Cálculo de uma viga de ponte rolante pré-fabricada protendida

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

SETOR DE ESTRUTURAS

Cálculo de uma viga de ponte rolante

pré-fabricada protendida

CIV 457 – Concreto Protendido Trabalho Final

Professor

Gustavo de Souza Veríssimo

Aluno

José Carlos Lopes Ribeiro

Viçosa - MG

Setembro / 2000

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Conteúdo

1. DESCRIÇÃO DO ELEMENTO ESTRUTURAL ...3

1.1 N OME DO ELEMENTO ...3

1.2 F UNÇÃO E RELAÇÃO COM OUTROS ELEMENTOS DO SISTEMA ...3

1.3 D ADOS DA SEÇÃO TRANSVERSAL E SEÇÃO LONGITUDINAL ...3

1.4 A ÇÕES SOBRE O ELEMENTO ...4

2. DESCRIÇÃO DO PROCESSO DE FABRICAÇÃO E MONTAGEM...4

2.1 T IPO DE PROTENSÃO UTILIZADO ...4

2.2 P OSICIONAMENTO DA ARMADURA E PRÉ - TRAÇÃO ...4

2.3 L ANÇAMENTO E ADENSAMENTO DO CONCRETO ...4

2.4 C URA DO CONCRETO ...5

2.5 T RANSPORTE INTERNO À FÁBRICA ...5

2.6 E STOCAGEM ...5

2.7 T RANSPORTE EXTERNO À FÁBRICA ...5

2.8 M ONTAGEM E FIXAÇÃO DOS ELEMENTOS ...6

3. MATERIAIS...6

3.1 C ONCRETO ...6

3.2 A ÇO DE PROTENSÃO ( ARMADURA ATIVA ) ...6

4. CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS E MECÂNICAS DA SEÇÃO TRANSVERSAL ...7

4.1 C ARACTERÍSTICAS DA SEÇÃO DE CONCRETO ...7

4.2 C ARACTERÍSTICAS DA SEÇÃO HOMOGENEIZADA ( A SER ATUALIZADA APÓS O CÁLCULO DA ARMADURA )...7

5. CÁLCULO DOS ESFORÇOS E TENSÕES DE REFERÊNCIA...8

5.1 E SFORÇOS DEVIDO AO PESO PRÓPRIO ...8

5.2 E SFORÇOS DEVIDO ÀS CARGAS MÓVEIS ...10

5.3 T ENSÕES DEVIDO AO PESO PRÓPRIO ...12

5.4 T ENSÕES DEVIDO À CARGA MÓVEL : ...12

6. CÁLCULO DA FORÇA DE PROTENSÃO E DA ARMADURA ATIVA ...13

6.1 C OMBINAÇÕES QUASE PERMANENTES ( ESTADO LIMITE DE DESCOMPRESSÃO )...13

6.2 C OMBINAÇÕES FREQÜENTES ( ESTADO LIMITE DE FORMAÇÃO DE FISSURAS )...13

6.3 T ENSÕES NO E STADO EM V AZIO ...14

6.4 T ENSÕES NO E STADO EM S ERVIÇO ...14

6.5 V ERIFICAÇÃO DO C ONCRETO ...14

6.6 C ÁLCULO DA A RMADURA A TIVA ...15

6.7 C ÁLCULO DAS P ERDAS ...15

7. ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO ...20

7.1 E STADO L IMITE DE D ESCOMPRESSÃO ...20

7.2 E STADO L IMITE DE F ORMAÇÃO DE F ISSURAS ...20

7.3 E STADO L IMITE DE C OMPRESSÃO E XCESSIVA ...20

7.4 E STADO L IMITE DE D EFORMAÇÃO E XCESSIVA ...21

8. ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS ...22

8.1 E STADO L IMITE Ú LTIMO DE R UPTURA OU A LONGAMENTO P LÁSTICO E XCESSIVO ...22

8.2 V ERIFICAÇÃO S IMPLIFICADA DO E STADO L IMITE Ú LTIMO DE R UPTURA NO A TO DA P ROTENSÃO ...23

8.3 E STADO L IMITE Ú LTIMO D EVIDO A S OLICITAÇÕES T ANGENCIAIS ...24

9. DETALHAMENTO ...26

9.1 L ONGITUDINAL ...26

9.2 S EÇÃO T RANSVERSAL ...27

9.3 Q UADRO DE F ERROS ...28

9.4 C ONSUMO DE C ONCRETO ...28

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Cálculo de uma Viga de Ponte Rolante Pré-Fabricada Protendida

ponte rolante - capacidade 7 tf

0,0 7000

5000

4660

FIGURA 1 - Esquema do galpão

Etapas do projeto:

1. Descrição do elemento estrutural

2. Descrição do processo de fabricação e montagem 3. Materiais

4. Características geométricas e mecânicas da seção transversal 5. Cálculo de esforços e tensões de referência

6. Cálculo da força de protensão e da armadura ativa

7. Verificação de tensões nas seções mais solicitadas - Estados Limites de Utilização 8. Verificação das tensões ao longo do vão

9. Estados Limites Últimos - solicitações normais

10. Estados Limites Últimos - solicitações tangenciais

11. Especificações e detalhes construtivos

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1. DESCRIÇÃO DO ELEMENTO ESTRUTURAL

1.1 Nome do elemento

Viga pré-moldada para apoio de ponte rolante.

1.2 Função e relação com outros elementos do sistema

Serve de apoio para os trilhos de uma ponte rolante em um galpão que será utilizado como laboratório de estruturas. A viga em questão se apoia em consolos engastados nos pilares conforme mostrado na FIGURA 1.

1.3 Dados da seção transversal e seção longitudinal

- seção transversal:

40,0 cm 6,7 7,3

6,7 12,0 7,3

40,0 cm 10,0

10,0 47,5 95,0 5,0 22,5

6,0 6,0

cg 20

(a) (b)

FIGURA 2 - Seção transversal da viga.

Observações:

1. Em alguns pontos a seção transversal possui furos para fixação da ponte rolante, como mostra a

FIGURA 2a.

(5)

15,0 m

FIGURA 3 - Seção longitudinal da viga.

1.4 Ações sobre o elemento

• carga permanente: peso próprio

• carga acidental: carga móvel da ponte rolante

A carga máxima por roda da ponte rolante considerada é de 69 kN e a distância mínima entre rodas é de 3,6 m conforme esquema abaixo:

3600 mm

69 kN 69 kN

FIGURA 4 - Trem tipo.

2. DESCRIÇÃO DO PROCESSO DE FABRICAÇÃO E MONTAGEM 2.1 Tipo de protensão utilizado

Para a produção de elementos pré-moldados em pistas de protensão utiliza-se protensão com aderência inicial.

