Me todos Computacionais em Fı sica I

M ´etodos Computacionais em F´ısica I

Sandra Amato

Instituto de F´ısica

Universidade Federal do Rio de Janeiro

Containers

Ü At ´e agora vimos vari ´aveis do tipo inteiro, float, complex, bool, string. Todas elas armazenam um ´unico valor de cada vez.

Ü Em diversas aplicac¸ ˜oes, seria muito ´util poder associar diversos valores a uma ´unica vari ´avel, p. ex:

m vetor posic¸ ˜ao de uma part´ıcula: ~r = (x , y , z)

m notas dos alunos de uma turma

m medidas experimentais de uma certa quantidade

m uma matriz m × n

Ü Em vez de termos que criar uma vari ´avel para cada valor

x = . . . , y = . . . , z = . . ., poder´ıamos ter uma chamada r composta de quantos elementos quisermos, e acessar´ıamos cada um deles atrav ´es de ´ındices: r = {ri}.

Ü Essas estruturas s ˜ao chamadas decontainers

Ü Todas as linguagens oferecem essa funcionalidade

Ü Em Python, as principais s ˜aolists, arrays, tuples, dicts e sets

Lists

Ü Umalist´e um conjunto de valores (elementos), de qualquer tipo

Ü Para criar uma lista:

>>> r = [1, 1, 2, 3, 5, 8, 13] >>> print (r)

[1, 1, 2, 3, 5, 8, 13]

Ü Os elementos devem estar entre colchetes e separados por v´ırgulas

Ü Cada elemento est ´a associado `a um ´ındice, que reflete a sua posic¸ ˜ao.

Ü Atenc¸ ˜ao: o ´ındice comec¸a com zero!!!

>>> from math import sqrt >>> vel = [1, 1.5, -2.2] >>> vel[1]

1.5

>>> modulo_vel = sqrt(vel[0]**2 + vel[1]**2 + vel[2]**2 ) >>> modulo_vel

Operac¸ ˜

oes com Lists

Ü Para alterar algum valor da lista: >>> vel = [1, 1.5, -2.2] >>> vel[1] = 3.5

>>> print (vel) [1, 3.5, -2.2]

Ü para acrescentar um elemento `a lista: >>> vel.append(6.1)

>>> print (vel) [1, 3.5, -2.2, 6.1]

Ü E usual criar uma lista vazia e ir acrescentando elementos:´ >>> r = []

>>> r.append(1) >>> r.append(1.5)

>>> r.append(-2.2) >>> print (r) [1, 1.5, -2.2]

Ü >>> r[-1] # -1 ´e o ´ındice do ´ultimo elemento -2.2

Operac¸ ˜

oes com Lists

>>> r.append(3.1) # acrescenta um elemento >>> r

[1, 1.5, -2.2, 3.1]

>>> r.pop() # remove o ´ultimo elemento 3.1

>>> r

[1, 1.5, -2.2]

>>> del r[1] # remove o elemento na segunda posic¸˜ao >>> r

[1, -2.2]

>>> r.insert(1,1.5) #insere 1.5 na segunda posic¸˜ao >>> r

[1, 1.5, -2.2] >>> len(r) 3

>>> sum(r) #soma de todos os elementos 0.2999999999999998

Operac¸ ˜

oes com Lists

>>> r.index(-2.2) # obter ´ındice do elemento -2.2 2 >>> r = r + [3.1, 4.5] # concatenar listas >>> r [1, 1.5, -2.2, 3.1, 4.5] >>> x = 3.0 >>> y = 7.1

>>> pos = [x,y] #criac¸˜ao de lista usando vari´aveis >>> pos

[3.0, 7.1]

>>> x = 4 # alterar a vari´avel N˜AO altera a lista >>> pos

[3.0, 7.1]

>>> w = [x**2, 2*x*y, y**2] #criac¸˜ao de lista usando f´ormulas >>> w

[16.0, 56.8, 50.41] >>> 56.8 in w

True

Operac¸ ˜

oes com Lists

Ü Uma func¸ ˜ao de lista muito ´util ´e a map. Permite aplicar uma operac¸ ˜ao a todos os elementos de uma lista de uma vez:

