Delineamento Aleatorizado em Blocos Completos (DABC)

(1)

Delineamento Aleatorizado em Blocos

Completos (DABC)

Motivação

• Por que planejar um experimento ?

• Como diminuir o efeito residual?

• Como controlar o efeito de fontes de variação

“conhecidas” mas que não são de interesse primário

no estudo?

(2)

Modelo Estatístico

Por que

PLANEJAR ?

Evidenciar o efeito de

FV conhecidas

Reduzir o efeito de FV

Desconhecidas

Y = FV conhecidas + e

(3)

Delineamento Aleatorizado em

Blocos Completos

n replicações no tratamento j

n

T

1

T

2

. . . T

k

Y

11

Y

21

. . . Y

k1

Y

12

Y

22

. . . Y

k2

Y

1n

Y

2n

. . . Y

kn

. . . . . . Y

ij

. . .

Tratamentos

Bloco

B

1

B

2

B

n

“aleatorização restrita”

dentro dos blocos

k u.e. dentro de cada bloco são atribuídas aos tratamentos

(4)

Exemplo - Blocos



Canteiros

Blocos

Homogeneidade Dentro

Fator de Controle



não há interesse

na variabilidade “Entre” blocos



Paciente com a mesma gravidade da doença



Animais de mesma linhagem



Pneus de um carro / Braços de voluntários



Unidades padronizadas segundo cor, peso, idade ...

(5)

Exemplo

Dados: Medidas de clorofila a

Tratamento

Bloco T1 T2 T3 T4

B1 6,2 12,7 7,0 8,3 B2 4,8 11,3 4,4 7,1 B3 3,0 9,3 3,8 11,7 B4 5,6 9,5 5,0 10,0 B5 7,1 11,7 5,5 8,5 B6 4,8 15,3 3,2 12,4 Estrutura de Bloco (hipotético)

(6)

Exemplo

Dados: crescimento de plantas (cm) segundo a variedade

Canteiro Var1 Var2 Var3 Var4

6 6 6 6

48,2 43,3 46,7 52,0

1,30 1,75 1,51 2,70

47,409

1 19,8 21,9 16,4 14,7

2 16,7 19,8 15,4 13,5

3 17,7 21,0 14,8 12,8

4 18,2 21,4 15,6 13,7

5 20,3 22,1 16,4 14,6

6 15,5 20,8 14,6 12,9

média desvio

(7)

Delineamento Aleatorizado em

Blocos Completos

Y

1n

Y

2 n

. . . Y

k n

T

1

T

2

. . . T

k

Y

11

Y

21

. . . Y

k1

Y

12

Y

22

. . . Y

k2

. . . . . . Y

ij

. . .

Tratamentos

Bloco

B

1

B

2

B

n

Duas Entradas

2 Fatores

Tratamento

Bloco

Variável

Resposta

(8)

Delineamento Aleatorizado em

Blocos Completos

Estrutura dos Dados

 Variável Resposta

 Fatores

Tratamento: fator de interesse

Bloco: fator de controle

Vantagem

eliminar o efeito de uma fonte de variação conhecida (bloco)

redução do efeito residual

(9)

Suposições

T

1

T

2

. . . T

k

Y

11

Y

21

. . . Y

k1

Y

12

Y

22

. . . Y

k2

Y

1n

Y

2 n

. . . Y

k n

. . . . . . Y

ij

. . .

Tratamentos

Bloco

B

1

B

2

B

n . 1

Y

. 2

Y

. n

Y

médias

1 .

Y

_.₂

Y

_._k

médias

_Y

 Var. constante

)

;

(



₁



2

N

(



₂

;



2

)

...

N

(



_k

;



2

)

_População

Amostra

 Normalidade

 Independência

entre todas as u.a., mesmo entre as do mesmo bloco.

(10)

Modelo Teórico - Aditividade

ij





N

(

0 ;



2 )

componente aleatório

ij

i

j

ij

y

















efeito do tratamento efeito do bloco

ij

i

j

ij

y



















componente fixo

Suposição:

Modelo Aditivo

Escreva o modelo na forma matricial!

0

1 1





  n i i k j j





iid

(11)

Modelo Teórico / Estimadores

)

(

)

(

)

(

y

_.

y

_.

y

_.

y

_.

y

_ij





_j





_i





_ij



_j



_i



identidade útil na obtenção das estatísticas

ij

yˆ

predito observado

ij

i

j

ij

y

















ij

eˆ

j



ˆ



ˆ

_i

(12)

Modelo Teórico / Estimadores

)

(

)

(

)

(

y

_.

y

_.

y

_.

y

_.

y

_ij





_j





_i





_ij



_j



_i



ij i j ij ij ij

e

y



































:

ˆ

y

_.

y

_.

y

e

_ij



_ij





_j





_i



:

ˆ

ij i



e



se reduz ao resíduo do DCA (ver também o número de g.l.)