Será utilizada protensão limitada, uma vez que a viga está sujeita a cargas móveis; a utilização de protensão completa levaria a situações críticas de "estado em vazio". Essa medida está em acordo com a NBR 7197 que permite protensão limitada em ambiente pouco agressivo.

2.2 Posicionamento da armadura e pré-tração

Os fios ou cordoalhas de aço especial são posicionados (normalmente próximos à face inferior da peça), e estirados com o auxílio de macacos hidráulicos. As peças são então concretadas

2.3 Lançamento e adensamento do concreto

O lançamento e adensamento do concreto é feito através de carros vibratórios. Pode-se utilizar

vibradores de imersão com diâmetro de 60 mm.

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2.4 Cura do concreto

Será utilizada cura a vapor à pressão atmosférica. As peças recém-concretadas são envoltas em lonas plásticas e injeta-se vapor no interior da lona.

A cura a vapor é efetuada em 3 etapas:

1 ^a .) eleva-se a temperatura a uma taxa de 25 °C/hora, até se atingir um patamar de 80 °C;

2 ^a .) a temperatura é mantida constante por um período em torno de 15 horas;

3 ^a .) o desaquecimento do ambiente é feito também de modo gradativo.

Com a cura a vapor e uso de cimento ARI (Alta Resistência Inicial) o concreto chega a atingir, em um período de 24 horas, a cerca de 75% da resistência aos 28 dias de cura normal.

2.5 Transporte interno à fábrica

O transporte interno à fábrica é feito através de pontes rolantes, içando-se a peça em pontos estratégicos de forma a não provocar esforços diferentes daqueles previstos no projeto. Como a viga é projetada para trabalhar biapoiada, deve ser içada pelas extremidades.

situação de serviço transporte

FIGURA 5 - Transporte interno à fábrica

2.6 Estocagem

A estocagem pode ser feita utilizando-se travessas como suporte e que deverão estar posicionadas como os apoios da peça em serviço.

FIGURA 6 - Estocagem

2.7 Transporte externo à fábrica

O transporte externo à fábrica é feito através de carretas, respeitando-se as recomendações do item

2.5 quanto ao içamento.

(7)

2.8 Montagem e fixação dos elementos

Na montagem deve-se respeitar também as recomendações do item 2.5. As vigas devem ficar apoiadas sobre aparelhos de neoprene sobre os consolos.

3. MATERIAIS

3.1 Concreto

⇒ Resistência à compressão aos 28 dias e aos j dias de idade

Utiliza-se concretos com f ck mais elevado devido aos seguintes fatores:

• a introdução da protensão pode causar tensões prévias muito elevadas;

• redução das dimensões das peças diminuindo seu peso próprio;

• maior módulo de deformação, o que implica em menor deformação lenta, menor retração e menores perdas de protensão.

Valor adotado: f _ck = 30 MPa

Na data da protensão, devido à cura a vapor e ao uso de cimento ARI, pode-se considerar que o concreto atingiu 75% da resistência aos 28 dias de idade.

f ck = 0,75 × 30 = 22,5 MPa

⇒ Resistência à tração aos 28 dias e aos j dias de idade

NBR 6118: f _tk = 0,06 f _ck + 0,7 (em MPa), se f _ck > 18,0 MPa f tk = 0,06 × 30 + 0,7 = 2,5 MPa

Na data da protensão: f tkj = 0,75 f tk

f _tkj = 0,75 × 2,5 = 1,875 MPa

⇒ Módulo de deformação longitudinal

E _c = 0 9 , × 21 000 . f _ck + 35

E _c28 = 0 9 , × 21 000 300 . + 35 = 345 926 8 . , kgf / cm 34.592,68 MPa ² = E _cj = 0 9 , × 21 000 225 . + 35 = 304 753 3 . , kgf / cm 30.475,33 MPa ² =

3.2 Aço de protensão (armadura ativa)

⇒ tipo CP 190 RB (catálogo Belgo Mineira anexo)

f ptk = 190 kN/cm ² f pyk = 171 kN/cm ²

⇒ forma de apresentação e cuidados com a estocagem

As cordoalhas são fornecidas em rolos com as seguintes dimensões:

diâmetro interno = 760 mm diâmetro externo = 1.270 mm

Estocar em área coberta, ventilada e sobre piso de cimento ou tablado de madeira; em outras

situações cobrir com lona plástica. Estocagem máxima = 2 alturas.

(8)

4. CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS E MECÂNICAS DA SEÇÃO TRANSVERSAL

4.1 Características da seção de concreto

área líquida: A c = 1.994 cm ² (descontados os furos dos trilhos) momento de inércia: I = 2.030.289 cm ⁴

centro de gravidade: y _cg = 46,40 cm (a partir da borda inferior)

4.2 Características da seção homogeneizada (a ser atualizada após o cálculo da armadura)

A rigor, a avaliação das tensões e deformações numa peça estrutural composta por dois materiais com propriedades físicas diferentes deve ser feita a partir da compatibilização dos materiais.

Nos casos de estruturas de concreto armado ou protendido e estruturas mistas, deve-se transformar um dos materiais em uma porção equivalente do outro. Por exemplo, no caso de vigas mistas, a mesa de concreto é transformada numa porção fictícia equivalente de aço.

No caso de peças de concreto armado/protendido, usualmente converte-se a armadura numa porção equivalente de concreto.

A transformação da armadura numa quantidade equivalente de concreto é feita multiplicando-se a área de aço Ap pela relação entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto, α e = E p / E c . Como E p , em geral, é maior que E c , ao se multiplicar A p × α e tem-se um aumento da seção transversal. Se a armadura ativa é excêntrica, o baricentro da seção homogeneizada se desloca da posição original em direção ao baricentro da armadura ativa. Isso resulta na diminuição das tensões, uma vez que

A

= N

σ e

W

= M σ

Conclui-se, então, que utilizar as propriedades originais da seção (sem efetuar a homogeneização) é um procedimento conservador e aceitável, uma vez que o aumento da seção em geral é pouco significativo. Neste caso, obtém-se tensões ou pouco maiores nos bordos da seção, o que, eventualmente, pode levar ao dimensionamento de mais armadura e, ou, de um concreto mais resistente.

A NBR7197 recomenda usar α e = 15 para praticamente todas as verificações dos estados limites de utilização (não é feita nenhuma recomendação com relação aos estados limites últimos).

Supondo A p = 4,0 cm ²

A c_liq = A c - A p = 1.994 - 4,0 = 1.990 cm ² A ci = A _{c_liq} + α p A _p = A _c + ( α p - 1 ) A _p α p

p c

E

= E = 195 000 00 = 30 475 33 . , 6 40

. , ,

Neste projeto, optou-se por utilizar α e = 6,40 , a favor da segurança, em detrimento do valor α e = 15 recomendado pela NBR7197.

