Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Física Física III 2014/2 Segunda Prova: 01/10/2014

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Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica F´ısica III – 2014/2 – Segunda Prova: 01/10/2014

Vers˜ao: A Formul´ario ~ Fm= q~v × ~B, d ~Fm= Id~ℓ× ~B, I S ~ B_{·d ~}A= 0 , d ~B= µ0 4π Id~ℓ× (~r − ~r′ ) |~r − ~r′ |3 , I C ~ B_{· d~ℓ = µ}0Ienc+ µ0ǫ0 dΦE dt , Eind= − dΦB dt , ~µ= IA ˆn , ΦB = LI , uB= 1 2 B2 µ0 . Z du (u2_{+ a}2₎3/2 = 1 a2 u (u2_{+ a}2₎1/2+ C

Se¸c˜ao 1. M´ultipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)

1. Considere um solen´oide ideal de raio Rsol e uma

es-pira circular de raio Respcoaxial a ele, e suponha que

Resp> Rsol(ou seja, a espira est´a fora do solen´oide).

Pelo solenóide passa uma corrente não-estacionária I(t). Denotando a indutância mútua do sistema por M, as auto-indutâncias do solenóide e da espira por Lsol e Lesp, e o campo produzido pelo solenóide em

seu exterior por Bext, qual das afirma¸c˜oes abaixo ´e

verdadeira?

(a) Lesp= 0 pois Bext= 0.

(b) M depende de I(t). (c) M = 0 pois Bext= 0.

(d) Lsoldepende de I(t).

(e) M depende de Rsol.

(f) Lespdepende de Rsol.

2. A figura a seguir mostra a se¸cão reta de três fios que conduzem correntes estacionárias, com intensidade de mesmo módulo I, que atravessam o plano da figura com sentidos indicados na mesma. Quatro curvas ori-entadas indicadas pelas letras a até d são apresori-entadas na figura. A alternativa a seguir que melhor relaci-ona a circula¸cão do campo magnético Ci =

H

iB~ · d~l

(i = a, b, c, d) em cada curva ´e

(a) Cb< Ca= Cc< Cd. (b) Ca< Cb< Cc< Cd. (c) Ca< Cb= Cd< Cc. (d) Cd< Cc= Ca< Cb. (e) Ca= Cc< Cb= Cd. 1

3. Por um condutor cil´ındrico maci¸co e infinito de raio R passa uma corrente estacionária e axial I uniforme-mente distribu´ıda através de sua se¸cão reta. O campo magnético ~Ba uma distância radial s do eixo do con-dutor, em coordenadas cil´ındricas (s, ϕ), é igual a

(a) B(s < R) =~ µ0iIs 2πR2sˆ e B(s > R) =~ µ0I 2πsˆs (b) B(s < R) =~ µ0Is 2πR2ϕˆ e B(s > R) =~ µ0I 2πsϕˆ (c) B(s < R) =~ µ0I 2πssˆ e B(s > R) =~ µ0I 2πssˆ (d) B(s < R) =~ µ0I 2πsϕˆ e B(s > R) =~ µ0I 2πsϕˆ (e) B~(s < R) 6= 0 e ~B(s > R) = 0

4. Seja uma superf´ıcie esf´erica S, dividida em duas me-tades S1 e S2por um grande c´ırculo C. A partir da

lei de Amp`ere, podemos afirmar que

(a) O fluxo do campo magnético através de S1 é

proporcional à circula¸cão de corrente através de C.

(b) A circula¸cão do campo magnético ao longo de C é proporcional ao à intensidade de corrente através de S.

(c) A circula¸cão do campo magnético ao longo de C é proporcional à intensidade de corrente através de S2.

(d) O fluxo do campo magnético através de S é proporcional à circula¸cão de corrente através de C.

(e) A circula¸cão do campo magnético ao longo de C é nula.

5. Um próton (carga +e, massa m), um dêuteron (carga +e, massa 2m), e uma part´ıcula alfa (carga +2e, massa 4m) entram numa região com campo magnético uniforme ~B, todas com a mesma veloci-dade ~v. Sabendo-se que ~v ⊥ ~B e que o próton se move numa circunferncia de raio R, podemos dizer que os raios das órbitas circulares do dêuteron Rd e

da part´ıcula alfa Rαs˜ao, respectivamente:

(a) Rd= √ 2R e Rα= √ 2R. (b) Rd= 2R e Rα= 2R. (c) Rd= 2R e Rα= R/2. (d) Rd= √ 2R/2 e Rα= √ 2R/2. (e) Rd= R/2 e Rα= 2R.

