Computando Limites Inferiores e Superiores Justos para o Problema de Mínima Latência

Computando Limites Inferiores e Superiores Justos para o Problema de M´ınima Latˆencia

Jo˜ao Fernando Machry Sarubbi¹, Henrique Pacca Loureiro Luna², Gilberto de Miranda Jr.³, Ricardo Saraiva de Camargo⁴

1Departamento de Ciˆencia da Computac¸˜ao Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG)

Belo Horizonte – MG – Brasil

2Instituto de Computac¸˜ao

Universidade Federal de Alagoas (UFAL) Macei´o– AL – Brasil

3Departamento de Engenharia da Produc¸˜ao Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG)

Belo Horizonte – MG – Brasil

4Departamento de Ciˆencias Exatas e Aplicadas Universidade Federal de Ouro Preto (UFOP)

Jo˜ao Monlevade – MG – Brasil

jsarubbi@dcc.ufmg.br, pacca@tci.ufal.br

miranda@dep.ufmg.br, rcamargo@decea.ufop.br

Abstract. The Minimum Latency Problem (MLP), also known as Traveling Repairman Problem, the Deliveryman Problem and the Traveling Salesman Problem with Cumu- lative Costs is a variant of the Traveling Salesman Problem in which a repairman is required to visit customers located on each node of a graph in such a way that the overall waiting times of these customers is minimized. In the present work, we present an new linear model for the MLP based on Vander Wiel and Sahinidis model. Besides, a speci- alized GRASP algorithm gives the optimal solution for almost all tested instances. Our model present a tight linear bound and our heuristic presents a sharp upper bound for the problem.

Resumo. O Problema de M´ınima Latˆencia ´e um variante do Problema de Caixeiro Vi- ajante onde o objetivo ´e encontar um circuito Hamiltoniano que minimize a soma dos tempos de espera dos consumidores. Apesar de ser um problema correlato ao Problema do Caixeiro Viajante, o PML ´e considero bem mais mal comportado de um ponto de vista computacional. Para esse problema apresentamos um novo modelo matem´atico baseado no modelo de Vander Wiel e Sahinidis e uma heur´ıstica GRASP para o Pro- blema. Atrav´es do modelo conseguimos resultados ´otimos para problemas de at´e 60 n´os, o mesmo n´umero apresentado na literatura. Al´em disto, atrav´es da heur´ıstica consegui- mos encontrar o valor ´otimo para a maiora das instˆancias testadas.

1. Introduc¸ ˜ao

O Problema de M´ınima Latˆencia (PML), do inglˆes Minimum Latency Problem, tamb´em conhe- cido como Traveling Repairman Problem e Deliveryman Problem ´e uma variante do Problema do Caixeiro Viajante (PCV) [Dantzig et al. 1954][Nemhauser and Wolsey 1988]. Nesse problema o objetivo ´e encontrar um circuito Hamiltoniano iniciando de um ´unico dep´osito que minimize a soma dos tempos de espera dos consumidores. Nesse trabalho apresentamos um novo modelo ma- tem´atico para o problema e uma heur´ıstica especializada para conseguir limites superiores justos para o problema.

2. Problema de M´ınima Latˆencia

O Problema de M´ınima Latˆencia (PML) [Conway et al. 1967] [Lucena 1990] [Bianco et al. 1993]

[Blum et al. 1994] [Wu et al. 2004], do inglˆes Minimum Latency Problem, tamb´em chamado de Traveling Repairman Problem, Deliveryman Problem e Traveling Salesman Problem with Cumula- tive Costs ´e um variante do Problema do Caixeiro Viajante [Dantzig et al. 1954] (PCV) no qual um reparador ´e requerido para visitar consumidores localizados em todos os n´os de um grafo de uma forma que o tempo de espera de todos os consumidores seja minimizado. Os nodos s˜ao indexados por1,2, . . . , n, onden´e o n´umero total de nodos. Tipicamente, o reparador deixa um nodo base, digamos nodo1, visita cada um dosn−1consumidores exatamente uma vez e retorna para o nodo 1.

Esse problema foi introduzido e relacionado com o PCV em 1967, por Conway, Maxwell e Miller [Conway et al. 1967], quando o PML era conhecido como um problema de sequenciamento.

