A (A é não singular)

(1)

Gladys Castillo, 2009

Sistemas de Equações Lineares.

Revisão de Conceitos Básicos

.

1. Sistemas de Equações Lineares

O objectivo deste documento será apresentar de uma forma resumida os principais conceitos de Álgebra Linear que estão relacionados com o problema da resolução de sistemas lineares cuja forma geral é

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧

= +

+ +

= +

+ +

= +

+ +

n n nn n

n

n n

b x a x

a x a

b x a x

a x a

b x a x

a x a

L

M L

L

2 2 1 1

2 2

2 22 1 21

1 1

2 12 1 11

onde x1,x2,...,xn são incógnitas, a11,a12,...,ann são os coeficientes e b1,b2,...,bn os

segundos membros.

Este sistema pode ser escrito sob a forma matricial A x = b

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

= ⎥

⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

= ⎥

⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

=

n n

nn n

n

n n

b b b

x x x

a a

a

a a

a

a a

a

M M

L M O M

L L

2 1

2 22

21

1 12

11

,

, x b

A _.

A é a matriz dos coeficientes, x o vector das incógnitas e b o vector dos termos independentes

Um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas tem solução única se e só se qualquer das duas condições equivalentes for válida:

1) 1

(2)

2. Cálculo de determinantes

(det(A) ou |A|, A – matriz quadrada de nxn)

Para matrizes de 2 x 2

Para matrizes de 3 x 3

Exemplos:

1. Calcular determinante de A = 2 3

1 4

⎡ ⎣

⎢ ⎤

⎦ ⎥. det(A) = 2 x 4 - 3 x 1 = 5

2. Calcular determinante de

5 3 1

1 1 1

1 2 2

⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

− −

− =

A

6 ) 1 3 2 ( ) 2 1 5 ( ) 1 1 1 ( ) 1 2 1 ( ) 3 1 1 ( ) 5 1 2 ( 5 3 1

1 1 1

1 2 2

− = × × − − × − × − × × − − × − × − + × − × + × × = −

− −

em Matlab: a função det( ) determina o determinante de uma matriz dada

>> A= [2 -2 1; -1 1 1; -1 3 5]; >> det(A)

(3)

3. Menores principais de uma matriz

Definição: Dada uma matriz quadrada A de ordem n, chamamos menores principais aos determinantes |Ak |, onde Ak são submatrizes quadradas de A de ordem 1,…, n-1

As submatrizes são definidas da seguinte forma:

• A1 - matriz formada pelo elemento a11 de A (uma matriz de 1x1)

• A2 - matriz formada pelas primeiras 2 linhas e primeiras 2 colunas de A

(o canto superior esquerdo 2x2 de A)

• A3 - matriz formada pelas primeiras 3 linhas e primeiras 3 colunas de A

(o canto superior esquerdo 3x3 de A) • ...

• An-1 - matriz formada pelas n-1 linhas e n-1 colunas de A

Exemplo: Calcular menores principais de

5 3 1

1 1 1

1 2 2

⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

− −

− =

A

0 2 2 1 1

2 2

, 2

2 ₂

1 ₋ = − =

− = =

= A

A

4. Matriz Inversa

Definição: Dada uma matriz quadrada A de ordem n, chamamos de inversa de A a uma matriz B tal que A.B = B.A = I, onde I é a matriz identidade de ordem n. Escreveremos A-1 para a matriz inversa de A.

Cálculo da inversa para matrizes de 2 x 2

1. Calcular determinante da matriz

2. Dividir todos os elementos da matriz pelo determinante, se possível, simplificar

(4)

Exemplo 1: Seja A = 2 3

1 4

⎡ ⎣

⎢ ⎤

⎦

⎥. det(A) = 8 -3 = 5 . Então A-1=

4 5

3 5 1 5

2 5

−

− ⎡

⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

.

Assim, A.A-1₌

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡

1 0

0 1

e A-1_.A=

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡

1 0

0 1

.