>>> from math import log >>> r = [1.0, 1.5, 2.2] >>> logr = list(map(log,r)) >>> logr

[0.0, 0.4054651081081644, 0.7884573603642703]

Ü Extrac¸ ˜ao de subLists: Para extrair uma parte da lista A, usamos a sintaxe: A[i:j]. Ser ´a extra´ıda uma sublista que comec¸a com o elemento A[i] e termina com o elemento A[j-1]

>>> A = [2, 3.5, 8, 10] >>> A[1:3] [3.5, 8] >>> A[2:] [8, 10] >>> A[:3] [2, 3.5, 8]

Operac¸ ˜

oes com Lists

Construc¸ ˜ao Significado

a.remove(e) remove o elemento de valor e da lista a

a.index(e) encontra o ´ındice correspondente ao elemento de valor e e in a testa se e est ´a contido em a (True ou False)

a.count(v) conta quantos elementos possuem o valor v len(a) numero de elementos de a

min(a) menor elemento de a max(a) maior elemento de a

sum(a) soma todos os elementos de a

sorted(a) retorna uma vers ˜ao em ordem crescente (ou alfab ´etica) de a reversed(a) retorna uma vers ˜ao invertida (de tr ´as pra frente) de a ***

b[3][0][2] indexac¸ ˜ao de listas aninhadas (listas de listas). isinstance(a, list) True se a for do tipo list

type(a) is list True se a for do tipo list

*** : A func¸ ˜ao reversed(a) n ˜ao retorna uma lista diretamente. Para

visualizarmos ela diretamente como uma lista, devemos usar list(reversed(a))

For Loops

Ü

Vimos a instruc¸ ˜ao while que ´e uma forma de repetir um bloco de

comandos (loops)

Ü

Uma outra forma de fazer loop no Python ´e a instruc¸ ˜ao for

Ü

ela ´e mais conveniente para trabalhar com listas (e arrays como

veremos adiante)

For Loops

%d elementos" %len(graus)) $ python3 fahrenheit.py C F 0 32.00 5 41.00 10 50.00 15 59.00 20 68.00 25 77.00

a lista possui 6 elementos

m graus ´e uma lista de n ´umeros inteiros

m C ´e um iterator

m ao entrar no for, C recebe o valor do primeiro elemento

m os comandos identados s ˜ao executados

m ao t ´ermino dos comandos identados, C ´e atualizado com o segundo valor da lista

m e assim por diante at ´e chegar ao ´ultimo valor

m ao t ´ermino do loop, o programa segue para a pr ´oxima linha do c ´odigo

For Loops

Ü

Um loop do tipo for pode sempre ser transformado em um do

tipo while

graus = [0, 5, 10, 15, 20, 25]

indice = 0

while (indice < len(graus)):

F = (9./5) * graus[indice] + 32

print ("%5d %7.2f" %(graus[indice],F))

indice +=1

print ("a lista possui %d elementos" %len(graus))

Ü

mas nem sempre um do tipo while pode ser transformado em

um do tipo for

A func¸ ˜ao range

Ü Criamos a lista graus com 6 elementos, de 0 a 25, em passos de 5

Ü ... mas e se quisermos criar uma lista com um n ´umero muito grande de elementos?

Ü A func¸ ˜aorange ´e usada para esse fim

Ü range(n)gera iterators com valoresinteirosde 0 a n − 1 em passos de 1

for i in range(4): print (i, i**2) 0 0 1 1 2 4 3 9 Ü range(2,5) gera [2, 3, 4] range(2, 17, 3) gera [2, 5, 8, 11, 14] range(17, 2, -3) gera [17, 14, 11, 8, 5]

Somat ´

orio

Ü J ´a realizamos o c ´alculo de uma soma utilizando while

Ü Com o for ´e mais simples

100 X n=1 1 n N = 100 soma = 0 for n in range(1,N+1): soma += 1/n

#print ("soma %f" %soma) print ("soma %f" %soma)

Ü Somas matem ´aticas aparecem com muita frequencia. Lembre desta implementac¸ ˜ao

Alterando os valores dos elementos de uma lista

Ü O for tamb ´em ´e ´util para alterarmos os valores dos elementos de uma lista >>> posicao = [1, 3, -2] >>> for i in range(len(posicao)): ... posicao[i] += 5 ... >>> posicao [6, 8, 3]

Exerc´ıcios

Ü

Escreva um algoritmo, que use o loop do tipo for, para calcular a

s ´erie

sin(x ) ≈

X

(−1)

(2n + 1)!

x

_{≈ x −}

x

3!

