CAPÍTULO I EQUAÇÕES DA RETA

CAPÍTULO I – EQUAÇÕES DA RETA

1.1 Equação vetorial

Um dos axiomas da geometria euclidiana diz que dois pontos distintos determinam uma reta. Seja r a reta determinada pelos pontos P1 e P2.

Um ponto P pertence à reta r se, e somente se, os vetores

→ P P₁ e → 2 1P P são colineares. Como P1 e P2 são distintos, o vetor

→

2 1P

P é não nulo, então existe um escalar λ tal que

→ →

λ = _{1 2}

1P P P

P . Assim, P pertence a r se, e somente se, P=P₁ +λP₁P₂; λ∈IR

→

. Podemos então concluir que todo ponto da reta r satisfaz à equação:

IR ; P P P X== ₁ ++λλ _{1 2} λλ∈∈ → → , que é chamada de equação vetorial da reta r.

Observemos que o fundamental na determinação da equação vetorial de uma reta, é conhecermos um ponto desta reta e um vetor ( não nulo ) na sua direção. Um vetor na direção da reta r é chamado vetor direção da reta r, e indicado por vr_r.

IR h ; v h P X : r = _o + r_r ∈

Assim, cada escalar h determina um único ponto P pertencente a r e, reciprocamente, para cada ponto de r, existe um único valor real h tal que P =P_o +h vr_r.

r P2 P1 r o P r v r

1.2 Equações paramétricas e simétricas

Fixado um sistema de coordenadas, sejam P_o(x_o,y_o,z_o)evr_r =(a,b,c) . A equação vetorial da reta r, determinada por P_o evr_r é:

IR h c); b, (a, h ) z , y , (x z) y, (x, : r = _{o o o} + ∈ ,

que equivale ao sistema ;h IR c h z z b h y y a h x x : r o o o ∈      + = + = + =

•

As equações acima são chamadas de equações paramétricas da reta r. Se abc≠0, eliminando o parâmetro h do sistema

•

, obtemos

c z z b y y a x x : r −− o == −− o == −− o

‚

Estas equações são denominadas equações simétricas da reta r.

As equações em

‚

, poderiam ser obtidas observando o paralelismo que deve existir entre os vetores:

0. abc ), c , b , a ( v e ) z z , y y , x x ( P P_o = − _o − _o − _{o r} = ≠ → _r Exemplos

1. Determine uma equação da reta r que: a) passa pelos pontos P₁(3,−1,1) e P₂(2,1,2);

b) passa pelo ponto P(4,1,0) e contém representantes do vetor ) 2 , 6 , 2 ( ur = − . Solução:

a) Como P1 e P2 são distintos, determinam uma reta de equação vetorial IR h ; P P h P X= ₁ + _{1 2} ∈ → , isto é, r:(x,y,z)=(3,−1,1)+h(−1,2,1);h∈R.

b) 1 z 3 1 y 4 x : r − = − =

− ( equações simétricas da reta). 2. Verifique se o ponto P(−1,0,2) pertence às retas: a) r :(x,y,z)=(−7,−3,−7)+h (2,1,3);h∈IR b) ;h IR h 2 z h 1 y h 3 x : s ∈     = + − = + − = c) 2 4 z 3 y 2 1 x : t + = = − Solução:

a) P∈r se, e somente, existe ho ∈IR tal que:

(2,1,3) h ) 7 , 3 , 7 ( ,0,2) 1 (− = − − − + _o .

Ou seja, (6,3,9)= h_o(2,1,3). É fácil verificar que ho = 3 torna a igualdade acima verdadeira, logo P∈r.

b) P∈s se, e somente, existe ho ∈IR tal que

     = + − = − − = − o o o h 2 2 h 1 0 h 3 1

o que é impossível, pois, da primeira equação temos ho = 2− e da segunda ho = 1. Logo, P∉s. c) P∈t se, e somente, 2 4 2 3 0 2 1 1+ _{= =} − −

. Como 0≠−1 temos que P∉t. 3. Seja z 4 2 y 2 1 x :

r − = + = . Determine uma equação de r nas formas vetorial e paramétrica.

Solução:

Das equações simétricas de r temos vr_r =(2,4,1) e P(1,−2,0) é um ponto da reta r. Assim, (x,y,z) =(1,−2,0)+h (2,4,1); h∈IR e IR h ; h z h 4 2 y h 2 1 x ∈     = + − = + =

, são equações da reta r nas formas vetorial e paramétrica, respectivamente.

CAPÍTULO II - EQUAÇÕES DO PLANO

2.1 Equação Vetorial

Um dos axiomas da Geometria Espacial nos diz que três pontos não colineares determinam um plano. Consideremos então π o plano determinado pelos pontos A, B e C. Desejamos encontrar uma condição necessária e suficiente para que um ponto X pertença ao plano π. Observemos então que, como A, B e C são não colineares, os vetores

→ → AC e

BA são linearmente independentes com representantes em π. Portanto, um ponto X pertence ao plano π se, e somente se, o vetor

→

XB é coplanar com os vetores BA→ e AC→ .

