EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Universidade Federal de Pelotas - UFPEL 11100050 - Equações Diferenciais

Profa. Rejane Pergher

CAPÍTULO 1: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 1.1 Conceitos Básicos

Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função incógnita e suas derivadas.

Exemplos:

a) dy

dx = fx ou y^′ = fx y :função incógnita, ondey = yx, ou seja, por exemplo,y^′ = x+3 b) d²y

dx² +2 dy dx

2 = 1 y = yx

c) d³y

dx³ +x+3d²y dx² + dy

dx +xy = 0 y = yx

d) d²y dx²

3

+y dy dx

7+y³ dy dx

2 +5x = 0 y = yx

e) ∂²y

∂t² = c∂²y

∂x² y = yx,t

f)md²xt

dt² = F t,xt, dxt

dt (Lei de Newton)

1.2 Classificação:

1. Tipo:

Equação Diferencial

↙ ↘

Eq.Diferencial Ordinária(EDO) Eq. Diferencial Parcial (EDP)

- EDO: uma equação diferencial ordinária é aquela cuja função incógnita depende de apenas uma variável independente.

Exemplos.:a),b),c),d)e f).

- EDP: uma equação diferencial parcial é aquela cuja função incógnita depende de duas ou mais variáveis independentes.

Exemplo:e).

2. Ordem: A ordem de uma equação diferencial é a ordem da mais alta derivada que nela aparece.

Exemplos.:a) é equação diferencial de primeira ordem.

b),d),e) ef) são equações diferenciais de segunda ordem.

c) é equação diferencial de terceira ordem.

Exemplos de Aplicação:

● Um modelo para o movimento de uma mola:

A equação diferencial ordinária que modela o movimento de um objeto de massa m preso a uma mola é:

m d²x

dt² = −kx ondeké uma constante positiva(chamada constante da mola)

● Equação diferencial ordinária que governa o decaimento de uma substância radioativa com o tempo R(t) (função incógnita):

dRt

dt = −kRt

onde k é uma constante conhecida.

3. Linearidade: Equação Diferencial

↙ ↘

Linear Não - linear

-Linear: uma equação diferencial ordinária (EDO) de ordem n é linear se puder ser escrita na forma:

a0xdⁿy

dxⁿ +a1xdⁿ⁻¹y

dxⁿ⁻¹ +. . .+anxy = gx

(Definição semelhante aplica-se a EDP).

-Não-linear: uma equação diferencial que não tenha a forma da equação acima é dita não-linear.

Exemplos.:a),c) ee) são lineares.

b) ed) são não-lineares (potências das derivadas).

Exemplo de Aplicação:

Pêndulo: A equação diferencial ordinária que modela o movimento oscilatório de um pêndulo simples é dada por:

d²θ dt² + g

l sinθ = 0

que é uma equação não-linear (termo sinθ ). Faltam técnicas gerais de solução. Em alguns casos, é possível fazer uma aproximação do problema para equações lineares (técnicas desenvolvidas).

Neste exemplo, se o ângulo θ for pequeno, entãosinθ ≅ θe a EDO não-linear é substituída por uma equação linear:

d²θ dt² + g

l θ = 0

Observação: Existem problemas que não é possível aproximar uma equação não-linear por uma equação linear.

1.3 Soluções:

Uma solução de uma equação diferencial na função incógnita y e na variável independente x, no intervalo I, é uma função que verifica a equação diferencial identicamente para todoxem I.

Exemplo 1:yx = C1sin 2x+C2cos 2xé solução dey^′′+4y = 0? y^′x=

y^′′x =

Substituindo na EDO, verifica-se queyxsatisfaz a equação diferencial para∀x.

Portanto,yxé solução no intervalo −∞,∞.

Exemplo 2:yx = x²lnxé solução dex²y^′′ −3xy^′ +4y = 0,x > 0? y^′x =

y^′′x =

Exemplo 3:y = x²−1é solução dey^′⁴+y² = −1?

A equação não admite solução, poisy^′⁴+y² é sempre não negativo para todoyxreal, não podendo ser igual a -1.

Exemplo 4:y^′⁴+y² = 0, admite como única soluçãoy ≡ 0(pelo mesmo motivo do exemplo anterior).

Definição: Uma solução particular de uma equação diferencial é qualquer solução. A solução geral de uma equação diferencial é o conjunto de todas as soluções.

Exemplo 5: Pode-se mostrar que yx= C1sin 2x+C2cos 2xé a solução geral dey^′′ +4y = 0. Isto é, toda a solução particular da ED tem esta forma. Por exemplo, são soluções particulares:

y = 5 sin 2x−3 cos 2x C1 = 5,C2 = −3

y = sin 2x C1 = 1,C2 = 0

y = 0 C1 = 0,C2 = 0

Observação: Nem sempre se pode expressar por uma fórmula única a solução de uma ED.

Exemplo 6:y^′ +y² = 0tem como soluções particularesy = 1

x ey ≡ 0.

1.4 Problemas de Valores Iniciais e de Valores no Contorno:

Uma equação diferencial acompanhada de condições adicionais sobre a função incógnita e suas derivadas (todas no mesmo valor da variável independente) constitui um problema de valores iniciais. Estas condições são chamadas C.I. (condições iniciais).

Exemplo 1:y^′′ +2y^′ = e^x yπ = 1,y^′π = 2 (CI)

Este é um problema de valor inicial, pois as condições adicionais são dadas emx = π.

Se as condições adicionais são dadas para mais de um valor da variável independente, temos um problema de valores no contorno e as condições são C.C. (condições de contorno).

Exemplo 2:y^′′ +2y^′ = e^x

y0= 1,y1 = 1 (CC)

Este é um problema de valor no contorno, pois as condições adicionais são dadas emx = 0ex = 1.