Nesse tipo de aplicac¸˜ao, o PML pode ser interpretado como um problema de sequenciamento em uma m´aquina com tempo de processamento dependente da sequˆencia e onde o tempo total das tarefas deve ser minimizado [Eijl 1995].

Apesar da ´obvia similaridade com o cl´assico PCV, o PML aparenta ser bem menos com- portado de um ponto de vista computacional [Goemans and Kleinberg 1998]. No PML, o objetivo

´e minimizar a latˆencia total de todos os consumidores, enquanto no PCV padr˜ao a func¸˜ao objetiva

´e focada na minimizac¸˜ao do tempo de viagem de um ´unico caixeiro viajante. O PML ´e mais com- plexo pois ele incorpora os objetivos conflitantes dos consumidores, ao inv´es de trabalhar somente com um ´unico tempo de viagem como no PCV original.

Tanto o PML como o PCV s˜ao casos especiais do Problema do Caixeiro Via- jante com Dependˆencia de Tempo(PCVDT) [Picard and Queyranne 1978] [Lucena 1990]

[Wiel and Sahinidis 1995]. No PCVDT o custo de atravessar um arco ligando dois nodos pode variar com a posic¸˜ao da aresta dentro do circuito Hamiltoniano [Lucena 1990]. Em outras palavras, enquanto no PCV original, o custo entre dois nodos ´e dado por c_ij, no PCVDT o custo entre os nodosiej depende do per´ıodo de tempote ´e dado porcijt. ´E assumido que o tempo de viagem entre dois nodos corresponde a um periodo de tempo. Ent˜ao, no PCVDT, a func¸˜ao de custo ´e uma m´etrica entre o custo da arestaee a posic¸˜ao de visitac¸˜ao do nodoiimplicando em um custoc(e, i).

O PCV ´e um caso especial onde a func¸˜ao de custo s´o depende do custo da aresta c(e, i) = een- quanto no PML ´e um caso especial onde o custo ´e dado porc(e, i) = (n−i)∗e, como visto em [Blum et al. 1994].

O PML ´e NP-hard e tamb´em MAX-SNP-hard [Blum et al. 1994]. Algoritmos de tempo polinomial s˜ao somente conhecidos para grafos bem espec´ıficos [Afrati et al. 1998]

[Garcia et al. 2002]. Veja [Wu et al. 2004] para mais detalhes. Apesar de dif´ıcil existem muitos tra- balhos na relac¸˜ao de algoritmos de aproximac¸˜ao [Blum et al. 1994] [Goemans and Kleinberg 1998]

[Arora and Karakostas 2003] [Archer and Williamson 2003]. O primeiro fator de de aproximac¸˜ao para o PML foi 144 e foi dado por Blum at al. [Blum et al. 1994].Chaudhuri e al. [Chaudhuri et al. 2003] e melhoraram o fator para3.59.

Algoritmos de otimizac¸˜ao para o PML s˜ao providos por Lucena [Lucena 1990], Simchi- Levi e Berman [Simchi-Levi and Berman 1991], Fischetti, Laporte e Martelo [Fischetti et al. 1993].

O primeiro propˆos um algoritmo enumerativo baseado em uma formulac¸˜ao n˜ao-linear inteira onde os limites inferiores foram obtidos por relaxac¸˜ao Lagrangeana. Ele relata resultados ´otimos para problemas de at´e 30 n´os. Simchi-Levi e Berman descrevem um m´etodo Branch-and-Bound baseado na relaxac¸˜ao da ´arvore geradora m´ınima. Fischetti et al. propuseram um algoritmo Branch-and- Bound baseado numa formulac¸˜ao de programac¸˜ao inteira. O artigo utilizou matr´oides acumulativos para gerar o limite inferior. Atualmente, somente problemas de 60 n´os s˜ao resolvidos na otimali- dade [Fischetti et al. 1993] [Blum et al. 1994] [Eijl 1995].

Bianco, Mingozzi, Ricciardelli e Spadoni [Bianco et al. 1989] desenvolveram uma mode- lagem para o Problema de um Ve´ıculo de Entrega (PUVE), do inglˆes, Single Vehicle Delivery Pro- blem. Este problema caracteriza-se por um ´unico ve´ıculo, saindo de uma origemo, que percorrendo um circuito Hamiltoniano necessita entregar qi passageiros em cada n´o ido grafo G = (V, E).