A _ci = 1.994 + (6,40 - 1)×4,0 = 2.015,60 cm ²

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Cálculo do centro de gravidade e do momento de inércia para a área homogeneizada.

CG

CGh ∆ y

y _p y ₁

y ₂

y A y A y A A

c p p

c p

2 = 1 +

+

. .

y ₂ 1 994 46 4 4 0 5 0 1 994 4 0

= × + ×

+

. , , ,

. ,

y ₂ = 46,32 cm

∆ y = 0,08 cm

J h1 =J + ( α p - 1) A _p . (y ₁ - y _p ) ²

J _h1 = 2.030.289 + (6,4-1) × 4,0 × (46,4-5,0) ² J h1 = 2.067.311 cm ⁴

J h =J h1 + A ci (∆ y ) ²

J _h = 2.067.311 + 2015,6×(0,08) ² J h = 2.067.324 cm ⁴

J h1 = momento de inércia em relação a CG

J h = momento de inércia em relação a CGh

5. CÁLCULO DOS ESFORÇOS E TENSÕES DE REFERÊNCIA

O vão da viga será dividido em 10 partes iguais e as tensões serão avaliadas em 5 seções, uma vez que a viga é simétrica.

150 s 1 s 2 s 3 s 4 s 5

300 450

600 750 cm

5.1 Esforços devido ao peso próprio

Área da seção transversal: A _c = 2259 cm ² g = 25 kN/m ³ × 0,2259 m ² = 5,6475 kN/m

15,00 m

g = 5,6475 kN/m

(10)

Reações de apoio devido ao peso próprio:

V a = V b = 5,6475 × 15 / 2 = 42,356 kN

Momento fletor devido ao peso próprio:

M _gs1 = 42,356 × 1,5 - 5,6475(1,5) ² / 2 = 57,181 kN.m M gs2 = 42,356 × 3,0 - 5,6475(3,0) ² / 2 = 101,654 kN.m M gs3 = 42,356 × 4,5 - 5,6475(4,5) ² / 2 = 133,421 kN.m M _gs4 = 42,356 × 6,0 - 5,6475(6,0) ² / 2 = 152,481 kN.m M gs5 = 42,356 × 7,5 - 5,6475(7,5) ² / 2 = 158,834 kN.m

Força cortante devido ao peso próprio:

V _gs1 = 42,356 - 5,6475 × 1,5 = 33,885 kN V _gs2 = 42,356 - 5,6475 × 3,0 = 25,414 kN V gs3 = 42,356 - 5,6475 × 4,5 = 16,942 kN V gs4 = 42,356 - 5,6475 × 6,0 = 8,471 kN V _gs5 = 42,356 - 5,6475 × 7,5 = 0,0 kN Diagramas de esforços devido ao peso próprio

s 1 s 2 s 3 s 4 s 5

57,181 101,654

133,421

152,481 158,834 42,356

33,885 25,414

16,942 8,471

DMF

DEC

(kN.m)

(kN)

(11)

5.2 Esforços devido às cargas móveis

Cargas admissíveis para apoio de ponte rolante:

3,60 m

69 kN 69 kN

Linhas de influência para os momentos:

a b

L

δ δ = a b

L

s 1 s 2 s 3 s 4 s 5

1,35 0,99 L.I.Ms 1

2,40 1,68 L.I.Ms 2

3,15 2,07 L.I.Ms 3

3,60 2,16 L.I.Ms 4

3,75

1,95 L.I.Ms 5

3,6 m

(12)

Momento fletor devido à carga móvel:

M qs1 = 69 (1,35+0,99) = 161,46 kN.m M _qs2 = 69 (2,40+1,68) = 281,52 kN.m M _qs3 = 69 (3,15+2,07) = 360,18 kN.m M qs4 = 69 (3,60+2,16) = 397,44 kN.m M qs5 = 69 (3,75+1,95) = 393,30 kN.m

Linhas de influência para os esforços cortantes:

a b

L

∆ 1

∆ 2

∆ 1 = a L

∆ 2 = b L

s 1 s 2 s 3 s 4 s 5

0,90

0,66 L.I.Qs 1

3,6 m 0,10

0,80

0,56 L.I.Qs 2

0,20

0,70

0,46 L.I.Qs 3

0,30

0,60

0,36 L.I.Qs 4

0,40

0,50 0,26

L.I.Qs 5

0,50

(13)

Força Cortante devido à carga móvel:

V qs1 = 69 (0,90+0,66) = 107,64 kN V _qs2 = 69 (0,80+0,56) = 93,84 kN V qs3 = 69 (0,70+0,46) = 80,04 kN V qs4 = 69 (0,60+0,36) = 66,24 kN V qs5 = 69 (0,50+0,26) = 52,44 kN V _{q_apoio} = 69 (1,00+0,76) = 121,44 kN

5.3 Tensões devido ao peso próprio

Bordo inferior (i):

W J

i y

h i

= = 2 067 325 =

46 32 44 631 37 . .

, . , cm ³

Bordo superior (s):

cm 3

65 , 467 . 68 42

, 48

325 . 067 .

2 = −

= −

=

s h

s y

W J

Na seção mais solicitada:

σ _gi ^gmax

i

M

= W = ×

158 834 10 =

44 631 37 0 356 , 2

. , kN.cm ,

cm ₃ kN / cm ² σ _gs ^gmax

s

M

= W = ×

− = −

158 834 10

42 467 65 0 374 , 2

. , kN.cm ,

cm ₃ kN / cm ² 5.4 Tensões devido à carga móvel:

Teste para determinar a seção crítica:

Na seção S 4 :

M gs4 + M qs4 = 152,48 + 397,44 = 549,92 kN.m

Na seção S 5 :

M _gs5 + M _qs5 = 158,83 + 393,30 = 552,13 kN.m seção crítica ⇒ S ₅

σ _qi ^qmax

i

M

= W = ×

393 30 10 =

44 631 37 0 881 , 2

. , kN.cm ,

cm ₃ kN / cm ² σ _qs ^qmax

s

M

= W = ×

− = −

393 30 10

42 467 65 0 926 , 2

. , kN.cm ,

cm ₃ kN / cm ²

(14)

6. CÁLCULO DA FORÇA DE PROTENSÃO E DA ARMADURA ATIVA

Considerando que será utilizada protensão limitada com aderência inicial (pré-tração), optou-se por tentar utilizar um cabo de protensão reto, com uma excentricidade igual à adotada na figura do item 4.2:

yp = 5 cm. Daí temos:

ep = y2 – yp = 46,32 – 5,00 ∴ ep = 41,32 cm (do eixo baricêntrico para o bordo inferior) Cálculo das tensões devido à protensão:

114 , 2097 65

, 42467

32 , 41 60

, 2015

1 65

, 42467

32 , 41 60

, 2015

∞ ∞

∞

∞  =



 



 − +

⋅

⋅ =

− +

⋅ = +

= P

P P P

Ws ep P Aci

P σ ps

266 , 703 37

, 44631

32 , 41 60

, 2015

1 37

, 44631

32 , 41 60

, 2015

∞ ∞

∞

∞  = −



 



 − −

⋅

⋅ =

− −

⋅ = +

= P

P P P

Wi ep P Aci

P σ pi

6.1 Combinações quase permanentes (estado limite de descompressão)

ctM q p

g σ ψ σ σ

σ + + ₂ ⋅ ≤ (a carga da ponte não é quase permanente)

≤ 0 + p

g σ

σ

g

p σ

σ ≤ −

0,356 -0,374

(g) (p)

2097,114 P ∞

703,266 - P ∞

+ = (g+p)

0,0

• P P kN

36 , 205 356

, 266 0 ,

703 ≤ − ∴ ≥

− ^∞ _∞ (p/ não haver tensões de tração no bordo inferior)

• P P kN

32 , 784 374

, 114 0 ,

2097 ^∞ ≤ ∴ _∞ ≤ (p/ não haver tensões de tração no bordo superior) 6.2 Combinações freqüentes (estado limite de formação de fissuras)

ctk q

p

g + σ + ψ ₁ ⋅ σ ≤ 1 , 2 ⋅ f σ

25 , 0 2 , 1 6

,

0 ⋅ ≤ ⋅

+

+ _p _q

g σ σ

σ

+0,356

-0,374 2097,114 P ∞

703,266

- P ∞ 0,6 . 0,881 +0,300

-0,6 . 0,926

(15)

• P P kN 13 , 411 300

, 0 881 , 0 6 , 0 356 , 266 0 ,

703 ≤ − − ⋅ + ∴ ≥

− ^∞ _∞

• P P kN

34 , 1320 300

, 0 926 , 0 6 , 0 374 , 114 0 ,

2097 ^∞ ≤ + ⋅ − ∴ _∞ ≤

Assim, adotou-se o valor de P _∞ _∞ _∞ _∞ = 411, 13 kN.

As tensões introduzidas no concreto por uma força de protensão de 411,13 kN são:

/ 2

196 , 114 0 , 2097

13 , 411 114

,

2097 P kN cm

ps = ^∞ = = +

σ

/ 2

585 , 266 0 , 703

13 , 411 266

,

703 P kN cm

pi = − ^∞ = − = −

σ

6.3 Tensões no Estado em Vazio

0,356 -0,374

(g) + (p) = (vazio)

-0,178

-0,229 +0,196

-0,585

6.4 Tensões no Estado em Serviço

+0,356 -0,374

(g) + (p) = (serviço)

+0,300 0,6 . 0,881

-0,6 . 0,926

(0,6 g) +

+0,196

-0,585

-0,734

6.5 Verificação do Concreto

No instante da protensão (tempo = j dias), a viga estará no estado em vazio, sendo que as maiores tensões de compressão e tração ocorrerão no apoio (devido somente à protensão). Daí:

2 2 1 , 2 0 , 225 /

/ 196 ,

0 kN cm f _ctk _j kN cm

ct = + ≤ ⋅ = +

σ → Ok!

2 2 0 , 7 0 , 7 2 , 25 1 , 575 /

/ 585 ,

0 kN cm f _ck _j kN cm

cc = − ≥ ⋅ = − ⋅ = −

σ → Ok!

No estado em serviço (tempo = 28 dias), as tensões geradas na viga são dadas por:

2 28

2 1 , 2 0 , 300 /

/ 300 ,

0 kN cm f _ctk kN cm

ct = + ≤ ⋅ = +

σ → Ok!

2 28

2 0 , 7 0 , 7 3 , 00 2 , 100 /

/ 734 ,

0 kN cm f _ck kN cm

cc = − ≥ ⋅ = − ⋅ = −

σ → Ok!

(16)

6.6 Cálculo da Armadura Ativa

Com P _∞ = 411,13 kN, para pré-tração com aço RB e admitindo-se 20% de perdas, temos:

• 

 



=

⋅

=

⋅

=

⋅

=

≤ ⋅

2 !

2 / 90 , 153 171 90 , 0 90

, 0

/ 90 , 153 190 81 , 0 81

, 0

cm kN f

pyk ptk

σ pi

• kN

perdas

P _i P 513 , 91

20 , 0 1

13 , 411

1 =

= −

= − ^∞

• 3 , 339 ²

90 , 153

91 ,

513 cm

A Pi

pi

p = = =

σ

Designação Bitola (mm) Área (cm²) n n x Ap efet Folga (%)

CP 190 RB 9,5 9.5 0.548 7 3.836 14.88

CP 190 RB 11 11 0.742 5 3.710 11.11

CP 190 RB 12,7 12.7 0.987 4 3.948 18.24

CP 190 RB 15,2 15.2 1.400 3 4.200 25.79

Adotou-se 5 φ 11,0 → Ap efet = 3,710 cm²

• Pi = A _p ⋅ σ _pi = 3 , 710 ⋅ 153 , 90 = 570 , 97 kN

• 0 , 28

97 , 570

13 , 1 411

1 − = − =

= ^∞

Pi

Folga P → Folga = 28 %

6.7 Cálculo das Perdas

6.7.1 Perdas por Acomodação da Ancoragem

Considerando-se que numa pista de protensão com o sistema de pré-tração é mais econômico e prático protender e ancorar só de um lado, tem-se:

δ = 6 mm

L = 15,0 m + 2 * 1,0 m (1m de folga em cada extremidade da viga para facilitar o manuseio das formas) L = 17,0 m

/ 2

882 , 0 6 , 17

006 ,

19500 0 kN cm

Ep L L

Ep ^p

p c

p ∆ = → ∆ = ⋅ = ⋅ =

→

= σ δ σ δ

ε ε

0447 , 90 0 , 153

882 ,

6 =

∆ =

pi p

σ

σ ∴ ∴ Perdas = 4,47 % ∴ ∴

6.7.2 Perdas por Deformação Imediata do Concreto

( ^Perdas ) ( ) ^kN

P

P _o = _i ⋅ 1 − = 513 , 91 ⋅ 1 − 0 , 0447 = 490 , 94

2 2 2

/ 154 , 2067324 4

32 , 41 94 , 490 6 , 2015

94 , 4 490

,

6 kN cm

J e P Aci

P

h p o o

e

p =

 

  − − ⋅

⋅

 =







 



 ⋅

−

⋅

=

∆ σ α

154 ,

4 =

∆ σ _p =

∴ ∴ ∴

∴ Perdas = 2,70 %

(17)

6.7.3 Perdas por Atrito

No sistema de protensão na qual se utiliza pré-tração com cabos retilíneos, não se tem perdas de protensão por atrito.

Total das perdas imediatas: 4,47 + 2,70 = 7,17 %

( ^Perdas ) ( ) ^kN

P

P _o = _i ⋅ 1 − = 513 , 91 ⋅ 1 − 0 , 0717 = 477 , 06 6.7.4 Perdas por Retração do Concreto

Dados Adotados:

- umidade relativa do ar: U = 60 %

- temperatura média anual: T = 22 ^o C

- abatimento do tronco de cone: slump = 8 cm - tempo inicial: t o = 7 dias

- tempo final: t f = 3000 dias (aproximadamente 8 anos)

- perímetro em contato com o ar: u ar = 304,14 cm

- área da seção transversal: A = 1994,0 cm²

- retração → α = 1

• ⁴ ⁴

2 4

2 1 10 4 , 01982 10

1590 60 484 16 60 , 6 1590 10

16 484 ,

6 ⁻ ⋅ ⁻ = − ⋅ ⁻

 

  − +

=

 ⋅

 

 − − +

= U U

ε s

• Para U ≤ 90% → γ = 1 + e ⁽ ⁻ ⁷ ^, ⁸ ⁺ ⁰ ^, ¹ ^⋅ ^U ⁾ = 1 + e ⁽ ⁻ ⁷ ^, ⁸ ⁺ ⁰ ^, ¹ ^⋅ ⁶⁰ ⁾ = 1 , 165

• cm m

u h Ac

ar

fic 15 , 276 0 , 15276

14 , 304

1994 165 2

, 2 1

=

⋅ =

⋅

⋅ =

⋅

= γ

• 0 , 951

15276 , 0 3 21 , 0

15276 , 0 2 33 , 0 3

21 , 0

2 33 , 0

2 =

⋅ +

⋅

= +

⋅ +

⋅

= +

fic fic

s h

ε h

• ε _cs _∞ = ε ₁ _s ⋅ ε ₂ _s = − 4 , 01982 ⋅ 10 ⁻ ⁴ ⋅ 0 , 951 = − 3 , 8228 ⋅ 10 ⁻ ⁴

692 , 8 8 , 0 39 584

88 169

353 , 82 8 , 6 496 585

75 365 , 39 7 , 40 8

, 8 5

, 2

640 , 22 8 , 4 220 282

116 ) 15276 , 0 (

40 2 3

4 2 3

3 2 3

= +

⋅

−

⋅ +

⋅

−

=

−

⋅ +

⋅

−

=

= +

⋅

−

⋅

=

−

⋅ +

⋅

−

⋅

=

h h

E

h h

h D

h h

C

h h

h B

m h

h

A _fic

Idade Fictícia do Concreto:

• T t dias

t _o _fic _o 7 7 , 467

30 10 1 22

30 10 ⋅ = ⋅ + ⋅ =

⋅ +

= α

• T t dias

t _f _fic _f 3000 3200

30 10 1 22

30 10 ⋅ = ⋅ + ⋅ =

⋅ +

= α

Sendo:

(18)

( )

t E t D

t C

B t A t

t

s t

 +



 



⋅ 

 +



 



⋅ 

 +



 





 

 



⋅ 

 +



 



⋅ 

 +



 





=

100 100

100 100 100

100 2 3

2 3

β

temos:

• ( ) ⁰ ^, ¹²⁷

692 , 100 8

467 , 353 7 , 100 82

467 , 365 7 , 100 39

467 , 7

100 467 , 640 7 , 100 22

467 , 40 7 100

467 , 7

2 3

=

 +



 



⋅ 

 +



 



⋅ 

 +



 





 

 

 + 

 

 



⋅ 

 +



 





fic =

o s t β

• ( ) ⁰ ^, ⁹⁸³

692 , 100 8 353 3200 , 100 82

365 3200 , 100 39

3200

100 640 3200 , 100 22

40 3200 100

3200

2 3

=

 +



 



⋅ 

 +



 



⋅ 

 +



 





 

 

 + 

 

 



⋅ 

 +



 





fic =

f s t β

A deformação do concreto pela retração é dada por:

( ) ( ) t , t _o = _cs _∞ ⋅ [ _s t − _s ( ) t 0 ] = − 3 , 8228 ⋅ 10 ⁻ ⁴ ⋅ ( 0 , 983 − 0 , 127 ) = − 3 , 272 ⋅ 10 ⁻ ⁴

cs ε β β

ε

Daí:

• ∆ σ ps = − ^Ep ⋅ ε cs ( ) ^t ^, ^t o = ¹⁹⁵⁰⁰ ⋅ ³ ^, ²⁷² ⋅ ¹⁰ ⁻ ⁴ = ⁶ ^, ³⁸¹ ^kN ^/ ^cm ²

• 0 , 0415

90 , 153

381 ,

6 =

∆ =

pi p

σ

σ ∴ ∴ Perdas = 4,15 % ∴ ∴

6.7.5 Perdas devido à Fluência do Concreto Dados Adotados:

- fluência com cimento ARI → α = 3 Idade Fictícia do Concreto:

• T t dias

t _o _fic _o 7 22 , 4

30 10 3 22

30 10 ⋅ = ⋅ + ⋅ =

⋅ +

= α

• T t dias

t _f _fic _f 3000 9600

30 10 3 22

30 10 ⋅ = ⋅ + ⋅ =

⋅ +

= α

• ( )

( ) ( ) ( )

( ⁹ ⁹ ²² ²² ^, ⁴ ^, ⁴ ⁴⁰ ²² ) ( ^, ⁴ ²² ^, ⁴ ⁴² ⁶¹ ) ⁰ ^, ²⁸⁴⁵

1 8 , 61 0 40

9 42 1 9

8 ,

0   =

 

+

⋅ +

⋅

+

⋅

− ⋅

⋅

 =

 



+

⋅ +

⋅

+

⋅

− ⋅

⋅

=

o o

a t t

t φ t

• Para U ≤ 90% → φ ₁ _c = 4 , 45 − 0 , 035 ⋅ U = 4 , 45 − 0 , 035 ⋅ 60 = 2 , 35

• 1 , 624

15276 , 0 20 , 0

15276 , 0 42 , 0 20

, 0

42 , 0

2 =

+

= + +

= +

fic fic

c h

φ h

• φ _f _∞ = φ ₁ _c ⋅ φ ₂ _c = 2 , 35 ⋅ 1 , 624 = 3 , 8164

• φ _∞ = 0 , 4

(19)

• 0 , 9948 70

4 , 22 9600

20 4 , 22 9600 70

20 =

+

− +

= − +

− +

= −

o o

d t t

t β t

234 , 6612 1931

35343 31916

7579

099 , 349 183 1090

13 200

357 , 402 23 3234

3060 768

) 15276 , 0 (

805 , 194 113 588

350 42

2 3

= +

⋅ +

⋅

−

⋅

=

= +

⋅ +

⋅

−

=

−

⋅ +

⋅

−

⋅

=

= +

⋅ +

⋅

−

⋅

=

h h

h D

h h

h C

h h

h B

m h

h h

A _fic

Sendo: ( )

D t C t

B t A t t

f + ⋅ +

+

⋅

= ₂ ² + β

temos:

• ( ) ⁰ ^, ³⁵²⁷

234 , 6612 4

, 22 099 , 349 4

, 22

357 , 402 4 , 22 805 , 194 4

, 22

2 2 =

+

⋅ +

+

⋅

= +

fic o f t β

• ( ) ⁰ ^, ⁹⁸⁴⁴

234 , 6612 9600

099 , 349 9600

357 , 402 9600 805 , 194 9600

2 2

+ =

⋅ +

+

⋅

= +

fic f f t β

O coeficiente de fluência é dado por:

• ^φ ( ) ( ) ^t , ^t ô ⁼ ^φ â ⁺ ^φ ^f ∞ ^⋅ ( ^β ^f ^t ⁻ ^β ^f ( ) ^t ô ) ⁺ ^φ ^d ∞ ^⋅ ^β ^d

( ) ( t ^, t o ⁼ ⁰ ^, ²⁸⁴⁵ ⁺ ³ ^, ⁸¹⁶⁴ ^⋅ ⁰ ^, ⁹⁸⁴⁴ ⁻ ⁰ ^, ³⁵²⁷ ) ⁺ ⁰ ^, ⁴ ^⋅ ⁰ ^, ⁹⁹⁴⁸

φ ( ) t ^, t o ⁼ ³ ^, ⁰⁹³

φ

Na altura correspondente aos cabos:

2 2 2

/ 631 , 2067324 0

32 , 41 06 , 477 6 , 2015

06 ,

477 kN cm

J e P Aci

P

h p o o

cPo ⋅ = − − ⋅ =

−

− σ =

/ 2

588 , 710 128

, 3

06 ,

477 kN cm

Ap P _o

Po = = =

σ

2 2

/ 317 , 0 32 , 2067325 41

10 834 ,

158 kN cm

J e M

p h

g

cg = ⋅ = ⋅ ⋅ =

σ

( ) ₍ ₎ 2

/ 756 , 6 2

093 , 1 3 588 , 128

631 , 4 0 , 6 1

631 , 0 317 , 0 093 , 3 4 , 6 1 2

1 cm kN

Po cPo

cPo cg

P = −

 

 

  +

⋅

−

⋅

= ⋅

 

 

  +

⋅

−

⋅

= ⋅

∆ φ

σ α σ

σ σ φ σ _φ α

0439 , 90 0 , 153

756 ,

6 =

∆ =

pi p

σ σ _φ

∴

∴ ∴

∴ Perdas = 4,39 %

(20)

6.7.6 Perdas por Relaxação do Aço de Protensão tempo inicial: t o = 7 dias

tempo final: t f = 3000 dias Aço de baixa relaxação: RB

% 6 , 3 81

, 00 0 , 190

90 , 153

1000 =

→

=

= ψ

σ

ptk pi

f

( ) ( ) ₀ _, ₀₆₈₃₅

1000 24 7 036 3000

, 1000 0

,

15 , 15 0

, 0 0 1000

0  =



 



 − ⋅

⋅

 =



 



⋅  −

= t t

t

t ψ

ψ

( ) ( ) 0 0 ²

Pr _i t , t = t , t ⋅ _Pi = 0 , 06835 ⋅ 153 , 90 = 10 , 519 kN / cm

∆ σ ψ σ

, 2 Pr

Pr 9 , 621 /

90 , 153

756 , 6 381 , 1 6 519 , 10

1 kN cm

Pi s P

i  =



 



 − +

⋅

 =

 

 ∆

−

⋅

∆

=

∆ ⁺

σ σ σ

σ ^φ

0625 , 90 0 , 153

621 ,

9 =

∆ =

pi pr

σ

σ ∴ ∴ Perdas = 6,25 % ∴ ∴

6.7.7 Total de Perdas

Tipo de Perda Valor (%)

Ancoragem 4,47

Atrito dos Cabos 0,00

Deformação Imediata do Concreto 2,70

Retração do Concreto 4,15

Fluência do Concreto 4,39

Relaxação do Aço 6,25

Total de Perdas 21,96 %

A folga dada inicialmente, depois do ajuste das armaduras para 5 φ 11,0 mm foi de 28 %. Devido à grande diferença (6,04 %), tentou-se recalcular as perdas através da adoção de uma folga menor, por volta de 18 % (entre 19 e 28% de folga, sempre teremos 5 φ 11,0 mm como sendo a armadura mais econômica), obtendo-se:

Perdas admitidas = 18%

Po = 501,38 kN

As = 3,258 cm ² → 6 φ 9,5 mm (As efet = 3,288 cm ² ) Folga obtida pelo ajuste das armaduras = 18,8 % Novas perdas:

Tipo de Perda Valor (%)

Ancoragem 4,47

Atrito dos Cabos 0,00

Deformação Imediata do Concreto 2,63

Retração do Concreto 4,15

Fluência do Concreto 4,14

Relaxação do Aço 6,27

Total de Perdas 21,66 %

Como as perdas são maiores que a folga obtida, ao adotar-se esta solução não se terá no tempo infinito a força de protensão necessária P _∞ . Daí, optou-se por manter a consideração inicial de 5 φ 11,0 mm, com um total de perdas de 21,96 %.

( ) ( )

(21)

7. ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO

Será feita uma reavaliação das tensões nas seções críticas da viga com relação aos estados limites de utilização, tendo em vista a nova força de protensão calculada segundo as perdas já verificadas.

/ 2

212 , 65 0

, 42467

32 , 41 58 , 445 60 , 2015

58 ,

445 kN cm

Ws ep P Aci

P

ps = ^∞ + ^∞ ⋅ = − + ⋅ = +

σ

/ 2

634 , 37 0

, 44631

32 , 41 58 , 445 60 , 2015

58 ,

445 kN cm

Wi ep P Aci

P

pi = ^∞ + ^∞ ⋅ = − − ⋅ = −

σ

7.1 Estado Limite de Descompressão

ctM q p

g σ ψ σ σ

σ + + 2 ⋅ ≤ (a carga da ponte não é quase permanente)

≤ 0 + _p

g σ

σ

0,356 -0,374

(g) + (p) = (g+p)

-0,162

-0,278 -0,634

+0,212

→

→ Ok!

7.2 Estado Limite de Formação de Fissuras

ctk q

p

g + σ + ψ ₁ ⋅ σ ≤ 1 , 2 ⋅ f σ

/ 2

300 , 0 25 , 0 2 , 1 6

,

0 _q kN cm

p

g + σ + ⋅ σ ≤ ⋅ = +

σ

+0,356 -0,374

(g) + (p) = (g+p+0,6q)

+0,251 0,6 . 0,881

-0,6 . 0,926

(0,6 q) +

+0,212

-0,634

-0,718

→ →

→ → Ok!

7.3 Estado Limite de Compressão Excessiva

Este estado limite deve ser verificado na idade da protensão, e neste caso, na seção do apoio (onde não haverá tensões devido ao peso próprio, pois não haverá momento fletor), sendo portanto a tensão de compressão inserida na seção devido à força de protensão a maior possível.

• ^Pa ⁼ ^Pi ^⋅ ( ¹ ⁻ ^Perdas ^Ancoragem + ^Atrito ) ⁼ ⁵⁷⁰ ^, ⁹⁷ ^⋅ ⁽ ¹ ⁻ ⁰ ^, ⁰⁴⁴⁷ ⁾ ⁼ ⁵⁴⁵ ^, ⁴⁵ ^kN

• 0 , 801 / ²

65 , 42467

32 , 41 45 , 545 60 , 2015

45 ,

545 kN cm

Ws ep P Aci

P _a _a

cp = + ⋅ = − − ⋅ = −

σ

• σ _cp = − 0 , 801 kN / cm ² ≥ 0 , 7 ⋅ f _ck _j = − 0 , 7 ⋅ 2 , 25 = − 1 , 575 kN / cm ² → → Ok! → →

(22)

7.4 Estado Limite de Deformação Excessiva

7.4.1 Peso Próprio

g = 5,6475 kN/m (item 5.1)

J cm E

L g

h

g 0 , 521

2067324 27

, 3459

1500 056475 ,

0 384

5 384

5 ⁴ ⁴ =

⋅

⋅ ⋅

⋅ =

⋅ ⋅ δ =

7.4.2 Carga Acidental

q = 69 kN (ponte rolante)

a = 570 cm b= 360 cm a = 570 cm

q = 69 kN q = 69 kN

( ^L ^a ) ( ) ^cm

J E

a q

h

q 3 1500 4 570 1 , 249

2067324 27

, 3459 24

570 4 69

24 3

2 2

2 2 ⋅ ⋅ − ⋅ =

⋅

= ⋅

⋅

−

⋅

⋅ ⋅

⋅

= ⋅ δ

7.4.3 Protensão ep = 41,32 cm P _∞ = 445,58 kN

m kN e

P

M _P _∞ = _∞ ⋅ _p = 445 , 58 ⋅ 0 , 4132 = 184 , 11 ⋅ m kN L p

M _P p 6 , 5463 /

0 , 15

11 , 184 8

8 ²

2 → = ⋅ =

= ⋅

∞

J cm E

L p

h

p 0 , 603

2067324 27

, 3459

1500 065463 ,

0 384

5 384

5 ⁴ ⁴

⋅ =

⋅ ⋅

⋅ =

⋅ ⋅ δ =

7.4.4 Flecha Total

( ) t ^, t o ⁼ ³ ^, ⁰⁹³

φ

( ) _∑ ( )

∑ ⁺ ^⋅ ⁺ ^⋅

= φ δ _gi ψ δ _qi

δ 1

( ¹ ⁺ ³ ^, ⁰⁹³ ) ^⋅ ( ⁰ ^, ⁵²¹ ⁻ ⁰ ^, ⁶⁰³ ) ⁺ ⁰ ^, ⁴ ^⋅ ¹ ^, ²⁴⁹ ⁼ ⁰ ^, ¹⁶⁴ ^cm

δ =

L cm

LIM 500

300 1500

300 = =

δ =

Como δ < δ LIM então a viga não apresentará deformações excessivas.

→ →

→ → Ok!

(23)

8. ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS

8.1 Estado Limite Último de Ruptura ou Alongamento Plástico Excessivo Dados:

Ap = 3,710 cm ² (5 φ 11,0 mm) P∞ = 445,58 kN

8.1.1 Pré Alongamento

kN P

Pd = γ _p ⋅ _∞ = 1 , 0 ⋅ 445 , 58 = 445 , 58

( ) ² ²

2 / 589 , 2067324 0

32 , 41 58 , 445 60 , 2015

58 ,

445 kN cm

J e Pd Aci Pd

h p

cPd ⋅ = + ⋅ =

+ σ =

kN Ap

Pd

Pn = + α ⋅ ⋅ σ _cPd = 445 , 58 + 6 , 40 ⋅ 3 , 710 ⋅ 0 , 589 = 459 , 57

% 635 , 19500 0 710

, 3

57 ,

459 =

= ⋅

Ep Ap

Pn ε Pn

8.1.2 Momento Fletor de Cálculo

Sendo a seção 5 a seção crítica, temos:

cm kN m

kN M

M

Md = γ _g ⋅ _g + γ _q ⋅ _q = 1 , 4 ⋅ 158 , 834 + 1 , 5 ⋅ 393 , 30 = 812 , 32 ⋅ = 81232 ⋅ 8.1.3 Cálculo da Armadura

Supondo que a linha neutra (componente y = 0,8 . x) está cortando a mesa logo abaixo dos furos feitos para fixação dos trilhos (y entre 20,0 cm e 22,5 cm), temos:

( ⁶ ^, ⁷ ²⁰ ¹ ^, ³ ²⁰ ^/ ² ⁶ ²⁰ ) ⁴⁰ ( ²⁰ )

2 ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ −

= y

Acc

266 32

266 8

, 0 40 266

40 ⋅ − = ⋅ ⋅ − = ⋅ −

= y x x

Acc

z Rcc Md = ⋅

( ^d ^x )

Acc

Md = ⋅ σ _cd ⋅ − 0 , 4 ⋅

( ^x ) ( ^x )

Md = 32 ⋅ − 266 ⋅ 0 , 85 ⋅ 3 , 0 / 1 , 4 ⋅ 95 − 3 − 0 , 4 ⋅

( ^x ) ( ^x )

Md = 58 , 2857 ⋅ − 484 , 5 ⋅ 92 − 0 , 4 ⋅ 3143 2

, 23 0844

, 5556 44574

81232 = − + ⋅ x − ⋅ x

0 125806 0844

, 5556 3143

,

23 ⋅ x ² − ⋅ x + = ∴ x = 25 , 34 cm cm

y = 20 , 27 (entre 20 e 22,5 conforme a proposição inicial → Ok)

0,35%

x = 25,34 cm

ε p ε s

90 cm 92 cm

34 , 25 90 34 , 25

35 , 0

= − ε ^p

→ ε p = 0 , 893 %

% 528 , 1 893 , 0 635 ,

0 + =

pT = ε

34 , 25 92 34 , 25

35 , 0

= − ε ^s _→

% 921 ,

= 0 ε s

(Valor de ε s está muito alto, próximo do limite de 1%, mas

contudo, está dentro do domínio III. A seção está

superdimensionada: uma pequena faixa de concreto resiste

à compressão oriunda do momento fletor).

(24)

Segundo a tabela 2.1 da apostila “Estados Limites Últimos”, para ε p = 1,528 %, temos:

εεεε p (%) σσσσ p (kN/cm²)

1,5 157,00

1,528 157,28

1,6 158,00

/ 2

77 , 15 136

, 1

28 ,

157 kN cm

s p

pd = = =

γ σ σ

kN A

R _pt = σ _pd ⋅ _p = 136 , 77 ⋅ 3 , 710 = 507 , 42

( ) ^kN

f A

R _cc = _cc ⋅ 0 , 85 ⋅ _cd = 32 ⋅ 25 , 34 − 266 ⋅ 0 , 85 ⋅ 3 , 0 / 1 , 4 = 992 , 46

Como R cc > R pt , a seção não está em equilíbrio. O equilíbrio será assegurado pela inserção da componente devido à armadura passiva:

kN R

R

R _st = _cc − _pt = 992 , 46 − 507 , 42 = 485 , 04 156 2

, 15 11 , 1 / 0 , 50

04 ,

485 cm

f A R

yd st

s = = =

2 , 0 , 15 % bw h 0 , 0015 12 95 1 , 710 cm

A _s _MIN = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

Será utilizado As = 11,156 cm².

Bitola (mm) Área (cm²) n As efet (cm²) Folga (%)

6.3 0.312 36 11.222 0.59

8 0.503 23 11.561 3.50

10 0.785 15 11.781 5.30

12.5 1.227 10 12.272 9.09

16 2.011 6 12.064 7.52

20 3.142 4 12.566 11.22

Adotou-se 6 φ 16,0 mm → As efet = 12,064 cm² (por motivos construtivos)

8.2 Verificação Simplificada do Estado Limite Último de Ruptura no Ato da Protensão

Segundo o item 2.2.9.1 da apostila “Estados Limites Últimos”, como:

• a tensão máxima de compressão na seção de concreto calculada em regime elástico linear não ultrapassou 70% da resistência característica f ckj prevista para a idade de aplicação da protensão (item 7.3);

• a tensão máxima de tração no concreto nas seções transversais não ultrapassou 1,2 vezes a resistência à tração correspondente ao valor f ckj especificado (item 7.2); e

• há presença de armaduras de tração nas seções transversais onde ocorre tração no concreto, calculada inclusive para um esforço muito maior (combinações normais últimas).

conclui-se que a segurança em relação ao estado limite último de ruptura no ato da protensão está

garantida.

(25)

8.3 Estado Limite Último Devido a Solicitações Tangenciais Dados:

Comprimento da viga = 15,0 m Protensão limitada – pré-tração

Cabos retos com excentricidade de e p = 41,32 cm

m kN e

P

M _P _∞ = _∞ ⋅ _p = 445 , 58 ⋅ 0 , 4132 = 184 , 11 ⋅

Por ser uma viga longa, os esforços cisalhantes serão avaliados dividindo-se a mesma em 3 trechos, visando economia de armadura transversal, segundo o quadro abaixo:

Trechos (cm) M g M q M p V g V q

1 ( 0 < x < 300) 0 0 -184,11 42,356 121,44 2 (300 < x < 750) 101,654 281,52 -184,11 25,414 93,84

8.3.1 Tensão Última do Concreto

Considerando que a armadura transversal estará a 90 ^o , temos:

 

 ⋅ = ⋅ =

≤ MPa

MPa f _cd

wu 4 , 5

43 , 6 4 , 1 / 30 30 , 0 30

,

τ 0 ∴ τ _wu = 0 , 45 kN / cm ²

8.3.2 Trecho 1 (0 < x < 300 cm)

( ) ( ) ^kN

V V

Vd = 1 , 4 ⋅ _g + 1 , 5 ⋅ _q = 1 , 4 ⋅ 42 , 356 + 1 , 5 ⋅ 121 , 44 = 241 , 46

( ) ( ) ( ) ^kN ^cm

M M

M

Md = 1 , 4 ⋅ _g + 1 , 0 ⋅ _p + 1 , 5 ⋅ _q = 1 , 4 ⋅ 0 , 0 + 1 , 0 ⋅ − 184 , 11 + 1 , 5 ⋅ 0 , 0 = − 18411 ⋅ / 2

219 , 92 0 12

46 ,

241 kN cm

d b

Vd

w

wd =

= ⋅

= ⋅ τ

Como τ < _wd τ _wu , então o concreto da alma resiste às tensões cisalhantes !

( ^p ^f ^g ^q ) ⁱ ^p ^P ^e ^p

Aci N W

P

M 0 = γ ⋅ _∞ + γ ⋅ ₊ ⋅ + γ ⋅ _∞ ⋅

( ) ^kN ^cm

M = ⋅ + ⋅ + 0 , 9 ⋅ 445 , 58 ⋅ 41 , 32 = 25450 ⋅ 60

, 2015

37 , 44631 0

58 , 445 9 ,

0 0

30 , 0 3

, 0 357 , 18411 0 25450 1

15 , 0 1

15 ,

0 ₁

max 0

1  = > → =



 

  +

⋅

 =

 

 +

⋅

= ψ

ψ

M d

M

2 1 f _ck 0 , 30 30 1 , 643 MPa 0 , 164 kN / cm

c = ψ ⋅ = ⋅ = =

τ

35 , 219 0

, 0 15 , 1

164 , 0 219 , 0 15 , 1 15

, 1 15 ,

1 =

⋅

−

= ⋅

⋅

−

= ⋅

wd c wd

τ τ η τ

02025 , 15 0

, 1 / 60 92

46 , 241 35 , 0 15 , 1 15

, 1

90 90 =

⋅

= ⋅

⋅

= ⋅

yd s

f d

Vd s

A η

m s cm

A _sw 100 A ^s 100 0 , 02025 2 , 025 ² /

90 90 = ⋅ =

⋅

=

m cm b

A _s _MIN = 0 , 14 ⋅ _w = 0 , 14 ⋅ 12 = 1 , 68 ² / m cm A

A

A _sw > _s _MIN ⇒ _sw = 2 , 025 ² /