+

x

5!

−

x

7!

+ . . .

Ü

Implemente esse algoritmo em Python. Use a func¸ ˜ao factorial

do m ´odulo math

Ü

teste com x = 1.2 e n = 5. Compare com o valor de sin(1.2) do

m ´odulo math

Exerc´ıcios

ÜEm 1888 Johannes Rydberg publicou a f ´ormula que fornece os comprimentos de onda λ das linhas de emiss ˜ao do ´atomo de hidrog ˆenio:

1 λ =R  1 m2 − 1 n2 

onde R ´e a constante de Rydberg R = 1.097 × 10−2nm−1e m e n s ˜ao inteiros positivos. Para um dado valor de m, teremos uma s ´erie de linhas para todos os valores de n > m. As 3 primeiras s ´eries, m = 1, 2, 3 s ˜ao conhecidas como s ´eries de Lyman, Balmer e Paschen. Os valores de λ das 5 primeiras linhas de cada s ´erie s ˜ao:

Serie para m = 1 121.54 nm 102.55 nm 97.23 nm 94.96 nm 93.76 nm Serie para m = 2 656.34 nm 486.17 nm 434.08 nm 410.21 nm 397.04 nm Serie para m = 3 1875.24 nm 1281.91 nm 1093.89 nm 1005.01 nm 954.67 nm

ÜEscreva um algoritmo para o c ´aculo de λ e implemente-o em Python(Rydberg.py)

Pacote Numpy

Numpy

E o pacote do Python mais fundamental para computac¸ ˜ao

´

cient´ıfica.

Ele cont ´em, entre outras coisas:

Ü

arrays e matrizes

Ü

func¸ ˜oes matem ´aticas sofisticadas

Ü

ferramentas de ´algebra linear

Ü

transformada de Fourier

Ü

geradores de n ´umeros aleat ´orios

Array

Ü Em computac¸ ˜ao cient´ıfica lidamos com um conjunto grande de n ´umeros

Ü Vimos que uma List ´e um recurso que pode armazenar esse conjunto

Ü Por ´em para um conjunto grande de n ´umeros a List ´e muito lenta

Ü Existe um outro tipo de container, o Array, definido no m ´odulo numpy:

m ´e muito mais r ´apido, especialmente se contiver muitos n ´umeros

m j ´a tem os m ´etodos matem ´aticos, como se fossem aplicados a vetores, p. ex. soma de dois arrays, etc. Assim n ˜ao ´e necess ´ario fazer loops sobre os elementos

m pode ser bi-dimensional, para aplicac¸ ˜oes com matrizes

m usado no m ´odulo de visualizac¸ ˜ao de gr ´aficos matplotlib

Ü Duas diferenc¸as importantes entre Array e List:

m todos os elementos devem ser do mesmo tipo (float, int ...)

m o n ´umero de elementos deve ser conhecido na criac¸ ˜ao, n ˜ao pode ser modificado posteriormente

Inicializac¸ ˜ao de um Array

Podemos inicializar um array de v ´arias formas(detalhes nosite do SciPy)

>>> import numpy as np

>>> a = np.zeros(4) # cria array com 4 el. com 0. (float) >>> print (a)

[0. 0. 0. 0.] # repare que ´e sem v´ırgula

>>> b = np.zeros(4, int) # para que os elementos sejam int >>> r = np.empty(1000) # cria com 1000 el. vazios (lixo) >>> umaLista = [1., 1.5, -2.2] # uma lista pode ser >>> umArray = np.array(umaLista) # convertida em array >>> umArray = np.array([5, 10, 15], float)

array([ 5., 10., 15.])

