Estimativas extrínsecas de autovalores de operadores elípticos em hipersuperfícies

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEAR ´

A

CENTRO DE CI ˆ

ENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEM ´

ATICA

CURSO DE P ´

OS-GRADUAC

¸ ˜

AO EM MATEM ´

ATICA

FILIPE MENDONC

¸ A DE LIMA

ESTIMATIVAS EXTR´INSECAS DE AUTOVALORES DE

OPERADORES EL´IPTICOS EM HIPERSUPERF´ICIES

(2)

FILIPE MENDONC

¸ A DE LIMA

Estimativas Extr´ınsecas de Autovalores de Operadores

El´ıpticos em Hipersuperf´ıcies

Dissertação submetida à Coordenação do Curso de Pós-Graduação em Matemática da Univer-sidade Federal do Ceará, como requisito par-cial para obtenção do grau de Mestre em Matemática.

´

Area de concentração: Matemática

Orientador: Prof. Dr. Jorge Herbert Soares Lira

(3)

L698e Lima, Filipe Mendonc¸a de

Estimativas extr´ınsecas de autovalores de operadores el´ıpticos para hipersuperf´ıcies / Filipe Mendonc¸a de Lima - Fortaleza:2010.

40f.

Orientador: Prof. Dr. Jorge Herbert Soares Lira ´

Area de concentração: Matemática

Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal do Ceará, Departamento de Matemática,2010.

1-Geometria diferencial

(4)

(5)

AGRADECIMENTOS

Gostaria aqui de agradecer a todas as pessoas que acreditaram sempre em mim.

Ao meu orientador Prof. Dr. Jorge Herbert Soares de Lira, pela paciˆencia e ajuda. Sem ele isso n˜ao teria sido poss´ıvel.

Aos professores da UFC: Aldir Brasil, Antônio Caminha, Cleon Barroso, Fernanda Esther, José Robério, Levi Lima, Lucas Barbosa, Luquésio Jorge, Silvano Menezes. Por terem me ensinado coisas que vão além da compreensão.

`

As minha professoras da Graduação, lá na UFRPE: Maité Kulesza, Márcia Pragana, Maria Eulália. Por terem me dado o maior apoio poss´ıvel para que eu entrasse na pós-graduação.

`

A Secretária da Pós-Graduação Andréa Costa Dantas, o nosso oráculo com relação a qualquer coisa do curso.

Aos meus pais, Luiz Carlos e Maria José, minha irmã, Mirna Juliana, e minha avó Creuza, pelo apoio incondicional.

`

A minha tia e madrinha Queu, que ao estar lendo isso estar´a chorarando, por ter acreditado sempre.

`

A Renata, Tiago, Rog´erio e Paulo, minha outra fam´ılia em Recife. `

As filhas de Seu Dudu (Sr. José Araújoin memorian), Aldecira, Aurecir, Aurenice, Auriceia, Aurineia e Auristeia, por incr´ıveis verões passados na infância, e por ter despertado meu prazer pela docência.

Aos meus tios e tias, primos e primas Brasil afora. Por participarem de tudo sem mesmo estar juntos.

Aos meus amigos de jornada, José Deibsom, Leon Denis e Tiago Veras. Foi dif´ıcil, mas no fim, conseguimos. Sem eles eu não teria tido forças para continuar.

Ao meu cunhado Kléber Magrão, por estar sempre dando uma força ao menor sinal de hesitação minha.

Ao meu ex-técnico de Atletismo, Prof. Gilberto Freire, pelas inúmeras lições de sabedoria. `

A Giselly, a quem prometi que estaria no meu discurso de vit´oria. `

A Michelly, Oldineia e Renata pelas calorosas visitas a Fortaleza.

Aos colegas que conheci aqui na Universidade, e que sempre nos ajudaram e estavam pre-sentes em todos os momentos: Adam Silva, Alexsandro Belém, Antonio Edinardo, Antônio Wil-son, Carlos Braúna, C´ıcero Aquino, C´ıcero Fágner, Damião Júnio, Davi Carneiro, Ernani Júnior, Flávio França, Francisco Calvi, Francisco Chaves, Francisco de Assis, Gleydson Chaves, João Francisco, João Victor, Jonatan Floriano, José Nazareno, Kelton Silva, Marco Antonio, Maria de Fátima, Michel Rebouças, Priscila Alcântara, Rondinelle Marcolino, Sérgio Faustino, Thadeu Ribeiro, Tiago Cruz, Tiago Alencar, Tiarlos Cruz, Upá Gomes. Obrigado por tudo.

Aos colegas da Parquelândia: Ariel, Betão, Bill, CarlosTchanAugusto, Dona Maria (in memo-riam), Marcelo Baiano, Maria, Luana, Pedrinho, V´ıtor. Aquele abraço. Saudades. Nos veremos ainda.

(6)

Aos meus amigos de infância: Adriana Sales, C´ınthia Santiago, Cláudio Silva, David Ver´ıssimo, Dayse Monteiro, Edith Mendes, Edson Teixeira, Elaynne Alves, Ewerthon José, Heyder Antunes, Izaak Higino, Jadsom Gonçalves, Jefferson Gonçalves, Jorge Gustavo, José Adeir, La´ıs Monteiro, Leandro Nascimento, Mário Bandeira, Priscila Castanha, Rafaela Andrade, Renata Mendes, Ri-cardo Luiz, Thiago Oliveira, Vanessa Monteiro. Que continuemos assim, juntos, por muito mais anos.

Aos amigosManobreiros: Ang´elica Ribeiro, Artur Souza, Jorge Vieira, Tatiehlly Sant’Anna, Thiego Sant’Anna. Por mais longe que estejamos uns dos outros, asmanobragenspermanecem.

Aos amigos do CCAA: Giselle Oliveira, Ivana Oliveira, Júlio César, Márcia Júlia, Nathália Ingrid. Incr´ıveis dois anos, e amizades para a vida toda.

Aos colegas que (quase) nunca vejo, mas sempre estão por perto para me dar uma força: Anselmo Guerra, Charles Barbosa, Demiam Fonseca, Ferdinando Woicickoski, Leandro Clemente, Márcio Oliveira, Melissa Ravanelli, Suzanne Heist, Tha´ıze Cordeiro, Tiago Tavolari, Vanessa Ar-coverde, Wagner Medeiros, Yuri Petnys.

Aos meus pequeninos Bianca e Gabriel.O futuro do nosso mundo jaz em suas m˜aos. Aos que eu esqueci, mil desculpas. Foram muitos nomes, eventualmente esqueci de algum.

`

A Pós-Graduação de Matemática da UFC, pela acolhida. `

A CAPES pelo apoio financeiro.

(7)

Arise, arise, Riders of Th´eoden! Fell deeds awake, fire and slaughter! Spear shall be shaken, shield be splintered, A sword-day, a red day, ere the sun rises!

Ride now, ride now! Ride to ruin, and the world’s ending!

Th´eoden King -The Ride of the Rohirrim

(8)

RESUMO

O objetivo desse trabalho ´e mostrar estimativas superiores para o menor autovalor n˜ao-nulo

λ1 do operador de Laplace-Beltrami∆. Os resultados que se seguem foram encontrados por R.

Reilly [1] e a dupla A. El Soufi e S. Ilias [2]. A estimativa de Reilly ´e feita para variedades imersas no espac¸o euclidianoRn_{, e a de Soufi-Ilias para variedades conformemente imersas na esfera}Sn_.

A partir da´ı concluiremos o resultado, também de Soufi-Ilias [2], para subvariedades do espaço hiperbólicoHn_.

(9)

ABSTRACT

The aim of this works is to show superior estimatives to the least non-zero eingenvalue λ1

of the Laplace-Beltrami operator∆. The forthcoming results were discovered by Reilly [1] and the duo A. El Soufi and S. Ilias [2]. Reilly’s Estimative was calculated for immersed manifolds in the Euclidian SpaceRn_{, and Soufi-Ilias for conformally immersed manifolds in the sphere}Sn_.

Then, we conclude the result, again by Soufi-Ilias [2], for submanifolds of the hyperbolic spaceHn_.

(10)

Sum´ario

Introduc¸˜ao 11

1 Preliminares 13

1.1 Transformações Conformes e Curvatura . . . 13 1.2 Imersões Isométricas . . . 19 1.3 Lema de Hersch . . . 21

(11)

Introduc¸˜ao

Seja(M, g)uma subvariedadeMmunida de uma métrica riemannianag, orientável, compacta, sem fronteira em uma variedade riemanniana(N, h)orientável e com métricah. Dada uma imersão

φ:M →N, consideramos emMa m´etrica induzida porφ, isto ´e, o tensorg=φ∗_h_{. Sendo assim,}

dizemos queM est´a imersa isometricamente emN e denotamos porBφeHφ, respectivamente, a

segunda forma fundamental e a curvatura média da imersão isométricaφ: (M, g)→(N, h). Seja f : M → R _{uma função suave. O}_{operador de Laplace-Beltrami} _{ou simplesmente}

Laplacianodef é a função∆f :Mm _→_R_{dada por} ∆f = div(∇f)

Um número realλé autovalor de∆quando existe uma função não-nulaϕ∈C2₍_M₎_{tal que} ∆ϕ+λϕ= 0.

Neste caso,ϕé uma autofunção associada a λ. Denotamos porλ1(∆)o primeiro autovalor

n˜ao-nulode∆emM.