Estima o desvio do modelo aditivo  é o efeito de interação entre os

fatores tratamento e bloco (na ausência de réplicas para cada combinação dos níveis dos dois fatores)

i j

ij













Sob o modelo aditivo tem-se:



_j _i



ij













(13)

Hipótese de Interesse

Existe evidência amostral de diferenças entre as médias de

tratamento ?

As diferenças ENTRE médias de tratamento são

maiores que a variação DENTRO dos tratamentos

(corrigida/ajustada pelo efeito de bloco) ?

)

;

(

~



_j



_i



2 ij

N

Y



0 ...

:

...

:

₁



₂



_k





H

₁



₂



_k



H





(14)

Hipótese de Interesse

A: existe pelo menos uma diferença

Em geral não se tem interesse em testar o efeito do

fator Bloco





_n



H

:

₁ ₂

...

Qual seria a estatística deste teste ?





_k



H

:

₁ ₂

...

)

;

(

~



_j



_i



2 ij

N

Y



Note que não é possível testar o efeito de interação entre os fatores tratamento e bloco! Este efeito define o resíduo do modelo.

(15)

Tabela de ANOVA

F



F

[ k-1 , (k-1)(n-1)]

Como tomar decisão sobre H ?

F.V. g l SQ QM F p

TRAT k-1

RESÍDUO (k-1)(n-1)

TOTAL nk-1





2 .

)

(

y

n

_j







ij i j ij

y

_. _.

)

2

(





ij ij

y

)

2

(

SQTR/(k-1) SQR/(k-1)(n-1) QMTR/QMR

H:

BLOCO n-1



k

(

y

i.



y

)

2

Em geral não se tem interesse em testar o efeito do fator Bloco



₁



₂



...



_k



Efeito de interação (n -1 )+( k -1 )( n -1 )=nk -k

(16)

Exemplo

Dados: Medidas de clorofila a

Tratamento

Bloco T1 T2 T3 T4

B1 6,2 12,7 7,0 8,3 B2 4,8 11,3 4,4 7,1 B3 3,0 9,3 3,8 11,7 B4 5,6 9,5 5,0 10,0 B5 7,1 11,7 5,5 8,5 B6 4,8 15,3 3,2 12,4 hipotético

(17)

Tabela de ANOVA

F.V. g l SQ QM F p

TRAT 3

RESÍDUO 15

TOTAL 23 266.678

201.448 67.149 19.79 0.000

H:

BLOCO 5



₁



₂



...



_k



Com a inclusão de um suposto fator bloco, houve ganho em precisão na identificação de efeito do tratamento ?

Compare o número de graus de liberdade dos delineamentos DCA e DABC definidos para o mesmo conjunto de dados!

14.343 2.869 0.85 0.538

50.346 3.392

(18)

Dados: Medidas de clorofila a

Estimativas dos parâmetros do modelo no “R” Intercept

5.9666667

trat2 trat3 trat4 6.3500000 -0.4333333 4.4166667

bloco2 bloco3 bloco4 bloco5 bloco6 -1.6500000 -1.6000000 -1.0750000 -0.3500000 0.3750000

trat bloco resp 1 1 1 6.2 2 2 1 12.7 3 3 1 7.0 4 4 1 8.3 5 1 2 4.8 6 2 2 11.3 7 3 2 4.4 8 4 2 7.1 9 1 3 3.0 10 2 3 9.3 11 3 3 3.8 12 4 3 11.7 13 1 4 5.6 14 2 4 9.3 15 3 4 5.0 16 4 4 10.0 17 1 5 7.1 18 2 5 11.7 19 3 5 5.5 20 4 5 8.5 21 1 6 4.8 22 2 6 15.3 23 3 6 3.2 24 4 6 12.4

Adote a parametrização casela de referência e:

Escreva o modelo estrutural da ANOVA para o DABC.

Apresente a matriz de planejamento X e o vetor de parâmetros desse modelo.

Interprete as estimativas fornecidas pelo R. Obtenha os valores preditos da resposta.

Obtenha as Somas de Quadrados da Tabela de ANOVA em termos dos correspondentes valores preditos e dos resíduos.

