Matemática. Elementar II Caderno de Atividades

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Matemática

Elementar I

Autor

Leonardo Brodbeck Chaves

Matemática

Elementar I

Caderno de Atividades

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IESDE Brasil S.A.

Al. Dr. Carlos de Carvalho, 1.482 • Batel 80730-200 • Curitiba • PR

www.iesde.com.br C512 Chaves, Leonardo Brodbeck.

Matemática Elementar I. Leonardo Brodbeck Chaves. — Curitiba: IESDE Brasil S.A., 2009.

196 p.

ISBN: 978-85-7638-798-5

1. Matemática. 2. Matemática – Estudo e ensino. I. Título.

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Leonardo Brodbeck Chaves

Mestre em Informática na área de Engenharia de Software pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). Graduado em Engenharia Elétrica com ênfase em Eletrônica também pela UFPR.

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Sumário

Contagem | 11

1. A noção básica da Matemática: a contagem | 11 2. O sistema de numeração decimal | 13

Adição e subtração | 17

1. A adição | 17 2. A subtração | 18

Multiplicação e divisão | 21

1. A multiplicação | 21 2. A divisão | 23

Frações (I) | 25

1. As frações | 25

2. Resolução de problemas com frações | 28 3. Frações próprias e impróprias | 30 4. Simplificação de frações | 31

Frações (II) | 35

1. Mínimo múltiplo comum (m.m.c) | 35

2. Adição e subtração de fração com o mesmo denominador | 36 3. Adição e subtração de frações com denominadores diferentes | 37 4. Multiplicação com frações | 40

5. Divisão com frações | 41

Potenciação | 43

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Expressões numéricas | 47

1. Introdução | 47

2. Regras para a resolução de expressões numéricas | 47

Geometria (I) | 53

6. Medida do comprimento da circunferência | 62

Geometria (II) | 65

1. Unidade de área | 65 2. Áreas de figuras planas | 66 3. Volumes | 70

Razão e proporção | 75

1. Razão | 75 2. Proporção | 79

3. Aplicando razão e proporção para calcular densidade volumétrica | 80

Grandezas proporcionais (I): regra de três simples | 85

1. Grandezas diretamente proporcionais | 85 2. Grandezas inversamente proporcionais | 88

Grandezas proporcionais (II): regra de três composta | 95

1. Proporcionalidade composta | 95 2. Regra de três composta | 97

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Porcentagem e juro | 105

1. Porcentagem | 105 2. Juro | 111

Equações do 1.

o

_{grau | 117}

Equações do 2.

o

_{grau | 125}

1. Noção de equação do 2.o_{grau | 125}

2. Forma geral | 125

3. Solução de uma equação do 2.o_{grau | 127}

4. Resolução de problemas do 2.o_{grau | 137}

5. Problemas que envolvem equações do 2.o_{grau | 138}

Sistemas lineares 2 x 2 | 143

2. Sistema de equações lineares 2 x 2 | 144

3. Solução de um sistema linear 2 x 2: método gráfico | 144 4. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da substituição | 146 5. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da comparação | 151 6. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da adição | 153

Radiciação | 159

1. Introdução | 159 2. Quadrados perfeitos | 160 3. Raiz quadrada | 161

Gráfico e função | 163

1. Plano cartesiano | 163 2. Função afim | 164 3. Função quadrática | 168

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Apresentação

O mundo moderno está repleto de idéias, modelos e aplicações matemáticas. E desde o surgimento do homem foi dessa forma.

Quando vislumbramos o céu, a terra e o mar, encontramos inúmeras aplicações matemáticas:

a) as colméias com os seus prismas hexagonais de seus favos; b) o círculo da lua cheia;

c) um cristal de gelo com angulação precisa;

d) as ondas, que trazem consigo o conceito de periodicidade;

e) o sistema solar, que nos traz uma riqueza sem fim de relações geométricas, entre outros.

Várias atividades do nosso cotidiano necessitam de ações que envolvam idéias matemáticas, como a aquisição de um plano adequado de financiamento (com menores taxas de juros do mercado), o controle do orçamento familiar (mediante a relação salário X gastos), a compreensão das escalas próprias de fenômenos da natureza (por exemplo, a escala Ritchter dos terremotos).

Buscando um breve histórico, o homem, desde a época das cavernas, tem usado a Matemática para contar, medir e calcular. Ele dividia a caça em partes iguais

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(conceito de frações), media um pedaço de pele com a finalidade de comparar comprimentos (idéias de menor e maior) e fabricava utensílios de barro que eram seus padrões de medida (idéia de volume). Desse modo, percebemos que o homem primitivo utilizava a Matemática para sua sobrevivência e transcendência como espécie humana, a partir de ações que demonstravam novas estratégias geradas pelo seu raciocínio lógico, frente às situações da realidade.

A capacidade de desenvolvimento, a criatividade e a necessidade de adaptação do homem fizeram com que fossem desenvolvidas ferramentas de apoio com a finalidade de auxiliar a resolução de problemas com agilidade, assim surgiram os computadores. O computador é uma máquina que executa operações matemáticas construindo seqüências lógicas, resolvendo problemas e executando operações matemáticas com maior eficiência e rapidez, por sua capacidade de memória.

Percebemos assim, que a Matemática nos ajuda a estruturar idéias e definições, nos auxilia no desenvolvimento do raciocínio por meio de modelos matemáticos com a resolução de problemas, promove a concentração e desenvolve a memorização. Assim, a Matemática é uma ciência dinâmica que se constitui como produto cultural do homem, que está em constante evolução, e estudar Matemática traz benefícios e desenvolvimento para a sociedade.

