SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL Ministério da Educação

SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL

Ministério da Educação

Universidade Federal do Rio Grande

Universidade Aberta do Brasil

Administração – Bacharelado

Matemática para Ciências Sociais Aplicadas I

Rodrigo Barbosa Soares

3. Sistemas Lineares:

3.1. Introdução:

Sistemas lineares aparecem, em geral, em problemas, em que certas quantidades precisam ser determinadas indiretamente. Como exemplo, pode-se tomar o seguinte problema do cotidiano:

Três amigos se encontram em uma lanchonete. O amigo A compra um suco e um sanduíche e paga 7 reais. O amigo B compra dois quibes e um sanduíche e também paga 7 reais. O amigo C compra um suco e um quibe, pagando 6 reais. Qual o preço de cada produto? A matriz abaixo indica a quantidade de cada produto comprada por cada um dos amigos:

suco sanduíche quibe

A 1 1 0

B 0 1 2

C 1 0 1

Chamaremos de X1, X2 e X3, respectivamente, o preço do suco, do sanduíche e do quibe. Podemos, então, montar um sistema matricial:

          =                     6 7 7 3 X 2 X 1 X 1 0 1 2 1 0 0 1 1

Tradicionalmente, estudamos matrizes, determinantes e sistemas lineares, nesta ordem, o que é razoável do ponto de vista lógico. Historicamente, porém, as coisas não se passaram assim. O estudo de sistemas de equações, lineares ou não, perde-se na história e é impossível estabelecer um “início” para a teoria.

(

Possani, Cláudio; Revista do Professor de Matemática, p. 35 a 39, SBN,1992

)

Refere-se à tabela acima Custo de cada produto Valor pago por cada amigo

Vamos fazer a multiplicação das matrizes (3x3 por 3x1) que estão localizadas à esquerda do sinal de igualdade. Multiplicamos cada linha da matriz de ordem 3x3 pela coluna da matriz de ordem 3x1, ordenadamente, elemento por elemento, somando-se os produtos em seguida. Após, fazemos uma igualdade de matrizes, resultando no sistema linear.

     = + = + = + ⇒           =           + + + + + + 6 3 X 1 X 7 3 X 2 2 X 7 2 X 1 X 6 7 7 3 X 2 X 0 1 X 3 X 2 2 X 1 X 0 3 X 0 2 X 1 X

O sistema linear tem como solução X1= 4 reais (preço do suco); X2= 3 reais (preço do sanduíche) e X3= 2 reais (preço do quibe), ou seja, a solução do sistema linear acima é

)} 2 , 3 , 4 {( S= .

Utilizando sistemas, podemos resolver diversos problemas do nosso cotidiano. Sistemas lineares são, também, empregados para resolver problemas complexos. Tais sistemas são utilizados na tomografia computadorizada, na qual feixes de raio-X atravessam o corpo e a intensidade de saída do feixe depende da ação combinada das regiões que ele atravessa. Cada feixe é como uma das colunas do sistema, e a reunião da informação de vários feixes permite acessar a informação, em cada parte do interior do corpo.

3.2. Equação linear:

É uma equação da forma a1x1+a2x2+a3x3+...+anxn=b, onde ai(i=1,2,...n) são os coeficientes (reais ou complexos), x_i(i=1,2,...n) são as incógnitas e

b

é o termo independente.

Exemplos de equações lineares:

3 g 5 t w 20 x 7 x 3 x 2 10 z 7 y 3 x 3 5 2 1 − = − + − = − + = + + Sistema linear

A solução de uma equação linear é dada pelo conjunto de valores que, ao serem substituídos nas incógnitas, chegam a uma igualdade verdadeira. Por exemplo, a equação

5 z y

x+ + = apresenta como solução x=−1,y=3,z=3, uma vez que

−

1

+

3

+

3

=

5

. Os valores x=1,y=2,z=3 também verificam a equação. Pode-se, então, afirmar que existem infinitas soluções (um número infinito de termos ordenados (x,y,z)) que satisfazem a equação dada.

Quando o termo independente

b

for igual a zero, a equação linear denomina-se equação linear homogênea. Observamos que uma equação linear não apresenta termos da forma

xy

,

x

12 , ou seja, cada termo da equação tem uma única incógnita, cujo expoente é sempre

igual à unidade (1).