Exemplo 3: Determine uma solução do problema y^′′ +4y = 0 onde y0 = 0 , y^′0 = 1 se a solução geral é yx = C1sin 2x+C2cos 2x

y0 = y^′x = y^′0 =

Solução particular:yx = ¹₂ sin2x

Solução geral: conjunto de todas as soluções (família de curvas).

Solução particular: solução que satisfaz as CI ou as CC (uma única curva).

-4 -2 2

-0.4 -0.2 0.2 0.4

x y

-4 -2 2 4

-3 -2 -1 1 2 3

x y

Solução particular: Solução geral:

Campo de direções: dá um “perfil” das soluções dy

dx = fx,y coeficiente angular da solução no ponto

x,y.

1.5 LISTA DE EXERCÍCIOS 1

1- Nos exercícios seguintes, determine:

(a) a ordem da eq. diferencial. (b) o tipo EDO ou EDP.

(c) a variável independente. (d) a função incógnita.

1.1 y^′+xy = x² 1.2 y^′³ = sinx

1.3 ∂²u

∂x² + ∂²u

∂x∂y +7∂²u

∂y² +8∂u

∂x + 2u = sinxy 1.4 d³y

dx³ +3d²y

dx² +y = e^x 1.5 d⁴y dx⁴

d³y dx³

d²y

dx² = dy dx 1.6 y^′′²−3yy^′+xy = 0 1.7 x⁴y^IV+xy^′′′ = e^x 1.8 dⁿy

dxⁿ = y²+1 2 - Quais, entre as funções abaixo, são soluções de y^′ −5y = 0?

a)y = 5 b) y = 5x c) y = x⁵ d) y = e^5x e) y = 2e^5x f) y = 5e^2x 3 - Quais, entre as funções abaixo, são soluções dex^′′ −4x^′+4x = e^t ?

a) x = e^t b) x = e^2t c) x = e^2t +e^t d) x = te^2t +e^t e) x = e^2t +te^t

4 - Determine os valores das constantes, de modo que as funções dadas satisfaçam as condições iniciais indicadas:

4.1 yx = C1e^x+C2e^2x+3e^3x; y0 = 0; y^′0 = 0 4.2 yx = C1sinx+C2cosx+1; yπ = 0; y^′π = 0 Respostas:

1.1 (a) 1 (b) E.D.O. (c)x (d) yx

1.2 (a) 1 (b) E.D.O. (c)x (d) yx

1.3 (a) 2 (b) E.D.P. (c)x,y (d) ux,y

1.4 (a) 3 (b) E.D.O. (c)x (d) yx

1.5 (a) 4 (b) E.D.O. (c)x (d) yx

1.6 (a) 2 (b) E.D.O. (c)x (d) yx

1.7 (a) 4 (b) E.D.O. (c)x (d) yx

1.8 (a) n (b) E.D.O. (c)y (d) xy

2- (d) e (e) 3- (a), (c) e (d)

4.1C₁ = 3, C₂ = −6 4.2 C₁ = 0, C₂ = 1.

CAPÍTULO 2: EDO DE PRIMEIRA ORDEM

2.1 Interpretação Geométrica das EDOs de Primeira Ordem - Campo de Direções:

Uma EDO de primeira ordem é uma equação da forma:

dy

dx = fx,yx

A solução desta equação é uma funçãoy = φxque pode ser representada através de um gráfico.

Geometricamente, da equação diferencial acima, podemos afirmar que, em qualquer pontox,y, o coeficiente angular dy

dx da solução neste ponto é dada porfx,y.

Graficamente, podemos traçar um pequeno segmento de reta, no ponto x,y, coeficiente angular fx,y.

Exemplo 1:dy

dx = ¹₃y, cuja solução exata é yx = Ce^13x

-4 -2 0 2 4

1 2 3 4 5

x y

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

5 10 15 20

x y

O conjunto dos segmentos de reta é o campo de direções da EDO de primeira ordem.

2.2 Equações a Variáveis Separáveis:

A forma padrão de uma EDO de primeira ordem é dy

dx = fx,y. No entanto, podemos escrever fx,ycomo Mx,y

−Nx,y, assim,

dy

dx = Mx,y

−Nx,y

−Nx,ydy = Mx,ydx

e obtemos aforma diferencialpara esta equação:Mx,ydx+Nx,ydy = 0 Exemplo 1: Escrevayyy^′ −1 = xna forma padrão e na forma diferencial:

Forma padrão: dy

dx = x+y y²

Forma diferencial: (existem infinitas) x+y

y² dx−dy = 0 oux+ydx−y²dy = 0

Uma EDO de primeira ordem é uma equação a variáveis separáveis se pode ser escrita como:

Mxdx+Nydy = 0 e sua solução geral é obtida via integração:

∫

∫

Exemplo 2: Determinar a solução geral da equação dy

dx = x²

− ² :

Solução:x³+y³−3y = C Obs.:y = yximplícitamente.

Exemplo 3: Determinar a solução geral da equação dy

dx = 3x² : Solução:y = x³+C

Obs.: dependência explícita (yxestá isolado)

Exemplo 4: Determinar a solução geral da equação dy

dx = 4y : Solução:y = Ce^4x

2.3 Lista de Exercícios 2

1 - Escreva as seguintes equações diferenciais na forma padrão:

1.1 e^xy^′ +e^2xy = sinx 1.2 yyy^′ −1 = x

1.3 xy+3dx+2x−y²+1dy = 0 1.4 xy^′ +cosy^′ +y = 1

2 - Determine a equação da curva que passa pelo ponto P5, 6, conhecendo a declividade de sua tangente num ponto qualquer dada por: dy

dx = 2x 3y. 3 - Resolva as seguintes equações diferenciais:

3.1 y^′ = 5y 3.2 y^′ = 5x² 3.3 db

dp = 2b 3.4 dy

dx = −sinx 3.5 xdx+ydy = 0 Respostas:

1.1 y^′ = −e^xy+e^−xsinx, ondefx,y= −e^xy+e^−xsinx 1.2 y^′ = x+y

y² 1.3 y^′ = xy+3

y²−2x−1

1.4 Não pode ser escrita na forma padrão.

2 3y²−2x² = 58 3.1y = Ce^5x 3.2 y = 5

3 x³+c

3.3 b = Ce^2p 3.4 y = cosx+c 3.5 y = ± k−x²

2.4 Exemplo de Aplicação

2.4.1 Cultura de Bactérias

Considere uma cultura de bactérias cuja taxa de crescimento populacional é proporcional à população presente. Determinar a quantidade de bactérias presentes, após 15 horas, sabendo que após 3 horas a quantidade inicial duplicou:

SejamNto número (população) de bactérias no intantet,kuma constante de proporcionalidade,N população inicial (no instante de tempo t = 0) e dN

dt , a taxa de crescimento populacional (velocidade de crescimento). Então, a EDO é dada por:

dN

dt = kNt

N0 = N0 eN3 = 2N0

A solução desta EDO éN = Ae^kt, substituindo as condições de contorno, determinamosAek : Nt = N0e

tln 2

3 e, emt = 15, obtemosN15 = 32N0

2.4.2 Lei do Resfriamento de Newton:

“A taxa de resfriamento de uma substância numa corrente de ar é proporcional à diferença entre a temperatura da substância e a temperatura do ar”.

Considere a temperatura do ar 25⁰C. Se uma substância resfria, neste ambiente, de100⁰ Cpara 70⁰ C, em20minutos, ache o intante em que a temperatura da substância é50⁰C.

Obs.: Suponha que a temperatura da substância é homogênea.

Sejam Tt a temperatura da substância ⁰ C no instante t (min) e k uma constante de proporcionalidade. Então, a EDO é dada por:

dT

dt = kT−25

T0 = 100 e T20 = 70

A solução desta EDO éT = Ae^kt +25, substituindo as condições de contorno, encontramosAek : Tt = 75e

t 20 ^ln

3

5 +25e, queremos encontrart1tal queTt1 = 50. Substituindo na solução, obtemos t1 = 42, 25min, ou seja, 42 min e 15 seg.

0 20 40 60 80 100 120 40

60 80 100

x y

Grafico da solução da EDO.

2.4.3 Um corpo em queda livre:

Um corpo em queda livre, satisfaz a segunda lei de Newton que indica que a força líquida que aje sobre o corpo (peso) é proporcional à sua aceleração.

Considerações: - massa e gravidade são constantes;

- resistência do ar é proporcional à velocidade v da queda;

- direção positiva é para baixo.

Da segunda lei do movimento de Newton, obtemos: F = m dv

dt ondeFé a força líquida e dv

dt é a taxa de variação do momento do corpo em relação at(mé constante).

mg−kv = m dv

dt  mg = m dv

dt +kv  dv dt + k

m v = g Equação do movimento onde mg = W é o peso do corpo ekvé a resistência do ar.

.

Observação: Sek = 0(desprezamos a resistência do ar) a equação se reduz à: dv dt = g.

2.5 LISTA DE EXERCÍCIOS 3

APLICAÇÕES:

1) Determinar o tempo necessário para que uma certa quantia duplique seu valor quando aplicada à juros de 5% ao ano, continuamente acumulados.

2) Sabendo que o rádio se decompõe numa razão proporcional à quantidade existente e que a metade da porção original desaparece em 1600 anos, calcular a percentagem perdida em 100 anos.

3) Numa cultura, a quantidade de fermento ativo cresce proporcionalmente à quantidade presente.

Sabendo que em uma hora a porção inicial foi duplicada, qual a multiplicação que se pode esperar no final de2 : 45horas?

4) Uma certa substância esfria-se de 100⁰C a 60⁰C, em 10 minutos. Agora, sendo a temperatura da substância de 20⁰C. Achar a temperatura da substância depois de 40 minutos.

5) O nuclídeo radioativo plutônio 241 decai de acordo com a eqação diferencial dQ

dt = −0, 0525Q, onde Qestá em miligramas etem anos.

a) Determinar a meia vidaτdo plutônio 241.

b) Se 50 mg de plutônio estiverem presentes numa atmosfera no dia de hoje, quanto plutônio existirá daqui a dez anos?

6) Uma bola, com massa de 0,25 kg, é lançada para cima, com uma velocidade inicial de 20m/s, do terraço de um edifício com 30 m de altura. Desprezar a resistência do ar.

a) Calcular a altura máxima que a bola atinge acima do nível do solo.

b) Admitindo que a bola não caia no terraço, ao retornar, calcular o tempo que leva para atingir o solo.

Respostas:

1) 13,9 anos. 2) 4,23%. 3) 6,73 vezes a quantia original 4) 25⁰C.

5) a) 13,20 anos b) 29,6 mg 6) a) 50,4 m. b) 5,25 s.

2.6 Equações Homogêneas:

Uma EDO de primeira ordem, na forma dy

dx = fx,yé homogênea seflx,ly = fx,ypara todolreal.

Exemplo 1: Verifique sey^′ = x+y

x é homogênea:

fx,y = x+y

x ∴ flx,ly = lx+ly

lx = lx+y

lx = x+y

x = fx,y

∴A EDO é homogênea.

Exemplo 2: Verifique sey^′ = x²+y

x³ é homogênea:

Resp.: A EDO não é homogênea.

Uma equação homogênea pode ser transformada em equação a variáveis separáveis (que já sabemos resolver), mediante a seguinte substituição de variável:

y = xν dy

dx = ν+x dν dx

Obtemos, então, uma equação diferencial nas variáveis ν e x que resolvemos como equação a variáveis separáveis. Não esqueça de substituirν = y

x no final do procedimento.

Exemplo 1: Encontre a solução da EDOy^′ = y+x x : Já vimos que é uma EDO homogênea.