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Frações (II)

1. Mínimo múltiplo comum (m.m.c)

Estudaremos um dispositivo prático para a obtenção do m.m.c. Por exemplo, para obtermos o m.m.c entre 15 e 25 devemos dividi-los sucessivamente pelos números primos. Números primos são aqueles que são divisíveis somente por 1 e por eles mesmos. Assim, números primos são 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, etc. Veja os exemplos: a) 15, 25 3 5, 25 5 1, 5 5 1, 1 3 x 5 x 5 = 75 O m.m.c entre 15 e 25 é igual a 75.

b) Agora vamos calcular o m.m.c entre 2, 9 e 18. 2, 9, 18 2

1, 9, 9 3 1, 3, 3 3

1, 1, 1 2 x 3 x 3 = 18

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Matemática Elementar I – Caderno de Atividades

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2. Adição e subtração de fração

com o mesmo denominador

Quando as frações têm o mesmo denominador, juntamos, retiramos ou comparamos pedaços do mesmo tamanho. Para efetuarmos uma adição ou uma subtração com frações do mesmo denominador, adicionamos ou subtraímos os numeradores e mantemos o denominador comum. Veja as figuras: 7 9 4 9 3 9 _Adição: 4 3 9 + 9 = 7 9 7 9 2 9 5 9 Subtração: 2 7 9 – 9 = 5 9

Observe mais alguns exemplos: a) ₁₇1 +7 = 17+ 317 11 17 c) 3 10+ = 1110 8 10 b) 19 43– = 5 43 14 43 d) 25 13– = 1413 11 13

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Frações (II) 37

Exercícios

1. Calcule: a) ₁₇3 +₁₇8 b) 7 11+ 211+ 511 c) 17 18– 318 d) 16₁₀– 8₁₀– 3₁₀

3. Adição e subtração de

frações com denominadores diferentes

Quando os denominadores de duas ou mais frações são diferentes, elas representam quantidades de “pedaços” internos que têm tamanhos diferentes. Por isso, essas quantidades (os numeradores) não podem ser adicionados.

Então, como calcular 1 2 + 16 ?

Uma técnica para efetuar adições e subtrações com frações, cujos denominadores são diferentes, é encontrar frações equivalentes às frações dadas com denominadores iguais. Um modo que permite reduzir as frações a um mesmo denominador é encontrando o mínimo múltiplo comum ou m.m.c dos denominadores dados.

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Matemática Elementar I – Caderno de Atividades 38 a) 7 3+ = 2 5 35 15+ 615= 4115 x x 3, 5 3 1, 5 5 1, 1 3 x 5 = 15 m.m.c (3, 5) = 15 b) 1 2+ = 1 3 3 6 + 26 = 56 x x 2, 3 2 1, 3 3 1, 1 2 x 3 = 6 m.m.c (2, 3) = 6 c) 18 7 + 12 13 49 252 98 x x +x = + 49₉₈+ 26₉₈ =327₉₈ 7, 2, 49 2 7, 1, 49 7 1, 1, 7 7 1, 1, 1 2 x 7 x 7 = 98 m.m.c (7, 2, 49) = 98

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Frações (II) 39

Exercícios

2. Calcule: a) +1 1 5 3 b) ₁₁7 – 3₁₀ c) 3 2 + 16– 12 d) 7 9 + 13 2 5 + e) 4 7 + 18 2 3 + f) 42 101+ 35 g) 1 10+ 13 1 5–

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Matemática Elementar I – Caderno de Atividades

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4. Multiplicação com frações

O produto de duas frações é uma fração cujo numerador é o produto dos numeradores e o denominador é o produto dos denominadores.

Veja: a

b. cd = a . cb . d, sendo a, b, c e d números naturais e b e d diferentes de zero. Acompanhe agora alguns exemplos:

a) 1₃ . 3₄ = 1 . 3_{3 . 4}= 3₁₂, simplificando, ₁₂3 =_{12 : 3}3 : 3 =1₄ b) 2 3 . 13 . 75 3 . 3 . 5= 2 . 1 . 7 = 1445 c) 1 5 . 15 . 15 5 . 5 . 5= 1 . 1 . 1 = 1125

Exercícios

3. Calcule: a) 1 5 . 12 b) 3 7 . 314

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Frações (II) 41 c) 12 13. 18 d) 8 9 . 98 e) 3 4 . 23

5. Divisão com frações

Para dividirmos duas frações, multiplicamos a primeira pela segunda fração invertida. Veja: a) 3₇ : 4₅ = 3₇ . 5₄ = 15₂₈ b) 2 : 4 = 2 . 9 = 18 9 9 9 4 36 Simplificando, 18 = 18 : 18 = 136 36 : 18 2 c) 2 : 2 = 2 . 3 = 6 3 3 3 2 6 Simplificando, 6 = 6 : 6 = 1 = 16 6 : 6 1

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Exercícios

4. Calcule: a) 1 3 : 12 b) 7₈ : 3₄ c) 11 10: 13 d) 12₁₅: 5₈

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Gabarito

Frações (II)

1. a) 11₁₇ b) 14₁₁ c) 14 = 7 18 9 d) 5 = 1 10 2 2. a) 8 15 b) 37 110 c) 7 6 d) 68 45 e) 229 168 f) 513 505 g) 13 30 3. a) ₁₀1 b) ₉₈9

Gabarito

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Matemática Elementar I – Caderno de Atividades c) 12 = 3 104 26 d) 72 = 1 72 e) 6 = 1 12 2 4. a) 2₃ b) 28 = 7 24 6 c) 33₁₀ d) 96 = 32 75 25