Al´em disto, o motorista necessita, ap´os percorrer todos os n´os, entregar q_o passageiros no n´o ori- gem (n´oo). Este problema est´a extremamente relacionado ao PML. A diferenc¸a est´a na quantidade heterogˆenea de passageiros entregues em cada n´oi. Fazendoqi = 1 ∀i∈V o problema se trans- forma no PML. Desta forma pode-se classificar este problema como uma variac¸˜ao mais abrangente e complexa do PML. Isto ´e observado pois o custo n˜ao est´a s´o relacionado ao tempo e a ordem de visitac¸˜ao dos n´os, mas tamb´em `a quantidade de passageiros entregues em cada n´o, priorizando assim os n´os que tem uma demanda maior.

Bianco, Mingozzi, Ricciardelli e Spadoni [Bianco et al. 1989] resolveram o problema an- terior de forma exata atrav´es de um algoritmo que utilizou relaxac¸˜ao Lagrangeana e programac¸˜ao dinˆamica. Este algoritmo conseguiu resolver instˆancias de at´e 30 n´os. Entretanto, em todas as instˆancias apresentadas por Bianco et al. as demandas em cada n´o eram unit´arias, caracterizando assim o PML e n˜ao o PUVE.

3. Modelo Matem´atico

SejaG= (V, E) um grafo ondeV ´e o conjunto de v´ertices eE ´e o conjunto de arestas, podemos representar o problema atrav´es do modelo matem´atico descrito a seguir.

Seja o seguinte conjunto de vari´aveis:

x_ki=

1 se o nodo i ´e visitado na ordem k 0 caso contr´ario.

fkij ≥0: fluxo transportado no arco(i, j)na posic¸˜aok.

e o seguinte conjunto de parˆametros:

c_ij: custo fixo pago pelo entregador para passar pelo arco(i, j).

E poss´ıvel desenvolver a seguinte formulac¸˜ao de programac¸˜ao linear inteira mista para o´ PML:

min

n

X

k=1

X

(i,j)∈E

(n−k+ 1)c_ijf_kij (1)

sujeito a

n

X

k=1

x_kj = 1 ∀j∈V, (2)

X

j∈V

x_kj = 1 ∀k= 1...n, (3)

X

j∈V|i6=j

f_kij = x_ki ∀k= 1...n, ∀i∈V (4)

X

i∈V|i6=j

fkij = x_(k+1)j ∀k= 1...n, ∀j∈V (5)

x₁₁= 1 (6)

x_(n+1)i= 1 (7)

fijk≥ 0 ∀i∈V, ∀j∈V ∀k= 1...(n+ 1) (8) xki ∈ {0,1} ∀i∈V ∀k= 1...(n+ 1) (9) Vander Wiel e Sahinidis [Wiel and Sahinidis 1995] mostraram uma formulac¸˜ao para o PCVDT muito similar a esta. O PCVDT e o PML s˜ao fortemente relacionados, mas n˜ao s˜ao o mesmo problema. Uma vez que a ordem de visitac¸˜ao do PML deve comec¸ar com o primeiro nodo n˜ao ´e poss´ıvel utilizar diretamente a formulac¸˜ao de Vander Wiel e Sahinidis sem asseguram essa propriedade. Tamb´em ´e necess´ario definir um conjuntoK de posic¸ ˜oes variando de1at´e(n+ 1), modificando as restric¸ ˜oes de acoplamento (4) e (5) para assegurar essa caracter´ıstica. Uma restric¸˜ao adicional deve assegurar que o ´ultimo nodo visitado tamb´em seja a origem(7), forc¸ando a existˆencia de um fluxo n˜ao nulofi1n.

