Intensidade acustica supersonica : implementação e verificação

(1)

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

FACULDADE DE ENGENHARIA MEC ˆ

ANICA

COMISS ˜

AO DE P ´

OS-GRADUAC

¸ ˜

AO EM ENGENHARIA MEC ˆ

ANICA

Intensidade Ac´

ustica Supersˆ

onica:

implementa¸c˜

ao e verifica¸c˜

ao

Autor: Elson C´esar Moraes

Orientador: Prof. Dr. Jos´e Maria Campos dos Santos

(2)

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

FACULDADE DE ENGENHARIA MEC ˆ

ANICA

COMISS ˜

AO DE P ´

OS-GRADUAC

¸ ˜

AO EM ENGENHARIA MEC ˆ

ANICA

DEPARTAMENTO DE MEC ˆ

ANICA COMPUTACIONAL

Intensidade Ac´

ustica Supersˆ

onica:

implementa¸c˜

ao e verifica¸c˜

ao

Orientador: Prof. Dr. Jos´e Maria Campos dos Santos

Curso: Engenharia Mecˆanica ´

Area de concentra¸cão: Mecânica dos Sólidos e Projeto Mecânico

Disserta¸cão de mestrado apresentada à comissão de Pós-Gradua¸cão da Faculdade de Engenharia Mecânica, como requisito para a obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Engenharia Mecânica.

Campinas, 2006 SP - Brasil

(3)

FICHA CATALOGR ´AFICA ELABORADA PELA

BIBLIOTECA DA ´AREA DE ENGENHARIA E ARQUITETURA - BAE - UNICAMP

Moraes, Elson C´esar

M791i Intensidade acústica supersônica: implemente¸cão e verifica¸cão / Elson Cesar Moraes. – Campinas, SP: [s.n], 2006.

Orientador: Jos´e Maria Campos dos Santos

Disserta¸c˜ao (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Mecˆanica.

1. Holográfia acústica. 2. Som - Intensidade. 3. Ondas acústicas superficiais. 4. Vibra¸cão. 5. Vibra¸cão -Medi¸cão. I. Santos, José Maria Campos dos. II.

Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Mecˆanica. III. T´ıtulo

Titulo em Inglˆes: Supersonic acoustic intensity: implementation and evaluation Palavras-chave em Inglˆes: Nearfield acoustic holography, Supersonic acoustic

intensity, Vibroacoustic ´

Area de concentra¸cão: Mecânica dos Sólidos e Projeto Mecânico Titula¸cão: Mestre em Engenharia Mecânica

Banca examinadora: Jos´e Roberto de Fran¸ca Arruda, Pablo Siqueira Meirelles e Stelamaris Rolla Bertoli

(4)

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

FACULDADE DE ENGENHARIA MEC ˆ

ANICA

COMISS ˜

AO DE P ´

OS-GRADUAC

¸ ˜

AO EM ENGENHARIA MEC ˆ

ANICA

DEPARTAMENTO DE MEC ˆ

ANICA COMPUTACIONAL

DISSERTAC¸ ˜AO DE MESTRADO

Intensidade Ac´

ustica Supersˆ

onica:

implementa¸c˜

ao e verifica¸c˜

ao

Orientador: Prof. Dr. Jos´e Maria Campos dos Santos Banca Examinadora:

Prof. Dr. Jos´e Roberto de Fran¸ca Arruda , Presidente Faculdade de Engenharia Mecˆanica - UNICAMP

Prof. Dr. Pablo Siqueira Meirelles

Faculdade de Engenharia Mecˆanica - UNICAMP

Prof. Dra. Stelamaris Rolla Bertoli

Faculdade de Engenharia Civil - UNICAMP

(5)

Dedicat´

oria

Dedico este trabalho aos meus pais, Domingos Borges Mores (In Memorian) e Joana Leonor. N. Moraes.

(6)

“Não há saber mais ou saber menos, há apena saberes diferentes” Paulo Freire

(7)

Agradecimentos

Gostaria de agradecer `as pessoas e institui¸c˜oes que colaboraram para o sucesso deste trabalho:

• Primeiramente agrade¸co a Deus por todas as minha conquistas.

• Ao CNPQ pelo apoio financeiro durante o desenvolvimento deste trabalho.

• A todos professor do Departamento de Mecânica Computacional da Faculdade de Engenharia Mecânica da Universidade Estadual de Campinas, pela colabora¸cão e aten¸cão dispensadas. • Em especial ao meu orientador professor José Maria, pela oportunidade concedida a mim para

que eu realizasse o meu mestrado em uma institui¸c˜ao de tanto renome como a UNICAMP, pelo grande apoio durante todo o desenvolvimento do nosso trabalho e principalmente durante a fase de conclus˜ao.

• Agrade¸co ao professor Arruda pela dicas importantes durante a realiza¸c˜ao deste trabalho. • Agrade¸co ao Lazaro Donadom pela ajuda durante a realiza¸c˜ao da parte experimental deste

trabalho, mais uma vez aos amigos (irmãos) Vilson e Silvio também pela ajuda na parte experimental e implementa¸cão computacional deste trabalho.

• Agrade¸co aos Professores Waldemir Silva de Lima e José Manuel Rivas Mercury pelo incentivo e orienta¸cão para que viesse fazer esta pós-gradua¸cão.

• A todos professores e colegas do Departamento de Mecˆanica Computacional, que ajudaram de de forma direta e indireta na realiza¸c˜ao deste trabalho.

• Aos funcionários do Departamento de Mecânica Computacional, Maria Elena , José Luis e Geraldo, pela ajuda direta ou indireta na realiza¸cão deste trabalho.

(8)

• Aos amigos mais pr´oximos: Simone, Ilson, Carlos Souto, Aldecir, Claudio Neves, Eberval, Luciene, Eliziane, Hayda, Katiuchia, Josimara, Mardonny, mais uma vez ao Vilson e ao Silvio e outros que me ajudaram nesta dif´ıcil caminhada, pela amizade e momentos de descontra¸c˜ao. Agradecimentos Especiais:

• A minha fam´ılia, minha mãe Joana Leonor aos meus irmãos Domilton e Domilcéia por todo apoio em todas as fases da minha vida.

• A minha namorada Karla pela compreens˜ao, pela ajuda e apoio concedidos nos momentos de maiores necessidades e dificuldades.

• E por último, mas não menos importante, a minha segunda mãe, minha tia Maria Dominga, pelo apoio concedido a mim em várias etapas da minha vida.

(9)

Resumo

Moraes, Elson César. Intensidade Acústica Supersônica: Implementa¸cão e verifica¸cão. Campinas: Faculdade de Engenharia Mecânica,Universidade Estadual de Campinas, 2006, 85 p. Dis-serta¸cão (Mestrado)

Neste trabalho apresenta-se uma implementa¸cão e avalia¸cão experimental da grandeza acústica de-nominada de Intensidade Acústica Supersônica (IAS), a qual permite determinar a parcela da in-tensidade acústica de uma fonte sonora que será radiada para o campo distante. Tal grandeza permite quantificar de forma mais precisa a eficiência de radia¸cão ou não de radiadores acústicos na solu¸cão dos problemas de vibroacústica. A IAS origina-se da Holografia Acústica de Campo Próximo (Nearfield Acoustic Holography - NAH ) e tem por objetivo identificar as regiões de uma fonte de ru´ıdo que contribuem para a potência sonora radiada para o campo distante (supersônica) filtrando, con-seqüentemente, a parcela referente as ondas sonoras recirculantes e evanescentes (subsônicas). O trabalho apresenta uma breve revisão teórica dos fundamentos da holografia acústica plana usando a transformada de Fourier e sua extensão para obten¸cão da Intensidade Acústica Supersônica. Com base no NAH para sistemas em coordenadas Cartesiano (holografia plana) implementou-se em lin-guagem MatLab um algoritmo do cálculo da IAS e simula¸cões em estrutura plana do tipo placa foram realizadas. Os resultados simulados foram verificados através de medi¸cões experimentais em uma placa real com as mesmas propriedades, dimensões, condi¸cões iniciais e de contorno. Os resul-tados obtidos são analisados e discutidos.

Palavras chaves: Holografia Acústica de Campo Próximo, Intensidade Acústica Supersônica, Vibroacústica.

(10)

Abstract

Moraes, Elson César. Supersonic Acoustic Intensity: implementation and evaluation. Campinas: Faculdade de Engenharia Mecânica,Universidade Estadual de Campinas, 2006, 85 p. Dis-serta¸cão (Mestrado)

This work presents an experimental implementation and evaluation of the acoustic parameter named Supersonic Acoustic Intensity (SAI) which permits determining the part of the acoustic intensity of sound source that will be radiate to farfield. This parameter permits quantify precisely the radiation efficiency or acoustic radiator to solve the vibroacoustic problems. SAI had origin from Nearfield Acoustic Holography (NAH) it has as objective identify the regions of the sound source that contribute to the sound power radiated to the far field (supersonic) filtered out as a result the part of the sound recirculating and evanescence waves (subsonic). The work presents a brief theoretical review of the planar acoustic holography fundaments using the Fourier Transformed and its extension to obtain the supersonic acoustic intensity. With base in the NAH for coordinates systems (planar holography) it was implemented in MatLab language an algorithm from the SAI calculus and simulation in planar structure type plate were achieved. The simulated results were verified through experimental measurements in a realistic plate with the same properties, dimension, initial conditions and boundaries. The results obtained are analyzed and discussed.

(11)

Sum´

ario

1 Introdu¸c˜ao 1

1.1 Objetivo geral e objetivos especif´ıcos . . . 1

1.2 Motiva¸c˜ao da pesquisa nesta ´area . . . 1

1.3 Revis˜ao Bibliogr´afica . . . 3

2 Fundamenta¸cão Teórica 10 2.1 Equa¸cão da onda acústica . . . 10

2.2 Equa¸c˜ao de Helmholtz . . . 15

2.3 Integrais de Rayleigh . . . 16

2.4 Holografia convencional e holografia generalizada . . . 18

2.5 Holografia ac´ustica de campo pr´oximo . . . 18

2.6 Holografia generalizada plana . . . 21

2.7 Campo de velocidade das part´ıculas . . . 24

2.8 Intensidade ac´ustica . . . 25

2.9 Vibra¸c˜ao de placas finitas em um modo normal . . . 25

2.10 Radia¸c˜ao para o campo distante . . . 27

2.11 Vibra¸c˜ao e radia¸c˜ao de placas finitas . . . 29

2.12 Eficiˆencia de radia¸c˜ao para placas retangulares . . . 32

2.13 Intensidade Ac´ustica Supersˆonica(IAS) . . . 36

3 Simula¸cões Numéricas 39 3.1 Simula¸cão da Intensidade Acústica Supersônica dos modos de uma placa simplesmente apoiada. . . 39

3.2 An´alise dos resultados n´umericos . . . 46

4 An´alise Experimental 49 4.1 Placa vibrante-modelo experimental de uma placa retangular livre sem anteparo . . . 50

(12)

4.2 Placa vibrante-modelo experimental de uma placa retangular totalmente engastada com anteparo infinito . . . 53 4.3 Modelo te´orio da placa de Lexan . . . 62

5 Resultados experimentais 64

5.1 Resultados experimentais de uma placa retangular

livre sem anteparo . . . 64 5.2 Resultados experimentais de uma placa retangular totalmente engastada com anteparo

infinito . . . 72

6 Conclusões e sugestões para próximos trabalhos 80

6.1 Conclus˜oes . . . 80 6.2 Sugest˜oes para trabalhos futuros . . . 81

(13)

Lista de Figuras

2.1 Fluxo de massa atrav´es de um volume fixo dV na dire¸c˜ao x. . . 12

2.2 Sistema de coordenadas. . . 19

2.3 Representa¸cão esquemática do processo de reconstru¸cão holográfica ilustrando as on-das que se propagam e as onon-das evanescentes. . . 23

2.4 Representa¸c˜ao do sistema de cordenadas com o plano z = 0. . . 25

2.5 Interpreta¸c˜ao geometrica da primeira integral de Rayleigh . . . 27

2.6 Diagrama do espa¸co k com o circulo de radia¸c˜ao . . . 28

2.7 Os nove primeiros modos de vibra¸c˜ao de uma placa plana simplesmente apoiada . . . 31

2.8 Eficiência de radia¸cão para modos mais baixos de uma placa quadrada Wallace (1972) 32 2.9 Eficiência de radia¸cão para modos mais altos de uma placa quadrada Wallace (1972) . 33 2.10 Classifi¸cão da radia¸cão dos modos normais de uma placa simplesmente apoiada, (Williams, 1999) . . . 33

2.11 Diagrama do espa¸co k com os modos representados como pontos, (Williams, 1999) . . 34

2.12 Modo de superf´ıcie da intensidade normal (simulado) . . . 34

2.13 Modo de borda da intensidade normal (simulado) . . . 35

2.14 Modo de canto da intensidade normal (simulado) . . . 35

2.15 Representa¸c˜ao do sistema de cordenadas com o plano z = 0. . . 36

2.16 Representa¸c˜ao da propaga¸c˜ao de onda do espa¸co real para o espa¸co k onde ocorre a filtragem das ondas evanescentes. . . 38

3.1 Esquema de uma placa, montada em um anteparo, excitada por uma fonte . . . 39

3.2 Modos do deslocamento da placa simplesmente apoiada em vis˜ao 3D . . . 40

3.3 Modos da velocidade normal da placa . . . 41

3.4 Modos da velocidade normal no espa¸co do n´umero de ondas . . . 41

3.5 Modos da press˜ao no espa¸co do n´umero de ondas . . . 42

3.6 Modos da press˜ao no espa¸co real . . . 42

(14)

3.8 Modos da intensidade normal no espa¸co real em vis˜ao 3D . . . 43

3.9 Modos da intensidade normal no espa¸co real em vis˜ao 2D . . . 44

3.10 Modos da velocidade supersˆonica normal no espa¸co real . . . 44

3.11 Modos da press˜ao normal supersˆonica no espa¸co real . . . 45

3.12 Modos da intensidade acústica supersônica em visão 3D . . . 45

3.13 Modos da intensidade acústica supersônica em visão 2D . . . 46

3.14 Modos do deslocamento da placa, resultado simulado . . . 46

3.15 Modos do deslocamento da placa, resultado apresentado por, (Williams, 1998) . . . . 47

3.16 Modos da intensidade ac´ustica supersˆonica da placa, resultado simulado . . . 47

3.17 Modos da intensidade ac´ustica supersˆonica da placa, resultado apresentado por, (Williams, 1998) . . . 47

4.1 Vis˜ao interna da sala pouco reveberante . . . 50

4.2 Posicionamento entre a placa e a grade de microfones, (Colinas, 199) . . . 51

4.3 Montagemdo experimento no interior da câmara pouco reverberante, (Colinas, 1999) . 51 4.4 Fixa¸cão do excitador eletrodinâmico e conexão do transdutor de for¸ca com a estrutura, (Colinas, 1999) . . . 52

4.5 Arranjo de microfones, (Colinas, 1999) . . . 52

4.6 Fun¸cão de Resposta em Freqüência do experimento da placa, (Colinas, 1999) . . . 53

4.7 Placa de a¸co fixada na pareda da sala . . . 53

4.8 Placa de Policarbonato (Lexan) . . . 54

4.9 Janela aberta em uma das paredes da sala pouco reveberante . . . 55

4.12 Esquema da grade de microfones posicionada em frente a placa, vista de frente . . . . 56

4.13 Esquema dos pontos medidos pelos microfones . . . 57

4.14 Esquema da grade de microfones posicionada em frente a placa, vista de lateral . . . . 57

4.15 Esquema da grade de microfones posicionada em frente a placa, vista de superior . . . 57

4.16 Esquema geral de montagem do experimento . . . 58

4.17 Montagem da medi¸c˜ao dentro da sala pouco reveberante . . . 58

4.18 Parte da montagem do sistema de aquisi¸c˜ao fora da sala pouco reveberante . . . 59

(15)

4.20 Seis primeiros modos experimentais da placa de Lexan engastada: (a) Primeiro modo ; (b)Segundo modo; (c) Terceiro modo; (d) Quarto modo; (d) Quinto modo;(d) Sexto modo . . . 62 4.21 Modos de vibrar da placa de Lexan simulados por Elementos Finitos no programa

ANSYS: (a) Primeiro modo ; (b)Segundo modo; (c) Terceiro modo; d) Quarto modo; (e) Quinto modo;(f) Sexto modo;(h) Sétimo modo; (h) Oitavo modo;(i) Nono modo . 63 5.1 Pressão acústica subsônica - placa livre (k = 2.0; kf = 21.38; γ = 0.0935) . . . 65

5.2 Velocidade normal da part´ıcula subsˆonica - placa livre (k = 2.0; kf = 21.38; γ = 0.0935) 65

5.3 Vista 3D da distribui¸c˜ao da intensidade normal - placa livre (k = 2.0; kf = 21.38;

γ = 0.0935) . . . 65 5.4 Vista plana da distribui¸c˜ao da intensidade normal - placa livre (k = 2.0; kf = 21.38;

γ = 0.0935) . . . 65 5.5 Pressão acústica supersônica - placa livre (k = 2.0; kf = 21.38; γ = 0.0935) . . . 66

5.6 Velocidade normal da part´ıcula supersˆonica - placa livre (k = 2.0; kf = 21.38; γ =

0.0935) . . . 66 5.7 Vista 3D da distribui¸c˜ao da intensidade normal supersˆonica - placa livre (k = 2.0;

kf = 21.38; γ = 0.0935) . . . 67

5.8 Vista plana da distribui¸c˜ao da intensidade normal supersˆonica - placa livre (k = 2.0; kf = 21.38; γ = 0.0935) . . . 67

5.9 Pressão acústica subsônica - placa livre (k = 22.0; kf = 21.38; γ = 1.044) . . . 67

5.10 Velocidade normal da part´ıcula subsˆonica - placa livre (k = 22.0; kf = 21.38; γ = 1.044) 67

5.11 Vista 3D da distribui¸c˜ao da intensidade normal subsˆonica - placa livre (k = 22.0; kf = 21.38; γ = 1.044) . . . 68

5.12 Vista plana da distribui¸c˜ao da intensidade normal subsˆonica - placa livre (k = 22.0; kf = 21.38; γ = 1.044) . . . 68

5.13 Pressão acústica supersônica - placa livre (k = 22.0; kf = 21.38; γ = 1.044) . . . 68

5.14 Veloc. normal da supersˆonica - placa livre (k = 22.0; kf = 21.38; γ = 1.044) . . . 68

5.15 Vista 3D da distribui¸c˜ao da intensidade normal supersˆonica - placa livre (k = 22.0; kf = 21.38; γ = 1.044) . . . 68

5.16 Vista plana da distribui¸c˜ao da intensidade normal supersˆonica - placa livre (k = 22.0; kf = 21.38; γ = 1.044) . . . 68

(16)

