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aLISTA DE ´ ALGEBRA LINEAR II
Ortogonaliza¸c˜ ao de Gram-Schmidt Prof. Anna Regina Corbo
1. Ortogonalize a base {(1, 1, 2), (1, 2, 0), (0, −1, 1)} do R
3.
2. O conjunto α = {(1, 0, 2), (0, 1, 1)} ´ e uma base de um subespa¸co vetorial do R
3. Obtenha uma base ortogonal β a partir de α.
3. Encontre a proje¸c˜ ao ortogonal do vetor (1, 1, −1) no subespa¸co vetorial [β] do exerc´ıcio anterior.
4. Seja S = {(3y − z, y, z); y, z ∈ R } um subespa¸co vetorial de R
3. a) Indique S
⊥.
a) Indique S ∩ S
⊥. a) Indique S + S
⊥.
5. A partir da base {(1, 3), (2, 5)} indique duas bases ortonormais do R
2. 6. Ortogonalize pelo processo de Gram-Schmidt as seguintes bases do R
3:
a) {(1, 1, 1), (−1, 1, 0), (1, 2, 1)}
b) {(1, 0, 0), (3, 7, −2), (0, 4, 1)}
7. Seja o espa¸co vetorial R
3munido do produto interno usual e seja S o subespa¸co vetorial gerado pela base ortogonal β = {(0, 1, 0), (−4, 0, 3)}. Determine a proje¸c˜ ao do vetor (1, 1, 1) no subespa¸co S.
8. Seja o espa¸co vetorial R
3com produto interno < (x, y, z), (w, t, r) >= xw + 2yt+ 3zr. Utilize o processo de Gram-Schmidt para transformar a base {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} numa base ortogonal.
9. Seja o espa¸co vetorial R
3munido do produto interno usual e α = {(1, 2, −3), (2, −4, 2)}.
Determine:
a) o subespa¸co vetorial S gerado pelo conjunto α.
b) o subespa¸co vetorial S
⊥10. Considere o subespa¸co vetorial S = {(x, y, z) ∈ R
3|x − z = 0} com produto interno
< (x, y, z), (w, t, r) >= 2xw + 3yt + 4zr. Determine S
⊥, uma base e sua dimens˜ ao.
Gabarito:
1)
(1, 1, 2), (
12,
32, −1), (
214,
−221,
−121) 2 )
(1, 0, 2), (−
25, 1,
15) 3) proj(v) = −
13,
13, −
134) a) Sim b) {0
V} c)
R35)
n√1 10
,
√310
,
3√ 10 10
, −
√ 10 10
o
e
n√2 29
,
√529
,
−5√ 29 29
,
2√ 29 29
o