4. GRASP: Computando Limites Superiores Eficientemente

De acordo com Vander Wiel e Sahinidis [Wiel and Sahinidis 1995] existe um n´umero limi- tado de heur´ısticas para o CVDT. Em sua abordagem exata, Lucena [Lucena 1990] apre- sentou uma adaptac¸˜ao da heur´ıstica 2-opt que tem sido usada para o PCV. Essa adaptac¸˜ao obteve bons resultados. Lucena [Lucena 1990] apresentou limites superiores pr´oximos ao

´otimo para instˆancias aleat´orias do PML em instˆancias de at´e tamanho 30. Em 1993, Bianco, Mingozzi, Ricciardelli [Bianco et al. 1993] utilizaram a heur´ıstica do vizinho mais pr´oximo [Johnson and McGeoch 1997] para obter uma soluc¸˜ao inicial que era melhorada utilizando posteriormente uma heur´ıstica de troca. Para instˆancias de at´e 35 nodos a heur´ıstica apresentou soluc¸ ˜oes 6%do ´otimo, mas nenhuma soluc¸˜ao ´otima foi encontrada. Os mesmos autores tamb´em apresentaram uma heuristica baseada em programac¸˜ao dinˆamica que encontrou melhores resulta- dos. Bianco, Mingozzi e Ricciardelli [Bianco et al. 1993] de at´e3%do ´otimo para problemas de at´e 60 nodos. Em 1993, Fischetti et al. [Fischetti et al. 1993] apresentaram uma heur´ıstica 3-opt com resultados de at´e %14do ´otimo. Nesse trabalho, n´os apresentamos uma heur´ıstica eficiente para o PML.

O m´etodo GRASP, do inglˆes, Greedy Randomized Adaptive Se- arch Procedure, em portuguˆes (procedimento de busca guloso, adaptativo e aleat´orio)) [Feo and Resende 1995] [Resende and Ribeiro 2003] foi o escolhido para encon- trar soluc¸ ˜oes vi´aveis para o PML. O algoritmo GRASP ´e uma meta-heur´ıstica que, a cada iterac¸˜ao, constr´oi uma soluc¸˜ao vi´avel utilizando uma busca gulosa e, depois, um m´etodo de busca local.

Essa meta-heur´ıstica consiste em duas fases: a construc¸˜ao de uma soluc¸˜ao vi´avel e um subsequente procedimento de busca local. Essas duas fases s˜ao repetidas a cada iterac¸˜ao. Na fase de construc¸˜ao, uma func¸˜ao aleat´oria gulosa ´e usada para construir uma soluc¸˜ao inicial. Essa soluc¸˜ao

´e ent˜ao usada como soluc¸˜ao inicial para o procedimento de busca local. Nosso algoritmo GRASP tem uma terceira fase chamada de Path-Relinking. Esta fase ´e usada para melhorar a soluc¸˜ao dada pela busca local. O resultado final ´e simplesmente a melhor soluc¸˜ao depois de todas as iterac¸ ˜oes.

No Algoritmo1apresentamos o esquema do nosso algoritmo GRASP.

Algorithm 1 GRASP

1: procedure GRASP(Max Iterac¸ ˜oes)

2: fori←1to Max Iterac¸ ˜oes do

3: FaseConstruc¸˜ao();

4: BuscaLocal();

5: if Soluc¸˜aoMelhor() then

6: AtualizeMelhorSoluc¸ ˜ao();

7: BuscaLocal();

8: else

9: PathRelink(Soluc¸˜aoBuscaLocal, MelhorSoluc¸˜aodeTodas);

10: if Soluc¸˜aoMelhor() then

11: AtualizeMelhorSoluc¸ ˜ao();

12: BuscaLocal();