O foco desse trabalho ´e provar dois teoremas importantes envolvendo estimativas para o auto-valorλ1(∆), uma devida a R. Reilly [1] e outra obtida por A. El Soufi e S. Ilias [2]. O primeiro

resultado, provado por Reilly em [1] ´e o seguinte:

Teorema 1 (Reilly, [1])O primeiro autovalor n˜ao-nuloλ1(∆)do operador de Laplace-Beltrami ∆em(M, g) ´e estimado por

λ1(∆)≤

m

vol(M)

Z

M

|Hφ|2dM. (1)

Al´em disso, ocorre igualdade se e somente seφ(M) ´e uma subvariedade m´ınima de alguma esfera emRn

Utilizando a imers˜ao canˆonica de Sn _em Rn+1_{, pode se obter uma estimativa para} _λ₁_(∆)

no caso de subvariedades da esferaSn_{. Para o caso de subvariedades do espac¸o hiperb´olico}_Hn

há a complicação adicional de que não existe uma imersão doHn _em Rn+1_{. Em [3], Heintze}

obteve resultados parciais e conjecturou desigualdade similar a (1) para subvariedades deHn_{. Para}

alcanc¸ar o resultado, A. El Soufi e S. Ilias utilizaram a conformidade das m´etricas doHn_{e do}_Sn_,

(12)

Teorema 2 (El Soufi e Ilias, [2])Seja(N, h)uma variedade riemanniana de dimens˜aona qual pode ser conformemente imersa na esfera euclidianaSn_{. Ent˜ao, dadas uma variedade riemanniana}

compacta(M, g)de dimensãom≥2e uma imersão isométricaφ: (M, g)→(N, h), temos

λ1(∆)≤

m

vol(M)

Z

M

(|Hφ|2+RNφ)dM,

onde

RN_φ = 1

m(m−1)g

il_gjk_h₍_RN₍_φ

∗ei, φ∗ek)φ∗ej, φ∗el).

Al´em disso, ocorre igualdade se e somente se|Hφ|2+RN_φ ´e constante e igual aλ1(∆)/m.

Embora não mostramos aqui, A. El Soufi e S. Ilias aplicam esse resultado para estudar imersões estáveis de curvatura média constante. Em particular, reobtém os teoremas de Barbosa e do Carmo (espaço ambiente Rn+1 _{) e Barbosa, do Carmo, Eschenburg (espaço ambiente} Sn+1 _e Hn+1_),

respectivamente em [4] e [5].

Observamos que o método pode ser também estendido ao estudo do autovalor do operador obtido pela linearização das curvaturas média de maior ordem, bem como a operadores de Dirac em subvariedades de formas espaciais.

(13)

Cap´ıtulo 1

Preliminares

1.1 Transformac¸˜oes Conformes e Curvatura

Daqui em diante,Nn_{denota uma variedade diferenciável de dimensão}_n_{. Duas métricas}

rie-mannianas h, h′ _{pertencem a uma mesma estrutura conforme em}_M _{quando existe uma func¸˜ao}

diferenci´avel positivaϕ:N →R₊_{tal que}

h′ =ϕ2h. (1.1)

Neste caso, dado um referencial localh−ortonormal{Ea}na=1, o referencial{Ea′}na=1´eh′−ortonormal

se definirmos

E_a′ = 1

ϕEa, 1≤a≤n. (1.2)

As 1-formas ωa _e _ω′_a

, 1 ≤ a ≤ n, respectivamente duais aos campos nos referenciais g e g′

-ortonormais s˜ao relacionadas segundo a express˜ao

ω′a=ϕ ωa. (1.3)

Calculando derivadas exteriores em ambos os lados de (1.3), obtemos

dω′a = d(ϕ ωa) =dϕ∧ωa+ϕ dωa

= −ωa_∧_dϕ₋_{ϕ ω}a b ∧ωb = −ωa∧ϕbωb−ωba∧ω ′_b

= −ϕb ϕω

a_∧_ω′_b

−ωa b ∧ω

′_b

.

Portanto, uma vez que as formas de conexão devem satisfazer as equações estruturais

dω′a+ω′_ba∧ω′b= 0,

(14)

ω_b′a=−ω′_ab,

conclu´ımos que

ω_b′a=ω_ba+ϕb

ϕω

a₋ϕa

ϕωb.

Sendo assim, denotando por∇N _e_∇N′

as conexões riemannianas associadas respectivamente às métricasheh′, temos

∇′NE′_b = ω′_baE_a′

= (ωa_b +ϕb

ϕω

a₋ϕa

ϕωb)E

′

a.

Todavia,

∇′NE′_b=∇′N1

ϕEb=− dϕ ϕ2Eb+

1

ϕ∇

′_N

Eb,

o que permite concluir que

∇′NEb =

dϕ ϕ Eb+ω

a bEa+ (

ϕb

ϕω

a₋ϕa

ϕ ωb)Ea

= ∇NEb+

dϕ ϕ Eb+ (

ϕb

ϕω

a₋ϕa

ϕωb)Ea. (1.4)

Deste modo, dados campos vetoriaisV, W ∈Γ(T N)de modo queV ´e expresso localmente como

V =Vb_E

b, temos

∇′N

WEb =∇NWEb+

dϕ(W)

ϕ Eb+ ( ϕb

ϕω

a₍_W₎₋ϕa

ϕωb(W))Ea

e, portanto,

∇N_W′V = W(Vb)Eb+Vb∇N ′ WEb = W(Vb)Eb+Vb∇NWEb+

dϕ(W)

ϕ V

b_E b+Vb

ϕb

ϕω

a₍_W₎_E a−

ϕa

ϕV

b_ω

b(W)Ea

= ∇N_WV +h(∇ N_ϕ

ϕ , W)V +h( ∇N_ϕ

ϕ , V)W −h(V, W) ∇N_ϕ

ϕ .

Deduzimos, desta forma, a seguinte regra de transformação da conexão riemanniana sob uma mudança conforme da métrica ambiente.

Proposição 1 Dadas duas métricas riemannnianas h e h′ _{em uma variedade diferenciável} _N_,

conformemente relacionadas por

h′ =ϕ2h,

(15)

ondeϕ:N → R_{é uma função diferenciável positiva, as conexões riemannianas}_∇N _e_∇′N _nas

variedades riemannianas(N, h)e(N, h′),respectivamente, s˜ao relacionadas segundo a express˜ao

∇N_W′V =∇N_WV +h(∇ N_ϕ

ϕ , W)V +h( ∇N_ϕ

ϕ , V)W −h(V, W) ∇N_ϕ

ϕ , (1.5)

ondeV, W ∈Γ(T N).

Passamos, agora, à determinação de uma regra de transformação deste tipo para o tensor de curvatura de Riemann. Para tanto, calculamos, inicialmente,

dω′a

b = dωba+d

ϕ_b

ϕ

∧ωa₋_dϕa

ϕ

∧ωb−

ϕb

ϕω

a

c ∧ωc+

ϕa

ϕωbc∧ω

c

= dω_ba+ϕb,c

ϕ − ϕbϕc

ϕ2

ωc∧ωa−ϕ

a c

ϕ − ϕa_ϕ

c

ϕ2

ωc∧ωb

−ϕb ϕω

a

c ∧ωc+

ϕa

ϕ ωbc∧ω

c_.

Por outro lado,

ω_c′a∧ω′_bc = (ωa_c +ϕc

ϕω

a₋ϕa

ϕωc)∧(ω

c b+

ϕb

ϕω

c₋ϕc

ϕωb)

= ω_ca∧ωc_b+ ϕb

ϕω

a

c ∧ωc−

ϕc

ϕω

a c ∧ωb

−ϕc ϕω

c

b∧ωa+

ϕbϕc

ϕ2 ω

a_∧_ωc₋ ϕcϕc

ϕ2 ω a_∧_ω

b

+ϕ a

ϕ ω

c

b∧ωc−

ϕa_ϕ b

ϕ2 ωc∧ω

c₊ϕaϕc

ϕ2 ωc∧ωb.

Somando estas express˜oes e descartando alguns termos, obtemos

dω_b′a+ω′_ca∧ω′_bc=dω_ba+ωa_c ∧ω_bc+ϕb,c

ϕ ω

c₋₂ϕbϕc

ϕ2 ω c₋ ϕc

ϕω

c b

∧ωa

−ϕ

a c

ϕω

c₋₂ϕaϕc

ϕ2 ω c₊ϕc

ϕω

a c

∧ωb−

ϕcϕc

ϕ2 ω a_∧_ω

b.

Devemos ter em conta que a derivada covariante de dϕ é dada, por definição, pelos seguintes cálculos:

(∇N_Ecdϕ)Eb = Ec(dϕ(Eb))−dϕ(∇EcEb)

= Ec(ϕb)−dϕ(ω_ba(Ec)Ea) = ϕb,c−ωab(Ec)ϕa.