Cálculo da inversa para matrizes de 3 x 3

baseado no cálculo da matriz adjunta

_|

(

))

1

A

Adj

A

=

−

A

Note que por esta fórmula da inversa podemos constatar que uma matriz só pode ser invertível se o seu determinante é diferente de zero

Exemplo 2: Calcular a inversa de

5 3 1

1 1 1

1 2 2

⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

− −

− =

A

Para calcular a inversa, primeiro calculamos o determinante

10 3 2 1 10 6 6 5

3 1

1 1 1

1 2 2

− = − − − + − = −

− −

Depois calculamos cada um dos elementos da matriz adjunta:

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

=

nn n

n

n n

a a

A

A A

A

A A

A

A Adj

L M O M

L L

2 1

2 22

12

1 21

11

)

(

(5)

Os

Ass

Pod

A.A

Cálc

(mé elem Ide seq inve de o

Na elem a m

elementos

sim obtemo

emos comp

A-1_{= I}

culo da inv

étodo base mentares c eia base: s uência de ersa de A é operações c

prática, op mentares, a atriz obtid

de Adj(A)

s a matriz

provar que

versa para

eado na re com linhas)

se uma ma operações é obtida a p com linhas.

peramos sim até chegarm da no lugar

são:

inversa de

⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡ − =

−

6 1

1

A

e esta é re

a matrizes

edução de

atriz A po elementar partir da m

multaneame mos à matr correspond

A,

− −2 4

1 1 4

13 2

ealmente a

s de n x n

A à matr

de ser re res com lin matriz ident

ente com as riz I na pos dente à mat

⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤ − −

0 3 3

a matriz in

riz identid

duzida à m nhas, então tidade, apli

s matrizes sição corres

triz I será

G

versa de A

dade atrav

matriz ide o A é inve icando-se a

A e I, atra spondente a inversa d

Gladys Castillo

A verifican

vés de ope

ntidade, p ertível e a a mesma se

avés de ope a matriz A de A.

o, 2009

ndo que

erações

or uma matriz equência

(6)

Operações Elementares sobre as linhas de uma matriz

Podemos efectuar três tipos de operações elementares:

Li ↔ Lj : permuta das i-ésima linha e j-ésima linhas (Li ↔ Lj)

Ex.: L2↔L3

1 0

4 1

3 4

− − ⎡

⎣ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥ ⎥ →

1 0

3 4

4 1

− − ⎡

⎣ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥ ⎥

Li → kLi : multiplicação da i-ésima linha por um escalar não nulo k ( Li → kLi )

Ex.: L2→-3L2

1 0

4 1

3 4

− − ⎡

⎣ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥

⎥ →

1 0

12 3

3 4

− − ⎡

⎣ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥ ⎥

(Li→ Li+kLj): substituição da i-ésima linha pela i-ésima linha mais k vezes a

j-ésima linha. (Li→ Li+kLj)

Ex.: L3 →L3 + 2 L1

1 0

4 1

3 4

− − ⎡

⎣ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥

⎥ →

1 0

4 1

1 4

− − ⎡

⎣ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥ ⎥

(7)

Gladys Castillo, 2009 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − − ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − − − ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − ⎯ ⎯ → ⎯ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − + = − = + = − = − = + = − = − = + = − = ↔ 1 1 1 1 3 4 5 4 4 6 6 5 2 3 3 3 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 2 1 0 2 2 1 0 1 1 1 1 0 0 0 3 1 0 0 4 0 1 0 2 0 0 1 1 0 1 0 0 1 2 1 0 0 2 1 0 0 1 0 4 1 0 0 3 1 0 0 2 2 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 2 1 0 0 1 0 4 1 0 0 1 1 1 0 2 2 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 3 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 2 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 3 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 2 4 . 3 3 3 4 . 4 2 2 4 . 2 1 1 3 4 4 3 3 3 . 2 2 2 3 1 1 2 3 3 1 4 4 1 . 2 2 2 2 1 L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L

>> A= [2 1 0 0; 1 0 -1 1; 0 1 1 1; -1 0 0 3]; >> inv(A)

ans =

3 -3 -3 2 -5 6 6 -4 4 -5 -4 3 1 -1 -1 1

Exemplo 3: Determinar a inversa de A =

2 1 0 0

1 0 1 1

0 1 1 1

1 0 0 3

− − ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ .

Colocamos A junto com a matriz identidade e aplicamos as operações com linhas, para reduzir a parte esquerda (que corresponde à matriz A) à matriz identidade, não esquecendo de efectuar cada operação também na parte direita.

Finalmente, obtemos a identidade à esquerda e a inversa de A à direita.

Como resultado obtemos: A-1=

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − − 1 1 1 1 3 4 5 4 4 6 6 5 2 3 3 3 .