Assim, existem escalares t e h tais que → → → + =tBA hAC XB .

Daí, um ponto X pertence ao plano π se, e somente se,

→ → + + =B tBA hAC X ; t,h ∈IR.

Esta equação é chamada de equação vetorial do plano ππ. X

A B

C D

Observemos que o fundamental na determinação da equação de um plano é conhecermos um ponto deste plano e dois vetores linearmente independentes, com representantes no mesmo. Um vetor com representante em um plano é dito paralelo ao plano.

Assim, uma equação vetorial de um plano α paralelo aos vetores LI v

e

ur r e que passa por Po é :

X= P_o +tur + hvr; t,h∈IR.

Observemos ainda que para cada ponto X do plano, existe um único par ordenado ( t, h ) satisfazendo a esta equação e reciprocamente.

2. 2 Equações Paramétricas

Fixemos um sistema de coordenadas do espaço. Sejam ur =

(

a₁,b₁,c₁

)

,

(

a2,b2,c2

)

v=

r _{vetores linearmente independentes paralelos ao plano α e}

(

o o o

)

o x ,y ,z

P um ponto de α . Assim, uma equação vetorial do plano α pode ser escrita como:

(

x,y,z

) (

= xo,yo,zo

) (

+ t a1,b1,c1

) (

+h a2,b2,c2

)

, t,h ∈IR. A equação acima equivale ao sistema:

     + + = ∈ + + = + + = h c t c z z IR h , t ; h b t b y y h a t a x x 2 1 o 2 1 o 2 1 o .

As equações deste sistema são chamadas equações paramétricas do plano α .α

Exemplos

1. Dê uma equação vetorial do plano determinado pelos pontos ) 0 , 1 , 1 ( A= ,B=(−1,2,1) e C=(3,2,1). P_o ur v r α

Solução: Como os vetores AB=(−2,1,1) → e CA=(−2,−1,−1) → são linearmente independentes, os pontos A, B e C não são colineares, logo determinam um único plano. Uma equação vetorial do plano ABC é :

) 1 , 1 , 2 ( h ) 1 , 1 , 2 ( t ) 0 , 1 , 1 ( ) z , y , x ( = + − + ; t,h∈IR

2. Dê as equações paramétricas do plano paralelo aos vetores ) 1 , 2 , 1 (

ur = − , vr =(1,0,3) e que passa pelo ponto P=(2,4,−1). Solução:

Como os vetores ur e vr são linearmente independentes então P, ur e vr determinam um plano de equações paramétricas:

    + + − = ∈ + = + − = h 3 t 1 z IR h t, ; 2t 4 y h t 2 x

3. Dê uma equação vetorial do plano β, dado a seguir;

    + = ∈ + + − = − + = β h 5 3 z IR h t, ; t 3 h 2 y t h 2 1 x : Solução:

Das equações paramétricas de β temos que P=(1,−2,3) é um ponto de β e os vetores ur =(2,1,5) e rv=(−1,3,0) são linearmente independentes com representantes em β. Assim, uma equação vetorial de β é dada por ;

) 0 , 3 , 1 ( h ) 5 , 1 , 2 ( t ) 3 , 2 , 1 ( ) z , y , x ( : = − + + − β ; t,h∈IR.

4. Determine as equações paramétricas do plano α paralelo ao vetor ) 2 , 1 , 5 (

Solução:

Observemos que os vetores ur =(5,1,2) e AB=(−1,0,−1)

→

são linearmente independentes com representantes no plano α . Assim, as equações paramétricas de α são:     − + = ∈ + − = − + = α t h 2 1 z IR h t, ; h 1 y t h 5 3 x : . 2. 3 Equação Geral

Seja α o plano determinado pelo ponto

(

xo,yo,zo

)

P e pelos vetores ur e vr. Lembremos que um ponto X(x, y, z)

pertence a α se, somente se, os vetores PX→ , ur e vr são coplanares. Assim, [PX,u,v]=0 → _{r r} , ou seja, (u×v)⋅P_oX=0 → r r _{. Considerando} ) c , b , a ( v ur ×r= , podemos escrever: 0 ) z z , y y , x x ( ) c , b , a ( ⋅ − _o − _o − _o = , ou equivalentemente, 0 d cz by ax+ + + = ,

•

onde d =−

(

ax_o +by_o +cz_o

)

. A equação

•

é chamada de equação geral do plano α.α

Dizemos que um vetor não nulo é normal a um plano se, somente se, é ortogonal a todos os vetores que possuem representantes neste plano. É usual indicarmos um vetor normal ao plano α por nr_α.

Observemos que os coeficientes a, b e c da equação geral do plano α correspondem às coordenadas de um vetor normal a este plano.

Po ur vr α X ur v r α Po α nr

Exemplos

1. Determine uma equação geral do plano α que passa pelo ponto ) 2 , 1 , 3 (

P= − e é paralelo aos vetores ur =(−1,1,2) e rv=(1,−1,0). Solução 1:

Como ur e vr são LI e têm representantes em α, podemos considerar nr_α

paralelo ao produto vetorial ur×vr=(2,2,0). Considerando nr_α =

(

2,2,0

)

, uma equação geral do plano α tem a forma 2x+2y+d=0 , para um certo valor real de d. Como o ponto P pertence ao plano α suas coordenadas satisfazem a esta equação, assim temos:

0 d 2 . 0 ) 1 .( 2 3 .

2 + − + + = , daí, d=−4 . Logo, 2x+2y−4=0 é uma equação do plano α.

Solução 2:

Seja nr_α =

( )

1,1,0 e X um ponto genérico de α. Então, P_oX⋅n_α =0

→ _r

, ou equivalentemente,

(

x −3,y+1,z− 2

) ( )

⋅ 1,1,0 =0.

Daí, uma equação geral do plano α é x+y−2=0.

2. Determine um vetor normal ao plano α nos seguintes casos: a) α : X =(1,0,1)+t(2,−1,3)+h(1,1,0); t,h∈IR. b)     + − = ∈ − + = + = α h 2 t z IR h , t ; h t 2 1 y t 3 2 x : . c) α : 2x −3y+z −1=0 Solução : a) nr_α = (2,−1,3)×(1,1,0)= (−3,3,3) b) nr_α =(3,2,−1)×(0,−1,2) =(3,−6,−3) c) nr_α = (2,−3,1) α nr α X Po

CAPÍTULO III - POSIÇÕES RELATIVAS DE DOIS

PLANOS

No espaço IR3 , dois planos α e β são paralelos ou concorrentes. Se os planos α e β são paralelos temos:

Observemos que dois planos são paralelos se, somente se , seus vetores normais são paralelos. Consideremos α :a₁x +b₁y+c₁z + d₁ =0 e

0 d z c y b x a : ₂ + ₂ + ₂ + ₂ =

β . Temos que α e β são paralelos se,

somente se, existe um real k tal que:

    = = = 2 1 2 1 2 1 kc c kb b ka a

Se os planos α e β são paralelos e, além disso, possuem um ponto em comum, então eles são coincidentes. Suponhamos que P(x₁,y₁,z₁) seja esse ponto comum. Assim, as coordenadas de P satisfazem às equações de α e β :    = + + + = + + + 0 d z c y b x a 0 d z c y b x a 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 . Ou equivalentemente,    = + + + = + + + 0 d z c y b x a 0 d z kc y kb x ka 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 Daí, d₁ =k

(

− a₂x₁ − b₂y₁− c₂z₁

)

. Logo, d₁ =kd₂. α ββ β nr α nr Paralelos distintos : α ∩β=φ α nr β nr α ≡β Paralelos coincidentes : α ≡β

Se os vetores normais dos planos α e β não são paralelos, então estes planos são concorrentes. Neste caso, eles se interceptam segundo uma reta r. Assim, um ponto

) z , y , x (

P pertence à reta r se, somente se, suas coordenadas satisfazem ao sistema:

   = + + + = + + + 0 d z c y b x a 0 d z c y b x a 2 2 2 2 1 1 1 1

Este sistema é denominado equação geral da reta r.

Observemos que um vetor direção da reta r ,vr_r, possui representantes nos planos α e β. Daí, vr_r é ortogonal a nv_α e ortogonal a r . Podemosn_β concluir então que vr_r é paralelo ao vetor nv_α ×nr_β.

Se os vetores nv_α e nr_β são ortogonais dizemos que os planos α e β são perpendiculares. Assim, dois planos são perpendiculares se, somente se, nv_α ⋅ nr_β =0.

Exemplos

1. Estude a posição relativa dos planos:

a) α :2x +y−z+1=0 e β :4x+2y−2z+2=0. b) α : X =(1,0,1)+t(2,1,3)+h(0,0,1); t,h∈IR e β :2x+y−z+1=0. c) α : X =(1,0,1)+t(2,1,3)+h(0,0,1); t,h∈IR e     − + = ∈ + = = β h t 5 2 z IR h , t ; t 2 1 y t 4 x : β α α nr β nr β nr α nr β α r r

v

r

Solução :

a) Observemos que nv_α =2nr_β, assim, os planos α e β são paralelos. Além disso, temos que d₁ =2d₂. Logo, podemos concluir que α e β são coincidentes. b) Consideremos os vetores nr_α =(2,1,3)×(0,0,1)=(1,−2,0) ) 1 , 1 , 2 (

nr_β = − . Como estes vetores não são paralelos, temos que os planos α e β são concorrentes. Se r é a reta interseção de α e β, então a equação geral de r pode ser dada pelo sistema:

   = + − + = − − 0 1 z y x 2 0 1 y 2 x : r .

Observemos ainda que nv_α ⋅ nr_β =0, assim α e β são perpendiculares. c) Consideremos os vetores nr_α = (1,−2,0) e nr_β =(−2,4,0). Observemos

que nv_α =−2nr_β, daí, os planos α e β são paralelos. No entanto, ) 1 , 0 , 1 (

P= pertence ao plano α e não pertence ao plano β. Consequentemente, α e β são estritamente paralelos.

2. Determine uma equação do plano β paralelo a α :2x−6y+4z−1=0 e que passa pelo ponto P=(1,0,−2).

Solução :

Como o plano β é paralelo ao plano α, temos que nv_β =knr_α , k≠0. Podemos então considerar nr_β =(−2,−6,4). Assim, podemos escrever:

0 d z 4 y 6 x 2 : − + + =

β . Para determinarmos o valor de d basta

utilizarmos o fato de que o ponto P pertence a β e por isso, satisfaz a sua equação. Daí, 2.1−6.0+4.(−2)+d =0, ou seja, d = 6. Logo, uma equação geral de β é 2x−6y+4z +6=0.

3. Dados os planos α :2x+4y−z +1=0 e β:−x+2y+z +2=0 determine uma equação vetorial da reta r interseção dos planos α e β.

Solução :

É fácil obtermos uma equação vetorial de uma reta se conhecemos dois de seus pontos. Ora, uma equação geral da reta r pode ser dada pelo sistema:    = + + + − = + − + 0 2 z y 2 x 0 1 z y 4 x 2 : r

•

Assim, basta conseguirmos dois pontos cujas coordenadas satisfaçam a este sistema. Como este sistema é possível e indeterminado, podemos conseguir uma solução considerando y=0. Então,

   = + + − = + − 0 2 z x 0 1 z x 2

Daí, x=−3, z=−5 e P(−3 ,0,−5) pertence à reta r. De modo análogo, se considerarmos x=0 no sistema

•,

obteremos , z 1

2 1 y=− =− e ) 1 , 2 1 , 0 (

Q= − − pertence à reta r. Daí, o vetor ,4) 2 1 , 3 ( PQ v_r = = − → r _{é um}

vetor direção da reta r e uma equação vetorial desta reta pode ser dada pela equação: R h ,4); 2 1 , 3 ( h ) 5 , 0 , 3 ( ) z , y , x ( : r = − − + − ∈ .

Uma outra maneira de determinarmos um vetor direção da reta r é obtida quando utilizamos o fato de que este vetor é paralelo ao vetor nv_α ×nr_β. Assim, podemos considerar rv_r =(2,4,−1)×(−1,2,1)=(6,−1,8) e

IR h 1,8); (6, h ) 5 , 0 , 3 ( z) y, (x, :

r = − − + − ∈ é uma equação outra vetorial

de r.

4. Dada a reta r :(x,y,z)=(1,−2,0)+h (2,4,1);h∈IR, determine uma equação geral da mesma.

Solução :

Devemos determinar as equações gerais de dois planos distintos α e β que contém a reta r.

Observemos que se um ponto não pertence a uma reta, o plano determinado por este ponto e esta reta, naturalmente, contém a reta.

Assim, seja α o plano determinado pela reta r e pelo ponto P(0,0,−1). O vetor normal de α pode ser dado por

→ α =v ×AP

nr r_r , onde A é um ponto de r.

Então, considerando A(1,−2,0) temos que nr_α =(−6,1,8) e 0 d z 8 y x 6 :− + + + = α .

Para determinarmos o valor de d, substituimos na equação anterior as cooordenadas de um ponto qualquer de α. Por exemplo, substituindo as coordenadas do ponto P, obtemos : −6.0+0+8.(−1)+d=0. Daí, d=8 e α:−6x+y+8z+8=0.

A equação geral do plano β é obtida de modo análogo ao utilizado para obtenção da equação do plano α. Chamamos porém a atenção especial para a escolha do ponto: agora ele deve ser escolhido fora do plano α.α Considerando o plano β determinado pela reta r e pelo ponto O(0,0,0) temos que: ) 8 , 1 , 2 ( AO v n = _r× = − − → β r r e β:−2x−y+8z+d=0.

Como o plano β passa pela origem do sistema de coordenadas temos que d = 0 .

Logo, β:−2x−y+8z=0, portanto uma equação geral da reta r é

   = + − − = + + + − 0 z 8 y x 2 0 8 z 8 y x 6 : r P α r

v

r

r

A P α r r

v

r

A β O