Duas equações lineares são equivalentes, quando têm as mesmas soluções em um mesmo conjunto universo.

3.3. Definição de um sistema linear:

Um sistema de equações lineares ou sistema linear é um conjunto composto por duas ou mais equações lineares. Um sistema linear de n equações e incógnitas pode ser representado da seguinte forma:





























=

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

n n nn 4 4 n 3 3 n 2 2 n 1 1 n 4 n n 4 4 44 3 43 2 42 1 41 3 n n 3 4 34 3 33 2 32 1 31 2 n n 2 4 24 3 23 2 22 1 21 1 n n 1 4 14 3 13 2 12 1 11

b

x

a

...

x

a

x

a

x

a

x

a

b

x

a

...

x

a

x

a

x

a

x

a

b

x

a

...

x

a

x

a

x

a

x

a

b

x

a

...

x

a

x

a

x

a

x

a

b

x

a

...

x

a

x

a

x

a

x

a









, (I)

onde aij(i=1,2,3,...,n)(j=1,2,3,...,n) são os coeficientes, bi(i=1,2,3,...,n) os termos independentes e x_i(i=1,2,3,...,n) são as incógnitas.

Sistema Linear

3.4. Representação matricial de um sistema linear:

Podemos representar um sistema linear na forma matricial, como no exemplo inicial:













































=

























































































n 5 4 3 2 1 n 5 4 3 2 1 nn 5 n 4 n 3 n 2 n 1 n n 5 55 54 53 52 51 n 4 45 44 43 42 41 n 3 35 34 33 32 31 n 2 25 24 23 22 21 n 1 15 14 13 12 11

b

b

b

b

b

b

x

x

x

x

x

x

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

...

a

a

a

a

a





























(II)

Para representarmos um sistema linear na forma (I), a partir da forma matricial (II), realizamos duas operações com as matrizes que aparecem na forma (II). Primeiramente, efetuamos a multiplicação entre as matrizes dos coeficientes (A) e a matriz das incógnitas (X) e, posteriormente, realizamos a igualdade entre as matrizes do produto e dos termos independentes (B). Em notação simplificada, a forma matricial é dada por

_A

⋅

_X

=

_B

.

3.5. Solução de um sistema linear:

Chamamos de solução de um sistema linear ao conjunto ordenado de números reais

(

α

1

,

α

2

,

α

3

,

α

4

,

α

5

,

α

6

,



,

α

n

)

que, colocados respectivamente nos lugares das incógnitas, fazem com que todas as equações lineares fiquem verdadeiras (isto é, igualdades numéricas).

Exemplo 1: O sistema linear

   = + − = − 4 y x 2 3 y 2 x

tem o conjunto

S

=

{

( )

1

,

2

}

como solução. Nesse caso, a solução é única.

Matriz das incógnitas Matriz dos termos independentes Matriz dos coeficiente

Um sistema linear pode ter uma única solução, infinitas soluções ou não ter solução. Quando o sistema linear é homogêneo, isto é, o termo independente de todas as equações for nulo, e a solução é (0,0,0), dizemos que a solução é trivial. Caso o sistema admita outra solução em que as incógnitas não são todas nulas, a solução é chamada de solução não trivial.

3.6. Sistemas lineares equivalentes:

Dois sistemas são equivalentes se admitem o mesmo conjunto solução.

Exemplo 2: Dado um sistema linear, o seu conjunto solução pode ser igualmente determinado por inúmeros outros sistemas de equações. Verificar se os seguintes sistemas são equivalentes: (1)    = + = − 7 y x 5 y x 2 e (2)    = − = + − 9 y x 3 11 y 5 x

Resolvendo o sistema (1), isolando a variável x (incógnita) na segunda equação, obtemos: y

7

x= − e substituindo na primeira, temos 2(7−y)−y=5⇒−3y=−9⇒y=3 e

4

x

=

, então, a solução do sistema (1) é S={(4,3)}.

Resolvendo o sistema (2): da primeira equação temos que x=5y−11 e substituindo na segunda, obtemos 3(5y−11)−y=9⇒14y=42⇒y=3 e

x

=

4

, então, a solução do sistema (2) é S={(4,3)}.