(8)

5. Aplicação da matriz inversa à resolução de sistemas de

equações lineares

Consideramos o seguinte sistema de equações lineares

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = + + − = + + − = + − 4 5 3 0 1 2 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x

que podemos escrever sob a forma matricial Ax = b

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 4 2 1 , , 5 3 1 1 1 1 1 2 2 3 2 1 b x A x x x

A inversa da matriz A foi calculada antes

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − = − 0 4 2 3 1 1 4 3 13 2 6 1 1 A

Multiplicando ambos os lados da equação pela matriz inversa, temos:

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − 4 2 1 0 4 2 3 1 1 4 3 13 2 6 1 5 3 1 1 1 1 1 2 2 0 4 2 3 1 1 4 3 13 2 6 1 3 2 1 x x x ⇔ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 4 2 1 0 4 2 3 1 1 4 3 13 2 6 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 2 1 x x x ⇒ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1 1 2 3 2 1 x x x

A solução do sistema de equações é: x1 = 2, x2 = 1 e x3 = -1.

(9)

Gladys Castillo, 2009 Em Matlab:

Determinar a solução de um sistema de equações lineares Ax = b com A não singular (det(A) ≠ 0 ⇔ a matriz admite inversa)

1º. Introduza a matriz A

» A=[2 -2 1; -1 1 1; -1 3 5 ] A =

2 -2 1 -1 1 1 -1 3 5

2º. Introduza o vector coluna dos temos independentes b

» b=[1 -2 -4] ' ← não esquecer que é o vector coluna, ou seja, transposto

b = 1 -2 -4

3º. Resolva o sistema de equações lineares Ax = b >> x=A\b

x = 2 1 -1

4º. Verifique que x é a solução do sistema Ax = b » A*x

(10)

>> A= [1 0 1; 0 1 0; 1 2 1]; >> eig(A)

ans = 2 0 1

6. Valores próprios de uma matriz

Definição: Os valores próprios de uma matriz A são as raízes (reais ou complexas) da equação p(λ) = det(A -λI) = 0, chamada equação característica de A.

Exemplo: Determinar os valores próprios de

1 2 1

0 1 0

1 0 1

⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡ = A

Os valores próprios de A são as três soluções da equação característica:

p(λ) = det(A -λI) = (

1 −

λ

)(

−

λ

)(2

−

λ

) = 0

⇒

λ

1

= 0,

λ

2

= 1,

λ

3

= 2.

em Matlab: a função eig( ) determina os valores próprios de uma matriz

7. Raio espectral de uma matriz

(11)

Gladys Castillo, 2009 5

3 1

1 1 1

1 2 2

⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

− −

− =

A

5 3 1

1 1 1

1 2 2

⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

− −

− =

A

(

5,3,9

)

9

max =

=

∞

A

(

4,6,7

)

7 max

1 = =

A Exemplo: Determinar o raio espectral de

1 2 1

0 1 0

1 0 1

⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡ = A

No exercício anterior calculamos os valores próprios de A, as três soluções da equação característica

p(λ) = det(A -λI) = (1 −λ)(−λ)(2 −λ) = 0 ⇒λ1 = 0, λ2 = 1, λ3 = 2. Assim, o raio espectral de A é igual a 2, pois ρ(A) = max { | λi | } = 2

i= 1, 2, 3

8. Normas de uma matriz

Definição: Seja A uma matriz n×n. Então

_⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

=

∑

= ≤ ≤ ∞

n j

ij n

i a

1 1

max

A _-_{norma infinito}1

(máximo das somas por linhas dos valores absolutos dos elementos)

⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

=

∑

= ≤ ≤

n i

ij n

j a

1 1

1 max

A _-norma absoluta

(máximo das somas por colunas dos valores absolutos dos elementos)

Exemplo: Determinar a norma infinito e a norma absoluta de .