13: end if

14: end if

15: end for

16: end procedure

Na fase de construc¸˜ao, uma t´ecnica gulosa e aleat´oria gera uma soluc¸˜ao vi´avel. Essa soluc¸˜ao vi´avel ´e iterativamente constru´ıda, um elemento por vez. N ´os escolhemos o algoritmo do vizinho mais pr´oximo [Johnson and McGeoch 1997] como o algoritmo da fase de construc¸˜ao. Ao inv´es de escolhermos sempre o melhor elemento constru´ıoms uma Lista Restrita de Candidatos (LRC) de bons elementos e aleatoriamente escolhemos um dos melhores candidatos da lista, mas n˜ao necessariamente o melhor. Um parˆametro αdetermina o n´ıvel de aleatoriedade ou gulosidade do m´etodo. Quandoα = 0n´os temos uma soluc¸˜ao totalmente gulosa. Por outro lado, quandoα = 1 temos uma soluc¸˜ao totalmente aleat´oria. Al´em disto, ao inv´es de trabalharmos com um α fixo, escolhemos trabalhar com umαvari´avel na mesma iterac¸˜ao da fase de construc¸˜ao. A cada passo da fase de construc¸˜aoαaumenta de umαinicialpara umαf inal. N ´os escolhemos essa estrat´egia pois os primeiros n´odos tem mais influˆencia na soluc¸˜ao final que os ´ultimos nodos. No PML, o custo de cada arco ´e multiplicado pelo n´umero de arcos que faltam para completar o ciclo Hamiltoniano.

Algoritmo2o esquema que define nossa fase de construc¸˜ao.

Nosso procedimento de busca local tamb´em ´e diferente da maioria dos procedimentos usa- dos. Ao inv´es de usar um ´unico algoritmo, n´os utilizaremos 4 simples m´etodos de busca local.

Primeiramente, um m´etodo 2-opt [Johnson and McGeoch 1997], como mostrado na figura (1) ´e aplicado para melhorar a soluc¸˜ao da fase de construc¸ ˜ao.

Nossa segunda busca local ´e um algoritmo de inserc¸˜ao. Dada uma soluc¸˜ao parcial oriunda da fase de construc¸ ˜ao essa busca local funciona da seguinte forma: para cada elemento, n´os o inserimos em todas as poss´ıveis posic¸ ˜oes anteriores. Depois de cada inserc¸˜ao, deslocamos uma posic¸˜ao todos os elementos entre os dois nodos envolvidos nesse passo dessa busca local. Este procedimento ´e repetido para todos os outros elementos da soluc¸˜ao parcial. Um exemplo ´e mostrada na figura (2), quando tentamos colocar o nodo6na segunda posic¸˜ao.

Nosso terceiro procedimento de busca local ´e um tipo de busca local 2-opt, mas ao inv´es de

Algorithm 2 FaseConstruc¸˜ao

1: procedure FASECONSTRUC¸ ˜AO(α, α_inicial, α_{f inal}, N, Origem)

2: α=αinicial;

3: Soluc¸˜aoInicial={Origem};

4: Nodo = Origem;

5: fori←2toN do

6: ConstruaListaLRC(Nodo,α);

7: Nodo = AleatoriamenteEscolhaPr´oximoNodeDaListaRestricadeCandidatos();

8: Soluc¸˜aoInicial = Soluc¸˜aoInicial∪ {Nodo}

9: α=α+ (α_{f inal}−α_inicial)/N;

10: end for

11: end procedure

mudar todos os pares de nodos, mudamos todos os pares de dois nodos consecutivos. Um exemplo

´e mostrado na figura (3). Nosso ´ultimo procedimento de busca local ´e parecido com o terceiro, mas ao inv´es de trabalhar com conjuntos de dois nodos, trabalhamos com conjuntos de 3 nodos. Um exemplo ´e mostrado na figura (4).

Algorithm 3 BuscaLocal

1: procedure BUSCALOCAL(it)

2: Procedimento 2-opt();

3: Procedimento Inserc¸˜ao();

4: Procedimento Conjunto 2();

5: Procedimento Conjunto 3();

6: end procedure

(a) Antes (b) Depois

1 2

3 4 6 5

7 8 9

10 1

3 4 7 5

8 9

10 6

2

Figura 1.Busca Local 2-opt

(a) Antes (b) Depois

1 2

3 4 6 5

7 8 9

10 1

7 8 9

10 6

2 3 5 4

Figura 2.Busca Local Inserc¸ ˜ao.

(a) Antes (b) Depois

1 2

3 4 6 5 7 8 9

10 1

7

10 6

5 4 8 3

4

9

Figura 3.Busca Local Conjunto 2.

(a) Antes (b) Depois

1 2

3 4 6 5 7 8 9

10 1

9

10 6

4 3 5

6 7 8

Figura 4.Busca Local Conjunto 3.

