Controle estatístico de qualidade de processos em estágios

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XXVI ENEGEP - Fortaleza, CE, Brasil, 9 a 11 de Outubro de 2006

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ENEGEP 2006 ABEPRO

Controle estatístico de qualidade de processos em estágios

Arnaldo Pinheiro Costa Gaio (PUC-Rio) [email protected]

Eugenio Kahn Epprecht (PUC-Rio) [email protected]

Resumo

Este artigo propõe e desenvolve soluções para dois problemas de controle estatístico de qualidade de processos em dois estágios, em que a característica de qualidade final (após o 2º estágio) é correlacionada com a característica de qualidade intermediária (após o 1º estágio). A relação entre as variáveis intermediária e final permite: (a) determinar o valor-alvo para a média e o valor máximo aceitável para a variância da variável intermediária de modo a garantir a capacidade final do processo; e (b) determinar limites de tolerância para a variável intermediária com base nos quais decidir pela antecipação (para o final do 1º estágio) do retrabalho que teria alta probabilidade de ser necessário ao final do 2º estágio, de modo a minimizar o custo total esperado de retrabalho. O trabalho foi motivado por um caso real, de uma montadora de veículos, mas a abordagem é genérica, aplicável a outros processos nas mesmas situações, e é de fácil implementação prática.

Palavras-chave: Processo em estágios, Capacidade de processos, Indústria automotiva.

1. Introdução

Esse trabalho foi motivado por um problema real de controle de qualidade observado em uma montadora de veículos, na Região Sudeste do Brasil. O processo em questão é a montagem e pintura das peças da carroceria; a característica de qualidade de interesse é o ajuste geométrico entre peças externas, representado pelas folgas entre as partes, em pontos específicos (por exemplo, no topo da tampa traseira, à direita, e no topo da tampa traseira, à esquerda). Estas folgas, evidentemente, devem estar dentro de certas especificações.

O processo pode ser dividido em dois estágios (ver a Figura 1): o 1º estágio é a montagem e o ajuste dos elementos na “chaparia”; o segundo é o processo de pintura da carroceria assim montada. As folgas nos diversos pontos específicos ao final do 1º estágio constituem as variáveis xi. O processo de pintura do 2º estágio, no entanto, envolve altas temperaturas, alterando os valores dessas folgas. Por essa razão, as folgas são inspecionadas ao final do 2º estágio (constituindo as variáveis yi), para verificação da necessidade de reajuste das mesmas (retrabalho), no caso de estarem fora das especificações. Daqui em diante, por simplicidade, o índice i será omitido, sem prejuízo do entendimento, como será visto. Os limites de especificação para cada variável y são definidos pela Direção de Qualidade da empresa, correspondendo aos valores considerados como admissíveis na percepção visual dos clientes. De fato, foram também definidas especificações para as variáveis x; estas, porém, são arbitrárias, por terem sido definidas sem uma análise da relação entre y e x; estas especificações arbitrárias serão ignoradas pelo modelo e procedimento que este trabalho propõe.

A capacidade do processo como um todo era baixa: as folgas após o segundo 2º estágio (variável y) estavam freqüentemente fora das especificações, demandando reajuste (retrabalho). O custo do retrabalho após o 2º estágio é muito maior que após o 1º estágio. Tal custo envolve não apenas o custo de mão-de-obra e valor já agregado, como o custo

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relacionado a atrasos no fluxo de produção. Por exemplo, um ponto mal ajustado da tampa traseira com o teto pode, na linha final (após a pintura), acarretar uma troca de toda a tampa, o que leva muito tempo, é caro e atrasa sobremaneira a entrega dos veículos. Esse mesmo retrabalho executado na chaparia seria menos custoso e mais rápido.