Somando por colunas os valores absolutos dos elementos obtemos a norma absoluta

1_{Esta norma é também conhecido como norma de máximo} ← | 2 | + | -2 | + | 1 | = 5

← | -1 | + | 1 | + | 1 | = 3

← | -1 | + | 3 | + | 5 | = 9

Coluna 1: | 2 | + | -1 | + | -1 | = 4 Coluna 2: | -2 | + | 1 | + | 3 | = 6

(12)

>> A=[2 -2 1;-1 1 1; -1 3 5]

>> norm(A, inf) (se norma infinito) ans =

9

>> norm(A, 1) (se norma absoluta) ans =

7

5 3 1

1 1 1

1 2 2

⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

− −

− =

A

⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

− −

≈ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

− −

− − −

=

−

0 .67 0 33 . 0

5 . 0 1,83 67

. 0

5 . 0 17 . 2 33 . 0

0 4 2

3 1 1 4

3 13 2 6 1

1

A

em Matlab: a função norm( ) determina a norma de uma matriz

10. Número de condição de uma matriz

Definição: Seja A uma matriz n×n. Então, o número de condição de uma matriz A

relativamente à norma || . || é definido pelo valor:

cond (A) = || A || || A-1||

Exemplo: Determinar o número de condição de relativamente à norma infinito e à norma absoluta.

Para poder calcular o número de condição precisamos de calcular a matriz inversa. A matriz inversa de esta matriz foi já calculada anteriormente e é:

a) usando à norma infinito2

cond(A) = || A ||∞ || A-1||∞ = 9 x 3 ≈ 27

(13)

>> A=[2 -2 1;-1 1 1; -1 3 5]

>> cond(A, inf) (se norma infinito) ans =

27

>> cond(A, 1) (se norma absoluta) ans =

32.6667

b) usando à norma absoluta

cond (A) = || A ||1 || A-1||1 ≈ 7 x 4.6667 ≈ 32.7

em Matlab: a função cond( ) determina o número de condição de uma matriz

11. Sistemas bem e mal condicionados

Definição: Seja um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas sob a forma a matricial Ax=b. Então:

o sistema é bem condicionado, se pequenas alterações nos coeficientes da

matriz A e/ou componentes do vector dos termos independentes b, provocam apenas pequenas mudanças na solução do sistema.

o sistema é mal condicionado, se pequenas alterações nos coeficientes da

matriz A e/ou componentes do vector dos termos independentes b, provocam grandes mudanças na solução do sistema).

O número de condição da matriz A do sistema linear é uma medida que nos permite concluir sobre o bom ou mal condicionamento do sistema linear que tem a matriz A como matriz de coeficientes.

Um sistema é mal condicionado se o número de condição da matriz A é elevado

(14)

⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

− −

− − =

−

2 4 1

5 1 1 3

6 13 4

1

A ⎥

⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

− −

− =

5 3 1

2 2 1

1 2 2 A

Um sistema é bem condicionado se o número de condição da matriz A é pequeno

(cond(A) ≈ 1)

Exemplo: Diga, justificando, se o seguinte sistema de equações lineares

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

− = + + −

= + +

−

= +

−

4 5

3

0 2 2

1 2

2

3 2 1

3 2

1

3 2 1

x x x

x x

x

x x

x

é bem ou mal condicionado relativamente à norma infinito. Solução:

1. Calcular matriz inversa de A

2. Determinar a norma infinito de A e de A-1

|| A ||∞ = 9 || A-1||∞ = 23

3. Determinar número de condição de A usando a norma infinito

cond (A) = || A ||∞ || A-1||∞ = 9 x 23 = 207

Como cond(A) = 207 então o sistema de equações é mal condicionado. Neste caso, pequenas perturbações nos elementos da matriz A e/ou nos elementos do vector dos termos independentes b podem originar grandes alterações na solução do sistema.

Alguns exemplos e figuras aqui usadas foram extraídos das seguintes fontes:

1. Cálculo de determinantes

on-line em http://www.terra.es/personal2/jpb00000/tdeterminantes.htm

site: Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales, 2º curso de bachillerato de humanidades y ciencias sociales, página mantida por Juan del Pozo Baselga

2. Cálculo da matriz inversa

(15)

on-line em http://www.terra.es/personal2/jpb00000/tmatrizinversa.htm

site: Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales, 2º curso de bachillerato de humanidades y ciencias sociales, página mantida por Juan del Pozo Baselga

• Exemplo 3, pag 7:

apontamentos Aula3: Inversão de Matrizes, Centro Universitário La Salle, disciplina: Algebra Linear – Ciência da Computação, Professoras: Daniela e Patrícia (publicado on-line

3. Valores e vectores próprios

on-line em: http://www.isa.utl.pt/dm/mat1_bio/vvp_t.pdf