Façamos a substituição: y = νx dy

dx = ν+x dν dx

.

A solução geral da EDO éy = xln|x|+Cx.

Exemplo 2: Encontre a solução da EDOy^′ = y²+x²

xy comy1 = −2 : Solução: A EDO é homogênea e y² = x²lnx²+4x² ou y = − x²lnx²+4x² Obs.: O sinal de menos garante a consistência com a condição inicial.

Atenção: Em algumas situações é conveniente escrever a EDO original como dx

dy = 1

fx,y e fazer a substituição x = νy

dx

dy = ν+y dν dy Exemplo: Resolver dy

dx = 2xye

xy

2

y²+y²e xy

2

+2x²e xy

2

Verifique que a EDO é homogênea!

A substituição conveniente é x = νy dx

dy = ν+y dν dy

, pois simplifica os termos.

dx

dy = 1

fx,y = y²+y²e xy

2

+2x²e xy

2

2xye xy

2

Solução geral:y = k 1+e xy

2

2.7 Equação Diferencial Ordinária de Primeira Ordem Exata:

Uma equação diferencial:

Mx,ydx+Nx,ydy = 0

é exata se existe uma funçãogx,ytal que: dgx,y = Mx,ydx+Nx,ydy.

Por outro lado, dgx,y = ∂g

∂xdx+ ∂g

∂ydy

de onde concluímos que: Mx,y = ∂g

∂x e Nx,y = ∂g

∂y . Da teoria de derivação, temos que ∂²g

∂x∂y = ∂²g

∂y∂x

∂∂x

∂g

∂y = ∂

∂y

∂g

∂x

∂∂xNx,y = ∂

∂yMx,y

TESTE: Uma EDO de primeira ordem, na forma diferencial é exata se e, somente se,

∂∂yMx,y = ∂

∂xNx,y

SOLUÇÃO: 1)gx,y =

∫

2) ∂g

∂y = Nx,y

3)Yy =

∫

4) Solução geralgx,y = k (forma implícita) Exemplo 1: Resolvaycosx+2xe^ydx+sinx+x²e^y −1dy = 0.

Teste: ∂M

∂y = cosx+2xe^y

∂N

∂x = cosx+2xe^y 1)gx,y =

∫

gx,y =

∫

gx,y = ysinx+x²e^y +Yy

2) ∂g

∂y = Nx,y

sinx+x²e^y+Y^′y = sinx+x²e^y −1

∴ Y^′y = −1

3)Yy =

∫

∫

Exemplo 2:3xy+y²dx+x²+xydy = 0 Exemplo 3: Resolva dy

dx = 2+ye^xy 2y−xe^xy

Solução geral:2x+e^xy−y² = C

2.8 LISTA DE EXERCÍCIOS 4

1) Resolva as seguintes equações diferenciais:

a) 3xy²+1dx+yx²+2dy = 0 b) dy

dx = 8xy+3y

c) yy^′ = cos²wx. (wé constante) d) v dv

dt = g (gé constante) e) y^′ = 1+x+y² +xy²

f) xyy^′ = 2y+1

2) Resolva os seguintes problemas de valor inicial:

a) y^′ = −x

y , y1 = 2

b) sin²ydx+cos²xdy = 0 , yπ 4= π

4 c) dI

dt +5I = 10 , I0 = 0 d) v dv

dt = g , vt0 = v0

3) Determine as soluções gerais das seguintes equações:

a) xy^′+y+2x = 0 b) y^′ = x

y +xsec y x c) xy^′ −y−y−x³ = 0 d) xy^′ = xe

−y x +y 4) Resolva as equações:

a) x+y²dy+y−x²dx = 0 b) e^xcosydx = e^xsinydy.

c) 3x²+2xy²dx+2x²ydy = 0 d) 3x²y+ y

xdx+x³ +lnxdy Respostas:

1.a) x²+2³y²+1= k. 1.b) y = ke^4x2+3x. 1.c) y² = x+ sin 2wx 2w . 1.d) v² = 2gt+k. 1.e) arctgy = x²

2 +x+k. 1.f) y−ln|y+1|−2 ln|x| = k.

2.a) x²+y² = 5 2.b) tgx−cotgy = 0 2.c) It = 21−e^5t 2.d) v²−2gt = v₀²−2gt0

3.a) y = c

x −x 3.b) y = xarcsinx+c 3.c) y = x+xc−x²⁻1

2 3.d) e y

x −lnx = k.

4.a)yx− x³ 3 + y³

3 = k 4.b) e^xcosy = k 4.c) x³+x²y² = k 4.d) x³+lnxy = k

2.9 Fatores Integrantes:

Normalmente, a equação diferencial Mx,ydx+Nx,ydy = 0

não é exata. Mas, em alguns casos, podemos transformar esta equação diferencial em exata, fazendo uma multiplicação adequada.

Exemplo: Resolvay^′ = 2xy−x (não é homogênea)

∴Não é exata.

Se multiplicarmos a equação pore^−x2 , obtemos:

−2xye^−x2 +xe^−x2dx+e^−x2dy = 0

∂M

∂y = −2x e^−x2; ∂N

∂x = e^−x2.−2x. Assim, é exata e já sabemos resolver.

Definição: Uma funçãoIx,yé um Fator Integrante deMx,ydx+Nx,ydy = 0se a equação:

Ix,yMx,ydx+Nx,ydy = 0 é exata.

2.9.1 Métodos para Determinação de Fatores Integrantes:

Caso 1:

Fator integrante depende só dex:Ix

Se 1 N ∂M

∂y − ∂N

∂x ≡ hxé função somente dex, então Ix = e

∫

Exemplo: Resolvax−ydx−dy = 0

Não é exata, mas comhx = 1, temosIx = e^x e a EDO fica exata: e^xx−ydx−e^xdy = 0.