Portanto, as componentesϕb;c de∇dϕs˜ao dadas por

ϕb;c = (∇NEcdϕ)Eb=ϕb,c−ω

a

b(Ec)ϕa, (1.6)

(16)

de modo que

(∇Ndϕ)Eb =ϕb;cωc =ϕb,cωc−ϕaωab (1.7)

Analogamente, as entradas do Hessiano deϕ, ou seja, da derivada covariante do gradiente∇N_ϕ₌

ϕa_E

adeϕs˜ao expressas por

ϕa_;_c =ϕa_,cωc+ϕcω_ca. (1.8) Assim, conclu´ımos que

dω_b′a+ω_c′a∧ω_b′c =dω_ba+ω_ca∧ωc_b+ϕb;c

ϕ ω

c₋₂ϕbϕc

ϕ2 ω

c_∧_ωa

−ϕ

a ;c

ϕ ω

c₋₂ϕaϕc

ϕ2 ω c_∧_ω

b−

ϕcϕc

ϕ2 ω a_∧_ω

b.

Logo, as formas de curvatura

Ωa_b =dω_ba+ω_ca∧ωc_b (1.9)

e

Ω′_ba=dω′_ba+ω_c′a∧ω_b′c (1.10) associadas, respectivamente, às métricasheh′_em_N _{são relacionadas por}

Ω′_ba= Ωa_b +ϕ a ;c

ϕ ωb− ϕb;c

ϕ ω

a_∧_ωc_{+ 2}ϕb

ϕω

a₋ϕa

ϕωb

∧dϕ ϕ −

|∇N_ϕ|2

ϕ2 ω a_∧_ω

b.

Denotamos porRN _e_R′N _{os tensores de curvatura de Riemann em}_N _{relativamente `as m´etricas}_h

eh′_{, respectivamente. Por definic¸˜ao das formas de curvatura, temos}

Ωa_b =ωa(RN(·,·)Eb)

e

Ω′a

b =ω′a(R′N(·,·)Eb′).

Os tensores de RicciRiceRic′de(N, h)e(N, h′₎_{, respectivamente, s˜ao definidos por}

Ric(·) = 1

n

X

b=1

RN(·, Eb)Eb = 1

n

X

a,b=1

Ωa_b(·, Eb)Ea

e

Ric′(·) = 1

n

X

b=1

R′N(·, E_b′)E_b′ = 1

n

X

a,b=1

Ω′_ba(·, E_b′)E′_a.

As curvaturas escalaresR eR′ _de₍_{N, h}₎ _e₍_{N, h}′₎_{s˜ao respectivamente definidas segundo as}

ex-press˜oes

R= 1

n−1 n

X

a=1

ωa(Ric(Ea)) e R′ = 1

n−1 n

X

a=1

ω′a(Ric′(E_a′)).

(17)

Em suma, definimos

R= 1

n(n−1)

X

a6=b

Ωa_b(Ea, Eb) e R′ = 1

n(n−1)

X

a6=b

Ω′_ba(E_a′, E_b′).

Utilizando a relac¸˜ao deduzida acima entre as formas de curvatura em(N, h)e(N, h′), obtemos,

Ω′_ba(Ek, El) = Ωab(Ek, El) +

ϕa ;c

ϕ δbkδ

c l −

ϕb;c

ϕ δ

a kδcl −

ϕa ;c

ϕ δblδ

c k+

ϕb;c

ϕ δ

a lδkc

+2ϕbϕl

ϕ2 δ a k−2

ϕa_ϕ l

ϕ2 δbk−2

ϕbϕk

ϕ2 δ a l + 2

ϕa_ϕ k

ϕ2 δbl

−|∇ϕ|

2

ϕ2 (δ a

kδbl−δlaδbk).

Por outro lado, dados campos vetoriaisU =Uk_E

k, V =VlEleW =WbEb, temos

R′N(U, V)W = WbR′N(U, V)Eb =ϕWbR′N(U, V)E′b=ϕWbΩ′ba(U, V)Ea′ = WbΩ′_ba(U, V)Ea=UkVlWbΩ′ba(Ek, El)Ea.

A partir desta express˜ao, calculamos

R′N(U, V)W = UkVlWbΩ_ba(Ek, El)Ea+UkVlWb

ϕa ;c

ϕ δbkδ

c

lEa−UkVlWb

ϕb;c

ϕ δ

a kδclEa

−Uk_Vl_Wbϕ a ;c

ϕ δblδ

c

kEa+UkVlWb

ϕb;c

ϕ δ

a lδkcEa

+2UkVlWbϕbϕl ϕ2 δ

a

kEa−2UkVlWb

ϕa_ϕ l

ϕ2 δbkEa

−2UkVlWbϕbϕk ϕ2 δ

a

lEa+ 2UkVlWb

ϕa_ϕ k

ϕ2 δblEa

−|∇

N_ϕ|2

ϕ2 U

k_Vl_Wb₍_δa

kδbl−δlaδbk)Ea.

Portanto,

R′N(U, V)W = RN(U, V)W +hU, Wi∇

N V∇ϕ

ϕ − h∇N

V∇ϕ, Wi

ϕ U

−hV, Wi∇

N U∇ϕ

ϕ + h∇N

U∇ϕ, Wi

ϕ V

+2h∇

N_{ϕ, V}_ih∇N_{ϕ, W}_i

ϕ2 U−2hU, Wi

h∇N_{ϕ, V}_i

ϕ

∇N_ϕ

ϕ

−2h∇

N_{ϕ, U}_ih∇N_{ϕ, W}_i

ϕ2 V + 2hV, Wi

h∇N_{ϕ, U}_i

ϕ

∇N_ϕ

ϕ

−|∇

N_ϕ|2

(18)

Em particular, segue que

n

X

a=1

R′N(Ea, V)Ea = n

X

a=1

RN(Ea, V)Ea+n

∇N V∇ϕ ϕ − ∇N V ∇ϕ ϕ −∇ N V∇ϕ ϕ + n X a=1

h∇Ea∇

N_{ϕ, E} ai

ϕ V

+2h∇ N_{ϕ, V}_i

ϕ

∇N_ϕ

ϕ −2n

h∇N_{ϕ, V}_i

ϕ

∇N_ϕ

ϕ

−2|∇ N_ϕ|2

ϕ2 V + 2

h∇N_{ϕ, V}_i

ϕ

∇N_ϕ

ϕ

+(n−1)|∇ N_ϕ|2

ϕ2 V.

Simplificando termos e denotando por∆o operador de Laplace-Beltrami emM, obtemos

−nϕ2Ric′(V) = −nRic(V) + (n−2)∇ N V∇ϕ

ϕ +

∆ϕ

ϕ V −2(n−2)

h∇N_{ϕ, V}_i

ϕ

∇N_ϕ

ϕ

+(n−3)|∇ N_ϕ|2

ϕ2 V.

Portanto, usando o fato de que

trh∇

N_ϕ,_·i

ϕ

∇N_ϕ

ϕ =

n

X

a=1

h∇N_{ϕ, E} ai

ϕ h ∇N_ϕ

ϕ , Eai=

|∇N_ϕ|2

ϕ2 ,

conclu´ımos que

nϕ2trRic′(·) = ntrRic(·)−(n−2)∆ϕ

ϕ −n

∆ϕ

ϕ + 2(n−2)

|∇N_ϕ|2

ϕ2 −n(n−3)

|∇N_ϕ|2

ϕ2 = ntrRic(·)−2(n−1)∆ϕ

ϕ −(n−1)(n−4)

|∇N_ϕ|2

ϕ2 ,

o que implica que

n(n−1)ϕ2R′ =n(n−1)R−2(n−1)∆ϕ

ϕ −(n−1)(n−4)

|∇N_ϕ|2

ϕ2 .

Logo, a relac¸˜ao entre as curvaturas escalaresR eR′ _{das variedades} ₍_{N, h}₎_e₍_{N, h}′₎_,

respectiva-mente, ´e dada por

ϕ2R′ =R− 2 n

∆ϕ ϕ −

n−4

n

|∇N_ϕ|2

ϕ2 . (1.11)

(19)

Escrevemos, alternativamente,

ϕ2R′ = R− 2 n

∆ lnϕ+|∇ N_ϕ|2

ϕ2

−n−4 n |∇

N_ln_ϕ|2

= R− 2

n∆ lnϕ− n−2

n |∇lnϕ|

2_.

Definindo

λ:= lnϕ2= 2 lnϕ,

de modo que

eλ=ϕ2,

obtemos o seguinte resultado:

Proposição 2 Dadas duas métricas riemannnianasheh′_{em uma variedade diferenciável}_N

sat-isfazendo

h′ =ϕ2h,

ondeϕ : N → R _{é uma função diferenciável positiva, as curvaturas escalares}_R _e _R′ _nas

var-iedades riemannianas(N, h)e(N, h′₎_,_{respectivamente, s˜ao relacionadas segundo a express˜ao}

eλ_R′ ₌_R₋ 1

n∆λ− n−2

4n |∇

N_λ|2_, _(1.12)

ondeλ:N →R_{´e definida por}_eλ₌_ϕ2_.

1.2 Imers˜oes Isom´etricas

Daqui em diante,Mdenota uma variedade diferenciável de dimensãom≥2e(N, h)uma var-iedade riemanniana de dimensãon≥m. Nesta notação,hé uma métrica riemanniana globalmente definida emN.

Dada uma imersãoφ:M →N, consideramos emMa métrica induzida porφ, isto é, o tensor

g=φ∗h. Sendo assim, denotamos porBφeHφ, respectivamente, a segunda forma fundamental e

a curvatura média da imersão isométricaφ: (M, g)→(N, h).