Logo, como os dois sistemas admitem a mesma solução, eles são equivalentes.

Os sistemas a)

2

x

x

0

x

x

2 1 2 1

=

+

=

−

; b)

4

x

x

3

0

x

x

2 1 2 1

=

+

=

−

; c)

4

x

x

3

8

x

x

7

2 1 2 1

=

+

=

+

, são sistemas equivalentes, ou seja, todos têm o mesmo conjunto solução S={(1,1)}.

Os sistemas lineares são classificados quanto ao número de soluções que apresentam. Se o sistema linear tiver pelo menos uma solução, dizemos que ele é possível ou compatível, caso contrário, quando o sistema não tem solução, dizemos que ele é impossível ou incompatível. O sistema possível é determinado, quando ele tem uma única solução e é indeterminado, quando ele tem mais de uma solução. O esquema a seguir mostra a classificação de um sistema linear:

3.8. Resolução de um sistema linear:

3.8.1. Por adição e substituição:

Podemos resolver um sistema linear por substituição, ou seja, quando isolamos uma incógnita em uma equação e substituímos a mesma na outra equação, conforme mostra o exemplo abaixo:

Exemplo 3: Dado o sistema







=

−

=

−

4

y

2

x

5

1

y

4

x

, determine a sua solução:

Isolando a incógnita x na primeira equação x=1+4y e substituindo-a na segunda, obtemos:

4 y 2 ) y 4 1 (

5 + − = , então 18y=−1 e y=−1/18. Sabendo o valor de y, encontramos o de x,

9 / 7 18 / 14 18 / ) 4 18 ( ) 18 / 1 ( 4 1

x= + − = − = = . Assim, o conjunto solução do sistema é

)}. 18 / 1 , 9 / 7 {( S= −

Agora, resolvendo o mesmo sistema por adição:







=

−

=

−

4

y

2

x

5

1

y

4

x

   = − − = + − → →− 4 y 2 x 5 5 y 20 x 5 ) 5 ( x

somando as duas equações, obtemos o valor da incógnita y, 18y=−1⇒y=−1/18, que substituído, em qualquer uma das equações, fornece o valor de x, x=1+4y=1+4(−1/18)=(18−4)/18=14/18=7/9, logo, o sistema é possível e determinado, pois só admite a solução S={(7/9,−1/18)}.

possível e determinado mostrado acima, representam duas retas no plano cartesiano que se interceptam (se cruzam) no ponto (7/9,-1/18).

Exemplo 4: O sistema    = − = − 0 y 2 x 2 0 y x

é possível e indeterminado, pois

x

=

y

resolve as duas equações. Novamente, frisamos que todo sistema linear homogêneo é possível, pois sempre admite a solução trivial (0,0).

OBSERVAÇÃO: Em aulas posteriores, veremos que as equações lineares, que formam o sistema possível e indeterminado mostrado acima, representam retas paralelas sobrepostas no plano cartesiano, logo, existem infinitos pontos que satisfazem a ambas as equações (pontos que pertencem a ambas as retas).

Exemplo 5: O sistema    = + = + 4 y x 1 y x

é um sistema impossível, pois não é possível encontrarmos dois números reais, cuja soma seja 1 e 4 ao mesmo tempo.

OBSERVAÇÃO: Em aulas posteriores, veremos que as equações lineares, que formam o sistema impossível mostrado acima, representam retas paralelas (não sobrepostas) no plano cartesiano, logo, não existem pontos que pertençam às duas retas.

3.8.2. Regra de Cramer:

A regra de Cramer (Gabriel Cramer, matemático e astrônomo suíço (1704-1752) ) é empregada para resolver um sistema linear, em que o número de equações é igual ao número de incógnitas.

Dado o sistema, com três equações lineares e três incógnitas,











=

+

+

=

+

+

=

+

+

3 33 32 31 2 23 22 21 1 13 12 11

b

Z

a

Y

a

X

a

b

Z

a

Y

a

X

a

b

Z

a

Y

a

X

a

ou na

representação matricial

[

a

₁₁

a

₁₂

a

₁₃

a

₂₁

a

₂₂

a

₂₃

a

₃₁

a

₃₂

a

₃₃

]

[

X

Y

Z

]

=

[

b

₁

b

₂

b

₃

]

, determine a sua solução:

Podemos resolver o sistema acima, empregando a técnica de substituição ou adição de equações lineares, mas uma forma prática de resolver um sistema 3x3, 4x4 ou maior é utilizando a Regra de Cramer. A Regra de Cramer consiste em :

1) Calcular o determinante da matriz dos coeficientes (para isso, empregamos a regra de

Sarrus ou a de Laplace), simbolicamente indicado por

33 32 31 23 22 21 13 12 11 p a a a a a a a a a D = ;

2) Calcular os determinantes Dx,Dy eDz que se obtém de Dp, substituindo,

respectivamente, a 1a _{coluna (dos coeficientes de X), a 2}a _{coluna (dos coeficientes de Y) e a 3}a

coluna (dos coeficientes de Z) pela coluna dos termos independentes, ou seja,

33 32 3 23 22 2 13 12 1 x a a b a a b a a b D = , 33 3 31 23 2 21 13 1 11 y a b a a b a a b a D = e 3 32 31 2 22 21 1 12 11 z b a a b a a b a a D = .

3) Calcular as incógnitas fazendo:

p x D D X= , p y D D Y = e p z D D Z= , desde que D_p ≠0.

Exemplo 6: Resolver o sistema











=

+

+

=

+

−

=

−

+

1

x

x

x

10

x

5

x

4

x

3

0

x

x

2

x

3 2 1 3 2 1 3 2 1 Matriz dos coeficientes Matriz das incógnitas Matriz dos termos independentes

Cálculo do determinante da matriz dos coeficientes. 12 D ) A det( 1 1 1 5 4 3 1 2 1 A ⇒ = p =−           − − =

Cálculo do determinante das incógnitas.

24 D ) A det( 1 1 1 5 4 10 1 2 0 A1 ⇒ 1 = x₁ =−           − − = 12 D ) A det( 1 1 1 5 10 3 1 0 1 A2 ⇒ 2 = x₂ =           − = det(A ) D 0 1 1 1 10 4 3 0 2 1 A3 ⇒ 3 = x₃ =           − =

Cálculo das incógnitas.

2 12 24 D D x p x 1 1 = − − = = , 1 12 12 D D x p x 2 2 = − − = =

e

0 12 0 D D x p x

3 = 3 = ₋ = , logo, o sistema é possível e determinado e tem a solução S={(2,−1,0)}.

3.8.2.1. A discussão de um sistema utilizando a Regra de Cramer

:

Discutir um sistema linear é saber se ele é possível e determinado, possível e indeterminado ou impossível. Então:

Se D_p ≠0 , o sistema é possível e determinado;

Se D_p =0 e D_x =D_y =D_z =0 , o sistema é possível e indeterminado;

A Regra de Cramer é utilizada para resolver qualquer sistema, onde o número de equações (m) é igual ao número de incógnitas (n).

Exemplo 7: Uma certa escola de ensino médio tem 107 alunos, nas 1as_{e 2} as _{séries, 74, nas 2} as _e

3 as _{séries e 91, nas 1}as_{e 3} as _{séries. Qual o total de alunos dessa escola?}

Fazendo X= número de alunos na 1 a _{série, Y= número de alunos na 2} a _{série e Z =número de}

alunos na 3 a _{série, temos o sistema:}

     = + = + = + 91 Z X 74 Z Y 107 Y X

, resolvendo pela Regra de Cramer obtemos: 2 1 0 1 1 1 0 0 1 1 Dp = = , 124 1 0 91 1 1 74 0 1 107 Dx = = , 90 1 91 1 1 74 0 0 107 1 Dy = = e 58 91 0 1 74 1 0 107 1 1 Dz = = . Logo: 62 2 124 D D X p x _{= =} = , 45 2 90 D D Y p y _{= =} = e 29 2 58 D D Z p z _{= =} =

O total de alunos da escola é igual a X+Y+Z=136 alunos. O sistema acima é possível e determinado.