>>> s = np.linspace(0, 2, 3) # (in´ıcio, fim, num. elem)

array([0., 1., 2.]) # inclui o ´ultimo. sempre float

>>> s = np.arange(1, 8, 2) # (in´ıcio, fim, passo)

array([1, 3, 5, 7]) # n˜ao inclui o ´ultimo.

>>> w = np.arange(5) array([0, 1, 2, 3, 4])

Inic. de um Array c/ valores lidos de arquivo

Ü Uma outra forma de criar um array ´e atrav ´es da leitura dos valores armazenados em um arquivo

Ü Bastante ´util para ler dados obtidos em um experimento, ou gerados por outro programa

Ü Suponha que tenhamos um arquivo valores.txt com o seguinte conte ´udo:

1.0 1.5 -2.2

Para l ˆe-los em um array:

>>> from numpy import loadtxt >>> a = loadtxt ("valores.txt") >>> print (a)

[ 1. 1.5 -2.2]

ÜRepare que n ˜ao ´e preciso saber o n ´umero de linhas do arquivo

Operac¸ ˜

oes com arrays

Ü Como nas lists, podemos fazer operac¸ ˜oes com os elem. individuais: x = a[2]**2 - 2 * a[3]/y

Ü Mas, diferentemente das lists podemos fazer operac¸ ˜oes em todo o array de uma s ´o vez (vectorizing)Üc ´odigo mais simples e maior velocidade de execuc¸ ˜ao.

Ü em geral a regra ´e fazer a mesma operac¸ ˜ao em todos os elem. do array >>> from numpy import array

>>> a = array([1, 2, 3, 4], int)

>>> b = 2 * a # ´E tamb´em uma forma de criar um array >>> b

array([2, 4, 6, 8])

>>> print (a + b) # a e b tem que ter mesmo tamanho

[ 3 6 9 12]

>>> print (a * b) # Atenc¸˜ao! N˜ao ´e produto escalar

Operac¸ ˜

oes com arrays

ÜPara obter o produto escalar entre dois arrays: >>> from numpy import array, dot >>> a = array([1,2,3])

>>> b = array([2,4,6]) >>> print (dot(a,b)) 28

ÜDiferenc¸a entre func¸ ˜oes do m ´odulo math e numpy >>> from numpy import array, sin, pi

>>> angulo = array([0, pi/6, pi/4, pi/3, pi/2]) >>> sin_angulo = sin(angulo)

>>> sin_angulo

array([0. , 0.5 , 0.70710678, 0.8660254 , 1. ])

ÜA func¸ ˜ao do m ´odulo numpy pode atuar tamb ´em sobre arrays. A do math s ´o atua sobre vari ´aveis simples

C ´

opias de arrays

>>> from numpy import array >>> a = array([1, 1])

>>> b = a >>> a[0] = 2 >>> print(a, b) [2 1] [2, 1]

Üb = a n ˜aocria uma nova c ´opia do array. ´E simplesmente um novo nome associado `a mesma regi ˜ao de mem ´oria. Ao mudar algum elemento de a , b tamb ´em ser ´a alterado.

ÜPara fazer uma c ´opia:

>>> from numpy import array, copy >>> a = array([1, 1])

>>> b = copy(a) >>> a[0] = 2 >>> print(a,b) [2 1] [1 1]

Exerc´ıcio

Ü Crie um arquivo (media.txt) com algumas linhas que contenham um n ´umero real (0 - 10) por linha. Esse n ´umero pode representar, por exemplo, as notas de cada aluno de uma turma

Ü Escreva um algoritmo e implemente o programa em Python (media.py) que leia esses n ´umeros para um array e imprima:

m o n ´umero de alunos da turma

m a m ´edia da turma µ, com uma casa decimal

m o desvio padr ˜ao σ (com uma casa decimal) , dado por σ2= 1 N − 1 N X 1 (xi− µ)2= 1 N − 1 N X 1 xi2 ! − N N − 1µ 2

m o numero de alunos que passaram direto: nota ≥ 7.

m o numero de alunos reprovados: nota < 3.

Ü Nota: O m ´odulo numpy tamb ´em oferece as func¸ ˜oes min, max, sum, lenpara array

Exerc´ıcio

Ü

Compare seu resultado com o dos m ´etodos

numpy.mean(array)

e numpy.std(array)