ditos equivalentes se “trabalhados” a uma taxa comum, levado a uma data comum, produzirem o mesmo valor total. 100 100 200 200 200 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Data Focal Taxa = 10% a.p. 1.1 Conjunto 1 1.2 Conjunto 2 INSTANTE _VALOR NO INSTANTE VALOR NA DATA FOCAL VALOR NO INSTANTE VALOR NA DATA FOCAL 0 1 2 3 100 76,92 4 100 71,43 5 6 7 8 200 111,11 9 200 105,26 10 200 100 TOTAL 148,35 316,37

Notase que os dois conjuntos de capitais não são equivalentes, por terem apresentado soma dos valores, na data focal, diferentes.