Solução geral:xe^x −e^x−ye^x = k ou y = Ce^−x +x−1

Caso 2:

Fator integrante depende só dey:Iy

Se 1 M ∂M

∂y − ∂N

∂x ≡ hyé função somente dey, então Iy = e⁻

∫

Exemplo: Resolvaydx+3+3x−ydy = 0 Não é exata, mas comhy = −2

y, temos queIy = y²e a EDO fica exatay³dx+3y²+3xy²−y³dy = 0 Solução geral:y³x+y³− y⁴

4 = k

Caso 3:

Fator integrante depende dexey:Ix,y

Se 1

xM−yN ∂N

∂x − ∂M

∂y ≡ hx,yé função dexey, então Ix,y = e⁻

∫

ondev = xy

Exemplo:y²+xy+1dx+x²+5xy+1dy = 0 Não é exata.

Solução geral:xe^xy +ye^xy = k

2.10 Equações Diferenciais Lineares:

Quando podemos escreverfx,y == pxy+qxna equação diferencial dy

dx = fx,y, dizemos que a equação é linear, ou seja,

dy

dx +pxy = qx

Solução: Utilizamos o fator de integração Ix = e

∫

Ixdy

dx +Ixpxy = qxIx

e

∫

dx +Ixpxy = qxe

∫

d

dx e

∫

∫

Integrando em relação ax:

e

∫

∫

∫

y = e⁻

∫

∫

^∫

Exemplo 1: Resolvay^′+2y = e^−x ,y0 = 0. 75 Fator integrante:Ix = e^2x

Solução geral:y = e^−x +Ce^−2x

Solução particular:y = e^−x−0. 25e^−2x

Exemplo 2: Resolvay^′−2xy = x , y0 = 0 Fator integrante:Ix = e^−x2

Solução geral:y = −1

2 +Ce^x2 Solução particular:y = −1

2 + 1 2e^x2

2.11 Equação de Bernoulli:

Uma equação diferencial de Bernoulli é uma equação da forma: y^′ +pxy = qxyⁿ, onde n é real.

Fazendo a substituiçãoz = y¹⁻ⁿ reduzimos a equação de Bernoulli a uma equação diferencial linear na função incógnitaz.

Exemplo 1: Resolva dy

dx +xy = xy² Equação de Bernoulli comn = 2.

Substituição:z = y¹⁻² ou seja:z = 1

y, ainda, y = 1 z dy

dx = − 1 z²

dz dx Fator integrante:Ix = e⁻

x² 2

Solução geral:y = 1 1+Ce⁻

x² 2

Exemplo 2: Resolva dy dx − 3

x y = x⁴y 1 3

Equação de Bernoulli comn = ¹₃. Substituição:z = y

2

3 , então y = z 3 2 dy dx = 3

2z 1 2 dz

dx Fator integrante:Ix = 1

x²

Solução geral:y 2 3 = 2

9x⁵ +Cx² ou y = ± 2

9x⁵+Cx² 3 2

2.12 LISTA DE EXERCÍCIOS 5

1) Em que condições as seguintes equações diferenciais são exatas? Determinadas as condições, resolva-as.

1.1)2x+aydx+2y+bxdy = 0

1.2)coshy+acosaxdx+bxsinhydy = 0

2) Determine um fator integrante para as equações abaixo e resolva-as.

2.1)2x³−ydx+xdy = 0, y1 = 1.

2.2)y³ +2e^xydx+e^x+3y²dy = 0 2.3) dy

dx = x x²y+y³. 2.4)ydx−xdy+lnxdx = 0

3) Verifique se as seguintes equações são Equações diferenciais Lineares e resolva-as.

3.1) dy dx + y

x = 1 3.2) dy

dx − 2y

x = x²sin3x.

3.3) dy

dx = 2xy−x+1 3.4)xdy

dx +y = 2x, y1 = 2.

4) Prove que a equação diferencial dy

dx +pxy = qxylny, pode ser resolvida mediante a mudança de variávellny = v. Use isto para resolver a EDO: xdy

dx +2x²y = ylny

5) Resolva as equações de Bernoulli.

5.1)yy^′ = xy². 5.2) y^′+y = y²e^x. 5.3) yy^′ −xy²−x = 0.

Respostas.

1.1)a = b, x²+axy+y² = k 1.2) b = 1, xcoshy+sinax = k 2.1)hx = 1

x². yx = 2x−x³; 2.2)hx = e^x, e^xy³+e^2xy = k;

2.3) hy = e^−y2, e^−y2

2 x² +y²+1 = k; 2.4)hx = 1

x². yx = cx−lnx−1; 3.1)yx = x

2 + k

x, 3.2) yx = x²−cos3x

3 +k. 3.3)yx= x+ke^x2. 3.4)yx = x²x²

2 +k 4) yx = ³₂1−e^−2x 5.1) z = y⁻¹; yx = ke x²

2 .

5.2) z = y⁻¹; yx = −1

c+xe^x . 5.3)z = y²; y² = 1+ke^x2.

2.13 Aplicações das EDO de Primeira Ordem

2.13.1 Trajetórias Ortogonais

Considere a família de curvas no plano xy Fx,y,c = 0, onde cé um parâmetro (“constante” que fazemos variar).

Chamamos de trajetórias ortogonais, desta família, a uma nova família Gx,y,k = 0 , onde cada curva deGintercepta cada curva deF, segundo um ângulo reto.

Exemplo:F :x²+y² = c G : y = kx

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4 -2 2 4

x y

2.13.2 Procedimento para Determinação de Trajetórias Ortogonais aFx,y,c

1) Derivamos Fx,y,c em relação a x (derivação implícita). Se necessário, isolamos c em Fx,y,c e substituímos na equação derivada. Obtemos: dy

dx = fx,y.

2) As trajetórias ortogonais são soluções de dy

dx = − 1 fx,y. .