(19)

ANOVA em um DABC

Teste de Tukey da Aditividade em um DABC usando 1 grau de liberdade:

Como não há réplicas nas combinações dos níveis de tratamento e bloco, o Resíduo corresponde à Interação entre tratamento e bloco (veja como está definido o número de graus de liberdade e a soma de quadrados do resíduo). A não aditividade do modelo pode ser estudada particionando os (n-1)(k-1) contrastes que definem a interação.

0 ;

1 1









  n i i k j j ij i j ij

y













Modelo Aditivo:

Construir um novo fator (adicionando uma coluna em X) definido como a

interação (o produto) entre os efeitos principais preditos de tratamento e de bloco #Construir uma coluna com os coeficientes do efeito de Tratamento

#Construir uma outra coluna com os coeficientes do fator Bloco #Multiplicar essas duas colunas que definem a interação com 1 g.l. #Ajustar o modelo de ANOVA incluindo este novo fator

(20)

Dados: Medidas de clorofila a

trat bloco resp tpred bpred trbl 1 1 1 6.2 0.0000000 0.000 0.0000000 2 2 1 12.7 6.3500000 0.000 0.0000000 3 3 1 7.0 -0.4333333 0.000 0.0000000 4 4 1 8.3 4.4166667 0.000 0.0000000 5 1 2 4.8 0.0000000 -1.650 0.0000000 6 2 2 11.3 6.3500000 -1.650 -10.4775000 7 3 2 4.4 -0.4333333 -1.650 0.7150000 8 4 2 7.1 4.4166667 -1.650 -7.2875000 9 1 3 3.0 0.0000000 -1.600 0.0000000 10 2 3 9.3 6.3500000 -1.600 -10.1600000 11 3 3 3.8 -0.4333333 -1.600 0.6933333 12 4 3 11.7 4.4166667 -1.600 -7.0666667 13 1 4 5.6 0.0000000 -1.075 0.0000000 14 2 4 9.3 6.3500000 -1.075 -6.8262500 15 3 4 5.0 -0.4333333 -1.075 0.4658333 16 4 4 10.0 4.4166667 -1.075 -4.7479167 17 1 5 7.1 0.0000000 -0.350 0.0000000 18 2 5 11.7 6.3500000 -0.350 -2.2225000 19 3 5 5.5 -0.4333333 -0.350 0.1516667 20 4 5 8.5 4.4166667 -0.350 -1.5458333 21 1 6 4.8 0.0000000 0.375 0.0000000 22 2 6 15.3 6.3500000 0.375 2.3812500 23 3 6 3.2 -0.4333333 0.375 -0.1625000 24 4 6 12.4 4.4166667 0.375 1.6562500

Analysis of Variance Table Response: y

Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) trat 3 199.937 66.646 19.3593 2.04e-05 bloco 5 14.478 2.896 0.8411 0.5412

Residuals 15 51.638 3.443

Analysis of Variance Table Response: y

Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) trat 3 199.937 66.646 19.5807 2.802e-05 bloco 5 14.478 2.896 0.8508 0.5367 trbl 1 3.987 3.987 1.1715 0.2974 Residuals 14 47.651 3.404 0 ; 1 1      



  n i i k j j ij i j ij y       0 ; 1 1 ˆ ˆ       



  n i i k j j ij i j ij j i X y     _ _    0 : 0   H j i

(21)

Exemplo

Dados: crescimento de plantas (cm) segundo a variedade

Canteiro Var1 Var2 Var3 Var4

6 6 6 6

48,2 43,3 46,7 52,0

1,30 1,75 1,51 2,70

47,409

1 19,8 21,9 16,4 14,7

2 16,7 19,8 15,4 13,5

3 17,7 21,0 14,8 12,8

4 18,2 21,4 15,6 13,7

5 20,3 22,1 16,4 14,6

6 15,5 20,8 14,6 12,9

média desvio

(22)

Two-way Analysis of Variance

Analysis of Variance for resp Source DF SS MS F P bloco 5 19,793 3,959 9,10 0,000 var 3 188,538 62,846 144,44 0,000 Error 15 6,527 0,435 Total 23 214,858 Individual 95% CI var Mean ---+---+---+---+--- 1 18,03 (-*-) 2 21,17 (--*-) 3 15,53 (-*-) 4 13,70 (-*-) ---+---+---+---+--- 15,00 17,50 20,00 22,50 Concl. ? Hipóteses ? Suposições ?