Mantendo a notac¸˜ao fixada anteriormente, consideramos um referencialh−ortonormal{Ea}na=1

e as correspondentes formas duais, de conexão e de curvatura. Desta vez, contudo, supomos que os camposE1, . . . , Emsão tangentes à subvariedade imersaφ(M)e, portanto, que os demais campos

Em+1, . . . , En s˜ao campos vetoriais normais localmente definidos ao longo deφ. Distinguimos

entre estes campos tangentes e normais, indexando os primeiros por i, j, , . . . e os ´ultimos por

α, β, . . .

A equação estrutural, ou equação de curvatura zero,

dω+ω∧ω= Ω,

(20)

implica em particular que

dω_ji+ωi_k∧ωk_j +ω_αi ∧ω_jα = Ωi_j.

Todavia,

Θi_j :=dωi_j+ω_ki ∧ω_jk

s˜ao as formas de curvatura da variedade riemanniana(M, g). Por outro lado, dado um vetor tan-genteυ∈T M,temos

ωα_i(v) =h(∇N_φ

∗vφ∗Ei, Eα) =h(Bφ(v, ei), Eα),

ondee1, . . . , em s˜ao os campos vetoriaisφ−relacionados emM aE1, . . . , Em, respectivamente.

Deste modo, deduzimos a f´ormula de Gauss

Ωi_j = Θi_j−B_ikαBα_jlωk∧ωl. (1.13) Assim,

Ωi_j(Ep, Eq) = Θij(Ep, Eq)−BαikBjlα(δpkδlq−δkqδpl)

donde deduzimos que, dados campos vetoriaisX, Y, Ztangentes aM, ´e v´alido que

(RN(φ∗X, φ∗Y)φ∗Z)i = (Rφ(X, Y)Z)i−h(Bφ(ei, X), Eα)h(Bφ(Z, Y), Eα) +h(Bφ(ei, Y), Eα)h(Bφ(Z, X), Eα),

ondeRφdenota o tensor de curvatura de Riemann em (M, g). Portanto, dado um quarto campo

vetorialW tangente aM, temos

h(RN₍_φ

∗X, φ∗Y)φ∗Z, φ∗W) =g(Rφ(X, Y)Z, W)

−h(Bφ(W, X), Eα)h(Bφ(Z, Y), Eα) +h(Bφ(W, Y), Eα)h(Bφ(Z, X), Eα).

Usando a simetria deBφ, conclu´ımos, por fim, que

h(RN(φ∗X, φ∗Y)φ∗Z, φ∗W) =g(Rφ(X, Y)Z, W)

−h(Bφ(X, W), Bφ(Y, Z)) +h(Bφ(Y, W), Bφ(X, Z)), (1.14)

expressão a que nos referimos comofórmula de Gauss. Contraindo ambos os lados desta fórmula, obtemos

X

i,j

h(RN₍_E

i, Ej)Ej, Ei) =

X

i,j

g(Rφ(ei, ej)ej, ei)

−X

i,j

h(Bφ(ei, ei), Bφ(ej, ej)) +

X

i,j

h(Bφ(ei, ej), Bφ(ei, ej)),

o que implica

m(m−1)RN_φ =m(m−1)Rφ−m2|Hφ|2+|Bφ|2, (1.15)

onde denotamos

RN_φ = 1

m(m−1)trφ

∗_Ric_.

A equação (1.15) será retomada posteriormente.

(21)

1.3 Lema de Hersch

Tratamos, nesta dissertação, de estimativas superiores para os autovalores do operador de Laplace-Beltrami∆definido em uma subvariedade (M, g) orientável, compacta, sem fronteira, isometricamente imersa em uma variedade riemanniana(N, h)orientável. Este operador caracter-iza pontos cr´ıticos do funcional

E_[_ϕ_{] =} Z

M

|∇ϕ|2dM, (1.16)

definido inicialmente para funçõesϕ∈C1₍_M₎_{e estendido, em seguida, para funções no espaço de}

SobolevH1(M). Este espac¸o ´e definido da seguinte forma: consideramos a norma|| · ||1 definida

sobre func¸˜oesϕ∈C1(M)por

||ϕ||2₁ = ||ϕ||2_L2₍_M₎+||∇ϕ||2_L2₍_M₎

=

Z

M

ϕ2(x)dM +

Z

M

|∇ϕ(x)|2dM.

Assim,H1(M)´e definido como o completamento emL2(M)do espac¸o

{ϕ∈C∞(M) :||ϕ||1 <+∞}

com respeito `a m´etrica definida por|| · ||1. Lembramos queM representa, ao longo deste texto,

uma variedade compacta sem fronteira, cuja medida de Lebesgue prov´em de uma forma de volume riemannianadM.

Alternativamente, H1₍_M₎ _{é o espaço das funções em} _L2₍_M₎ _{que possuem derivada fraca}

tamb´em emL2₍_M₎_{. Um campo vetorial}_X_{com componentes em}_L2₍_M₎ _{´e uma derivada fraca de}

uma funçãoϕ ∈ L2(M)quando a integração por partes for formalmente válida, isto é, quando, para todo campo vetorialY com componentesC1₍_M₎_ocorrer

Z

M

hX, YidM =−

Z

M

ϕdivY dM.

Uma função ϕ em L2₍_M₎ _{admite no máximo uma derivada fraca, so sentido de campos}

men-suráveis. Em particular, a existência da derivada fraca de uma funçãoϕ, a qual denotamos igual-mente como∇ϕ, assegura, para toda funçãoξ ∈C∞₍_M₎_{, que}

Z

M

hX,∇ξidM =−

Z

M

ϕ∆ξdM.

Um número realλé autovalor de∆quando existe uma função não-nulaϕ∈C2₍_M₎_{tal que}

∆ϕ+λϕ= 0. (1.17)

Neste caso,ϕé uma autofunção associada aλ. Lembramos que0 é um autovalor de∆associado às funções constantes, uma vez queM é uma variedade compacta sem fronteira. No que segue,

(22)

denotamos porλ1(∆)o primeiro autovalorn˜ao-nulode∆emM. Observamos, que em termos de

derivadas fracas, a equação de autovalor é reescrita como

Z

M

h∇ϕ,∇ξidM =λ

Z

M

ϕξdM, ξ∈C∞(M).

O fato de que∆provém da variação da energia definida em (1.16) permite obter uma caracterização variacional dos autovalores deste operador.

Lema 1 Denotando porλ1(∆)o primeiro autovalor n˜ao-nulo de∆, temos

λ1(∆)≤E[ϕ]/||ϕ||2L2₍_M₎, (1.18)

para toda funçãoϕ∈H1(M)ortogonal emL2(M) às funções constantes, isto é, satisfazendo a condição de média zero

Z

M

ϕdM = 0. (1.19)

Ademais, ocorre igualdade em(1.18)se e somente seϕé uma autofunção associada ao autovalor

λ1(∆).

Demonstrac¸˜oes deste resultado podem ser encontradas em [8] e [7].

Um mecanismo bastante útil para a obtenção de funções com média zero adequadas ao cálculo do quociente de Rayleigh no lado direito de (1.18) é dado pelos seguintes Lemas.

Lema 2 (Hersch, [6] apud El Soufi e Ilias)SejaΠ :Nn_→_Sn_{uma imersão, isto é, uma aplicação}

diferenciável de posto máximo. Então, existe um difeomorfismo γ : Sn _→ Sn_{, conforme com}

respeito à métrica canônica deSn_{, tal que a composição}_γ_◦_{Π :} _N _→ Sn_{tem centro de massa}

nulo, isto ´e,

Z

N

γ◦Π = 0.

Demonstramos o seguinte fato mais geral.

Lema 3 SejaΠ :Nn _→ _Sn_{uma imersão, isto é, uma aplicação diferenciável de posto máximo.}

Considere uma função positiva ϕ ∈ C∞₍_M₎_{. Então, existe um difeomorfismo}_γ _: _Sn _→ _Sn_,

conforme com respeito à métrica canônica deSn_{, tal que a aplicação composta}_γ_◦_{Π :}_M _→ Sn

´eL2(M)−ortogonal aϕ, isto ´e, tal que

Z

M

(γ◦Π)ϕ= 0.

(23)

Prova. Dadop ∈ Sn_{, denotamos por}_π_p _{a projeção estereográfica} _π_p _: Sn_{− {−p} →} Rn _com

p´olo−p∈Sn_{. Fixado}_t_∈₍₀_,_1]_{, representamos, ainda, por}_H

t:Rn →Rna homotetia de raz˜aot

definida porHt(x) =tx, x∈Rn_{. Definimos, fixada esta notação, a composição}

Fp,t(q) =π−p1◦Ht◦πp(q), p∈Sn− {−p}.

Estendemos continuamente Fp,t a Sn definindo Fp,t(−p) = −p. Sendo assim, dada a imers˜ao Π :M →Sn_{, definimos}_ψ

p,t:M →Rporψp,t=Fp,t◦Π.

Seja ϕ ∈ C∞₍_M₎ _{como no enunciado. Seja} _Dn+1 _{o disco unit´ario em} _Rn+1 _{centrado na}

origem. Definimos uma aplicac¸˜aoΞ :Sn_×₍₀_,_1]_→Dn+1_por

Ξ(p, t) = R 1

Mϕ

Z

M

ψp,t(x)ϕ(x)dM.

Esta aplicação está bem definida, uma vez que

Z

M

ψ(p, t)(x)ϕ(x)dM

≤

Z

M

|ψ₍p,t)(x)|ϕ(x)dM =

Z

M

ϕ(x)dM.

EstendemosΞcontinuamente aSn_×_[0_,_1]_pondo Ξ(p,0) =p,

visto queFp,0(q) =p, para todoq ∈Sne, portanto,

Z

M

ψ₍_p,₀₎(x)ϕ(x)dM =

Z

M

ϕ(x)dMp.

Portanto, definimos uma aplicac¸˜ao cont´ınuaΞ :Sn_×_[0_,_1]_→Dn+1_{, tal que}

Ξ(p,1) = R 1

Mϕ

Z

M

Π(x)ϕ(x)dM =:Q∗

n˜ao depende dep∈Sn_{. Aqui, usamos o fato de que}_F₍_p,₁₎₍_q_{) =}_q_{, para todo}_q_∈Sn_.

Supomos, por contradição, queΞnão é sobrejetiva, ou seja, que existeQ∈Dn+1_não

perten-cente `a imagem deΞ, que vem a ser um subconjunto compacto deDn+1_{. Definimos, neste caso, a}

homotopiaH:Sn_×_[0_,_1]_→Sn_por

H(p, t) = Ξ(p, t)−Q

|Ξ(p, t)−Q|

satisfazendo

H(p,0) = p−Q

|p−Q|, p∈S

n

e

H(p,1) = Q

∗₋_Q

|Q∗₋_Q|.

(24)

Uma vez queSn_{não é contrátil, conclu´ımos, por contradição, que}_F _{é sobrejetiva. Em particular,}

existe(p, t)∈Sn_×_[0_,_1]_{tal que}_Ξ(_{p, t}_{) = 0}_{, ou seja, de modo que}

Z

M

ψ(p,t)(x)ϕ(x)dM = 0,

o que significa que a aplicaçãoψ₍_p,t₎ =F₍_p,t₎◦ΠéL2₍_M₎₋_{ortogonal à função}_ϕ_.

Esta versão ampliada do Lema de Hersch permite obter funções-teste adequadas à estimativa do segundo autovalor de∆. De fato, basta fixarmosϕcomo uma autofunção associada ao primeiro autovalor do operador∆emM. Sabemos que o primeiro autoespaço deste operador é unidimen-sional e gerado por uma função estritamente positiva.

(25)

Cap´ıtulo 2

Estimativa de Reilly para Autovalores

do Laplaciano

Relembramos a notação fixada previamente com respeito a imersões isométricas. Como antes,

M denota uma variedade diferenciável de dimensãom ≥2e(N, h) uma variedade riemanniana de dimensãon≥m. Nesta notação,hé uma métrica riemanniana globalmente definida emN.

Dada uma imersãoφ:M →N, consideramos emMa métrica induzida porφ, isto é, o tensor

g=φ∗_h_{. Sendo assim, denotamos por}_B

φeHφ, respectivamente, a segunda forma fundamental e

a curvatura média da imersão isométricaφ: (M, g)→(N, h).

O objetivo central desta seção é apresentar a demonstração do seguinte teorema, devido a R. Reilly [1], o qual estabelece uma estimativa superior para o primeiro autovalor não-nulo do laplaciano de variedades compactas imersas no espaço euclidiano. No enunciado a seguir, fixamos

N =Rn+1_{. Denotamos, ao longo desta dissertac¸˜ao, o produto escalar usual em}Rn_por_h·,_·i_.

Teorema 3 (Reilly, 1977)O primeiro autovalor n˜ao-nuloλ1(∆)do operador de Laplace-Beltrami ∆em(M, g) ´e estimado por

λ1(∆)≤ m vol(M)

Z

M

|Hφ|2dM. (2.1)

Al´em disso, ocorre igualdade em (2.1) se e somente se φ(M) ´e uma subvariedade m´ınima de alguma esfera emRn

Para tanto, necessitamos de uma s´erie de lemas, os quais s˜ao enunciados e demonstrados a seguir.

Lema 4 Dados dois vetoresAeBemRn_{, temos}

Z

Sn₋₁

hA, θihB, θidθ= |S n−1_|

n hA,Bi.

(26)

Prova.Definimos o campo vetorial

V(x) =hA, xiB, x∈Rn_,

de modo que

divV =hA,Bi.

Aplicando o Teorema da Divergˆencia, obtemos

1

n|S

n−1_|h_A_,_B_i₌Z

Dn

divV =

Z

Sn₋₁

hV(θ), θidθ=

Z

Sn₋₁

hA, θihB, θidθ,

como quer´ıamos demonstrar.

Enunciamos, agora, a fórmula integral de Minkowski, ingrediente fundamental na demonstração do Teorema 3.

Proposição 3 (Hsiung-Minkowski)Sejam M uma variedade riemanniana, orientada, compacta sem fronteira e uma imersão isométricaφ:Mm _→_Rn_{. Se}_H

φdenota o vetor curvatura m´edia de

φ, ent˜ao

Z

M

(1 +hHφ, φi)dM = 0. (2.2)

Prova.Fixado um referencial ortonormal local{ei}mi=1,calculamos 1

2eihφ, φi=h∇¯eiφ, φi=hei, φi.

Portanto

1 2∇|φ|

2 ₌_φ₋ n−m

X

k=1

hφ, NkiNk,

onde{Nk}n_k₌₁−m ´e um referencial ortonormal local para o fibrado normal deφ. Sendo assim,

obte-mos

1 2∆|φ|

2 ₌ m

X

i=1

h∇¯ei∇|φ|

2_{, e} ii=

m

X

i=1

h∇¯eiφ, eii −

n−m

X

k=1

hφ, Nki m

X

i=1

h∇¯eiNk, eii

= m−

n−m

X

k=1

hφ, Nki m

X

i=1

h∇¯eiNk, eii

= m+ n−m

X

k=1

trAkhφ, Nki.

Portanto,

1 2m∆|φ|

2_{= 1 +}_{hφ, H} φi.

(27)

Integrando esta equac¸˜ao e aplicando o Teorema de Stokes, obtemos

Z

M

(1 +hHφ, φi)dM = 0.

Isto encerra a demonstração da Proposição.

Um fato crucial, de interesse independente da prova do Teorema 3, ´e o seguinte:

Teorema 4 Seφ:Mm _→_Rn _{é uma imersão isométrica para a qual}R

MφdM = 0, ent˜ao

λ1(∆)

Z

M

|φ|2dM ≤mvol(M). (2.3)

Se ocorre igualdade em (2.3), entãoφé uma imersão m´ınima deM em uma esfera deRn_.

Prova.Dado um vetor unit´arioθ∈Sn_{, temos, por hip´otese,}

Z

M

hφ, θidM = 0.

Portanto, o Lema 1 implica que

λ1(∆)

Z

M

hφ, θi2dM ≤

Z

M

|∇hφ, θi|2dM. (2.4)

Entretanto, fixado um referencial ortonormal{ei}mi=1emM, temos

∇hφ, θi= m

X

i=1

eihφ, θiei= m

X

i=1

hei, θiei.

Deste modo, utilizando o Lema 4, calculamos

Z

Sn₋₁

|∇hφ, θi|2dθ= m

X

i=1

Z

Sn₋₁

hei, θi2dθ=

|Sn−1_|

n

m

X

i=1

hei, eii=

m n|S

n−1_|.

Analogamente, deduz-se que

Z

Sn₋₁

hφ, θi2dθ= |S n−1_|

n |φ|

2_.

Integrando os dois lados de (2.4) com respeito aθ∈Sn_{, obt´em-se}

λ1(∆)

Z

Sn

dθ

Z

M

hφ, θi2dM ≤

Z

Sn

dθ

Z

M

|∇hφ, θi|2dM.

(28)

Trocando a ordem de integrac¸˜ao e utilizando as igualdades obtidas anteriormente, deduzimos que

λ1(∆) 1

n|S

n−1_|Z M

|φ|2dM ≤ m n|S

n−1_|Z M

dM,

donde conclu´ımos que

λ1(∆)

Z

M

|φ|2dM ≤mvol(M).

A igualdade nesta expressão ocorre se e somente sehφ, θié autofunção de∆associada ao primeiro autovalor, para qualquerθ∈Sn−1_{, ou seja, se e somente se}

∆hφ, θi=−λ1(∆)hφ, θi, θ∈Sn−1. (2.5)

O Teorema de Takahashi assegura, neste caso, queφ(M)´e uma subvariedade m´ınima deSn−1_{. De}

fato, fixado um referencial ortonormal{Nk}n_k₌₁−mno fibrado normal deφ, temos

∇hφ, θi=θ−

n−m

X

k=1

hθ, NkiNk

e, com isto, calculamos

∆hφ, θi= m

X

i=1

h∇ei∇hφ, θi, eii=−

n−m

X

k=1

hθ, Nki m

X

i=1

h∇¯eiNk, eii=hHφ, θi.

Substituindo esta equac¸˜ao em (2.5), obtemos

λ1(∆)hφ, θi=hHφ, θi, θ∈Sn−1.