Exemplo 1: Determine as trajetórias ortogonais da família de curvas x²+y² = c² (circunferências com centro na origem).

1)2x+2yy^′ = 0∴ y^′ = −x y 2) dy

dx = − 1

fx,y. ∴ dy dx = y

x (EDO a variáveis separáveis)

Solução geral:y = kx Retas que passam pela origem - trajetórias ortogonais.

Exemplo 2: Determine as trajetórias ortogonais da família de curvas y = cx² (parábolas com vértice na origem).

1)y^′ = 2cx, masc = y

x² ∴ y^′ = 2y x 2) dy

dx = − 1

fx,y. ∴ dy dx = −1

2

xy EDO a variáveis separáveis.

Solução geral: x²

2 +y² = C(elipses=trajetórias ortogonais)

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4 -2 2 4

x y

2.13.3 Exemplos de aplicação:

-Problemas de Diluição:

Considere um tanque contendo inicialmente V0 litros de salmoura com a kg. de sal. Uma outra solução combkg. de sal por litro começa a entrar no tanque a uma razão de el/min e, simultaneamente, a mistura deixa o tanque a razão defl/min. Qual a quantidade de sal no instantet?

Seja:Qt: quantidade (kg) de sal no instantet.

dQ

dt : taxa de variação deQ.

dQ

dt = T_ent −T_sai =taxa que o sal entra no tanque - taxa que o sal sai do tanque.

Tent:be(kg/min) ondebé a quantidade de sal por l (concentração de sal na solução que entra) eé a quantidade de l de solução que entra por minuto.

Tsai: concentração de sal no tanque no instante t (kg/l).f(quantidade em litros de mistura que sai por minuto).

Tsai: Q

V0+et−ftfondeQté a quantidade de sal (kg) em t eté o que entrou em t min

fté o que saiu em t min V₀é o volume inicial.

A EDO fica: dQ

dt = be− Q

V0+et−ftf ou dQ

dt + Q

V0+et−ftf = be, que é linear.

Exemplo 1: Um tanque contém inicialmente 350 litros de salmoura com 10 kg de sal. No intante t = 0, água pura começa a entrar no tanque a razão de 20 l por minuto, enquanto a mistura sai do tanque a

mesma taxa. Determine a quantidade de sal no tanque no instante t.

V0 = 350l. b = 0kg/l f = 20l/min Q0 = 10kg e = 20l/min

dQ

dt + 20

350+20t−20tQ = 0. 20 ∴ dQ dt + 2

35Q = 0 É linear.

Fator integrante:It = e 2t 35

Solução geral:Q = Ce⁻ 2t 35

Solução particular:Qt = 10e⁻ 2t 35

Observe queQ → 0quandot → ∞, o que esperávamos, pois está entrando água pura.

-Problemas de Temperatura:Lei do Resfriamento de Newton(válida também para aquecimento).

“ A taxa de resfriamento de uma substância numa corrente de ar é proporcional à diferença entre a temperatura da substância e a temperatura do ar”.

SejamT: temperatura do corpo Tm: temperatura do meio

k: constante de proporcionalidadek > 0.

dT

dt = −kT−Tm

dT

dt +kT = kTm

é linear.

Obs.: Por que escolherkpositivo?

- Processo de resfriamento: T−Tm > 0 ∴ −kT−Tm < 0 ∴ dT

dt < 0 (variação da temperatura negativa, implica em temperatura decrescente).

- Processo de aquecimento:T−Tm < 0∴ −kT−Tm > 0 ∴ dT

dt > 0(temperatura crescente).

Exemplo 1: Um corpo à temperatura de 50∘ F é colocado ao ar livre onde a temperatura é de 100∘ F.

Se, após 5 min, a temperatura do corpo é 600∘F, determine:

a) o tempo necessário para que o corpo atinja 75∘F.

b) a temperatura do corpo após 20 minutos.

Solução:

T0= 50 T5= 60 Tm = 100

a)Tt1 = 75, encontret1 : dT

dt +kT = kTm  dT

dt +kT = 100ké linear.

Fator integrante:It = e^kt

Solução geral: Tt = 100+Ce^−kt. Solução particular:Tt = 100−50e⁻ 1 5^{ln1.25t} E paraTt1 = 75,t1 ≅ 15, 5min.

b)T20 = 79, 52∘F.

-Problemas de Queda dos Corpos:

Considere um corpo de massa m em queda vertical.

Considerações: - massa e gravidade são constantes;

- resistência do ar é proporcional à velocidade v da queda;

- direção positiva é para baixo.

Da segunda lei do movimento de Newton, obtemos:

F= m dv dt onde F é a força líquida e dv

dt é a taxa de variação do momento do corpo em relação a t (m é constante).

mg−kv = m dv

dt  mg = m dv

dt +kv  dv dt + k

m v = g Equação do movimento ondemg = Wé o peso do corpo ekvé a resistência do ar.

.

Obs.1: Sek = 0(desprezamos a resistência do ar) a equação se reduz à: dv dt = g.

Obs.2: Quando o corpo é arremessado para cima, a resistência do ar tem sentido igual ao do peso porque a resistência é sempre oposta ao sentido do movimento.

Obs.3: Quando a direção positiva é considerada para cima, precisamos reavaliar os sinais da equação do movimento.

Obs.4: Pode existir outra relação entre a resistência do ar e a velocidade que não seja a relação considerada na modelagem anterior. Se a resistência do ar for proporcional ao quadrado da velocidade:

−kv².

Obs.5: O peso é aproximado porW = mg quando o corpo se encontra muito próximo da terra. Caso contrário, é dado por: W = mgR²

R+x² onde Ré o raio terrestre exé a altura acima do nível do mar. Neste caso, será necessário usar dv

dt = dv dx

dx

dt  v dv dx = dv

dt .