Tabela 1. Tabela of Resultados - Resultados Exatos

n M´edia M´edia M´aximo M´edia M´edia M´aximo

Tempo Tempo Tempo Tempo LP LI/ ´Otimo LI/ ´Otimo

(s) Usando LS (s) Usando LS (s) (s) (%) (%)

10 0.03 0.03 0.07 0.01 1.06 6.72

12 0.06 0.06 0.12 0.02 1.17 5.91

15 0.09 0.09 0.23 0.05 0.23 2.23

20 0.81 0.56 1.06 0.14 0.72 3.23

25 3.04 2.00 9.17 0.33 1.26 4.19

30 11.34 7.78 31.23 0.75 1.80 3.44

35 37.77 28.27 112.24 1.47 1.89 5.14

40 84.39 67.68 205.44 2.48 1.66 2.81

45 263.28 175.44 536.82 4.04 1.66 2.91

50 1692.63 1353.97 5096.99 6.03 1.57 3.54

55 4953.05 3278.87 19776.27 8.57 2.08 4.14

60 17558.04 13450.9 34294.28 11.92 1.49 2.22

5. Resultados Computacionais

Os testes foram realizados em uma m´aquina Pentium IV com 3.0Ghz de processador e 1 Gbyte de mem ´oria RAM. O sistema operacional utilizado foi o Linux e o resolvedor usado para calcular o limite inferior foi o CPLEX 9.1.3 da ILOG.

AS instˆancias testes foram geradas como sugerido em [Fischetti et al. 1993]. Os custos foram randomicamente gerados de acordo com uma distribuic¸˜ao uniforme entre[1,100]. Ap´os isto, para garantir a desigualdade triangular, foram calculados caminhos m´ınimos. Todas as instˆancias geradas s˜ao assim´etricas. Para cada classe de valores n, 10 instˆancias pseudo-aleat´orias foram criadas. Para calcular o limite inferior utilizamos o m´etodo Barreira presente no resolvedor CPLEX.

Cada instˆancia foi resolvida pelo Cplex duas vezes, uma configurando o Cplex com uma ˆenfase que mescla otimalidade e viabilidade inteira e outra que enfatiza somente a viabilidade inteira.

Os valores na tabela (1) mostram os valores m´edios e m´aximos do tempo de computac¸˜ao e do Gap de relaxac¸˜ao linear da formulac¸˜ao (1)-(9). Os campos M´edia Tempo Usando LS (s) e M´aximo Tempo Usando LS (s) mostram o tempo de computac¸˜ao do resolvedor Cplex forne- cendo como soluc¸˜ao inicial (limite superior) a soluc¸˜ao gerada pela algoritmo Grasp apresentado na sec¸˜ao(4). A inclus˜ao de uma soluc¸˜ao pr´oxima a soluc¸˜ao ´otima faz com que o Cplex encontre o

´otimo mais rapidamente, em comparac¸˜ao com o mesmo modelo sem a inclus˜ao de nenhuma soluc¸˜ao inicial (vide campo M´edia Tempo (s)). Isso ocorre pois esse limite superior pr´oximo ao ´otimo ser´a o limite superior do Branch-and-Bound.

A formulac¸˜ao (1)-(9) habilita calcularmos soluc¸ ˜oes exatas de at´e 60 nodos. Estamos ci- entes que Fischetti, Laporte e Martelo [Fischetti et al. 1993] fizeram o mesmo em 1993 com um tempo de esforc¸o computacional menor. Entretanto, a formulac¸˜ao (1)-(9) ´e uma boa alternativa para computarmos limites inferiores justos em um tempo computacional razo´avel.

5.1. Resultados usando GRASP para as Instˆancias de Fischetti, Laporte e Martelo

A tabela (2) apresenta os resultados do algoritmo GRASP para as instˆancias de Fischetti, Laporte e Martelo. Coluna M´edia (%) LI/LS mostra o Gap de otimalidade considerando como limite superior

Tabela 2. Tabela de Resultados: GRASP

n M´edia (s) M´aximo M´edia (%) M´aximo (%) M´edia(%) M´aximo (%) Tempo Iterac¸ ˜oes Gap ´Otimo Gap ´Otimo LI/LS LI/LS