Portanto,

λ1(∆)φ=Hφ. (2.6)

Uma vez queλ1(∆)6= 0, conclu´ımos queHφ6= 0e, portanto, que o vetor posição é normal a esfera

ao longo deφ. Deste modo, podemos redefinir o referencial local de campos normais{Nk}n_k−₌₁m,

de modo queN1 =φ. No caso de codimens˜ao1, conclu´ımos queφ(M)´e uma subvariedade aberta

deSn_{. Caso a codimens˜ao da imers˜ao seja maior ou igual a}₂_{, temos}

Hφ = m

X

i=1

h∇¯eiei, φiφ+

m

X

i=1 n−m

X

k=2

h∇¯eiei, NkiNk

= m

X

i=1

hei, eiiφ+ m

X

i=1 n−m

X

k=2

h∇¯eiei, NkiNk

= m φ+ m

X

i=1 n−m

X

k=2

h∇¯eiei, NkiNk.

(29)

Denotando por HSn₋₁

φ a curvatura m´edia deφ : M → Sn−1 como subvariedade da esfera Sn,

conclu´ımos que

Hφ=mφ+H

Sn₋₁

φ . (2.7)

Comparando (2.6) e (2.7), deduzimos que

λ1(∆) =m e HS

n₋₁

φ = 0.

Isto encerra a demonstrac¸˜ao.

Por fim, reunindo os fatos demonstrados anteriormente, apresentamos a prova do Teorema 3 que est´a na p´agina 25.

Prova do Teorema 3.Podemos supor, sem perda de generalidade, que

Z

M

φ dM = 0,

bastando para tanto, se necess´ario, somar `aφ a constante−R

Mφ dM/vol(M). Com isto,

apli-camos Teorema 4, obtendo

λ1(∆)

Z

M

|Hφ|2dM

Z

M

|φ|2dM ≤mvol(M)

Z

M

|Hφ|2dM.

Por outro lado, a desigualdade de Cauchy-Schwartz implica que

λ1(∆)

Z

M

|Hφ||φ|dM

2

≤λ1(∆)

Z

M

|Hφ|2dM

Z

M

|φ|2dM.

Aplicando uma vez mais a desigualdade de Cauchy-Schwartz, temos

λ1(∆)

Z

M

hHφ, φidM

2

≤λ1(∆)

Z

M

|Hφ||φ|dM

2

.

Entretanto, a f´ormula de Hsiung-Minkowski implica que

vol2(M) =

Z M dM 2 = Z M

hHφ, φidM

2

.

Portanto, conclu´ımos que

vol2(M)λ1(∆)≤mvol(M)

Z

M

|Hφ|2dM,

donde conclu´ımos a validade de (2.1). A igualdade ocorre em (2.1) se e somente se as igualdades são atingidas nas duas aplicações da desigualdade de Cauchy-Schwarz. Para tanto, deve existir, em particular, uma constantectal que

Hφ=cφ

(30)

Observe quec6= 0, visto que, caso contr´ario, a F´ormula de Hsiung-Minkowski implicaria que

Z

dM = 0.

Portanto,Hφ6= 0e a vetor posiçãoφé normal ao longo da imersão. Dado um vetorvtangente à

subvariedade, temos

v|φ|2= 2hv(φ), φi= 2hv, φi= 0,

donde decorre queφ(M)est´a contida em uma esfera euclidiana. Al´em disso,

v(Hφ) =cv(φ) =cv,

o que assegura que a componente normal da derivadavHφ ´e nula, ou seja, queHφ ´e paralelo no

fibrado normal deφ.

Finalmente, decorre dos c´alculos anteriores que igualdade em (2.1) implica igualdade em (2.3). Neste caso, o Teorema 4 assegura queφ(M) ´e uma subvariedade m´ınima da esfera euclidiana em

que est´a contida.

Mencionamos que o Teorema 3 pode ser aplicado a imers˜oes isom´etricas φ : Mm _→ _Sn_,

bastanto considerar a composiçãoι◦φ:M → Rn+1_{, onde}_ι_:Sn _→Rn+1 _{é a imersão canônica}

da esferaSn_{no espac¸o euclidiano}_Rn+1_.

Corolário 1 Sejaφ : (M, g) → Sn _{uma imersão isométrica com vetor curvatura média}_H_φ_{. O}

primeiro autovalor n˜ao-nuloλ1(∆)do operador de Laplace-Beltrami∆em(M, g)´e estimado por

λ1(∆)≤

m

vol(M)

Z

M

(|Hφ|2+ 1)dM. (2.8)

Al´em disso, ocorre igualdade em(2.1)se e somente seφ(M)´e uma subvariedade m´ınima deSn

A prova deste resultado segue diretamente da seguinte observação: a curvatura médiaHι◦φda

imers˜aoι◦φ´e dada por

Hι◦φ= m

X

i=1

(DEiEi)

⊥_,

ondeD´e a conex˜ao euclidiana emRn+1_{, o referencial}_{E

i}mi=1 ´e ortonormal e tangente aφ(M)e

⊥denota a projec¸˜ao sobre o fibrado normal deι◦φ. Assim,

mHι◦φ = m

X

i=1

(DEiEi)

⊥₌

n−m

X

k=1 m

X

i=1

hDEiEi, NkiNk+

m

X

i=1

hDEiEi, φiφ

= mHφ− m

X

i=1

hEi, Eiiφ,

onde{Nk}nk=1−m ´e um referencial ortonormal local no fibrado normal deφ. Portanto,

Hι◦φ=Hφ−φ,

o que implica|Hι◦φ|2=|Hφ|2+ 1.

(31)

Cap´ıtulo 3

Estimativa de Soufi-Ilias para

Autovalores do Laplaciano

No que segue, lidamos com a parte sem trac¸oτφdeBφdefinida por

τφ=Bφ−Hφg (3.1)

Deste modo, dado um referencial locale1, . . . , ememM, em termos do qual as componentes de

Bφegs˜ao denotadas porbij egij, calculamos

τφ(ei, ej) =bij −Hgij

Tomando traços dos dois lados desta expressão com respeito à inversa(gij₎_{da matriz}₍_g

ij),

obte-mos

gijτφ(ei, ej) = gijbij−Hφgijgij = mHφ−mHφ= 0,

o que assegura que, de fato,τφtem trac¸o nulo.

Lembramos que a imersão isométrica é m´ınima quandoHφ= 0e totalmente umb´ılica quando

τφ= 0, o que signfica que os tensoresBφegs˜ao, em cada ponto, m´ultiplos um do outro. No caso

em queBφ= 0, dizemos queφ´e totalmente geod´esica.

Inicialmente, determinamos de que modo o tensorτφé alterado por transformações conformes

da m´etrica induzida. Mais precisamente, nosso intuito ´e demonstrar o seguinte

Lema 5 Sejam( ¯N ,¯h)uma variedade riemanniana eΠ : (N, h)→( ¯N ,¯h)uma imersão conforme e totalmente geodésica. Então:

τΠ◦φ= Π∗τφ. (3.2)

(32)

Demonstração. Lembramos que o fato de que a imersãoΠ : (N, h) → ( ¯N ,¯h) é conforme pode ser expressa da seguinte forma: existe uma funçãoλ:N →R₊_{tal que}_Π∗¯_h₌_eλ_h_{, isto é, dados}

campos vetoriaisV, W ∈Γ(T N)quaisquer, temos

¯

h(Π∗V,Π∗W)|Π(p)=eλ(p)h(V, W)|p, p∈N. (3.3)

Denotamosh′ ₌_eλ_h_{. Analisamos as propriedades geom´etricas da imers˜ao composta}_Π_◦φ_:_M _→ ¯

N. Fixando emM a métrica induzidag′ _por_Π_◦_φ_{, i.e, a métrica}_g′ ₌ _e(λ◦φ)_g_{, temos imersões}

isom´etricasφ: (M, g′)→(N, h′)eΠ◦φ: (M, g′)→( ¯N ,¯h). Denotamos por∇N′

e∇¯, respectivamente, as conex˜oes de Levi-Civit`a nas variedades rieman-nianas (N, h′₎ _e _{( ¯}_{N ,}_h_¯₎_{. Seja, ainda,} _B

Π a segunda forma fundamental da imers˜ao isom´etrica Π : (N, h′)→( ¯N ,¯h). Fixado um referencial locale1, . . . , em emM, temos

¯

∇Π∗φ∗eiΠ∗φ∗ej = Π∗∇

N′

φ∗eiφ∗ej+BΠ(φ∗ei, φ∗ej). (3.4)

Agora, denotamos por∇′ _{a conex˜ao de Levi-Civit`a na variedade riemanniana}₍_{M, g}′₎_{e por}_B

φ′ a

segunda forma fundamental da imers˜ao isom´etricaφ: (M, g′₎_→₍_{N, h}′₎_{. Portanto,}

∇N_φ∗e′iφ∗ej =φ∗∇

′

eiej +Bφ′(ei, ej). (3.5)

Reunindo estas express˜oes, obtemos

¯

∇Π∗φ∗eiΠ∗φ∗ej = Π∗(φ∗∇

′

eiej+Bφ′(ei, ej)) +BΠ(φ∗ei, φ∗ej)

= (Π◦φ)∗∇′eiej+ Π∗Bφ′(ei, ej) +φ

∗_B

Π(ei, ej), (3.6)

o que permite concluir que a segunda forma fundamental BΠ◦φ da imersão isométrica Π◦φ : (M, g′₎_→_{( ¯}_{N ,}_¯_h₎ _{é dada por}

BΠ◦φ= Π∗Bφ′ +φ∗B_Π. (3.7)

Em particular, as curvaturas m´ediasHΠ◦φ,Hφ′ eH_Π das segundas formas fundamentais B_Π_◦_φ,

Bφ′ eB_Π, respectivamente, s˜ao relacionadas por

HΠ◦φ= Π∗Hφ′ +H_Π|_Π_◦_φ. (3.8)

Conclu´ımos que as partes sem trac¸o τΠ◦φ e τφ′ das segundas formas fundamentais B_Π◦φ e Bφ′

satisfazem a relac¸˜ao

τΠ◦φ = BΠ◦φ−HΠ◦φg′

= Π∗Bφ′+φ∗B_Π−(Π_∗H_φ′ +H_Π)g′ = Π∗Bφ′−Π∗Hφ′g′+φ∗B_Π−H_Πg′.