Exemplo 8: Discuta o sistema

   = − = + 1 Y X 2 mY X 3

Resolução: Calculando os determinantes:

m 3 1 1 m 3 Dp = ₋ =− − , Dx =2_{1 −}m₁ =−2−m e Dy =₁3 ₁2 =1 fazendo: Dp =0⇒−3−m=0⇒m=−3

2 m 0 m 2 0 D_x= ⇒ − − = ⇒ =−

Resposta: Para que o sistema seja impossível m=−3 (D_p =0), para que seja possível e determinado m≠−3 (Dp ≠0), e não existe um

m

tal que Dp =Dx =0 (m=−3e m=−2,

respectivamente).

A Regra de Cramer, embora simples na resolução de sistemas de duas equações e duas incógnitas ou três equações e três incógnitas, não é recomendável a sistemas maiores, dada a complexidade dos cálculos envolvidos (por exemplo, um sistema a quatro equações e quatro incógnitas demandaria o cálculo do cinco determinantes de quarta ordem). O método do escalonamento, que veremos a seguir, é operacionalmente mais simples e é mais fácil de ser programado em computadores.

3.9. Escalonamento de um sistema:

O método do escalonamento foi desenvolvido pelo matemático alemão Carl Friedrich Gauss (1777-1855) e posteriormente foi aperfeiçoado por Wilhem Jordan (1842-1899). Exemplos de sistemas escalonados:    = = + 1 y 4 y 3 x      = − = + = − + 7 z 1 z y 5 2 z y 2 x       − = = − − = − + = + + − 8 t 4 0 t 3 z 1 t 2 z 8 y 3 4 t 2 z 5 y x 2 , O sistema      = − = = = + − 0 z 3 y 12 z 5 y 4 30 z 4 y 2 x

não está na forma escalonada.

3.9.1. Operações elementares:

Antes de começarmos a escalonar um sistema linear, vamos ver três tipos de operações elementares, que podem ser realizadas sobre um sistema linear de equações de forma a transformá-lo em um outro sistema equivalente mais simples que o anterior. Na sequência,

trabalharemos com um exemplo para mostrar como funcionam essas operações.

1. Permutação: trocar de lugar duas equações do sistema não altera a solução do sistema;

Trocar a Linha 1 com a Linha 3

9 z 5 y x 4 0 z 2 y 3 x 2 2 z y 2 x = − + = + − = − + ≈ 2 z y 2 x 0 z 2 y 3 x 2 9 z 5 y x 4 = − + = + − = − +

2. Multiplicação: substituir uma das equações por um múltiplo não nulo dela mesma, não altera a solução do sistema:

Multiplicar a Linha 1 pelo número 3

9 z 5 y x 4 0 z 2 y 3 x 2 2 z y 2 x = − + = + − = − + ≈ 9 z 5 y x 4 0 z 2 y 3 x 2 6 z 3 y 6 x 3 = − + = + − = − +

3. Adição: A adição de duas equações do sistema também não altera o conjunto solução:

Adicionar Linha 2 com a Linha 3

9 z 5 y x 4 0 z 2 y 3 x 2 2 z y 2 x = − + = + − = − + ≈ 9 z 3 y 2 x 6 0 z 2 y 3 x 2 6 z 3 y 6 x 3 = − − = + − = − +

Cada uma das três operações acima é chamada de operação elementar. Assim, dado um sistema linear, todo sistema obtido a partir dele, por meio de uma sequência finita de operações elementares, é dito um sistema equivalente ao sistema dado. Vimos, anteriormente, que sistemas equivalentes possuem o mesmo conjunto solução.

3.9.2. Resolução de sistemas lineares por escalonamento:

Basicamente, há dois tipos de sistemas escalonados a considerar:

sistema é determinado.

B) Segundo tipo: onde o número de equações é menor que o de incógnitas. Nesse caso, o sistema é indeterminado.

Passos do método do escalonamento:

Primeiro passo: anular os coeficientes da 1a _{incógnita, da 2} a _{equação em diante. Caso}

não seja, tornar o coeficiente da 1a _{incógnita igual a 1.}

Segundo passo: deixar de lado a 1a _{equação e repetir o primeiro passo com os}

coeficientes da próxima incógnita, que tenha coeficiente diferente de zero, nas equações remanescentes (que sobram).

Terceiro passo: deixar de lado as duas primeiras equações e repetir o primeiro passo com os coeficientes da próxima incógnita, que tenha coeficiente diferente de zero, nas equações remanescentes.