Figura 01 – Divisão do processo em estágios

Origina-se aí a motivação deste trabalho, fruto da experiência do primeiro autor enquanto colaborador da referida empresa. O propósito geral, final, é reduzir a necessidade de retrabalho ao final do 2º estágio do processo. Teoricamente uma possibilidade seria aprimorar ou modificar o processo de pintura (2º estágio) de modo a conseguir um processo que não mais alterasse os valores das folgas x; mas isso era impraticável para a empresa. A única alternativa restante, portanto, seria trabalhar nas variáveis x. As diversas formas de fazê-lo são o objeto deste artigo. O problema geral assim constituído, de controle das folgas do 1º estágio (x) de modo a reduzir a necessidade de retrabalho no final da linha, subdivide-se em três subproblemas específicos e objetivos, definidos como:

Problema 1: Determinar um valor-alvo, µA, para a média da variável x, e um valor máximo

aceitável, σA, para o seu desvio-padrão, de modo a garantir a capacidade desejada do

processo ao final do 2º estágio — i.e., uma probabilidade suficientemente alta, especificada

pelo usuário (no caso a Direção de Qualidade da empresa) de que a variável y esteja dentro das suas especificações ou, alternativamente, um valor suficientemente alto para o Cp da variável y. Determinados os valores µA e σA, poder-se-á ajustar o processo em µA e investir

em ações de melhoria para buscar reduzir o desvio-padrão de x (σx) até o valor σA.

Problema 2: Se as ações de melhoria forem bem sucedidas (ou seja, se se conseguir centrar o processo em µA e reduzir seu desvio-padrão para σA), pode-se realizar o controle estatístico

do processo do 1º estágio (monitoramento da variável x por gráficos de controle apropriados), para detectar qualquer causa especial que altere o valor desses parâmetros. O segundo problema, então, é o projeto do esquema de controle a adotar: quais gráficos, e quais parâmetros para eles (tamanho de amostra, freqüência de amostragem, etc.). Este problema (uma vez determinados µA e σA) é convencional, por isso não faz parte do escopo deste

trabalho. Ele só é aqui mencionado para uma visualização mais completa de como os diversos subproblemas se integram no controle estatístico de processos em estágios, como um todo. Problema 3: No caso de não se conseguir reduzir o desvio-padrão de x (σx) até o valor σA, e

sendo o custo de retrabalho após o 2º estágio significativamente maior que após o 1º estágio, o custo total pode ser reduzido por uma inspeção a 100% após o primeiro estágio, com a finalidade de antecipar o retrabalho, quando a variável x estiver além de certos limites. O Problema 3, então, é: determinar, com base na razão entre os custos de retrabalho ao final do

1º e do 2º estágios (e com base na distribuição de y condicionada a x), os limites de tolerância para x, além dos quais o reajuste deve ser feito antes do 2º estágio.

folgas

y

folgas

x

Montagem e ajuste antes da

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Este artigo desenvolve e propõe soluções para os problemas 1 e 3 acima definidos, que são gerais, podendo ser aplicadas a outros processos em situações semelhantes.

Há outros trabalhos na literatura sobre o controle de processos em estágios, por exemplo Ding

et al. (2000, 2005), Huang et al. (2000, 2002) ou Zhou et al. (2003). Tais trabalhos porém são

na área de robótica, voltados para processos com controle automatizado; alguns deles são ainda restritos a processos de usinagem, e todos utilizam uma modelagem por espaço de estados razoavelmente complexa. Nenhum se aplica ao processo considerado, em que a montagem é manual, e tampouco a montadora em questão adotaria uma solução que não fosse simples. A solução aqui proposta está no contexto do controle estatístico e análise de capacidade de processos manuais (pelo menos em parte) e é suficientemente simples para ser adotada na prática.

2. Hipóteses assumidas e escopo

Como existem várias folgas de interesse, as variáveis x e y são na realidade vetores. (Em nosso trabalho o veículo apresenta 12 pontos de medição). Consideraremos aqui que os diversos componentes xi, com i = 1, 2, ..., n, são independentes, bem como os diversos yi, o que reduz o problema multivariado a n subproblemas univariados idênticos. Será visto mais adiante que esta suposição é razoável, no caso considerado. O tratamento do problema multivariado, para o caso em que haja correlação cruzada entre as folgas na saída de um estágio, é uma questão para pesquisas futuras.