Tendo em conta a hipótese de que Π : (N, h′₎ _→ _{( ¯}_{N ,}_¯_h₎ _{é uma imersão isométrica totalmente}

geod´esica e, portanto, queBΠ= 0eHΠ= 0, conclu´ımos que

τΠ◦φ= Π∗τφ′. (3.9)

(33)

Deduzimos, desta vez, relações entre as segundas formas fundamentais Bφ e Bφ′ das imersões

isom´etricasφ: (M, g)→(N, h)eφ: (M, g′)→(N, h′), respectivamente. Seja∇N_{a conex˜ao de}

Levi-Civita da variedade riemanniana(N, h). Dados campos vetoriaisV, W ∈Γ(T N), Proposic¸˜ao 1 assegura que

∇N_W′V =∇N_WV +1

2(h(W,∇

N_λ₎_V ₊_h₍_V,_∇N_λ₎_W ₋_h₍_{V, W}₎_∇N_λ₎_. _(3.10)

Por definic¸˜ao da segunda forma fundamentalBφ′, temos

∇N_φ′

∗eiφ∗ej =φ∗∇

′

eiej +Bφ′(ei, ej).

Por outro lado, utilizando (3.10), calculamos

∇N_φ′

∗eiφ∗ej =∇

N

φ∗eiφ∗ej +

1

2(h(φ∗ei,∇ N_λ₎_φ

∗ej+h(φ∗ej,∇Nλ)φ∗ei−gij∇Nλ) =φ∗∇eiej+Bφ(ei, ej) +

1

2(g(ei,∇(λ◦φ))φ∗ej+g(ej,∇(λ◦φ))φ∗ei−gij∇ N_λ₎_.

Separando a última expressão em suas componentes normais e tangenciais, as quais são preservadas pela transformação conforme, conclu´ımos que

Bφ′(e_i, e_j) =Bφ(e_i, e_j)− 1

2g(ei, ej)(∇

N_λ₎⊥_, _(3.11)

onde⊥indica a projeção perpendicular aφ(M)com respeito à métricahemN.

A partir de (3.11), conclu´ımos que as curvaturas médias Hφ eHφ′ das imersões isométricas

φ: (M, g)→(N, h)eφ: (M, g′)→(N, h′), respectivamente, s˜ao relacionadas por

mHφ′ = g′ijB_φ′(ei, ej) =e−λgijBφ(ei, ej)− 1 2e

−λ_gij_g

ij(∇Nλ)⊥ = me−λ_H

φ−

m

2e

−λ₍_∇N_λ₎⊥_,

ou seja, mediante a f´ormula

Hφ′ =e−λH_φ− 1 2e

−λ₍_∇N_λ₎⊥_. _(3.12)

A partir destas express˜oes, calculamos

τφ′ = B_φ′−H_φ′g′ = Bφ−

1 2g(∇

N_λ₎⊥₋₍_e−λ_H φ−

1 2e

−λ₍_∇N_λ₎⊥₎_eλ_g = Bφ−Hφg,

donde resulta que

τφ′ =τ_φ. (3.13)

(34)

Finalmente, reunindo as express˜oes (3.9) e (3.13), obtemos

τΠ◦φ= Π∗τφ, (3.14)

o que encerra a prova do Lema 5.

Utilizamos, agora, a fórmula de Gauss para obter expressões úteis das normas ao quadrado da segunda forma fundamental, de sua parte sem traço e da curvatura média de uma imersão isométrica. Dada a imersão isométricaφ: (M, g)→(N, h), definimos

|Bφ|2=gikgjlg(Bφ(ei, ej), Bφ(ek, el)) (3.15)

e, analogamente,

|Hφ|2=g(Hφ, Hφ). (3.16)

Calculamos, portanto

|τφ|2 = gikgjlg(τφ(ei, ej), τφ(ek, el)) = gik_gjl_g₍_B

φ(ei, ej), Bφ(ek, el))−gikgjlgijg(Hφ, Bφ(ek, el))

−gikgjlgklg(Bφ(ei, ej), Hφ) +gikgjlgijgklg(Hφ, Hφ) = |Bφ|2−2gklg(Hφ, Bφ(ek, el)) +mg(Hφ, Hφ)

= |Bφ|2−2m|Hφ|2+m|Hφ|2,

donde resulta que

|τφ|2 =|Bφ|2−m|Hφ|2. (3.17)

Denotando por R e RN _{os tensores de curvatura das variedades riemannianas} ₍_{M, g}₎ _e ₍_{N, h}₎_,

respectivamente. A f´ormula de Gauss (1.15) assegura que

m(m−1)Rφ−m(m−1)RNφ =m2|Hφ|2− |Bφ|2,

onde denotamos porRφa curvatura escalar de(M, g)e porRNφ o escalar definido por

RN_φ = 1

m(m−1)g

∗ei, φ∗ek)φ∗ej, φ∗el). (3.18)

Conclu´ımos que

|τφ|2 = |Bφ|2−m|Hφ|2 =−m(m−1)Rφ+m(m−1)RNφ +m2|Hφ|2−m|Hφ|2 = m(m−1)(|Hφ|2+RNφ −Rφ).

Calculamos, desta vez, as normas dos tensores correspondentes da imers˜ao isom´etrica Π◦ φ : (M, g′)→( ¯N ,¯h). Uma vez queτΠ◦φ= Π∗τφ, temos

|τΠ◦φ|2 = g′ikg′jlg′(τΠ◦φ(ei, ej), τΠ◦φ(ek, el)) = g′ik_g′jl_g′_(Π

∗τφ(ei, ej),Π∗τφ(ek, el)) = g′ikg′jlg′(τφ(ei, ej), τφ(ek, el)) = e−2λgikgjleλg(τφ(ei, ej), τφ(ek, el))

= e−λgikgjlg(τφ(ei, ej), τφ(ek, el)) =e−λ|τφ|2.

(35)

Em suma, verificamos que

|τΠ◦φ|2=e−λ|τφ|2, (3.19)

onde as normas dos lados esquerdo e direito são, respectivamente, relativas às métricasg′ egem

M. Deste modo, deduzimos que

|Hφ|2+RNφ −Rφ=eλ(|HΠ◦φ|2+RNΠ◦φ−RΠ◦φ), (3.20)

cabendo a mesma observação com respeito às normas e contrações envolvidas nos lados esquerdo e direito da expressão.

Por outro lado, a Proposição 2 assegura que, dada a mudança conforme de métricag′ ₌ _eλ_g

emM, as curvaturas escalaresRφeRΠ◦φdas variedades(M, g)e(M, g′), respectivamente, est˜ao

relacionadas por

RΠ◦φ=e−λ Rφ−

m−2

4m |∇(λ◦φ)|

2₋ 1

m∆(λ◦φ)

, (3.21)

onde os operadores∇e∆são relativos à métricagemM. Combinando estas expressões, obtemos

|Hφ|2+RφN−Rφ=eλ(|HΠ◦φ|2+RNΠ◦φ)−Rφ+

m−2

4m |∇(λ◦φ)|

2₊ 1

m∆(λ◦φ),

donde conclu´ımos a demonstrac¸˜ao do seguinte resultado

Lema 6 SejaΠ : (N, h) → ( ¯N ,¯h) uma imersão conforme e totalmente geodésica. Denotamos porλ:N → R_{a função tal que}_Π∗_h¯ ₌_eλ_h_{. Então, dada uma imersão isométrica}_φ_{: (}_{M, g}₎_→ (N, h), temos

|Hφ|2+RφN =eλ

◦φ₍_|H

Π◦φ|2+RNΠ◦φ) +

m−2

4m |∇(λ◦φ)|

2₊ 1

m∆(λ◦φ). (3.22)

Lembramos que, por definição, a densidade de energia de uma aplicação diferenciável arbitrária

ψ: (M, g)→( ¯N ,¯h)entre as variedades riemannianas(M, g)e( ¯N ,¯h)´e calculada como

e(ψ) = 1 2g

ij_¯_h₍_ψ

∗ei, ψ∗ej) = 1 2g

ij_ψk

∗eiψ∗lej¯hkl.

´

E conveniente denotarmos porI₍_N,_N¯₎_{o conjunto das imers˜oes conformes totalmente geod´esicas}

Π : (N, h)→( ¯N ,¯h).