5.17 Variáveis acústica subsônica - placa livre (k = 2.0; kf = 17.56; γ = 0.1139): (a)

Pressão; (b) Velocidade normal; (c) Intensidade normal-vista 3D; (d) Intensidade normal-vista plana . . . 69 5.18 Variáveis acústica supersônica - placa livre (k = 2.0; kf = 17.56; γ = 0.1139): (a)

Pressão; (b) Velocidade normal; (c) Intensidade normal-vista 3D; (d) Intensidade normal-vista plana . . . 70 5.19 Variáveis acústica subsônica - placa livre (k = 16.0; kf = 17.56; γ = 0.9113): (a)

Pressão; (b) Velocidade normal; (c) Intensidade normal-vista 3D; (d) Intensidade normal-vista plana . . . 71 5.20 Variáveis acústicas supersônicas - placa livre (k = 16.0; kf = 17.56; γ = 0.9113):

(a) Pressão; (b) Velocidade normal; (c) Intensidade normal-vista 3D; (d) Intensidade normal-vista plana . . . 71 5.21 Pressão acústica subsônica - placa engastada (k = 4.0; kf = 52.79; γ = 0.0758) . . . . 72

5.22 Veloc. normal subsˆonica - placa engastada (k = 4.0; kf = 52.79; γ = 0.0758) . . . 72

5.23 Vista 3D da distribui¸c˜ao da intensidade normal subsˆonica - placa engastada (k = 4.0; kf = 52.79; γ = 0.0758) . . . 73

5.24 Vista plana da distribui¸c˜ao da intensidade normal subsˆonica - placa engastada (k = 4.0; kf = 52.79; γ = 0.0758) . . . 73

5.25 Pressão acústica supersônica - placa engastada (k = 4.0; kf = 52.79; γ = 0.0758) . . . 73

5.26 Veloc. normal supersˆonica - placa engastada (k = 4.0; kf = 52.79; γ = 0.0758) . . . . 73

5.27 Vista 3D da distribui¸c˜ao da intensidade normal supersˆonica - placa engastada (k = 4.0; kf = 52.79; γ = 0.0758) . . . 73

5.28 Vista plana da distribui¸c˜ao da intensidade normal supersˆonica - placa engastada (k = 4.0; kf = 52.79; γ = 0.0758) . . . 73

5.29 Variáveis acústicas supersônicas - placa simplesmente apoiada (k = 1.0; kf = 4.44;

γ = 0.2251): (a) Pressão supersônica; (b) Intensidade supersônica . . . 74 5.30 Pressão acústica subsônica - placa engastada (k = 52.0; kf = 52.79; γ = 0.985) . . . . 75

5.31 Veloc. normal subsˆonica - placa engastada (k = 52.0; kf = 52.79; γ = 0.985) . . . 75

5.32 Vista 3D da distribui¸c˜ao da intensidade normal subsˆonica - placa engastada (k = 52.0; kf = 52.79; γ = 0.985) . . . 75

5.33 Vista plana da distribui¸c˜ao da intensidade normal subsˆonica - placa engastada (k = 52.0; kf = 52.79; γ = 0.985) . . . 75

(17)

5.35 Veloc. normal supersˆonica - placa engastada (k = 52.0; kf = 52.79; γ = 0.985) . . . . 75

5.36 Vista 3D da distribui¸c˜ao da intensidade normal supersˆonica - placa engastada (k = 52.0; kf = 52.79; γ = 0.985) . . . 76

5.37 Vista plana da distribui¸c˜ao da intensidade normal supersˆonica - placa engastada (k = 52.0; kf = 52.79; γ = 0.985) . . . 76

5.38 Variáveis acústicas subsônicas - placa engastada (k = 2.0; kf = 41.98; γ = 0.0476):

(a) Pressão; (b) Velocidade normal; (c) Intensidade normal-vista 3D; (d) Intensidade normal-vista plana . . . 77 5.39 Variáveis acústicas supersônicas - placa engastada (k = 2.0; kf = 41.98; γ = 0.0476):

(a) Pressão; (b) Velocidade normal; (c) Intensidade normal-vista 3D; (d) Intensidade normal-vista plana . . . 77 5.40 Variáveis acústicas subsônicas - placa engastada (k = 42.0; kf = 41.98; γ = 1.0):

(a) Pressão; (b) Velocidade normal; (c) Intensidade normal-vista 3D; (d) Intensidade normal-vista plana . . . 78 5.41 Variáveis acústicas supersônicas - placa engastada (k = 42.0; kf = 41.98; γ = 1.0):

(a) Press˜ao; (b) Velocidade normal; (c) Intensidade normal-vista 3D; (d) Intensidade normal-vista plana . . . 79

(18)

Lista de Tabelas

4.1 Equipamentos utilizados no experimento . . . 49 4.2 Equipamentos utilizados no experimento . . . 59

(19)

Nomenclatura

Letras Latinas

a Vetor acelera¸c˜ao

c Velocidade do som no meio fluido dA Diferencila de ´area

df Diferencial de for¸ca

dm Diferencial de massa

dV Diferencial de volume

D Rigidez de flex˜ao de uma placa F−₁

Transformada inversa de Fourier

G Fun¸c˜ao de Green

∂G/∂n Derivada normal de G em rela¸c˜ao a rs

i parte imagin´aria (√₋₁₎

I(s) _{Intensidade ac´}_{ustica supersˆonica}

k N´umeros de onda

kx, ky, kz N´umeros de onda na dire¸c˜ao do eixo

kf N´umero de onda livre

Mx, My Momentos de flex˜ao de uma placa finita

N (rH) Condi¸c˜ao de contorno do tipo Neuman no plano definido por zH

P Amplitude complexa da pressão no espa¸co do número de ondas p Distribui¸cão da pressão no plano

p(s) _{Campo de press˜ao supersˆonica}

˙

W Amplitude complexa da velocidade normal no espa¸co do n´umero de ondas ˙

w Distribui¸c˜ao da velocidade normal no plano ˙

w(s) _{Velocidade normal supersˆonica}

r Vetor posi¸c˜ao relativo ao ponto observador r0 Vetor posi¸c˜ao relativo ao ponto fonte

r_H Vetor posi¸c˜ao relativo `a superf´ıcie S

R Constante do g´as

Re Parte real de um n´umero ou matriz complexa s Condensa¸c˜ao em qualquer ponto

S(r) Intensidade ac´ustica

t Tempo

v Velocidade da part´ıcula em determinado ponto V(r) Campo velocidade das part´ıculas

x, y, z Coordenadas do sistemas cartesiano zH Posi¸c˜ao do plano de medi¸c˜ao

(20)

Letras Gregas

β Módulo de elasticidade volumétrica adiabática γ Eficiência de radia¸cão

ϑ Raz˜ao entre o calor espec´ıfico em press˜ao constante e em volume constante

λ Comprimento de onda

Λ Coeficiˆente de radia¸c˜ao

µ Densidade do fluido

µ0 Densidade de equl´ıbrio constante do fluido

ρ Distribui¸c˜ao da fonte geradora do campo ac´ustico η Velocidade normal de superf´ıcie

ω Frequˆencia angular

ξ1, ξ2, ξ3 Sistema de coordenadas cartezianas para uma superf´ıcie gen´erica

ψ Pressão de acústica em qualquer ponto ψe Pressão de equilibrio constante no fluido

ψi Press˜ao instantˆanea em qualquer ponto

ψrH Condi¸c˜ao de contorno do tipo Dirichlet no plano definido por zH ˜

ψ(r, ω) Transformada de Fourier do campo ac´ustico Φmn Modos ortogonais de uma placa finita

∇ Operador gradiente

∇. Operador divergente

∇2 _{Operador Laplaciano}

˜ Campo complexo

ˆ Transformada de Fourier bidimensional

∗ Conjugado de uma matriz

Siglas

DFT Transformada de Fourier Discreta DtN Dirichlet Neuman

FFT Transformada Rápida de Fourier FRF Fun¸cão de Resposta em Freqüência IAS Intensidade Acústica Supersônica NAH Holográfia Acústica de Campo Próximo RDFS Série de Fourier Discreta Regressiva

(21)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸c˜

ao

1.1 Objetivo geral e objetivos especif´ıcos

Este trabalho tem como objetivo geral investigar a gradeza acústica chamanda de Intensidade Acústica Supersônica para aplica¸cão em estruturas do tipo placas.

Os objetivos espec´ıficos seram divididos nas seguintes etapas:

• Implementar uma algortimo do c´alculo da intensidade ac´ıstica supersˆonica, simular um mode-lo de placa e comparar os resultados obtidos com os existentes na literatura;

• Construir um modelo de placa totalmente engastado para realiza¸c˜ao de medidas experimentais; • Comparar os resultados simulados e experimentais em termos se similaridade.

1.2 Motiva¸c˜

ao da pesquisa nesta ´

area

Com o aumento da competitividade fruto da globaliza¸cão, as industrias têm buscado incansavel-mente a melhoria de seus produtos em vários aspectos tais como: seguran¸ca, conforto e durabili-dade. Assim, setores indústriais que trabalham com produtos cujo ru´ıdo é um fator de fundamental importância para qualidade dos mesmos, têm investido grandes recursos na busca de solu¸cões de problemas gerados dentro desde campo da engenharia. Algumas industrias como a automobil´ıstica, aeronáutica, de eletrodomésticos e outras, onde a emissão sonora de alguns produtos é um fator indesejado, têm investido em tecnologias que melhorem a qualidade acústica de seus produtos que é um aspecto de grande importância para os consumidores no momento da compra. Embora o termo “qualidade acústica”seja utilizado para designar toda uma sub-área de conhecimento da acústica, onde caracter´ısticas do sinal sonoro ligadas à sua varia¸cão temporal e à sua distribui¸cão espectral sejam de fundamental importância, a capacidade de controlar ou reduzir a potência sonora emitida por determinada fonte também pode, num sentido amplo, ser considerada como um passo para a

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melhoria de sua “qualidade acústica”. Por outro lado, há indústrias onde a potência sonora é fator que mantém rela¸cão direta com a imagem de qualidade que o produto projeta sobre os consumidores potencial, como a de alto-falantes. Em ambos os casos, a compreensão do mecanismo de gera¸cão de ru´ıdo desempenha papel fundamental no desenvolvimento de produtos com qualidade acústica cada vez melhor.

A preocupa¸cão crescente com a qualidade dos produtos manufaturados com rela¸cão aos n´ıveis de ru´ıdo emitidos vem gerando a necessidade de técnicas experimentais melhores e mais rápidas na análise do desempenho de tais produtos. Estas análises consistem em mapear e quantificar as fontes de energia acústica. Isto é feito com o aux´ılio de medi¸cões do campo de pressão acústica e velocidade de part´ıcula, em superf´ıcies que vibram e geram informa¸cões sobre o fluxo de energia irradiado pela estrutura. Como exemplo podemos citar os mapas vetoriais de intensidade acústica. Devido ao alto conteúdo de informa¸cões que o processo de medi¸cão oferece e o não contato com a estrutura analisada, sua aplica¸cão é favorecida em diferentes áreas da engenharia em geral, com algumas expl´ıcitas vantagens, em particular nos métodos de análise de sistemas vibroacústicos (Colinas 1999). Na busca de solu¸cão de problemas vibroacústicos, muitos pesquisadores e cientistas vêm tra-balhando no desenvolvimento e implementa¸cão de ferramentas que sejam eficientes na resolu¸cão ou mimimiza¸cão de tais problemas. Dentre estas ferramentas podemos citar a Holografia Acústica de Campo Próximo (do inglês, “Nearfield Acoustic Holografia-NAH”), esta técnica consiste em cons-truir um holograma usando ondas sonoras que se propagam para um campo próximo da fonte. A mesma pode apresentar bons resultados na análise de problemas de vibroacústica. Nos últimos 20 anos vários trabalhos nesta área foram publicados, dentre os mais significativos podemos citar os de (Williams 1999). Essa técnica provem da holografia generalizada, que consiste da realiza¸cão de medi¸cões de um campo acústico sobre um superf´ıcie bidimencional, obtendo-se assim o holograma medido. A partir desse holograma medido em um campo próximo da fonte é poss´ıvel determinar um campo de pressão tridimensional, ou seja, o holograma reconstruido em qualquer posi¸cão do espa¸co utilizando-se a técnica de NAH.

Outra técnica importante e a da intensidade acústica supersônica (IAS), esta foi desenvolvida por Williams (1995),a mesma tem se mostrado uma ferramenta importante para a localiza¸cão de fontes de radia¸cão. A IAS é composta somente de componentes de onda que irradiam para o campo distante. Esta é obtida através do processamento dos dados da holografia acústica, onde são removi-das as componentes de onremovi-das que não irradiam para o campo distante, ou seja, as componentes de ondas evanescentes (subsônicas). Desta forma, a IAS mostra-se como uma ferramenta poderosa para compreender, analisar e controlar radia¸cão de ru´ıdo.

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1.3 Revis˜

ao Bibliogr´

afica

A técnica de holografia acústica data da década de setenta, os aperfei¸coamentos sobre a quali-dade dos resultados por ela fornecidos e das situa¸cões onde pode ser aplicada come¸caram a surgir no in´ıcio da década de 80. Williams e Maynard (1980) introduzem a técnica de holografia acústica de campo próximo (Nearfield Acoustic Holografia-NAH), na qual o limite de metade do compri-mento de onda para a resolu¸cão da distribui¸cão recuperada de velocidade na superf´ıcie da fonte é superada através de medi¸cões efetuadas a grande proximidade desta, de modo a captar também as componentes evanescentes, responsáveis pelo aumento da resolu¸cão. Posteriormente Stepanishen e Benjamin (1982) sistematizam o uso da transformada de Fourier e de sua versão rápida (FFT) para predi¸cão da radia¸cão acústica de fontes planas, assim como para o problema inverso.

Williams e Maynard (1982) estudaram os erros introduzidos pelo uso da FFT no lugar da trans-formada cont´ınua de Fourier para o cálculo da integral de Rayleigh no problema direto de radia¸cão acústica de uma placa plana em um anteparo. Os autores mostraram que devido ao fato do espectro da velocidade normal à superf´ıcie da fonte ser discretizado, ao inverter a FFT são geradas fontes replicadas que são, segundo os autores, responsáveis pelos desvios entre os resultados fornecidos pela FFT e pela transformada cont´ınua.

Maynard et al. (1985) destacaram as particularidades da holografia acústica em rela¸cão à sua correspondente óptica. Destacaram também a existência de ondas evanescentes geradas por com-primentos de ondas estruturais menores do que o comprimento de onda acústico, identificando-os como causadores do mau condicionamento do problema inverso. Os autores, a semelhan¸ca de Stepanishen e Benjamin (1982) propõem a filtragem do espectro espacial da pressão acústica medida como uma técnica para evitar a amplifica¸cão de erros causada por esses comprimentos de onda. Detalham também o papel das componentes evanescentes na resolu¸cão da distribui¸cão recuperada de velocidades normais à fonte, mostrando que quanto maior for o máximo número de onda levado em considera¸cão no espectro espacial da pressão acústica, melhor será a resolu¸cão no resultado. São também esbo¸cados os tratamentos para os problemas inversos para geometrias cil´ındricas e esféricas, além de apresentar um técnica para cálculo de quaisquer grandezas acústicas do campo gerado pela fonte em estudo, tais como velocidade de part´ıcula, direcionalidade e vetor de intensidade, além da potência da fonte. É também acenada a possibilidade do uso da holografia acústica em ambientes não anecóicos nos quais se tenha alguma informa¸cão da sua influência sobre o campo sonoro, tais como a presen¸ca de pisos r´ıgidos e paredes paralelas. O trabalho conta com uma extensão Veronesi e Maynard (1987) onde a implementa¸cão computacional é detalhada, assim como algumas técnicas para melhoria dos resultados obtidos para os problemas direto e inverso.

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Williams et al. (1987) apresentaram uma abordagem detalhada do problema inverso em geome-trias cil´ındricas. Mostram que o campo acústico pode, nesses casos, ser expresso através do espectro helicoidal que consiste na decomposi¸cão harmônica da sua varia¸cão nas dire¸cões axial e circunferen-cial. Obtêm uma rela¸cão entre as pressões acústicas em duas superf´ıcies cil´ındricas concêntricas quais-quer, dada por uma razão entre fun¸cões de Hankel de primeira espécie, em contraposi¸cão ao caso plano, onde a rela¸cão entre pressões em dois planos quaisquer é dada por uma razão de exponenciais (Maynard et al. 1985). Detalham também a gera¸cão de componentes evanescentes, observando que na dire¸cão axial seu comportamento é semelhante àquele observado em geometrias planas, enquanto que, na dire¸cão circunferencial tais componentes apresentam um decaimento da forma r−_m

onde m está relacionado ao comprimento nessa mesma dire¸cão, ao invés da forma exponencial observada em fontes planas (Maynard et al. 1985). Além disso, os autores mostram que esses componentes, para além de certa distância à superf´ıcie da fonte, deixam de ser evanescentes, tornando-se propagantes.

Loyau et al. (1988) apresentaram um método para solu¸cão do problema inverso quando fontes planas de banda larga estão envolvidas. Nesse caso, os autores apontaram a dificuldade existente para a medi¸cão da fase relativa entre as medi¸cões de pressão no campo e a velocidade normal à fonte, grandeza fundamental para a solu¸cão do problema. Introduzem então uma técnica baseada em medi¸cões de intensidade. Mostram que tal defasagem pode ser obtida através das transformadas de Fourier espaciais das componentes da intensidade acústica em um plano qualquer paralelo à fonte. A partir da´ı obtêm a fase da pressão no plano de medi¸cão, utilizando, em seguido, técnicas convencionais de holografia acústica (Maynard et al. 1985) e (Veronesi e Maynard 1987).

Hald (1989) descreve um sistema para medi¸cões usando holografia acústica de campo próximo capaz de analisar fontes cuja velocidade superficial seja resultante de uma superposi¸cão de várias excita¸cões mutuamente não relacionadas. Descreve a metodologia matemática para separa¸cão de tais componentes, mediante o uso de microfones de referência em um número igual ao de componentes não-correlatos existentes no campo. A partir da´ı é utilizada a metodologia descrita por Maynard et al. (1985) para a proje¸cão do campo em dire¸cão à fonte que é a baseada na equa¸cão integral de Kirchoff-Helmholtz, descrita por Veronesi e Maynard (1987), para a proje¸cão na dire¸cão oposta. O autor apresenta também uma técnica de valida¸cão dos sinais de referência a serem utilizados.

O trabalho de Sarkissian (1990) aborda a holografia acústica de campo próximo para corpos axissimétricos. Propõe a expansão do campo acústico, assim como da velocidade normal à fonte, em uma base cujos componentes estão relacionados aos auto-vetores do problema resolvido para freqüência nula (problema de Laplace). O autor destaca que para geometrias separáveis, tais como cilindros e esferas, o papel desses auto-vetores é o desempenhado pelos polinômios de Legendre. As

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fun¸cões da base na qual o campo acústico será decomposto são constru´ıdas multiplicando uma fun¸cão que expressa a sua varia¸cão harmônica na dire¸cão circunferencial pelos auto-vetores do problema de Laplace correspondente. Os experimentos numéricos apresentados são satisfatórios para geometrias simples (cilindro com tampas planas), não havendo nenhum teste com geometrias axissimétricas mais complexas.

Villot et al. (1992) introduzem um método que associa a holografia acústica de campo próximo ao método das fontes virtuais, bastante usado em simula¸cões numéricas do comportamento acústico de cavidades Pierce (1991), a qual denominamos fonoscopia. O objetivo é permitir o uso da holografia em ambientes não anecóicos. A técnica considera que a fonte sonora está localizada em uma das paredes da sala de testes. O campo acústico é então calculado como o resultado da sobreposi¸cão das contribui¸cões da fonte original e das fontes virtuais correspondentes a reflexões nas paredes da sala. Esse resultado é então usado como dado de entrada para a holografia, na realidade este recupera, um conjunto de fontes idênticas, que incluirá também as fontes virtuais, estas podem ser facilmente descartadas. O método, entretanto, é limitado por exigir que a fonte esteja localizada sobre uma das paredes da sala de testes e também que a parede oposta seja anecóica. O artigo mostra resultados interessantes para experimentos envolvendo a análise de uma fonte pontual situada em uma das paredes, da vibra¸cão de uma parti¸cão homogênea excitada acusticamente e de uma janela montada em uma das paredes da sala de testes.

Sarkissian (1992) propõe uma extensão ao seu trabalho anterior Sarkissian (1990) para geometrias arbitrárias. O autor apresenta uma nova base na qual o campo acústico pode ser decomposto, esta base é formada pela multiplica¸cão da varia¸cão angular da fun¸cão de Green de campo livre no campo afastado, pelos auto-vetores da parte real da matriz de impedância de radia¸cão da fonte, que expressa a rela¸cão entre pressão e velocidade em sua superf´ıcie. Essa última matriz é obtida a partir da solu¸cão da equa¸cão integral de Kirchoff-Helmholtz. O autor apresenta como vantagem de sua técnica o fato de a base utilizada para expansão do campo acústico não depender da freqüência, o que torna particularmente útil para a análise de fontes com emissão em banda larga. Aponta também uma vantagem em rela¸cão à técnica da decomposi¸cão de valores singulares (Golub e Loan 1996), pelo fato dessa última utilizar-se de bases cujas componentes variam com a freqüência, levando a um tempo de cálculo total maior. As limita¸cões dessa técnica estão ligadas à própria constru¸cão da base para expansão, uma vez que a versão para campo afastado da fun¸cão de Green é utilizada, o que torna inviável sua utiliza¸cão na holografia acústica de campo próximo. Isso faz com que a resolu¸cão da velocidade recuperada seja limitada pelo comprimento de onda em análise (Maynard et al. 1985).

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também medi¸cões de intensidade acústica. Mostram, porém, que para o caso esférico, devido à simetria do campo acústico, apenas uma componente da intensidade acústica nas dire¸cões polar ou azimutal é necessária para obten¸cão da fase da pressão na superf´ıcie de medi¸cão. Os autores demons-tram também que o uso de microfones que não formem um par casado (introduzem exatamente o mesmo atraso de fase) não tem influência sobre o cálculo da fase da pressão acústica na superf´ıcie de medi¸cão.

Rowell e Oldham (1995a) foram os primeiros a descrever a aplica¸cão da holografia acústica na determina¸cão da direcionalidade de uma fonte plana. Para tal, determinam a intensidade acústica em um hemisfério situado no campo afastado usando a rela¸cão I = p2_{/ρc, onde a pressão p é determinada}

através da observa¸cão de que a segunda integral de Rayleigh (Junger e Feit 1993) corresponde, no campo afastado, a uma transformada de Fourier bidimensional da componente normal da velocidade de vibra¸cão da fonte. Calculam então a potência sonora integrando a intensidade no hemisfério. Ao dividir a primeira pela área do segundo obtém-se a intensidade sonora que seria observada caso a fonte fosse omnidirecional. A razão entre esses valores de intensidade fornece a direcionalidade. Os autores discutem também questões práticas relacionadas à implementa¸cão, tais como a necessidade de filtragem do espectro espacial da pressão acústica medida de modo a minimizar a influência das componentes evanescentes a aliviar a má-coloca¸cão do problema, suge- rindo o uso de janelas do tipo Hanning, Tukey ou Kaiser-Bessel. Comentam também a questão do m´ınimo intervalo de amostragem espacial para que não aconte¸ca superposi¸cão (aliasing) na recupera¸cão da velocidade normal à fonte.

´

E também apresentada uma técnica de interpola¸cão no dom´ınio do número de onda, de modo a aumentar o número de pontos situados na região não evanescente do espectro, particularmente útil para análise em baixas freqüências, quando, devido à condi¸cão de Nyquist, poucos pontos estão nela situados, o que causa uma severa redu¸cão na resolu¸cão da pressão acústica calculada no campo afastado. Em um artigo complementar Rowell e Oldham (1995b), detalham os aspectos numéricos da determina¸cão da direcionalidade via holografia acústica. Comparam os resultados de duas variantes da técnica de interpola¸cão, a primeira onde o suporte da fun¸cão de interpola¸cão estende-se por toda a superf´ıcie da fonte e a segunda, onde o suporte é truncado de modo que a fun¸cão seja não nula apenas na vizinhan¸ca do ponto interpolado. Os autores apontam que a primeira fornece resultado mais acurado, porém sob pena de um tempo de cálculo significativamente maior que aquele obtido com a segunda. São testados também vários filtros para o espectro espacial da pressão acústica medida, não tendo sido observadas diferen¸cas importantes com janela de Hanning, Hamming, Papoulis, Blackman-Harris ou Kaiser-Bessel. Em um segundo artigo complementar Rowell e Oldham (1996), descrevem os resultados experimentais obtidos para a direcionalidade de placas homogêneas, perfiladas e também

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placas de comp´osito.

(Norris 1997) propõe uma extensão da técnica introduzida por (Williams 1996) para cilindros com se¸cão convexa qualquer, partindo da equa¸cão integral de Helmholtz-Kirchoff. O autor mostra ainda que ganhos na resolu¸cão da velocidade recuperada na superf´ıcie da fonte podem ser obtidos através da inclusão de dados de pressão tomados em semic´ırculos, ainda situados em planos que contenham o eixo da fonte, próximos àquela original.

Mas et al. (1997) introduzem o uso da transformada de Fourier discreta regressiva (RDFT), que, segundo os resultados experimentais mostrados, diminui os efeitos de vazamento (também conhecidos como wraparound ), causados pela discretiza¸cão do espectro espacial da pressão acústica medida. O artigo mostra experimentos comparando os resultados obtidos através da RDFT e da DTF (trans-formada discreta de Fourier) usada em conjunto com uma janela tipo Hanning para filtragem do espectro espacial da pressão acústica.

Colinas (1999) apresenta um estudo experimental mais detalhado sobre as diferen¸cas no desem-penho entre a DFT e a RDFT, onde as distribui¸cões superficiais de velocidade de um alto falante e de uma placa plana excitada eletrostaticamente são obtidos através de ambas as técnicas.

Williams (1997) mostra em seu trabalho um resumo do estado da arte em holografia acústica até 1997, abrangendo problemas com fontes planas, cil´ındricas e esféricas, tratando não só o problema exterior, quando a fonte radia para campo livre, mas também o problema interior, onde o campo de interesse é aquele presente no interior de cavidades cil´ındricas ou esféricas. Alguns trabalhos descrevendo aplica¸cões espec´ıficas da holografia acústica podem ser encontrados.

Arruda (1998), apresenta um estudo dos modos de vibra¸cão da carca¸ca de um compressor hermético onde a holografia de campo próximo é utilizada em conjunto com a técnica da RDFT. Pinho (2003), apresenta o método de fontes elementares como técnica de reconstru¸cão do campo vibroacústico e compara seu resultado com a o obtido através da técnica de holografia de campo próximo, o autor apresenta ainda ainda resultados experimentais para radia¸cão acústica de uma placa plana e radia¸cão sonora de um compressor hermético. (Herbruggen et al. 1998), descrevem um estudo experimental visando à compara¸cão entre as técnicas de intensimetria e holografia acústica para localiza¸cão das regiões que mais contribuem para o ru´ıdo gerado por um motor de combustão interna.

Em um trabalho mais recente Williams (1999) é o primeiro a abranger a teoria da abordagem de Fourier para holografia acústica de campo próximo em toda a sua extensão, descrevendo o tratamento de problemas planos, esféricos, cil´ındricos e com geometria arbitrária. O trabalho trata também de questões relativas à implementa¸cão computacional, tais como existência de sobreposi¸cão (aliasing)

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nos espectros espaciais envolvidos, devidos `a discretiza¸c˜ao e ao erros de truncamento.

Williams (1995) propõe o conceito de intensidade acústica supersônica. Expressa a pressão e a velocidade acústicas como transformadas de Fourier inversas de seus espectros espaciais. Porém, ao invés de executar a integra¸cão em todo dom´ınio do número de onda, a integra¸cão é truncada nos extremos da região que corresponde a ondas propagantes, não evanescentes. A intensidade calculada através do produto dessas duas grandezas, dá o nome de intensidade supersônica. Sua aplicabilidade principal é distinguir, na superf´ıcie da fonte, as regiões que efetivamente contribuem para radia¸cão para o campo afastado. Comenta também a diferen¸ca entre a sua nova abordagem e o simples uso da intensidade, demonstrando que, no campo próximo, há circula¸cão desta última, o que a coloca em desvantagem em rela¸cão à intensidade supersônica como parâmetro identificador de áreas de alta contribui¸cão para o campo afastado. O autor destaca também o fato de que, devido à elimina¸cão das componentes subsônicas em seu cálculo, a intensidade supersônica possui resolu¸cão limitada, não sendo poss´ıvel através dela identificar, por exemplo, fontes pontuais cuja distância entre estas, seja menor que metade do comprimento de onda acústico. O artigo mostra experimentos realizados com fontes cil´ındricas, onde as regiões responsáveis pela radia¸cão para o campo afastado são claramente identificadas. Em um segundo trabalho (Williams 1998) o autor apresenta o detalhamento das equa¸cões para o cálculo da intensidade supersônica para fontes planas, assim como mostra também resultados experimentais onde as áreas responsáveis por uma maior influência sobre o campo afastado são claramente identificadas, ressaltando, porém, a limita¸cão na resolu¸cão obtida em fun¸cão do comprimento de onda acústico. Posteriormente (Williams 2000), esbo¸ca as idéias iniciais para medi¸cão da intensidade supersônica para fontes com geometrias mais gerais através da holografia acústica, não apresentando, entretanto, resultados.

Williams (1996) apresenta uma técnica que permite obter a distribui¸cão da velocidade normal à superf´ıcie de uma fonte cil´ındrica, baseada em medi¸cões executadas apenas em um semi-circulo contido no mesmo plano que o eixo da fonte, situado no campo afastado. Para atingir esse objetivo, entretanto, impõe a restri¸cão de que o espectro espacial da velocidade seja de banda estreita e concentrado em baixos números de onda. A partir da´ı o autor utiliza um expressão da fun¸cão de Hankel (fun¸cão de Green para geometrias cil´ındricas) para baixas ordens e obtém uma rela¸cão entre a velocidade normal à fonte e a pressão acústica medida, que depende de uma integra¸cão apenas na dire¸cão axial, eliminando assim a dependência na dire¸cão circunferencial. Isto permite que medi¸cões em apenas um semic´ırculo no plano axial sejam suficientes para a situa¸cão onde as hipóteses utilizadas são válidas. Os resultados, tanto para velocidade normal como para a intensidade supersônica (Williams 1995), são bastantes satisfatórios, sendo poss´ıvel, entretanto, uma perda de

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resolu¸cão para baixas freqüências, uma vez que as medi¸cões são tomadas no campo afastado.

Magalhães (2002), apresenta uma nova metodologia para a obten¸cão da intensidade acústica supersônica para geometrias arbitrárias, fortemente baseada na técnica de decomposi¸cão em valores sigulares, o autor apresenta ensaios simulados onde a intensidade supersônica foi capaz de identificar claramente os modos de borda para uma fonte cil´ındrica com tampas planas, sendo eliminadas regiões onde a intensidade ativa indica erroneamente haver inje¸cão de energia no campo distante. Foi ensaiada também uma fonte com geometria próxima à de um motor de combustão interna, onde a intensidade supersônica também mostrou-se capaz de revelar as regiões que possuem contribui¸cão significativa para a potência sonora, em oposi¸cão à intensidade ativa, que mostra valores altos onde, na realidade , existe apenas circula¸cão de energia.

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Cap´ıtulo 2

Fundamenta¸c˜

ao Te´

orica

Neste cap´ıtulo será apresentada a teoria necessária para o desenvolvimento dadas técnicas de NAH e IAS requeridas na realiza¸cão deste trabalho.

2.1 Equa¸c˜

ao da onda ac´

ustica

As ondas acústicas que produzem a sensa¸cão de som são apenas um dos exemplos de distúrbios de pressão que podem se propagar através de um fluido compress´ıvel. Estas ondas são longitudinais, ou seja, as moléculas movem-se para frente e para trás na dire¸cão de propaga¸cão da onda, produzindo dessa forma, regiões adjacentes de compressão e rarefa¸cão (Kinsler et al. 1982).

Como os fluidos exibem menor resistência às deforma¸cões do que os sólidos, a for¸ca restauradora responsável pela propaga¸cão das ondas é simplesmente a mudan¸ca de pressão que ocorre quando o fluido é comprimido ou expandido.

O termo part´ıcula de fluido diz respeito a um volume elementar, grande o suficiente para conter milhões de moléculas de forma que o fluido possa ser entendido como um meio continuo e ao mesmo tempo tão pequeno para que todas as variáveis acústicas (densidade, pressão, etc.) possam ser consideradas constantes para todo o volume elementar.

Afim de estudar a propaga¸cão de ondas acústicas no fluido, os efeitos gravitacionais serão des-prezados de forma que a pressão e a densidade permane¸cam constantes através do fluido. O fluido é também assumido como sendo homogêneo , isotrópico e perfeitamente elástico de forma que ne-nhum efeito dissipativo, tais como os que surgem devido a viscosidade ou condu¸cão de calor estejam presentes. Esta análise será limitada apenas a ondas com pequenas amplitudes, de forma que as varia¸cões de densidade no meio fluido serão pequenas se comparadas com o seu valor de equil´ıbrio.

A equa¸cão de estado para fluidos relacionam as for¸cas internas restauradoras com as respectivas deforma¸cões. Para o meio fluido, a equa¸cão de estado deve relatar três quantidades f´ısicas, densi-dade do fluido (µ), constante do gás (R) e temperatura absoluta em Kelvin (TK) que descrevem o

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comportamento termodinˆamico do fluido.

Para um gás perfeito, a equa¸cão de estado é dada por:

ψi = µRTK (2.1)

onde ψi é a pressão instantânea em qualquer ponto, µ é a massa espec´ıfica em qualquer ponto, R é

uma constante cujo o valor depende do gás em questão e TKé a temperatura absoluta. Esta equa¸cão

é geral e descreve qualquer processo termodinâmico para um gás perfeito.

Se estes processos termodinâmicos são restringidos, obtém-se uma simplifica¸cão da equa¸cão de estado, por exemplo: se o gás estiver contido no interior de um vaso cujas paredes têm condutância térmica muito alta, logo pequenas varia¸cões no volume do vaso resultarão em energia térmica, sendo transferida entre as paredes e o fluido. Se as paredes possuem capacidade de condu¸cão térmica suficientemente alta, as paredes e o fluido permanecerão a uma temperatura constante. Nesse caso, o gás perfeito é escrito por uma equa¸cão de estado isotérmica.

ψi

ψe

= µ

µ0

(2.2) onde ψe é a pressão de equil´ıbrio constante no fluido e µ0 é a densidade de equil´ıbrio constante do

fluido.

Quando a troca de energia térmica de uma part´ıcula de fluido a outra é insignificante, a entropia do fluido permanece aproximadamente constante. O comportamento do gás perfeito sob essas condi¸cões é descrito pela equa¸cão de estado adiabático.

ψi ψe = µ µ0 ϑ (2.3) onde ϑ é a razão entre o calor espec´ıfico em pressão constante e o calor espec´ıfico em volume constante. No caso de fluidos que não sejam gases perfeitos, a equa¸cão de estado adiabático torna-se mais complicada, sendo nesses casos prefer´ıvel a determina¸cão experimental da rela¸cão isoentrópica entre as flutua¸cões de densidades e de pressão. Uma vez encontrada essa rela¸cão, pode-se expandi-lá em uma série de Taylor.

ψe+ ∂ψi ∂µ µ0 (µ − µ0) + 1 2 ∂2_ψ i ∂µ2 µ0 (µ − µ0)2+ ... (2.4)

onde as derivadas parciais são constantes determinadas pela compressão e expansão adiabática do fluido em torno da densidade de equil´ıbrio. Se as flutua¸cões são pequenas, apenas (µ − µ0) é

con-siderado. Uma rela¸cão linear entre a flutua¸cão de pressão e a mudan¸ca da densidade pode então ser escrita como: ψi− ψe= β µ − µ 0 µ0 (2.5)

(32)

onde β = µ0(∂ψi/∂µ)_µ₀ é o módulo de elasticidade volumétrica adiabática.

Em termos da pressão acústica em qualquer ponto ψ = ψi− ψe e da condensa¸cão em qualquer ponto

s = (µ − µ0)/µ0 , a equa¸c˜ao (2.5) pode ser escrita como:

ψ = βs (2.6)

Tem-se então que (2.6) é a equa¸cão de estado onde a restri¸cão essencial é que condensa¸cão deve ser pequena , ou seja,|s| << 1.

Para relacionar o movimento do fluido com sua compressão ou dilata¸cão, é necessário uma rela¸cão funcional entre a velocidade da part´ıcula v e a densidade instantânea µ. Considerando um pequeno elemento paralelep´ıpedo de volume dV=dxdydz, fixo no espa¸co e sendo atravessado por um elemento de fluido, a taxa l´ıquida de massa que escoa pelo volume através de suas faces deve ser igual à taxa com a qual a massa cresce no interior do volume. Com base na figura 2.1, e analisando-se o fluxo na dire¸cão x, tem-se:

Figura 2.1: Fluxo de massa atrav´es de um volume fixo dV na dire¸c˜ao x.

µvx− µvx+ ∂ (µvx) ∂x dx dydz = ∂ (µvx) ∂x dV (2.7)

Expressões similares fornecem a vazão liquida para as dire¸cões y e z, de forma que a vazão total é dada por:

− ∂ (µvx) ∂x + ∂ (µvx) ∂x + ∂ (µvx) ∂x dV = − [∇. (µv)] dV (2.8)

(33)

A taxa segundo a qual a massa aumenta no volume ´e (∂µ/∂t) dV . Visto que o fluxo de entrada l´ıquido deve ser igual `a taxa de crescimento, tem-se que:

∂µ

∂t + ∇. (µv) (2.9)

Esta equa¸cão é conhecida como equa¸cão da continuidade não linear.

