Centro Federal de Educa¸c˜ao Tecnol´ogica Celso Suckow da Fonseca – CEFET/RJ Disciplina: ´Algebra Linear II
Prof. Anna Regina Corbo
1. Base e Dimens˜ao de um Espa¸co Vetorial: Dizemos que um conjunto de vetores β = {v1, v2,· · ·, vn} ´e uma base de um espa¸co vetorial V quando β ´e um conjunto linearmente independente e gera V.
O n´umero de elementos de uma base β ´e denominado dimens˜ao do espa¸co vetorial V. Se a dimens˜ao de V ´e igual a n, dizemos que V ´e um espa¸co n-dimensional.
OBSERVAC¸ ˜AO: Note que o conceito de dimens˜ao (n´umero de vetores de comp˜oem a base) ´e diferente do n´umero de coordenadas destes vetores.
Ex: Os vetores {(−1,0,1),(2,3,0)} s˜ao LI, logo s˜ao base de algum espa¸co vetorial. No entanto, como s˜ao somente dois vetores na base, eles formam um subespa¸co de dimens˜ao 2 (um plano contido no R3) apesar de terem ambos 3 coordenadas.
2. Teorema da Dimens˜ao: SejaV um espa¸co vetorial n-dimensional. SeS1 eS2 s˜ao subespa¸cos deV ent˜ao:
dim(S1+S2) = dimS1+dimS2−dim(S1∩S2)
3. Coordenadas de um vetor em rela¸c˜ao `a uma base ordenada: SeV ´e um espa¸co vetorial n-dimensional, ent˜ao QUALQUER conjunto LI com n vetores ´e uma base de V. Portanto, existem infinitas bases para um mesmo espa¸co vetorial.
Ao se escolher uma base para o espa¸co vetorial V em quest˜ao estamos, na verdade, ado- tando um sistema referencial no qual pode-se expressar qualquer vetor deV.
Considere uma base β ={v1, v2,· · · , vn} de um espa¸co vetorial V. Um vetor qualquer v ∈ V pode ser expresso de maneira ´unica como combina¸c˜ao linear dos vetores de β, isto ´e,
v =k1·v1+k2·v2 +· · ·+kn·vn
onde k1, k2,· · · , kn s˜ao as coordenadas do vetor v em rela¸c˜ao `a base β.
OBSERVAC¸ ˜AO: Note que dado um vetor v ∈V qualquer, a sua posi¸c˜ao geom´etrica ´e fixa no espa¸co vetorial. O que muda quando mudamos a base ´e o referencial, isto ´e, o modo como se vˆe o vetor v e portanto, suas coordenadas.
4. EXERC´ICIO:
1. Considere os vetoresv1 = 1 + 2t2,v2 = 4 +t+ 5t2 ev3 = 3 +tcontidos no espa¸co vetorial
℘2(R) (espa¸co dos polinˆomios de coeficientes reais de grau menor ou igual a 2). Seja W o subespa¸co gerado pelos vetores v1, v2, v3, isto ´e, W = [v1, v2, v3]. Determine se estes vetores efetivamente formam uma base deW.
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