10 0.00 100 0.00 0.00 1.06 6.72

12 0.01 200 0.00 0.00 1.17 5.91

15 0.05 200 0.00 0.00 0.23 2.23

20 0.41 500 0.00 0.00 0.72 3.23

25 6.29 3000 0.00 0.00 1.26 4.19

30 12.90 3000 0.06 0.55 1.86 3.44

35 20.85 3000 0.00 0.00 2.08 5.14

40 362.92 20000 0.04 0.38 1.70 2.81

45 556.8 20000 0.03 0.28 1.69 2.91

50 850.2 20000 0.60 2.02 2.16 5.49

55 905.41 20000 1.45 2.18 3.50 5.35

60 1405.52 20000 1.96 3.53 3.42 5.24

o valor dado pelo algoritmo GRASP, e como limite inferior o limite de ralaxac¸˜ao linear dado pelo CPLEX utilizando a formulac¸˜ao(1)-(9). Nos selecionamos o parˆametroαf inaldo algoritmo GRASP como sendo0.5. O parˆamatroα_inicial ´e vari´avel com o tamanho da instˆancias. Para instˆancias de tamanho10,12,15,25,20e30rodamos o algoritmo GRASP comαinicial = 0.1. Para as instˆancias maiores rodamos com valores paraαinicialvariando de0.1at´e0.2.

A tabela (2) tamb´em apresenta nos campos, M´edia (%) LI/LS e M´edia (%) LI/LS os va- lores m´edios e m´aximos dos Gaps entre os limites inferiores e superiores encontrados. Os limites inferiores s˜ao os valares da relaxac¸˜ao linear no modelo e os limites superiores foram calculados pelo algoritmo Grasp. Como podemos verificar a m´edia dos Gaps n˜ao chega a 4%, isto ´e, a an´alise conjunta das duas t´ecnicas (modelo com uma boa relaxac¸˜ao linear e limites superiores encontrados pelo algoritmo Grasp) gera bons resultados.

6. Conclus˜ao

Nesse trabalho apresentamos um novo modelo matem´atico para o Problema de M´ınima Latˆencia.

Com esse modelo apresentamos resultados exatos para instˆancias de at´e 60 n´os, o mesmo n´umero apresentado pela literatura. Apesar das instˆancias serem resolvidas no ´otimo em um tempo de computac¸˜ao razo´avel, os limites inferiores s˜ao encontrados muito rapidamente. Esses limites, como foi apresentado anteriormente, est˜ao px´oximos de 2%. Al´em disto, apresentamos uma heur´ıstica baseada no m´etodo Grasp que conseguiu limites superiores ´otimos para a maiora das instˆancias at´e 45 n´os, algo nunca apresentado antes para esse problema. Para instˆancias de 60 n´os conseguimos limites superiores menores de 2%, algo tamb´em nunca alcanc¸ado.

Outra an´alise diz respeito a introduzir como primeira soluc¸˜ao vi´avel no Cplex a soluc¸˜ao encontrada pelo nosso algoritmo Grasp. Como ´e mostrada na tabela (1), essa abordagem diminui o tempo de computac¸˜ao do resolvedor Cplex.

Como trabalhos futuros ´e poss´ıvel melhorar aperfeic¸oar o algoritmo Grasp para que as quatro buscas locais n˜ao sejam executadas todas as iterac¸ ˜oes para diminuir o tempo de computac¸˜ao.

Al´em disto, ´e poss´ıvel aperfeic¸oar a fase de construc¸˜ao analisando n˜ao somente o pr´oximo n´o, mas

um conjunto de n´os subsequentes que devam ser visitados. Isto ´e, ´e poss´ıvel analisar o impacto no custo ao se escolher n˜ao um, mas os pr´oximos 3 ou 4 n´os que far˜ao parte da soluc¸˜ao inicial.

Referˆencias

Afrati, F., Cosmadakis, S., Papadimitriou, C. H., Papageorgiou, G., and Papakostantinou, N. (1998).

The complexity of the traveling repairman problem. Informatique Theorique et Applications, 20(1):79–87.

Archer, A. and Williamson, D. (2003). Faster approximation algorithms for the minimum latency problem. pages 88–96. 14th (SODA)ACM-SIAM Symposion on Discrete Algorithms.

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