(23)

-1,25-1,00-0,75-0,50-0,25-0,000,250,500,751,00 0 1 2 3 4 5 6 7 Residual F re q u e n cy Histogram of Residuals 0 5 10 15 20 25 -2 -1 0 1 2 Observation Number R e si d u a l I Chart of Residuals 4 X=0,000 3,0SL=1,896 -3,0SL=-1,896 12 17 22 -1 0 1 Fit R e si d u a l Residuals vs. Fits -2 -1 0 1 2 -1 0 1

Normal Plot of Residuals

Normal Score R e si d u a l

Residual Model Diagnostics

(24)

Tukey Simultaneous Tests

Response Variable resp

All Pairwise Comparisons among Levels of var var = 1 subtracted from:

Level Difference SE of Adjusted var of Means Difference T-Value P-Value 2 3,133 0,3808 8,23 0,0000 3 -2,500 0,3808 -6,56 0,0001 4 -4,333 0,3808 -11,38 0,0000 var = 2 subtracted from:

Level Difference SE of Adjusted var of Means Difference T-Value P-Value 3 -5,633 0,3808 -14,79 0,0000 4 -7,467 0,3808 -19,61 0,0000 var = 3 subtracted from:

Level Difference SE of Adjusted var of Means Difference T-Value P-Value 4 -1,833 0,3808 -4,814 0,0012

Concl. ? Hipóteses ?

(25)

Exemplo

Um pesquisador estudou os efeitos de três dietas experimentais na variação do nível de lipídeos no plasma. Quinze indivíduos masculinos, com pesos corporais dentro da normalidade, foram agrupados em cinco blocos de acordo com a idade. Dentro de cada bloco três dietas (D1, D2 e D3) foram

aleatoriamente atribuídas aos indivíduos. Após um período de tempo fixado foi mensurada a redução do nível de lipídeos plasmático. Os dados estão apresentados a seguir.

Bloco(anos)__D1_____D2_____D3__ D1:conteúdo de lipídeos extremamente baixo 1 15-24 0,73 0,67 0,15 D2: conteúdo de lipídeos moderadamente baixo 2 25-34 0,86 0,75 0,21 D3: conteúdo de lipídeos baixo

3 35-44 0,94 0,81 0,26 4 45-54 1,40 1,32 0,75 5 55-64 1,62 1,41 0,78

Por que a idade dos indivíduos foi usada como bloco? Construa gráficos de perfis de médias. Apresente o modelo estrutural e distribucional apropriado para a análise destes dados.

Obtenha a tabela de ANOVA. A dieta tem efeito? Faça suposições necessárias e conclua. Realize testes de comparações múltiplas. Interprete os resultados. Por que não é indicado testar o efeito do fator Bloco?

(26)

Delineamento Aleatorizado em Blocos Completos

BLOCOS T1 T2 … Tk H1 V1 V2 V3 H2 V1 V2 V3 H3 V1 V2 V3 N 9 9 … 9 Yij

Estrutura de Blocos



gerada por dois fatores H e V

Obtenha a F.V. e g.l. da tabela ANOVA

(27)

Tabela de ANOVA

F.V. g l SQ

TRAT k-1

RESÍDUO (k-1)(n-1)

TOTAL nk-1





2 .

)

(

y

n

_j







ij i j ij

y

_. _.

)

2

(





ij ij

y

)

2

(

H:

**BLOCO* n-1**



k

(

y

i.



y

)

2



₁



₂



...



_k



h-1  Ef. Principal do Bloco H v-1 Ef. Principal do Bloco V (h-1)(v-1)  Ef. Interação H*V

* n=hv ; h=v=3

 Ef. Interação Trat*Bloco

 Pode ser decomposto em Ef.

(28)

Delineamento Quadrado Latino

Situação Experimental

• 2 Fatores definindo Blocos

• Blocos Incompletos



Somente um Tratamento é

atribuído a cada nível Bloco

Quadrado Latino 3x3

: 2 Fatores Bloco cada um em três níveis. A

estes 9 possíveis Blocos atribui-se os Tratamentos (1 único fator em

três níveis)

(29)

Delineamento Quadrado Latino 3x3

BLOCOS T1 T2 T3 H1 V1 x V2 x V3 x H2 V1 x V2 x V3 x H3 V1 x V2 x V3 x Réplicas 3 3 3 H1 T1 T2 T3 H2 T2 T3 T1 H3 T3 T1 T2 V1 V2 V3 Blocos Incompletos Balanceados !

(30)

Delineamento Quadrado Latino 4x4

M1 A B D C M2 D C A B M3 B D C A C1 C2 C3 C4 M4 C A B D Carro Motorista

Tratamentos: A, B, C e D, Tipo de Aditivo no Combustível

Resposta: Quantidade de Óxido de Nitrogênio emitido

(31)

Delineamento Quadrado Latino

Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P

bloco_ca 3 216,000 216,000 72,000 27,00 0,001 bloco_dr 3 24,000 24,000 8,000 3,00 0,117 trat 3 40,000 40,000 13,333 5,00 0,045 Error 6 16,000 16,000 2,667 Total 15 296,000 Efeito de Trat

Level Difference SE of Adjusted trat of Means Difference T-Value P-Value

2-1 4,000 1,155 3,4641 0,0499 3-1 3,000 1,155 2,5981 0,1396 4-1 1,000 1,155 0,8660 0,8221 3-2 -1,000 1,155 -0,866 0,8221 4-2 -3,000 1,155 -2,598 0,1396 4-3 -2,000 1,155 -1,732 0,3856

U.E. bloco_car bloco_drive trat resp

1 1 1 1 21 2 1 2 2 26 3 1 3 4 20 4 1 4 3 25 5 2 1 4 23 6 2 2 3 26 7 2 3 1 20 8 2 4 2 27 9 3 1 2 15 10 3 2 4 13 11 3 3 3 16 12 3 4 1 16 13 4 1 3 17 14 4 2 1 15 15 4 3 2 20 16 4 4 4 20 4x4

(32)

)

(

)

(

)

(

y

_.

y

_.

y

_.

y

_.

y

_ik





_i





_k





_ik



_i



_k



ik k i ik

y

















)

(

)

(

)

(

)

(

. . .. .. .. . . ..

y

j i k ijk k j i ijk





















ijk k Vj H i ijk

y





















Delineamento Aleatorizado em Blocos Completos

Delineamento Quadrado Latino (Blocos Incompletos

Balenceados)

(33)

Delineamento Quadrado Latino

Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P

bloco_ca 3 216,000 216,000 72,000 27,00 0,001 bloco_dr 3 24,000 24,000 8,000 3,00 0,117 trat 3 40,000 40,000 13,333 5,00 0,045 Error 6 16,000 16,000 2,667 Total 15 296,000 Efeito de Trat

Level Difference SE of Adjusted trat of Means Difference T-Value P-Value

2-1 4,000 1,155 3,4641 0,0499 3-1 3,000 1,155 2,5981 0,1396 4-1 1,000 1,155 0,8660 0,8221 3-2 -1,000 1,155 -0,866 0,8221 4-2 -3,000 1,155 -2,598 0,1396 4-3 -2,000 1,155 -1,732 0,3856

U.E. bloco_car bloco_drive trat resp

1 1 1 1 21 2 1 2 2 26 3 1 3 4 20 4 1 4 3 25 5 2 1 4 23 6 2 2 3 26 7 2 3 1 20 8 2 4 2 27 9 3 1 2 15 10 3 2 4 13 11 3 3 3 16 12 3 4 1 16 13 4 1 3 17 14 4 2 1 15 15 4 3 2 20 16 4 4 4 20 Interprete os números de g.l. e estimativas dos efeitos !

Ef. Principal dos Blocos

3+6 = 9 = 3x3: o efeito de tratamento mais o resíduo estão descritos em termos do efeito de interação entre os blocos

(34)

Blocos Incompletos

Exemplo: Situação Experimental

• 8 Tratamentos

• 14 Canteiros

cada um com 4 Vasos

Como você planejaria este experimento ?

(35)

Blocos Incompletos Balanceados

BLOCOS T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 1 u.e. 4 u.e. 2 u.e. 1 u.e. 3

2 u.e. 4 u.e. 1 u.e. 3 u.e. 2 3 u.e. 3 u.e. 4 u.e. 2 u.e. 1

5 u.e. 4 u.e. 2 u.e. 3 u.e. 1 6 u.e. 1 u.e. 2 u.e. 4 u.e. 3

4 u.e. 2 u.e. 1 u.e. 3 u.e. 4

7 u.e. 1 u.e.4 u.e. 2 u.e. 3 8 u.e. 4 u.e. 3 u.e.2 u.e. 1

9 u.e. 3 u.e. 4 u.e. 1 u.e. 2

10 u.e. 1 u.e. 2 u.e. 4 u.e. 3 12 u.e. 1 u.e. 3 u.e. 2 u.e. 4 13 u.e. 3 u.e. 4 u.e. 1 u.e. 2 11 u.e. 4 u.e. 2 u.e. 3 u.e. 1

14 u.e. 3 u.e. 2 u.e. 4 u.e. 1