6. Considere dois anéis circulares, um condutor e outro isolante, pertencentes a um mesmo plano, sujeitos a um campo magnético variável no tempo, perpendi-cular ao plano dos anéis. Estando os dois anéis em repouso, em qual deles surgirá uma for¸ca eletromo-triz induzida? Em qual deles surgirá uma corrente induzida?

(a) Em nenhum dos anéis. Em nenhum dos anéis. (b) Em nenhum dos anéis. Somente no anel

con-dutor.

(c) Somente no anel condutor. Somente no anel condutor.

(d) Em ambos os anéis. Somente no anel condutor. (e) Em ambos os anéis. Em ambos os anéis.

7. Uma espira circular move-se de baixo para cima na dire¸cão de um imã permanente fixo, assim como na figura abaixo. Vista de cima a corrente no fio será:

(a) no sentido hor´ario e a for¸ca na espira ser´a para cima

(b) no sentido anti-hor´ario e a for¸ca na espira ser´a para cima

(c) no sentido hor´ario e a for¸ca na espira ser´a para baixo

(d) no sentido anti-hor´ario e a for¸ca na espira ser´a para baixo

(e) no sentido horário e a for¸ca na espira será zero (f) no sentido anti-horário e a for¸ca na espira será

zero 2

(2)

8. Considere um plano infinito com uma densidade su-perficial de corrente ~K = K ˆx. Sabendo que esse plano contém os eixos X e Y (que são perpendiculares entre si) e é perpendicular ao eixo Z, qual das afirmativas abaixo é verdadeira? (Obs.: simetria plana é a sime-tria de transla¸cão nas dire¸cões X e Y , e simesime-tria axial é a simetria de rota¸cões em torno de um eixo dado)

(a) Pela simetria plana, o campo magn´etico sem-pre aponta na dire¸c˜ao ˆz.

(b) Pela simetria axial em torno de Z, o m´odulo do campo magn´etico independe das coordenadas x e y.

(c) Pela simetria axial em torno de Z, o campo magnético sempre aponta na dire¸cão ˆz. (d) Pela simetria plana, o módulo do campo

magn´etico independe das coordenadas x e y. (e) Pela simetria axial em torno de X, o campo

magn´etico sempre aponta na dire¸c˜ao ˆx.

3

Se¸c˜ao 2. Quest˜oes discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos) Todas as respostas devem ter ampla justificativa!

1. [2,6 pontos] Considere uma espira quadrada de lado 2a percorrida por uma corrente estacionária I no sentido anti-horário, e sujeita a um campo magnético externo estacionário e uniforme ~B0= B0x. A espira se encontra noˆ

plano XY , conforme a figura.

(a) [0,6 ponto] Calcule as for¸cas ~F1sobre o lado horizontal superior do quadrado e ~F2sobre o lado vertical `a direita

do quadrado, exercidas pelo campo magn´etico externo.

(b) [0,6 ponto] Determine o momento de dipolo magn´etico ~µassociado `a espira e calcule o vetor torque ~τ que o campo externo ~B0exerce sobre a mesma.

(c) [1,4 pontos] Determine o campo magn´etico ~B produzido pela espira no seu centro P = (0, a, 0).

2. [2,6 pontos] Uma espira retangular no plano XZ, de auto-indutância desprez´ıvel, tem lados a e b e resistência R. Um fio retil´ıneo infinito, por onde flui uma corrente dependente do tempo I(t), é colocado ao longo do eixo Z a uma distância x0da espira, conforme mostra a figura. Despreze as correntes de deslocamento do sistema.

(a) [0,6 ponto] Sabendo que o campo produzido pelo fio retil´ıneo em um ponto P é dado por ~B = B(s) ˆϕ, onde s é a distância de P ao fio e ˆϕé o vetor unitário que “circula”em torno do fio, encontre B(s).

(b) [1,2 ponto] Calcule o fluxo magnético através da espira, tomando ˆy como o unitário normal à superf´ıcie. (c) [0,8 ponto] Supondo que I(t) = I0cos ωt, determine a for¸ca eletromotriz induzida na espira?

(3)

Gabarito para Vers˜

ao A

Se¸c˜ao 1. M´ultipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos) 1. (e) 2. (a) 3. (b) 4. (c) 5. (b) 6. (d) 7. (c) 8. (d) 1

Se¸cão 2. Questões discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos) 1. Resolu¸cão:

(a) Ambas as for¸cas podem ser obtidas da express˜ao geral ~ F = I

Z ~ dl × ~B. No lado superior temos ~dl k ~B0, e portanto

~

dl × ~B0= 0 ⇒ ~F1= 0 . (1)

J´a no lado inferior temos ~dl ⊥ ~B0, e, como ~B0´e uniforme, a integral simplifica-se bastante

~ F2= I Z l.v.d. ~ dl × ~B0= I Z l.v.d. dyB0(−ˆz) = IB0(−ˆz) Z l.v.d. dy ou seja, ~ F2= −2IB0aˆz (2)

(b) O momento magn´etico da espira ´e dado por ~

µ= IAquadˆz ⇒ ~µ= 4Ia2ˆz (3)

e o torque ent˜ao pode ser obtido de ~

τ = ~µ_{× ~B}0= 4Ia2B0(ˆz × ˆx) ⇒ ~τ = 4Ia2B0yˆ (4)

(c) Devido à simetria de rota¸cões múltiplas de π/2 sobre o ponto P, podemos calcular o campo magnético produzido por um dos lados apenas, e multiplicar o resultado por 4. Consideremos então o lado vertical á direita. Temos

d~ℓ= dy ˆy , ~rP= ~r = aˆy , ~r ′ = aˆx + y ˆy donde ~r − ~r′ = −aˆx + (a − y)ˆy ⇒ |~r − ~r′ | =pa2_{+ (y − a)}2 e logo d~B = µ0 4π Id~ℓ× (~r − ~r′ ) |~r − ~r′ |3 = µ0I 4π

(dy ˆy) × [−aˆx + (a − y)ˆy] [a2_{+ (y − a)}2_]3/2 = − µ0I 4π dy(−a)(−ˆz) [a2_{+ (y − a)}2_]3/2 Integrando, temos ~ Bl.v.d.= Z l.v.d. d~B =µ0Ia 4π ˆz Z2a 0 dy [a2 + (y − a)2_]3/2 = µ0Ia 4π ˆz Z a −a du [a2_{+ u}2_]3/2 (5)

onde no ´ultimo passo fizemos a substitui¸c˜ao u = y − a. Utilizando o resultado Z du [a2_{+ u}2_]3/2 = 1 a2 u √ u2_{+ a}2 ⇒ Z a −a du [a2_{+ u}2_]3/2 = 1 a2 2a √ 2a = √ 2 a2

que, substitu´ıdo em (5), leva a

~ Bl.v.d.= µ0 √ 2I 4πa ˆz e, por fim, temos

~ B = 4 ~Bl.v.d. ⇒ B =~ µ0 √ 2I πa ˆz (6) 2

(4)

2. Resolu¸c˜ao:

(a) Já sabendo que ~B = B ˆϕ e que não há efeitos de correntes de deslocamento, podemos determinar B aplicando a lei de Ampère. Para isso, basta tra¸car uma curva amperiana circular C de raio s, centrada no fio, e calcular a circula¸cão de ~B Z C ~ B · ~dl = Z C (B(s) ˆϕ) · (dl ˆϕ) = Z C B(s)dl 1 z }| { ( ˆϕ) · ˆϕ) = B(s) Z Cdl = B(s) × 2πs,

donde, aplicando a lei de Amp`ere, temos Z C ~ B · ~dl = 2πsB(s) = µ0I ⇒ B(s) = µ0I 2πs. (7)

(b) O fluxo do campo magnético através da espira é dado por Φm=

Z

S

~ B · ~dA

onde S é a área retângular delimitada pela espira. Como o plano da espira é perpendicular ao vetor unitário ˆϕ e sabendo que nesse plano particular temos ˆϕ = ˆy, podemos fazer ~B = B ˆy, ~dA = dAˆy e então

Φm= Z S (B ˆy) · (dAˆy) = Z S BdA 1 z }| { (ˆy · ˆy) = Z S Bdxdy = Z S µ0I 2πx dxdy =µ0I 2π Z a 0 dy Z x0+b x0 dx x = µ0Ia 2π log x x0+b x0 ou seja, Φm= µ0Ia 2π log x0+ b x0 (8)

(c) A for¸ca eletromotriz ε pode ser calculada pela lei de Faraday. Temos

ε = −dφ_dtm = −_dtd µ0 I0cosωt z}|{ I(t) a 2π log x0+ b x0 = −µ_2π0alog x0+ b x0 d dtI0cos ωt donde ε =µ0aωI0 2π sin(ωt) log x0+ b x0 (9) 3

Vers˜ao: B Formul´ario ~ Fm= q~v × ~B, d ~Fm= Id~ℓ× ~B, I S ~ B_{·d ~}A= 0 , d ~B= µ0 4π Id~ℓ× (~r − ~r′ ) |~r − ~r′ |3 , I C ~ B_{· d~ℓ = µ}0Ienc+ µ0ǫ0 dΦE dt , Eind= − dΦB dt , ~µ= IA ˆn , ΦB = LI , uB= 1 2 B2 µ0 . Z du (u2_{+ a}2₎3/2 = 1 a2 u (u2_{+ a}2₎1/2+ C

verdadeira?

2. Seja uma superf´ıcie esf´erica S, dividida em duas me-tades S1e S2 por um grande c´ırculo C. A partir da

(5)

H

iB~ · d~l

(a) Cb< Ca= Cc< Cd.

(b) Ca< Cb< Cc< Cd.

(c) Ca< Cb= Cd< Cc.

(d) Cd< Cc= Ca< Cb.

(e) Ca= Cc< Cb= Cd.

da part´ıcula alfa Rαs˜ao, respectivamente:

(a) Rd= √ 2R e Rα= √ 2R. (b) Rd= 2R e Rα= 2R. (c) Rd= 2R e Rα= R/2. (d) Rd= √ 2R/2 e Rα= √ 2R/2. (e) Rd= R/2 e Rα= 2R.

(a) B(s < R) =~ µ0iIs 2πR2ˆs e B(s > R) =~ µ0I 2πssˆ (b) B(s < R) =~ µ0Is 2πR2ϕˆ e B(s > R) =~ µ0I 2πsϕˆ (c) B(s < R) =~ µ0I 2πssˆ e B(s > R) =~ µ0I 2πsˆs (d) B(s < R) =~ µ0I 2πsϕˆ e B(s > R) =~ µ0I 2πsϕˆ (e) B~(s < R) 6= 0 e ~B(s > R) = 0

magn´etico sempre aponta na dire¸c˜ao ˆx. 2

con-dutor.

zero

(6)

4

Gabarito para Vers˜

ao B

Se¸c˜ao 1. M´ultipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos) 1. (e) 2. (c) 3. (a) 4. (b) 5. (b) 6. (d) 7. (d) 8. (c) 1

(7)

~

dl × ~B0= 0 ⇒ ~F1= 0 . (1)

d~ℓ= dy ˆy , ~rP = ~r = aˆy , ~r ′ = aˆx + y ˆy donde ~r − ~r′ = −aˆx + (a − y)ˆy ⇒ |~r − ~r′ | =pa2_{+ (y − a)}2 e logo d~B = µ0 4π Id~ℓ× (~r − ~r′ ) |~r − ~r′ |3 = µ0I 4π

~ B = 4 ~Bl.v.d. ⇒ B =~ µ0 √ 2I πa ˆz (6) 2 2. Resolu¸c˜ao:

Z

S

~ B · ~dA

(8)

Vers˜ao: C Formul´ario ~ Fm= q~v × ~B, d ~Fm= Id~ℓ× ~B, I S ~ B_{·d ~}A= 0 , d ~B= µ0 4π Id~ℓ× (~r − ~r′ ) |~r − ~r′ |3 , I C ~ B_{· d~ℓ = µ}0Ienc+ µ0ǫ0 dΦE dt , Eind= − dΦB dt , ~µ= IA ˆn , ΦB = LI , uB= 1 2 B2 µ0 . Z du (u2_{+ a}2₎3/2 = 1 a2 u (u2_{+ a}2₎1/2+ C

H

iB~ · d~l

con-dutor.

4. Seja uma superf´ıcie esf´erica S, dividida em duas me-tades S1e S2 por um grande c´ırculo C. A partir da

(a) B(s < R) =~ µ0iIs 2πR2ˆs e B(s > R) =~ µ0I 2πssˆ (b) B(s < R) =~ µ0Is 2πR2ϕˆ e B(s > R) =~ µ0I 2πsϕˆ (c) B(s < R) =~ µ0I 2πssˆ e B(s > R) =~ µ0I 2πsˆs (d) B(s < R) =~ µ0I 2πsϕˆ e B(s > R) =~ µ0I 2πsϕˆ (e) B~_{(s < R) 6= 0 e ~}B(s > R) = 0

da part´ıcula alfa Rα s˜ao, respectivamente:

(a) Rd= √ 2R e Rα= √ 2R. (b) Rd= 2R e Rα= 2R. (c) Rd= 2R e Rα= R/2. (d) Rd= √ 2R/2 e Rα= √ 2R/2. (e) Rd= R/2 e Rα= 2R. 2

(9)

verdadeira?

zero

3

(10)

Gabarito para Vers˜

ao C

Se¸c˜ao 1. M´ultipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos) 1. (a) 2. (d) 3. (d) 4. (c) 5. (b) 6. (b) 7. (e) 8. (c) 1

~

dl × ~B0= 0 ⇒ ~F1= 0 . (1)

d~ℓ= dy ˆy , ~rP= ~r = aˆy , ~r ′ = aˆx + y ˆy donde ~r − ~r′ = −aˆx + (a − y)ˆy ⇒ |~r − ~r′ | =pa2_{+ (y − a)}2 e logo d~B = µ0 4π Id~ℓ× (~r − ~r′ ) |~r − ~r′ |3 = µ0I 4π

~ B = 4 ~Bl.v.d. ⇒ B =~ µ0 √ 2I πa ˆz (6) 2

(11)

2. Resolu¸c˜ao:

Z

S

~ B · ~dA

Vers˜ao: D Formul´ario ~ Fm= q~v × ~B, d ~Fm= Id~ℓ× ~B, I S ~ B_{·d ~}A= 0 , d ~B= µ0 4π Id~ℓ× (~r − ~r′ ) |~r − ~r′ |3 , I C ~ B_{· d~ℓ = µ}0Ienc+ µ0ǫ0 dΦE dt , Eind= − dΦB dt , ~µ= IA ˆn , ΦB = LI , uB= 1 2 B2 µ0 . Z du (u2_{+ a}2₎3/2 = 1 a2 u (u2_{+ a}2₎1/2+ C

(a) B(s < R) =~ µ0iIs 2πR2sˆ e B(s > R) =~ µ0I 2πsˆs (b) B(s < R) =~ µ0Is 2πR2ϕˆ e B(s > R) =~ µ0I 2πsϕˆ (c) B(s < R) =~ µ0I 2πssˆ e B(s > R) =~ µ0I 2πssˆ (d) B(s < R) =~ µ0I 2πsϕˆ e B(s > R) =~ µ0I 2πsϕˆ (e) B~_{(s < R) 6= 0 e ~}B(s > R) = 0

da part´ıcula alfa Rα s˜ao, respectivamente:

(a) Rd= √ 2R e Rα= √ 2R. (b) Rd= 2R e Rα= 2R. (c) Rd= 2R e Rα= R/2. (d) Rd= √ 2R/2 e Rα= √ 2R/2. (e) Rd= R/2 e Rα= 2R. 1

(12)

verdadeira?

4. Seja uma superf´ıcie esf´erica S, dividida em duas me-tades S1 e S2por um grande c´ırculo C. A partir da

H

iB~ · d~l

con-dutor.

(d) Em ambos os anéis. Somente no anel condutor. (e) Em ambos os anéis. Em ambos os anéis. 8. Uma espira circular move-se de baixo para cima na

dire¸cão de um imã permanente fixo, assim como na figura abaixo. Vista de cima a corrente no fio será:

zero

(13)

4

Gabarito para Vers˜

ao D

Se¸c˜ao 1. M´ultipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos) 1. (b) 2. (b) 3. (e) 4. (c) 5. (a) 6. (d) 7. (d) 8. (c) 1

(14)

~

dl × ~B0= 0 ⇒ ~F1= 0 . (1)

d~ℓ= dy ˆy , ~rP = ~r = aˆy , ~r ′ = aˆx + y ˆy donde ~r − ~r′ = −aˆx + (a − y)ˆy ⇒ |~r − ~r′ | =pa2_{+ (y − a)}2 e logo d~B = µ0 4π Id~ℓ× (~r − ~r′ ) |~r − ~r′ |3 = µ0I 4π

~ B = 4 ~Bl.v.d. ⇒ B =~ µ0 √ 2I πa ˆz (6) 2 2. Resolu¸c˜ao:

Z

S

~ B · ~dA