3 Os Números Reais

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3

Os números reais

Os números reais

O

O

s pitagóricos são

s pitagóricos são

confrontados com os números

confrontados com os números

irracionais.

irracionais.

Depois de durante milénios ter utilizado os

Depois de durante milénios ter utilizado os números para contar, medir,números para contar, medir, calcular, o homem começou a especular sobre a natureza e

calcular, o homem começou a especular sobre a natureza e propriedadespropriedades dos próprios números. Desta curiosidade nasceu a Teoria dos Números, um dos próprios números. Desta curiosidade nasceu a Teoria dos Números, um dos ramos mais profundos da matemática.

dos ramos mais profundos da matemática.  A Teoria dos Números

 A Teoria dos Números nasceu cerca de 60nasceu cerca de 600 anos antes de Cristo quan0 anos antes de Cristo quandodo Pitágoras e os seus discípulos começaram a estudar as propriedades dos Pitágoras e os seus discípulos começaram a estudar as propriedades dos números inteiros. Os pitagóricos rendiam verdadeiro culto místico

números inteiros. Os pitagóricos rendiam verdadeiro culto místico ao conceitoao conceito de

de númeronúmero, considerando-o como essência das coisas. Acreditavam que tudo, considerando-o como essência das coisas. Acreditavam que tudo

no universo estava relacionado com números inteiros ou razões de números no universo estava relacionado com números inteiros ou razões de números inteiros (em linguagem actual,

inteiros (em linguagem actual, números racionaisnúmeros racionais). Aliás, na antiguidade a). Aliás, na antiguidade a

designação

designação númeronúmero aplicava-se só aos inteiros maiores do que  aplicava-se só aos inteiros maiores do que um. Estaum. Esta

crença foi profundamente abalada quando usaram o Teorema de Pitágoras crença foi profundamente abalada quando usaram o Teorema de Pitágoras para calcular a medida da diagonal de um

para calcular a medida da diagonal de um quadrado unitário.quadrado unitário.

Como eles apenas conheciam os números racionais (naturais e fracções de Como eles apenas conheciam os números racionais (naturais e fracções de naturais) foi com grande surpresa e

naturais) foi com grande surpresa e choque que descobriram que haviachoque que descobriram que havia segmentos de recta cuja medida não pode ser expressa por

segmentos de recta cuja medida não pode ser expressa por um númeroum número racional. Essa descoberta é atribuida a um aluno de

racional. Essa descoberta é atribuida a um aluno de Pitágoras que tentavaPitágoras que tentava descobrir a medida da diagonal de um

descobrir a medida da diagonal de um quadrado de lado 1.quadrado de lado 1.

Ao descobrirem que a diagonal de um quadrado de lado 1

Ao descobrirem que a diagonal de um quadrado de lado 1 não era umanão era uma razão entre dois inteiros (em linguagem actual, que a

razão entre dois inteiros (em linguagem actual, que a raíz quadrada de 2raíz quadrada de 2 é um

é um núnúmero mero irracional irracional )) os Pitagóricos consideraram quebrada a harmonia os Pitagóricos consideraram quebrada a harmonia

do universo, já que não podiam aceitar

do universo, já que não podiam aceitar a raíz quadrada de dois como uma raíz quadrada de dois como um número, mas não podiam negar que esta raíz era

número, mas não podiam negar que esta raíz era a medida da diagonal dea medida da diagonal de um quadrado unitário. Convencidos de que os deuses os castigariam

divulgassem aquilo que lhes parecia uma imperfeição divina, tentaram ocultar a sua descoberta. Segundo reza a lenda, o primeiro membro da seita

Pitagórica que divulgou esta descoberta morreu afogado num naufrágio sendo a sua alma açoitada pelas ondas para todo o sempre.

 Assim, o número _{terá sido o primeiro número irracional com que a} humanidade se deparou.

A

raiz quadrada de 2 não é

um número racional:

-Demonstração

Aristóteles (384-322 a.C.), como exemplo de uma demonstração por redução ao absurdo, demonstrou que a raiz quadrada de 2 não é um número racional, isto é, não se pode escrever como uma fracção de dois números inteiros.

Por absurdo, suponha-se que existem dois números naturais  p e q, primos entre si, tais que (isto é, suponhamos a fracção escrita na forma irredutível) e .

Então, , é um número par (porque ) e, consequentemente,  p também é par (porque se fosse ímpar seria para algum número natural k  e seria ímpar). Se p é um número par, existe um natural k tal que e assim . Então q seria par (porque é par), o que é absurdo visto que p e q são primos entre si.

O

número irracional

O número pi (representado habitualmente pela letra grega  ) é o irracional

mais famoso da história, com o qual se representa a razão constante entre o perímetro de qualquer circunferência e o seu diâmetro .

Se pensarmos que ao dar a volta à Lua seguindo um dos seus círculos máximos, percorremos aproximadamente 10920 Km e se dividirmos este valor pelo diâmetro da Lua que é 3476 Km iremos verificar que esta razão é

de 3,14154200…, este número é-nos familiar, é aproximadamente 3,14.

Na realidade, como número irracional, pi é expresso por uma dizima infinita

não periódica, que nos dias de hoje com a ajuda dos computadores já é possivel determinar com centenas de milhões de casa decimais.

 Aqui aparece o valor de pi obtido com a calculadora do windowsXP

3,141592653589793238462643383279...

A história do

É assim que começa a história de um número que só será chamado Pi no século XVIII, inicia-se com o estudo da relação que existe entre o perímetro, p, de uma circunferência e o seu diâmetro, d. A existência de uma relação constante entre a circunferência de um círculo e o seu diâmetro era

conhecida por muitas das civilizações antigas. Tanto os Babilónios como os Egípcios sabiam que esta razão era maior que 3.

B

O estudo desta relação preocupou os babilónios há 4000 mil anos, e uma tabela cuneiforme da época propôs sem explicação e sem notação

algébrica a fórmula

donde se tira que

, esta trata-se da primeira

E

Um pouco mais tarde, em 1800 a.C. o célebre Papiro Rhind mostrava que para uma circunferência de diâmetro d a área é dada por:

o que quer dizer que:

como

temos:

Um outro papiro famoso, o papiro de Moscou, contém uma fórmula para se calcular a área da esfera, em que é atribuído a  o valor de 3,14. Isto

evidência que a medição Egípcia da circunferência tinha erro menor do que um por cento.

A

O velho testamento descreve uma bacia circular feita por Hiram de Tiro. A

bacia é descrita como sendo um "lago de dez cúbitos, de margem a margem, circular, cinco cúbitos de fundo, e trinta em redor" o que fazia  igual a 3. Contudo, neste ponto da história já se sabia que o  era maior do que 3.

Nota: A bacia tinha raio 5 cúbitos e perímetro igual a 30 cúbitos então,

G

Embora muitas civilizações antigas tenham observado através de medições que a razão do circulo é a mesma para círculos de diferentes tamanhos, os Gregos foram os primeiros que explicaram porquê. É uma simples

propriedade das figuras semelhantes. Os antigos Gregos foram

diferente dos números inteiros ou dos números racionais (razão de inteiros) que eles usavam nas suas matemáticas.

A r q u i m e d e s   (287/212 a.C.) conseguiu melhorar um pouco a aproximação

dada ao número  . Aproximando a circunferência por polígonos regulares de 12, 24, 48 e 96 lados, descobre que o valor de  se encontra encontra

limitado pelos seguintes valores:

ou seja, 3,14085 <  < 3,142857, obtendo uma aproximação com duas casas

decimais correctas.

D

No ano 400 d.C. o livro indiano "Paulisha Siddhânta" usa o valor 3177/1250 para , anos mais tarde, Tsu Chung-Chi (430/501 d.C.) descobre que o valor de  se encontra entre 3,1415926 e 3,1415927:

3,1415926 <  < 3,1415927.

Por volta de 499 d.C., aparece, num tratado indiano sobre matemática e

astronomia intitulado " ãryabhata", dados para a obtenção de  : "Adicione-se

4 a 100, multiplique-se o resultado por 8 e adicione-se 62.000. O resultado é aproximadamente o comprimento da circunferência de diâmetro 20.000." Donde sai o valor aproximado 3,1416 para , que é uma boa aproximação

com 3 casas decimais correctas.

Mais tarde os investigadores obtiveram melhores aproximações

para  usando polígonos com mais lados do que aqueles que foram usados por Arquimedes. Um impressionante cálculo Chinês com um polígono com mais de 3.000 lados deu cinco décimas ao . Os Chineses também

encontraram uma fracção simples 355/113 o que difere do  por menos de

0.0000003. A aproximação racional 355/113 foi redescoberta no século XVI pelo engenheiro alemão Adriaan Anthoniszoon. No mesmo século, outro alemão, Adriaen van Rooman, usou o método de Arquimedes com 230lados para obter 15 casas decimais para  . Alguns anos mais tarde Ludolph Van Ceulen (1539/1610), professor de matemática e ciências militares na

Universidade de Leyden, obteve o valor de  com 20 casas decimais, depois

com 32 e mais tarde, em 1615, estendeu este resultado a 35 casas decimais.

Os Alemães ficaram tão estupefactos com este cálculo que durante anos chamaram ao  o número Ludolfino. Consta que essa sua aproximação

de  teria sido gravada na pedra tumular do autor, pedra essa que se perdeu. Mais interessante ainda é o facto de, ainda hoje na Alemanha,   ser

frequentemente designado como número ludolfino.

Embora as pessoas se tenham interessado durante séculos pela razão do círculo, o uso da letra grega  como um símbolo que designa esta razão é relativamente recente. O inglês William Jones (1675/1749) é geralmente reconhecido como o primeiro a usar o símbolo  para esta razão. O símbolo

apareceu no seu livro Synopsis Palmariarum Malheseos, publicado em 1706, o qual incluía 100 casas decimais para  calculado por John Machin

(1680/1752). A fórmula da autoria de Machin é dada por:

Machin recorreu a alguma trigonometria para elaborar a seguinte demonstração, considerou:

 A letra c (para circunferência) e p (para perímetro) foram muitas vezes usadas para a razão do círculo, mas a letra grega p tornou-se bastante aceite depois

de Leonhard Euler usá-la no seu famoso livro Introductio in Analysin Infinitorum, publicado em 1748. Acredita-se que a letra p foi escolhida por ser a primeira letra das palavras gregas para perímetro e periferia.

 As pessoas calculavam mais e mais casas decimais para p , procurando encontrar padrões que se repetissem, mas nenhum foi encontrado. Em 1761 um matemático Alemão, Johann Lambert usou uma fracção continua para a tangente trignométrica de um ângulo que mostra conclusivamente que p é irracional, isto é , p não é razão de dois inteiros. Também, A. M. Legendre, em 1794 vem provar o mesmo que Lambert. A estes dois, segue-se Vega que em 1796 dá uma aproximação de p com 140 casas decimais. E em 1844, um Vienense, dá uma aproximação com 205 casas decimais.

Um novo record para calcular p foi alcançado em 1874 por Willian Shanks, com 707 casas decimais. Infelizmente, houve um erro a partir da 528ª casa, que só foi descoberto em 1945 quando D. F. Ferguson completou o cálculo com mais de 530 casas decimais.

S

Foi a partir do século XX, mais concretamente a partir de 1949, com o auxilio dos computadores e de algoritmos computacionais que se foi descobrindo um número cada vez maior de casas decimais para . Um algoritmo, da

autoria de Brent e Salamin (1975), foi utilizado pelos japoneses Y. Kanada, Y. Tamura, S. Yoshino, Y. Ushiro que o implementaram, em 1983, obtendo-se assim 16 milhões de algarismos. Estas contas foram posteriormente

verificadas por meio da relação de Gauss, o que mostrou que as primeiras 10.013.395 casas estavam correctas. Gosper, utilizando um algoritmo,

calculou, em 1985, 17 milhões de algarismos e, Bailey, em Janeiro de 1986, atingiu o record de 29 milhões. Em Setembro de 1986, Kanada obteve

33.554.000 algarismos, depois em Janeiro de 1987, consegue calcular 227 algarismos e por último em Janeiro de 1988 chega a 201.326.551 algarismos.  Anos mais tarde, Bailey e Gregory Chudnovsky, da Columbia University,

calcularam mais de um bilião de casas decimais para , este valor foi

ultrapassado em 1995, por investigadores japoneses que obtiram três biliões de casas decimais para . Em Setembro de 1995, Yasumana Kanada, depois de ter colocado o seu computador Hitachi a trabalhar durante mais de 250 horas, obteve 6.442.450.939 casas decimais exactas deste número. Este recorde acaba por ser ultrapassado quando em Junho de 1997 obtém

Em Outubro de 1996, o francês Fabrice Bellard de 25 anos, calcula o valor de  mas em numeração binária, atingindo sucessivamente as fasquias de

400 biliões, mas em Setembro de 1997 ele consegue atingir 1.000 bilião de casas decimais para , ao fim de 25 dias de cálculo intensivo em

computadores ligados em rede através da Internet, tendo sido usada uma fórmula desenvolvida em 1995 por matemáticos da Universidade Simon Fraser, mas aperfeiçoada por Bellard

C



  Albert Einstein, nasceu no dia do , dia 14 de Março de 1879

 Pi é o nome da organização de espionagem da Alemanha de Leste, no

filme de Alfred Hitchcock de 1966, A Cortina Rasgada.

 Hiroyuki Goto estabeleceu um novo recorde mundial em 1995, ao

recitar de cor as primeiras 42000 casas decimais de . Gastou pouco

mais de 9 horas.

 Não aparecem zeros nos primeiros 31 dígitos de .

  A fracção é usada frequentemente como aproximação para o .

 A fracção

é uma excelente aproximação para o valor de

.

 Em Abril de 1995, a agência Reuter noticiou que um rapaz chinês de

doze anos de idade, Zhang Zhuo, recitou de memória o valor de  até

4000 casas decimais. Aparentemente, terá demorado apenas cerca de vinte e cinco minutos.

  é um número ideal para a exibição de talentos, tais como a

memorização de números, visto que os seus algarismos não obedecem a qualquer padrão.

 Considerando as primeiras 6.000.000.000 casas decimais de  temos

que: o 0 ocorre 599963005 vezes, o 1 ocorre 600033260 vezes, o 2 ocorre 599999169 vezes, o 3 ocorre 600000243 vezes, o 4 ocorre 599957439 vezes,

o 5 ocorre 600017176 vezes, o 6 ocorre 600016588 vezes, o 7 ocorre 600009044 vezes, o 8 ocorre 599987038 vezes e o 9 ocorre 600017038 vezes.  Pi é o nome de um perfume!

Mnemónicas para decorar algumas casas decimais de



Contando as letras de cada uma das palavras que formam a frase ficas a conhecer aproximações de 

Sim, é útil e fácil memorizar um número grato aos sábios

3, 1 4 1 5 9 2 6 5 3 6

 Até a nado a Maria encontrou na margem peixe bem lindo

3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5

3 1 4 1 5 9 2 6 5

O

s conjuntos numéricos

C

IN = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

C

-= { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} , isto é,

C

-= { ..., -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

Z = { números naturais } { 0 } { números inteiros negativos }

O conjunto dos números naturais e o conjunto dos números inteiros estão contidos no conjunto dos números inteiros relativos, isto é,

C

O conjunto dos números racionais é composto pelos números inteiros relativos, dízimas finitas e dízimas infinitas periódicas.

Fracções e dízimas

As dízimas finitas e as dízimas infinitas periódicas podem ser representadas por fracções. Por exemplo:

Assim,

Será que

0,999999... = 1

Vamos a proceder à demonstração:

1/3 + 1/3 + 1/3 = 3/3 = 1

0,3333... + 0,3333... + 0,3333... = 1 somando temos

0,9999... = 1

Qualquer fracção representa sempre uma dízima finita ou uma dízima infinita periódica logo, uma fracção é um número racional.

Um erro muito frequente dos alunos nos testes é considerar, por exemplo, a fracção

como sendo um número irracional. Este erro resulta do facto de os alunos fazerem a divisão obtendo um resultado que sugere estarem na presença de uma dízima infinita não periódica o que não é o caso.

Concluindo:

Q = {números inteiros relativos} {dízimas finitas} {dízimas infinitas periódicas}

 Nota: uma fracção é um número racional.

C

O conjunto dos números reais é composto pelos números racionais mais as dízimas infinitas não periódicas, isto é, é composto pelos números

racionais e pelos números irracionais.

Exemplos de números irracionais

Todas as raízes quadradas de números naturais que não sejam quadrados perfeitos, isto é se a raiz quadrada de um número natural não for inteira, é irracional.

Logo são irracionais ...

Números representáveis por dízimas infinitas não periódicas como    e, 0,01001000100001... , 2,32332333233332... são números

irracionais.

IR = Q _{{dízimas infinitas não periódicas}}

IR = Q _{{números irracionais}}

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