Consideraremos, portanto, o caso univariado, com uma variável x e uma variável y. O procedimento é aqui desenvolvido para o caso em que ambas as variáveis possuem distribuição normal, e a relação entre elas é linear, na forma

e x

y=α +β + (1)

onde α e β são constantes e e~N(0,σ_e2)

Isso equivale a dizer que a distribuição conjunta de (X, Y), f_X_,_Y(x,y), é uma normal bivariada. Os coeficientes α e β relacionam-se com os parâmetros de fX,Y(x,y) por:

X Y βµ µ α = − (2) X Y σ σ ρ β = , (3)

sendo µ_X , µ_Y, σ_X , σ_Y, as médias e desvios-padrão das distribuições marginais das variáveis X e Y, respectivamente, e ρ, o coeficiente de correlação entre elas. Em conseqüência das propriedades da distribuição normal bivariada (ver, por exemplo, Larson (1982), Hogg&Tannis (1997), ou qualquer outro livro de probabilidades) a relação entre σe e σY é

dada por ) 1 ( 2 2 2 σ ρ σe = Y − . (4)

Note que σ_e2 é a variância (suposta constante) da distribuição condicional f_Y_|_X(y|x).

A validade dessa hipótese pode ser verificada, dada uma amostra aleatória de pares (x, y), por uma análise de regressão entre X e Y. É necessário verificar que a relação linear representa bem a relação entre X e Y, que a variância dos resíduos é constante, e que a distribuição

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normal se ajusta bem a eles. Casos em que essas hipóteses não se verifiquem estão fora do escopo deste trabalho.

As estimativas dos parâmetros µX, µY, σX , σY e ρ podem ser obtidas diretamente pelos

estimadores usuais X , Y , SX, SY e RXY (este último, daqui em diante simplesmente R, também é fornecido nos resultados da regressão), e a variância condicional σ_e2 pode ser estimada de duas maneiras, que levam exatamente ao mesmo resultado:

r e =MQ

2 ˆ

σ , (5)

onde MQ é o resíduo quadrático médio, dado por _r

) 2 ( 1 2 − = = n r MQ n i i r , (6)

onde, por sua vez, r é o i-ésimo resíduo da regressão e n é o número de pontos considerados; i

ou ainda por:

(

2

)

2 2 1 2 1 ˆ S R n n Y e − − − = σ , (7)

onde R é o coeficiente de determinação da regressão, igual ainda ao quadrado do coeficiente 2

de correlação amostral R, que é a estimativa de ρ.

3. Desenvolvimento da Solução do Problema 1

O “PROBLEMA 1” foi definido como: determinar o valor-alvo para a média, µA, e o valor

máximo tolerado para o desvio-padrão, σA, da variável x de modo a garantir que a variável y

tenha uma probabilidade muito alta — definida pelo usuário — de estar dentro dentro do intervalo de especificação [LIEY, LSEY]. Determinados estes valores µA e σA, deve-se procurar

centrar a média de x em µA e melhorar o processo, reduzindo sua variabilidade de modo a que

o desvio-padrão de x não exceda o valor σA.

Portanto, a situação considerada para solução do PROBLEMA 1 vai além do contexto usual da análise estatística, no qual a distribuição conjunta fX,Y(x,y) é considerada imutável: a possibilidade de melhoria do processo reduziria o desvio-padrão σx e, em conseqüência, o

desvio-padrão da distribuição marginal de y, σy. É razoável supor que a distribuição de Y

condicionada a X, f_Y_|_X(y|x), não se altere, pois o processo produtivo no 2º estágio (ao início do qual a variável x já terá assumido um valor específico, determinado), não terá sido

modificado. A única coisa que se alterará com a melhoria do processo no 1º estágio é a densidade de probabilidade da variável x. Assim, os parâmetros α, β e σe2, que são inerentes

ao 2º estágio do processo, não se alterarão. Nessas condições, e supondo ainda que a distribuição marginal de x permanece normal (tendo ocorrido apenas a redução de sua

dispersão), a distribuição conjunta f_X_,_Y(x,y) continuará sendo uma normal bivariada. Os parâmetros que se alterariam em conseqüência da alteração de σx são σy e ρ. (O ajuste da

média de x também alterará a média de y, como mostra a equação (2), dado que α e β não se alteram). Para o desenvolvimento das expressões para µA e σA, considerar-se-á portanto que

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α, β e σe2 são dados e não se alteram.

O valor-alvo para a média de x, µA, é obtido a partir de (1), que implica que

E(Y) = α + βE(X): substituindo nessa expressão α e β pelos seus estimadores a e b

(fornecidos pela regressão de Y em X) e substituindo ainda E(Y) pelo seu valor-alvo µY_A = (LSEY–LIEY)/2, obtém-se diretamente

µA = (µY_A – a)/b (8)

O valor máximo aceitável para o desvio-padrão da variável x, σA, é função do valor máximo

aceitável para o desvio-padrão da variável y, σY_A, que precisa ser pré-especificado, podendo

sê-lo em função de um Cp desejado e das especificações para y, da seguinte forma:

σY_A = (LSEY–LIEY)/(6Cp) (9) Da equação (4), tira-se: 2 2 1 y e σ σ ρ = − (10) Da equação (3), tira-se: β σ ρ σX = Y (11) Substituindo (10) em (11), chega-se a: β σ σ σ 2 2 e Y X = − (12)

Assim, substituindo σy por σY_A e β e σe2 por suas estimativas b e

2 ˆ_e σ , obtém-se a seguinte expressão para σA: b e A Y A 2 2 _ σˆ σ σ = − (13)

A estimativa b é fornecida diretamente pela regressão linear (coeficiente linear), e σˆ_e2 pode ser obtida por (5) e (6) ou por (7), como visto na seção anterior; as duas maneiras levam ao mesmo valor.

4. Desenvolvimento da Solução do Problema 3

O Problema 3 foi definido como: determinar os limites de tolerância para x além dos quais um reajuste deve ser feito antes do 2º estágio, de pintura.

Trata-se, portanto, de identificar quando é vantajoso antecipar para antes do 2º estágio o retrabalho que provavelmente seria necessário ao final do mesmo. Sendo c1 o custo do

retrabalho antecipado e c2, o custo do retrabalho realizado após o 2º estágio, a antecipação

será vantajosa quando

c1 < [ P(Y <LIEY) + P(Y >LSEY) ] c2 (14)

ou seja, quando o custo do retrabalho antecipado for menor que o custo esperado de retrabalho após o 2º estágio.

Esse critério pressupõe que, sendo feito o reajuste antecipado, a probabilidade de ter que refazê-lo após o 2º estágio é nula. Nos casos em que esta suposição não seja válida, deve-se

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incluir mais uma parcela no primeiro membro de (14), correspondendo ao valor esperado do custo desse reajuste adicional; tal parcela seria idêntica ao segundo membro exceto pelo fato de que as probabilidades dentro dos colchetes seriam condicionadas a ter sido realizado um reajuste ao final do 1º estágio.

O critério (14) pode ser reescrito como

2 1 | | 1 c c LSE LIE e X Y Y e X Y Y _> − Φ − + − Φ σ µ σ µ (15) onde Φ(⋅)representa a função de distribuição normal padronizada. Suporemos que, quando a desigualdade em (15) for satisfeita, uma das duas parcelas do seu primeiro membro será muito menor do que a outra, podendo ser desprezada. Isso porque uma delas corresponde à probabilidade de Y estar acima do LSE e a outra, à probabilidade de Y estar abaixo do LIE, ambas condicionadas ao valor de X observado. Quando X for “muito grande”, de modo que a probabilidade de Y>LSEY seja “grande” (maior que c1 c2), a probabilidade de Y<LIEY será muito pequena; raciocínio simétrico se aplica para quando X for “muito pequeno”.