Os próximos passos são análogos e devem ser seguidos, até que o sistema fique escalonado.

Exemplo 9: Resolver o sistema

     = − − = + − = + + 7 z y 3 x 3 8 z 2 y x 2 5 z 4 y 2 x por escalonamento.

Esse sistema é do primeiro tipo, ou seja, o número de equações é igual ao número de incógnitas. O coeficiente da incógnita x é 1. Começamos multiplicando a primeira equação por (-2) e adicionando o resultado à segunda equação. Depois, multiplicamos a primeira equação

por (-3) e adicionamos a terceira equação. Obtemos o sistema equivalente

     − = − − − = − − = + + 8 z 13 y 9 2 z 6 y 5 5 z 4 y 2 x . Dessa forma, anulamos os coeficientes da 1a _{incógnita, da 2}a _{equação em diante (Primeiro}

Multiplicando a segunda equação por (-1/5), obtemos











−

=

−

−

=

+

=

+

+

8

z

13

y

9

5

2

z

5

6

y

5

z

4

y

2

x

, agora, multiplicando a

segunda equação por (9) e adicionando o resultado à terceira equação, obtemos:

        − = − = + = + + 5 22 z 5 11 5 2 z 5 6 y 5 z 4 y 2 x

Pronto! O sistema está escalonado. Resta, agora, resolvê-lo. Da terceira

equação, tiramos que

_z

₌

₂

. Substituindo na segunda, obtemos o valor de y,

2 y 5 2 ) 2 ( 5 6

y+ = ⇒ =− . Substituindo y e z na primeira equação, obtemos:

1 x 5 ) 2 ( 4 ) 2 ( 2

x+ − + = ⇒ = . O sistema é possível e determinado e tem como solução (1,−2,2) .

Exemplo 10: Seja o sistema

     − = − − = − + = + + 4 z 2 y x 3 3 z y x 2 9 z y 2 x , vamos escaloná-lo:      − = − − = − + = + + 4 z 2 y x 3 3 z y x 2 9 z y 2 x

e, somando a segunda, temos

     − = − − − = − − = + + 4 z 2 y x 3 15 z 3 y 3 9 z y 2 x , substituímos, então, a 2a _{equação pela soma dela com a primeira multiplicada por (-2).}

     − = − − − = − − = + + 4 z 2 y x 3 15 z 3 y 3 9 z y 2 x

e, somando a terceira, temos

     − = − − − = − − = + + 31 z 5 y 7 15 z 3 y 3 9 z y 2 x ,

substituímos, então, a 3a _{equação pela soma dela com a primeira multiplicada por (-3).}

     − = − − − = − − = + + 31 z 5 y 7 15 z 3 y 3 9 z y 2 x e obtemos      − = − − = + = + + 31 z 5 y 7 5 z y 9 z y 2 x ,

)

2

(

₋

×

)

3

(

₋

×

)

3

/

1

(

₋

×

     − = − − = + = + + 31 z 5 y 7 5 z y 9 z y 2 x

e, somando a terceira, temos

     = = + = + + 4 z 2 5 z y 9 z y 2 x ,

substituímos, então, a 3a _{equação pela soma dela com a segunda multiplicada por (7). O}

sistema está escalonado. Como o número de equações é igual ao número de incógnitas, ele é determinado com solução (1,3,2).

Exemplo 11: Seja o sistema

     = + − = + + = + + 18 z 7 y 3 x 2 10 z 2 y 4 x 3 4 z y x , vamos escaloná-lo:      = + − = + + = + + 18 z 7 y 3 x 2 10 z 2 y 4 x 3 4 z y x

e, somando a segunda, temos

     = + − − = − = + + 18 z 7 y 3 x 2 2 z y 4 z y x , substituímos, então, a 2a _{equação pela soma dela com a primeira multiplicada por (-3).}

     = + − − = − = + + 18 z 7 y 3 x 2 2 z y 4 z y x

e, somando a terceira, temos

     = + − − = − = + + 10 z 5 y 5 2 z y 4 z y x ,

substituímos, então, a 3a _{equação pela soma dela com a primeira multiplicada por (-2).}

     = + − − = − = + + 10 z 5 y 5 2 z y 4 z y x

e, somando a terceira, obtemos

     = + − = − = + + 0 z 0 y 0 2 z y 4 z y x ,

Como a última equação é satisfeita para quaisquer valores de x, y e z, ela pode ser suprimida do sistema. Assim, obtemos o seguinte sistema escalonado, onde o número de incógnitas é maior do que o número de equações e, portanto, indeterminado. Admite infinitas

)

7

(

×

)

3

(

₋

×

)

2

(

₋

×

)

5

(

×

soluções.











−

=

−

=

+

+

2

z

y

4

z

y

x

OBSERVAÇÃO: se durante o escalonamento, ocorrer uma equação do tipo 0x+0y=b com

0

b

≠

, então, o sistema será impossível.

3.10. O modelo do insumo produto:

Desde que Wassily Leontief (1906 - 1999) desenvolveu o sistema de matriz de insumo-produto, esta ferramenta vem sendo amplamente utilizada nas áreas econômicas e de planejamento, auxiliando na tomada de decisões. Wassily Leontief ganhou o "Prêmio Nobel de Economia" (1973) por desenvolver uma teoria de planejamento econômico através da análise de um sistema do tipo insumo-produto, a Matriz de Leontief, e por sua aplicação em importantes problemas econômicos. Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

Para se ter um conhecimento mais específico sobre aplicação das matrizes inversas na área da administraçãO e economia podemos consultar:

www.upf.br/cepeac/download/rev_n23_2004_art2.pdf Considerando: Uma Economia produz n produtos Serem aplicados no consumo intermediário de fabricação dos n Produtos. Servirem para consumo final de mercado Destinos possíveis

Admitindo que cada produto seja fabricado em proporções fixas de quantidade de mão de obra e do consumo intermediário de outros produtos. Desta maneira, obtemos um sistemas de equações, escrito na forma matricial da seguinte forma:

X

=

A

⋅

X

+

B

, onde a matriz

X

é a matriz das quantidades produzidas,

A

é a matriz dos coeficientes técnicos,

B

a matriz das demandas finais de mercado e a matriz

_A

⋅

_X

é a matriz que corresponde ao consumo intermediário dos setores Desta forma, podemos resolver o seguinte problema: dadas as matrizes

_A

e

_B

, obter a matriz

_X

para atender às demandas intermediárias e finais dos produtos.

Assim se

_X

=

_A

⋅

_X

+

_B

podemos isolar

_X

:

_X

−

_A

⋅

_X

=

_B

, (I −A)⋅X=B e obter

B ) A I (

X= − −1⋅ _{, onde a matriz (I −A)}−1 _{é a matriz de Leontief.}

Exemplo 11: Dada a matriz de coeficientes técnicos para dois setores _

     = 1 , 0 4 , 0 5 , 0 0 A e a

matriz de consumo final _

     = 140 70

B , obtenha as quantidades a serem produzidas para atender às demandas intermediárias e final de mercado.

Resolução: A matriz _      − − =       −       = − 9 , 0 4 , 0 5 , 0 1 1 , 0 4 , 0 5 , 0 0 1 0 0 1 ) A I ( ,

a sua inversa, calculada utilizando a definição de matriz inversa,

      =       + − + − − −       =             − − = − − 1 0 0 1 d 9 , 0 b 4 , 0 c 9 , 0 a 4 , 0 d 5 , 0 b c 5 , 0 a 1 0 0 1 d c b a 9 , 0 4 , 0 5 , 0 1 ) A I ( 1 onde

7 / 10 d 7 / 4 c 7 / 5 b , 7 / 9 a= = = = é _     = − − 7 / 10 7 / 4 7 / 5 7 / 9 ) A I ( 1 , assim













=





















+

+

=

























=

⋅

−

=

−

240

190

)

140

(

7

10

)

70

(

7

4

)

140

(

7

5

)

70

(

7

9

140

70

7

/

10

7

/

4

7

/

5

7

/

9

B

)

A

I(

X

1

Exemplo 12: Dada a matriz de coeficientes técnicos para três setores

          = 0 8 , 0 3 , 0 0 1 , 0 5 , 0 1 , 0 2 , 0 0 A e a

matriz de consumo final

          = 100 200 100

B , obtenha as quantidades a serem produzidas para atender às demandas intermediárias e final de mercado.