Exemplo 1: Um corpo de massa m cai a partir do repouso, num meio que oferece resistência proporcional à velocidade. Admitindo que a força gravitacional seja constante, determine:

a) a velocidade em qualquer instante.

b) a velocidade limiteve quandot → ∞.

Solução:

a) dv dt + k

m v = g v0= 0 é linear.

Fator integrante:It = ekt m Solução geral:v = mg

k +Ce⁻kt

m Solução particular:vt = mg

k 1−e⁻kt m

b)lim

t→∞vt = v_l , entãovl = mg

k , velocidade limite.

-Problemas de Circuitos Elétricos:

Considere: R é o resistor (ohms), L é o indutor (henries), C é o capacitor (Faradays), E é a força eletromotriz (volts), I é a corrente (ampères).

Casos Particulares:

-Circuito RL: Lei que rege a quantidade de corrente no circuito é dI

dt + R LI = E

L

Obs.: Não necessariamenteEé constante. É uma equação linear não-homogênea.

-Circuito RC: Lei que rege a quantidade de carga é dq

dt + 1

RCq = E R Obs.: A EDO é linear e não-homogênea.

A relação entreqeIé:

I = dq dt

Atenção:

It =corrente transiente+corrente estacionária.

- Estado transiente: Tem forte influência no início do experimento. Vai para zero quandot → ∞.

- Estado estacionário: caracteriza a corrente quandot → ∞(muito grande).

Exemplo 1: Um circuito RL tem uma f.e.m. de 5 volts, uma resistência de 50 ohms, uma indutância de 1 henry e não tem corrente inicial. Determine:

a) a corrente no instante t;

b) sua componente no estado estacionário;

c) sua componente no estado transiente.

Solução:

a) dI

dt +50I = 5 I0 = 0

Fator integrante:e^50t Solução particular:It = ₁₀¹ − ₁₀¹ e^−50t. b)Iest = ₁₀¹ A,

c)Itrans = −₁₀¹ e^−50t

-Crescimento Exponencial:

Exemplo 1: SejaNta população de uma certa espécie (ou a quantidade de uma substância).

Hipóteses: taxa de variação deNé proporcional ao valor instantâneo deN. População inicialN0. dN

dt = rN N0 = N0

Obs.: ser > 0: crescente; ser = 0:Nt = N0e ser < 0: decrescente (extinção) r: velocidade específica de crescimento (ou declíneo).

Solução:Nt = N0e^rt.

Exemplo 2: Uma pessoa deposita R$20.000,00 em uma conta que paga 5% ao ano de juros compostos continuamente. Determine:

a) o saldo na conta após 3 anos;

b) o tempo necessário para que a quantia inicial duplique.

Solução:

SejamNt :quantidade de dinheiro=saldo na conta

r :taxas de juros compostos continuamente=velocidade específica de crescimento.

r = 0. 05 > 0(o saldo aumenta) e N0 = 20. 000 dN

dt = 0. 05N N0 = 20. 000

Solução:Nt = 20. 000e^0.05t

a)N3 = 23. 236, 68reais

b)Nt= 40. 000  t = 13, 86anos.

-Problemas de Crescimento Logísitco:

Suponha que a velocidade específica de crescimento dependa da realidade da população (meio ambiente, alimentação, competição intra e extra-específica, clima, etc). Então, esta velocidade fica melhor expressa por uma função deN : fN. Escolhemos:fN = r−aNNonder,a > 0são constantes e, portanto:

dN

dt = r−aNN(Equação Logística) ou dN

dt = r1− N

KNondeK = a r.

Exemplo 1: Cinco ratos de uma população constante de 500 são intencionalmente inoculados com uma doença contagiosa para testar uma teoria de disseminação da epidemia segundo a qual a taxa de variação da população infectada é proporcional ao produto de ratos infectados pelo número de ratos sem a doença. Qual o tempo necessário para que a metade da população contraia a doença?

Solução:

SejamNto número de ratos infectados,N0 = 5e o número de ratos sem a doença é500−N, então dN

dt = 500−NRN ou dN

dt = 1− N

500rN Eq. Logística r = 500R

N0 = 5

Atenção: Integração via frações parciais! Solução Particular: N

500−N = 1 99e^500Rt Pergunta:Nt = 250  t = 0. 00919

R u.t.

2.14 LISTA DE EXERCÍCIOS 6

1) Em cada um dos casos abaixo, desenhar curvas da família dada e também das respectívas tragetórias ortogonais.

a) A famíla de hipérbolesxy = c.

b) A família de círculosx−c² +y² = c² c) A famíliax²+y² = Cx

2) Um tanque de 50 litros contém inicialmente 10 litros de água pura. No instantet = 0, começa a ser despejada uma solução contendo 0,1 kg de sal por litro, a razão de 4 l/min, enquanto a mistura sai do tanque a razão de 2 l/min. Determine:

a) O instante em que ocorre o transbordamento.

b) A quantidade de sal no tanque neste instante.

3) Um corpo de massam é lançado verticalmente para cima com velocidade inicial v0. Se a resistência do ar é proporcional à velocidade, determine:

a) a equação do movimento no sistema coordenadov,t.

b) a velocidade no instante t.

c) o instante em que o corpo atinge a altura máxima.

4) Um circuito RL tem f.e.m. dada (em volts) por 3 sin 2t , uma resistência de 10 ohms, uma indutância de 0.5 henry e uma corrente inicial de 6 ampères. Determine a corrente em t:

5) Sabe-se que a população de um determinado país aumenta a uma taxa proporcional ao número de habitantes do país. Se, após 2 anos, a população duplicou e, após 3 anos, é de 20.000 habitantes, estime o número inicial de habitantes:

Pesquisa

Pesquise, nos livros abaixo indicados, uma aplicação para as equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Escolha uma aplicação na área que preferir, como por exemplo: biologia (crescimento populacional e disseminação de doenças), química (decaimento radioativo, misturas e datação por carbono), física (resfriamento de Newton e corpo em queda livre) e engenharia (circuitos elétricos e eletromagnetismo).