De (1) tem-se que

x

Y α β

µ | = + (16)

Os limites de tolerância para X são os valores x tais que o valor correspondente de µ_Y_|_x (dado por (16)) torne o primeiro membro de (15) igual ao segundo membro. Assim, substituindo x por LSEX em (16), em seguida substituindo (16) em (15) e desprezando, conforme o

argumento apresentado, a 1ª parcela do 1º membro de (15), chega-se ao limite de tolerância superior para X:

(

)

[

+Φ σ −α

]

β = − e Y X LSE c c LSE 1 ₁ ₂ (17)

Substituindo x por LIEX em (16) e procedendo analogamente, chega-se ao limite de tolerância

inferior:

(

)

[

−Φ σ −α

]

β = − e Y X LIE c c LIE 1 ₁ ₂ (18)

Evidentemente, para cálculo de LSEX e LIEX, sendo os valores exatos de α, β e σe

desconhecidos, usam-se em seu lugar, nas equações (17) e (18), suas estimativas respectivas

a, b (dadas pela regressão) e σˆ (dada por (5) e (6) ou por (7)). e

As expressões (17) e (18) permitem identificar em que casos reais não será factível reduzir o custo médio de retrabalho pela sua antecipação. Isso se refletirá em LSEX ≤ LIEX. De (17) e

(18), obtém-se que não será factível reduzir o custo médio de retrabalho pela sua antecipação quando Φ − ≤ − ₋ 2 1 1 2 c c LIE LSE e Y Y σ (19)

Isso ocorre quando a dispersão da distribuição de Y condicionada a X (dispersão representada por σ_e) for muito grande em relação ao intervalo de especificações, indicando que, mesmo que se centre X no seu valor-alvo, ainda assim há grande probabilidade de ser necessário um reajuste no final da linha, tornando o reajuste antecipado inútil, ou ineficiente na redução do

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custo total de retrabalho. Obviamente a definição de “σ_e muito grande” se faz (como mostra (19)) em função da razão entre os custos de reajuste antes e depois do 2º estágio.

5. Exemplo de Aplicação ao Caso Real

No processo em questão, há 12 pontos de interesse na carroceria, onde há especificações para as folgas. Os pontos foram tratados independentemente, de acordo com as hipóteses e escopo descritos na Seção 2 deste trabalho. De fato, a eventual existência de correlações cruzadas entre os valores de diferentes variáveis xi e xj, bem como de yi e yj, poderia fazer com que reduções da variabilidade de uma variável acarretassem redução da variabilidade da outra, e também faria com que reajustes em uma variável afetassem os valores de outra; porém, em termos do Problema 1, isso não alteraria o valor-alvo µA nem o desvio-padrão aceitável σA

para cada variável; e, em termos do Problema 3, não alteraria os limites de tolerância para cada variável xi. Entendendo que após um reajuste todas as variáveis — folgas — sejam de novo verificadas, essas considerações permitem tratar as variáveis como independentes, ainda mais levando em conta que o tratamento multivariado do problema seria muito complexo para ser aceito pela empresa.

Para ilustração do procedimento, tomaremos como exemplo apenas um dos pontos, entre a tampa traseira do veículo e a lateral da carroceria em sua parte superior, do lado direito. As especificações para a folga final são 3,0≤y≤7,0 mm.

A primeira etapa é tomar uma amostra das folgas antes e depois da pintura (pares (x, y)), e fazer a regressão de y em x, para verificar a validade das hipóteses descritas na Seção 2 e para obter as estimativas dos parâmetros da distribuição conjunta de x e y. A amostra utilizada foi de 17 carrocerias. Obtiveram-se os coeficientes a= –0,4526; b=0,8263; R2=0,6197 e

MQr=0,2341, o que fornece, pela igualdade em (5), σˆ_e2=0,2341. O valor do coeficiente de correlação (R=0,7872) confirma a dependência da variável Y em X (sem o que, atuar em X não faria sentido), e a plotagem dos resíduos não revelou heterocedasticidade nem a necessidade de termo não linear na relação entre X e Y. O gráfico de probabilidade normal dos resíduos também teve aspecto satisfatório, sem indícios contrários à hipótese de normalidade. Obtiveram-se ainda as seguintes estimativas para os parâmetros das distribuições marginais de X e Y: 353 , 5 ˆ_X =x= µ ; ˆ2 2 0,5239 ˆ = =0,7238 = = X X X X S σ S σ ; 971 , 3 ˆ_Y = y= µ ; ˆ2 2 0,5772 ˆ = =0,7579 = = Y Y Y Y S σ S σ .

Nota-se que µˆ_Y =3,971 está muito distante do ponto médio das especificações, 5,0; isso resulta num Cpk =

(

µˆ_Y −LIE_Y

) (

3σˆ_Y

)

= 0,5608. Uma providência a tomar, sem dúvida, é centralizar o processo. Para isso, a equação (8) fornece o valor-alvo µA para a centralização da

variável x, valor da folga à saída do subprocesso de montagem, antes da pintura. Fazendo nessa equação µY_A = 5,0 (ponto médio das especificações), temos:

µA = [5,0 – (–0,4526)] / 0,8263 = 6,6mm

Centrar o processo, porém, não seria suficiente, pois ainda se teria Cp =

(

LSEY −LIEY

) (

6σˆY

)

= 0,88, valor considerado insatisfatório pela empresa. Para atingir Cp ≥

1,33 (considerado ideal pela empresa), o desvio-padrão de Y não poderia exceder (pela equação (9)) o valor

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σY_A = (LSEY–LIEY)/(6Cp) = (7,0–3,0)/(6×1,33) = 0,50.

Para que σY_A seja no máximo igual a 0,50, por sua vez, a equação (13) fornece o valor

máximo aceitável σ_A para o desvio-padrão da folga à saída do processo de montagem: 1526 , 0 8263 , 0 2341 , 0 50 , 0 ˆ2 2 2 _ − = − = = Y A e b A σ σ σ .

Isso corresponde a uma redução de quase 5 vezes na variabilidade do processo no 1º estágio (pois σˆ_X =0,7238), difícil de obter, pelo menos no curto prazo. Assim, para manter a capacidade do processo final, é necessária inspeção a 100%, para reajuste quando necessário. Como o custo do reajuste no final da linha é 2,5 vezes maior que ao final do 1º estágio, deve-se determinar (Problema 3) os limites de tolerância para inspeção ao fim do 1º estágio: valores críticos que indicam quando deve-se realizar o reajuste antecipado. A inspeção a 100% pode ser feita de forma fácil, simples, rápida e pouco sujeita a erro com o uso de um calibre passa-não-passa. Os limites de tolerância são determinados pelas equações (17) e (18), com razão entre custos c1/c2 = 0,4 (que leva a

(

1 2

)

1

c c

−

Φ = Φ−1

( )

0,4 = –0,2523); LSEY = 7,0;

LIEY = 3,0; σe= 0,2341 =0,4838; a= –0,4526 e b=0,8263. Isto fornece LSEX=8,871 e

LIEX=4,327. Assim, quando x > 8,871 ou x < 4,327, deve-se reajustar as folgas antes da

pintura.

6. Conclusão

O modelo e procedimento propostos são simples e de fácil implementação, permitindo — desde que haja uma relação linear entre uma variável (característica de qualidade) na saída de um estágio do processo e outra, na saída do estágio subseqüente — determinar quais devem ser a média e o máximo desvio-padrão aceitável para a variável na saída do primeiro estágio de modo a garantir a capacidade desejada do processo ao final do estágio subseqüente, o que serve para orientar as ações de melhoria. Caso o processo não seja e não possa ser tornado capaz, o modelo fornece ainda limites de tolerância para a variável à saída do primeiro estágio, que indicam quando se deve antecipar o retrabalho, resultando na minimização de custos com o mesmo.

A análise requerida é simples: regressão linear, disponível mesmo em planilhas eletrônicas. A partir dos resultados desta, o modelo fornece expressões diretas para todas as quantidades de interesse. A simplicidade do modelo, sua acessibilidade e a facilidade de implementação do procedimento constituem vantagens importantes sobre demais modelos de controle de processos em estágios, que, além de complexos, estão voltados para processos automatizados, não sendo diretamente aplicáveis a um grande número de processos manuais ou parcialmente manuais.

Agradecimentos

Os autores agradecem o apoio do CNPq. Referências

DING, Y., CEGLAREK, D. & SHI, J. Modeling and Diagnosis of Multistage Manufacturing Processes: Part I

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