Contudo, fazendo µ = µ0(1 − s), onde µ0´e uma constante no espa¸co e no tempo, a equa¸c˜ao (2.9)

torna-se: ∂µ

∂t + ∇.v = 0 (2.10)

onde a equa¸cão (2.10) é a equa¸cão da continuidade linearizada.

Em fluidos reais, a existência da viscosidade e o fato de que os processos acústicos não são perfeitamente adiabáticos introduzem termos dissipativos. No entanto, desde que os efeitos de con-dutividade térmica na equa¸cão de estado foram desprezados, também iremos ignorar os efeitos de viscosidade, considerando o fluido inv´ıscido. Considerando um elemento de fluido dV=dxdydz que se move com o fluido, contendo uma massa dm do fluido, tem-se que a for¸ca l´ıquida d f sobre o elemento irá acelerá-lo de acordo com a Segunda lei de Newton, d f =adm. Na ausência de viscosidade, a for¸ca l´ıquida sofrida pelo elemento na dire¸cão x é:

dfx = ψi− ψi+ ∂ψi ∂xdx dydz = −∂ψi ∂xdV (2.11)

As expressões de dfx e dfy são análogas a expressão acima de modo que o vetor for¸ca completo

df = dfxi + dfyj + dfzk pode ser escrito como:

df = −∇ψidV (2.12)

A velocidade da part´ıcula v é uma fun¸cão tanto do tempo quanto do espa¸co. Quando o elemento de fluido com velocidade v(x, y, z, t) se move para nova posi¸cão (x+dx, y+dy, z+dz ) no tempo t+dt, sua nova velocidade é v(x+dx, y+dy, z+dz, t+dt). Portanto, a acelera¸cão fica:

a = lim

at→0

v (x + vxdt, y + vydt, z + vzdt, t + dt) − v (x, y, z, t)

dt (2.13)

Com base no movimento do elemento de fluido, pode-se escrever os incrementos atrav´es das componentes de velocidade, ou seja, dx = vxdt, dy = vydt e dz = vzdt.

Assumindo os incrementos como sendo muito pequenos, a nova velocidade pode ser escrita atrav´es da s´erie de Taylor como:

v (x + vxdt, y + vydt, z + vzdt, t + dt) = v (x, y, z, t) +∂v ∂xvxdt + ∂v ∂yvydt + ∂v ∂zvzdt + ∂v ∂tdt (2.14)

(34)

e a acelera¸c˜ao do elemento de fluido escolhido ´e dada por: a = ∂v ∂t + vx ∂v ∂x + vy ∂v ∂y + vz ∂v ∂z (2.15)

Pode-se definir um operador vetorial (v.∇) como: (v.∇) = vx ∂v ∂x + vy ∂v ∂y + vz ∂v ∂z (2.16)

Com base em (2.16), a equa¸cao (2.15) pode ser escrita de forma resumida: a = ∂v

∂t + (v.∇) v (2.17)

Visto que dm = µdV, fazendo a substitui¸c˜ao em df = adm, tem-se: −∇ψi = µ

∂v

∂t + (v.∇) v

(2.18) A equa¸cão (2.18) é a equa¸cão de Euler não linear e pode ser simplificada se for assumido que |s| << 1 e que |(v.∇) v| << |∂v/∂t| , podemos ainda substituir µ por µ0 e finalmente admitir que

∇ψi = ∇ψ visto que ψe ´e constante. Assim tem-se que:

µ0

∂v

dt = −∇ψ (2.19)

Esta é a equa¸cão de Euler linear para fluido inviscido e é valida em processos acústicos envolvendo pequenas amplitudes.

A equa¸cão de estado, da continuidade e de Euler, apresentadas respectivamente pelas Equa¸cões (2.6), (2.10) e (2.19) são combinadas a fim de se obter uma única equa¸cão diferencial com apenas uma variável dependente. A velocidade pode ser eliminada através das equa¸cões da continuidade e de Euler.

µ0∇.

∂v

dt = −∇. (∇ψ) = −∇

2_ψ _(2.20)

Derivando a equa¸c˜ao (2.10) em rela¸c˜ao ao tempo e usando a propriedade ∂ (v.∇)/∂t = ∇. (∂v/∂t), obtem-se:

∂2_s

∂t2 + ∇.

∂v

∂t = 0 (2.21)

Reescrevendo a equa¸c˜ao (2.21) com ∂2_s/∂t2 _{no segundo membro e substituindo em (2.20), tem-se}

que:

∇2ψ = µ0

∂2_s

(35)

Usando-se a equa¸c˜ao de estado (2.6) para eliminar s da equa¸c˜ao (2.22), tem-se: s = ψ

β (2.23)

O termo ∂2_s/∂t2 _{presente na equa¸c˜ao (2.22) pode ser determinado derivando-se duas vezes a}

equa¸c˜ao (2.23): ∂2_s ∂t2 = 1 β ∂2_ψ ∂t2 (2.24)

Substituindo a equa¸c˜ao (2.24) na equa¸c˜ao (2.22), teremos que: ∇2_{ψ =} µ0

β ∂2_ψ

∂t2 (2.25)

Como a velocidade do som ´e definida por c = pβ/µ0, a equa¸c˜ao (2.25) pode ser rescrita como:

∇2ψ − _c12

∂2_ψ

∂t2 = 0 (2.26)

Visto que o campo acústico tridimensional gerado por uma fonte vibrante é um campo ondulatório, a equa¸cão homogênea da onda que o governa e dada pela equa¸cão (2.26).

2.2 Equa¸c˜

ao de Helmholtz

Como o campo acústico varia com o tempo e com a posi¸cão na região tridimensional, a transfor-mada de Fourier do campo acústico é dada por:

˜

ψ(r, ω) = Z +∞

−∞

ψ (r, t)eiωtdt (2.27)

A equa¸c˜ao (2.26) torna-se assim a equa¸c˜ao de Helmholtz:

∇2ψ (r, ω) + k˜ 2ψ (r, ω) = 0˜ (2.28)

onde o k ´e o n´umero de onda k = ω/c.

Para uma análise no espa¸co, iremos considerar um valor fixo de ω, de modo que exista um número de onda fixo k = ω/c, e um único comprimento de onda λ = 2πc/ω. O problema, consiste em encontrar o campo complexo ˜ψ (r) satisfazendo a equa¸cão homogênea de Helmholtz:

(36)

2.3 Integrais de Rayleigh

Para a obten¸cão da solu¸cão geral da equa¸cão de Helmholtz utilizando a formula¸cão integral, a mesma é considerada inicialmente não homogênea sujeita a condi¸cões de contorno do tipo Dirichlet

˜

ψ (rs) ou Neuman N (rs) (gradiente de ˜ψ (rs) normal à superf´ıcie de contorno (S ) também não

homogˆenea, (Morse e Feshbach 1953).

∇2ψ (r) + k˜ 2_{ψ (r) = −4πρ (r)}˜ (2.30)

onde o ρ(r) representa a distribui¸c˜ao da fonte geradora do campo ac´ustico.

De acordo com a interpreta¸cão f´ısica, fun¸cão de Green é solu¸cão da equa¸cão não homogênea, considerando uma fonte pontual unitária, ou seja, um delta de Dirac, e condi¸cões de contorno ho-mogêneas, assim:

∇2G (r| r0) + k2G (r| r0) = −4πδ (r − r0) (2.31)

Multiplicando a equa¸c˜ao (2.31) por ˜_{ψ (r) e a equa¸c˜ao (2.30) por G (r| r}0) e subtraindo, na

seq¨uˆencia, substituindo r por r0, tem-se:

G (r0 | r) ∇2ψ (r˜ 0) − ˜ψ (r0) ∇2G (r0 | r) = 4πh ˜ψ (r0) δ (r − r0) − G (r0| r) ρ (r0)

i

(2.32) Integrando nas coordenadas do ponto fonte, e considerando as propriedades da fun¸c˜ao delta de Dirac, tem-se: 1 4π Z Z Z h G (r| r0) ∇2ψ (r˜ 0) − ˜ψ (r0) ∇2G (r| r0) i dV0+ Z Z Z ρ (r0) G (r| r0) dV0 (2.33) = ( ˜

ψ(r) : quando r estiver dentro ou sobre a superf´ıcie S. 0 : quando r estiver fora da superf´ıcie S.

A partir do teorema de Green, tem-se que:

Z Z

[U ∇V − V ∇U] .dA =

Z Z Z

U∇2

V − V ∇2U dV (2.34)

Aplicando-se este teorema na equa¸cão (2.33), temos a solu¸cão para a equa¸cão de Helmholtz considerando o termo não homogêneo de ρ, ou condi¸cões de contorno não homogêneas de Dirichlet ou Neuman, isto é:

(37)

1 4π Z Z h G (r| rS) ∇ ˜ψ (rS) − ˜ψ (rS) ∇G (r| rS) i .dA0+ Z Z Z ρ (r0) G (r| r0) dV0 (2.35) = ( ˜

ψ(r) : quando r estiver dentro ou sobre a superf´ıcie S. 0 : quando r estiver fora da superf´ıcie S.

Desta forma, a solu¸cão da equa¸cão de Helmholtz não homogênea com condi¸cões de contorno homogênea do tipo Dirichlet é obtida a partir da solu¸cão geral dada na equa¸cão (2.35) considerando a fun¸cão de Green nula na superf´ıcie de contorno. Assim, tem-se que a integral de superf´ıcie se anula, e a solu¸cão passa a ser:

˜ ψ (r) =

Z Z Z

ρ (r0) G (r| r0) dV (2.36)

Contudo, considerando a equa¸cão (2.30) sujeita a condi¸cões de contorno homogêneas do tipo Neuman, escolhe-se a fun¸cão de Green com gradiente normal à superf´ıcie de contorno nulo. Desta forma, a integral de superf´ıcie será nula e a solu¸cão será a mesma dada pela equa¸cão (2.36).

Para a obten¸cão da solu¸cão da equa¸cão de Helmholtz homogênea com condi¸cões de contorno do tipo Dirichlet não homogêneas, é utilizada uma fun¸cão de Green nula na superf´ıcie de contorno. As-sim, considerando a equa¸cão (2.35), a integral de volume e o primeiro termo da integral de superf´ıcie se anularão e a solu¸cão passará a ser:

˜

ψ (r) = −_4π1 Z Z

˜

ψ (rS) [∇G (r| rS)] .dA0 (2.37)

De forma análoga, considerando as condi¸cões de contorno não homogêneas do tipo Neuman, ou seja, o gradiente ˜ψ (rS) normal à superf´ıcie de contorno S igual a N (rS) e fazendo o gradiente normal

da fun¸cão de Green em S nulo, a solu¸cão da equa¸cão de Helmholtz homogênea é então obtida a partir da equa¸cão (2.35). Assim, temos que o segundo termo integral de superf´ıcie e a integral de volume são nulos, a solu¸cão será dada por:

˜

ψ (r) = + 1 4π

Z Z

G (r| rS) N (rS) .dA0 (2.38)

Pode-se então observar que, para a solu¸cão da equa¸cão de Helmholtz não homogênea sujeita a condi¸cões de contorno também não homogêneas, basta adicionar à integral de volume dada pela equa¸cão (2.36) e a integral de superf´ıcie da equa¸cão (2.37) ou (2.38), dependendo do tipo de condi¸cões de contorno impostas (Dirichlet ou Neuman). As Equa¸cões (2.37) e (2.38) são historicamente co-nhecidas como Primeira e Segunda integrais de Rayleigh.

(38)

2.4 Holografia convencional e holografia generalizada

Segundo (Maynard et al. 1985), na holografia generalizada, são feitas medi¸cões de um campo acústico sobre uma superf´ıcie bidimensional, obtendo-se assim o holograma medido. Os dados obtidos são utilizados para reconstruir o campo acústico completo no espa¸co tridimensional de interesse. O que torna isso poss´ıvel, é o fato de que pode-se usar uma fun¸cão de Green conhecida e o fato de que o holograma medido obedece a equa¸cão da onda. Ou seja, na holografia generalizada, medem-se condi¸cões de contorno uniformes (Dirichlet ou Neuman) sobre uma superf´ıcie em que existe uma fun¸cão de Green conhecida, de maneira que o processo de reconstru¸cão holográfica é simplesmente a convolu¸cão dos valores medidos com a fun¸cão de Green. A técnica utilizada neste trabalho é conhecida como NAH, e vem a ser simplesmente uma aplica¸cão prática da holografia generalizada.

A holografia convencional, por sua vez, sofre com algumas restri¸c˜oes e limita¸c˜oes significativas, dentre estas pode-se citar:

• O holograma medido é obtido em uma única freqüência de radia¸cão;

• O comprimento de onda da radia¸cão limita a resolu¸cão espacial da reconstru¸cão. Isto significa, por exemplo, que duas fontes não podem ser distinguidas se elas estiverem separadas por uma distância menor que um comprimento de onda;

• Um holograma que grava um campo espec´ıfico pode ser usado para reconstruir unicamente este mesmo campo. Portanto, na holografia acústica convencional, uma medi¸cão do campo de pressão acústica não pode ser usada para reconstruir o campo de velocidades das part´ıculas ou o mapa vetorial de intensidades. Portanto, o método não pode ser usado para mapear as fontes ou fluxos de intensidade acústica.

• Uma fonte direcional pode n˜ao ser gravada corretamente e informa¸c˜oes importante podem ser perdidas.

2.5 Holografia ac´

ustica de campo pr´

oximo

Conforme já foi mencionado acima, aplicando a técnica de NAH, é poss´ıvel determinar um campo de pressão tridimensional (hologramas reconstru´ıdos) a partir de medidas desse campo, feitas em uma superf´ıcie apropriada (holograma medido). A equa¸cão (2.37) é utilizada para reconstruir o campo de pressão ˜ψ (rS) em qualquer posi¸cão dada por rS. Como, nas aplica¸cões práticas, o posicionamento

(39)

permite que o campo de press˜ao seja medido em uma superf´ıcie denominada de superf´ıcie H, conforme definiremos abaixo:

• Considerando uma superf´ıcie S, limitando a região tridimensional de interesse, onde existe uma fun¸cão de Green conhecida G (r| rS) satisfazendo a equa¸cão homogênea de Helmholtz.

• Considerando também uma superf´ıcie H, também chamada de superf´ıcie do holograma, paralela à superf´ıcie S e situada no campo próximo acústico, pela qual ˜ψ (rH, t) pode ser medido ou

assumido em todo rH sobre H.

• Sabendo-se que a equa¸cão que governa o campo acústico emitido por uma fonte sonora é a equa¸cão de Helmholtz, utilizando a formula¸cão demonstrada anteriormente (equa¸cão (2.30) a equa¸cão (2.38)) para a sua solu¸cão. Assim, conforme a equa¸cão (2.37), considerando as condi¸cões de contorno do tipo Dirichlet (campo de pressão acústico medido na superf´ıcie H ), a solu¸cão é dada pela Primeira integral de Rayleigh:

˜ ψ (r) = −_4π1 Z Z ˜ ψ (rS) ∂G ∂n (r| rS) d 2_r S (2.39)

onde ∂G/∂n representa a derivada normal de G em rela¸c˜ao a rS. O campo ac´ustico medido na

superf´ıcie H, é utilizado como condi¸cão de contorno na formula¸cão da técnica NAH em uma superf´ıcie genérica (equa¸cão (2.40) a equa¸cão (2.43)), onde será utilizado o sistema de coordenadas ξ1, ξ2, ξ3 .

Considera-se este sistema de coordenadas no espa¸co, como mostrado na figura 2.2.

(40)

De acordo com a holografia generalizada, a posi¸c˜ao do holograma medido ´e dada por ξ3 = ξ3H,

onde ξH

3 > ξ3 descreve uma superf´ıcie dentro de S. A equa¸c˜ao (2.39) escrita em termos de ξ1, ξ2, ξ3

transforma-se para: ˜ ψ(ξ1, ξ2, ξ3) = − 1 4πψ(ξ˜ 1, ξ2, ξ S 3) × ( ∂G ∂n(ξ1− ξ ′ 1, ξ2− ξ ′ 2, η) _η = (ξ₃− ξ₃S)dξ ′ 1dξ ′ 2 (2.40)

Entretanto, esta equa¸cão não pode ser utilizada diretamente, porque o campo conhecido é ˜

ψ ξ1, ξ2, ξ3H, ao inv´es do campo ˜ψ ξ1, ξ2, ξ3S, presente no segundo membro da equa¸c˜ao (2.40).

Por´em se fizermos, ξ3 = ξH3 , na equa¸c˜ao (2.40), teremos que:

˜ ψ(ξ1, ξ2, ξ3H) = − 1 4πψ(ξ˜ ′ 1, ξ ′ 2, ξ3S)GHS(ξ1− ξ ′ 1, ξ2− ξ ′ 2)dξ1dξ2 (2.41) onde: GHS(α, β) = − 1 4π ∂G ∂n(α, β, η) _η = ξ₃− ξS₃

O lado direito da equa¸cão (2.41) é uma convolu¸cão bidimensional. Utilizando o teorema da con-volu¸cão, a equa¸cão (2.41) pode ser invertida a fim de se obter ˜ψ(ξ1, ξ2, ξ3S) em termos de ˜ψ(ξ1, ξ2, ξ3).

Representando a transformada de Fourier espacial bidimensional por

ˆ

e a transformada inversa de Fourier por F−₁

, teremos através da equa¸cão (2.41) o teorema da convolu¸cão: ˆ˜

ψ(ξ₃H) = ˆ˜ψ(ξ₃H) ˆGHS (2.42)

Aplicando a transformada inversa de Fourier na equa¸c˜ao (2.42) e isolando em fun¸c˜ao de ˜ψ ξ′ 1, ξ ′ 2, ξ3S, teremos que: ˆ˜ ψ ξ₃H = F−₁hˆ˜ ψ ξ₃H ˆ G−₁ HS i (2.43) Uma vez que o campo ˜ψ ξ′

1, ξ ′

2, ξ3S ´e obtido a partir do holograma medido ˜ψ (ξ ′ 1, ξ

′

2, ξ3) , a equa¸c˜ao

(2.40) pode ser usada para reconstruir o campo ˜ψ (ξ′ 1, ξ

′

2, ξ3) em toda a regi˜ao tridimensional dentro

de S.

Se for desejada a determina¸c˜ao da derivada normal do campo ˜ψ (rS) em rela¸c˜ao a rS, ou seja

∂ ˜ψ.∂n (rS), a equa¸c˜ao (2.39) deve ser substitu´ıda pela equa¸c˜ao (2.44) conhecida como Segunda

integral de Rayleigh: ˜ ψ (r) = + 1 4π Z Z ∂ψ ∂n(rS) G (r| rS) d 2_r S (2.44)

onde a fun¸cão de Green G deve agora satisfazer a condi¸cão homogênea de Neuman sobre S. ´

E importante frisar que toda a formula¸cão discutida acima (equa¸cão (2.39) a equa¸cão (2.44)) é exata, não tendo, portanto aproxima¸cão que poderiam conduzir a limites de resolu¸cão. As Equa¸cões