Passamos, agora, à demonstração do seguinte resultado

Proposição 4 Fixada a notação acima, temos

Z

M

(|Hφ|2+RNφ)dM ≥ 2

m_Π_∈supI₍N,N¯)

Z

M

e(Π◦φ)RN_Π◦φdM (3.23)

ondeRN

Π◦φ´e o escalar definido por

RN_Π◦φ= 1

m(m−1)g

il_gjk_h₍_RN¯_((Π_◦_φ₎

∗ei,(Π◦φ)∗ek)(Π◦φ)∗ej,(Π◦φ)∗el). (3.24)

(36)

Prova. A demonstração é baseada na seguinte afirmação: a densidade de energia da aplicação

Π◦φ: (M, g)→( ¯N ,¯h) ´e dada por

e(Π◦φ) = m 2e

λ◦φ_. _(3.25)

De fato, calculamos

e(Π◦φ) = 1 2g

ij_¯_h_(Π

∗φ∗ei,Π∗φ∗ej) = 1 2g

ij_Π∗_¯_h₍_φ

∗ei, φ∗ej) = 1

2g ij_h′₍_φ

∗ei, φ∗ej) =

1 2g

ij_h′₍_φ

∗ei, φ∗ej)

= 1 2g

ij_φ∗_h′₍_e

i, ej) = 1 2g

ij_g′₍_φ

∗ei, φ∗ej) = 1

2e

λ◦φ_gij_g₍_e i, ej) =

1 2e

λ◦φ_gij_g ij

= m 2e

λ◦φ_.

Assim, integrando a express˜ao enunciada no Lema 6, temos

Z

M

|Hφ|2+RNφ = 2

m

Z

M

e(Π◦φ)(|HΠ◦φ|2+RNΠ◦φ) +

m−2 4m

Z

M

|∇(λ◦φ)|2+ 1

m

Z

M

∆(λ◦φ).

Todavia, o Teorema da Divergˆencia, quando aplicado considerando-se o fato de queM ´e compacta sem bordo, resulta em

Z

M

|Hφ|2+RNφ = 2

m

Z

M

e(Π◦φ)(|HΠ◦φ|2+RNΠ◦φ) +

m−2 4m

Z

M

|∇(λ◦φ)|2.

Descartando a segunda integral, termo n˜ao-negativo, do lado direito, obtemos por fim

Z

M

|Hφ|2+RNφ ≥ 2

m

Z

M

e(Π◦φ)(|HΠ◦φ|2+RΠN◦φ).

Posto que esta desigualdade é válida para todas as imersões conformes totalmente geodésicasΠ : (N, h)→( ¯N ,¯h), conclu´ımos que

Z

M

|Hφ|2+RφN ≥ 2

m_Π_∈supI(N,N¯)

Z

M

e(Π◦φ)(|HΠ◦φ|2+RNΠ◦φ), (3.26)

o que encerra a demonstrac¸˜ao.

Daqui em diante, fixamos o caso em que N¯ = Sn _{e a métrica riemanniana} ¯_h _{é a métrica}

canônica emSn_{induzida por seu mergulho padrão no espaço euclidiano}_Rn+1_{. Obtemos, deste}

modo, o principal resultado deste cap´ıtulo.

(37)

Teorema 5 (El Soufi e Ilias, [2])Seja(N, h)uma variedade riemanniana de dimens˜aona qual pode ser conformemente imersa na esfera euclidianaSn_{. Ent˜ao, dadas uma variedade riemanniana}

compacta(M, g)de dimensãom≥2e uma imersão isométricaφ: (M, g)→(N, h), temos

λ1(∆)≤

m

vol(M)

Z

M

(|Hφ|2+RNφ)dM, (3.27)

onde

RN φ =

1

m(m−1)g

∗ei, φ∗ek)φ∗ej, φ∗el). (3.28)

Al´em disso, ocorre igualdade em(3.27)se e somente se|Hφ|2+RNφ ´e constante e igual aλ1(∆)/m.

Prova.Fixamos uma imers˜ao conforme totalmente geod´esicaΠ : (N, h)→(Sn_,¯_h₎_{, onde}¯_h_denota

a métrica canônica emSn_{. Em termos da notação acima, temos}_Π _∈ I₍_N,Sn₎_{. Dada a aplicação}

diferenci´avelΠ◦φ : M → Sn_{, o Lema 2 assegura a existˆencia de um difeomorfismo conforme}

γ :Sn _→_Sn_{tal que a aplicação}_ψ _:=_γ _◦_Π_◦_φ_:_M _→_Sn_{tem centro de massa nulo, isto é, tal}

que

Z

M

ψ= 0.

Escrevendoψem termos de componentes euclidianas

ψ= (ψ1, . . . , ψn+1),

isto significa queR_Mψi = 0, para1≤i≤n+ 1.

Denotamos, por comodidade,Π′ ₌_γ_◦_Π_∈_I₍_N,_Sn₎_{. Temos, pela definic¸˜ao de energia}

Z

M

e(Π′◦φ) = 1 2

n+1

X

i=1

Z

M

|∇ψi|2.

Todavia visto que as funções componentesψitêm média zero, isto é, posto que

Z

M

ψi= 0,

a caracterizac¸˜ao variacional de autovalores apresentada no Lema 1 implica que

n+1

X

i=1

Z

M

|∇ψi|2 ≥λ1(∆) n+1

X

i=1

Z

M

ψ_i2.

Finalmente, visto que

n+1

X

i=1

Z

M

ψ2_i =

Z

M n+1

X

i=1

ψ2_i =

Z

M

dM =vol(M),

(38)

conclu´ımos que

Z

M

e(Π′◦φ)≥ λ(∆)

2 vol(M).

Por outro lado, em vista da Proposic¸˜ao 4, temos

Z

M

(|Hφ|2+Rφ)dM ≥ 2

m

Z

M

e(Π′◦φ)dM.

Portanto, resulta que

Z

M

(|Hφ|2+Rφ)dM ≥ 1

mλ1(∆)vol(M). (3.29)

Analisamos, agora, quando a igualdade ocorre em (3.27). Neste caso, dada uma aplicac¸˜aoΠ ∈

I₍_N,Sn₎_{e um difeomorfismo conforme}_γ _:_Sn_→ _Sn_{tal que}_ψ₌_γ_◦_Π_◦_φ_∈_I₍_N,_Sn₎_{, temos, a}

partir dos c´alculos acima, a seguinte cadeia de desigualdades

Z

M

(|Hφ|2+Rφ)dM ≥ 1 m n+1 X i=1 Z M

|∇ψi|2dM ≥ 1

mλ1(∆)

n+1

X

i=1

Z

M

ψ_i2dM

= λ1(∆)

m vol(M).

A igualdade em (3.27) implica, portanto,

n+1

X

i=1

Z

M

|∇ψi|2dM =λ1(∆) n+1

X

i=1

Z

M

ψ2_idM

o que significa que as funções componentesψi, i= 1, . . . , n+1, são funções próprias do laplaciano

de (M, g) visto que têm média zero e satisfazem a igualdade na caracterização variacional de

λ1(∆). Portanto,

e(ψ) = 1 2

n+1

X

i=1

|∇ψi|2= 1 2

n+1

X

i=1

(ψi∆ψi−∆ψ2i) = 1 2(

n+1

X

i=1

ψi∆ψi−∆ n+1

X

i=1

ψ_i2)

= 1 2λ1(∆)

n+1

X

i=1

ψ2_i = 1 2λ1(∆),

onde usamos o fato de queP

iψi2 = 1e a express˜ao

∆ψ2_i = 2ψi∆ψi+|∇ψi|2.

Sejaeλ◦φ_{o fator conforme associado `a imers˜ao conforme}_Π′_◦_φ_{: (}_{M, g}₎_→₍_Sn_,¯_h₎_{. Observamos,}

deste modo, que

eλ◦φ= 2

me(Π

′_◦_φ_{) =} 2

me(ψ) =

1

mλ1(∆).

(39)

Sendo assim, a express˜ao (3.22) no Lema 6 assegura que

|Hφ|2+RNφ = eλ◦φ(|HΠ′_◦_φ|2+R_ΠN′_◦_φ) +

m−2

4m |∇(λ◦φ)|

2₊ 1

m∆(λ◦φ)

= 1

mλ1(∆)(|HΠ′◦φ|

2₊_RN Π′_◦_φ) = 1

mλ1(∆)(|Hψ|

2_{+ 1)}_.

Integrando os dois lados extremos destas igualdades, obtemos

λ1(∆)

m vol(M) =

Z

M

(|Hφ|2+RNφ)dM = 1

mλ1(∆)

Z

M

(|Hψ|2+ 1)dM

≥ 1 mλ1(∆)

Z

M

|Hψ|2dM + 1

mλ1(∆)vol(M).

Conclu´ımos queHψ = 0e, portanto, que

|Hφ|2+RNφ = 1

mλ1(∆).

Isto encerra a demonstrac¸˜ao do Teorema 5

Visto que o espaço hiperbólico Hn _{é conforme a um hemisfério aberto da esfera} Sn_{, uma}

aplicação interessante do Teorema 5 é dada a seguir

Teorema 6 (Theoreme 1 em [2])Dada uma imersão isométricaφde uma variedade riemanniana compacta(M, g)no espaço hiperbólicon-dimensionalHn_{, temos}

λ1(∆)≤

m

vol(M)

Z

M

(|Hφ|2−1)dM. (3.30)

Além disso, ocorre igualdade em(3.30)se e somente seφ(M)está contida em uma esfera geodésica de raioarcsenhq m

λ1(∆) eφ´e uma imers˜ao m´ınima de(M, g)nesta esfera.

Outras aplicações dizem respeito ao primeiro autovalor não-nulo do operador de Jacobi para imersões de curvatura média constante.

(40)

Referˆencias Bibliogr´aficas

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