O trabalho deve conter no mínimo duas páginas com: introdução, descrição do problema de forma geral (pelo menos uma página), um exemplo resolvido e conclusão, contendo a sua opinião sobre as aplicações das equações diferenciais e sobre a aplicação escolhida.

Procure pesquisar em mais de um livro da biblioteca, escolhendo a aplicação que achar mais interessante.

Referências

*BOYCE W.E. DIPRIMA R.C.. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. Rio de Janeiro LTC. 1998.

BRONSON.R.. Moderna Introdução às Equações Diferenciais. São Paulo, McGraw-Hill, 1977.

*EDWARDS C.H. PENNEY D.E. Equações Diferenciais Elementares com Problemas de Contorno.

Prentice-Hall, 1995.

*HUGHES-HALLETT,D.,GLEASON,A.M. Cálculo v. 2. Rio de Janeiro LTC. 1997.

*ZILL,D.G.,CULLEN M.R. Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem. Thomson Learning 2003.

ZILL,D.G.,CULLEN M.R. Equações Diferenciais v 1. MAKRON BOOKS.

MATOS,M.P., Séries e Equações Diferenciais. São Paulo, Prentice Hall, 2002.

( * indicados )

CAPÍTULO 3: EDOs LINEARES DE SEGUNDA ORDEM

3.1 EDO Lineares de Segunda Ordem

Uma EDO de segunda ordem é linear se pode ser escrita na forma:

y^′′ +a1xy^′ +a0xy = gx

Uma EDO linear de segunda ordem homogênea é dada comgx ≡ 0 y^′′ +a1xy^′+a0xy = 0

Caso contrário, a equação é dita não-homogênea.

Uma EDO linear de segunda ordem é dita com coeficientes constantes se a ,a são constantes.

Caso contrário, a equação é com coeficientes variáveis.

Obs.1: Uma EDO linear de segunda ordem pode ser escrita como:

Ly = gx

ondeLé um operador linear definido como segue:

L :C²I → CI tal queLyx = y^′′+a1xy^′ +a0xy

C²I : conjunto das funções definidas no intervalo I duas vezes derivável com segunda derivada contínua.

CI :conjunto das funções contínuas definidas no intervaloI.

Obs.2: Um operador linear satisfaz as duas propriedades:

P1Ly1 +y₂ = Ly1+Ly2 P2Lαy1 = αLy1 α ∈ ℜ Exemplos.:

a)y^′′ +4y = e^x−sinx a1 = 0,a0 = 4 gx = e^x −sinx

EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes não-homogênea.

b)x²y^′′ +xy^′+x²−1y = 0 ou y^′′ + 1

x y^′ + x²−1

x² y = 0 a1x= 1

x,a0x = x²−1

x² gx ≡ 0 EDO linear de segunda ordem com coeficientes variáveis homogênea.

c)yy^′′ −y^′ = 0

O produtoyy^′′ indica a não linearidade da EDO.

d)y^′′ − y = 0

A potência indica a não linearidade da EDO.

TEOREMA: Considere o problema de valor inicial y^′′ +a1xy^′+a0xy = gxcom condições yx0 = y0

e y^′x0 = y₀^′ , onde a1,a0 e g são contínuas num intervalo I. Então existe uma única solução para este problema e ela existe sobre todo o intervaloI.

Exemplo:y^′′ −4xy^′ +6ycosx = e^−xsinx y0 = 2,y^′0 = −3 a1 = −4x,a0 = 6 cosx,gx = e^−xsinx são contínuas emℜ.

Este problema possui uma solução única para todoℜ.

TEOREMA: (Princípio da Superposição)

Se y1 ey2 são duas soluções da equação diferencialy^′′ +a1xy^′ +a0xy = 0, então a combinação

linearc1y1+c2y2 também é solução para quaisquer constantesc1 ec2. Obs.: A solução é pelo menos duplamente derivável sobre o intervaloI.

3.2 Wronskiano e Soluções Linearmente Independentes (L.I.):

DEFINIÇÃO: O Wronskiano de duas funçõesy1 ey2é dado por:

Wy1,y2 = y1 y2

y₁^′ y₂^′ = y1y₂^′ −y₁^′y2

Propriedade 1:

Sey1 ey2 são funções deriváveis emIe seWy1,y2 ≠ 0num pontoxI ∈ I, entãoy1 ey2 são L.I. em I.

Exemplo 1:y1x = cosx e y2x = sinxsão L.I.?

Wy1,y2 = cosx sinx

−sinx cosx = cos²x+sin²x = 1 ≠ 0 ∀ x ∈ ℜ

∴y1ey2 são L.I.

Exemplo 2:y1x = e^λ1x ey2x = e^λ2x , λ1,λ2são constantes reais eλ1 ≠ λ2 são L.I.?

Wy1,y2 = e^λ1x e^λ2x

λ1e^λ1x λ2e^λ2x = λ2e^{λ1+λ2x} −λ1e^{λ1+λ2x} = λ2−λ1e^{λ1+λ2x} ≠ 0

∴y₁xey₂xsão L.I.

Propriedade 2:

Sey1 ey2são soluções L.I. da EDOLH (Ly = 0), entãoy = c1y1+c2y2é a solução geral deLy = 0.

Exemplo:y^′′ −y = 0

e^x,e^−x são soluções L.I. Pela propriedade 2, a solução geral da EDO éyx = c1e^x+c2e^−x Propriedade 3:

Existem duas soluções L.I. paraLy = y^′′ +a₁xy^′+a₀xy = 0.

Obs.1: Relações de Euler:

e^ix = cosx+isinx e e^−ix = cosx−isinx x ∈ ℜ,i: unidade imaginária i² = −1.

ou equivalentemente: